高数极限高手，极限问题，三个

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-03-08 13:09 标签： 高数函数与极限
高等数学教学中三个难点问题的突破探讨
高等数学教学中三个难点问题的突破探讨
要]高等数学课程对学生来讲，一直是比较难学的一门课程。而一元函数的微积分知识又是基础，对学习多元函数的微积分知识尤其重要。笔者在辅导过程中发觉一元函数的求极限、一元函数不定积分的分部积分和定积分的几何应用是教学中的三大难点。本文就以上三个难点问题，结合笔者的教学实践做一个探讨。
　　[关键词]极限 积分 定积分
　　高等数学课程在我校（注：此处特指无锡高等师范学校，下文同）教学课程体系占有重要而特殊的地位。作为一门基础课程，它有极强的通用性、应用性和相对稳定的知识内容。现阶段我校主要采用武汉大学出版社出版的《高等数学（一）》，其内容以一元微积分为主，高等数学的知识内容一般分为一元与多元微积分学。而一元微积分是基础，掌握好这部分知识对需要学习高数的学生至关重要，同时也是进一步学习多元微积分知识的基础。笔者针对在实际教学与辅导工作的过程中，学生在一元微积分学习中遇到的三个常见难点问题做些探讨。
　　1.一元函数求极限问题。这部分的问题往往是教材本身知识点、概念的时序性造成的。一元函数的极限求解问题通常有三类：重要极限定理，无穷小量，洛比达法则。但教材出于逻辑性的考虑，通常按下列顺序介绍：数列极限——函数极限——两个重要极限——连续性——无穷小量——导数——中值定理——洛比达法则。由此可见，一元函数求极限的方法在导数应用讲完后才会全部介绍完。由于求极限的方法中各个概念之间的关联性较强，知识块之间的间隔较大，学生在求极限问题中只会生搬硬套，不注重定理运用的条件；或者面对问题不知用何方法解决。突破这一难点应在习题讲解中注意典型问题典型讲解，一题多解，既记方法又熟悉公式，而且有一定的趣味性。就笔者的体会而言，幂指函数类型的函数求极限是令学生比较头疼的问题，其原因在于：首先，这类问题在做函数的等价变形时，需要用到很多初等数学中的概念与公式；其次，这类问题将高数中的相关概念融合在一起，同时又将各种求极限的方法也融入其中。所以，学生往往比较难掌握此类问题的解法。这时，一题多解的例子是最好的，不仅学习了运用极限求法，而且回顾了所学知识。下面举一例说明：
　　例1：求极限 。
　　（1）此例可用于讲解重要极限 及
　　解：原式
　　（2）此例用于等价无穷小的替换求极限的应用。
　　解：原式
　　连续函数的性质
　　（3）此例用于洛比达法则求极限的应用。
　　解：原式
　　连续函数的性质
　　类似的问题比如：求极限
。由上例可以看出，一例多用，一题多解，从不同的角度审题，尝试用尽可能多的方法解决求极限问题。加强各常用求极限方法的应用，不仅能使学生熟记重要公式，同时又将连续函数求极限的方法穿插其中，增强学生理解并掌握方法的信心。
　　2.不定积分的分部积分法。对于公式
　　这一部分的知识，学生学习时主要困难在于对 的选择上缺乏方向感，而教材对分部积分
选择的规律性也没有明确的叙述。如果每次在不能确定分部积分选择方向的情况下都要进行尝试的话，既费时又费力。突破这一难点关键在于用通俗易懂，便于记忆的规律教给学生。
　　第一，用分部积分法求不定积分的被积函数无非是五类基本初等函数幂、指、对数函数，反三角函数和三角函数。所以，结合被积函数的形式，对
的选择可总结出如下规律：指三幂对反，哪个在后面哪个就做为u，其中“指三幂对反”依次指：指数函数、三角函数、幂函数、对数函数和反三角函数。按照这个次序，只需搞清楚被积函数的类型就可以了。
　　例2：求不定积分 。
　　解：x2：幂函数lnx：对数函数。
　　按照上述规律描述的次序， ，
　　所以= =
　　第二，图示法。对于公式
　　 ，可用图1来确定关系。
　　图1中的关系可用下列口诀来概括：上难下易，左积右导，Z型示之。
　　例3：求不定积分。
　　解： 幂函数反三角函数
　　3.定积分应用问题中的积分变量、积分区间和被积函数的确定。学生在学习定积分的几何应用，特别是在求曲边梯形的面积时，往往感觉很难。不知X、Y哪一个适合做积分变量，无法正确地找到积分区间，不知积分函数到底是什么。对于这一难点笔者还是想通过一个具体的实例，来提供一个突破的思路和办法。
　　例4：求曲线y=2x，y=1，y=x2围成的曲边梯形的面积。
　　1.画草图（目的是看清围成的曲边梯形所在位置）；
　　2.求曲线交点，即曲边梯形的端点（目的是搞清楚区域内点的横坐标、纵坐标的变化范围即积分区间）。
　　3.取积分变量：在多数情况下x,y都可以作为积分变量。
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