导读：高中数学典型例题分析，第六章立体几何初步，三、经典例题导讲，点评：在立体几何的问题中，四、典型习题导练，高中数学典型例题分析第六章立体几何初步§6.1两条直线之间的位置关系一、知识导学1.平面的基本性质.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3
高中数学典型例题分析
第六章 立体几何初步
§6.1 两条直线之间的位置关系
一、知识导学
1. 平面的基本性质.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
2. 空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.
3. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
4. 异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.
5. 反证法.会用反证法证明一些简单的问题.
二、疑难知识导析
1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.
2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.
3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，
4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.
5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b??,A??且A?b,a???A,则a与b异面.
三、经典例题导讲
[例1]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM(
A .是AC和MN的公垂线.
B .垂直于AC但不垂直于MN.
C .垂直于MN，但不垂直于AC.
D .与AC、MN都不垂直.
错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.
[例2]如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，
G,H分别是BC,CD上的点,且BG
GC?DHHC?2,求证:直线EG,FH,AC
相交于一点.
错解：证明：?E、F分别是AB,AD的中点
?EF∥BD,EF=2BD, BG
HC?2,? GH∥BD,GH=3BD,
? 四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,
HC?2,F分别是AD.?AC与FH交于一点.
?直线EG,FH,AC相交于一点
正解：证明：?E、F分别是AB,AD的中点,
?EF ∥BD,EF=2BD, 又BG
GC?DHHC?2,
? GH∥BD,GH=3BD,
?四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,
?EG?平面ABC,FH?平面ACD,
?T?面ABC,且T?面ACD,又平面ABC?平面ACD=AC,
?T?AC,?直线EG,FH,AC相交于一点T.
[例3]判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行.
错解：认为正确.
错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.
正解：假命题．
[例4] 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．
分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．
证明 ∵ AB//CD， AB，CD确定一个平面β．
又∵AB ∩α＝E，ABβ，? E?α，E?β，
即 E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直
∴ E，F，G，H四点必定共线．
点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB
CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）． lα，l
分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在l上，而l是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．
证明： ∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．
∴ AB，CD必定相交于一点，
设 AB ∩CD＝M．
又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．
∴ M∈α∩β．
又∵ α∩β＝，∴ M∈，
即 AB，CD，共点．
点 评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．
[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．
证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A
∴ 直线d和A确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则 A，E，F，G∈α．
∵ A，E∈α，A，E∈a， ∴ aα．
同理可证 bα，cα．
∴ a，b，c，d在同一平面α内．
2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图．
∵ 这四条直线两两相交，
则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，
则 H，K∈α． 又∵ H，K∈c，∴ cα．
同理可证 dα．
∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
点 评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
[例7] 在立方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；
（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？
（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？
解：(1)连结BD, 交AC于点O
?DD1?平面AC,?BD就是斜线BD1在平面AC上的射影.
(2)BD1和AC是异面直线.
(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.
不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°， ∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.
[例8] 已知：在直角三角形ABC中，?A为直角，PA⊥平面
ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC
证明：∵ PA ⊥平面ABC∴ PA⊥BA
又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面PAC
∴ AD是BD在平面PAC内的射影
又∵ BD⊥PC
∴ AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）
四、典型习题导练
1．如图, P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为(
2. 两个正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和BF所成角的大小为
3. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，体对角线DB1与面对角线BC1所成的角是
，它们的距离是
4.长方体ABCD?A1B1C1D1中，BC?，CD?，DD1?，22 则A1C和B1D1所成角的大小为_
5.关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角. 其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.
6．在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，
求证：BH⊥CD
7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P点不重合．
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高考数学立体几何试题汇编
高考数学立体几何试题汇编
一、选择题
1．（全国Ⅰ•理•7题）如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）
A．　　　　&
B．　　　　
C．　　　　D．
2．（全国Ⅱ•理•7题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）
A． 　　　&B．　 　 C． 　　&D．
3．（北京•理•3题）平面平面的一个充分条件是（　D　）
A．存在一条直线　　　　　B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
4．（安徽•理•2题）设，，均为直线，其中，在平面内，“”是且“”的（　　）
A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　 C．充分必要条件　 D．既不充分也不必要条件
5．（安徽•理•8题）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为（ 　）
A．　 　 B．　　&C．　　&
6．（福建•理•8题）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　 D ）
A ．　　B．
C．　　　　　　　　&D．
7．（福建•理•10题）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离为（　B　）
A ．　　　 B． 　　&C ．　　&D．
8．（湖北•理•4题）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：
①⊥⊥；　　　　　　　　　　　
③与相交与相交或重合；　　 ④与平行与平行或重合；
其中不正确的命题个数是（
A.1　　　　　　　　
B.2　　　　　　　　
C.3　　　　　　　　　　
9．（湖南•理•8题）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（　D　）
A．　　　　　B．　　　　　　　　&
C．　　　　　　
10．（江苏•理•4题）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
①　　　 ②
③　　　　④
其中正确命题的序号是（ C　）
A．①③　　　 B．②④　　　C．①④　　　D．②③
11．（江西•理•7题）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是（ D ）
　&A．点H是△A1BD的垂心　　B．AH垂直平面CB1D1
　&C．AH的延长线经过点C1　　　D．直线AH和BB1所成角为45°
12．（辽宁•理•7题）若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（　　）
A．若，则　　　 B．若，，则
C．若，，则　　　D．若，，则
13．（陕西•理•6题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）
&　　A．　　&
B．　　　　C．
　　　&D．
14．（四川•理•4题）如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（　D　）
A．BD∥平面CB1D1　　　　　
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1　　　　&
D．异面直线AD与CB1角为60°
15．(宁夏•理•8题) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　B　）
Ｃ．　　　　 Ｄ．
16．（四川•理•6题）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且三面角B-OA-C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（ C　）
A．　　 B．　　　C．　　　D．
17．（天津•理•6题）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　D　）
Ａ．若与所成的角相等，则　　
Ｂ．若，，则
Ｃ．若，则　　
Ｄ．若，，则
18．（浙江•理•6题）若P是两条异面直线外的任意一点，则（　B&
A．过点P有且仅有一条直线与都平行　　　B．过点P有且仅有一条直线与都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与都相交　　　D．过点P有且仅有一条直线与都异面
二、填空题
19．（全国Ⅰ•理•16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为　　&。
20．（全国Ⅱ•理•15题）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为　　cm2。
21．（安徽•理•15题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是　　　　　　　　　
（写出所有正确结论的编号）。
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。
22．（江苏•理•14题）正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是　　　　．
23．（辽宁•理•15题）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为　　　　．
24．（上海•理•10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件　 平行，相交　 。
25．（四川•理•14题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是　　．
26．（天津•理•12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　．
27．（浙江•理•16题）已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是________。
三、解答题
27．（全国Ⅰ•理•19题）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。
(Ⅰ)证明：SA⊥BC；
(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；
解答：解法一：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，，得
连结，得的面积
设到平面的距离为，由于，得
设与平面所成角为，则．
所以，直线与平面所成的我为．
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中点，，
连结，取中点，连结，．
，，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．
所以，直线与平面所成的角为．
28．（全国Ⅱ•理•19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。
(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小；
（1）作交于点，则为的中点．
连结，又，
故为平行四边形．
，又平面平面．
所以平面．
（2）不妨设，则为等
腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以，而，
取中点，连结，则．
连结，则．
故为二面角的平面角
所以二面角的大小为．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．
取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设，则．
所以向量和的夹角等于二面角的平面角．
所以二面角的大小为．
29．（北京•理•16题）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．
（I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．
（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
又二面角是直二面角，
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
异面直线与所成角的大小为．
（III）由（I）知，平面，
是与平面所成的角，且．
当最小时，最大，
这时，，垂足为，，，
与平面所成角的最大值为．
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
异面直线与所成角的大小为．
（III）同解法一
30．（安徽•理•17题）如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2。
（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值圾示）；
31．（福建•理•18题）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解答：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
连结，在正方形中，分别为
在正方形中，，
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
（Ⅱ）设平面的法向量为．
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，
　　　 点到平面的距离．
32．（广东•理•19题）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积。
（Ⅰ）求V(x)的表达式；
（Ⅱ）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；
33．（湖北•理•18题）如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ。
（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD
（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；
分析：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．
解答：解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，
，又底面．．于是平面．
又平面，平面平面．
（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．
连接，于是就是直线与平面所成的角．
设，在中，，．
即直线与平面所成角的取值范围为．
解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
从而，即．
即．又，平面．
平面平面．
（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，
可取，又，
即直线与平面所成角的取值范围为．
解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．
从而，即．
同理，即．
又，平面．
平面平面．
（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，
可取，又，
即直线与平面所成角的取值范围为．
解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．设．
又，平面．
又平面，平面平面．
（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，
设是平面的一个非零法向量，
则取，得．
可取，又，
，关于递增．，．
即直线与平面所成角的取值范围为．
34．（湖南•理•18题）如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且．连结，如图2．　
（I）证明：平面平面；
（II）当，，时，求直线和平面所成的角；
解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．
（II）过点作于点，连结．
由（I）的结论可知，平面，
所以是和平面所成的角．
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，故．
因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．
由题设，，，则．所以，，
因为平面，，所以平面，从而．
又，由得．
即直线与平面所成的角是．
解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．
（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设，，，则，
，，相关各点的坐标分别是，
设是平面的一个法向量，
由得故可取．
过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．
因为，所以，．
设（），由，解得，
设和平面所成的角是，则
故直线与平面所成的角是．
35．（江苏•理•18题）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且。
（I）求证：四点共面；（4分）
（II）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面；
（Ⅲ）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。
36．（江西•理•20题）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。
（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（II）求二面角B―AC―A1的大小；
（Ⅲ）求此几何体的体积；
（1）证明：作交于，连．
因为是的中点，
则是平行四边形，因此有．
平面且平面，
（2）如图，过作截面面，分别交，于，．
作于，连．
因为面，所以，则平面．
又因为，，．
所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因为，所以，故，
即：所求二面角的大小为．
（3）因为，所以
所求几何体体积为
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，因为是的中点，所以，
易知，是平面的一个法向量．
因为，平面，所以平面．
设是平面的一个法向量，则
显然，为平面的一个法向量．
则，结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角的大小是．
（3）同解法一．
37．（辽宁•理•18题）如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为。
（I）证明：；
（II）求的长，并求点到平面的距离。
38．（宁夏•理•19题）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．
所以为直角三角形，．
所以平面．
（Ⅱ）解法一：
取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．
为二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，故．
所以二面角的余弦值为．
以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．
的中点，．
故等于二面角的平面角．
所以二面角的余弦值为．
39．（陕西•理•19题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，，,BC=6。
(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的大小；
解法一：（Ⅰ）平面，平面．．
，，，即．
又．平面．
（Ⅱ）过作，垂足为，连接．
平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，
为二面角的平面角．
在中，，．
二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则，，，，，
又，平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为，
平面的法向量取为，
二面角的大小为．
40．（上海•理•19题）体积为1的直三棱柱中，，，求直线与平面所成角。
41．（四川•理•19题）如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积；
分析：本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。
（Ⅱ）取的中点，则，连结，
∵，∴，从而
作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，
从而为二面角的平面角
直线与直线所成的角为
在中，由余弦定理得
故二面角的平面角大小为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）
由题意有，设，
由直线与直线所成的解为，得
，即，解得
∴，设平面的一个法向量为，
则，取，得
平面的法向量取为
设与所成的角为，则
显然，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角大小为
（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离
42．（天津•理•19题）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小；
分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
解答：（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．
而平面，．
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．
（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
在中，，，
则．在中，．
所以二面角的大小是．
解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．
过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
所以二面角的大小是．
43．（浙江•理•19题）在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角；
分析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．
（I）证明：因为，是的中点，
（II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，．
是直线和平面所成的角．
因为平面，
又因为平面，
则平面，因此．
在直角梯形中，
，是的中点，
所以，，，
得是直角三角形，其中，
故与平面所成的角是．
如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．
（I）证明：因为，，
（II）解：设向量与平面垂直，则，，
直线与平面所成的角是与夹角的余角，
因此直线与平面所成的角是．