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齿轮传动系统动态激励研究
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齿轮传动系统动态激励研究
山西省同煤集团煤峪口矿机电科
［摘要］动态激励是系统的输入，因此，研究齿轮啮合过程动态激励的基本特征，确定动态激励的类型和性质，是齿轮传动系统动力学的重要问题。［关键词］动态激励齿轮系统
齿轮系统的动态激励有内部激励和外部激励两类。外部激励是系统外部对系统的激励，主要指原动机的主动力矩和负载的阻力和阻力矩。外部激励的确定与一般的机械系统是相同的。内部激励是齿轮传动
误差激励和啮合冲击激励。与一般机械的不同之处，它包括刚度激励、
在这些激励中，其啮合力的变化是较为重要的因素。啮合力有径向分力和周向分力。锥齿轮和带斜齿或螺旋齿的齿轮则其啮合力还有轴向分
轮齿的啮合力传到齿轮上，对齿轮来说受到的啮合力是周期性变化力。的。变化的周向分力则可激起齿轮或齿轮系的扭转振动。按照机械振动理论，当激励频率接近系统的某阶固有频率时，可能会引起准共振或共振现象，而且，激振频率与固有频率的数值越接近，则激起的振动幅度越大，共振现象越明显，进而会在传动系统的某些部件产生超出系统正常稳定工况下几倍的动应力，从而导致传动系统和工作机的损坏事故。
１、齿轮系统动力学研究概况
尽管涉及齿轮动载荷的研究可以追溯到１８世纪，然而对齿轮系统动力学的系统研究始于上个世纪２０年代和３０年代早期，在此期间的研究主要通过分析和实验方法来确定轮齿的动载荷，分析理论主要以啮合冲击作为描述、解释齿轮动态激励、动态响应的基础，而将齿轮系统简化为较为筒单的单自由度系统，用冲击作用下的单自由度系统的动态响应来表达齿轮系统的动力学行为。在２０世纪５０年代，ＴｕＰｌｉｎ提
——质量模型用于轮齿动载荷的计算，从此揭开了齿出了第一个弹簧—
轮动力学研究的新纪元网。相继在５０年代中期出现了许多其它的齿轮动力学模型。在这一段时期内，研究者在理论和实验上都取得了大量的成果。自２０世纪７０年代至今，人们围绕齿轮动力学提出了更为复杂的模型，包括了时变啮合刚度、系统中各组成元件的非线性、轮齿间摩擦力、阻尼以及激励效应。
２、齿轮传动系统动态激励
由于齿轮传动系统的工作状态极为复杂，不仅载荷工况和动力装置多种多样，会出现由原动机或负载方面引入的外部激励，而且会出现由时变的啮合刚度、齿轮传递误差和啮入啮出冲击所引起的内部激励。齿轮传动系统的这两类动态激励中，与一般机械系统主要不同之处在于它的内部激励。由于同时啮合的轮齿对数以及啮合位置随时间周期变化、轮齿的受载弹性变形、齿轮和轮齿的误差等因素引起啮合过程中的轮齿动态啮合力变化，即使外部激励为一稳定常值，齿轮传动系统也会因为受到这种内部的动态激励而产生振动。齿轮传动系统的内部激
时变误差激励和啮合冲击激励三种形式。在齿轮励包括时变刚度激励、
传动系统动力学中，往往将载荷作用下时变的刚度激励和时变的误差激励归为位移型的激励，这是一种参数激励；而将啮入啮出冲击激励视为冲击力型激励，作为间隙非线性振动来研究。
２．１齿轮传动系统的外部激励
齿轮传动系统的外部激励是指齿轮传动系统中其它外部因素会对轮齿啮合和传动系统产生动态激励，如原动机、负载和系统中其它零部件（如联轴器、键联接、滚动轴承等）的基本特性。具体来讲，产生外部激
几何偏心、原动机（电动机或发动励的原因有：齿轮旋转质量不平衡、
机）和负载的扭矩波动以及系统中有关零部件的激励特性，如滚动轴承的时变刚度、离合器的非线性等等。在这些因素中，质量不平衡产生的惯性力和离心力将引起齿轮传动系统的转子耦合型问题，是一种动力耦合问题。对于几何偏心，它引起啮合过程中的大周期误差，是以位移形式参与系统激励的。由于质量不平衡和几何偏心主要是由加工误差引起的，因此往往将它们的影响与内部激励一起研究。就外部激励这点来看，齿轮传动系统同其它机械系统是一样的。
２．２齿轮传动系统的刚度激励一般来说，齿轮的啮合重合度大多不是整数，啮合过程中同时参与啮合的齿对数随时间周期变化；此外，由于轮齿的弹性，随着轮齿啮合位置的变化，啮合过程中轮齿对应的刚度也随之变化。这些因素都使得轮齿的啮合综合刚度是随时间周期性变化的。这样，弹性的啮合轮齿就相当于沿啮合线方向的时变弹簧，相应产生动态的轮齿啮合力。这种因
啮合综合刚度的时变性产生动态啮合力并对齿轮传动系统进行动态激
励的现象，就是刚度激励。
对于斜齿轮传动，由于啮合线是“点———线———点”的变化过程，啮合过程的轮齿交替不是突变的，但啮合过程中轮齿的综合啮合刚度及轮齿载荷也是周期性变化的，同样会引起啮合过程的动态刚度激励。
时变刚度激励是齿轮啮合过程中的主要激励形式之一，也是影响
引起参数自激振动的主要因素。从性质上讲，刚齿轮传动系统稳定性、
度激励使齿轮传动系统的动力学方程中含有时变系数，因而齿轮传动系统动力学问题属于参数振动的范畴，这实际上构成了齿轮传动系统动力学最主要的属性，形成其基本特点和性质，决定了它的研究和求解方法。考虑这一因素，齿轮传动系统动力学问题属于力学中的参数振动
轮齿啮合综合刚度是指在整个啮问题，其动力学模型是参数振动方程。
合区中，参与啮合的各对轮齿的综合刚度效应，主要与单齿的弹性变单对轮齿的综合弹性变形以及齿轮重合度有关，并因此随着啮合位形、
置的变化、啮合齿对数的变化等因素而发生周期性变化。
２．３齿轮传动系统的误差激励
齿轮的加工和安装不可避免地会存在误差，啮合过程中啮合齿廓将偏离理论的位置，形成了啮合过程中的一种位移型激励，即误差激
在齿轮传动系统动力学中，从研究啮合误差的动态激励励。一般来说，
入手，往往将齿轮的误差分解成齿距误差和齿形误差两种形式，前者指理想齿廓到过渡齿廓（与理想齿廓同形状）的偏移，后者指由过渡齿廓到实际齿廓的偏移。齿轮误差是影响齿轮振动和噪声的重要因素，它使齿轮啮合时的干涉增大，破坏了齿轮传动的平衡性，产生振动和冲击。
下面以影响齿轮振动噪声很大的齿形误差为例来分析误差激励的机理。
齿形误差是指在轮齿工作部分内，包容实际齿形的两条最近的设计齿形间的法向距离。设Ａ齿为主动轮具有理想渐开线齿形的轮齿，而Ａ’齿为从动轮的实际齿形，根据渐开线齿轮啮合原理，主动轮齿Ａ与从动轮齿Ａ’本来应该在ａ点正确啮合，由于齿形误差，Ａ齿并不沿才齿的理想齿形连续地啮合，而是在啮合线外的ａ’点接触，使得瞬时传动比突然发生变化，破坏了传动的平稳性，产生较大的冲击，从而产生振动噪声。由于误差的时变性，这种激励形成了啮合过程中的一种位移激励。这也是误差激励和啮合冲击激励的区别所在。
齿轮啮合误差通常是呈周期性变化的，当系统中其它误差对其的影响不可忽视时，也可把其视为一隐含周期项的平稳随机误差信号，其中周期项的频率分量与组成系统各传动件（如轴）误差的频率相对应。当只考虑各传动件的一次误差时，直接与各传动件的转速相对应。这时，传动误差可用有限项谐波谱来表示。如果传动误差用Ｆｏｕｒｉｅ级数的谐波谱表示，可获得更多的误差信息，克服了有限项谐波谱的缺陷。
在齿轮传动系统的内部激励中，根据激励的性质通常将在载荷作用下的刚度激励和齿轮的误差激励归为一类，其性质是位移型的激励。对于位移型的激励，人们将载荷作用下的轮齿变形（与刚度激励有关）和齿轮误差两者组合起来，表示为静传递误差。由于静传递误差主要是由受载轮齿弹性变形和齿轮制造误差引起的，因此可以将静传递误差分解成两部分：首先是由轮齿受载弹性变形引起的部分，这一部分静传递误差，仅与齿轮的设计参数有关，称为“设计传递误差”；另一部分是由制造误差引起的，称为“制造传递误差”。这样，通过研究设计传递误差和制造传递误差对齿轮啮合的动态激励，就可以了解齿轮啮合的刚度激励和误差激励。
２．４齿轮传动系统的啮合冲击激励在齿轮轮齿啮合过程中，由于轮齿误差和轮齿受载弹性变形，使轮“啮合合成基节误差”，使一对轮齿在进入啮合时，其啮入点偏离齿产生
啮合线上的理论啮入点，引起啮入冲击；而在一对轮齿完成啮合过程退出啮合时，啮出点偏离啮合线上的理论啮出点，产生啮出冲击。在齿轮传动系统动力学中，这种因“啮合合成基节误差”引起的冲击称为啮合过程的啮合冲击，由啮合冲击产生的冲击力也是轮齿啮合的动态激励源之一。啮合冲击激励与误差激励的区别在于，前者（下转第２７９页）
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摘要： 动态激励是系统的输入，因此，研究齿轮啮合过程动态激励的基本特征，确定动态激励的类型和性质，是齿轮传动系统动力学的重要问题。
关键词： 动态激励 齿轮 系统
Abstract: The incentive is a dynamic system of input, therefore, the meshing of gears on the basic characteristics of dynamic incentive to determine the type and inspire dynamic nature of gear drive system dynamics is an important issue.
Key words: dynamic incentive gear system
齿轮系统的动态激励有内部激励和外部激励两类。外部激励是系统外部对系统的激励，主要指原动机的主动力矩和负载的阻力和阻力矩。外部激励的确定与一般的机械系统是相同的。内部激励是齿轮传动与一般机械的不同之处，它包括刚度激励、误差激励和啮合冲击激励。在这些激励中，其啮合力的变化是较为重要的因素。啮合力有径向分力和周向分力。锥齿轮和带斜齿或螺旋齿的齿轮则其啮合力还有轴向分力。轮齿的啮合力传到齿轮上，对齿轮来说受到的啮合力是周期性变化的。变化的周向分力则可激起齿轮或齿轮系的扭转振动。按照机械振动理论，当激励频率接近系统的某阶固有频率时，可能会引起准共振或共振现象，而且，激振频率与固有频率的数值越接近，则激起的振动幅度越大，共振现象越明显，进而会在传动系统的某些部件产生超出系统正常稳定工况下几倍的动应力，从而导致传动系统和工作机的损坏事故。
一、齿轮系统动力学研究概况
尽管涉及齿轮动载荷的研究可以追溯到 18 世纪。然而对齿轮系统动力学的系统研究始于上个世纪 20 年代和 30 年代早期，在此期间的研究主要通过分析和实验方法来确定轮齿的动载荷，分析理论主要以啮合冲击作为描述、解释齿轮动态激励、动态响应的基础，而将齿轮系统简化为较为筒单的单自由度系统，用冲击作用下的单自由度系统的动态响应来表达齿轮系统的动力学行为。在 20 世纪 50 年代， TuPlin 提出了第一个弹簧 - 质量模型用于轮齿动载荷的计算，从此揭开了齿轮动力学研究的新纪元网。相继在 50 年代中期出现了许多其它的齿轮动力学模型。在这一段时期内，研究者在理论和实验上都取得了大量的成果。自 20 世纪 70 年代至今，人们围绕齿轮动力学提出了更为复杂的模型，包括了时变啮合刚度、系统中各组成元件的非线性、轮齿间摩擦力、阻尼以及激励效应。
二、齿轮传动系统动态激励
由于齿轮传动系统的工作状态极为复杂，不仅载荷工况和动力装置多种多样，会出现由原动
机或负载方面引入的外部激励，而且会出现由时变的啮合刚度、齿轮传递误差和啮入啮出冲击所引起的内部激励。齿轮传动系统的这两类动态激励中，与一般机械系统主要不同之处在于它的内部激励。由于同时啮合的轮齿对数以及啮合位置随时间周期变化、轮齿的受载弹性变形、齿轮和轮齿的误差等因素引起啮合过程中的轮齿动态啮合力变化，即使外部激励为一稳定常值，齿轮传动系统也会因为受到这种内部的动态激励而产生振动。齿轮传动系统的内部激励包括时变刚度激励、时变误差激励和啮合冲击激励三种形式。在齿轮传动系统动力学中，往往将载荷作用下时变的刚度激励和时变的误差激励归为位移型的激励，这是一种参数激励 ; 而将啮入啮出冲击激励视为冲击力型激励，作为间隙非线性振动来研究。
2.1 齿轮传动系统的外部激励
齿轮传动系统的外部激励是指齿轮传动系统中其它外部因素会对轮齿啮合和传动系统产生动态激励，如原动机、负载和系统中其它零部件（如联轴器、键联接、滚动轴承等）的基本特性。具体来讲，产生外部激励的原因有 : 齿轮旋转质量不平衡、几何偏心、原动机（电动机或发动机）和负载的扭矩波动以及系统中有关零部件的激励特性，如滚动轴承的时变刚度、离合器的非线性等等。在这些因素中，质量不平衡产生的惯性力和离心力将引起齿轮传动系统的转子耦合型问题，是一种动力耦合问题。对于几何偏心，它引起啮合过程中的大周期误差，是以位移形式参与系统激励的。由于质量不平衡和几何偏心主要是由加工误差引起的，因此往往将它们的影响与内部激励一起研究。就外部激励这点来看，齿轮传动系统同其它机械系统是一样的。
2.2 齿轮传动系统的刚度激励
一般来说，齿轮的啮合重合度大多不是整数，啮合过程中同时参与啮合的齿对数随时间周期变化 ; 此外，由于轮齿的弹性，随着轮齿啮合位置的变化，啮合过程中轮齿对应的刚度也随之变化。这些因素都使得轮齿的啮合综合刚度是随时间周期性变化的。这样，弹性的啮合轮齿就相当于沿啮合线方向的时变弹簧，相应产生动态的轮齿啮合力。这种因啮合综合刚度的时变性产生动态啮合力并对齿轮传动系统进行动态激励的现象，就是刚度激励。
对于斜齿轮传动，由于啮合线是“点一线一点”的变化过程，啮合过程的轮齿交替不是突变的，但啮合过程中轮齿的综合啮合刚度及轮齿载荷也是周期性变化的，同样会引起啮合过程的动态刚度激励。
时变刚度激励是齿轮啮合过程中的主要激励形式之一，也是影响齿轮传动系统稳定性、引起参数自激振动的主要因素。从性质上讲，刚度激励使齿轮传动系统的动力学方程中含有时变系数，因而齿轮传动系统动力学问题属于参数振动的范畴，这实际上构成了齿轮传动系统动力学最主要的属性，形成其基本特点和性质，决定了它的研究和求解方法。考虑这一因素，
齿轮传动系统动力学问题属于力学中的参数振动问题，其动力学模型是参数振动方程。轮齿啮合综合刚度是指在整个啮合区中，参与啮合的各对轮齿的综合刚度效应，主要与单齿的弹性变形、单对轮齿的综合弹性变形以及齿轮重合度有关，并因此随着啮合位置的变化、啮合齿对数的变化等因素而发生周期性变化。
2.3 齿轮传动系统的误差激励
齿轮的加工和安装不可避免地会存在误差，啮合过程中啮合齿廓将偏离理论的位置，形成了啮合过程中的一种位移型激励，即误差激励。一般来说，在齿轮传动系统动力学中，从研究啮合误差的动态激励入手，往往将齿轮的误差分解成齿距误差和齿形误差两种形式，前者指理想齿廓到过渡齿廓（与理想齿廓同形状）的偏移，后者指由过渡齿廓到实际齿廓的偏移。齿轮误差是影响齿轮振动和噪声的重要因素，它使齿轮啮合时的干涉增大，破坏了齿轮传动的平衡性，产生振动和冲击。
下面以影响齿轮振动噪声很大的齿形误差为例来分析误差激励的机理。
齿形误差是指在轮齿工作部分内，包容实际齿形的两条最近的设计齿形间的法向距离。设 A 齿为主动轮具有理想渐开线齿形的轮齿，而 A ’齿为从动轮的实际齿形、根据渐开线齿轮啮合原理，主动轮齿 A 与从动轮齿 A ’本来应该在 a 点正确啮合，由于齿形误差， A 齿并不沿才齿的理想齿形连续地啮合，而是在啮合线外的 a ’点接触，使得瞬时传动比突然发生变化，破坏了传动的平稳性，产生较大的冲击，从而产生振动噪声。由于误差的时变性，这种激励形成了啮合过程中的一种位移激励。这也是误差激励和啮合冲击激励的区别所在。
齿轮啮合误差通常是呈周期性变化的，当系统中其它误差对其的影响不可忽视时，也可把其视为一隐含周期项的平稳随机误差信号，其中周期项的频率分量与组成系统各传动件（如轴）误差的频率相对应。当只考虑各传动件的一次误差时，直接与各传动件的转速相对应。这时，传动误差可用有限项谐波谱来表示。如果传动误差用 Fourie 级数的谐波谱表示，可获得更多的误差信息，克服了有限项谐波谱的缺陷。
在齿轮传动系统的内部激励中，根据激励的性质通常将在载荷作用下的刚度激励和齿轮的误差激励归为一类，其性质是位移型的激励。对于位移型的激励，人们将载荷作用下的轮齿变形（与刚度激励有关）和齿轮误差两者组合起来，表示为静传递误差。由于静传递误差主要是由受载轮齿弹性变形和齿轮制造误差引起的，因此可以将静传递误差分解成两部分 : 首先是由轮齿受载弹性变形引起的部分，这一部分静传递误差，仅与齿轮的设计参数有关，称为“设计传递误差”、另一部分是由制造误差引起的，称为“制造传递误差”。这样，通过研究设计传递误差和制造传递误差对齿轮啮合的动态激励，就可以了解齿齿轮啮合的刚度激励和误差激励。
2.4 齿轮传动系统的啮合冲击激励
在齿轮轮齿啮合过程中，由于轮齿误差和轮齿受载弹性变形，使轮齿产生“啮合合成基节误差”，使一对轮齿在进入啮合时，其啮入点偏离啮合线上的理论啮入点，引起啮入冲击 ; 而在一对轮齿完成啮合过程退出啮合时，啮出点偏离啮合线上的理论啮出点，产生啮出冲击。在齿轮传动系统动力学中，这种因“啮合合成基节误差”引起的冲击称为啮合过程的啮合冲击，由啮合冲击产生的冲击力也是轮齿啮合的动态激励源之一。啮合冲击激励与误差激励的区别在于，前者对系统的激励是一种周期性的冲击力，后者对系统的激励则是一种周期性变化的位移激励。
这两种冲击都使啮合线发生偏移，从动轮转速发生变化，使齿轮啮合发生了较强烈的冲击，产生振动和噪声。啮出冲击的情况与啮入冲击类似。一般说来，如果齿轮传递较大的载荷，轮齿的啮合表面始终处在接触状态，因此轮齿间的齿侧间隙不会对齿轮传动系统的动态性能产生太大影响。但是在实际工程中，齿轮可能在轻载下高速运转（如汽车变速系统、机床主传动系统等），由于齿侧间隙的存在，轮齿间接触状态会发生变化，导致轮齿间的接触、脱离、再接触、再脱离的重复冲击，对轮齿动载荷和齿轮传动系统的动态特性产生不良影响。因此，促使人们进行齿轮传动系统间隙非线性动力学的研究。
参考文献：
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2 唐增宝，钟毅芳 . 齿轮传动的振动分析与动态优化－设计 [M]. 武汉：华中理工大学出版社，
1994 ： 10 － 82
3 张阿舟，朱德恐 . 阻尼系统的振动分析 [J]. 南京航空学院学报， 1983 ，（ l ）： 23 － 27
4 石博强，赵金编 . MATLAB 数学计算与工程分析范例教程 [M]. 北京 : 中国铁道出版社， 2005 ： 243 － 248
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