二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
安徽省望江中学 朱绍勋
复习，是教学的重要环节，逐章逐节，不失时机地搞好复习，不仅可起到克服遗忘的作用，而且有利于新的知识的接受，理解和消化，起到“温故而知新”的作用．尤其是毕业复习，将所学的各知识点，经过重温、分析、比较，综合归纳，使之串点成线，理线成“系”，让学生系统地、完整地掌握知识结构，形成能力．数学，由于它是一门具有完整的知识结构和严密的知识体系的学科，复习的作用尤为重要．例如：二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三个“二次式”不仅是初中代数的重要内容，而且三者有着密切的联系，形成一个完整的知识体系，涉及知识面广，通过复习，可带动初中数与式，方程与函数的知识，运用灵活性大，可强化解题方法、技巧的训练，形成能力．
1．知识系统
二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联，通过二次函数图象揭示解(集)的几何特征．即
1．1 二次函数的几何特征：
△＝b2－4ac，则
(1)二次函数的图象．
(2)抛物线张口方向与极值．
对称轴在原点左侧&U a、b同号；对称轴在原点右侧&U
a、b异号；对称轴与y轴重合&U
M在x轴上方&U
a、△异号；M在x轴下方&U
a、△同号；M在x
(5)图象过点(m，n)
图象过点(m，n)am2＋bm＋c＝n．
特别地：m＝0&U
c＝n(c为截距)；m＝n＝0&U
m＝±1，n＝0&U
a±b＋c＝0．
1．2 二次函数与一元二次方程：
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，即为一元二次方程ax2＋bx＋c=0，故，一元二次方程的解又叫二次函数的零点，令方程“y=0”，根为x1、x2，则有：二次函数的零点&U
抛物线与x轴的交点&U
方程y=0的根．
(1)交点个数：
有两个交点(x1，0)、(x2，0)&U
方程y=0有不等实根&U
有一个交点(x1，0)&U
方程y=0，有等实根&U
无交点&U 方程y=0，无实根&U
(2)交点位置：
两交点在两数α、β之间或之外
两交点一个在两数α、β之间
1．3 二次函数与一元二次不等式：
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)，当讨论函数值y＞0或y＜0的自变量x的取值范围时，即为解不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，即：二次函数y＞0或y＜0的自变量取值范围&U
抛物线上在x轴上方或下方的点对应的横坐标&U
不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集．
故设a＞0(a＜0时可仿此讨论)，方程ax2＋bx＋c=0两根为x1、x2且x1≤x2于是：
(1)抛物线上在x轴上方的点的横坐标&U
ax2＋bx＋c＞0的
(2)抛物线上在x轴下方的点的横坐标&U
ax2＋bx+c＜0的
例1 已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示：
(1)试判断a、b、c及b2-4ac的符号；
(2)若|OA|＝|OB|，试证明ac＋b＋1=0．
分析：解本题，主要是应用抛物线的几何特征(张口方向，对称轴，截距，与x轴交点个数)及函数零点(方程)的有关知识，即
(1)由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与x轴交点个数，立即可得：a＞0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0．
(2)由方程ax2＋bx＋c=0&U
例2 已知二次函数y=4x2＋4x＋m的图象与x轴两交点和对称轴的交点构成一个正三角形的三个顶点，求函数解析式．
分析：求解析式，即求m，主要是应用抛物线的顶点、对称轴与x轴的交点(即解方程)和三角形的有关知识，即：
例3 m为何值时，关于x的方程8x2-(m-1)x＋(m-7)=0的两根：
(1)为正数根，(2)为异号根且负根绝对值大于正根，(3)都大于1，(4)一根大于2，一根小于2，(5)两根在0，2之间．
分析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与x轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为x1，x2，则
7＜m≤9或25≤m＜27．
例4 证明关于x的不等式(3k-2)x2＋2kx＋k-1＜0与
分析：证明不等式恒成立，实质证明对应抛物线恒在x轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在x轴上方或下方的充要条件即可．
因此，当k为任意实数时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证．
例5 已知关于x的方程x2-2mx＋4m2-6=0两根为α、β，试求：
(α-1)2＋(β-1)2的极值．
分析：求(α-1)2＋(β－1)2的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题．
u=(α-1)2＋(β-1)2=(α＋β)2-2(α＋β)-2αβ＋2一元二次不等式的解法；一、学习目标；1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一；2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的；二、教学难点；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的；1、一元二次不等式的定义；象x?5x?0这样，只含有一个未知数，并且未知数；2、探究一元二次不等式x?5x?0的解集怎样求不；（1）二次方程的根与二次函数的零点
一元二次不等式的解法
一、学习目标
1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。
2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。
二、教学难点
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 三、教学过程
1、一元二次不等式的定义
象x?5x?0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
2、探究一元二次不等式x?5x?0的解集 怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：x1?0,x2?5
二次函数有两个零点：x1?0,x2?5
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集
画出二次函数y?x?5x的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x&0，或x&5时，函数图象位于x轴上方，此时，y&0,即x?5x?0； 当0&x&5时，函数图象位于x轴下方，此时，y&0,即x?5x?0；
所以，不等式x?5x?0的解集是?x|0?x?5?，从而解决了本节开始时提出的问题。
3、探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
ax2?bx?c?0,(a?0)或ax2?bx?c?0,(a?0)
一般地，怎样确定一元二次不等式ax?bx?c&0与ax?bx?c&0的解集呢？ 讨论：
归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线y?ax?bx?c与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax?bx?c=0
的根的情况
(2)抛物线y?ax?bx?c的开口方向，也就是a的符号 讨论结果：
（l）抛物线 y?ax?bx?c（a& 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 ax?bx?c=0的判别式??b?4ac三种取值情况(Δ& 0，Δ=0，Δ&0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a&0可以转化为a&0
分Δ&O，Δ=0，Δ&0三种情况，得到一元二次不等式ax?bx?c&0与ax?bx?c&0的解集
一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解集：
设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，
则不等式的解的各种情况如下表：
例1、什么是一元二次不等式的一般式？
解：一元二次不等式的一般式是：ax+bx+c(a＞0)或ax+bx+c＜0(a＞0) 评注：
1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、 二次函数只要求a≠0不同。
2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一， 当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。
例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？ 点拨：用函数的观点来回答。
解：二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax+bx+c
(a≠0)的图
象是抛物线L，则不等式ax+bx+c＞0，ax+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴
上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax+bx+c=0的根就是抛物线L 与x轴的公共点的横坐标。
评注：二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理
解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二 次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 例3、请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。
评注：1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。
2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 解：一元二次不等式的解法步骤是：
1.化为一般式ax+bx+c＞0 (a＞0)或ax+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。
2.计算△=b－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。
3.写出解集：用区间或用大括号表示解集。
例如：解不等式
解：原不等式等价于3x－x－2＜0
解方程3x2－x－2=0得二根：，x2=1。∴原不等式的解集为（
例1、解不等式2x－3x－2＞0
解析：由“三个二次”关系，相应得到所求解集. 解：由2x2－3x－2＝0知Δ＝9＋16＞0，a＝2＞0
2x2－3x－2＝0的解集为{x｜x1＝－2 或x2＝2} 1
∴2x2－3x－2＞0的解集为{x｜x＜－2 或x＞2}
由例1解题过程可知，问题要顺利求解，应先考虑对应方程的判别式及二次项系数是否大于零，然后按照不等式解集情况求得原不等式的解集.
例2、解不等式－3x2＋6x＞2. 解析：通过观察－3x2＋6x＞2与表格中不等式形式比较可发现，它们不同地方在于二次项系数.
故首先将其变形为二次项系数大于零情形，转化为熟知类型，然后求解. 解：原不等式－3x2＋6x＞2变形为3x2－6x＋2＜0 3x2－6x＋2＝0对应的Δ＝36－24＞0，3＞0
方程 3x2－6x＋2＝0解得：x1＝13，x2＝1＋333
所以原不等式的解集是{x｜1－3＜x＜1＋3练习1、解下列不等式：
（1）2+3x－2x2＜0；（2）－x2+2x－3x＞0；（3）x2－4x+4＞0
解：（1）原不等式等价于2x-3x-2&0由2x－3x－2=0得
，x2=2.∴原不等式
（2）原不等式等价于:x2-2x+3&0
＜0，知原不等式解集为。
（3）△=，方程
∴原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠2}。
1.要严格按“解法步骤”求解。
2.最后要用集合表示法表出解集。如本倒的（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括
号表出解集，该题的解集也可用区间表为集表为x≠2，这是错误的。 例3、解不等式(1+x)(2-x)( x+x+1)＞0 解析：化为一元二次不等式来解。
解：∵y=x+x+1的判别式△=1＜0，a=1＞0
，但有时把第（3）题的解
∴对一切x∈R恒有x2+x+1＞0，
∴原不等式等价于(1+x)(2-x)＞
∴原不等式的解集为（－1，2）。 例4、设全集为R，已知A={解析：解不等式化简集合A。
方程2x2-x-1=0的两根为
∴不等式①的解集为[，1]，
∴A=[，1] ∴
例5、已知关于x的方程2x+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围。 解析：列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组。 解：已知方程有两个负根的等价条件是
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一元二次不等式的解集和解一元二次二次不等式有什么区别一元二次不等式的解集是形如什么样子的（举个具体例子）解一元二次不等式的步骤是什么,要不要最后在写解集（举个具体例子）,不要全文字描述
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不一定啊，Δ小于0只是一元二次函数与X轴的交点为零，若图像开口向上，即整个图像在X轴上方，求其大于0的解则为R，求其小于0的解则为空集。
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