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2n阶非线性差分方程周期解的存在性
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2n阶非线性差分方程周期解的存在性
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一个具有超前和滞后的微分——差分方程边值问题的存在唯一性定理实验八差分方程；[实验目的]；1.掌握差分的性质，多项式求和；2.差分方程的解；§1基本理论；1.差分；2.任意数列{xn},定义差分算子Δ如下：Δxn；对新数列再应用差分算子，有；Δ2xn=Δ(Δkxn).性质；性质1Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn性质；性质3Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j；性质4数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k&
[实验目的]
1. 掌握差分的性质，多项式求和； 2. 差分方程的解法； 3. 用差分方程解代数方程；
4. 用差分方程分析国民经济。
§1 基本理论
2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下： Δxn=xn+1-xn
对新数列再应用差分算子，有
Δ2xn=Δ(Δkxn). 性质
Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn 性质2
Δk(cxn)=cΔkxn
Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j
数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k&=1,存在η，有
Δxn=f(η) 差分方程
定义8。1 方程关于数列的k阶差分方程：
xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1,……)
其中a1,a2,------ak 为常数， ak≠0. 若b=0,则该 方程是齐次方程
关于λ 的代数方程
λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0
为对应的特征方程，根为特征值。
1． 实验内容与练习
可见，{n},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。
练习1 对{1}，{n},{n2},{n4},{n5}, 分别求各阶差分数列。
练习2 {Cn-1}{Cn-1}{Cn-1},{C {Xn}的通项为n的三次函数， Xn=a3n+a2n+a1n+a0 证明它为常数数列。
证明 由Xn=a3n+a2n+a1n+a0可直接计算 。
定理8。1 若数列的通项是关于n 的k次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定理8。1 。
若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n的 k次多项式，
练习4 根据插分的性质证明定理8。2
例2。求∑i3 例3 例4
设Sn=∑i 表
n-1},分别求各阶差分数列.
设Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0,
s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225,得
a0=0, a1=0,
a2=1/4, a3=1/2, a4=1/4.
Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2.
{Xn}的通项Xn为n的k次多项式，证明∑xi为n的 k+1次多项式；求 ∑i.
由练习 2 {Crn-1}可得。
2.2差分方程
对于一个差分方程，如果能找出这样的数列通项，将它带入差分方程后，该方程成为恒等式，这个通项叫做差分方程的解。
对差分方程x1,x2xn-5xn-1+6xn-2=0,可直接验证xn=c13+c22是该方程的解。
例3中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与差分方程的阶数相同。这样的解叫做差分方程的通解。
若k阶差分方程给定了数列前k项的取值，则可以确定通解的任意常数，得到差分
例4对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,若已知x1=1,x2=5,则可以得到该差分方程的特解为
我们首先研究齐次线性差分方程的求解。
xn=rxn-1 x1=a
显然有xn=ar。因此，若数列满足一阶差分方程，则该数列为一个等比数列。
求Fibonacci数列{Fn}的通项，其中F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2.
Fibonacci数列的前几项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…。该数
列有着非常广泛的应用。
Fibonacci数列所满足的差分方程为
Fn-Fn-1-Fn-2=0,
其特征方程为
λ-λ-1=0 其根为λ1=
可将差分方程写为
Fn-(λ1+λ2)Fn-1+λ1λ2Fn-2=0,
Fn-λ1Fn-1=λ2(Fn-1-λ1Fn-2)
数列｛Fn-λ1Fn-1｝满足一个一阶差分方程．显然
Fn??2Fn?1??1 (F2??2F1)
Fn??2Fn?1??1(F2??2F1)
由以上两式可解出Fn的通项。
证明若数列{xn}满足二阶差分方程xn?a1xn?1?a2xn?2?0，其特征方程??a1?1?a2?0由两个不相等的根?1,?2，则?1,?2为该差分方程的两个特解。从而其
通解为xn?c1?1?c2?2。
由练习9，若二阶差分方程的特征方程有两个不相等的根，可写出其通解的一般性式。再由x1,x2的值可解出其中的系数，从而写出差分方程的特解。
练习10 具体求出 Fibonacci数列的通项，并证明lim
?。那么,若二阶线性
齐次差分方程有两个相等的根，其解有如何来求呢？
设二阶线性齐次差分方程的特征方程有两个相等的根?，则差分方程可写为
xn?2?xn?1??xn?2?0。差分方程的两边同时除以?，有
,则yn?2yn?1?yn?2?0(n&=3)。由于该式在 n&=3式均成立,我们将它改写为
yn?2?2yn?1?yn?0(n&=1)。
方程(8.2)的左边是yn的二阶差分,从而有?2yn?0,于是yn是n的 一次函数,设为
yn?c0?c1n,则有xn?(c0?c1n)?。上是即为差分方程的通解。
证明：若数列{xn} 所满足的三阶差分方程的特征方程由三个相等的根?，则差分方程的通解为xn?(c0?c1??c2?2)?n。
一般的，设?1,?2,???,?l为差分方程的特征方程所有不同的解,其重数分别为??，hl，则差分方程对应于其中的根?i（i=1，2，???，l）的特解?i,n?i,???nh1,h2,?
对于一般的k阶齐次线性差分方程，我们可以通过其特征方程得到上述形式的k个特解，进而得到差分方程的通解。
若数列{xn} 满足差分方程
xn?2xn?1?3xn?2?4xn?3?4xn?4?0(n??5)
且x1?6,x2?7,x3?2,x4??19,求{xn}的通项。 例6
若实系数差分方程的根为虚数，则其解也是用虚数表示的，这给讨论问题带来不便。差分方程
xn-2xn-1+4xn-2=0 的特征值为1?
3i.若x1=1,x2=3,由下面的程序易求出其特解为：
i)(1+3i)+(－
Clear[x1,x2,c1,c2,l1,l2,solution];
x1=1;x2=3;
solution=Solve[1^2-2l+4==0,1];
l1=l/.solution[[1,1]];
l2=l/.solution[[2,1]];
c=Solve[{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}];
c1=Simplify[Re[c1]]+Simplify[Im[c1]]*I;
c2=Simplify[Re[c2]]+Simplify[Im[c2]]*I;
Print[“xn=(“,c1,”)(“,l1,”)^n+(“,c2,”)(“,l2,”)^n”] 解的形式相当复杂，是否可以将它们用实数表示呢？ 设?
,我们可将（８．４）中的表达式改写为
)n+re?i? (2e
=2r2nCos(??
?(2rSin?)2Sin
=(2rCos?)2nCos
可以看出，通项可以写成c12Cos
的形式．那么，2cos
是不是差分方程的特解呢？
是差分方程(8.3)的特解.
对于差分方程(8.3),我们找出了它的两个实型的特解,从而可以将通解表示成实数的形式.这一方法对于一般的方程也是成立的.
设xn?a1xn?1?a2xn?2?0的两个特征值为a?bi?re.证明该差分方程的通
解可表示为c1rCosn??c2rSin?.
用实数表示差分方程xn?xn?1?xn?2?xn?3?0,x1?1,x2?0,x3??1的特解. 上次我们讨论了其次线性差分方程的求解方法.那么,非齐次线性差分方程是否可以化为齐次线性差分方程呢?
若已知非齐次线性差分方程
xn?a1xn?1?a2xn?2?????akxn?k?b
（８.5） 的一个特解为xn?q(n).求证:若令xn?yn?q(n),则yn满足齐次差分方程
yn?a1yn?1?a2yn?2?????akyn?k?0.
由练习16,若已知非齐次线性差分方程(8.5)的一个特解,就可以将它化为齐次线性差分方程. 显然方程(8.5)的最简单的形式为xn?p(其中p为常数),代入(8.5)得
包含各类专业文献、应用写作文书、各类资格考试、幼儿教育、小学教育、行业资料、高等教育、中学教育、专业论文、74差分方程等内容。　
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