如图,在直角梯形ABCD,AB//CD,AD=3cm,CD=3cm,∠D=∠A=90°,∠B=60°,点P沿AB边从点B开始向终点A以1cm/s的速度移动.△CPB以CP为对称轴经轴对称变换获得△CPQ.（1）若四边形CQPB是菱形时,求t的值（2）当P从B到达A的过程中①求Q运动路线的长度②当Q恰好落在直角梯形ABCD的边上时,求t的值③请你探究线段CQ扫过图形面积与直角梯形ABCD重叠面积的值
随心而乐trHF9
（1）DC=AD=3,CBA=60度,由c点做AB的垂直线H所以三角形CBH是直角三角形,CH=3,所以CB=根号12,HB=根号3,AB=3+根号3因为CQPB是菱形,所以PB=CB=根号12,t=BP/1=根号12秒（2）Q走过的路线是以CB为半径,2倍角CBA走过的弧度,CA=根号18,则三角形ACB中,角BAC=角CBH+角HCA=30度+45度=75度,所以Q走过的弧长是75*2=150度q轨迹是2*3.14*CB*(150/360)当Q在AB边时,PB=QP=根号3,t=根号3秒当Q再AD边时,CQ=CB=根号12,在直角三角形PQC中,PQ=根号3,角PCQ=30度,角DCB等于120度,所以角QCB=90度,角PCB等于45度,角CPB=75度,PB=CB*sin45/sin75,t=PB/1重叠的面积1/2*根号12*3+1/2*根号3*3+3.14*根号12的平方*（（120-60-30）/360)
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扫描下载二维码阅读材料：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半．如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0， ）．动点P从A点开始沿折线AO﹣OB﹣BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1， ，2（单位长度/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 （单位长度/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO﹣OB﹣BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A，B两点的直线解析式是_____________；（2）当t﹦4时，点P的坐标为________________　；当t=____________　 　，点P与点E重合；（3）作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？ - 跟谁学
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如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)． 【小题1】求线段AD所在直线的函数表达式．【小题2】动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，按照A→D→C→B的顺序在菱形的边上匀速运动，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？&&&&&&&&&&&&
2010年各省市中考数学试题分类汇编-矩形、菱形、正方形
2010中考数学分类汇编一、选择题1．（2010江苏苏州）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是A．
D．【答案】B2．（2010湖南怀化）如图２，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（
）　　　　A．20
B．18　　C．16
D．15【答案】C3．（2010安徽芜湖）下列命题中是真命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两边相等的平行四边形是菱形【答案】C4．（2010甘肃兰州）如图所示，菱形ABCD的周长为20，DE⊥AB，垂足为E，A=，则下列结论正确的个数有①
③菱形的面积为
D． 4个【答案】C5．（2010江苏南通） 如图，菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线　　AC的长是　　　　A．20 B．15　　C．10 D．5【答案】D6．（2010江苏盐城）如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为A．5
D．10【答案】A7．（2010 浙江省温州）下列命题中，属于假命题的是(▲)A．三角形三个内角的和等于l80°
B．两直线平行，同位角相等C．矩形的对角线相等
D．相等的角是对顶角．【答案】D8．（2010 浙江省温州）如图，AC；BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE／／AC交BC的延长线于E，则图中-与AABC全等的
三角形共有(．▲)A．1个
D．4个【答案】D9．（2010 浙江义乌）下列说法不正确的是（ ▲ ）　A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形　C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形【答案】D10．（2010 重庆）已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若， ．下列结论：　　①△≌△；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（
）　　A．①③④
D．①③⑤【答案】D11．（2010山东聊城）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（
）　　A．　　
D．不确定　　【答案】A12．（2010 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是(
D. 672【答案】B13．（2010 山东济南） 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在
点．【答案】C14．（2010 江苏连云港）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（
）A．BA＝BC
B．AC、BD互相平分
D．AB∥CD【答案】B15．（2010福建宁德）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（
D．18【答案】B16．（2010江西）如图，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为(
D．1【答案】B17．（2010 山东滨州） 如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为( )A.60°
D.90°【答案】C18．（2010山东潍坊）如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是（
）．【答案】D19．（2010北京） 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（
D． 10【答案】A20．（2010 浙江省温州）下列命题中，属于假命题的是(▲)A．三角形三个内角的和等于l80°
B．两直线平行，同位角相等C．矩形的对角线相等
D．相等的角是对顶角．【答案】D21．（2010 浙江义乌）下列说法不正确的是（ ▲ ）　A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形　C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形【答案】D22．（2010陕西西安）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为A．16 B．8 C．4 D．1【答案】A23．（2010江西省南昌）如图，已知矩形纸片，点是的中点，点是上的一点，，现沿直线将纸片折叠，使点落在约片上的点处，连接，则与相等的角的个数为
（第10题）【答案】B24．（2010湖北襄樊）下列命题中，真命题有（
）（1）邻补角的平分线互相垂直
（2）对角线互相垂直平分的四边形是正方形（3）四边形的外角和等于360°
（4）矩形的两条对角线相等　　A．1个
D．4个【答案】C25．（2010湖北襄樊）菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（
）　　A．3：1
D．6：1【答案】C26．27．28．29．30．二、填空题1．（2010江苏盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为
．【答案】　　2．（2010山东威海）从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．　　现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A＝45°，AB＝6，AD＝4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为
．　　　　　　【答案】．3．（2010浙江嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且，则=　　▲　　度．【答案】254．（2010年上海）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.　　　　【答案】CF=1或55．（2010山东青岛）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是
cm2．【答案】5.16．（2010 福建德化）已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝，则菱形的面积为
㎝2.【答案】247．（2010湖南邵阳）如图（九）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=CD，点E为AB上一点，连结CE，请添加一个你认为合适的条件
，使四边形AECD为菱形．图（九）【答案】AE＝CD或AD∥CE或CE=BC或∠CEB＝∠B的任意一个都可8．（2010山东临沂） 正方形的边长为,点、分别是对角线上的两点，过点、分别作、的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于
.【答案】9．（2010四川宜宾）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC．其中正确结论的序号是
．【答案】①、②、④、⑤．10．（2010 江苏连云港）矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B'处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．【答案】11．（2010 黄冈）如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm.【答案】12．（2010 河北）把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1
S2（填"＞"、"＜"或"="）．【答案】=13．（2010 山东省德州）在四边形中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是
（只要写出一种即可）．【答案】答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等．14．2010 广东珠海）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_____cm.【答案】415．（2010 四川巴中）如图5所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有
（填写番号）。【答案】①④16．（2010江苏淮安）已知菱形ABCD中,对角线AC=8cm，BD=6cm，在菱形内部(包括边界)任取一点P，使△ACP的面积大于6 cm2的概率为
．【答案】17．（2010 湖南株洲）如图，四边形是菱形，对角线和相交于点，，，则这个菱形的面积是
．【答案】1618．（2010广东中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（2））；以此下去，则正方形的面积为
．　　　　　　　【答案】62519．(2010江苏苏州)如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是
°．【答案】22.520．（2010湖北恩施自治州）如图，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF =
.【答案】521．（2010山东泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D/重合，若BC=8，CD=6，则CF=
.【答案】22．（2010云南楚雄）如图，在□ABCD中，对角线与相交于点，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请添加一个条件，使得□ABCD变为矩形，需要添加的条件是
．（写出一个即可）　　【答案】AC＝BD或∠ABC＝90°等．23．（2010湖北随州）如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm.【答案】24．（2010黑龙江哈尔滨）如图，将矩形纸片ABC（D）折叠，使点（D）与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若，那么的度数为
度。【答案】12525．（2010广东东莞）如图⑴，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图⑵）；以此下去...，则正方形A4B4C4D4的面积为
．　　　　　【答案】625　　26．（2010 四川绵阳）已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB = 6，∠BDC = 30?，则菱形的面积为
．【答案】1827．28．29．30．三、解答题1．（2010安徽省中中考）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC⑴求证：四边形BCEF是菱形⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE【答案】2．（10湖南益阳）如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．　(1) 求∠ABD 的度数；(2)求线段的长．【答案】解:⑴　在菱形中,，∴为等边三角形∴
.................................4分　　⑵由（1）可知　又∵为的中点∴
.................................6分又∵，及∴∴
.................................8分3．（10湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫"方形环"，易知方形环四周的宽度相等.一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小明在探究线段与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若
相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.【答案】⑴解:
在方形环中，∵∥∴∴△≌△∴　　　　　　　　 .................................5分⑵解法一：∵　　　∴∽
.................................8分∴∵∴ （或）.................................10分①当时，tan=1,则②当时，则 （或） 　　
.................................12分解法二：在方形环中，又∵∴∥∴在与中，即
（或）　　　.................................10分①当时，②当时，则 （或） 　　　　　.................................12分4．（2010江苏南京）（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。（1）设AE=时，△EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。【答案】5．（2010辽宁丹东市） 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，　　∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，　　∴∠AEF=∠ECD．
3分　　又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC　　∴Rt△AEF≌Rt△DCE．
5分　　AE=CD．
6分　　AD=AE+4．　　∵矩形ABCD的周长为32 cm，　　∴2（AE+AE+4）=32．
8分解得， AE=6 （cm）．
10分6．（2010山东济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？　　经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.　　(1) 请按照小明的思路写出求解过程.　　(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.【答案】（1）解：过作直线平行于交，分别于点，，　　　　　　则，，.　　　　　　∵，∴. 2分　　　　　　∴，.　　　　　　∴.
4分（2）证明：作∥交于点， 5分　　　　　　　则，.　　　　　　　∵，　　　　　　　∴.　　　　　　　∵，，　　　　　　　∴.∴. 7分　　　　　　　∴. 8分　　7．（2010山东青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，　∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．　∵AE = AF，　∴．　∴BE＝DF．
4分（2）四边形AEMF是菱形．　　∵四边形ABCD是正方形，　　∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．　　∵BE＝DF，　　∴BC－BE = DC－DF. 即．　　∴．　　∵OM = OA，　　∴四边形AEMF是平行四边形．　　∵AE = AF，　　∴平行四边形AEMF是菱形．
8分8．（2010山东日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．【答案】（1）证明：∵∠AEF=90o，∴∠FEC+∠AEB=90o．.............................................1分在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，∴∠BAE=∠FEC；...................................................3分（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，　　　∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o．　　　又∵CF是∠DCH的平分线，∠ECF=90o+45o=135o．.............................................4分　　　在△AGE和△ECF中，　　　∴△AGE≌△ECF；
................................................6分（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF．又∵∠AEF=90o，∴△AEF是等腰直角三角形．....................................7分由AB=a，BE=a，知AE=a，∴S△AEF=a2．.........................................................9分9．（2010四川眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．　　（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；　　（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．　　【答案】解：（1）四边形OCED是菱形．............（2分）　　∵DE∥AC，CE∥BD，　　∴四边形OCED是平行四边形，............（3分）　　又
在矩形ABCD中，OC=OD，　　∴四边形OCED是菱形．.....................（4分）（2）连结OE．由菱形OCED得：CD⊥OE， ............（5分）∴OE∥BC又
CE∥BD　　∴四边形BCEO是平行四边形　　∴OE=BC=8...................................................（7分）　　∴S四边形OCED=...............（8分）10．（2010浙江宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC=8， BD=6.(1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形.并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.(注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)【答案】解：(1)1分周长为26
2分3分周长为22
4分(2)6分注:画法不唯一.11．（2010浙江绍兴） (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,　　　BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF　　　＝4.求GH的长.(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).【答案】(1) 证明：如图1，∵
四边形ABCD为正方形，　　∴
AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，　　∴
∠EAB+∠AEB=90°.　　∵
∠EOB=∠AOF＝90°,　　∴
∠FBC+∠AEB=90°，∴
∠EAB=∠FBC，　　∴
△ABE≌△BCF ，
BE=CF．(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，　　过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，　　则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，　　∴
EF=BN,GH=AM，　　∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,　　故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴
AM=BN，　　∴
GH=EF=4．(3)
① 8．② 4n．12．（2010 浙江省温州市）(本题10分)如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E．F．已知BE=BP．求证：(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形．【答案】13．（2010重庆市潼南县）(10分) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.　（1）证明：△ABE≌△DAF；　　　　　　　　　　　　（2）若∠AGB=30°，求EF的长.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形　　　　　　
∴AB=AD　　　　　　　在△ABE和△DAF中　　　　　　　　　　　　　　∴△ABE≌△DAF-----------------------4分　　　（2）∵四边形ABCD是正方形　　　　　∴∠1+∠4=900　　　　　∵∠3=∠4　　　　　∴∠1+∠3=900∴∠AFD=900----------------------------6分在正方形ABCD中， AD∥BC　　　　　∴∠1=∠AGB=300　　　　　在Rt△ADF中，∠AFD=900
DF =1----------------------------------------8分由(1)得△ABE≌△ADF∴AE=DF=1∴EF=AF-AE= -----------------------------------------10分14．（2010山东聊城）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．　　（1）求∠CAE的度数；　　（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．　　　　【答案】（1）在等边△ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30o，又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60o，∴∠CAE＝30o（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90o，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30o，∴∠EAF＝60o+30o＝90o，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵∠CFA＝90o，∴四边形AFCE是矩形．15．（2010湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求的度数．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC又∵AC为对角线，E为AC上一点，∴∠BCE＝∠DCE＝45°．∵EC＝EC,∴△BEC≌△DEC(SAS)；（2）∵△BEC≌△DEC, ∠BED＝120°,∴∠BEC＝∠DEC＝60°．∵∠DAC＝45°，∴∠ADE＝15°∴∠EFD＝∠BED－∠ADE＝120°－15°＝105°16．（2010浙江金华(本题12分)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A，B两点的直线解析式是
；（2）当t﹦4时，点P的坐标为
，点P与点E重合；（3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？　　　　　　② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）； （2）（0,），；（3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）∵,,∠∠90°∴△≌△，∴﹒　　　　　又∵,∠60°,∴而，∴,由得
；当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段上时，　　　　　过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）∵,∴,∴∴， 又∵在Rt△中，即，解得．　　　　　　　　②存在﹒理由如下：∵，∴,，　　　　　将△绕点顺时针方向旋转90°，得到　　　　　△（如图3）∵⊥，∴点在直线上，C点坐标为（，－1）过作∥，交于点Q,　　　　　则△∽△由，可得Q的坐标为（－，）　　　　　根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件。17．（2010江苏泰州）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．　　(1)求证：AC∥DE；　　(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．　　【答案】⑴在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB，　　∴∠DCA=∠EDC，∴AC∥DE；　　⑵四边形BCEF是平行四边形．　　理由：由∠DEC=90°，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90°，　　又∠EDC=∠CAB，AB=CD，　　∴△DEC≌△AFB，∴DE=AF，由⑴得AC∥DE，　　∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD=EF，　　∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，　　∴EF∥BC且EF=BC，∴四边形BCEF是平行四边形．18．（2010江苏无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．　　　　下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE．　　　　（下面请你完成余下的证明过程）　　（2）若将（1）中的"正方形ABCD"改为"正三角形ABC"（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的"正方形ABCD"改为"正边形ABCD......X"，请你作出猜想：当∠AMN=
°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）　　【答案】解：（1）∵AE=MC，∴BE=BM， ∴∠BEM=∠EMB=45°， ∴∠AEM=135°，∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（2）仍然成立．在边AB上截取AE=MC，连接ME∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°．∵AE=MC，∴BE=BM∴∠BEM=∠EMB=60°∴∠AEM=120°．∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（3）19．（2010山东临沂）如图1，已知矩形，点是边的中点，且.(1)判断的形状，并说明理由；(2)保持图1中的固定不变，绕点旋转所在的直线到图2中的位置（当垂线段、在直线的同侧）.试探究线段、、长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2 中的固定不变，继续绕点旋转所在的直线到图3中的位置（当垂线段、在直线的异侧）.试探究线段、、长度之间有什么关系？并给予证明.【答案】解：（1）△ABC是等腰直角三角形。如图（1）在矩形ABED中，因为点C是边DE的中点，且AB=2AD,所以AD=DC=CE=EB,∠D=∠E=90°.∴Rt△ADC≌Rt△BEC.∴AC=BC, ∠1=∠2=45°.∴∠ACB=90°.∴△ABC是等腰直角三角形。（2）DE=AD+BE.如图（2），在Rt△ADC和Rt△BEC中，∵∠1=∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°.∴∠CAD=∠2.又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°,∴Rt△ADC≌Rt△CEB.∴DC=BE,CE=AD.∴DC+CE= BE+AD,即DE=AD+BE.（3）DE=BE-AD.如图（3），在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠1+∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°，∴∠CAD=∠2.又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CBE.∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD.20．（2010四川宜宾）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点B作BD∥AC，且BD=2AC，连接AD．试判断△ABD的形状，并说明理由．　　　　【答案】过点A作AE垂直BD与点E，则四边形ACBE为矩形，所以CB=EA，AC=BE，且BD=2AC，所以BE=ED=AC，在Rt⊿ACB和Rt⊿AED中，　　ED=AC，CB=EA，∠ACB=∠AED= 90°，所以Rt⊿ACB≌ Rt⊿AED（SAS）．所以AB=AD，所以三角形ABD为等腰三角形．21．（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．　　（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．　　　　　　【答案】不变，理由是：在Rt△ABE和Rt△AHE中，AB=AH，AE=AE，所以Rt△ABE∽Rt△AHE，所以HE=BE，同理HF=DF.所以△ECF的周长=EF+CE+CF=BC+DC.可见△ECF的周长等于正方形边长的两倍.22．（2010 黄冈）（6分）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。第18题图【答案】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而得到AE＝EF.23．（2010 山东莱芜）在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是
；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是
；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【答案】解：（1）四边形EGFH是平行四边形．证明：∵
ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O是
ABCD的对称中心．∴EO=FO，GO=HO．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）菱形．（3）菱形．（4）四边形EGFH是正方形．证明：∵AC=BD，∴
ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴
ABCD是菱形．∴
ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH.∴四边形EGFH是正方形．24．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴ 求证：△AMB≌△ENB；⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）. ..................5分　　⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据"两点之间线段最短"，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝.解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.25．（2010浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A，D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．　　【答案】（1）存在，理由如下：假设存在这样的点Q，∵FE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DPC＋∠DCP＝90°，∴△PAE∽△PDC，∴，∴，同理可得，∴，即，∴，∴，∴∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.∵AP≠AQ，∴AP≠，即P不能是AD的中点，∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在，故，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP＋AQ＝3．（2）设AP＝x，BE＝y，则DP＝3－x，AE＝2－y，又PE⊥PC，∴△PAE∽△PDC，∴，即，∴，当时，y有最小值，y的最小值为，又E在AB上运动，且AB＝2，∴BE的取值范围是≤BE＜2．26．（2010江苏常州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】27．（2010 四川成都）已知：在菱形中，是对角线上的一动点．（1）如图甲，为线段上一点，连接并延长交于点，当是的中点时，求证：；（2）如图乙，连结并延长，与交于点，与的延长线交于点．若，求和的长．【答案】（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AD∥BC。∴∠OBP=∠ODQ∵O是是的中点，∴OB=OD在△BOP和△DOQ中，∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ　　　　　　∴△BOP≌△DOQ（ASA）　　　　　　∴OP=OQ。（2）解：如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T.∵ABCD是菱形，∠DCB=60°∴AB=AD=4，∠ABT=60°∴AT=ABsin60°=TB=ABcos60°=2∵BS=10，∴TS=TB+BS=12，∴AS=。∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB。∴，则,∴∵AS=，∴。同理可得△ARD∽△SRC。∴,则,∴，∴。∴OR=OS-RS=。28．（2010湖南常德）如图5， 已知四边形ABCD是菱形， DE⊥AB，DF⊥BC. 求证:△ADE≌△CDF.【答案】证明：在△ADE和△CDF中,　　　∵四边形ABCD是菱形,∴∠A=∠C，AD=CD.又DE⊥AB，DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=900.∴△ADE≌△CDF.29．（2010湖南常德）如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.① 求证：AG⊥CH；②当AD=4，DG=时，求CH的长.【答案】解：（1）成立．　　　　　　四边形、四边形是正方形，　　　　　　∴∠∠.∴∠90°-∠∠.　　　　　　∴△△.∴.（2）①类似（1）可得△△，　　　　　
∴∠1＝∠2　
又∵∠＝∠.　　　　　
∴∠∠＝.　　　　　
即　　　　 　 ② 解法一: 过作于,　　　　　 由题意有,　　　　　　∴，则∠1＝.　　　　　　而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.　　　　　　∴　，即.　　　　　　在Rt中，＝＝,　
而∽,∴,　 即,　　　　　　∴.　　　再连接，显然有,　　　　　 ∴.所求的长为.　　解法二：研究四边形ACDG的面积　　过作于,　　　　
由题意有,　　∴,.　　而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,　　,　　∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.∴=.30．（2010江苏扬州）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．（1）求证：∠DAE＝∠DCE；（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴∠ADE=∠CDE，AD=CD∵DE是公共边∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠DAE=∠DCE　　　　(2)FG=3EF　　　　　　　解法一：∵四边形ABCD是菱形　　　　　　　　　　　∴AD∥BC，∠DAE=∠G　　　　　　　　　　　∵∠DAE=∠DCE　　　　　　　　　　　∴∠DCE=∠G　　　　　　　　　　　∵∠CEF=∠GEC　　　　　　　　　　　∴△ECF∽△EGC　　　　　　　　　　　∴　　　　　　　　　　　∵△ADE≌△CDE　　　　　　　　　　　∴EA=EC　　　　　　　　　　　∴　　　　　　　　　　　∵AE=2EF　　　　　　　　　　　∴EG=2EC=4EF　　　　　　　　　　　∴FG=3EF解法二：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD∴△ABE∽△FDE∴同理△BEG∽△DEA∴∴EG=2AE=4EF∴FG=3EF31. （2010北京）阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点P碰到BC边，沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动，当点P碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，...，如图1所示．问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD．由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．　　图1
图2请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P点第一次与D点重合前与边相碰______次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是________cm；（2）进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB．动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB∶AD的值为________．【答案】解：（1）5，24（2）4∶5解题思路示意图：32. 如图 ，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90ｏ，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.（１） 求证：△PDQ是等腰直角三角形；（２） 当点P运动到什么位置时，四边形ＡPDQ是正方形，说明理由.解：（1）证明：连结AD　　
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点　　　∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B又∵BP=AQ∴△BPD≌△AQD∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP∵∠BDP+∠ADP=90ｏ∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90ｏ∴△PDQ为等腰直角三角形.（2）当P点运动到AB的中点时，四边形ＡPDQ是正方形.　　　由（１）知△ABD为等腰直角三角形.　　　当P点运动到AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90ｏ　　　又∵∠A=90ｏ，∠PDQ=90ｏ　　　∴四边形ＡPDQ为矩形　　　又∵DP=AP=AB　　　∴四边形ＡPDQ是正方形.33. （2010云南红河哈尼族彝族自治州）如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.【答案】解：根据题目条件可判断DE//BF.　　证明如下：　　∵四边形ABCD是正方形，　　∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°.　　∵AF=AE+EF，又AF=BF+EF　　∴AE=BF　　∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE（SAS）.　　∴∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE.　　∴∠ADE+∠2=90°，　　∴∠AED=∠BFA=90°.∴DE//BF.34. （2010湖北随州）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。第18题图【答案】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而得到AE＝EF.35. （2010江苏徐州）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，
CE∥BF，连接BE、CF．(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．【答案】36. （2010江苏徐州）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．(1)如图②，若M为AD边的中点，①,△AEM的周长=_____cm；②求证：EP=AE+DP；(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．【答案】37. （2010陕西西安）如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC。分别以AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC。求证：FN=EC。【答案】证明：FN=EC。　　证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，　　AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°　　∵AB=2BC　　∴EN=BC　　∴△FEN≌△EBC∴FN=EC。38. （2010广东东莞）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：⑴说明△FMN ∽ △QWP；⑵设0≤≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问为何值时，△PQW为直角三角形？当在何范围时，△PQW不为直角三角形？⑶问当为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．【答案】⑴∵P、Q、W分别为△FMN三边的中点∴PQ∥FN，PW∥MN∴∠MNF＝∠PQM＝∠QPW同理：∠NFM＝∠PQW∴△FMN ∽ △QWP⑵由⑴得△FMN ∽ △QWP，所以△FMN为直角三角形时，△QWP也为直角三角形．如图，过点N作NECD于E，根据题意，得DM＝BM＝，∴AM＝4－，AN＝DE＝6－∵DF＝2，∴EF＝4－∴MF2＝22＋x2＝x2＋4，MN2＝（4－x）2＋（6－x）2＝2x2－20x＋52，NF2＝（4－x）2＋42＝x2－8x＋32,① 如果∠MNF＝90°，则有2x2－20x＋52＋x2－8x＋32＝x2＋4，解得x1＝4，x2＝10（舍去）；②如果∠NMF＝90°，则有2x2－20x＋52＋x2＋4＝x2－8x＋32，化简，得：x2－6x＋12＝0，△＝－12＜0，方程无实数根；③如果∠MFN＝90°，则有2x2－20x＋52＝x2＋4＋x2－8x＋32，解得x＝．∴当为4或时，△PQW为直角三角形，当0≤＜或＜＜4时，△PQW不为直角三角形⑶∵点M在射线DA上，点N在线段AB上，且AB⊥AD，∴当M点运动到与A点重合时，NM⊥AD，根据垂线段最短原理，此时线段MN最短，DM＝4，则BN＝4．∴当＝4时，线段MN最短，MN＝２．39. （2010 福建三明）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PF⊥DC于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF。（1）如图2，若点P在线段AO上（不与A、O重合0，PE⊥PB且PE交CD点E。①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你的结论；（2）若点P在线段CA的延长线上，PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）【答案】（1）证明：延长FP交AB于点Q，证明≌即可得出............4分（2）解：PC-PA=　　理由如下......8分（3）正确完成图3得1分，结论①仍成立，②不成立 ............11分此时②中三条线段的数量关系是 ............40．41．42．43．44．45．46．47．48．49．50．