如何求空间两异面直线间距离的距离

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-01-28 15:04 标签： 向量中 异面直线的距离
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空间向量点到面的距离和异面直线间距离求法
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在0℃的江苏无锡街头，环卫工用双手疏通下水道。
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例、已知正方体ABCD的棱长为1，求异面直线与AC的距离。
一、直接利用定义求解
如图1，取AD中点M，连、MB分别交、AC于E、F，连，由平面几何知识，易证，，，则。
由，得⊥平面，则，同理AC⊥，所以，EF⊥，EF⊥AC，即EF为异面直线与AC的距离，故有EF=。
此法的关键是作出异面直线的公垂线段。
二、转化为线面距离求解
如图2，连、，则AC∥平面。设AC、BD交于O，、交于，连，作OE⊥于E，由⊥平面知，故OE⊥平面。
所以OE为异面直线与AC的距离。
在△中，，则
　　所以异面直线与AC的距离为。
　　此法是将线线距离问题转化为线面距离问题来解，合理、恰当地转化是解决问题的关键。
　　三、转化为面面距离求解
　　如图3，连、、、、，易知平面，则异面直线与AC的距离就是平面与平面的距离，易证⊥、⊥平面，且被平面和平面三等分，又。
　　所以异面直线与AC的距离为。
　　此法是将线线距离问题转化为面面距离问题来解，巧妙的转化常能收到事半功倍的奇特效果。
　　四、构造函数求解
　　如图4，在上任取一点E，作EM⊥AD于M，再作MF⊥AC于F，连EF，则∠EMF=。
设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则
　　当且仅当时，EF取最小值。
　　所以异面直线与AC的距离为。
　　此法是选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。
　　五、利用体积变换求解
　　如图5，连、、，则∥平面，设异面直线与AC的距离为，则D到平面的距离也为。
　　易知，。
　　所以，则。
　　所以异面直线与AC的距离为。
　　此法是将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式求之。
　　六、利用向量求解
　　如图6，AB为异面直线、的公垂线段，为直线AB的方向向量，E、F分别为直线、上的任意一点，则
　　证明：显然=，，。
　　所以，
　　所以，
　　所以，即，
　　所以。
　　把上述结论作为公式来用，即可巧妙地求出某些问题中的异面直线间的距离。
　　建立如图7所示的空间直角坐标系，易知，=（-1，1，0），
　　（-1，0，0）。
　　设异面直线、AC的公垂线的方向向量为，由，，得解得故可取。
　　所以异面直线与AC的距离为。
　　此法是利用公式求解，具有不必作出公垂线段的特点，合理、恰当地建立空间直角坐标系，常能使问题变得简单易解。
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