成都信息工程大学 && 校报
　最新出版：日 第405期
&&&&&&&正文
《数学物理方法》教学组
　　《数学物理方法》是我校电子科学与技术、光信息科学与技术、应用物理学、材料物理等本科专业的必修核心基础课程。学习本课程，帮助学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，培养学生用数学方法和物理规律解决各类物理、工程技术实际问题的能力，为后续电动力学、量子力学、固体物理、激光原理与激光技术、电磁场与电磁波、固体电子学导论、信号与系统、数字信号处理、光学图像处理等课程的学习打下良好的基础。该课程2004年成为校级优秀课程，2006年成为校级精品课程，2007年成为省级精品课程，课程组于2007年度荣获校级教学成果一等奖。
　　光电技术学院向安平教授是课程组的负责人。目前该课程组有5人：向安平（硕士）、刘文莉（硕士）、丁迎春（硕士）、朱兴华（博士）、苏礼坤（博士）。课程由两大部分构成：复变函数论和数学物理方程。《数学物理方法》凭借着优秀的教学队伍、严格的教学规范和管理，先进的教学理念和方法，以及别具匠心的教案、讲义和课件等教学资源，课程建设水平和教学质量稳步提高，受到四川大学等高校同行专家的好评，对我校相关课程的建设具有一定的示范性。
　　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&特色出生机　改革是关键
　　经过多年的努力，教学团队把课程建设与教学改革相结合，凝练了自己的特色，充分体现了素质教育和现代化教学方法、技术、手段的灵活运用。
　　向安平介绍，从教学方法上，结合该课程理论性强、数学推导过程复杂等特点，充分结合板书、多媒体课件、动画、Matlab仿真等多种教学手段将教学内容形象直观化，以激发学生兴趣，提高教学效果。他说：“采用启发式、案例式、探究式教学法，在教学中通过问题的提出、解决、结果等多方面与学生进行交流和讨论，激发学生学习的主动积极性，引导学生独立思考，融会贯通地领会知识，培养学生掌握和运用知识的能力，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。例如，与学生探究波动方程、热传导方程的引入，引导学生思考方程如何建立和推导，由学生计算结果并讨论，教师评价后加以分析总结，加深学生对三类方程特点和数学建模思想的理解。”
　　《数学物理方法》的课程特色主要体现在三种特性上，即前沿性、实践性和先进性。“前沿性”即在教学内容上注重学生的创造性学习，培养学生的研究兴趣。教学中，他们注意将教学内容和最新成果结合，不失时机向学生介绍数理方法学术动态，引导学生树立科学研究志向；“实践性”即把数理方法的应用紧密与物理、工程技术相结合，同时开展数学建模和模拟仿真，激发学生的学习兴趣，加强学生应用能力和创新能力培养，克服了数学物理方法课程普遍存在的抽象、难以实践的问题，取得了很好的效果；“先进性”即用先进的多媒体课件和教学资源制作技术，构建人才培养的立体化教学模式。围绕课程定位，实施素质教育，因材施教，实现课程体系、内容、教学方法和手段的现代化，为课程的教与学构建起先进、高效、灵活的多维网络环境，建立了一套在国内具有先进性和示范推广价值的多媒体课件。该课件采用国际通用的专业科技排版系统LaTex/CTex编制的课件、讲义、教案，质量高，移植性强，尤其适合理论性强、数理公式和推导多的课程。谈及课程建设过程中的酸甜苦辣时，朱兴华说：“该课程开课有很多年了，当初申请确实是很辛苦，但从现在的教学情况看，我们做出的努力是非常值得的。作为省级精品课程，不管是课件还是老师们的教学，都做得很好。一门课程的教学成功主要是看学生的收获。《数学物理方法》是一门学科基础课程，学好这门课对学专业课很重要，从学生的角度来看，我们还是比较成功的。”
　　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&质量是生命　核心在队伍
　　课程组针对青年教师的专业和特长，结合学院师资队伍建设规划，制订了切实可行的培养规划和计划。在实施青年教师助教、导师制的基础上，光电技术学院采取了三大主要措施：一是尽可能为青年教师提供参与全国或区域性教学研讨与学术交流的机会，以达到提高教学水平的目的；鼓励、帮助中青年教师承担科研项目和教学研究项目，结合课程内容开展科研，积极开展教学内容、教学方法以及教学手段的改革研究；创造条件支持中青年教师深造，提升学历、职称。二是集体备课，观摩听课，开展形式多样的教研活动，使课程组教师相互学习，共同提高。三是切实执行教师助教、导师制，加强青年教师培养。导师制即新进青年教师在晋级讲师以前，安排副教授以上、教学效果良好的教师担任其指导导师，以老带新，从每个教学环节搞好传帮带，帮助青年教师成长。
　　谈及该课程目前存在的不足时，向安平说：“该课程的难点在于需要深厚的数理基础，数学推导和结论往往既冗长又复杂，加之，电子科学与技术专业是工学，光信息科学与技术、微电子学等专业是理学，如何协调不同专业对《数学物理方法》课程内容的不同要求，以及课程之间的关系也值得深入研究；课程教学软件有待丰富和发展，网上辅导、答疑需要进一步开展。”对于课程未来建设和发展方向，向安平说：“通过10余年的持续建设，《数学物理方法》课程已达到省级精品课程的水平和质量。但是，课程建设永无止境，面对学校专业建设、工程教育教学改革和卓越工程师计划的深入推进，该课程需要在更高的平台上深化改革与建设，努力建设成为国家级精品课程。当前的主要工作是，根据学校和学院专业建设、人才培养、课程建设与教学改革的部署和要求，着重开展教学方法、教学技术、手段的探索与实践，稳步提高教学水平和质量，为相关课程的建设提供借鉴和示范。”
　　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&学习兴趣浓　成果获肯定
　　2011级光信息科学与技术专业的张毅说：“《数学物理方法》有效地将以前学习的数学知识聚集在该课程之中，能够有效地提高学生的逻辑思维及独自学习能力，使用性比较强，对以后专业课的学习有很大帮助。向老师灵活运用多种教学方法。不仅从形式上使课堂气氛十分活跃，而且能够紧紧抓住学生的思维，使学生紧跟老师的思路，引导学生自我思考，自我证明各种方程及公式，很好地提高了我们的自我学习及思考能力。”2010级光信息科学与技术专业的杜宏山说：“《数学物理方法》是数学计算的实际应用，在以后的专业课中有较好的应用。它给我们提供了较多的自我学习机会，老师们生动形象的讲解使我在学习中能更好地接受和学习相关知识。”
　　原四川师范大学校长、四川省学术技术带头人、四川省物理学会副理事长封小超教授高度评价了我校的《数学物理方法》：“成都信息工程学院的《数学物理方法》课程建设和教学改革是很有特色和成效的，已经达到省级精品课程的指标体系要求。向安平教授主持建设的《数学物理方法》课程从2001&年开始开设和建设，课程体系、教学内容设置合理先进，大胆探索教学方法改革，实施素质教育，大力推进多媒体教学。其教学改革的成果主要体现在编制的多媒体课件和学习辅导材料中。从课程建设的成果来看，向安平等人所呈现的课程体系和内容结构合理，采用的课件制作技术先进，充分体现了素质教育和现代化教学方法和手段的灵活应用，是成功的课程建设，取得了在同类院校中相当优秀的成效。”
　前一条：
　后一条：
按新闻标题搜索
按新闻内容搜索
主编：徐紫电& 副主编：殷东萍& 责任编辑：刘涛版权所有 Copyright&当前位置： >>
数学物理方法讲义
《数学物理方法》 （Methods of Mathematical Physics）《数学物理方法》 是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要 基础课， 《高等数学》 是在 课程基础上的一门重要的应用数学类课程， 为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。课程内容： 复变函数（18 学时） ，付氏变换（20 学时） ， 数理方程（26 学时
）第一篇 复变函数（38 学时）绪 论第一章 复变函数基本知识 4 学时 第二章 复变函数微分 4 学时 第三章 复变函数积分 4 学时 第四章 幂级数 4 学时 第五章 留数定理及应用简介 2 学时 第六章 付里叶级数 第七章 付里叶变换 第八章 拉普拉斯变换第二篇第九章数学物理方程（26 学时）数理方程的预备知识第十章 偏微分方程常见形式 第十一章 偏微分方程的应用绪含 义论使用数学的物理――（数学）物理 物理学中的数学――（应用）数学Mathematical Physics方 程x ?1x2 ? 1?a1 x ? b1 y ? c1 a2 x ? b2 y ? c2dx ? a ?t ? dt? xdt ? a(t )常微分方程? d 2x 2 ? ? ? dt 2 ? ? x ? ? 0 ? ? ? x ? A cos??t ? C ?偏微分方程――数学物理方程? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2 ? ? 2 2 ? ?x ?y ?z ?? ??0 ? ?? ? ? ?x, y, z ??? h 2 ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2 ? 2 ? 2 ih ?? ?t 2m ? ?x ?y ?z ?? ? ? U ?x, y, z ? ? ? ?? ? ? ?x, y, z, t ?复 数 1. 数的概念的扩充 正整数（自然数） 1，2，? 运算规则 ＋，－，×，÷， ? ?2 ， － 负 数 整 数1 ? 2 ? ?10，-1，-2，? ?，-2，-1，0，1，2，?÷1 ? 0.5 21 ? 0.333 ? 3有理数（分数）整数、有限小数、无限循环小数2 ? 1.414?无理数 实 数 无限不循环小数 有理数、无理数虚 数 复 数?1 ? i yi实数、虚数、实数＋虚数x, y, x ? yi2. 负数的运算符号x ? ?1 x ? ?i2i ? ?1i虚数单位，作为运算符号。 3. 作为方程的解ax2 ? bx ? c ? 0x??b?b2 ? 4ac 2a（b 2 ? 4ac ? 0 ） b 2 ? 4ac ? 0 ）? b ? i ? b2 ? 4ac x? 2a??（4. 数学运算的需要 ――数系的完备性、自洽性 5. 物理学的需要 ―― 平面矢量、二维数组第一章 复变函数基本知识 4 学时复数表示代数式 三角式z ? x ? iyz ? ? c o ? ? i? s i n s ?指数式z ? ?ei?几何意义 运算规则复变函数w ? f ?z ?z ? x ? iyw ? u ? ivz ? ?ei?w ? rei?u ? u ?x, y ? v ? v?x, y ??x, y ? ←→ ?u, v ?常用初等复变函数 指数函数 三角函数 双曲函数 对数函数 根式函数 反三角函数 幂函数 一般指数函数第二章 复变函数微分 4 学时复变函数的极限lim f ? z ? ? Az ? z0复变函数的连续性lim f ? z ? ? f ? z0 ?z ? z0? lim u ? x, y ? ? u ? x0 , y0 ? ? x , y ? x0 , y0 ? lim v? x, y ? ? v? x , y ? 0 0 ? x , y ? x0 , y0 ?复变函数的导数dw f ?z ? ? f ?z0 ? ? lim dz z?z0 z ? z0解析函数 在 在z0 点， 及其某一邻域内的每一点可导。D区域，处处可导。连续、可导、解析三者关系 在z0 点， 如可导，则连续。z ? z0lim ? f ?z ? ? f ?z 0 ?? ?dw lim ?z ? z 0 ? ? 0 dz z ? z0z ? z0lim f ?z ? ? f ?z0 ? ? 0在z0 点， 如解析，则可导。 z0 点，连续、可导、解析三个条件依次变强。D区域，可导与解析等价。即在 而在柯西---黎曼方程? ?u ?v ? ? ?x ? ?y ? ?u ?v ? ? ? ? ?y ?x ?可导、解析、柯西---黎曼方程三者关系 可导的必要条件是 立。 可导的充分必要条件是 程成立。 在?u ?v ?u ?v ， ， ， 连续且柯西---黎曼方 ?x ?x ?y ?y ?u ?v ?u ?v ， ， ， 存在且柯西---黎曼方程成 ?x ?x ?y ?yD区域，解析的充分必要条件是?u ?v ?u ?v ， ， ， 连续 ?x ?x ?y ?y且柯西---黎曼方程成立。 条件 等价于 全微分 du ? 或称?u ?u ?v ?v dx ? dy ， dv ? dx ? dy 存在 ?x ?y ?x ?y?u ?v ?u ?v ， ， ， 连续 ?x ?x ?y ?yu ? u ?x, y ? ， v ? v?x, y ? 处处可微调和函数? ? 2? ? 2? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ?共轭调和函数? ??0 ? ?? ? 2u ? 2u ? ? ?x 2 ? ?y 2 ?? ??0 ? ?? ? 2v ? 2v ? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ? 0 ? ? ?? ?u ?v ? ? ?x ? ?y ? ?u ?v ? ? ? ? ?y ?x ?解析函数、调和函数、共轭调和函数三者关系 在 则Df ?z ? 解析， u ? u ?x, y ? ， v ? v?x, y ?区域，如调和，从而v 与 u 共轭、 u 与 ? v 共轭。构造解析函数 调和函数+柯西---黎曼方程 → 解析函数常用初等复变函数具有解析性第三章 复变函数积分 4 学时复变函数的积分z ? x ? iyf ?z ? ? u ? ivC : y ? y?x ?? f ? z ?dz ? ? ?udx ? vdy ? ? i ? ?udy ? vdx ? c c cz ? ?ei?f ?z ? ? re i?C : ? ? ? ?? ?i ?? ?? ? d? ? i ? r?ei ?? ?? ?d? ? f ?z ? dz ? ? re c c c复变函数可积条件 充分条件 必要条件f ?z ? f ?z ?沿曲线 沿曲线C C连续 有界柯西积分定理 如f ?z ?为在单连通区域D 内解析，CD 内任一周线，则? f ?z ?c推 论 解析函数积分与路径无关dz ? 0? f ? z ? dz ? ? f ? z ? dz c1 c2如f ?z ? 在单连通区域 D 的边界 ? （分段光滑）上连续，则? f ?z ??对多连通区域的边界dz ? 0?1? ? ?0 ? ? 1? ?，亦有? f ?z ??可表示为?0 ?1dz ? 0? f ?z ?dz ? ? f ?z ?dz ? ? f ?z ?dz ? ??2对D 内任一点 z0 ，有柯西积分公式1 f ? z0 ? ? z?i推 论 设??f ?z ? dz z ? z0f ? ?? 有限。C为简单闭曲线，D为 C的外部区域 ，如z0 在? z0 ? ?D 内，则1 z? i f ? z? ? z ? z0 dz ? ?f1 ? z? i ? ?如C ?1? ? ? ??1f ?z? 1 dz ? z ? z0 z? i f ? z? dz ? f z ? z0 f ? z? dz z ? z0f ?z? ? z ? z0 dz ? C?1 z? i 1 z? i???fCC ?1? ???? ? 0z0 不在 D 内，则f ? z? ? z ? z0 dz ? 0 ? ?C ?11 z? i 1 z? i 1 z? i 1 z? i? ? ? ? ? ?f ? z? 1 dz ? z ? z0 z? if ?z? ? z ? z0 dz ? 0 ? C?C ?1f ? z? dz ? f ? ? ? ? 0 z ? z0 f ? z? dz ? 0 z ? z0 f ??? ? 0C ?1此时 f ? z0 ? 无意义。第四章 幂级数 4 学时4―1复级数复级数?zk ?1?k ?复级数的收敛z ? ? zkk ?1 ?复级数的绝对收敛 复级数收敛的必要条件z? ? ? zkk ?1limk ??zk ? 0复级数收敛的充分条件 复级数收敛的充分必要条件?zk ?1?k收 敛n? p1对任意小? ，有 N； n? N ， 当k ? n ?1?zk??2?xk ?1?k、?yk ?1?k收 敛复级数绝对收敛的必要条件??zk ?1?k收 敛复级数绝对收敛的充分必要条件?xk ?1k、?yk ?1?k收 敛4―2复函数级数?复函数级数? f ?z ?k ?1 k复函数级数的收敛 对任意小在z0 点f ?z ? ? ? f k ?z ?k ?1?? ，有 Nn k ?1 k（与z0 点有关） ；当 n ? N，? f ?z ? ? f ?z ? ? ?复函数级数的一致收敛 对任意小在D区域? ，有 Nn k ?1 k（与z0 点无关） ；当 n ? N，? f ?z ? ? f ?z ? ? ?复函数级数一致收敛的充分必要条件 对任意小?，有 N （与n? pz0 点 无关） ；当 n ? N，k ? n ?1? f ?z ? ? ?k复函数级数基本性质-------------------------如f k ?z ? ? M k ， 且?Mk ?1?k收敛则? f ?z ?k ?1 k?在D区域绝对且一致收敛--------------------------在D区域，如 则f k ? z ? 连续， 且f ?z ? 连续? f ?z ?k ?1 k?一致收敛--------------------------沿 C 曲线， 如?f k ? z ? 连续，且?? f ?z ?k ?1 k一致收敛则? f ? z ?dz ? ? ? f k ? z ?dz k ?1 c cD区域，---------------------------在?如 则f k ? z ? 解析，且? f ?z ?k ?1 k一致收敛f ? z ? 解析f?n ??z ? ? ?k ?1?fk?n ??z ?常用级数1 ? ln k k ?1?1 ?k k ?1?1 ? ak k ?1?1 ? k! k ?1?1 ? k ln p k k ?2 1 ?kp k ?1? ??p ?1 p ?1收 敛p ?1 p ?1发 散收 敛发 散sin k ? kp k ?1 cos k ? kp k ?1?p?0 p?0收 敛收 敛4―3复幂级数ck z k ?k ?0在 在?z ?R z ?r ?R收 敛 绝对一致收敛收敛半径R ? limk ??ck ck ?1R ? lim ckk ???1kR ? 0, R0 ,??级数收敛判别法k ??ck ?1 z k ?1 lim ?1 ck z k收 敛?1 ?1k 1 k不 定 发 散k ??lim ckz?1 ?1 ?1收 敛 不 定 发 散4―4幂级数展开对f ? z ? ， 如 z0 非奇点， 在z ? z0 ? RTaylor 级数f ? z ? ? ? ckk ?0?? z ? z0 ?kck ?f?k?? z0 ?k!对f ? z ? ，如 z0 孤立奇点， 在 r ? z ? z0 ? RLaurent 级数f ?z ? ?ck ? 1 2?ik ?????ck? z ? z0 ?kf ?? ? ? ?? ? z0 ?k ?1 d? ?闭合曲线?：z ? z0 ? ?r???R对f ? z ? ， 如 z0 非奇点k ? 0 时，由柯西积分公式f ? z0 ? ?1 2?i??f ?z ? dz z ? z0f?k ??z0 ? ? k!1 2?if ?z ? ? ?z ? z0 ?k ?1 dz ?1 f ?? ? f ?k ? ?z0 ? ck ? ? ?? ? z0 ?k ?1 d? ? k! 2?i ?k ? 0 时，由解析函数性质ck ?1 f ?? ? ? ?? ? z0 ?k ?1 d? ? 0 2?i ?4―5复函数的零点与奇点f ?z ?复函数的零点z z2z3sin ze?1ze ?1z复函数的奇点1z1z21 3 sin z z z1ez1ez ?1 ? ?g ? z? ? 1奇点分类f? z?无穷远点性质f ?z ?g ? z? ? 1f? z?4―6幂级数求和?k ?0?ck ? z ? z 0 ? ? f ? z ?k第五章 留数定理及应用简介 2 学时留数定义f ? z ? 解 析，0 ? z ? z0 ? Rz0C：孤立奇点，z ? z0 ? r ? Rk ? ??f ?z ? ???ck? z ? z0 ?kRes f ?z0 ? ? c?11 ? 2?if ? z ? 解 析，? f ?z ?Cdz------------------------------R ? z ? ???C：孤立奇点，R ? z ? r ? ??f ?z ? ?k ? ????ck?z ?kRes f ?? ? ? ?c?1? 1 2?iC?? f ?z ?dz留数定理?D周 线 包围区域 奇 点zkn k ?1n? Res f ?zk ? ?k ?1 k1 ? f ?z ? dz 2?i ?? Res f ?z ? ? Res f ??? ? 0留数计算 留数理论应用第六章 付里叶级数6―1 付里叶（ Fourier）级数（复数形式）?f ?z ? ?k ? ???ckzkD：令1? ? ? r ? z ? R ?1? ?z ? ei?? ? 1 ， 0 ? ? ? 2?g ?? ? ?则k ? ????ck eik?如 而g * ?? ? ? g ?? ?e ik?是区间0 ? ? ? 2? 上的正交完备函数族2?故1 ck ? 2?? g ?? ?0e? ik?d?c?k ? ckc0 ? c从而** 0g ?? ? ??k ? ????ck eik??? c0 ? ? ck ?cosk? ? i sin k? ? ? ? ck ?cosk? ? i sin k? ?* k ?1 ? k ?1 ?? c0 ? ? ck ? ckk ?1 ??*? cosk? ? i? ?ck ?1 ? k ?1k? ck*? sin k?? a0 ? ? ak cosk? ? ? bk sin k?k ?1令g ?? ? 2? ? ? g ?? ?可将g ?? ?解析开拓到区间? ? ? ? ? ??ck ? Ak ? iBkck ? Ak ? iBk*ak ? ck ? ck ? 2 Ak*bk ? ck ? ck i ? ?2Bk*??1 a0 ? 2?2?? g ?? ?0d?1 ak ? 2? ? 12?? g ?? ?0ik? ? ? ? ik? ?e ?d? ?e ? ? ? ? c o k?d? s2??? g ?? ?0i bk ? 2?? 12?? g ?? ?0ik? ? ? ? ik? ?e ?d? ?e ? ? ? ?s i k ?d ? n2??? g ?? ?06―2付里叶级数（实数形式）g ?? ? ? a0 ? ? ak cosk? ? ? bk sin k?k ?1 k ?1??1 a0 ? 2?2?? g ?? ?0d?ak ?12??1? g ?? ?0cos k? d?2?bk ??? g ?? ?0sin k? d?令? ??lx0 ? x ? 2l0 ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ??? l ? x ? ?lF ?x? ? g ?? ? ? f ?z ?F ? x ? ? a0 ??k ?1?? ak cosk x ? l?k ?1?bk sin k? x l1 a0 ? 2l?l?l? F ?x ?dx1 ? ak ? ? F ?x ? cos k x dx l ?l l 1 ? bk ? ? F ?x ? sin k x dx l ?l l?l?l付里叶级数收敛充分条件 ―― Dirichlet 定理? l ? x ? ?lF ?x ?连 续 有限个极值点 有限个间断点xk xkF ? xk ? 0 ? ? F ? xk ? 0 ? 2不连续F ? xk ? ??? ? x ? ? ?F ?x ? 2l ? ? F ?x ?则 F ? x ? 可展为F ? x ? ? a0 ??k ?1?? ak cosk x ? l?k ?1?bk sin k? x l付里叶级数收敛充分条件（严格）? l ? x ? ?lF ?x ?连 续 绝对可积? ? ? x ? ?? F ?x ? 2l ? ? F ?x ?例 题? ? ? x ? ???x ? ? sin x Fx例 题??2?x???2?? ? F ?x ? ? tg ? ? x ? ?2 ?例 题? l ? x ? ?l1 1 F ? x ? ? sin ? sin 2 x ? sin ? x x x F ? x? ? 0 ? x ? k? k?1 ?? 2 x?x 1 ? ? ?xx?k? 1 ? ? k?1 ? k ? ?? ?l x?0 ? ?? k ??常用付里叶级数正弦波（奇）F ?x ? ??k ?1?? bk sin k x l余弦波（偶）F ? x ? ? a0 ??k ?1?? ak cosk x l锯齿波F ? x? ? x2l ? ?? 1? F ?x ? ? ? k ? k ?1矩形波（奇）k ?1? l ? x ? ?l? sin k x l??1 F ? x? ? ? ??10 ? x ? ?l ?l ? x ? 04 ? 1 ? F ?x ? ? ? 2n ?1 sin?2n ?1? l x ? n ?1三角波（奇）? 2a ? ? l ?x ? l? ? ? 2a x ? F ? x? ? ? l ? 2a ? ? ?x ?l? l ? ? ?n ?1?l ? x ? ? l2? l ?x?? l 2 2 ? l ? x ? ?l 28a ? ?? 1? ? F ?x ? ? 2 ? sin?2n ? 1? x 2 l ? n?1 ?2n ? 1?三角波（偶）? 2a ?? l ? x ? l ? ? ? ? 2a x ? l F ? x? ? ? ? ? 2a x ? l ? 2a ?? ?x ?l? ? l?l ? x ? ? l ?l 22? x?0 20? x?? l ? l 2? x ? ?la 16a ? 1 ? F ?x ? ? ? 2 ? cos?4n ? 2? x 2 2 ? n ?1 ?4n ? 2? l半波整流0 ? V ?? ?V0 sin ?tV 2V V? ? 0 sin ?t ? 0 ? 2 ?全波整流V0?n ?1?1 cos2n?t 2 1 ? ?2n??? V0 sin ?t V ?? ?? V0 sin ?tV?2V0??4V0??n ?1?1 cos2n?t 2 1 ? ?2n ?付里叶级数的频谱F ?t ? ? a0 ??ak ?1?kcosk?t ??bk ?1?ksin k?tx ?tT ? 2l??2? ? ? T lak 、 bk ～ k? 、 k通 常 白噪声ak , bk ? 0ak 、 bk ～常数付里叶级数的积分F ?x ??如分段连续? l ? x ? ?lF ?x ? ??k ?1? ak cosk x ? l?k ?1?bk sin k? x l?则?k ?1?? ? ? ? ? ak cosk x ? bk sin k x ? ? l l ? ? ??l? F ?x ??lxdx1 ? ? ? xF ?x ?dx 2l ?l ??k ?1 ?l ? ? ? ? ? ak sin k x ? bk cos k x ? k? ? l l ?或 者F ? x ? ? a0 ??k ?1?? ak cosk x ? l?k ?1?bk sin k? x l? a0 ??k ?1?? ? ? ? ? ak cosk x ? bk sin k x ? ? l l ? ? ??l? F ?x ?xdx?? a0 ? x ? l ? ? ?k ?1l ?? 1? bk k?k??k ?1?l k?? ? ? ak sin k x ? bk cos k ? l l ?? x? ?付里叶级数的微分F ?x ?如连续? l ? x ? ?lF ?? x ? 绝对连续F ? x ? ? a0 ??k ?1?? ak cosk x ? l?k ?1?bk sin k? x l? a0 ?则?k ?1?? ? ? ? ? ak cosk x ? bk sin k x ? ? l l ? ? ?F ?? x ???? k? ? ? k? ? ? k F ?l ? ? F ?? l ? ? ? ? ?? bk ? ?? 1? cosk x ? ? ak ? sin k ? l l l l ? ? l ? k ?1 ???F ?l ? ? F ?? l ? ? 2l? x? ?如F ?l ? ? F ?? l ? ? 0则F ??x ? ? ?k ?1?k? ? ? ? ? ? bk cos k x ? ak sin k x ? l ? l l ?有限区间上的付里叶级数――解析延拓F ?x ?平移延拓0 ? x ? ?lF ?x ? l ? ? F ?x ?奇延拓T ?l T ? 2l T ? 2l? ? ? x ? ?? ? ? ? x ? ?? ? ? ? x ? ??F ?? x ? ? ? F ?x ?偶延拓F ?? x ? ? F ?x ?第七章 付里叶积分7―1 付里叶积分g ?? ? ?1 ck ? 2?k ? ??2??0?ck eik?? ik?? g ?? ?ed?F ? x ? ? a0 ??l?k ?1?? ak cosk x ? l?k ?1?? bk sin k x l1 ? ak ? ? F ?x ? cos k x dx l ?l l 1 ? bk ? ? F ?x ? sin k x dx l ?l l?lf ?x ? ? F ?? ? ??2? ? ?1 21??F ?? ? ei?x f ? x ? e ?i?xd??? ???2? ? ?1 21dx??x, ? 为实数， f ? x ? 一般为实数， 般为复数。F ?? ? 一付里叶变换F F? f ?x ?? ? F ?? ??1?F ?? ?? ? f ?x?常用函数的付里叶变换1?函 数? ?x ? ?1 ? 2??2? ? ? ?2? ?1 2 ??1??11ei?x2d??????ei?xd?F ?? ? ? ?即1?? 1 2?2? ?2???? ? x ?e i?x d?1?2? ?1F F? ? 1 ? ?x ? ? ? ? 1 ?2? ? 2 ? ??1? 1 ? ? ? ?x ? ? 1 ? ? ?2? ? 2 ? ? ?2Gauss 函 数F3? ? ax 2 ? e ?常数函数? 1 ? e ? 1 ?2a ? 2 ???24af ?x ? ? 1?? ? x ??1 ? ? 1 ? ? ?2? ? 2 ? ?? ? F ? ? ?4框形函数f ?x ? ? 1?b ? x ? b? ? ?2? 1 ??? ? F ? ? ? ?? ?付里叶变换主要性质 线性性质 位移性质 相似性质 微分性质 积分性质 乘积定理 能量性质 相关函数12sin b??互相关函数R12 ?? ? ? R?? ? ????? ???f1 ?t ? f 2 ?t ? ? ? dt f ?t ? f ?t ? ? ? dt自相关函数???R?? ? ??????F ?? ?2ei?? d?7―2卷 积卷积定理 （convolution theorem）定 义f ?x ? ? g ?x ? ?????? f ?x ? X ? g ? X ??? ??dXF ?? ? ? G?? ? ??F ?? ? ?? G??? d?结 论? f ?x? ? g ?x?? ? ?2? ? 2 F ?? ?G?? ? 1 F ??2? ? 2 f ?x ?g ?x ?? ? F ?? ? ? G?? ?F1?函 数广义函数定 义? ?x ? ? ??? x ?0 0 x?0?????? ?x ? dx ? 1性 质? ?x ? x0 ? ? ???? ? x ? x0 x ? x0 0???? ?x ? x0 ? dx ? 1? ?x0 ? x? ? ? ?x ? x0 ??????? ?x ? x0 ? f ?x ? dx ? f ?x0 ?表 示1 sin kx ? ? x ? ? lim k ??? ? x1 ? ?x ? ? 2?物理意义 力 学 质 点?????ei?xd?? ? m? ?x ???M ????? dl ??????m? ?x ? dx ? m电 学点电荷? ? q? ?x ???Q????? dl ??????q? ?x ? dx ? q光 学点扩散函数I ??x?? ? h?x ? ? I ?x ?I ??x?? ??????h?x? ? x ? I ?x ? dxh?x ? ? ? ?x ?I ??x?? ??????? ?x ? x?? I ?x ? dx ? I ?x??第八章 拉普拉斯变换1 f ?t ? ? F ?s ? e st ? 2?i ? ?i? F ?s ? ???? ?i?ds?0f ?t ? e ? stdtg ?t ? ? f ?t ?e??tF ?g ?t ,? ?? ? G??, ? ?s ? ? ? i?F?1?g ?t ?? ? G?s ?F ?G?s ?? ? g ?t ?拉普拉斯（Laplace）变换L?1? f ?t ?? ? F ?s ?L ?F ?s ?? ? f ?t ?f ?t ? ? g ?t ? ? G?s ? ? F ?s ?第二篇 第九章9-1 常微分方程数学物理方程（26 学时）数理方程的预备知识常微分方程y ? y?x ? y? ? a? x ? y?? ? a?x? a?x?y?? ? b?x?y? ? c?x?y ? d ?x? ? 0? a1 ?x ? y? ? b1 ?x ? y ? c1 ?x ?z ? d1 ?x ? ? 0 ? ?a2 ?x ?z? ? b2 ?x ? y ? c2 ?x ?z ? d 2 ?x ? ? 0???2 ? a?x? ?y定解条件y? ? a? x ?dy ? a?x ? dxdy ? a?x ?dx a? x ? ? xy ? ? a ? x ?dx1 2 y ? x ?C 2y x ? x ? y001 2 C ? y0 ? x0 2y x ? x ? y00如 如x x表示坐标，称边界条件，通常 表示时间，称初始条件，通常x0 x0取区间边界。 取时间零点。偏微分方程? ? ? ?x, y, z ?? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2 ? ? 2 2 ? ?x ?y ?z ?? ??0 ? ?9-2二阶常微分方程的级数解法y?? ? P?x?y? ? Q?x?y ? 0y ? x ? ? ? ckk ?0 ?xky ? c0 y0 ?x? ? c1 y1 ?x?微分方程的解析解、级数解、数值解例 题勒让德（Legendre）方程?1? x ?y?? ? 2xy? ? l?l ?1?y ? 022x l ?l ? 1? y?? ? y? ? y?0 2 2 1? x 1? xy ? x ? ? ? ckk ?0?xk ?1ky??x ? ? ? kck xk ?0 ??? ? ?k ? 1?ck ?1 xk ?0 k ?2 ??ky???x ? ? ? ?k ??k ? 1?ck xk ?0? ? ?k ? 2??k ? 1?ck ? 2 xk ?0k?k ?0?Ckx ?0kCk ? 09-2本征值问题Sturm C Liouville 方程d ? dy ? ?k ?x ? dx ? ? q?x ? y ? ?? ?x ? y ? 0 dx ? ?算 符? ? ? d ?k ? x ? d ? ? q? x ? L dx ? dx ? ? ?本征方程? L y ? ?? ? x ? y本征值?y?x ?本征函数Sturm C Liouville简谐方程方程的常见形式d ? dy ? ? dx ? ? ?y ? 0 dx ? ?贝赛尔方程0 ? x ?1d ? dy ? m2 ? x dx ? ? x y ? ?xy ? 0 dx ? ?球贝赛尔方程0?x?ad ? 2 dy ? x ? l ?l ? 1?y ? ?x 2 y ? 0 dx ? dx ? ? ?勒让德方程0?x?ad ? 2 dy ? ? 1 ? x dx ? ? ?y ? 0 dx ? ?连带勒让德方程???1 ? x ? 1d ? dy ? m2 1? x2 ? ? ? 1 ? x 2 y ? ?y ? 0 dx ? dx ? ?1 ? x ? 1????边界条件齐次边界条件B1 y?b? ? B2 y??b? ? 0周期边界条件A y?a ? ? A2 y??a ? ? 0 1y?a ? ? y?b?y??a ? ? y??b?自然边界条件y?a ? ? My?b? ? M本征值问题 = 本征方程 + 边界条件Sturm C Liouville 本征值问题的主要结果条 件k ? x? q ? x?? ? x?结 果 1. 本征值存在 实 数??02.0 ? ?0 ? ?1 ? ? ? ?k ? ?lim ?k ? ??k ??3. 如齐次边界条件 本征值yk ? x ? 有 k?k 、本征函数 yk ?x ? 一一对应个零点a ? x?b4.如周期边界条件一个本征值可与多个本征函数对应 一一 即简并5.yk ?x ? a ? x ? bf ?x ? ? ? ckk ?0 ?构成正交完备函数系，即yk ? x ?5.??0A1 A2 ? 0B1B2 ? 0??0y0 ?x ? ? 16.?连 续第十章偏微分方程 10-1――偏微分方程常见形式数学物理方程物理形式拉普拉斯方程 （Laplace）u ? u ?x, y, z ?? ? 2u ? 2u ? 2u ? ? 2 ? 2 ? 2 ??0 ? ?x ?y ?z ? ? ?波动方程u ? u ?x, y, z, t ?? 2u ?t 2输送方程? ? 2u ? 2u ? 2u ? a2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 0 ?y ?z ? ? ?xu ? u ?x, y, z, t ??u ?t? ? 2u ? 2u ? 2u ? a2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 0 ?y ?z ? ? ?x麦克斯韦电磁波方程（Maxwell）? ?2 E 1 ?2 E ? ?t 2 ? ? u ?x 2 ? 0 ? ? 2 ? H 1 ?2 H ? ? ?0 2 ? ?t 2 ? u ?x ?薛定谔方程（Schrodinger）? ? ? ?x, y, z, t ??? h 2 ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2 ? 2 ? 2 ih ?? ?t 2m ? ?x ?y ?z ? ? ? ? U ?x, y, z ? ? ? ?10-2数学形式10-3基本例题1．u ? u ,x ? y ??u ? f ? x? ?y2．u ? u ,x ? y ?? 2u ?0 ?x?y3．u ? u ?x, y, z ?? ? 2u ? 2u ? 2u ? ? 2 ? 2 ? 2 ??0 ? ?x ?y ?z ? ? ??u ? 04．u? u ? ? x? 2u ?0 2 ?x5．u? u ? ? x? 2u ?0 2 ?x6．u ? u ? r ,? , ? ?1 ? 2? 1 1 ? ? 1 ?2 ? ? 2 (r ) ? 2 [ (sin ? ) ? 2 ] 2 r ?r ?r r sin ? ?? ?? sin ? ???u ? 07．u? u ? ? r1 ? 2 ? (r )?0 2 r ?r ?r8．u ? u?x, y, z, t ?2 ? 2u ? 2u ? 2u ? 2?? u ?a ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 0 2 ?t ?y ?z ? ? ?x9． 行波法u ? u ? x, t ??? ? x ? ??? 2u ? 2u ? a2 2 ? 0 ?t 2 ?x10. 行波法u ? u ? x, t ?0? x?l? 2u ? 2u ? a2 2 ? 0 ?t 2 ?x11．分离变量法u ? u ,x ? t ?0? x?l? 2u ? 2u ? a2 2 ? 0 ?t 2 ?x第十一章偏微分方程的应用例 题 1 例 题 2薛定谔方程--氢原子中的电子 波动方程―导体空腔中的电磁波偏微方程 分离变量 本征方程 级数解法定解条件特殊函数1微观粒子 1926 薛定谔 波动力学状态函数? ? ? ?x, y, z, t ?薛定谔方程?? h2 ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2 ? 2 ? 2 ih ?? ?t 2m ? ?x ?y ?z ?哈密顿算符? ? ? U ?x, y, z ? ? ? ?h 2 ? ?2 ?2 ?2 ? H ?? ? 2 ? 2 ? 2 2m ? ?x ?y ?zh2 ?? ?2 ? U 2m? ? ?U ??2 ?2 ?2 ? ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ?x ?y ?z含时薛定谔方程?? ? ih ? H? ?t2氢原子中的电子e2 ? U ? U ?r ? ? ? r? ? ? ?r ,? , ? , t ?物理算符? 2 ? 2 ? ?? 2 1 ? ? 1 ?2 ? H ? ? 2 (r ) ? [ (sin ? ) ? 2 ] ? U (r ) 2 2 2mr ?r ?r 2mr sin ? ?? ?? sin ? ??? ? pr2 L2 ? ? ? U (r ) 2 2m 2mr 1 ? 2 ? ? r2 ? ?? 2 2 p (r ) ?r r ?r1 ? ? 1 ?2 ? L2 ? ??2 [ (sin ? )? 2 ] 2 sin ? ?? ?? sin ? ???2 ? L2 ? ?? 2 z ?? 2? ? ?i? ? Lz ??分离变量? ? ? ?r ,? , ? , t ?? ? ? ? r ? r ,? , ? ?f ?t ?? ? R ? r ? Y ?? , ? ? f ? t ?? ? R ? r ? ? ?? ? ? ?? ? f ? t ?? ? r ? R ? r ? Y ?? , ? ?Y (? , ? ) ? ?(? ) ?(? )本征方程?? ? i? ? H? ?t? ? ? ? r ? r ,? , ? ?f ?t ?i?1 df 1 ? ? ? H? r ? E ? f dt ?rdf ?E dt fi?? ? ? H? r ? E? ri?df ?E dt?ifE t ?f ?t ? ? Ce? ? ? H? r ? E? r本征方程---定态薛定谔方程? r? ? ? nlm ? r,? ,? ? ? Rnl ? r ? Ylm ?? ,? ?? ? ? H? r ? E? r? ? r ? R ? r ? Y ?? , ? ?? ? pr2 ? ? L2 ? ? U (r ) ? R ? r ? Y ?? , ? ? ? ER ? r ? Y ?? , ? ? ? 2 ? 2m 2mr ?R ?r ? ? ? ? ? pr2 Y ?? , ? ? R ? r ? ? 2 L2Y ?? ,? ? ? U (r ) R ? r ? Y ?? , ? ?? ? ER ? r ? Y ?? ,? ? ? 2m 2mr ? ?? ? pr2 ? R ? r ? L2Y ?? , ? ? ? R ?r ? ? ? U (r ) R ? r ? ? ? ER ? r ? ? 2m 2mr 2 Y ?? , ? ? ? ? ? ?? R ? r ? L2Y ?? , ? ? ? pr2 R ? r ? ? U (r ) R ? r ? ? ER ? r ? ? ? 2m 2mr 2 Y ?? , ? ? ? ? pr2 R ? r ? L2Y ?? , ? ? 2 ?r ? 2mr ? E ? U (r ) ? ? R ?r ? Y ?? , ? ?2? ? pr2 R ? r ? L2Y ?? , ? ? 2 2 ?r ? 2mr ? E ? U (r ) ? ? ? L2 R ?r ? Y ?? , ? ?L2 ? l ? l ? 1? ?2? ?r 2 pr2 R ? r ? ? 2mr 2 ? E ?U (r )? R ? r ? ? L2 R ? r ?? L2Y ?? , ? ? ? L2Y ?? , ? ?d 2 d ? (r ) R ? r ? ? 2mr 2 ? E ? U (r ) ? R ? r ? ? L2 R ? r ? dr dr2R ? r ? ? Rnl ? r ?? L2Y ?? , ? ? ? l ? l ? 1? ?2Y ?? , ? ?Y (? , ? ) ? ?(? ) ?(? )? ? ?2 ??2 [sin ? (sin ? )?(? )?(? ) ? ?(? )?(? )] 2 ?? ?? ?? ? L2 sin 2 ??(? )?(? )sin ? d d? 1 d 2? 2 ?2 (sin ? ) ? L2 sin 2 ? ? ??2 ? Lz 2 ?(? ) d? d? ? d?d d? ? sin ? (sin ? ) ? L2 sin 2 ? ?(? ) ? L2 ?(? ) z d? d?2d 2? 2 ??2 2 ? Lz ? d?Y (? , ? ) ? Ylm (? , ? ) ? ?lm (? ) ? m (? )1 im? ? m (? ) ? e 2?此 外? Lz ?(? ) ? Lz ?(? )? LzY ?? , ? ? ? LzY ?? , ? ? ? Lz? r? ? r,? , ? ? ? Lz? r? ? r,? , ? ? ? Lz? ? r ,? , ? , t ? ? Lz? ? r ,? ,? , t ?? L2Y ?? , ? ? ? L2Y ?? , ? ?? L2? r? ? r ,? , ? ? ? L2? r? ? r ,? , ? ?? L2? ? r ,? , ? , t ? ? L2? ? r ,? , ? , t ?? ? ? H? r ? E? r ? H? ? E?方程通解? ? ? nlm ? r ,? , ? ? f n ? t ?? ? Rnl ? r ? Ylm ?? , ? ? f n ? t ?? ? Rnl ? r ? ?lm (? ) ? m (? ) f n ? t ?本征函数En t ?f? t ? ? Ce?iR ? r ? ? Rnl ? r ?Y (? , ? ) ? Ylm (? , ? ) ? ?lm (? ) ? m (? )? m (? ) ?1 eim? 2?? ? r ? ? nlm ? r ,? , ? ? ? Rnl ? r ? Ylm ?? , ? ?本征值1. 能量算符? HE1 n2E确 定E??n ? 1,2,?能量量子数能 量2. 角动量平方算符? L2l ? 0,1,?, n ? 1角量子数L?l ?l ? 1?h角动量大小 3. 角动量分量算符L 确 定? Lzml ? 0,?1,?,?l磁量子数Lz ? ml h角动量分量Lz确 定归一化的径向波函数为Rnl (r) ? Nnl? l e?? / 2 F ? ?n ? l ?1,2l ? 2,2? ? ， ? ?N nl ? 1 (n ? 1)! l ?3/ 2 ? 2? n ? a03/ 2 ? 2l ? 1?! 2n(n ? l ? 1)!(r )? r 2 dr ? 122r na? ?R0?nl? ? ? H? r ? E? r量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 例如中心力场中 的粒子，l 的三个分量都守性，但由于 l?x , l?y , l?z 不对易，一般说来它们并 不能同时取确定值（角动量 l=0 的态除外）?2 ? l , l?x , l?y , l?z 皆不显含时间，? ? 又 [ H , l? 2 ] ? 0 ， [H , l?? ] ? 0 ?(? ? x, y, z )所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量 (l? 2 , l?x , l?y , l?z ) 都是守恒量。? ? ? ? 角动量算符 l ? r ? p ? ?i?r ?? ? lx ex ? l y e y ? l z ez ? ? ? ? ? ? ? ??? l? 在直角坐标中的三个分量可表示为? ? ? ? l?x ? ypz ? zp y ? ?i?( y ? z ) ?z ?y? ? ? ? l?y ? zpx ? xpz ? ?i?( z ? x ) ?x ?z? ? ? ? l?z ? xp y ? ypx ? ?i?( x ? y ) ?y ?x? ? l?x ? i?(sin ? ? ctg? cos ? ) ?? ?? ? ? l?y ? ?i?(cos ? ? ctg? sin ? ) ?? ??? l?z ? ?i? ??1 ? ? 1 ?2 ? L2 ? ??2 [ (sin ? )? 2 ] 2 sin ? ?? ?? sin ? ??? ? l?x , l?y , l?z 和l 2 只与?,? 有关，与 r 无关，而且 l?z 只与? 有关。?2 ?2 ?2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ?x ?y ?z2?1 ? 2 ? 1 ? ? 1 ?2 (r )? 2 (sin? )? 2 ?r r sin ? ?? ?? r 2 ?r r sin 2 ? ?? 2或? ? ? ? pr2 pr2 l? 2 l? 2 ? ?? 2 ? 2 2 ?? 2 ? 2 2 ? ?r ? ?r2? 其中 p r ?? ? 1 1 ? 2 ? ? ? ( ? ), p r2 ? ?? 2 2 (r ) ， p r 可称为径向动量算符。 i ?r r ?r r ?r在球坐标系中， l? 2 只与?, ?有关，所以 Y ? Y (? , ? ) ，则?? 2 [??? 1 ? ? 1 ?2 (sin ? )? 2 ]Y ? l 2Y sin ? ?? ?? sin ? ?? 2(6)令 l 2 ? ? ?2 ， Y (? , ? ) ? ?(? )? (? ) ，其中?(?)只是?的函数， ?(?)只是?的 函数，由(6)式可得?[sin ?? ? ?2 (sin ? )?(? )? (? ) ? 2 ?(? )? (? )] ? ? sin 2 ??(? )? (? ) ?? ?? ?? sin ? d d? 1 d 2? 令 2 2 (sin ? ) ? ? sin ? ? ? ?m ?(? ) d? d? ? d? 2?? 2 l? 2 的本征值为 l(l+1)? ，所属的本征函数为 Ylm(?,?)，l ? 0,1,2,? ； m ? 0,?1,?,?lYlm(?,?) 正交归一条件为： ?0??2?0* Ylm (? , ? )Yl?m? (? , ? )sin ? d? d? ? ? ll?? mm?说明： (1)、由上面结果可知 l? 2 的本征值为 l(l+1)?2 ，所属的本征函数为 Ylm(?,?)，??2 l? Ylm (? , ? ) ? l (l ? 1)? 2Ylm (? , ? ) ，m ? 0,?1,?2,?l ? 0,1,2,?显然， l 2 ? l (l ? 1)?2 只能取 0,2? 2 ,6? 2 ,?, 一系列离散值，由于 l 是表征角 动量的大小，所以称 l 为角量子数。 (2)、 l?zYlm (? ,?) ? m?Ylm (? ,?) Ylm(?,?)即是 l? 2 的本征函数，也是 l?z 的本征函数，其相应的本征值分别 为 l(l+1)?2，m?。即球谐函数 Ylm(?,?)是 (l? 2 , l?z ) 的共同本征态 (3)、我们把一个本征值只对应一个本征函数的情况称为非简并；把 对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并， 把对应于同 一本征值的本征函数的数目称为简并度。 l? 2 的本征值是(2l+1)度简并 的。 1. lz 本征函数 角动量算符 l?z 的本征函数? m (? ) ?1 im? e 2?(m ? 0,?1,?2,?)???组成正交归一系：?2?0* ? m (? )? m? (? )d? ? ? mm?(7)?2 2. l 本征函数? 角动量平方算符 l 属于本征值 l (l ? 1)? 的本征函数 Ylm22Ylm (? , ? ) ? N lm Pl (cos? )e im?m组成正交归一系：??0?2?0* Ylm (? , ? )Yl ?m (? , ? ) sin ?d?d? ? ? ll?(8)(7)和(8)可合写为??0?2?0* Ylm (? , ? )Yl?m? (? , ? ) sin ?d?d? ? ? ll?? mm?(9)第二节 波函数氢原子的波函数氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决 定于核对它的吸引，它的 Schr?dinger 方程可以精确求解。能够精确求解的还有类氢离子，如 He 、Li 离子等。 为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ (x，，) 改换成球极坐标表示的ψ (r θ， yz , φ)，二者的关+ 2+系如图 8-3 所示：r 表示 P 点与原点的距离，θ、 称为方位角。 φ x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ解出的氢原子的波函数ψ n,l,m(r,θ， φ)及其相应能量列于表 8-1 中。图 8-3 直角坐标转换成球极坐标 表 8-1 轨道 1s A 1e 氢原子的一些波函数及其能量 ψ n，l，m(r,θ , φ ) R n，l (r) A1e-B r Y l，m (θ , φ ) 能量/J -2.18×10-18-B r2s A2re-B r / 2A2re-B r / 2-2.18×10-18/222pz A3re-B r / 2A3re-B r / 2 cosθ cosθ-2.18×10-18/222px A3re-B r / 2A3re-B r / 2 sinθ cosφ sinθ cosφ-2.18×10-18/222py *A3re-B r / 2A3re-B r / 2 sinθ sinφ sinθ sinφ-2.18×10-18/22A1、A2、A3、B 均为常数为了方便起见，量子力学借用 Bohr N H D 理论中“原子轨道” (atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。例如：Bohr N H D 认为基 态氢原子的原子轨道是半径等于 52.9 pm 的球形轨道。而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ 1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中 A1 和 B 均为常数，它说明ψ 1 S 在任意方位角随离核距离 r改变而变化的情况， 它代表氢原子核外 1s 电子的运动状态， 但并不表示 1s 电子有确定的运动轨 道。1s 电子具有的能量是-2.18×10 J。氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如ψ 2s(r, θ,φ)、 (r,θ,φ)等，相应的能量是-5.45×10 J。-19 -18一维定态薛定谔方程? 2 ? 2? ? ? U? ? E? 2 2m ?xII物质的波动性――波动力学24-4 德布罗意波假设 1924 德布罗意实物 辐射粒子性 波动性? ? hE?? hp波函数? ? ? 0ei2? ? px ? Et ? h24-5 电子衍射实验 1927 戴维孙、革末 电子在镍晶体表面散射，衍射。 1927 P.汤姆逊 1929 斯特恩 1931 约翰逊 1961 约恩孙 电子通过多晶薄膜透射，衍射。 氦原子通过金箔透射，衍射。 氢原子（分子）通过金箔透射，衍射。 电子的单缝、双缝、三缝衍射、干涉。24-6 波函数的物理意义 1926 玻 恩 统计解释 概率密度? ??24-7 不确定关系 19272海森堡 不确定关系式h ?p ? ?x ? 4? h ?E ? ?t ? 4?量子力学建立 26 海森堡 矩阵力学 薛定谔 波动力学 狄拉克 量子力学III原子理论24-9 早期原子理论1904J.Thomson蛋糕模型(1897，发现电子) 原子大小约 0.1nm，均匀带正电。电子带负电， 嵌于原子内， 电子以一定频率振动，发射线光谱。 1911 E.卢瑟福 原子大小约 1911？ 长 冈
N. 波 尔 量子力学 有核模型10?10 m ，内有硬核，大小约 10?15 m 。行星模型 轨道模型 电子云模型原子基本性质 有限性 24-10 玻尔原子理论 能 量 电中性 稳定性 线光谱E??E1 n2n ? 1,2,?量子数m e4 E1 ? ? hcRH ? 13.6eV 2 8? 0 h2角动量 轨道半径氢原子基态能量L ? nhr ? n2r 1波尔半径? 0h2 r ? ? 0.529?10?10 m 1 2 ?m e24-11 量子力学的原子理论 电子波函数? ? ? ?x, y, z, t ?? ? R?r ???? ???? ? f ?t ?概率密度 电子云 无轨道 主要物理量 1. 位 置 2. 动 量? ??2? r? p不确定 不确定仅知概率 P?r ? 仅知概率 P ? p ???3. 能 量E确 定E??E1 n2n ? 1,2,?能量量子数4. 角动量大小L 确 定L?l ?l ? 1?hl ? 0,1,?, n ? 1角量子数5. 角动量分量 Lz 确 定Lz ? ml hml ? 0,?1,?,?l磁量子数6. 自旋角动量大小 S z 确 定S?s?s ? 1?hSz 确 定s? 12自旋量子数7. 自旋角动量分量S z ? ms h8. 辐射频率ms ? ? s ? ? 1确 定2自旋磁量子数???E1 ? 1 1 ? ? 2? ? h ? m2 n ?n?m9. 轨道磁矩大小?l确 定? l ? l ?l ? 1?? B10. 轨道磁矩分量l ? 0,1,?, n ? 1 角量子数? lz确 定? lz? ?ml ? B?sml ? 0,?1,?,?l磁量子数11. 自旋磁矩大小确 定? s?s?s ? 1?? Bs? 12自旋量子数12. 自旋磁矩分量? sz确 定?sz ? ?ms ? Bms ? ? s ? ? 12 自旋磁量子数me4 E1 ? ? hcRH ? 13.6eV ? 21.76 ?10?19 J 2 2 8? 0 h氢原子基态能量?B ?eh 2m波尔磁子有确定值的物理量均是量子化的 多电子原子结构Z n ? ? 2?2l ? 1? ? 2n 2l ?0n ?1泡利不相容原理 能量最小原理《数学物理方法》课程简介课程编号：L2112113 英文名称：Methods of Mathematical Physics 学 学 分：4 时：64授课对象：光电子技术科学专业课程目标：《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数 学》 课程基础上的一门重要的应用数学类课程， 为专业课程的深入学习提供所需的数学方法 及工具。课程内容：复变函数（18 学时） ，付氏变换（20 学时） ，数理方程（26 学时）预修课程：大学物理学、高等数学。教材：《数学物理方法》 ，科学出版社，邵惠民编著。主要教学参考书：《数学物理方法》 ， 高教出版社，梁昆淼主编。 《数学物理方法》 ， 高教出版社，郭敦仁主编。 《数学物理方法》 ， 吴崇试主编。 《数学物理方法》 中国科技大学出版社，严镇军编著。 ， 《特殊函数概论》 北京大学出版社，王竹溪、郭敦仁编著。 ， 《数学物理方法学习指导》 ，科学出版社，姚端正编著。 《数学物理方法解题指导》 ，高等教育出版社，胡嗣柱、徐建军编。&Mathematics of Classical and Quantum Physics&F.W. Byron & R.W. Fuller,《数学物理方法》课程教学大纲 （Methods of Mathematical Physics）一、基本信息课程编号：L2112113 课程类别：学科基础课必修课 适用层次：本科 适用专业：光电子技术科学专业 开课学期：4 总学分：4 总学时：64 学时 考核方式：考试二、课程教育目标《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是 在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学 习提供所需的数学数学方法和工具。 因此本课程应受到相关专业学生和教师的重 视。 对实际的工程、技术、科学问题，通常需要转换为物理问题，然后利用物理 原理进一步翻译为数学问题，进一步求解该数学问题，再将得到的数学结果翻译 成物理问题，即讨论所得结果的物理意义。因此，数学是物理的语言之一， 《数 学物理方法》是联系数学和物理类及光电子类专业课程的纽带。本课程的主要任 务就是告诉学生如何将各种物理问题翻译成数学的定解问题，并了解、掌握求定 解问题的若干方法，如行波法、分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分 变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等。三、教学内容与要求 教学内容：1 复变函数部分 复变函数基本知识、复变函数积分、复变幂级数、留数定理及应用、拉普拉 斯变换简介。 2 付氏变换部分 付里叶级数、付里叶级数应用、付里叶积分、付里叶积分应用、 3 数理方程部分 数理方程的建立、数理方程的定解条件、二阶线性偏微分方程的分类、数理 方程的求解（行波法、分离变数法、其它方法） 、二阶常微分方程的级数解法、 特殊函数（球函数、柱函数） 。基本要求：1 作为光电子专业的专业基础课，本课程强调数学在物理学中的应用。 2 本课程强调对所学内容在宏观上的了解，和部分重点内容的掌握。 3 本课程包含了复变函数、付氏变换、数理方程三个相对独立部分。其中复变函 数是基础，要求了解基本思想和掌握适量的常用计算。付氏变换是本专业学生进 行专业学习和工作所必备的工具，因此对基本思想要求理解，常用计算要求熟练 掌握。数理方程部分是本课程的核心，但由于学科特点和学时所限，强调对基本 思想和重要结论的了解及掌握简单的计算。四. 各个章节学时分配第一章 复变函数 18 学时 1-1 复变函数基本知识 2 学时 1-2 复变函数积分 4 学时 1-3 复变幂级数 4 学时 1-4 留数定理及应用 2 学时 1-5 拉普拉斯变换简介 2 学时 习题 4 学时 第二章 付氏变换 20 学时 2-1 付里叶级数 4 学时 2-2 付里叶级数应用 4 学时 2-3 付里叶积分 4 学时 2-4 付里叶积分应用 4 学时 习题 4 学时 第三章 数理方程 26 学时 3-1 数理方程的建立 4 学时 3-2 数理方程的定解条件 2 学时 3-3 二阶线性偏微分方程的分类 2 学时 3-4 数理方程的求解（行波法、分离变数法、其它方法）8 学时 3-5 二阶常微分方程的级数解法 4 学时 3-6 特殊函数（球函数、柱函数）4 学时 习题 2 学时学时分配表 各个教学环节学时分配 章 节 第一章 第二章 第三章 主 要 内 容理论课 实验课 习题课 讨论课 小计备 注 14 16 24 4 4 2 18 20 26复变函数 付氏变换 数理方程合计541064五. 预修课程大学物理学、高等数学。六.成绩评定成绩评定方式：考 试 成绩结构比例：期末成绩 70%+平时成绩 30%编写人（签字） ： 审阅人（签字） ： 审批人（签字） ：赫 然编写人职称： 审阅人职称： 审批人职务： 本大纲启用日期：教 授2005 年 5月10 日吉林大学本科生公共数学课程教学大纲课程编号：-4 课程名称：数学物理方法 I-II 课程英文名称：Methods of Mathematial Physics I-II 学时数： 126 学时 学分数： 6 学分 适用专业：电子科学与工程，地球探测科学与技术，环境资源工程 开课学期：第Ⅱ-Ⅲ学期 考核方式：期末考试（命题式） 一、 本课程的性质、目的和任务数学物理方法课程是一些对数理基础要求比较高的专业， 如电子科学与工程中的 所有相关专业， 地球探测科学与技术中的地球物理学专业、 勘查技术与工程专业， 环境资源工程中的水文水资源专业、 水文地质与环境地质等专业的继高等数学之 后的一门必修学科基础课。 通过本课程的学习，要使学生获得 （1） 复变函数； （2） Fourier 变换与 Laplace 变换； （3） 数学物理方程模型的建立； （4） 数学物理方程的分离变量解法； （5） 行波法； （6） 积分变换法； （7）Green 函数法。 等方面的基本概念，基本理论和解决工程与物理问题的一些典型的数学方法，为 学习后继专业课程和将来从事相关专业的科学研究工作打下坚实的基础。 数学物理方法作为一门数学课程，将起到联系相关专业课的纽带和桥梁的作用， 是最能体现数学素质教育特色的一门课程。在传授知识、讲授方法的同时，应该 特别注重培养学生的理性思维， 分析解决实际问题的能力和创新意识的增强与提 高。 二、 本课程教学基本要求 要熟练地掌握下述概念、性质、公式、定理及方法： 复数的表示法，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性；复变函数的导数， 解析函数的概念，解析函数的充要条件，初等函数的解析性；复变函数的积分的 概念及性质，柯西积分定理，复合闭路定理，柯西积分公式，解析函数的高阶导 数公式，解析函数与调和函数的关系；幂级数及其性质，函数展成泰勒级数，函 数展成洛朗级数； 孤立奇点的类型， 零点与极点的关系， 留数的定义及留数定理， 留数的计算准则，留数在定积分计算上的应用；导数的几何意义与共形映射，分 式线性映射及其性质，唯一决定分式线性映射的条件。 傅里叶变换的概念，傅里叶变换的基本性质，卷积与卷积定理；拉普斯变换的概 念，拉普拉斯变换的性质，拉普拉斯逆变换，拉普拉斯变换的卷积定理，常微分 方程（组）的拉氏变换解法。 热传导问题数学模型的建立，弦振动问题数学模型的建立，线性问题的迭加原理 和齐次化原理；一维波动问题的行波法，三维波动方程的球对称解，降维法与柱 面波，波动问题解的物理意义；一维问题的分离变量法，非奇次方程的固有函数 展开法；勒让德多项式及其性质，球域 Laplace 方程的分离变量法；贝赛尔方程 及贝赛尔函数，贝赛尔函数的递推公式，函数展成贝赛尔函数的级数，圆域内发 展方程的分离变量法；积分变换法及其综合应用；格林公式， Laplace 方程解 的唯一性，泊松方程第一边值问题的格林函数法，求格林函数的静电源象法。对教学内容中的其它内容也是不可缺少的，只是教学要求低于上述内容。 三、 本课程的教学内容及学时分配 1． 复数与复变函数（4 学时） 复数在平面上的几何表示，复数的运算，复球面及无穷大；区域与曲线，复变函 数的概念，复变函数的极限，复变函数的连续性。 2．解析函数（6 学时） 复变函数的导数，解析函数的概念；解析函数的充要条件；初等函数。 3． 复变函数的积分（8 学时） 积分的定义，积分的性质，积分的计算；柯西积分定理，复合闭路定理，不定积 分；柯西积分公式；解析函数的高阶导数；解析函数与调和函数的关系。 4．级数（8 学时） 复数项级数，幂级数；泰勒级数；洛朗级数及其收敛圆环，洛朗展开定理。 5．留数（7 学时） 孤立奇点的类型，零点与极点的关系，函数在无穷远点的性态；留数的定义及留 数定理，留数的计算准则，在无穷远点的留数，对数留数；留数在定积分计算上 的应用。 6．共形映射（7 学时） 导数的几何意义与共形映射；分式线性映射，分式线性映射的三种特殊形式，分 式线性映射的性质， 唯一决定分式线性映射的条件； 幂函数映射， 指数函数映射。 7． 傅里叶变换（8 学时） 傅里叶级数，傅里叶积分与傅里叶变换；单位脉冲函数的概念及性质，δ 函数 的傅氏变换； 傅里叶变换的基本性质， 卷积与卷积定理， 相关函数与能量谱密度； 序列的傅里叶变换定义，序列傅里叶变换的性质。 8． 拉普拉斯变换（8 学时） 拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换存在定理；拉普拉斯变换的性质（包括卷积 定理）；拉普拉斯逆变换；常微分方程（组）的拉氏变换解法。 9． 数学物理方法应用问题（一）（6 学时） 平面场的复势，离散信号的 z-变换，模拟信号的频率域滤波，线性时不变系统 的数学描述。 10． 数学模型（8 学时） 偏微分方程举例，基本概念；热传导方程的推导，热传导方程的定解条件，热传 导方程的典型定解问题；弦振动问题泛定方程的推导，定解条件，波动方程典型定解问题；位势方程及其定解问题；工程与物理中的数学模型举例；解的适定性 概念；二阶线性偏微分方程的分类；线性问题的迭加原理和齐次化原理。 11．行波法（8 学时） 无界弦的自由振动，无界弦的强迫振动，半无界弦振动问题的对称开拓法；三维 波动方程的球对称解，三维齐次波动问题，三维非齐次波动问题，降维法与柱面 波；波动问题解的物理意义。 12．分离变量法（10 学时） 一维问题的分离变量法；非奇次方程的固有函数展开法；非奇边界情形的函数替 换法；二维圆域 Laplace 方程边值问题的分离变量法。 13．勒让德多项式与球域 Laplace 方程的分离变量法（10 学时） 球域 Laplace 方程固有值问题的导出；勒让德方程的求解与勒让德多项式；勒让 德多项式的正交性，函数展成勒让德多项式的级数；球域 Laplace 方程的分离变 量法；连带的勒让德多项式。 14． 贝赛尔函数与柱域内定解问题的分离变量法（10 学时） Г 函数的定义及性质，Г 函数定义域的扩充；圆域内热传导方程固有值问题的 导出；贝赛尔方程及其求解；贝赛尔函数的递推公式，贝赛尔函数的零点，贝赛 尔函数的正交性，函数展成贝赛尔函数的级数；圆域内发展方程的分离变量法； 有限圆柱域 Laplace 方程的分离变量法； 贝赛尔函数的其它类型 （汉克尔(Hankel) 函数，虚宗量的贝赛尔函数，开尔文(Kelvin)函数）。 15．积分变换法（6 学时） 无界域热传导方程定解问题的积分变换法；波动方程定解问题的积分变换法；高 维傅里叶变换的定义及性质， 高维傅里叶变换的应用； 积分变换法综合应用举例。 16．格林(Green)函数法（6 学时） 格林公式，牛曼(Neumann)内问题有解的必要条件，Laplace 方程解的唯一性； 格林函数及其物理意义，泊松(Poisson)方程第一边值问题的格林函数法，求格 林函数的静电源象法；其它边值问题的格林函数；无界域波动方程的格林函数与 基本解。 17． 数学物理方法应用问题（二）（6 学时） 地下水污染质扩散弥散参数的测定，地震波场正演模拟的数学描述，电磁场逆散 射问题的数学描述。 四、 教材及考核方式 （1） 2005 年春季学期之前，使用如下三本教材： 《复变函数》（第四版），西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社出 版； 《积分变换》（第三版），南京工学院数学教研组编，高等教育出版社出版；《数学物理方程与特殊函数》（第二版），南京工学院数学教研组编，高等教育 出版社出版； 2005 年秋季学期开始，将使用吉林大学数学中心编写的《数学物理方法》教材。 （2） 两个学期均考试（笔试）。 五、 关于本大纲的说明 本大纲系根据吉林大学 2002 年制定的新的教学计划中 126 学时《数学物 理方法》 课程设置， 并结合相关专业的实际情况及以往讲授情况制定的。 2001 从 级开始执行本大纲，但在使用本校编写的新教材之前，两部分应用问题可以不作 讲授，相应的学时可酌情分配在其它章节中，也可作为习题课使用。
数学物理方法_物理_自然科学_专业资料。[在此处键入] 光信 1501 陈志强 XXXXXXXXX 数学物理方法小论文 复变函数在电路相量法正弦量的中的应用 [在此处键入] 光...数学物理方法心得体会_数学_自然科学_专业资料。数学物理方法心得体会电子信息学院 李光圣 96 号 “数学物理方法” 是研究古典物理问题的数学方法。 其主要内容为将...第1 页共 5 页 数学物理方法复习资料及参考答案( 数学物理方法复习资料及参考答案(一)一、填空题: 填空题 1. 复数 1+ i 用三角式可表示为 1? i (主辐...数学物理方法知识点归纳_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档数学物理方法知识点归纳_数学_自然科学_专业资料。数学物理方法知识点 ...第1 页共 6 页 数学物理方法复习资料及参考答案( 数学物理方法复习资料及参考答案(二) 复习资料及参考答案一、选择题: 选择题 1. 函数 f ( x ) 以 z 0...数学物理方法试题A_修改_数学_自然科学_专业资料。……….……….密………封………..………..线………..
学年第二学期 《数学物理方法》课程...百度文库 专业资料 自然科学 数学数学物理方法知识点_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数学物理方法知识点_数学_自然科学_专业资料。 ...数学物理方法作业_院校资料_高等教育_教育专区。南京师范大学 《数学物理方法》期末大作业共 12 题,题目见书《数学物理方法》 (第四版) ,梁昆淼编,刘法 缪国庆...数理方法总结_数学_自然科学_专业资料。数学物理方法 总结 数理方法总结 CH1 复数的基本概念 1.1 复数的定义: 复数是实数的扩充推广, 复数可表示成直角坐标系 ...中国海洋大学数学物理方法(数物)考试重点_物理_自然科学_专业资料。重点内容 第一章 ? 复数的模与幅角; ? 复数的代数、三角及指数表示方法; Euler 公式 ei? ...
All rights reserved Powered by
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。