(A类)定义在R上的函数y=f(x).对任意的a.b∈R.满足f.当x＞0时.有f=2的值, 上是增函数,＜4的解集．(B类)已知定义在R上的奇函数f(x)= -2x+b2x+1+a．(1)求a.b的值,(2)若不等式-m2+(k+2)m-32＜f(x)＜m2+2km+k+52对一切实数x及m恒成立.求实数k的取值范围,(3)定义:若存在一个非零常数T.使 题目和参考答案——精英家教网——
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（A类）定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）=2（1）求f（0）、f（-1）的值；&&（2）证明y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．（B类）已知定义在R上的奇函数f(x)=&-2x+b2x+1+a．（1）求a，b的值；（2）若不等式-m2+(k+2)m-32＜f(x)＜m2+2km+k+52对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；（3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x0是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．
分析：A类 （1）令a=1，b=0，则有：f（1）=f（1）•f（0），结合已知得出f（0）=1．再令a=1，b=-1 可以得出f（-1）=12．（2）任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）•f（x1）-f（x1）=f（x1）（f（x2-x1）-1）由已知，可以判断出差为正数．&（3）考虑利用函数的单调性求解，注意x+1的取值范围，进行分类讨论．B类&&&&&&&&& （1）由f（0）=0，得b=1，f（-1）=-f（1），得a=2&由f(x)=-2x+12x+1+2=-12+12x+1&得出-12&＜f（x）＜12&&&转化为-m2+(k+2)m-32≤-12m2+2km+k+52≥12&&&对m∈R恒成立，进行解决．&&&&&&&&（3）利用函数单调性在（-1，1）内，g（x）=0有唯一的根x=0，再由g（-1）=g（-1+2）得-g（1）=g（1），g（1）=0，结合周期性求出所有的解．解答：A类解：（1）在f（a+b）=f（a）•f（b）中令a=1，b=0，则有：f（1）=f（1）•f（0）因为当x＞0时，有f（x）＞1，所以f（1）＞1，∴f（0）=1&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（2分）令a=1，b=-1，则f（0）=f（1）•f（-1），得出f（-1）=f(0)f(1)=12&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（4分）（2）任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）•f（x1）-f（x1）=f（x1）（f（x2-x1）-1）．由于0＜x1＜x2，所以f（x1）＞1，f（x2-x1）-1＞0所以f（x2）-f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）．y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）∵f（1）=2∴f（2）=f（1）•f（1）=4由已知，当x＜0时，f（0）=f（x）f（-x）=1，得出f（x）=1f(-x)＜1．…（10分）故①．当x+1＜0即x＜-1时，f（x+1）＜1＜4不等式恒成立．&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（11分）②．当x+1=0即x=-1时，f（x+1）=1＜4&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（12分）③．当x+1＞0即x＞-1时，由（2）知道须x+1＜2，解得-1＜x＜1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（13分）综上：不等式f（x+1）＜4的解集为{x|x＜1}．…（14分）B类：解：（1）由f（0）=0，得b=1，f（-1）=-f（1），得a=2&&&& （2）f(x)=-2x+12x+1+2=-12+12x+1&得出-12&＜f（x）＜12&&&&&&&&&&&…（5分）即-m2+(k+2)m-32≤-12m2+2km+k+52≥12&&&对m∈R恒成立，即m2-(k+2)m+1≥&0m2+2km+k+2≥0&&&对m∈R恒成立&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（7分）∴△=(k+2)2-4≤0△=(2k)2-4(k+2)≤0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（9分）解得-1≤k≤0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（10分）（3）x∈（-1，1），而g（x）=f（x）-x=-12+12x+1-x在（-1，1）内单减．且g（0）=0，故在（-1，1）内，g（x）=0有唯一的根x=0，又g（x）周期为2，对k∈Z，&g（x+2k）=g（x），所以在（2k-1，2k+1）内有唯一根x=2k由g（-1）=g（-1+2）得-g（1）=g（1），g（1）=0应有g（2k+1）=0，即还有解x=2k+1，综上：g（x）=0 的所有解为x=k（k∈Z）点评：A类 本题考查抽象函数、单调性的判定、及单调性的应用，考查转化、分类讨论的思想方法．牢牢把握所给的关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造是解决抽象函数问题常用的思路．B类 考查了函数的奇偶性、单调性、周期性，不等式恒成立问题，以及方程思想，考查计算、转化能力．
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科目：高中数学
（A类）已知函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log3（x+a）的图象上．（1）求实数a的值；&&&&&&&&&&&&&&&&（2）解不等式f（x）＜log3a；（3）|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．（B类）设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）求f（0）的值；&&&&&（2）求证：f（x）为奇函数；（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．
科目：高中数学
题型：解答题
（A类）已知函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=（x+a）的图象上．（1）求实数a的值；　　　　　　　　（2）解不等式f（x）＜a；（3）|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．（B类）设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）求f（0）的值；　　 （2）求证：f（x）为奇函数；（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．
科目：高中数学
来源：不详
题型：解答题
（A类）定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）=2（1）求f（0）、f（-1）的值；&&（2）证明y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．（B类）已知定义在R上的奇函数f(x)=&-2x+b2x+1+a．（1）求a，b的值；（2）若不等式-m2+(k+2)m-32＜f(x)＜m2+2km+k+52对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；（3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x0是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．
科目：高中数学
来源：不详
题型：解答题
（A类）已知函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log3（x+a）的图象上．（1）求实数a的值；&&&&&&&&&&&&&&&&（2）解不等式f（x）＜log3a；（3）|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．（B类）设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）求f（0）的值；&&&&&（2）求证：f（x）为奇函数；（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．
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通信工程（4）
1.有约束的一元函数的最小值单变量函数求最小值的标准形式为 min f(x)&&&&& sub.to x1&x&x2&&在MATLAB5.x中使用fmin函数求其最小值。函数&& fminbnd格式&& x = fminbnd(fun,x1,x2)&&& %返回自变量x在区间 上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。x = fminbnd(fun,x1,x2,options)&&& % options为指定优化参数选项[x,fval] = fminbnd(&)&&& % fval为目标函数的最小值[x,fval,exitflag] = fminbnd(&)&&& %xitflag为终止迭代的条件[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(&)&&& % output为优化信息说明&& 若参数exitflag&0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag&0表示函数不收敛于x；若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。例5-3&& 在[0，5]上求下面函数的最小值 f(x)=(x-3)^2-1解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为：function f = myfun(x)f = (x-3).^2- 1;保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令：&& x=fminbnd(@myfun,0,5)则结果显示为：x =&&&&& 32.无约束多元函数最小值多元函数最小值的标准形式为 min f(x)其中：x为向量，如 在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。命令&& 利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值函数&& fminsearch格式&& x = fminsearch(fun,x0)&&& %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。x = fminsearch(fun,x0,options)&&& % options查optimset[x,fval] = fminsearch(&)&&& %最优点的函数值[x,fval,exitflag] = fminsearch(&)&&& % exitflag与单变量情形一致[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(&)&& %output与单变量情形一致注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。命令&& 利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值函数&& fminunc格式&& x = fminunc(fun,x0)&&& %返回给定初始点x0的最小函数值点x = fminunc(fun,x0,options)&&& % options为指定优化参数[x,fval] = fminunc(&)&&& %fval最优点x处的函数值[x,fval,exitflag] = fminunc(&)&&& % exitflag为终止迭代的条件，与上同。[x,fval,exitflag,output] = fminunc(&)&&& %output为输出优化信息[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(&)&&& % grad为函数在解x处的梯度值[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(&)&&& %目标函数在解x处的海赛（Hessian）值注意：当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好。例5-5&& 求 f(x)=3*x1^2+2*x1*x2+x2^2 的最小值。&& fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2';&& x0=[1 1];&& [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)结果为：x =&& 1.0e-008 *&&& -0.7591&&&& 0.2665fval =&& 1.exitflag =&&&&& 1output = &&&&&&& iterations: 3&&&&&&&& funcCount: 16&&&&&&&&& stepsize: 1.2353&&&& firstorderopt: 1.&&&&&&&& algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'grad =&& 1.0e-006 *&&& -0.1677&&&& 0.0114hessian =&&&& 6.0000&&&& 2.0000&&&& 2.0000&&&& 2.0000或用下面方法：&& fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')fun =&&&&& Inline function:&&&&& fun(x) = 3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2&& x0=[1 1]；&& x=fminunc(fun,x0)x =&& 1.0e-008 *&&& -0.7591&&&& 0.26653.有约束的多元函数最小值非线性有约束的多元函数的标准形式为：min f(x)sub.to&&&&& C(x)&=0&&&&&&&&&&& Ceq(x)=0&&&&&&&&&&& A*x&=b&&&&&&&&&&& Aeq*x=beq&&&&&&&&&&& lb&=x&=ub其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。在MATLAB5.x中，它的求解由函数constr实现。函数&& fmincon格式&& x = fmincon(fun,x0,A,b)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval] = fmincon(&)[x,fval,exitflag] = fmincon(&)[x,fval,exitflag,output] = fmincon(&)[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(&)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(&)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(&)参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义；x0为初始值；A、b满足线性不等式约束 ，若没有不等式约束，则取A=[ ]，b=[ ]；Aeq、beq满足等式约束 ，若没有，则取Aeq=[ ]，beq=[ ]；lb、ub满足 ，若没有界，可设lb=[ ]，ub=[ ]；nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束 和等式约束 分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，如：&&x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function [C,Ceq] = mycon(x)C = &&&&& % 计算x处的非线性不等约束 的函数值。Ceq = &&&& % 计算x处的非线性等式约束 的函数值。lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效。output输出优化信息；grad表示目标函数在x处的梯度；hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。例5-6&& 求下面问题在初始点（0，1）处的最优解min&&& x1^2+x2^2-x1*x2-2*x1-5*x2sub.to&&&&& -(x1-1)^2+x2&=0&&&&&&&&&&& 2*x1-3*x2+6&=0解：约束条件的标准形式为sub.to&&& (x1-1)^2-x2&=0&&&&&&&&& -2*x1+3*x2-6&=0先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件：function&& [c, ceq]=mycon (x)c=(x(1)-1)^2-x(2);ceq=[ ];&&&&&& %无等式约束然后，在命令窗口键入如下命令或建立M文件：&&fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)';&&&&& %目标函数&&x0=[0 1];&&A=[-2 3];&&& %线性不等式约束&&b=6;&&Aeq=[ ];&&&& %无线性等式约束&&beq=[ ];&&lb=[ ];&&&&&&& %x没有下、上界&&ub=[ ];&&[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)则结果为x =&&&&& 3&&&&& 4fval =&&& -13exitflag =&&&&&& %解收敛&&&&& 1output = &&&&&&& iterations: 2&&&&&&&& funcCount: 9&&&&&&&&& stepsize: 1&&&&&&&& algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'&&&& firstorderopt: [ ]&&&&& cgiterations: [ ]lambda = &&&&&&&&& lower: [2x1 double]&&& %x下界有效情况，通过lambda.lower可查看。&&&&&&&&& upper: [2x1 double]&&& %x上界有效情况，为0表示约束无效。&&&&&&&&& eqlin: [0x1 double]&&&& %线性等式约束有效情况，不为0表示约束有效。&&&&&& eqnonlin: [0x1 double]&&&& %非线性等式约束有效情况。&&&&&&& ineqlin: 2.&&&& %线性不等式约束有效情况。&&&& ineqnonlin: 6.&&&& %非线性不等式约束有效情况。grad =&&&&&& %目标函数在最小值点的梯度&& 1.0e-006 *&&& -0.1776&&&&&&&&& 0hessian =&&&& %目标函数在最小值点的Hessian值&&&& 1.0000&&& -0.0000&&& -0.0000&&&& 1.0000例5-7&& 求下面问题在初始点x=(10, 10, 10)处的最优解。Min&&& f(x)=-x1*x2*x3Sub.to&&& 0&=x1+2*x2+2*x3&=72解：约束条件的标准形式为sub.to&&&&&& -1*x1-2*x2-2*x3&=0&&&&&&&&&&&& x1+2*x2+2*x3&=72 &&fun= '-x(1)*x(2)*x(3)';&&x0=[10,10,10];&&A=[-1 -2 -2;1 2 2];&&b=[0;72];&& [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b)结果为：x =&&& 24.0000&&& 12.0000&&& 12.0000fval =&&&&&&& -3456
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