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四阶行列式的计算
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你可能喜欢行列式的计算方法 行列式计算行列式的计算_行列式计算
行列式的计算方法摘要：行列式 计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法.1.对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法．2.定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．例1 计算行列式0001002003004000这是一个四级行列式，在展开式中应该有4!?24项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的那些项；同理，只需考虑j2?3，j3?2，j4?1这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有a14a23a32a41)?6，这一项前面的符号应该是正的． 这一项，而?(4321所以0001原式=?3?4?24 030040003.化为三角形计算法例2 计算行列式11?9?253?12解：13?1573?58?9?7?10 1371?91371?232?9135?18?157130?517???016826?39?241710?7?101?0?5??00?1?200?1717??312?2?24这个——文章窝——例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例3 计算行列式1?x1y11?x1y2?1?x1yn1?x2y11?x2y2?1?x2ynd????1?xny11?xny2?1?xnyn解：当n?3时，各列减去第一列 得：1?x1y11?x2y1d??1?xny1之所以等于零，是因为有两列成比例． 另外，当n?2时，x1(y2?y1)?x1(yn?y1)x2(y2?y1)?x2(yn?y1)?0??xn(y2?y1)?xn(yn?y1)1?x1y11?x1y21?x2y11?x2y2?(x2?x1)(y2?y1)这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去 适用于各列(行)诸元素之和相等的情况.2例4 计算行列式 abb?bab? ?????bbb?bb ?a解：把所有各列都加到第一列上去，得：a?(n?1)bbb?b1bb?b??a ?(n?1)bab?b?????[a?(n?1)b]1ab?b????a?(n?1)bbb?a1bb?a1bb?b?[a?(n?1)b]0a?b0?0?????[a?(n?1)b](a?b)n?1000?a?b3.3 逐行(或列)相加减有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多. 例5 计算行列式1?01?320?0000?????????Dn?2?解：从第一列开始，每列乘以2加到后一列，得：1?100?000001?10?0000001?1?0000D?????????n?n?22n?1?12n?32n?1?6n?22n?1?12n?3再将最后一行乘以（-2），加到倒数第二行，其余行都不变，得：31?10按最后一列展开，得00??000?100000??1112n?2000?0?11000?000Dn?20?00011?0002?1??0?00??22?2n?32n?1?12n?30?0Dn?2?(2?3)?n????0?010?001?11?012??3(2n?3) 0033.4 行(列)归一法先把某一行(列)全部化为1，再利用该行(列)以及行列式的性质将原行列式化为三角形行列式，从而求出行列式的值． 例6 计算n阶行列式xa?aax?aD????aa?x解：它的特点是各列元素之和为(n?1)a?x，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出(n?1)a?x，得11?1aD?[(n?1)a?x]?x?a??aa?x将第一行乘?a分别加到其余各行，化为三角形行列式，则1D?[(n?1)a?x]1?10??[(n?1)a?x](x?a)n?10x?a???0?x?a4.特殊行列式形如：44.1 爪型——网络日记——行列式a0c1c2?cnb1a1b2?bna2?an,bn?b2a2?anb1a1a0c1cn?a2a1b1an?,an?a2a1cn?c2c1bn?b2b1a0c2,c2?c1cna0b2?bn的行列式，称为爪型行列式．这种形式的行列式主要是利用对角线上的元素消去“横线”或“竖线”，化为三角形行列式再计算． 例7 计算行列式a0c1D?c2?cnb1a1b2?bna2?an(ai?0(i?1,2,?n))解 当ai?0(i?1,2,?,n)时【网络日记】，将第i+1列乘以?(列式：ibia0??cici)(i?1,2,?n)后都加到第1列，得三角型行ainb1?bn0?a2?0??0?anibi??aj(a0??c) iD?00?0i?1nnj?1i?1例8 计算行列式2?xD?2226结论计算其值． 解222222?y2?x222?y22分析：一般除主对角线上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式，利用例2?x?x?x?xci?(?1)c1222?x000y000?y?{(2?x)?[2?4.2 三对角线型行列式(?x)(?x)(?x)?2??2?]}?(?x)?y?(?y)?x2y2(?x)y(?y)5b1a1c1b2?形如：——网络日记——a2?cn?2?b3cn?1an?1bn的n阶行列式，是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式， 称为三对角线型行列式．这类行列式的计算可以直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推，或利用第二数学归纳法证明． 例9 计算n阶行列式a?b1Dn?aba?b1aba?b???ab1a?b(a?b)解 按第一行展开得1Dn?(a?b)Dn?1?ab(?1)1?2aba?b1aba?b???1aba?b?(a?b)Dn?1?abDn?2变形Dn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2),由于D1?a?b,D2?(a?b)2?ab?a2?ab?b2，从而利用上述递推公式得nDn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2)?b2(Dn?2?aDn?3)???bn?2(D2?aD1)?b故有Dn?aDn?1?bn?a(aDn?2?bn?1)?bn?a2Dn?2?abn?1?bn???a例10 证明n?1D1?an?22b???abn?1?b?a?ab??abnnn?1n?1?bncosa1Dn?12cosa112cosa?1??12cosa112cosa?cosna解 按第n行展开得 行列式的计算方法6cosa1Dn?2cosaDn?1?(?1)n?(n?1)12cosa???112cosa011?2cosaDn?1?Dn?2采用第二数学归纳法证明n?1时，D1?cosa，结论成立．设n?k时，结论成立．则当n?k?1时，有Dk?1?2cosaDk?Dk?1?2cosacoska?cos(k?1)a?cos(k?1)a,[]故有归纳假设知Dn?cosna 4.3 Hessenberg型行列式 形如：a0b1c1a1b2c2?cna2??bnan,anbn??a2b2a1c1,b1a0cn?c2c1a1a0b1,b1a0b2a1c1bnan??a2c2?cna2b2??anbncn?c2的行列式，即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外, 其余元素全为零的三线型行列式，称为Hessenberg型行列式．这一类行列式可以直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶． 例11 计算n阶行列式xDn?an解 按第一列展开得?1x?1??x?1x?a1an?1?a2?1Dn?xDn?1?an(?1)n?1x?1??x于是?xDn?1?an(?1)n?1(?1)n?1?xDn?1?an ?1Dn?xDn?1?an?(xDn?2?an?1)?an?x2Dn?2?an?1x?an???xD1?a2xn?1n?2??an?1x?an?xn?a1xn?1???an?1x?an例12 计算n阶行列式7123?n?1nDn?1?12?2??n?2?(n?2)n?1?(n?1)解 将第1,2,?,n?1列加到第n列，得1223?2??n?1n(n?1)21?1?n?2?(n?2)n?1?n(n?1)(?1)1?n21?12???(n?2)n?14.4 两线形行列式?(?1)1?n(n?1)!2例13 计算行列式a10Dn??0bn解： 按第1列展开得b1a2?000?b2??0000??bn?1?ana2?Dn?a100b2?0???bn(?1)n?10?bn?10?ana10?0bna10?0b2b1a2?000?00?b1a2?00?0b2?0?a1a2?an?(?1)n?1b1b2?bn??0?bn?100?anb10?,0ana1b1,?0000?an0?00?00??an?1?bn?100?0??b1?a2?00bn0?,0ana10?0bn结论对于形如：0?b2??0??00??an?1a2?0?bn?1a2?bn?1an?1? 8
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关于行列式的一般定义和计算方法
n阶行列式的定义
N 阶行列式是 N ! 项的代数和;
3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;
项数 它是3!项的代数和;
项的构成 展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: 3
符号规律 三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.
§ 行列式的性质
性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2　 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
以r表第i行，C表第j列。交换 i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作r）
推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。
性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。 +
性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。
如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和 m 2 ，则此行列式等于m个行列式之和。
一个n阶行列式，如果它
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