三棱锥外接球半径
三棱锥外接球半径
范文一：５１。 ３（ Ａ）：： ，由上可 知 ， 解概 率题 ， 搞清概 型是 关键．叫Ｂ 譬 ＿ ） ：． ： １ ０所 求概 率为 Ｐ ｌ ）＝ （ Ａ ＝ ：。 ０ ０ ％ ｜ ： 一 ％ ＿ ≯ ｜ 誊◆ 武增明三 棱锥 外接 球半径 的 简解 通 法在 高考 中 ， 经常涉及 三 棱锥外 接球 半 径 问 题， 经探 索 ， 类 问题 有统一 的简单 解法 ， 此 其思是ｌ 的正四面体 ， 其外接球 的半径为 ， 于是其路是构造最简单的几何体正方体或长方体． 正 四面体 的外接球 半径 问题一、体 了 ： 所选 积 ＝ 争， （ ４ 以Ｃ二 、 角 四面 体的外 接球 半径 问题 直经过正 四面体 各 个 顶点 的球 称 为 正 四 面 体 的 外 接 球． 正 四面 体 的棱 长 为 ａ 设 ， 其 外接 球 的半径 为 ｒ如果 把 ．同 一 个 顶 点 上 的 三 条棱 两 两 垂 直 的 四 面 体 叫做 直角 四面 体． 互 相 设 垂直 的三 条 棱 的 长 分 别 是 ａ ｂｅ 其 外 接 球 的 半 ，、， 径 为 ｒ 如 果 把 直 角 四 面 ． 体Ａ Ｃ Ｂ Ｄ补成一 个 长方 体 （ ３ ， 么 直 角 四 图 ）那 面体 的外 接球也 是长方 体 的外 接球 ， 于是 ２ ｒ：，— —— — — ——正四面体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ补成一个正 方 体 （ １ ， 么正 四面体 的 图 ）那 外 接球也 是正方 体 的外 接球 ．．× ＝ 故＝ √ 譬 譬， 譬． ３ ｒ东Ａ尹：梯／ 东理在 ／ ＼ Ｂ ２２＼ 卷Ａ １ 测１Ｃ形 ｔ ＣＢＤ Ｄ２腰 ／ ） ／ ? ＝ 謦 等点 ， ＡＡ Ｅ 与 ＡＢ Ｃ分 别 将 Ｄ Ｅ 图Ｄ ：、 Ｅ， ，： 故．例 ２ （ ｏ ｓ 高考福建卷 ? １ ） 三棱 ｚｏ 年 理 ５若锥的三个侧 面两两垂直， 且侧棱 长均为√ ， ３则 其 外接球 的表 面积为一 简解 ： 由题设 可知 ， 可把 三棱 锥补成 一个 正（ Ａ）（ 下＇ Ｂ）ｑ ｑ ￣Ｔ方体， 则其外接球 的半径 ｒ： ， 于是其表面积二Ｓ ＝ ４，ｒ ： ９ ｒ２ ｒ 订．（）６ ｃ ，－ 丁＇ ｆｌ Ｔ（ ） ｔ Ｄ ｑ， ￣ － ｌ三、 双垂 四面体 的外 接球 半径 问题四 面体 Ａ—Ｂ Ｄ中 ： Ａ Ｃ 若 Ｂ上平 面 Ｂ Ｄ，Ｄ Ｃ Ｃ上 平面 Ａ Ｂ 则称该 四面体为双垂 四面体（ Ｃ， 图 ４ ， Ａ ＝ａＢ ＝ｂＣ ：ｃ其外接球的半 ）设 Ｂ ，Ｃ ，Ｄ ，?ｌ ? ２径为 ｒ 如果把该双垂四面体补成一个长方体 ．体 的外 接球 ， 于是 ２ ｒ＝Ａ ＝ Ｄ， 一— 。例 ３ （ｏｓ 高考安徽卷 ? １ ）已知 ｚｏ 年 理 ５ Ｂ Ｃ Ｄ在 Ａ Ｃ Ｂ （ ）那么该双垂四面体的外接球也是长方 Ａ、 、 、 同一 个球 面上 ，Ｂ 上 面 Ｂ Ｄ， Ｃ 图５ ，， 故上 Ｃ 若 Ａ ＝ ６ Ａ ＝２ Ｄ， ，Ｃ ，Ｄ ＝ ８ 则 Ｂ Ｃ Ａ ， 、± ： ±２ ‘两点 间的球 面距 离是— —简解 ： 其 补 成 长 方 体 将 （ ６ ， 题意 得球 心 ０是 图 ）依Ａ 的中点 ，ｒ＝Ａ ＝８ 于 Ｄ ２ Ｄ ，是 ｒ＝４ 所 以 Ｂ ＝ Ｏ ＝ ， Ｏ Ｃ４ 因 为 ＢＣ ＝ ￣Ａ ２一Ａ ， ／Ｃ ＢＤ＝，以 ＢＣ 詈故 、 点 的 面 ４ ￣Ｏ ＝ ， ｃ 间 球 距 所 两ＤＣ图４图５离 詈?＝， 是 ｒ ４ 了 ｆ ．‘９ 李海淼例 谈 猫 巯 几 伺 体 在 立 傩 几 何 【 的 应 用 ｌ 】在立体几何中， 我们知道 ， 正四面体、 长方 体、 正方体等是一些特殊的几何体 ， 这些几何体具 有一些 一 般几 何体 所 没有 的性 质． 解题 过 在 程中， 有时 如果能构 造 出它们 的模 型 ， 巧妙 的利 用 它们 的性 质 ， 以有 助 于我们 更 方便 的解 决 可 问题 ， 下面 分三类 问题进行 阐述。一ｃｏｓ＝＝ 一÷ ，所 以 ＬＡ Ｂ ＝１ —ａｃ。 下 Ｏ Ｔ ｒｃ １．所 以所 求 的角 大小 为 １ Ｔ—ａｃｏ ＿． ｒｃｓ１二 、 用长方 体来解 题 利例 ２ 由 球 ０ 的 球 面 上 一 点 Ｐ 做 球 的、利 用正 四露俸来解 题Ｄ例 １ 由空间一点 ０出发 的四 条 射 线 两 两所 成 的角相等 ， 求这 个角．解： 这道题 目我们 可 以 利用正 四面 体来 解 ， 图 １ 如两 两垂 直 的三条 弦 ， 且Ｐ ＝ Ａ＝． ＝ ＰＢ ， ＰＣ正四面体中心 ０与其 四个 顶点 连成 的射线 Ｏ 、 Ｂ ＡＯ 、 Ｄ 、 Ｄ两两 成的角都相等? Ａ ＝８ 设该 ｃＤ 设 ，图２／ ５ 求球 Ｄ的半 ｌ．解径．四面体的高为 ， ０ 则 Ａ＝Ｄ ： ３ ｘ Ｂ＝ ３ 了口： 我们 可 以构 造 长方 体 Ｐ Ｄ —Ｃ Ｆ Ａ Ｂ Ｅ Ｇ， 则易知该长方体的对角线就是球 ０的直径， 则?ｌ ? ３原文地址：５１。 ３（ Ａ）：： ，由上可 知 ， 解概 率题 ， 搞清概 型是 关键．叫Ｂ 譬 ＿ ） ：． ： １ ０所 求概 率为 Ｐ ｌ ）＝ （ Ａ ＝ ：。 ０ ０ ％ ｜ ： 一 ％ ＿ ≯ ｜ 誊◆ 武增明三 棱锥 外接 球半径 的 简解 通 法在 高考 中 ， 经常涉及 三 棱锥外 接球 半 径 问 题， 经探 索 ， 类 问题 有统一 的简单 解法 ， 此 其思是ｌ 的正四面体 ， 其外接球 的半径为 ， 于是其路是构造最简单的几何体正方体或长方体． 正 四面体 的外接球 半径 问题一、体 了 ： 所选 积 ＝ 争， （ ４ 以Ｃ二 、 角 四面 体的外 接球 半径 问题 直经过正 四面体 各 个 顶点 的球 称 为 正 四 面 体 的 外 接 球． 正 四面 体 的棱 长 为 ａ 设 ， 其 外接 球 的半径 为 ｒ如果 把 ．同 一 个 顶 点 上 的 三 条棱 两 两 垂 直 的 四 面 体 叫做 直角 四面 体． 互 相 设 垂直 的三 条 棱 的 长 分 别 是 ａ ｂｅ 其 外 接 球 的 半 ，、， 径 为 ｒ 如 果 把 直 角 四 面 ． 体Ａ Ｃ Ｂ Ｄ补成一 个 长方 体 （ ３ ， 么 直 角 四 图 ）那 面体 的外 接球也 是长方 体 的外 接球 ， 于是 ２ ｒ：，— —— — — ——正四面体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ补成一个正 方 体 （ １ ， 么正 四面体 的 图 ）那 外 接球也 是正方 体 的外 接球 ．．× ＝ 故＝ √ 譬 譬， 譬． ３ ｒ东Ａ尹：梯／ 东理在 ／ ＼ Ｂ ２２＼ 卷Ａ １ 测１Ｃ形 ｔ ＣＢＤ Ｄ２腰 ／ ） ／ ? ＝ 謦 等点 ， ＡＡ Ｅ 与 ＡＢ Ｃ分 别 将 Ｄ Ｅ 图Ｄ ：、 Ｅ， ，： 故．例 ２ （ ｏ ｓ 高考福建卷 ? １ ） 三棱 ｚｏ 年 理 ５若锥的三个侧 面两两垂直， 且侧棱 长均为√ ， ３则 其 外接球 的表 面积为一 简解 ： 由题设 可知 ， 可把 三棱 锥补成 一个 正（ Ａ）（ 下＇ Ｂ）ｑ ｑ ￣Ｔ方体， 则其外接球 的半径 ｒ： ， 于是其表面积二Ｓ ＝ ４，ｒ ： ９ ｒ２ ｒ 订．（）６ ｃ ，－ 丁＇ ｆｌ Ｔ（ ） ｔ Ｄ ｑ， ￣ － ｌ三、 双垂 四面体 的外 接球 半径 问题四 面体 Ａ—Ｂ Ｄ中 ： Ａ Ｃ 若 Ｂ上平 面 Ｂ Ｄ，Ｄ Ｃ Ｃ上 平面 Ａ Ｂ 则称该 四面体为双垂 四面体（ Ｃ， 图 ４ ， Ａ ＝ａＢ ＝ｂＣ ：ｃ其外接球的半 ）设 Ｂ ，Ｃ ，Ｄ ，?ｌ ? ２径为 ｒ 如果把该双垂四面体补成一个长方体 ．体 的外 接球 ， 于是 ２ ｒ＝Ａ ＝ Ｄ， 一— 。例 ３ （ｏｓ 高考安徽卷 ? １ ）已知 ｚｏ 年 理 ５ Ｂ Ｃ Ｄ在 Ａ Ｃ Ｂ （ ）那么该双垂四面体的外接球也是长方 Ａ、 、 、 同一 个球 面上 ，Ｂ 上 面 Ｂ Ｄ， Ｃ 图５ ，， 故上 Ｃ 若 Ａ ＝ ６ Ａ ＝２ Ｄ， ，Ｃ ，Ｄ ＝ ８ 则 Ｂ Ｃ Ａ ， 、± ： ±２ ‘两点 间的球 面距 离是— —简解 ： 其 补 成 长 方 体 将 （ ６ ， 题意 得球 心 ０是 图 ）依Ａ 的中点 ，ｒ＝Ａ ＝８ 于 Ｄ ２ Ｄ ，是 ｒ＝４ 所 以 Ｂ ＝ Ｏ ＝ ， Ｏ Ｃ４ 因 为 ＢＣ ＝ ￣Ａ ２一Ａ ， ／Ｃ ＢＤ＝，以 ＢＣ 詈故 、 点 的 面 ４ ￣Ｏ ＝ ， ｃ 间 球 距 所 两ＤＣ图４图５离 詈?＝， 是 ｒ ４ 了 ｆ ．‘９ 李海淼例 谈 猫 巯 几 伺 体 在 立 傩 几 何 【 的 应 用 ｌ 】在立体几何中， 我们知道 ， 正四面体、 长方 体、 正方体等是一些特殊的几何体 ， 这些几何体具 有一些 一 般几 何体 所 没有 的性 质． 解题 过 在 程中， 有时 如果能构 造 出它们 的模 型 ， 巧妙 的利 用 它们 的性 质 ， 以有 助 于我们 更 方便 的解 决 可 问题 ， 下面 分三类 问题进行 阐述。一ｃｏｓ＝＝ 一÷ ，所 以 ＬＡ Ｂ ＝１ —ａｃ。 下 Ｏ Ｔ ｒｃ １．所 以所 求 的角 大小 为 １ Ｔ—ａｃｏ ＿． ｒｃｓ１二 、 用长方 体来解 题 利例 ２ 由 球 ０ 的 球 面 上 一 点 Ｐ 做 球 的、利 用正 四露俸来解 题Ｄ例 １ 由空间一点 ０出发 的四 条 射 线 两 两所 成 的角相等 ， 求这 个角．解： 这道题 目我们 可 以 利用正 四面 体来 解 ， 图 １ 如两 两垂 直 的三条 弦 ， 且Ｐ ＝ Ａ＝． ＝ ＰＢ ， ＰＣ正四面体中心 ０与其 四个 顶点 连成 的射线 Ｏ 、 Ｂ ＡＯ 、 Ｄ 、 Ｄ两两 成的角都相等? Ａ ＝８ 设该 ｃＤ 设 ，图２／ ５ 求球 Ｄ的半 ｌ．解径．四面体的高为 ， ０ 则 Ａ＝Ｄ ： ３ ｘ Ｂ＝ ３ 了口： 我们 可 以构 造 长方 体 Ｐ Ｄ —Ｃ Ｆ Ａ Ｂ Ｅ Ｇ， 则易知该长方体的对角线就是球 ０的直径， 则?ｌ ? ３
范文二：数理化学习(高中版)面数恰好为3次阅读详情：为事件B,C5+C5+C5+C5则P(A)==5322C510P(A阅读详情：B)=P(B)=5=322P(A阅读详情：B)10所求概率为P(B|A)===P(A)26阅读详情：武增明3234513由上可知,解概率题,搞清概型是关键.江苏省睢宁县城北中学(221200)三棱锥外接球半径的简解通法阅读详情：在高考中,经常涉及三棱锥外接球半径问题,经探索,此类问题有统一的简单解法,其思路是构造最简单的几何体正方体或长方体.一、正四面体的外接球半径问题经过正四面体各个顶点的球称为正四面体的外接球.设正四面体的棱长为a,其外接球的半径为r.如果把正四面体ABCD补成一个正方体(图1),那么正四面体的外接球也是正方体的外接球.于是2r=AE=a3阅读详情：=2是1的正四面体,其外接球的半径为,于是其4体积V=43阅读详情：R=3,所以选(C).8二、直角四面体的外接球半径问题同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体叫做直角四面体.设互相垂直的三条棱的长分别是a、b、c,其外接球的半径为r.如果把直角四面体ABCD补成一个长方体(图3),那么直角四面体的外接球也是长方体的外接球,于是2r=DE=a+b+c,故r=a故r=2a.4例1阅读详情：(2006年高考山东卷阅读详情：理12)在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,阅读详情：DAB=60阅读详情：,E为AB的中点,将阅读详情：ADE与阅读详情：BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P(图2),则三棱锥P-DCE的外接球的体积为(阅读详情：)(A)(C)4阅读详情：阅读详情：27(B)阅读详情：22例2阅读详情：(2008年高考福建卷阅读详情：理15)若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为则其外接球的表面积为.于是其表面积2简解:由题设可知,可把三棱锥补成一个正方体,则其外接球的半径r=S=4阅读详情：r=9阅读详情：.三、双垂四面体的外接球半径问题四面体A-BCD中,若AB阅读详情：平面BCD,CD阅读详情：平面ACB,则称该四面体为双垂四面体(图4),设AB=a,BC=b,CD=c,其外接球的半2(D)824简解:由题设可知,三棱锥P-DCE为棱长数理化学习(高中版)径为r.如果把该双垂四面体补成一个长方体(图5),那么该双垂四面体的外接球也是长方体的外接球,于是2r=AD=r=a+b+c.2阅读详情：例3阅读详情：(2008年高考安徽卷阅读详情：理15)已知A、B、C、D在同一个球面上,AB阅读详情：面BCD,BC阅读详情：CD,若AB=6,AC=2C两点间的球面距离是简解:将其补成长方体(图6),依题意得球心O是AD的中点,2r=AD=8,于是r=4,所以BO=OC=4,因为BC=-ABa+b+c,故AD=8,则B、=4,所以阅读详情：BOC=故B、C两点间的球面距3离是阅读详情：r=.33云南省玉溪第一中学(653100)阅读详情：李海淼例谈特殊几何体在立体几何中的应用阅读详情：在立体几何中,我们知道,正四面体、长方体、正方体等是一些特殊的几何体,这些几何体具有一些一般几何体所没有的性质.在解题过程中,有时如果能构造出它们的模型,巧妙的利用它们的性质,可以有助于我们更方便的解决问题,下面分三类问题进行阐述.一、利用正四面体来解题例1阅读详情：由空间一点O出发的四条射线两两所成的角相等,求这个角.解:这道题目我们可以利用正四面体来解,如图1正四面体中心O与其四个顶点连成的射线OA、OB、OC、OD两两所成的角都相等.设AB=a,设该四面体的高为h,则OA=OB=h=阅读详情：a443=a.4cos阅读详情：AOB==-,2阅读详情：OA阅读详情：OB3所以阅读详情：AOB=阅读详情：-arccos.3222所以所求的角大小为阅读详情：-arccos3二、利用长方体来解题例2阅读详情：由球O的球面上一点P做球的两两垂直的三条弦,且PA==径.解:我们可以构造长方体PADB-CEFG,则易知该长方体的对角线就是球O的直径,则阅读详情：3,PB=5,PC求球O的半
范文三：1、在正三棱锥S-ABC中，侧棱长、N分别是棱SC,BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥外接球的表面积是
36π2、设 P、A、B、C是半径为2的球面上四点，且满足PA、PB、PC两两垂直，则AB?SPAB?SPAC?SPBC的最大值
设PA=a PB=b PC=c 则SPAC?SPBC?111ab?ac?bc 222a2?b2?c2?ab?bc?ac，a2?b2?c2?4R2?162．三棱锥A—BCD内接于球0，BC=AD=23，AB=CD=2且∠BAD=∠BCD=?，顶点 2A在面BCD上的射影恰在BC上，。一动点M从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经
过其它兰个顶点后回到出发点，则动点M经过的最短距离为
（见zhirijiaping）BC D
范文四：三棱锥外接球问题1.有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处。2.等腰四面体的外接球：补成长方体3.按照定义，球心到四个顶点的距离为半径4.平面截球的截面是圆，设球心到平面的距离为d，球的半径为R，截面圆（三角形外接圆）的半径为r，则有R2?r2?d25.补成直棱柱，球心在上下底面中心连线中点(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上，?ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC?2；则此棱锥的体积为
(D)【解析】选A?ABC的外接圆的半径r?O到面ABC的距离d??
SC为球O的直径?点S到面ABC的距离为2d?11?此棱锥的体积为V?S?ABC?2d?? 33436此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。1.(2010辽宁11)已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA?平面ABC，AB?BC，SA?AB?1，BC，则球O表面积等于
选A（A）4?
（D）?【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。
解：R?21?1?2?1
S球?4?R2?4? 4练一练：将边长为2的正?ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B?AD?C，则三棱锥B?ACD的外接球的表面积为
．答案：5?说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。2. 点A、B、C、D均在同一球面上，其中△ ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的体积为
。解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。 答案：32说明：对于能补成直三棱柱的三棱锥外接球问题皆可用此法解。3.正四面体A?BCD的边长为2，求该四面体外接球的表面积
。解析：正四面体可以看成是有一个正方体的四条对角线构成的，所以它的外接球与正方体的外接球是同一个，从而轻松得解。解：若对角线为2，则边长为，体对角线为，球半径为6，表面积为6?。 2另解： ED?233,AE?4?426
?33OD?ED2?(AE?OD)2?OD? 2?S球?6?此法对于顶点在底面的射影是地面三角形的外心的三棱锥外接球问题皆可用。
范文五：一鱼摘要 ：三 棱锥 外接球 问题是 高考 热点， 也 是难 点 ， 常见 的椎体 外接 球 问题 是 有 固定求 解方 法的 ， 本文做了一些总结． 关键词 ： 三棱柱 外接球 高考题一三棱 锥外接球 问题■河北师范大学实验中学 秦 琳此解法充分利用 了球 当中的性质 ： 每 体 ， 都 可以补成长 方体或 正方体 ， 再利 用 个截 面圆的 圆心与球 心 的连 线垂直 于 体对 角线是外接球的直径这一性质求解．近几年 三棱锥外接球 问题 ， 经常 出现下面就几个例题 简单 在高考题 中 ， 本 文就 常见的几种题型做一 截面圆所在 的平面． 些介绍 ， 希望对 同学们有所帮助．已知三棱锥 Ｓ － Ａ Ｂ Ｃ的所有顶点都在 球 ０的 球面 上 ， ＡＡ Ｂ Ｃ是边 长 为 １的正２ ．正 四面体 Ａ－ Ｂ Ｃ Ｄ 的边 长为 ２ ， 求 该 四面体外接球的表面积 ．解 析 ：正 四面 体 可 以总结一下三棱锥外接球 问题 ．１ ． （ ２ ０ １ ０辽宁 １ １ ）已知 Ｓ ， Ａ， 曰， Ｃ是球 。表 面 上 的 点 ， ｓ Ａ上 平 面 Ａ Ｂ Ｃ ， Ａ Ｂ上看成是 由一个正方体的 四 条对 角线构成的 ，所以它 的外接球与正方体的外接 球是 同一个 ， 从而轻松得解． 解： 若正方形的对角线长为 ２ ， 则边长为三角形 ， Ｓ Ｃ为 球 ０ 的直 径 ， 且Ｓ Ｃ ＝ ２ ， 则 此 Ｂ Ｃ， Ｓ Ａ＝ ＡＢ ＝ Ｉ ， Ｂ Ｃ ＝ Ｖ ， 则 球 ０ 的表 面 三棱锥 的体积 为（ ） 积等于（ ）Ａ ． 箪 ｂ Ｂ ． 簟 ｂ ｃ ． 孚 ｊ １ ３ ．解析 ： 选Ａ ．Ａ ． ４ １ ＴＢ ． ３ １ ｒ Ｃ ． ２ 耵Ｄ ． 订解析选 Ａ ． 该椎体可 以补成一个 长球 的半 径 Ｒ＝ Ｉ ， ＡＡ Ｂ Ｃ的外 接 圆 的半径ｒ ＝ 单、 ／ ＝， 点０ 到面Ａ Ｂ Ｃ的 距离 ｄ 一．方体 ， 而长 方体 的体 对角线就是外接圆的 、 ／ ， 体对角线为、 ／ ， 球半径为 直径 ， 所 以可轻松得解．面积为 ６ ￣ ｒ ．， 表解 ：Ｒ Ｚ ＝ ± ± ：１ ， Ｓ ； ４ 丌 Ｒ ｚ ＝ ４ １ Ｔ．ｑ－另 解 ： 肋 ＝ 竽 ，２ 、 ／ 百 —了 一 ’Ｓ Ｃ为 球 ０的 直径 点 Ｓ到 面 Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ边 上 的 高 Ａ Ｄ 折 成 直 二 面 角 的距离为 ２ ｄ 一 ２ Ｎ ／ ６ － 曰 ＿ Ａ Ｄ — ｃ，则 三棱锥 Ｃ Ｄ的外 接球 的 此三棱锥 的体积为 ＝＿． １ Ｓ ｘ ２ ｄ ＝ 表面积为 — — ．答案 ： ５ １ ｒ ．６ ． 。练一练 ：将边长为 ２的正 ＡＡ ＢＣ沿ｏ Ｄ 一 、 ／ 面‘ ．．研 Ｄ Ｄ ＝ 单，Ｓ ＝６ １ ｒ＿ ｌ ＿ ＿ ×３ ４Ｘ丁 ２ Ｘ ／ － ６＝３此法对于顶点在底面的射影是底面三 角形的外心的三棱锥外接球 问题 皆可用．说 明 ： 对 于 直 角 四 面 体 和 双 垂 四 面 开 放关键词 ： 英语教 学 潜 能素质教育浅论 中学英语教学中的素质教育一青海省互助县哈拉直沟中心学校 蒋武文四、 培 养 自学 能 力英语作为基础教育阶段 的基础学科 ， 也要承 担 “ 提高 中华 民族 的思想道德 素 质、 文化教 学素 质和 身体心 理素 质” 的历史任务。 那么， 在英语教学中 ， 教 师 究 竟 应 当怎 样 对 学 生 进 行 素 质 教 育 呢？一记忆、 思维和想象等能 力。开发学 习潜能自学 能力是学 生在 已有的 知识水平 和技能的基础上 ， 不断独立获取新知识并 运用这些 知识 的能 力。那么 ， 教师怎样培 养学生的 自学能 力呢？ １ ． 指导学生掌握正确 的学 习方法。 教 师在备课 时 ， 不仅要考虑教学 内容 和教 学方法 ， 更 要考虑学生的生理Ｓ Ｕ ， Ｌ ＇ 理特 点 以及 他 们 的需 求 、 爱好 、 兴趣等。是发展个性 的必 由之路。１ ． 培养观察力。 英语学 习主要靠模仿 ， 模仿的前提是 观察。 在课堂上 ， 教 师是第一模仿对象 ， 即 第一观察 对象 。 ２ ． 培养注意 力。、培 养 语 言 素 质培 养 学 生 初 步 运 用 英 语 进 行 交 际 的能力应 当是 中学英语教学的最终 目的。 交 际能 力是语言 的构成 规则和 语言 的使 用 规则在一定情景 中的具体运用。 二、 培养文化素质 语言、 语言学 习和语 言运用都不可能 脱离文化而单独存在。 语言的得体性离不开文化知识 ， 要使 学生在 交际 中根 据话题 、 语境、 文化背 景 讲出恰当的话 ， 就要注意培养 他们 的文化 素质 ， 尽量减少交际错误。 三、 培养思想素质 在英 语 教 学 中 通过 广 泛 的 教 学 内 容， 借 助 中外 优秀文 化传统 、 杰出人物 的 事迹和精 神去 陶＞ 台学生 的情操 ，使他 们教师要善 于利 用游戏 、 比赛等形式来激 发 学 生 的学 习兴 趣 。２ ． 帮助学生养成 良好 的学 习习惯。３ ． 培养记忆 力。 记忆是人们对经验反映 的心理过程 ， 它包括识记 、 保持、 再现和回忆 。 ４ ． 培养思维力。 教师应帮助学生在初中阶段已形成的 思考 ， 经过归纳推理和演绎推理 ， 使他们形 成新的概念。 我相信 ， 随着新的英语教学大纲和教良好 的学 习习惯 是培 养 自学 能力 的前提 ， 课前主动预 习 ， 课下主动复 习。３ ． 激发每个学生学 习的积极性。学生的学习能力和语言天赋各有不同， 根据学生的特点来激发每个人的学 习热情 ，学习方法、 目的和动机也不一样。 因此 ， 如何 对英语的认识基础上进行教学 ，启发学生是培养他们 自学能力的一个重要方面。五、 开发 学 习潜 能能力是顺 利地完 成某项 活动 的个性 材 的实施 ，随着教师教学思想的转变 、 教学水平的提高和教学方法的更新 ， 定 能通 自觉遵守 社会道 德规范 、 准则 ， 履行道 德 心理特征。智 力是指适合 多种活动要 求、 为人所共有 的一般能 力 ， 包括观察 、 注 意、 过英语教学促进全面提高学生的素质。 义务。２ ０ １ ３? １ ２
范文六：三棱锥的外接球问题三棱锥的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文从三棱锥的题型出发，进行归类总结，使学生全面掌握这些方法，提高解决这类题的能力。1有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B?AC?D，则四面体ABCD的外接球的体积为?
D.? 12963B2.三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，且SA?AC?SB?BC?，SC?4，则该球的A. 体积为25632?
64? 33D3．在三棱锥S?ABC中，AB?BC,AB?BC?2，SA?SC?2，二面角S?AC?B的余弦值是AS,A,B,C都在同一球面上，则该球的表面积是 A．86
C．24?D．6?A4.在平面四边形ABCD中，AB?AD?CD?1，BD?BD?CD，将其沿对角线BD折成四面体A?BCD，使平面ABD?平面BCD，若四面体A?BCD顶点都在同一个球面上，则该球的体积为'''B
2? 2315. 设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面?,?截球O的两个截面圆的半径?分别为1和3，二面角??l??的平面角为，则球O的表面积为
16?2????????5．平行四边形ABCD中，AB·BD=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD－C，且?4，A则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（
D．224????????????????试题分析：AB?BD?0,所以AB?BD,因为ABCD为平行四边形,所以CD?BD,AB?.因为A．A?BD?C为直二面角,所以面ABD?面CBD,因为面ABD?面CBD=BD,AB?面ABD,AB?BD,所以AB?面CBD.因为BC?面CBD,所以AB?BC.分析可知三棱锥A?BCD的外接球的球心为AC的中22AC?AB?点.因为B2C?2A(B?2C?D)2B2?D2A?B24C?所D以AC?2.则三棱锥,A?BCD的外接球的半径为1,表面积为4?.故C正确.题型
等腰四面体的外接球
补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1.在三棱锥A?BCD中，AB?CD?6,AC?BD?AD?BC?5，则该三棱锥的外接球的表面积为43? ____________题型
直角四面体的外接球
补成长方体，长方体对角线长为球的直径1.已知正三棱锥P?ABC，点P,A,B,CPA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。3→→→→→→2．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB·AC＝0，AD·AC＝0，AB·AD＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1＋S2＋S3的最大值是________． 答案 8→→→→→→→→→→→→解析 由AB·AC＝0，AD·AC＝0，AB·AD＝0，∴AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，由点A，B，C，D构成的AB2＋AC22222三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB＋AC＋AD＝(2＋2)＝16，即22222AB＋ADAD＋AC11＋＋＝16≥AB·AC＋AB·AD＋AC·AD，∴S1＋S2＋S3＝(AB·AC＋AB·AD＋AC·AD)≤222243×16，当且仅当AB＝AC＝AD时，3S1＋S2＋S3取得最大值8.3．三棱锥P?ABC中，?ABC为等边三角形，PA?PB?PC?2，PA?PB，三棱锥P?ABC的外接球的表面积为（
B．12?C．D．【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：PA,PB,PC两两相互垂直，以PA,PB,PC为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P?ABC4?2?12?，选B．C4.在正三棱锥A?BCD中，E,F分别是AB,BC的中点，EF?DE，若BC?A?BCD外接球的表面积为A
4?C5.在正三棱锥S?ABC中，M,N分别是SC,BC的中点，且MN?AM，若侧棱SA?，则正三棱锥S?ABC外接球的表面积为A
48?6已知直角梯形ABCD，AB?AD，CD?AD，AB?2AD?2CD?2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为
．4? 3，AD?，1CD?，1解：如图，AB?2?BC?AC.∴AC?BC7．已知正方形APP12P3的边长为4，点B,C分别是边PP12,P2P3的中点，沿AB,BC,CA折叠成一个三棱P）锥P?ABC（使P，则三棱锥P?ABC的外接球的体积为（
） 1,P2,P3重合于点A.24?
D.4?试题分析：折成的三棱锥P?ABC如图所示.由题意可知PA,PB,PC两两互相垂直且PA?PB?PC?4,AB?AC?BC?设此棱锥外接球的半径r,则r?考点：棱锥的外接球.题型
按定义找球心D1已知三棱锥A?BCD中，AB?AC?BD?CD?2,BC?2AD,直线AD底面BCD所成的角是则此时三棱锥外接球的体积是
B?则外接球的体积为V?4?3r?.故B正确. 3?，342282?
?3332 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（
）A．外接球的半径为B．表面积为7??1 C．体积为3 D．外接球的表面积为4? 3的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为， ，，所以外接球的表面积为解：由三视图可知，这是侧面ACD⊥ABC，高，设外接球的圆心为0，半径为x，则在直角三角形OEC中，OE+CE=OC，即整理得，解得半径222，所以A，C，D都不正确，故选B．题型
平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是d，球的半径为R，截面圆的半径为r，则有R2?d2?r21.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB?18,BC?24,AC?30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A.1200?
D.1800? 2.已知一个球的球心O到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，32? 33.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB?6,BC?2,则棱锥O?ABCD的体若AB?BC?CA?3，则球的体积为
。8 C4.高为2的四棱锥S?ABCD的底面是边长为1的正方形，点S.A.B.C.D均在半径为1的同一球面上，4则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为A22
425．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1的内切球， 则平面ACD1截球O的截面面积为? 6D1· O ABC1A1CM,N6连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB,CD的长度分别等于分别为AB,CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB,CD可能相交于点M；②弦AB,CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为l.
其中真命题的个数为
求锥体的体积1.已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，?ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC?2，则此棱锥的体积为AD
632?C2（2011辽宁理）已知球的直径SC?4，A,B是该球面上的两点，AB??ASC??BSC?30，则三棱锥S?ABC的体积为A????????????B3．三棱锥P?ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O,满足OA?OB?OC?0，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA?6 ，则此三棱锥体积最大值是（
D．24 4 正四棱锥S?ABCD,SA?23,当它的体积最大时，它的高为
补成直棱柱，球心在上下底面中心连线的中点处1.已知P,A,B,C,D在球O的表面上，PA?ABCD，PA?ABCD是边长为的正方形，则?OAB的面积为____________33PA⊥底面ABC，PA?3，2.三棱锥P?ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P?ABC的体积等于______。3. 三棱锥P?ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC为等边三角形，PA?平面ABC，PA?2AB?2a,则该球的体积是3a三棱锥的外接球问题三棱锥的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文从三棱锥的题型出发，进行归类总结，使学生全面掌握这些方法，提高解决这类题的能力。1有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B?AC?D，则四面体ABCD的外接球的体积为?
D.? 12963B2.三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，且SA?AC?SB?BC?，SC?4，则该球的A. 体积为25632?
64? 33D3．在三棱锥S?ABC中，AB?BC,AB?BC?2，SA?SC?2，二面角S?AC?B的余弦值是AS,A,B,C都在同一球面上，则该球的表面积是 A．86
C．24?D．6?A4.在平面四边形ABCD中，AB?AD?CD?1，BD?BD?CD，将其沿对角线BD折成四面体A?BCD，使平面ABD?平面BCD，若四面体A?BCD顶点都在同一个球面上，则该球的体积为'''B
2? 2315. 设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面?,?截球O的两个截面圆的半径?分别为1和3，二面角??l??的平面角为，则球O的表面积为
16?2????????5．平行四边形ABCD中，AB·BD=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD－C，且?4，A则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（
D．224????????????????试题分析：AB?BD?0,所以AB?BD,因为ABCD为平行四边形,所以CD?BD,AB?.因为A．A?BD?C为直二面角,所以面ABD?面CBD,因为面ABD?面CBD=BD,AB?面ABD,AB?BD,所以AB?面CBD.因为BC?面CBD,所以AB?BC.分析可知三棱锥A?BCD的外接球的球心为AC的中22AC?AB?点.因为B2C?2A(B?2C?D)2B2?D2A?B24C?所D以AC?2.则三棱锥,A?BCD的外接球的半径为1,表面积为4?.故C正确.题型
等腰四面体的外接球
补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1.在三棱锥A?BCD中，AB?CD?6,AC?BD?AD?BC?5，则该三棱锥的外接球的表面积为43? ____________题型
直角四面体的外接球
补成长方体，长方体对角线长为球的直径1.已知正三棱锥P?ABC，点P,A,B,CPA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。3→→→→→→2．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB·AC＝0，AD·AC＝0，AB·AD＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1＋S2＋S3的最大值是________． 答案 8→→→→→→→→→→→→解析 由AB·AC＝0，AD·AC＝0，AB·AD＝0，∴AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，由点A，B，C，D构成的AB2＋AC22222三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB＋AC＋AD＝(2＋2)＝16，即22222AB＋ADAD＋AC11＋＋＝16≥AB·AC＋AB·AD＋AC·AD，∴S1＋S2＋S3＝(AB·AC＋AB·AD＋AC·AD)≤222243×16，当且仅当AB＝AC＝AD时，3S1＋S2＋S3取得最大值8.3．三棱锥P?ABC中，?ABC为等边三角形，PA?PB?PC?2，PA?PB，三棱锥P?ABC的外接球的表面积为（
B．12?C．D．【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：PA,PB,PC两两相互垂直，以PA,PB,PC为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P?ABC4?2?12?，选B．C4.在正三棱锥A?BCD中，E,F分别是AB,BC的中点，EF?DE，若BC?A?BCD外接球的表面积为A
4?C5.在正三棱锥S?ABC中，M,N分别是SC,BC的中点，且MN?AM，若侧棱SA?，则正三棱锥S?ABC外接球的表面积为A
48?6已知直角梯形ABCD，AB?AD，CD?AD，AB?2AD?2CD?2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为
．4? 3，AD?，1CD?，1解：如图，AB?2?BC?AC.∴AC?BC7．已知正方形APP12P3的边长为4，点B,C分别是边PP12,P2P3的中点，沿AB,BC,CA折叠成一个三棱P）锥P?ABC（使P，则三棱锥P?ABC的外接球的体积为（
） 1,P2,P3重合于点A.24?
D.4?试题分析：折成的三棱锥P?ABC如图所示.由题意可知PA,PB,PC两两互相垂直且PA?PB?PC?4,AB?AC?BC?设此棱锥外接球的半径r,则r?考点：棱锥的外接球.题型
按定义找球心D1已知三棱锥A?BCD中，AB?AC?BD?CD?2,BC?2AD,直线AD底面BCD所成的角是则此时三棱锥外接球的体积是
B?则外接球的体积为V?4?3r?.故B正确. 3?，342282?
?3332 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（
）A．外接球的半径为B．表面积为7??1 C．体积为3 D．外接球的表面积为4? 3的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为， ，，所以外接球的表面积为解：由三视图可知，这是侧面ACD⊥ABC，高，设外接球的圆心为0，半径为x，则在直角三角形OEC中，OE+CE=OC，即整理得，解得半径222，所以A，C，D都不正确，故选B．题型
平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是d，球的半径为R，截面圆的半径为r，则有R2?d2?r21.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB?18,BC?24,AC?30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A.1200?
D.1800? 2.已知一个球的球心O到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，32? 33.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB?6,BC?2,则棱锥O?ABCD的体若AB?BC?CA?3，则球的体积为
。8 C4.高为2的四棱锥S?ABCD的底面是边长为1的正方形，点S.A.B.C.D均在半径为1的同一球面上，4则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为A22
425．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1的内切球， 则平面ACD1截球O的截面面积为? 6D1· O ABC1A1CM,N6连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB,CD的长度分别等于分别为AB,CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB,CD可能相交于点M；②弦AB,CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为l.
其中真命题的个数为
求锥体的体积1.已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，?ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC?2，则此棱锥的体积为AD
632?C2（2011辽宁理）已知球的直径SC?4，A,B是该球面上的两点，AB??ASC??BSC?30，则三棱锥S?ABC的体积为A????????????B3．三棱锥P?ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O,满足OA?OB?OC?0，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA?6 ，则此三棱锥体积最大值是（
D．24 4 正四棱锥S?ABCD,SA?23,当它的体积最大时，它的高为
补成直棱柱，球心在上下底面中心连线的中点处1.已知P,A,B,C,D在球O的表面上，PA?ABCD，PA?ABCD是边长为的正方形，则?OAB的面积为____________33PA⊥底面ABC，PA?3，2.三棱锥P?ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P?ABC的体积等于______。3. 三棱锥P?ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC为等边三角形，PA?平面ABC，PA?2AB?2a,则该球的体积是3a
范文七：三棱锥外接球问题河北师范大学实验中学
秦琳摘要:三棱锥外接球问题是高考热点，也是难点，常见的椎体外接球问题是有固定方法的，本文做了一些总结。关键字：三棱柱，外接球，高考题引入语: 近几年三棱锥外接球问题，经常出现在高考题中，本文就常见的几种题型做一些介绍，希望对同学们有所帮助。(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上，?ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC?2；则此棱锥的体积为
(D)6632【解析】选A?ABC的外接圆的半径r?O到面ABC的距离d?? 33SC为球O的直径?点S到面ABC的距离为2d?11?此棱锥的体积为V?S?ABC?2d?33此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。1.(2010辽宁11)已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA?平面ABC，AB?BC，SA?AB?1，BC，则球O表面积等于
选A（A）4?
（D）?【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。
解：R?21?1?2?1
S球?4?R2?4? 4练一练：将边长为2的正?ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B?AD?C，则三棱锥B?ACD的外接球的表面积为
．答案：5?说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。2. 点A、B、C、D均在同一球面上，其中△ ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的体积为
。解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。 答案：32说明：对于能补成直三棱柱的三棱锥外接球问题皆可用此法解。3.正四面体A?BCD的边长为2，求该四面体外接球的表面积
。解析：正四面体可以看成是有一个正方体的四条对角线构成的，所以它的外接球与正方体的外接球是同一个，从而轻松得解。解：若对角线为2，则边长为，体对角线为，球半径为6，表面积为6?。 2另解： ED?233,AE?4?6 242
?33OD?ED2?(AE?OD)2?OD??S球?6?此法对于顶点在底面的射影是地面三角形的外心的三棱锥外接球问题皆可用。
范文八：在五种正多面体中，正四面体和正方体是最特殊，最简单，最常见，也是我们最熟悉的两种几何体。但它们之间很特别的关系，很多学生不一定很熟悉，即使有所了解也不一定能灵活运用，解决正四面体的相关问题时也会感觉到很繁琐。 正四面体和正方体所有度量上的特征都只与它们的棱长有关，如高，体积，外接球的半径等。对于正方体而言，这些方面的结论都很容易记得住，相关问题很简单，解题自然很快。但在正四面体中，这些方面的结论，如果在任何时候都记得住，解决相关问题自然也容易。万一记不住呢？而且，这些结论也确实不容易记住，若再按一般方法推导，费时费力。而从正四面体与正方体的关系入手，推导有关结论就简洁而迅速。 事实上，在正方体ABCD-A′B′C′D′中可以截一个正四面体A′-BC′D出来，反过来正四面体A′-BC′D也可以补全成一个正方体ABCD-A′B′C′D′。如图所示, 正方体的外接球也就是正四面体的外接球。这样把有关正四面体的问题放在正方体中研究就方便的多。 例如，已知正四面体A′-BC′D的棱长为a ，求正四面体的高h，体积V，外接球的半径R 。 解：把正四面体A′-BC′D补全成一个正方体ABCD-A′B′C′D′，设正方体的棱长为b ，则易知b=a，先求正四面体的体积V ，设三棱锥A′-ABD的体积为，易知 再求正四面体的高h ， 即 最后再求外接球的半径R ，易知 即，正四面体的体积，高，外接球的半径。 这种把锥体补全成柱体后，再研究其外接球的思想方法，在解题时灵活运用，准确而迅速，简洁而高效。 例如，三棱锥的三对棱分别相等，分别等于5，，求它的外接球的表面积。（50） 练习：设正四面体的外接球的半径为6，则该正四面体的体积是_________。
范文九：三棱锥外接球球心的确定及性质作者：叶贻杰单位：广安实验中学
联系电话：请看教材中这样一道典型习题：P、A、B、C是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且 PA=PB=PC=1，求球的体积与表面积。本题由于三棱锥PABC三条侧棱相等，点P在底面ABC内的射影Q是底面中心，易证该棱锥外接球球心O必在直线PQ上，从而据勾股定理可列出一方程，直接解出球的半径。现将问题拓展为，P、A、B、C是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且 PA=a，PB=b，PC=c，求球的半径。由此三棱锥侧棱长不一定相等知，球心O不一定在经过点P垂直于底面的直线上，“射影法”无法求出球的半径。现另采用三种方法探讨球心的位置与半径的大小。1
补形法使其到四个顶点的距离相等。由长方体的性质可知，所求点即为长方体对角线的交点（如图所示）。相应地，球的直径等于长方体对角线的长，有（2R）2=a2 +b 2+ c2（R为球半径），解得R?。2
坐标法 分别作为三条坐标轴。鉴于此，以侧棱两两垂直的三棱锥PABC的顶点点，以棱PA、PB、PC顶点A、B、C的坐标依次为A（a,0,0）、B（0,b,0）、C（0,0,c）,（x,y,z），则｜OA｜=｜OB｜=｜OC｜=｜OP｜=R，?abc??R，解得，x?,y?,z?,R?。 22223
向量法向量是解决某些几何问题强有力的工具。给线段一定的方向，线段便演化成向量。三棱????????????锥PABC的三条侧棱，可演变成向量PA,PB,PC，球心O与各顶点的连线演变成向量????????????????????????????????????OA,OB,OC，且PA,PB,PC两两垂直，PA?a,PB?b,PC?c,????????????OA?OB?OC?R（R为球半径）。????????????????????????????????????????2????2由PA?(OP?OA)?(OA?OP)?(OA?OP)?OA?OP,而OA?OP，有????????????PA?(O?P)O?A0，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（1）????????????????????????????又PA?PB，得PA?PB?0，有PA?(OB?OP)?0，,,,,,,,,,,,,（2）????????????????????????????
PA?PC，得PA?PC?0，有PA?(OC?OP)?0，,,,,,,,,,,,,（3）????????????????????将（1）（2）（3）三等式相加，有PA?(OA?OB?OC?OP)?0。????????????????????同理可得，PB?(OA?OB?OC?OP)?0，????????????????????
PC?(OA?OB?OC?OP)?0。????????????????????????????假设OA?OB?OC?OP?0，依题，PA,PB,PC也都不为0，则得到三个两两相互????????????????垂直且相交的向量，同时与第四个向量OA?OB?OC?OP垂直，而这是不可能的，说明????????????????假设不成立，即OA?OB?OC?OP?0。????2????????2????2????????????2????????2再据PA?(OA?OP)?OA?2OA?OP?OP?2R?2OA?OP，同理有，????2????????????2????????22PB?2R?2OB?OP，PC?2R?2OC?OP，三式左右分别相加得，????2????2????2????????????????2PA?PB?PC?6R?2(OA?OB?OC)?OP，且?P2?2?A??，a????2????2????2????????????????222222PB?b,PC?c,OA?OB?OC?OP，于是，a?b?c?6R?2?OP，而????222222OP?R，则a?b?c?4R，即R?????????????????4
OA?OB?OC?OP的几何解释与坐标解释用向量法求球半径过程中，利用了一个重要的结论，对于三个两两相互垂直的向量???????????????????????????????????????????PA,PB,PC，若OA?OB?OC?OP（O为空间一点），则OA?OB?OC?OP。这一结论，除了可以运用纯向量的手段推导外，还可以结合几何图形或者空间直角坐标系予以论证和解释。4.1
几何解释据已知条件，可将点P、A、B、C将点O视为长方体对角线交点，如图所示。 ???????????????????????易知OA?OB?OA?TO?TA?CP， ????????????????????????有OA?OB?OC?CP?OC?OP，即证。4.2
坐标解释据已知条件，将点P看作坐标原点，将点A、B、C分别看作三条坐标轴上的点，点O为空间一点（如图所示）。设A（a,0,0）、B（0,b,0）、C（0,0,c）、O（x,y,z），由前面“坐标bc法”的推导，有x?a2,y?2,z?2。????????????易知OA?OB?OC=（a-x,-y,-z）+（-x,b-y,-z）+（=（a-3x,b-3y,c-3z）=(-,-,-)， abc????bc又OP=（0,0,0）－（x,y,z）=（-x,-y,-z）=(-a2,-2,-2)，????????????????故OA?OB?OC=OP。 5
小结侧棱两两垂直的三棱锥，从“两两垂直”这一特性出发，很自然地将其与长方体这一常见多面体，以及空间直角坐标系联系起来，充分利用长方体的性质，充分发挥坐标系的优势，使复杂的问题迎刃而解。用“向量法”求解本题，虽然显得繁琐，但有助于深化对向量这一基础工具的认识，也可开拓解题的视野。同时，“向量法” 与“补形法”、 “坐标法”还存在内在的深刻渊源和联系。
范文十：数学一.关于求外接球内接球问题：1.下列各正立体的边长均为a 高均为h,内切球半径均为r,外接球半径均为R 正方体
R=(a根3)/2正四面体
r=(a根6)/12
R=(a根6)/4
h=(a根6)/3 正八面体
r=(a根6)/6
R=(a根2)/22.求边长为L，高为H的棱柱的外接球体积①.求棱柱顶面(或底面)形心到任一角的距离d三棱柱：d3=L/2/sin(360/3/2)=L/根号3四棱柱：d4=L/2/sin(360/4/2)=L/根号2n棱柱：dn=L/2/sin(360/n/2)=L/[2sin(180/n)]②. 求球半径R，得球体积V由于球心与棱柱心重合，所以有R^2=d^2+(H/2)^2
即R=√[d^2+(H/2)^2] 由 V=4/3*π*R^3 得：三棱柱外接球体积：V3=4/3*π*[√(L^2/3+(H/2)^2)]^3四棱柱外接球体积：V4=4/3*π*[√(L^2/2+(H/2)^2)]^3n棱柱外接球体积：Vn=4/3*π*[√(L^2/(2sin(180/n))^2+(H/2)^2)]^3③. 求边长为L，高为H的棱锥的外接球体积求球心位置：棱锥底面形心到任一角的距离为d，求法同棱柱球心一定在棱锥高上，且球心到锥体顶点的距离和球心到底面任意一角的距离相等R^2=d^2+(H-R)^2 整理得：R=(d^2+H^2)/(2H)由 V=4/3*π*R^3 得：三棱锥外接球体积：V3=4/3*π*[(L^2/3+H^2)/(2H)]^3四棱锥外接球体积：V4=4/3*π*[(L^2/2+H^2)/(2H)]^3n棱锥外接球体积：Vn=4/3*π*[(L^2/(2sin(180/n))^2+H^2)/(2H)]^3练习：(1).若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是多少？(2). 在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60 E为AB的在中点，将三角形ABC和三角形BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B点重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为?(3). 已知球的内接三棱锥S-ABC的底面是以AB为为斜边的等腰直角三角形，且SB=SC=SA=2,则球的表面积为?(4). 在正三棱锥S-ABC中，侧棱SC垂直于侧面SAB，底面边长AC等于二倍的根号下六，则此三棱锥的外接球的表面积为?(5). 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面为?( 4π)(6).正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,侧棱长为√6且它的五个顶点都在同一球面上,则此球的体积为?(7). 正四棱锥中,底面边长为根号6,侧棱长为2倍根号3,求外接球&内接球的表面积?(8). 正三棱锥p-abc的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比是多少？
