微分几何_数学书籍《微分几何》_希赛网图书
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作　　者：彭家贵
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页　　数：251
出 &版 社：高等教育出版社
本书共10章，第1章～第5章为第一部分，系统讲述了三维欧氏空间中曲线、曲面的局部几何理论和曲面的内蕴几何学，这部分内容可作为数学专业本科生微分几何必修课教材；第6章～第10章为第一部分，介绍有关曲面整体理论的一些基本结果，是整体微分几何一些经典问题选讲，它涉及数学的其它领域，可作为高年级本科生的专业课教材或课外阅读材料。
《微分几何》书籍目录
第一部分曲线与曲面的局部微分几何第一章欧氏空间§1.1向量空间§1.2欧氏空间第二章曲线的局部理论§2.1曲线的概念§2.2平面曲线§2.3e3的曲线§2.4曲线论基本定理第三章曲面的局部理论§3.1曲面的概念§3.2曲面的第一基本形式§3.3曲面的第二基本形式§3.4法曲率与weingarten变换§3.5主曲率与gauss曲率§3.6曲面的一些例子第四章标架与曲面论基本定理§4.1活动标架§4.2自然标架的运动方程§4.3曲面的结构方程.§4.4曲面的存在惟一性定理§4.5正交活动标架§4.6曲面的结构方程(外微分法)第五章曲面的内蕴几何学§5.1曲面的等距变换§5.2曲面的协变微分§5.3测地曲率与测地线§5.4测地坐标系§5.5gauss-bonnet公式§5.6曲面的laplace算子§5.7riemann度量第二部分整体微分几何选讲第六章平面曲线的整体性质§6.1平面的闭曲线§6.2平面的凸曲线第七章曲面的若干整体性质§7.1曲面的整体描述§7.2整体的gauss-bonnet公式§7.3紧致曲面的gauss映射§7.4凸曲面§7.5曲面的完备性第八章常gauss曲率曲面§8.1常正gauss曲率曲面§8.2常负gauss曲率曲面与sine-gordon方程§8.3hilbert定理§8.4backlund变换第九章常平均曲率曲面§9.1hopf微分与hopf定理§9.2alexsandrov惟一性定理§9.3附录：常平均曲率环面第十章极小曲面§10.1极小图§10.2极小曲面的weierstrass表示§10.3极小曲面的gauss映射§10.4面积的变分与稳定极小曲面索引
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zt 现代微分几何的基本概念
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zt 现代微分几何的基本概念
<td class="t_msgfont" id="postmessage_.从空间到流形
关于“空间”的现代定义，我以前详细讨论过，可见拙作《总算没有白来一趟物理系，只因为学了一点儿量子力学~和从前不一样，真的大不一样了！》：
这里只简要回顾 一下。
数学上的“空间”是指从现实中抛开物理性质，作为数学研究对象的抽象的具有某种性质的点的集合，可以把空间看做定义了某种运算的集合。在此基础上，对加法和数乘运算封闭的集合便是线性空间，实数域上定义了内积的线性空间便是欧式空间，推广到复述域便是酉空间，其中内积收敛（平方可积）的便是Hillbert空间。
关于“流形”的概念，我以前简单提到过，参见拙作《漫谈抽象代数》：
现在，我们就来详细讨论流形的概念。我们要看看，空间这一概念是怎么演变成流形的。
上面提到了好几个抽象空间。它们都是线性空间。其实，我们又何必非要保证“线性”这一性质呢？数学要追求普遍性的，比如说代数吧，一个代数不仅可以是非交换的（四元数），而且可以是非结合的（八元数），也许还有非可除的。同样，我们完全可以任取一些独立参数构造非线性的点集。当然，为了保证我们能取到数域上的所有点，不论离散的整数（格点），还是连续的有理数乃至实数，我们要求该点集局部上是连续的，即任意两点间的距离能被分得任意小【连接n重实数的集合 中任意两点的线段可以被无限细分，等价于 中任意两点都有不相交的领域，此即 的Hausdorff性质】。这样，我们就能建立它与的一一映射。具有这样性质的点集称为流形。例如圆 ，球面都是流形，它们局部地与同胚（粗略地说，同胚就是连续地一一映射）。
流形的概念是非常普遍的，能连续参数化的任意集合M都是一个流形，它的维数就是独立参量的个数。曲线的通常概念是M中的连续点列。这里允许我们下一个稍微不同的定义。使中的一点（它是一个实数，例如说 ）对应于M中的一个点，后者称为的象点。所有象点的集合就是通常意义下的曲线，但我们的定义是赋予每一个点一个值。这样，我们就有了一根参数化了的曲线，其参数为
仿照微积分中可微函数的定义（如果函数f的小于及等于k阶的所有偏导数都存在，且都是域上的连续函数，则称f是 类可微的。特别的，无限可微记作），我们可以定义微分流形。流形可以是光滑的乃至光滑的。通俗地说，一维流形就是光滑曲线，二维流形就是光滑曲面。
在很多情况下，我们假定有一个 流形。实际上这不是必需的。我们有时会遇到奇点。但许多非解析函数可以用解析函数来近似，尤其平方可积函数（这方面不再展开论述，有兴趣的读者可参见《实变函数与泛函分析》）
2.从切空间到切丛
流形的可微性质可以使我们把分析学中的导数概念与几何学中的向量概念联系起来。让我们从最简单的流形——曲线开始。考虑流形M上的可微函数在曲线的每一点上，f有一个值。所以沿着此曲线就有一个可微函数
由链式法则，得
这对任意函数g都成立，故有
我们知道， 是曲线的无穷小位移，把它们除以后，只改变其数值，不改变其方向，它就是曲线的切向量。由于是线性无关的的线性组合，因此是空间的一组基。它是普通向量空间
的基矢的推广
空间M中任意一点P的所有切向量的集合称作P点的切空间，记作。下面，我们就来看看这一概念是如何过渡地引出纤维丛概念的。
把流形M与它所有的切空间 结合在一起，便得到一个特别有趣的流形。如图1，一个一维流形M（一根曲线）及其切空间（在一点与曲线相切的直线）。
如果将切线延展，各点的切线将相交，图将是一团糟的。
一个更好的办法是下图的办法如图2（附件），平行地画出各切空间，它们彼此并不相交，而且它们仅在定义它们的那一点处越过M。
但不幸的是，这种图形不能表示出每个“相切”于曲线这一事实。但是要清晰就得付出这一代价。
图中，铅垂线上的每一点表示一个向量，具有“长度”，且在P点与M相切。M与定义了一个新的流形TM，它包括在所有点的所有向量，因此它是二维的。这个二维流形TM就称为切（纤维）丛，其中流形M称为底空间，切空间称为纤维。“纤维”一词正是源于图2中的画法。
图3用虚线画的（纤维丛中的）一根曲线在M的每一点给出了一个特定的向量。
因此，此曲线定义了M上的一个向量场。这样的一根曲线（即处处不平行于纤维的一根曲线）称为切丛TM的一个截面。
一般的纤维丛由一个底流形（例如前面的曲线M）和依附在底流形的每一点的一根纤维所组成。如果底空间是n维的，每根纤维是m维的，则这个丛就是m+n维的。它是一种特别的流形，因为它具有可分解成纤维的性质。一根纤维上的点是彼此相关的，而不同纤维上的点是无关的。
3.从平凡到非平凡
设有两个空间M和N，且，则所有有序对（a，b）构造了与M、N相伴的空间，它就是直积空间。例如， 可定义为 。再比如，亚里士多德时空中，时间与空间都是绝对的，时空是时间与空间的直积。相比之下，在伽利略和牛顿时空中，尽管时间是绝对的，但空间是相对的，时空是一个自然的纤维丛结构：底空间为 （时间），纤维是（空间），如图4。
由于没有绝对空间，所以不同纤维上的点（不同时间的空间点）之间没有自然的关系，所以只存在以为底空间的自然的纤维丛结构，但不存在以为底空间的自然的纤维丛结构。
如果M和N是流形，则显然也是一个流形（称为积流形）：M的一个开集U的坐标集合 与N的一个开集V的坐标集合构成的开集（U，V）的m+n个坐标的集合。从纤维丛的上述构造法显然可知，纤维丛至少在局部上是直积空间。但整体上如何呢？为此，考察二维球面 上的切丛 由于到其自身上的每一个一一映射至少使的一个点固定不动，逆映射给出的一个处处非零的截面，即在上定义了一个处处非零的向量场。这种向量场将产生一个没有不动点的映射。由于底流形的拓扑，没有一个整体的直积结构，故切丛不是平凡的。
上面是由于的不平凡而使不平凡，其实，即使底流形允许一个平凡丛，也可以用它构造非平凡丛。考察的切丛.与不同的是，允许一个处处非零的连续向量场，而与积空间全同。但是，由此既可构造柱面（图5），也可以构造出墨比乌斯带（图6）。
本来，在的任意连通开子集上的那部分丛到下图5的同样部分有一个连续的一一映射，
但绕行一周后，从整个一个丛到整个另一个丛上不存在连续的一一映射。
所以，墨比乌斯带局部上是直积空间（平凡的），但整体上非平凡。这教训我们，仅仅说明丛的底空间和纤维是不够的，因为可能有不止一种方法来构造丛。对纤维丛我们需要一个更好的定义。后来的研究表明，这一问题可以通过在丛上定义“群”来解决。上这两个纤维丛的差别就在于它们各自的结构群。由于流形的连续性，结构群一般为连续群（李群）。对一个n维流形M，切丛TM的结构群是阶非奇异（行列式不为零）矩阵的集合，记作GL(n,R)，意为实n维一般（general）线性（linear）群。在上面的例子中，柱面的结构群为单位元素1，而墨比乌斯带的结构群为{1，-1}。
4.从变换群到联络
在拙作《漫谈抽象代数》一文中提到Klein的Erlangen纲领：在正交变换群下保持几何性质不变的便是欧式几何，在仿射变换群下保持不变的便是仿射几何，在射影变换群下保持不变的便是射影几何，在微分同胚群下保持不变的便是微分几何。这一纲领非常伟大，因为它统一了大部分几何学；但也有不足，因为它没有把黎曼几何包括进来。于是，犹如物理学追求大统一理论一样，几何学也需要在更高的观点下统一——这就是由嘉当等人所发展的联络理论。下面我们就来认识这一伟大的理论。
为了引出联络的概念，让我们首先从黎曼几何谈起。
我们可以将曲面看作欧几里得空间中的一个几何实体，也可以把它本身看成一个独立的几何实体。乍一看，好像没什么了不起，只是对同一几何对象换了一种描述方法而已；但仔细研究发现，这一转变使我们走上了本质上与欧式几何不同的道路——这一点在分析曲面上物质的运动时看得很清楚：在欧式空间中，物质可以在曲面上运动，也可以在曲面外运动（因为曲面外仍有空间），例如在1/4圆弧中运动的物体，在圆弧中作变速圆周运动，离开圆弧后作平抛运动；但在黎曼空间中则不然，由于曲面就是空间本身，曲面之外一无所有，所以物质不能脱离曲面到空间外去运动。
黎曼空间是弯曲的，所以黎曼几何与欧式几何有很大不同，比如三角形内角和不再是180度。尤其重要的是，在黎曼空间中两点之间不能连成直线。例如在球面上，两点之间最近距离是“大圆弧”。我们把这一间隔为极值的路径称为短程线。欧式空间中，向量平移是将向量的尾端沿PQ自P移到Q，平移时保持向量与PQ的夹角不变，如图7所示。
但黎曼空间是弯曲的，如果再那样平移就可能移到空间外面，不再是向量了。所以要想出新的平移办法。列维-奇维塔的办法是，沿连接PQ的短程线进行移动，移动时保持向量A与短程线的切线之间的夹角不变，将向量的尾端自P移到Q，如图8所示。
我们都知道，代数运算是对空间同一点进行的，不涉及空间的几何性质，对于欧式空间和黎曼空间相同；但微分运算必须考虑与之相近的点，即不同的点之间的关系，这就必然涉及空间是否弯曲的几何性质。为了联系不同点的向量（即进行比较、运算），必须引入联络空间。下面我们就来看看这件有趣的事情是怎样发生的。
在曲线坐标系中，参数方程给出一条曲线。将点的向量A(P)沿曲线平移至邻近的一点，平移后的向量记作A'(P') 。显然A(P)=A'(P') 。将上式分别按P、P'的局部标架展开，有&&。而P和P'点基向量关系为 ，其中
将向量按P点的局部标架 展开为
其中 是线性组合的系数。于是
设 称为平移增量，代入上式并移项，得
展开并略去二级小量，得
为统一 与 ，调换第二项的哑标i，j，得
因线性无关，故
类似地，可以导出
这两个式子称为平移公式。平移增量 与 ，线性相关，还与线性组合的系数 有关。这些线性组合的系数联系着某一局部区域上向量平移前后的各对应分量，所以将它们称为联络系数，简称联络。引进了联络的流形称为联络空间。有了联络空间，不同点向量的比较、运算才成为可能。由于
即 是与的内积。对笛卡尔直角坐标
，则全部联络系数为零，于是，自然不存在平移增量的问题。
大家可能觉得上面的定义太抽象。下面，允许我做一个类比。我们都知道量子力学中的态叠加原理
（因为 &&， ，……线性无关，故可以作为Hilbert空间的一组基）。与之类似，联络是向量在坐标基底 上的分量。【坐标基底与向量的内积&&就类似于，，……】，反映了曲面上一点附近的几何性质的相互联系，联络系数就相当于态矢 按基矢 ， ，……展开的展开系数 ， ，……
下面我们来看看联络这一概念能带给物理学什么丰厚的礼物。为此，我们还需要定义联络的和乐群（holonomy group）。流形上定义了联络，就定义了向量沿流形上某曲线的平行移动，同时也就定义了标架沿曲线的平行移动。将某给定标架沿以P点为起点及终点的封闭曲线平行移动，得到在P点的新标架，它是原标架的线性变换，造成切空间的自同构变换。沿不同的封闭曲线将得到的不同的自同构变换。这样，所得到的所有的自同构变换的集合就构成一个群，称为联络的和乐群。
好了，下面可以看看物理了。我们来简单谈一下A-B效应。有了上面的基础就不难解释量子力学中相位与干涉问题的数学本质。可以证明（此处从略），场强就是丛的曲率，矢势就是丛的联络。那么，由于柱形磁场将空间由单连通变成双连通，变成了拓扑非平庸（平凡与平庸同义，不同书上称呼不同）。在绝热微扰问题中，绕行一周就相当于沿曲线平移一周，所以构成纤维丛上的和乐（严格说应该称为异和乐）。这就是为什么说“Berry相位是几何相位，而非动力学相位”的原因。
5.从张量到微分形式
关于这个问题，我还没有学会，因为同调、上同调、闭形式、恰当形式等理论还没有掌握。这个深奥但意义深远的课题留待以后的日志中解决，现在仅把《数学物理中的微分形式》一书中精辟的序言摘抄下来。我想，这应该能让读者意识到“从张量到微分形式”这一革命的深远意义。
“……微分形式的概念与可微流形的概念有关……人们已经发现，用张量法研究几何或者物理定律不太合适，因为它要求一个非奇异坐标系，以便可以相对于这个坐标系给出向量和张量的分量。然而，按照可微流形的定义，一个单一的非奇异坐标系是不足以覆盖一个流形的。因此在一般的可微流形中，将不可能通过给定相对于单一坐标系的分量来描述一个张量场。结果，张量场的分量比起张量表示的内在含义来说是不重要的。张量场的所有类型中，反对称协变张量可由微分形式本质地表示出来。物理学理论，特别是Maxwell理论、杨-Mills理论、相对论，还有热力学和分析力学可以通过它们给出明确而简洁的公式……”
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因为时间关系，有些重要而基本的问题没有解释清楚，比如逆变与协变概念的由来，。有兴趣的读者可参阅以下书籍：
1.舒茨B.F.《数学物理中的几何方法》，上海科学技术文献出版社（本文主要参考资料）：
2.孙志铭《物理中的张量》，北京师范大学出版社（关于张量的入门书）：
3.侯伯元、侯伯宇《物理学家用微分几何》，科学出版社（不过下面的网址是第一版的，目前尚未找到第二版的电子版，学校图书馆里应该有吧。另外，这是“现代物理基础丛书”中的一本，在中关村图书大厦可以买到几乎整套“现代物理基础丛书”）：
4.威斯顿霍尔兹(Westenholz,C.V.)著 ，叶以同译《数学物理中的微分形式》，北京大学出版社：
5.余扬政、冯承天《物理学中的几何方法》，高等教育出版社（数学和物理的例子很多，但目前我还没有电子版，学校图书馆里应该有吧）
繁星客栈的回复
欧氏空间的要求之一，是度规的正定性(如果仅仅只是这一条不具备，通常被称之为“伪欧氏空间”)
一般地说，所谓Hillbert空间，是指完备的内积空间。
将流形上各点的切空间直和在一起，就构成切丛。因而，如果底流形为M维，切空间为N维，那么切丛为（M+N）维。你上面举例给出切丛的几何表示方法，这纯属人为约定的，不是切丛的定义或固有性质。
关于张量的逆变和协变分量，一方面可以从变换的角度来体会二者之间的区别，另一方面，如果想了解“引入动机”，不妨简单地认为是为了可以定义长度或者内积。引入矢量的逆变和协变分量，就如同引入矢量与对偶矢量，通过它们可以定义内积（对张量而言，内积就是张量收缩），二者之间可用度规来联系，因而引入度规，就意味着可以定义距离长度，可以进行度量。在同一个空间中的逆变矢量和协变矢量，就如同列矩阵和行矩阵所表达的矢量，又如同量子力学中表示量子力学状态矢量的Dirac符号中的|&和&|。
了解微分形式，不需要知道同调上同调。其实它就是反对称的协变张量。微分形式一个有用的地方，是用它表达积分测度。例如，我们常见的三维空间中积分体积元，其实是一个微分形式——只有这样，你才能理解在坐标变换下，积分体积元为何会那样变换（即雅可比行列式的来源）。
校内-人人网的回复
Haussdorf性质不是连续性，而是说，避免了复杂空间的出现。比如黏贴两条数轴的-1&X&0的部分，这样黏贴部分的线段会在两边的末端出各自出现两个端点。这种性质比较奇怪，所以流形定义就避开不谈了。但也有人把这种空间称为hausdorff流形---见Hawking的《时空的大尺度结构》
dr哪里说得也不太恰当。dr那个是嵌入流形引入切向量的方法，不可能推广到一般弯曲空间里
帖子2600&积分10&金币117.2 &贡献值0 &最后登录17-1-21&
学习了，这么复杂的排版是怎么弄出来的啊
等值威望：168168
帖子2788&积分20&金币7512 &贡献值0 &最后登录16-9-1&
这个要慢慢看，先谢谢了
帖子1967&积分156&金币8271 &贡献值0 &最后登录16-12-28&
引用:学习了，这么复杂的排版是怎么弄出来的啊
zhanglang83 发表于 11-6-18 20:17 直接从原帖复制过来即可。
复制时，右上角“源码”选项上的勾勾要去掉才行……好象是这样，我试过几次。
帖子972&积分35&金币4499.7 &贡献值0 &最后登录17-1-18&
这个介绍不错，不过链接人人网页不打不开，我的人人账号已经注销了
有技巧说明我们对观念还没有完全理解
帖子1967&积分156&金币8271 &贡献值0 &最后登录16-12-28&
抽象与拓展：谈谈量子力学的数学基础
11:02 | (分类:黑暗后的曙光)
很多人觉得量子力学无法理解，我当初也这么觉得。为什么呢？可以从两个角度考察：
（先要花费很多笔墨谈一点哲学，甚至谈一点数学与哲学的关系。大家可能觉得这些是扯淡。其实不然。这样是为了引出“抽象”与“拓展”这两种科学思维。它们是使我们的“认识”得以深入的必要条件。。。。。。不过，对哲学不感兴趣的朋友可以跳过前几段，直接看后面的正文.为了区别，引言用斜体表示）
爱因斯坦就因为这个而不理解量子力学。其实，哲学概念都是从科学事实中抽象出来的（比如时空观就是从物质运动的规律中抽象出来的）。关键在于，哲学一直在追求普遍性，因而将抽象出来的概念加以拓展。但普遍性必须寓于特殊性之中。这就是矛盾的症结所在。“高速”这一特殊性能否被从低速运动抽象出来并加以拓展得到的概念包容就不一定了。量子的哲学困境和相对论类似。经典物理（相对论也如此）都不涉及物质内部结构（前两天写过一篇日志《外在属性与内在属性》专门讨论过这个问题），因而从宏观过渡到微观会给思想带来革命性的冲击，使人觉得量子力学难以理解。其实，微观世界并非没有因果律，态演化的决定论形式与态测量坍缩的随机性构成了微观世界新的因果律。问题是，当哲学观念与科学事实矛盾时，应该坚持哪个呢？反思我们的思维过程，“抽象”没问题，而是“拓展”时出了问题。经典力学的决定论并非可以放之四海而皆准的被拓展。
哲学不是本文主要讨论内容，就暂且谈到这里吧
其实，数学与哲学不是没有联系的。可惜很多人偏偏大力鼓吹数学而排斥哲学。联系在哪里？就是前面提到的“抽象”与“拓展”。怎么抽象？不是常人说的“难懂”的意思，而是指概括出一般性。比如，“一根筷子与另一根筷子放在一起”“一只羊与另一只羊放在一起”具有共性，我们就说“1+1=2”，这就是抽象。怎么拓展？比如从有理数到实数再到复数；从二维空间到三维空间再到高维空间，等等。这样一“抽象”一“拓展”，就把数学和哲学的联系找到了，表明它们都是在追求普遍性。
关于数学与哲学的关系，也不是本文重点。所以暂且谈到这里吧。下面着重分析数学对于量子力学的致命影响。
………………………………………………………………引言结束，开始正文：
为什么学了一点儿量子力学就不白来一趟物理系呢？是否白来一趟物理系，主要基于两点：一是和名校物理系相比，来到燕大这样烂的物理系，学到的知识太有限；二是和高中相比，自己对物理的理解有多大长进。本文着重谈谈后一点。
第一点和第二点有什么区别呢？这要由知识的特点决定。即是说，量子理论和其他理论有很大区别。其他理论学的再多，也只是单纯地积累知识，思维方式不会有太大变革；而量子理论却使得思维方式变了。
量子力学和从前的课程大不一样，到底怎么不一样呢？力学与理论力学、热学与热力学统计物理、电磁学光学与电动力学虽然也有很多区别（后者比前者深刻得多，尤其比高中物理深刻得多），但终究还是可以沿用常规物理思维（只是对数学要求高了点）。而到了量子力学就大不一样了，对数学要求确实也高了，但不是高在语言描述上，而是思想上。即是说，前面列举的其他理论的思想基本上都是单纯的物理思想，对于它们来说数学只是一种语言表述；而量子力学的物理思想是基于数学思想的，量子力学中的数学不仅仅是语言还是思想。前面的物理思想不借助数学也能用日常生活的语言（中英文）表达清楚，读几本科普就能明白；而量子力学反映出来的物理思想必须借助数学才能表达清楚（我说的是真正弄明白，不是浅尝辄止），如果不熟悉数学，想读几本科普就明白量子力学的内涵是办不到的。要想真正明白量子力学的物理思想，必须下苦功夫钻研它的数学思想。
这几天听老师讲量子力学的矩阵形式，觉得特别轻松，所以心里暗自高兴——这完全得益于自己前一段时间努力啃数学——和数学系本科生一起听高等代数，和物理系研究生一起听群论。
为什么高等代数和群论对于量子力学这么重要？这是因为量子力学的基础就是Hillbert空间。Hillbert，大数学家，没什么好说的，关键是“空间”这个概念。空间是什么？很多人一提到空间就马上想到直角坐标系（物理修养好一点儿的，想到时空，即把时间与空间联系起来。但这样并没有多大进步。为什么？相对论的时空观这么伟大的东西还不够进步？是的。为什么？因为这样的概念对于理解量子力学有害无益！后面我们将会谈到，怎么样理解空间才有利于理解量子力学）这样当然直观。但很多时候大自然偏偏不喜欢直观。量子力学就是这么一个“叛徒”。“上帝喜欢掷骰子”的数学表述就是上帝喜欢抽象。所谓唯象理论，一般都是不深刻不本质的理论。
怎么又提到“抽象”了？当然啦。不然前面就没必要写个“引言”作铺垫了。怎么抽象？抽象后的空间和通常的“直角坐标系”那种几何空间有什么区别？
呵呵，允许我再谈一点哲学（其实是数学与哲学的联系）。数学一直在追求普遍性。如何达到普遍性？就是努力去发现不同事物的相同点。如何发现？抽象。只有“抽象”还不够，还得有“拓展”，或说抽象的目的就是为了更好地拓展。
那么，怎样将空间进行“抽象”然后“拓展”呢？就是要摒弃无关的特征，寻找本质的特征，或说保留那些有利于进行拓展的特征。空间的哪些特征利于拓展呢？你自己去思考吧，为了节省上网时间，我来个直接点的：不去从认识论角度探讨如何抽象来得到抽象空间，而是直接谈谈抽象空间的特点。给出一些特点后，和原来的三维几何空间比较一下，就知道摒弃了什么保留了什么了。
抽象空间就是集合。集合？与三维空间有什么共同特征？别急啊，且听我慢慢分解。有了集合，拓展就容易多了。可以把空间看做定义了某种运算的集合。线性空间就是定义了线性运算的集合。何谓线性运算？加法和数乘（严格说是对这两种运算封闭）。有了线性空间，还可以进一步拓展。比如规定度量性质——内积。实数域上定义了内积的线性空间，便是欧几里得空间。再拓展到复数域上，便是酉空间。针对内积的不同情况，便有不同的线性空间。其中内积收敛（平方可积）的，便是Hillbert空间。这就到了我们前面谈到的量子力学基础。但我们暂且不谈量子力学，先回答抽象空间从普通三维空间继承下来的特征。我们知道，空间都有一组基，空间中任一向量可以展开为这样一组基的线性组合。线性组合的系数便是在这组基下的坐标。“基”这个概念伟大啊。有了基的概念，便可以有维数。维数就是基矢的个数。这样高维乃至无限维空间就都不难理解了。一方面，“基”不一定是i，j，k一组单位矢量，也可以是一组函数，只要它们之间是线性无关的就可以（这就是保留下来的特征）；另一方面，“基”有很多种取法，不同取法便对应不同的表象（通常将量子力学划分为波动力学和矩阵力学，就是分别针对位置表象和能量表象而言的），不同表象之间可以相互转变（即表象变换，说白了就是坐标变换），变换可以通过算符（别怕，它并不是什么神秘东西，不过是一种线性变换而已）来进行。既然有多种取法，那自然愿意选最简单的一种。经过尝试发现，选择“正交归一”的基是最方便的。正交什么意思？这里，你又看到前面引言中“拓展”那个词。正交便是“垂直”那个概念的拓展。归一怎么回事？从矢量角度讲，便是将其单位化。但这样不利于拓展。怎么利于拓展？寻找更本质的特征。后来发现，利用内积来定义“归一”更加普适，符合我们“追求普遍性”的心愿。其实，“内积”更容易被当成积分（毕竟有一个“积”字嘛），而不是三维几何空间中的点乘。可是，积分与点乘，看起来好像相差十万八千里，怎么扯到一块去？这就显示出数学的威力来了。我们要抽象，抽象，再抽象，抽象出不同事物的共同特征，然后加以拓展。你没发现吗？点乘是矢量运算，而矢量有分量形式，于是点乘结果不是一项（对于三维几何空间来说是3项），而是几项的和。好了，有了这个求“和”，便可以和“积”联系起来了。只要将离散的量连续化，便可以将求“和”化成“积”分。这个“求和与积分互化”可比高中时三角函数的“和差化积、积化和差”伟大多了。因为它不仅仅是一种运算方法，还是一种思想。思想？没错。数学不仅仅是语言还是思想。回忆一下最初是怎么引入定积分的吧，就是将整个曲线下的面积分割再求和。分割越细，求得的面积近似值越接近真实值。“由近似认识精确”，便是微积分思想的精髓。你去反思，“由近似认识精确”这种数学思想在物理学中占了多大比例。我们总是将一个函数作泰勒级数展开，然后略去高次项。我们这个“求曲线下的面积”包含了两个伟大的思想。一是“由近似认识精确”，一是“求和化成积分”。这两个数学思想都对物理学构成致命的影响，不论经典的还是现代的。实际上，从经典场论过渡到到量子场论就使用了“求和与积分互化”的思想（哲学上，反映了离散与连续的辩证统一）。好了，扯得远了，让我们再回过头来看刚才提到的内积。在三维几何空间中是两个矢量的分量相乘再求和，拓展到抽象空间（一种集合）中便是两个函数相乘再积分。那怎么归一呢？就是积分值为1.为什么非要是1呢？这可不能单纯地认为只是数学问题（为了数学上的一致性：拓展要保留部分原有特征），它还有物理意义呢。量子力学中，将波函数展开为本征函数的线性组合，组合的系数就是前面提到的坐标，系数的平方和其实是发现粒子的概率（波恩的统计解释），概率当然为1了（对于非相对论情形，要求粒子数守恒。到了量子场论，允许粒子产生湮灭，另当别论）。这和内积有什么关系？呵呵，我们不仅要重视结果，还要重视过程。结果是积分值为1，运算过程是怎样的？一方面，既然要求粒子数守恒，至少应该使积分收敛，于是便有了“平方可积”这个概念，这不就是前面提到的Hillbert空间吗？对加法和数乘运算封闭的集合便是线性空间，实数域上定义了内积的线性空间便是欧式空间，推广到复述域便是酉空间，其中内积收敛（平方可积）的便是Hillbert空间。看起来像绕口令，其实是反映了数学的逻辑严密性。另一方面，这个“系数”可以通过本征函数与波函数求内积（也就是本征函数的线性组合那个式子与本征函数自己求内积）得到。这其中可有点学问。“本征函数的线性组合那个式子与本征函数自己求内积”这话有些蹊跷。既然展开需要一组基矢，言外之意是本征函数不止一个。那么，将这么一个线性组合的表达式与哪个本征函数求内积呢？假设它是ψ1，显然，这个组合的表达式中必然也包含了一个ψ1，并且包含了其他的本征函数ψ2.如果1与1作内积便是1，1与2作内积便是0.更一般地，把这里的1换成m，2换成n，即是说m与n相等时内积为1，不相等时为0.这就是δ符号（克罗内克符号，过渡到连续情形，便是狄拉克函数）。这么一个符号有意思啊。怎么有意思呢？如果我们试图将它用矩阵表示出来，便会发现这个矩阵除了主对角线外的其他元素都是0.换句话说，“正交”意味着对角矩阵。矩阵表示？感觉很抽象吗？其实，这是将抽象的线性代数理论形象化的最简单办法。“表示成矩阵”的结果固然美观，但如何表示呢？这个转化的过程会不会很难？其实也不太难。你不是已经熟悉矢量了吗？我们可以将它拓展为张量。标量就是零阶张量，矢量就是一阶张量。很自然地，我们会问二阶张量是什么。它就是矩阵。更高阶的，那就是“立体矩阵”了。张量这个复杂的东西不应该陌生，因为你最熟悉的电磁场就是张量，表示出来是4×4矩阵（之所以是4×4而不是3×3，就因为电动力学的数学基础是相对论，而相对论主张时间与空间不可分割，构成统一的4维时空。对于3维空间里的张量，其矩阵便是3×3的，例如极化矢量，之所以不是2维而是3维，是由空间各向异性造成的）。张量本身是抽象的，表示成分量形式（即矩阵）就容易理解了。我们的波函数也如此。张量以其分量为一组基，我们的波函数就以其本征函数为一组基，这不是很自然吗？好了，我们前面反复谈本征函数，究竟什么叫本征，为什么它就能反映出“本质特征”呢？我们前面不是提到表象、又提到矢量了吗？现在就把这两样东西整合起来。在表象变换（不深奥，就是坐标变换）中，矢量的大小、矢量间的夹角是不变的。这有什么意义？几何中两矢量大小相乘再乘以夹角的余弦便是内积！不论怎么变换，矢量的度量性质（内积）是不变的。它不依赖于坐标系的选择。既然矢量本身的性质（如度量性质）不随坐标系（或说的更本质些，基矢）的改变而改变（其实，对称也是一种变换中的不变性，即变换后与原来重合。而描述这种对称变换的数学便是群论。呵呵，这种“变中之不变”听起来有点“拓扑学”的味道，其实薛定谔方程式有拓扑结构的，程然学长比较关心的Berry曲率就反映了这一点。不过，这在哲学上是容易理解的，对称不变性与拓扑不变性都反映了变与不变的辩证统一），那么当然就是它的比较本质的特征了（本质特征，简称本征）。坐标系是什么？物理学中就是参考系啊。物理规律不随参考系改变而改变，这很自然嘛。似曾相识吧？这就是相对论的基本原理啊。等等，不是谈量子力学吗，怎么扯到它的死对头上去了？其实，相对论与量子力学之所以不好统一，不在于“相对性原理”，相对性原理在哪里都对。关键在于另外一个基本原理（对于狭义，就是光速不变原理；对于广义，就是等效原理）。所以，如果微观客体也遇到需要考虑相对论的情形，量子与相对论就不再是死对头，而可以联姻了。比如微观粒子也会有跑得特别快的（接近光速），这就需要考虑狭义相对论，于是量子电动力学应运而生。至于加速系与引力场的等效，也不是与量子力学毫无关联，只是关联大小问题（说的深点，就是“弱等效”还是“强等效”的区别）。这个问题至今未被大师们解决，我们小辈就不敢妄谈了。所以，学术讨论就此结束吧，下面谈点闲话。我倒是很想回到本文标题，谈谈为什么“总算没有白来一趟物理系”。
曾谨言《量子力学导论》（第二版）最后几页谈到量子力学教学与创新人才培养，其中有这么一句：“真理总是朴素的。我相信，一切理论，不管它多困难和多抽象，总有办法深入浅出地讲清楚。做不到这一点，常常由于教师自己对问题的理解太肤浅”。我这几天听吴老师的量子课，没想到竟然能听明白，对“真理总是朴素的，不论多难，总有办法理解”颇有感触。我想，这一方面是吴一东老师对量子力学理解比较清楚，另一方面得益于前一阵子我去旁听高等代数和群论课。前面那一大段线性代数理论就是旁听高等代数课时产生的；而开头的引言（并且贯穿全文）中提到的“抽象与拓展”就是群论老师亲口说的（他从集合论讲起，使得群的概念不至于太难懂。前面说了，有了集合，就可以定义抽象空间。并且，可以从子集来类比理解子空间，就可以根据交集为空来定义子空间的“直和”。有了集合，就可以拓展得到群的概念。当然，在拓展之前需要进行抽象。群的定义就是从“对称变换”中抽象出来的，它就是对称变换的集合）。在此特别对三位老师一并致谢。另外，感谢李靖阳学长，是他建议我去听数学系的课。还要感谢潘逸文学长，他用数学来理解物理的做法对我影响很深。还有很多可敬可爱的学长，不一一列举了。
量子力学经受住近100年的考验，也算是真理了吧（尽管不是终极真理）。真理是朴素的，那么，量子力学应该也是可以理解的。那为什么很多人不理解呢？正如开头说的，这些人要么不理解其哲学含义，要么不理解其数学基础。我想，不理解其哲学是因为头脑中残留了太多从经典物理中获得的成见；不理解其数学是因为对数学抱有偏见。我用自己的亲身经历证明，量子力学的数学并不像想象中那么困难，线性代数如此，群论和泛函分析也如此（尽管后面两门课程我还没有真正学会，但已经明白了其基本思想和结论是如何影响量子力学的）。
当然，这些并不能表明我已经学会了量子力学。因为我只是觉得自己在渐渐入门，好多问题还不会解答。尤其是做习题，对我来说绝对是超级挑战。学了四大力学才知道，即使理解了基本的知识点，也未必能做出习题。。。。。。虽然我只是对知识本身感兴趣，但习题还是不得不做的。因为我得考研。之所以考研，是因为我的大学学习资源太匮乏。在燕大，有前面提到那3位老师水准的人寥寥无几；而且，即使有群论课（还有量子场论课），学时也太少，天才的老师在短短32学时也讲不出什么（而名校，如中科大，同样课程的学时相当于我们的5倍）。所以，在燕大这样的环境中，很容易产生“白来一趟物理系”的感觉，这是一大心理问题。而能写出今天这篇日志，实属不幸中之万幸。其实，我一直在寻找使自己在逆境中不至于自卑的理由。所以，本文取名为“不白来一趟物理系”，以鼓励自己和那些与我有同样沦落天涯的朋友。
最后，顺便回复“zhuge”朋友的问题：数学思想是怎样促进物理进步的？我查阅了物理学史，发现：1.哥白尼提出日心说是因为觉得托勒密地心说的数学描述太复杂；2.欧姆受到傅里叶的启发而发现欧姆定律，并且因为德国不重视数学而遭到同事排挤；3.麦克斯韦试图给法拉第的力线以数学描述而建立麦克斯韦方程组；4.数学分析导致最小作用量原理的发现和分析力学的建立，量子场论等现代物理中有个基本思想就是寻找哈密顿量；5.“对称性导致守恒律”这条原理是数学家发现的，此后，寻找对称便成了物理学家面对未知世界的先导思想
所以，数学不仅仅是描述物理规律的语言，也不仅仅是有了物理规律之后再给它以更深刻的支撑（如纤维丛的数学思想支撑规范场的物理思想，群论和泛函分析的数学思想支撑量子力学的物理思想，微分几何的数学思想支撑广义相对论的物理思想等），还是导致物理发现的思想先导。
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回复我是zhuge：呵呵，我班门弄斧了。事实上我记得我以前好像看过用泛函来定义delta函数的，具体的我已经记不清了，不过那好像只是一个定义和若干基本运算而已，似乎不能囊括物理学家所有对delta函数的使用法则。
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回复我是zhuge：可能是我孤陋寡闻了，呵呵
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回复陈成~pure：行列式的几何含义是什么？特征值特征向量的几何含义是什么？我不知道你是真的没弄懂，还是在这里没有说清楚。我猜你是没弄懂，因为国内的绝大多数线性代数的教材都不写这个东西，甚至站在讲台上的老师有很多都是稀里糊涂
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回复陈成~pure：简而言之，通常情况下，如果我们把一个矩阵看作是对线性空间的一个变换，那么这个矩阵的全部特征向量，就可以作为这个空间的一组基。这组基可以便于我们理解矩阵对空间施加的变换。当我们用这个矩阵去变换一个向量时，我们可以先把这个向量分解到各个特征向量的方向上去，然后再把其各个分量的长度按照特征值翻倍，最后再把翻倍过后的各个分量重新合并成一个新的向量，这个新的向量就是那个旧向量经过变换后的产品。
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如果把视野放到全空间的话，当一个矩阵对这个空间的变换，可以看作是把整个空间沿着各个特征向量的方向进行拉伸或压缩，伸缩比例就遵照特征值。行列式是所有特征值的乘积，所以，行列式的绝对值，体现了这种伸缩造成的空间体积变化比例。
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回复殷义豪：如果大一时那个线性代数老师不稀里糊涂的话，我也不至于挂科了。不过现在听了几个星期的高等代数课，课下有下了很大功夫，基本上把落下的课程补齐了……你上面关于特征向量的论述我在高代课上我听过，说的专业点就是线性变换的特征向量可以生成其一维不变子空间。关于行列式的几何意义，我倒是没认真思考过
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我说的不是很严谨，但至少是适用于特征值各不相等的有限维可逆实矩阵的。希望能有助于你理解“特征/本征”
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回复陈成~pure：还有矩阵的“迹”，我到现在都不能非常透彻地理解，虽然也能说出一二，但还是不想在这里说了，以免误导
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回复陈成~pure：按照我上面说的去理解，你就会明白为什么行列式为零的矩阵不可逆了
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回复殷义豪：迹就是对角元素之和，反映的是根与系数关系。深入的理解就是其不变子空间的直和。不过表示成直和需要条件，你可以看看张量的约化问题，看看能不能解决。我还不懂张量，不敢妄谈
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回复陈成~pure：我有空再看看吧，不过你说的很多都是代数，我更注重“视觉化”，呵呵。还有事，不聊了
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回复殷义豪：对啊，就是那么定义的，将delta函数定义成一个广义函数，就是作用在一个函数空间D上的泛函。
我不知道下面这个话对不对，我记得是在一本量子力学的书上看到的：“delta函数只能在积分号里才具有确切含义”。如果这话是对的，那数学家定义的delta函数就和物理学家用的能完全对上了，呵呵。
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回复我是zhuge：说实话，我虽然是既学过数学，又学过物理的，但物理教材上对delta函数的一些运算，至今令我费解，我就不再继续班门弄斧了... 呵呵，我下线了
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回复徐晶津：这个还是让作者解释比较好。
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回复徐晶津：真实可以是经验的，也可以是先验的。但先验的真实也得靠不断地实验、经验来获得。我这里强调的是物理学的认识论基础。深入的哲学问题可以参考康德的批判，那是哲学界的开普勒改革。不过康德理论也有局限性，我觉得是有些偏唯心了。唯心论是有害于对物理学的深刻理解的（但不一定阻碍物理学的发展），古代现代都如此
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回复洪然:问题没那么简单,我不会讨论什么先验否。讨论那个永远没底，　我还是弄量子去。那个东西的直接验证很少，虽然量子确实有用但我不信量子对了！我们缺少了些什么！可我找不到！
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回复徐晶津：怎么找不到？在量子力学适用的范围内当然找不到了。就像没有进入微观货高速领域时无法显示牛顿力学的局限性一样，量子力学不完备性也应该到量子场论那个更广泛的适用范围中去找。当然，有一点必须记住，就是不能“民科”。我们这些学过物理的人在寻找物理学不完善之处时的方法和“民科”不一样。我们要从数学出发，找到更普适的形式。量子力学是基于欧式空间的，那么我们就应该寻找能包容欧式空间但比欧式空间更普适的空间基础。那么，就需要用我文中提到的“抽象和拓展”，就要摒弃欧式空间一些非本质特征。实际上，目前找到的这种比抽象空间更普适的概念是流形，从流形上建立的物理学就是规范场……你看看罗杰·彭罗斯《通向实在之路》，很有启发的。一开头就说双曲几何与欧式几何可以建立一种映射，好像叫共形表示。尤其埃舍尔的绘画，非常值得研究（从这里，可以看到科学与艺术的某种统一性）
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回复陈成~pure:你怎么那么关注傻比科学家的讲法！理论家里绝大多数是垃圾！谁能告诉我们我们缺乏的是什么，而且有理有据那就可以。　　　知识起于经验，但量子里我们的进入破坏了物体本来。
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量子传统说法，测量者和客体要分开！但要是又有人在偷窥我们测量这个过程，那这里就把我们和观测者放在一起。　　这里有问题。这是斯莫林提的
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还有呵！老爱的眼光很准！他要找的是！没有人影响过得自然规律！纯自然的规律！但是我们能得到么？几百年前有哲学家说了，知识起于经验！　　那我们能作到老爱的说法么？真到纯自然的规律？
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回复我是zhuge:有物理学家只从物理实在上找数学定理，而且既然猜对了那就不做数学证明。牛顿就如此，那个基本公式他没证但是找到了。现代这样的人还有许多，由其现在数学家写的书真难看。远离需要！要不哥们以后你写点例子很精到的书给人用吧？
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回复徐晶津：我认为可以认识受到干扰后的自然规律，但不能做到老爱的“纯自然规律”。当扰动足够小时，便可以忽略，这便是经典物理学。量子客体太小了，所以对扰动敏感，不能忽略。老爱错了
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回复陈成~pure:你这个讲法很有力！就是有物理学家持这个想法，但老爱说的清楚我们要知道纯客观的自然。　　　不过这个问题最好还是少理，还是做点科学点的，辟如路径积分啦啥的！
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嗯，关于建议听数学系的课的事，再说一下吧。我认为数学系的课基本上都不是针对学物理的人的，物理专业能听的人是少数，即使能听也不是就一定值得，毕竟时间是有限的。究竟听不听，取决于自己的兴趣、精力、研究方向、研究风格、课程的重要程度等。对大多数人来说，通过给物理学家写的数学书学数学更适合一些，但这方面的好书似乎都来自国外。
你所在的学校虽然不好，但我想很多缺点是可以弥补的，只要你足够努力的话，老师差了可以看好书，同学差了可以和别人交流，教学计划差了可以自己定标准，不要泄气，要相信自己的努力是有回报的。
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回复李靖阳：学长提的这些弥补措施，有一点最难，就是看英文。国外的书我看过一些，都是翻译过来的。看英文确实是个挑战啊
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回复陈成~pure：看英文书和文章对做物理的人来说是必要的，应该也是研究生考试要考的。开始看的时候是比较难，用个词典软件比较好（如金山词霸、灵格斯），看多了就容易了。建议注意专业词汇的读音，不然即使认得听学术报告时还是晕。
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写得不错，很有启发，学物理的分享！
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把我不知道的全都说出来了！
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你现在又不学物理了！
帖子1967&积分156&金币8271 &贡献值0 &最后登录16-12-28&
漫谈抽象代数
10:51 | (分类:数学)
& & 你若是没有认真看过代数，你就不能准确地估计数学到底有多么深刻；你若是没有认真看过代数，你也不能明白为什么抽象的理论也能为人类思维所把握——代数中最不可理解的就是，代数竟然是可以理解的。代数的深刻来自数学思想，而不是运算——论运算，微分和积分都比它复杂得多，这就是物理大师Feynman选择矩阵而不是偏微分方程来给低年级本科生讲述量子力学的原因（参阅Feynman物理学讲义卷III，赵凯华的新概念量子物理也用的是这种讲法：因为矩阵和代数运算更接近高中数学，几乎每个读过物理奥赛书的同学都会用行列式求解电路的基尔霍夫方程组——奥赛总是尽量回避微积分，必要的时候就用“小量分析”代替，并且取名为“微元法”、“近似法”，但就是不说这是微积分）。其实，运算的艰深算不得深刻，至多只能算繁琐（譬如电力系统和集成电路，分析和运算极其复杂，但用到的不过是普通物理和固体物理之类的低级知识，根本用不上相对论、量子力学、量子场论这类思想深刻的东西）。它没有几何那么直观（因此许多人不喜欢它，嫌它太抽象），确实（对于物理学家来说），但换个角度来看，这反倒是它的优点：一方面，在它的世界里，你不必担心自己的空间想象能力（和你的同行相比，你的逻辑推理能力恰好可以弥补空间想象能力的不足）；另一方面，就数学本身而言，人类总是不可避免要面对一些高维（甚至无限维）的客体，这时，不仅你想象不出来，其他人也想象不出来，这正是代数大显身手的地方。有人说，抽象有什么好，我想象不出来。其实你那是先给自己灌输了一个错误观念，即一个事物只有当它可以想象出来才是真实的，才能接受。为什么非要想象出来呢？只要依循着逻辑一步步严密地推理就足够了，因而这种担心完全是不必要的。所以，你可以把数学看得很神圣，但不要把它看得很神秘——望而生畏会阻碍你的进步。代数的魅力就在于，深刻又易于思考，哪怕你对研究对象一无所知，也能依循着逻辑去思考——它那么简单，简单到只需要逻辑（除此之外再也不需要别的了）就能把握真理（你必须相信，纯理论可以主宰世界）；但它的思想又那么深刻，深刻到所有几何都能统一用变换群来描述。现在觉得，几何与代数的特点很像普通物理与理论物理：前者注重说明现象，后者注重说明本质。譬如折射：前者注重折射现象（筷子放入水中后变弯了），后者注重折射定律（不管你变成什么形状了，反正都是nsinθ=n＇sinθ＇）。曾经我很迷恋几何（各种奇妙曲线和曲面），就像当初迷恋普通物理（各种奇妙现象）；现在我转向理论物理，更愿意从纯理性的角度去思考一些本质（透过现象看本质），对数学也因而更偏重代数。代数和理论物理的美是内敛的，就像那种内敛的人，长得很抽象，你不去接近她而只是从外部看看，就不会发现她的魅力所在。
& & 抽象有什么好？抽象可以使理论更加普适。什么欧式几何、仿射几何、射影几何、微分几何…林林总总，眼花缭乱。它们之间就没有联系吗？有！不识几何真面目，只缘身在几何中——必须从几何中跳出来，才能旁观者清。这个旁观者就是代数。1872年，德国数学家Klein在Erlangen大学的报告中指出，一种几何学可以用公理化方法来构建，也可以把变换群和几何学联系起来，给几何学以新的定义：给出集合S和它的一个变换群G，对于S中的两个集合A和B，如果在G中存在一个变换f使f(A)=B，则称A和B等价。可以根据等价关系给集合分类，凡是等价的子集属于同一类，不等价的子集属于不同的类。将这一代数理论翻译到几何中，相应的版本便是：集合S叫做空间，S的元素叫做点，S的子集A和B叫做图形，凡是等价的图形都属于同一类（图形等价类）。于是同一类里的一切图形所具有的几何性质必是变换群G下的不变量，因而可用变换群来研究几何学——这就是著名的Erlangen纲领，它支配了自它以来半个世纪的所有几何学的研究。例如，在正交变换群下保持几何性质不变的便是欧式几何，在仿射变换群下保持不变的便是仿射几何，在射影变换群下保持不变的便是射影几何，在微分同胚群下保持不变的便是微分几何。
& & 上面说的是图形等价关系。代数的普遍性在于，它将各种各样的相关的、不相关的事物放在一起比较，然后从这些个性的事物中提炼出共性的东西来，比如等价关系。除了上面提到的图形等价关系，还有各种各样的等价关系（如同“群公理：只要满足能封闭、可结合、有恒元和逆元的集合就是群”一样，只要满足反身、对偶、传递这三条的关系就是等价关系——这样简单的条件当然很容易满足，‘曲不高则和不寡’，所以类似的例子不胜枚举），例如，同余等价关系。我们可以按余数给整数分类，余数相同的归为一类，即同余类。代数对于普遍性的追求在于，发现同余类后并不就此止步，而是精益求精，进一步去提炼更具普遍性的概念。既然等价的图形和等价的余数都可以归为等价类，何不将等价类做成一个集合呢？由此，又发现了商集（即在一个集合中给定了一个等价关系之后相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说就是将每一个等价类中所有点“粘合”为一个点而得到的集合，如M&bius带和Klein瓶）、商空间（以同余类为元素构成的集合）、商群（以陪集为元素构成的集合）等概念。刚才说了等价关系。类似的例子还有很多，再比如说基矢。只要同类的一组元素互不相关，就能充当空间的一组基（将一个量展开为其他量的线性组合，此即泛函分析中的谱定理），哪怕它不是向量（因而生成的不是几何空间）也无所谓，比如它可以是一组函数（由此生成无限维空间，如量子力学中的Hilbert空间）。甚至，它可以是一个不确定（如无穷小量，要多小有多小但又不是零，到底多大只有上帝清楚）的微分元（比如dx、dy、dz，微分几何中用到的外微分形式就是用这些微分元为基矢张成的空间——微分几何运算很复杂，但构成它的理论基础之一Grassmann代数并不是特别复杂）。可见，代数的理论是相当普适的。
& & 代数为什么能普适？因为它总是通过不断的抽象来提炼更加基本的概念。用哲学的话说，便是从具体到抽象，从特殊到一般（例如两个群，不论它们的元素多么地不同，只要运算性质相同，彼此就是同构的，并且可以因此认为是相同的代数对象而不加区别；不论膨胀、收缩、转动、反演…都可以统一起来，那就是指数函数；不论弦振动、声音、流体、电磁波…都可以统一起来，它们在数学中都是双曲型方程）。每一次抽象都是一次“扬弃”（留其精髓，去其平庸）的过程。比如将“距离”概念抽象化而提炼出“单比”概念，进一步将“单比”抽象化而提炼出“交比”概念，于是，从欧式几何中舍弃“距离不变”而保留更普遍的“单比不变”，得到仿射几何；从仿射几何中舍弃“单比不变”而保留更普遍的“交比”，得到一般的射影几何。从欧式空间（长度，夹角）到内积空间（模，不严格的夹角）再到赋范空间（范，完全抛弃夹角）也是如此，不断的改良（抽象、提炼），一改再改，但最终改到不能再改时，就完成了一个革命——甚至连范数（最熟悉因而最不愿抛弃的度量或度规）也抛弃了，从不严格的距离发展到不确定的距离（邻域δ，就像前面提到的无穷小量一样不确定），得到了里程碑式的“拓扑空间”的概念——有史以来最广泛最深刻的革命！
& & 经由欧式空间的连续函数抽象出度量空间的连续映射，一直到抽象出拓扑空间中的同胚映射，在数学史上经历了很长时间才完成。无独有偶，物理学史也是如此。且不说从经典力学到相对论、量子力学（这个过程想必大家都听腻了），单说相对论本身也是如此。Einstein说：“为什么从狭义相对论发表到广义相对论建立又经历了7年那么长时间？主要原因是，要摆脱坐标必须有直接度量意义这个旧概念是不容易的”。看来，物理学家和数学家都遇到了摆脱“度量”概念的困难，在摆脱旧概念走向新理论这一点上物理学界和数学界是相通的（数学界走向了拓扑学，物理学界走向了广义相对论）。
& & 由于每一次“扬弃”都抛弃了一些非本质特征而提炼出更普适的精髓特征，因而每一次抽象都是在透过现象看本质，每一次提炼都是一次质的飞跃和升华，从而使由此得到的新理论更具普遍性与包容性。例如量子力学不仅能解释经典力学的各种现象，还能解释微观世界里特有的（不能被经典力学或经典电动力学解释的）现象，如AB效应。
& & 当然，尽管新理论更有包容性，但也不能完全取代旧理论。比如拓扑学就不能取代测度论。呵呵，数学界都从“everythere”退到“almost everywhere”，物理学界也不能幻想“theory of everything”吧。记得家树兄的susy物理学笔记中有这么一句经典台词：物理理论是一个无法用模型覆盖的理论流形。果然。
& & 另外，就理论本身而言，彼此也是相通的。例如，拓扑空间中的一些核心概念，像开集、闭集、内部、边界、聚点、覆盖…等，在度量空间（测度论）中也要考虑。呵呵，在地愿为连理枝，毕竟，我们“根，紧握在地下”——我们都是在集合论这片土地上生长起来的。所以，我们应该刚柔互济——你有你的可测函数，像积、像角、也像距；我有我连通的空间，像有界的闭集（紧致），又像连续的一一（同胚映射）。在你面前我常常让着你，有时将自己各部分分开一段距离ρ放你进去，这样，你就得到了精神支柱（有限可加的条件）而获得生命力（定义外测度）。
& & 当然，我的分离不完全为了你，还为了我外孙女——规范场（既然能量动量都是我姐姐——时空平移对称群生成的，那么把数学当成物理的母函数不过分吧）。我先把自己分开一个超级大口子，以至于每一个点的开邻域都没有交集（即得到Hausdorff空间），然后分娩出遍历物理学各个角落的流形（局部同胚于n维欧式空间）。等她长大后，就变成了纤维丛，从而生成规范场（所以我是规范场的外祖母）。
& & 你遇到困难（如自旋、AB效应等）常常求助于我，我总是乐于把我的致命武器——“连通性”借给你。我是这么珍爱自己这件宝贝，以至于不愿意“遗传”给自己的儿子（子集）。不过有时也拒绝你，比如你想去类空间隔，我怕你去了之后变成虚数，就用另一件武器——“紧致性”把超光速的希望变成地平线，就算看得见也永远走不到。
& & 尽管我能七十二变（同伦、同调…），但有时也求助你。比如钻进无底洞——Cantor三分集。这时你就用p进位表数法将（0,1）中的点表成二进位小数，就像“将（0,1）区间的点与（0，+∞）区间的点1-1对应起来”一样，将Cantor集合中的点和（0,1）区间也1-1对应起来。
& & 有时，我不小心钻进谢尔宾斯基海绵，这时你也无能为力，我就去找我弟——分形几何。
& & 我期望“弟子不必不如师”的喜剧在我身上重演。目前我最发愁的就是我的徒子徒孙们（四种基本相互作用）总是吵架，希望有一天它们能统一。当然，前面已经说过，数学是物理的母函数，那么没学过我的武功的“民科”们就不要瞎掺合了。必须牢记牛魔王的遗训：如果说我看得更远，那是因为站在巨人的肩膀上。
& & 期待物理学家们能像Klein用变换群统一几何学一样，也提出一个物理学的Erlangen纲领。可能这个纲领也是变换群，比如SU(3)×SU(2)×U(1)（当然也未必用直积，虽然直积能够构造更大的对称，如SU(5)等）；或者跟变换群无关，而是扭结之类的。
& & 参考文献：[1]熊金城，点集拓扑讲义，高等教育出版社
& && && && &&&[2]江泽坚，实变函数论，高等教育出版社
& && && && &&&[3]葛显良，应用泛函分析，浙江大学出版社
& && && && &&&[4]A.W.约什，物理学中的群论基础，科学出版社
& && && && &&&[5]侯伯宇、侯伯元，物理学家用微分几何，科学出版社
& && && && &&&[6]梅向明，高等几何，高等教育出版社
& && && && &&&[7]张贤科、许甫华，高等代数学，清华大学出版社
& && && && &&&[8]陈纪修.等，数学分析（下），高等教育出版社& && && && &&&
& && && && &&&[9]梅向明，黄敬之，微分几何，高等教育出版社
& & 致谢：感谢三位老师：数学系的金燕生老师（高等代数）、信息学院的邢光龙老师（群论）、物理系的吴一东老师（数学物理方法、量子力学）；感谢四位学长：文中部分思想引自尤亦庄学长的邮件；用数学研究物理的想法主要受牛家树、潘逸文和李靖阳学长熏陶；感谢数学系的朋友王新杰、赵春晖给了我走进抽象世界的勇气，尤其春晖，他初中和高中痴迷数学的经历一直激励着我。当然还有其他朋友需要感谢，不一一列举了。
& && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && &Shing Chern
& && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && &
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好文章！！
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回复刘盼盼：由于是初学，很多地方不太严密。希望朋友们带着批判地眼光阅读
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牛犇犇~Kaka
呵呵，好东西，写出了自己的感受。 刚开始我把署名看成陈省身了，呵呵，但愿未来如此~~~
Shing Chern~S S Chern
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回复陈玉梅：我觉得Marian Fecko的Differential Geometry and Lie Groups for Physicists还有Nakahara的Geometry Topology and Physics比侯的书好得多。
Singer的基础拓扑与几何将以比梅的书好得多。他们数学系的老师都说梅的书写得没思想。
我觉得微积分最好的教材就是
卓里奇的《数学分析》还有 菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》
代数书最好的是 柯斯特李金的《代数学引论》
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回复荆晓艺：多谢。这些书我们这里大多都没有。有机会我一定把这些书找来读一读
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而且物理里用的更多微分几何是微分流形上的模和代数，而梅的书只不过是一些曲面与曲线几何，都是些嵌入三维欧式空间的子流形，曲率也是外曲率，其实都是微积分里面内容的附加材料，这些在物理里面用处不大。
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回复陈玉梅：我可以发给你。我有电子档。
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回复荆晓艺： 陈成，燕山大学物理系
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关于物理 可能可以看看Sternberg的书，最近听他讲课，比较深刻。
分析看Zorich当然很好，Rudin也非常好~
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数学家只是在解释物理，真正的想法还是物理学家的~
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回复牛犇犇~Kaka：陈省身是Shiing-shen Chern
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回复陈玉梅：嗷，我试了试，文件太大发不进去。不好意思啊
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回复荆晓艺：你的邮箱是？网易和qq邮箱可上传1GB超大附件，小于50MB可用普通附件
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回复陈玉梅：好，我用163试试
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回复陈玉梅：第一部分已经发送。
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黄展文 rookie
Hausdorff空间那儿感觉不是很严密.改成&每一个点都存在开邻域没有非空交集&是不是比较好一点. 否则,全空间可以作为任何点的开邻域,balabala
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回复黄展文 rookie：多谢指正
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回复荆晓艺: 没读过国外教材，觉得国内北大的数学分析写的最好，北大其它分析教材也不错…您觉得呢？
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回复王赞：我不觉得中国的数学教材怎么好。大三的时候我把中国的数学教材（除了梁昆淼的《数理方法》）全都扔掉了。现在发现中国的统计物理和量子力学教材写的还不错。数学书我只看国外的
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回复王赞：菲赫金哥尔茨的《微积分学教程---1，2，3卷》是一个时代的经典！内容充实，同时是古典分析类教科书中不可超越的丰碑。这本书半世纪以来都是圣彼得堡大学，莫斯科物理技术学院数学，力学，物理，计算，应用数学专业的教科书。
Zorich---卓里奇 的《数学分析》是大量利用现代数学工具的创新式教科书，这套书一直以来都是莫斯科大学物理系，清华大学数理基地班的微积分教材。很多牛人（柯尔莫果洛夫，阿诺德）都对此书给予了极高的评价，你在网上一搜就看到了。
柯斯特李金的《代数学引论---1，2，3卷》绝对是全世界最棒的代数教材，按作者的说法，读完此套书，再阅读代数学的任何一门分支的书籍，原则上不存在问题。但是因为这套书习题超级难，因此当教材的不多。
目前世界只有两个地方拿柯斯特李金的这套书当教材：一个是莫斯科大学数学系，一个是剑桥的数学系。
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嗯，知道了，多谢学长指点～您学物理方面的专业吧？对数学研究得也很透彻啊！
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回复荆晓艺：你说的“中国的统计物理和量子力学”指的是？我读的书不多，统计物理就读过landau，Greiner和汪志诚的，感觉Greiner的最好；量子力学读过landau，feynmann，Dirac，Reif，Greiner，张永德，曾谨言的书和关洪的2篇论文，觉得Dirac和张永德的比较好，关洪的论文也不错，其他一般，曾谨言的最烂
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回复陈玉梅：你读的书可真是多！佩服！
统计力学有个北大老人写的，但是里面有很多处错误，主要是求和指标的问题。
量子力学你说的都是经典，张永德的三大卷是最好的，以后也很有用。另外Liu Lianshou Yu Meiling Zhu Yan 他们用英文写的高等量子力学简明教程也比较好，但是过于简明了。
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回复荆晓艺：可惜没读完，只读了一部分。高量还没看到。不过估计这学期没戏了，考完研再说吧
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回复陈玉梅：个人感觉高等量子力学和李群李代数非常重要。主要是懂了后学量子场论就轻松多了。
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回复荆晓艺：写错了，“席夫”是schiff，不是Reif
表情 悄悄话
帖子2330&积分22&金币580.9 &贡献值0 &最后登录16-8-27&
不错！！！！！！！！
问一句，你是怎么把图形贴上的。
帖子35&积分0&金币6 &贡献值0 &最后登录11-8-3&
好贴啊，谢谢楼主，学习学习
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