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第二章刚体上力系的简化§2-1力矩的概念及计算
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新理论力学简明教程 中、少学时 教学课件 孟庆东 第三章 平面任意力系.ppt 43页
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在线教务辅导网：教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网QQ:或者直接输入下面地址：第三章平面任意力系主要研究内容力的平移定理平面平行力系的平衡方程平面静定桁架的内力计算第三章平面任意力系起重吊车中的梁A、B，其受力图如图ｂ）所示，受到同一平面内任意力系的作用。平面任意力系指各力作用线在同一平面内且任意分布的力系第三章平面任意力系曲柄连杆机构,受有压力P、力偶M以及约束反力FAX、FAY和FN的作用。这些力构成了平面任意力系。第三章平面任意力系沿直线行驶的汽车,它所受到的重力G，空气阻力F和地面对前后轮的约束力的合力FRA、FRB都可简化到汽车纵向对称平面内,组成一平面任意力系。第一节力的平移定理定理作用在刚体上某点的力F，可以平行移动到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对平移点之矩。证明如下图所示：第一节力的平移定理意义力的平移定理是力系向一点简化的理论依据,而且还可以分析和解决许多工程问题。图示的厂房立柱，受到行车传来的力F的作用。可利用力的平移定理将F力平移到中心线O处。M第二节平面任意力系的简化与平衡1.平面任意力系向平面内一点的简化设作用在刚体上有一平面任意力系F1、F2、…Fn如图所示。将力系中的每个力向平面内任意一点O平移。O点称为简化中心。F1′=F1,F2′=F2,…,Fn′=Fn?M1=Mo(F1),M2=Mo(F2)，…，Mn=Mo(Fn)结论在一般情形下,平面任意力系向作用面内任意一点O简化,可得到一个通过简化中心O的力和一个力偶。这个力等于该力系的矢量和，称为主矢量,这个力偶矩的等于该力系对简化中心O的力矩的代数和，称为主矩。?平面一般力系得到：第二节平面任意力系的简化与平衡主矢量与简化中心的位置无关；主矩与简化中心的位置有关。?注意：不能认为主向量R′就是原力系的合力，因为R′的作用效果并不和原力系的作用效果一样，只有主向量R′和主矩Mo一起的作用效果才与原力系的作用效果等效。2.主失量是不是原力系中各力的合力？？1.主矢量与简化中心的位置有没有关系？主矩呢？第二节平面任意力系的简化与平衡二.固定端约束固定端既限制物体向任何方向移动,又限制向任何方向转动。紧固在刀架上的车刀工件被夹持在卡盘上埋入地面的电线杆房屋阳台第二节平面任意力系的简化与平衡固定端约束反力特点AB杆的A端在墙内固定牢靠,在任意已知力或力偶的作用下,则使A端既有移动又有转动的趋势。A端受力如图在平面力系情况下,固定端A处的约束反力作用可简化为两个约束反力FAx、FAy和一个力偶矩为MA的约束反力偶第二节平面任意力系的简化与平衡三.平面任意力系简化结果讨论　　平面一般力系向一点简化，一般可得到一个主矢FR'和一个主矩MO，但这不是最终简化结果，最终简化结果通常有以下四种情况:（1）FR'＝0，MO≠0　　表明原力系与一个力偶等效，原力系简化为一个合力偶，其力偶矩为MO＝∑MO(F)，此时主矩MO与简化中心的选择无关。（2）FR'≠0，MO＝0　　表明原力系与一个主矢量FR'等效，即FR'为原力系的合力，其作用线通过简化中心。(4)FR'＝0，MO＝0　　表明原力系为平衡力系，则刚体在此力系作用下处于平衡状态。四.平面任意力系的平衡条件(1)所有各力在x轴上的投影的代数和为零(2)所有各力在y轴上的投影的代数和为零(3)所有各力对于平面内的任一点取矩的代数和等于零平面一般力系有三个独立的方程，可以求解三个未知量！第二节平面任意力系的简化与平衡平面任意力系的平衡方程还有：A、B不能与x轴（或y轴）垂直！第二节平面任意力系的简化与平衡平面任意力系的平衡方程还有：A、B、C三点不能共线！注意：在应用平衡方程解平衡问题时，为了计算简化，通常将矩心选在两个未知力的交点，而坐标轴则尽可能选取与该力系中多数未知力的作用线平行或垂直！第二节平面任意力系的简化与平衡求解平面任意力系中未知量的步骤如下：(1)确立研究对象,取分离体,作出受力图。(2)建立适当的坐标系。在建立坐标系时，应使坐标轴的方位尽量与较多的力（尤其是未知力）成平行或垂直,以使各力的投影计算简化。在列力矩式时,力矩中心应尽量选在未知力的交点上,以简化力矩的计算。?(3)列出平衡方程式,求解未知力。?第二节平面任意力系的简化与平衡例3-1起重机的水平梁AB,A端以较链固定,B端用拉杆BC拉住,如图所示。梁重G1=4kN,载荷重G2=10kN。梁的尺寸如图示。试求拉杆的拉力和铰链A的约束力。第二节平面任意力系的简化与平衡五.平面任意力系平衡方程式的应用举例解：取梁AB为研究对象。已知力:G1和G2未知力：拉杆BC的拉力FT，BC为二
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第二章 平面力系
    静力学
第二章 平面力系
平面力系是工程中最常见的一种力系。当物体所受的力都对称于某一平面时，也可将它看作该对称平面内的平面力系问题。如作用在屋架、汽车、皮带轮、圆柱直齿轮等物体上的力系都可以视为平面力系。
本章介绍平面力系的简化和平衡问题，包括有摩擦的平衡问题。
第一节力在轴上的投影与力的分解
一、力在直角坐标轴上的投影
力是矢量，因此，力的投影就是矢量的投影，即力在某轴上的投影，等于该力的大小乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。力在轴上的投影为代数量，当力与投影轴间夹角为锐角时，其值为正；当夹角为钝角时，其值为负。
如图2-1所示，已知力F 与直角坐标轴x、y的夹角为α、β，则力F　在x、y轴上的投影分别为
相反，如果已知力F 在直角坐标轴上的投影Fx 和Fy ，则可确定该力的大小和方向余弦
其中 i、j 分别为沿坐标轴x、y正向的单位矢量。
二、力沿坐标轴分解
力沿坐标轴分解时，分力由力的平行四边形法则确定，如图2-1所示，力F沿直角坐标轴 Ox、 Oy可分解为两个分力Fx 和Fy ，其分力与力的投影之间有下列关系
因此，力的解析表达式可写为
必须注意，力的投影与力的分解是两个不同的概念，两者不可混淆。力在坐标轴上的投影Fx 和Fy 为代数量，而力沿坐标轴的分量Fx 和Fy 为矢量。当 Ox、Oy两轴不相垂直时，分力Fx 、Fy 和力在轴上的投影Fx 和Fy 在数值上也不相等，如图2-2所示。
三、合力投影定理
设由n个力组成的平面汇交力系，其汇交点为O，如图2-3a所示。连续应用力的平行四边形法则或力多边形法则，容易得到此汇交力系的合力FR ，如图2-3b所示，有
上式表明：平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，合力矢等于各分力的矢量和。
根据合矢量投影定理--合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和，将式（2-4）向 x、y轴投影，可得
上式表明：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。式中F1x 、F2x 、……、Fnx 和F1y 、F2y、……、Fny 分别为各分力在x和y轴上的投影。
计算出合力的投影后，可由式（2-2）求得合力的大小和方向余弦
第二节力对点之矩
力对刚体作用的效应有移动与转动两种。其中力的移动效应由力矢量的大小和方向来度量，而力的转动效应则由力对点之矩(简称力矩)来度量。
一、力对点之矩
如图2-4所示，平面内作用一力F，在该平面内任取一点 O，点 O称为力矩中心，简称矩心，矩心O到力作用线的垂直距离h称为力臂，则平面力对点之矩的定义如下：
力对点之矩是一个代数量，其大小等于力与力臂的乘积，正负号规定如下：力使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负。
以MO(F) 表示力F 对于点 O之矩，则：
式中，A△OAB 表示三角形OAB的面积。
力矩的单位常用 N?m或 kN?m。当力的作用线通过矩心时，力臂h=0，则MO(F) =0。
以r 表示由点O到A的矢径，则矢积r × F 的模|r × F|等于该力矩的大小，且其指向与力矩转向符合右手规则。
二、合力矩定理
定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数和。如图2-5所示，设平面汇交力系F1 、F2 、…、Fn 有合力FR，则
用矢径r 左乘上式两端(作矢积)，有
由于各力与矩心O共面，因此上式中各矢积相互平行，矢量和可按代数和进行计算，而各矢量积的大小也就是力对点 O之矩，故得
定理得证。
必须指出，合力矩定理不仅对平面汇交力系成立，而且对于有合力的其它任何力系都成立。
由合力矩定理可得到力矩的解析表达式，如图2-6所示，将力F 分解为两分力Fx 和Fy ，则力F对坐标原点O之矩为
上式即为平面力矩的解析表达式。其中x、y为力F 作用点的坐标；Fx、Fy为力F在x、y轴上的投影，它们都是代数量，计算时必须注意各量的正负号。
将式(2-9)代入式(2-8)，容易得到合力矩的解析表达式
三、力矩的计算
可用力矩的定义式(2-7)或力矩的解析表达式(2-9)计算平面力对某一点之矩，当力臂计算比较困难时，应用合力矩定理，往往可以简化力矩的计算，一般将力分解为两个适当的分力，先求出两分力对此点之矩，然后求其代数和，即得该力对点之矩。
第二章 第二节 力对点的矩
例2-1 如图2-7a所示，圆柱直齿轮受啮合力Fn 的作用。设Fn =1kN。压力角α=20°，齿轮的节圆（啮合圆）半径r=60mm，试计算力Fn 对轴O的力矩。
方法一 按力矩的定义计算。
由图2-7a有
方法二 用合力矩定理计算。
将力Fn 分解为圆周力（或切向力）Ft 和径向力Fr ，如图2-7b所示，则
例2-2 三角形分布载荷作用在水平梁AB上，如图2-9所示。最大载荷集度为q，梁长l。试求该力系的合力。
先求合力的大小。在梁上距A端为x处取一微段dx，其上作用力大小为qxdx，其中qx为此处的集度。由图可知，qx=qx/l ，故分布载荷的合力为
再求合力作用线位置。设合力FR 的作用线距A端的距离为h，在微段dx上的作用力对点A之矩为-(qxdx)x，全部分布载荷对点A之矩为
由合力矩定理，得
代入FR 的值，得
即合力大小等于三角形分布载荷的面积，合力作用线通过三角形的几何中心。
例2-3 如图2-8a所示，曲杆上作用一力F ，已知OA＝a，OB＝b，试分别计算力F 对点O和点A之矩。
应用合力矩定理，将力F 分解为Fx 和Fy ，如图2-8b所示，则力F 对O点之矩为
力F 对A点之矩为
第二节 力 偶
一、力对点之矩
大小相等、方向相反但不共线的两个平行力组成的力系，称为力偶。如图2-10所示，力F 和F''''组成一个力偶，记作( F ,F'''')。力偶中两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。
在日常生活与生产实践中，经常见到在物体上作用力偶的情况，如用两个手指拧水龙头或转动钥匙，手指对水龙头或钥匙施加的两个力；汽车司机用双手转动驾驶盘(图2-11a)；钳工用扳手和丝锥攻螺纹时，两手作用于丝锥扳手上的两个力（图2-11b）等。在力偶中，两力等值反向且相互平行，其矢量和显然等于零，但是由于它们不共线，不满足二力平衡条件，不能相互平衡，将改变物体的转动状态。
二、力偶矩
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：逆时针转向为正，反之则为负。力偶矩以M( F ,F'''')表示，一般简记为M，如图2-12所示，设力偶( F ,F'''') 的力偶臂为d，则
式中， A△ABC表示三角形ABC的面积。
力偶矩的单位与力矩的单位相同，也是N?m或 kN?m。
力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩。如图2-12所示，在力偶作用面内任取一点O（矩心），则力偶对点 O之矩等于其两力对点O之矩的代数和，即
由于矩心 O是任意选取的，因此，力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩，而与矩心的位置无关。
力偶对物体的转动效应，可用力偶矩来度量。因此，平面力偶对物体的作用效应，由以下两个因素决定：
①力偶矩的大小；
②力偶在作用平面内的转向。
三、平面力偶的等效定理
定理 在同一平面内，力偶矩相等的两力偶等效。
如图2-13所示，设在同一平面内有两个力偶（F0 ,F0''''）和（F,F''''） 作用，它们的力偶矩相等，且力的作用线分别交于点 A和 B，现在证明这两个力偶是等效的。
首先将力F0和 分别沿它们的作用线移到点A和 B；然后分别沿连线AB和力偶（F,F''''） 的两力的作用线方向分解，得到（F1 ,F1''''） 和（F2 ,F2''''） 四个力，显然，这四个力与原力偶（F0 ,F0''''） 等效；由于两个力平行四边形全等，于是力F1 与F1'''' 大小相等，方向相反，且在同一直线上，符合二力平衡条件，是一对平衡力，可以除去。剩下的两个力F2 与F2'''' 大小相等，方向相反，组成一个新力偶（F2 ,F2''''） ，并与原力偶（F0 ,F0''''） 等效。下面证明F2 = F,F2'''' = F''''。
连接 CB和DB。计算力偶矩，有
因为CD平行AB，△ACB和△ADB同底等高，面积相等，于是得
即力偶（F0 ,F0''''）与（F2 ,F2''''） 等效时，它们的力偶矩相等。由假设知
从图上可知，力偶（F2 ,F2''''） 和（F,F''''） 有相等的力偶臂 d和相同的转向，于是得
可见力偶（F2 ,F2''''） 和（F,F''''）完全相等。又因为力偶（F2 ,F2''''） 与（F0 ,F0''''） 等效，所以力偶（F,F''''） 和（F0 ,F0''''） 等效。于是定理得到证明。
四、力偶的性质
根据力偶的定义和力偶的等效定理，可得力偶的性质如下：
性质1 力偶无合力
由力偶的定义可知，力偶中的两个力在任何轴上的投影之和恒等于零，说明其主矢量FR =0。假设力偶有合力，则FR ≠0，这与力偶的定义相矛盾，故假设不成立，即力偶无合力。
力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换；力偶也不能用一个力来平衡。因此，力和力偶是两个非零的最简单力系，它们是静力学的两个基本要素。在下一章中，将介绍另一种非零的最简单力系--力螺旋。
性质2 力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩，而与矩心的位置无关。
性质3 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移动和转动，并可任意改变力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
因此，力的大小和力偶臂都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用效应的唯一量度，所以，以后常用图2-14所示的符号表示力偶。
由力偶的性质可得如下结论：
平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
第二节 平面力系的简化
对平面力系进行简化时，一般利用力系向一点简化的方法，这种方法较为简便而且具有普遍性。空间力系的简化也采用这种方法，它的理论基础是力的平移定理。
一、力的平移定理
定理 作用在刚体上某点A的力F 可平行移到任一点B，平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于力F 对平移点B之矩。
证明 如图2-15a所示，设原力F 作用于刚体上A点，要将力F 平移至B点，在B点加上一平衡力系(F'''' ，F" )， 令F'''' =-F" =F，如图2-15b所示，则力系(F'''' ,F" ,F )与力F 等效。而(F" ,F ) 组成一个力偶，其力偶矩为 M＝Fd，如图2-15c所示，因此，力F'''' 和(F，M)等效。
这样，就把作用于点A的力F 平移到了另一点B，但同时附加了一个相应的力偶M，这个力偶称为附加力偶。显然，附加力偶矩为
即附加力偶矩等于力F对平移点B之矩。因此定理得证。
该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或者说一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。反过来，根据力的平移定理，可证明其逆定理也成立，即同平面内的一个力和一个力偶可合成一个力。
力的平移定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。如图2-16a所示，力F 作用线通过球中心C时，球向前移动，如果力F 作用线偏离球中心，如图2-16b所示，根据力的平移定理，力F 向点C简化的结果为一个力F'''' 和一个力偶M，这个力偶使球产生转动，因此球既向前移动，又作转动。乒乓球运动员用球拍打乒乓球时，之所以能打出"旋球"，就是根据这个原理。又如攻丝时，必须用两手握扳手，而且用力要相等。如果用单手攻丝，如图2-17a所示，由于作用在扳手AB一端的力F 向点C简化的结果为一个力F'''' 和一个力偶M，如图2-17b所示。这个力偶使丝锥转动，而这个力F'''' 却往往使攻丝不正，影响加工精度，而且丝锥易折断。
二、平面力系向一点的简化
1. 平面力系向一点的简化
平面力系向一点简化的思想方法是应用力的平移定理，将平面力系分解成两个力系：平面汇交力系和平面力偶系，然后，再将两个力系分别合成。
设在刚体上作用一平面力系 Fl 、F2 、… 、Fn ，如图2-18a所示。在平面内任选一点 O，称为简化中心。根据力的平移定理，将各力平移到O点，于是得到一个作用于O点的平面汇交力系Fl'''' 、F2'''' 、…、Fn'''' 和一个相应的附加力偶系M1、M2、…、Mn，如图2-18b所示，它们的力偶矩分别为：M1 = Mo(Fl )、M2 = Mo(F2 ) 、… 、Mn = Mo(Fn ) 。这样，原力系与作用于简化中心O点的平面汇交力系和附加的平面力偶系是等效的。
将平面汇交力系Fl'''' 、F2'''' 、…、Fn'''' 合成为作用于简化中心O点一个力FR'''' ，如图2-18c所示。则
即力矢FR'''' 等于原来各力的矢量和。
附加力偶系M1、M2、…、Mn可合成为一个力偶，合力偶矩MO等于各附加力偶矩的代数和。故
即力偶的矩等于原来各力对简化中心O点之矩的代数和。
2. 主矢和主矩
平面力系中所有各力的矢量和FR'''' 称为该力系的主矢；而各力对于任选的简化中心 O之矩的代数和MO称为该力系对于简化中心的主矩。
由主矢和主矩的定义，可得平面力系向一点简化的结果。
结论 平面力系向作用面内任选一点 O简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。
必须注意，主矢等于各力的矢量和，它是由原力系中各力的大小和方向决定的，所以，它与简化中心的位置无关。而主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，简化中心选择不同时，各力对简化中心的矩也不同，所以在一般情况下主矩与简化中心的位置有关。以后在说到主矩时，必须指出是力系对哪一点的主矩。
过简化中心O作直角坐标系Oxy，如图2-18c所示，根据合力投影定理，有
故主矢的大小和方向为
3. 固定端约束
工程中，固定端是一种常见的约束，图2-19a为夹持在卡盘上的工件；图2-19b为固定在飞机机身上的机翼；图2-19c为插入地基中的电线杆。这类物体联接方式的特点是联接处刚性很大，两物体间既不能产生相对移动，也不能产生相对转动，这类实际约束均可抽象为固定端(插入端)约束，其简图如图2-19d所示。
固定端的约束反力可利用平面力系向一点简化的方法来分析。如图2-20所示，固定端对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束反力，在平面问题中，这些力组成一平面力系，如图2-20a所示。根据力系简化理论，将这群力向作用平面内A点简化，得到一个力和一个力偶，如图2-20b所示。这个力的大小和方向均为未知量，一般用两个未知的分力来代替。因此，在平面问题中，固定端A处的约束反力可简化为两个约束反力FAx、FAy 和一个反力偶MA，如图2-20c所示。
与固定铰支座的约束性质相比，固定端除了限制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限制物体在平面内转动；而固定铰支座不能限制物体在平面内转动。因此，固定铰支座的约束反力只有FAx、FAy，而固定端除了约束反力FAx、FAy外，还有一个约束反力偶MA。
三、简化结果的分析
平面力系向作用面内一点简化的结果，可能有下面四种情况，即①
。现在对这几种简化结果作进一步的分析讨论。
１. 平面力系平衡
平面力系的主矢、主矩均等于零时，原力系平衡，这种情形将在下节详细讨论。
２．平面力系简化为一个力偶
力系的主矢等于零，主矩MO不等于零时，显然，主矩与原力系等效，即原力系可合成为合力偶，合力偶矩为
因为力偶对于平面内任意一点之矩都相同，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的选择无关。
3．平面力系简化为一个合力
力系的主矩MO等于零，主矢不等于零时，显然，主矢与原力系等效，即原力系可合成为一个合力，合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心O。
力系的主矢、主矩都不等于零时，如图2-21a所示，根据力的平移定理的逆定理，主矢和主矩可合成为一合力。
如图2-21b所示，将矩为MO的力偶用两个力FR 和FR" 表示，并令FR''''=FR=-FR" ，然后去掉平衡力系(FR'''',-FR" )，则主矢和主矩合成为一个作用在点O''''的力 ，如图2-21c所示，这个力FR 就是原力系的合力，合力矢等于主矢；合力的作用线在O点的哪一侧，应根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到O点的距离d，可按下式算得
四、合力矩定理
平面力系的合力矩定理 平面力系的合力对于作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
证明 由图2-21c可见，合力FR 对O点之矩为
式(2-14)即为平面力系的合力矩定理。
由于简化中心 O是任意选取的，故式(2-14)具有普遍意义。
第二章 第四节 平面力系的简化(例题2-4)
例2-4 重力坝受力如图2-22a所示。设W1= 450kN，W2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。试求力系的合力。
(1)先将力系向O点简化，求主矢FR'''' 和主矩MO 由图2-22a计算主矢FR'''' 在x，y轴上的投影。
主矢FR'''' 的大小
因FRy'''' 为负，故主矢FR'''' 在第四象限内，与x轴的夹角为70.84°，如图2-22b所示。
力系对O点的主矩
(2)求力系的合力FR 合力FR 的大小和方向与主矢FR'''' 相同；其作用线位置根据合力矩定理求得，如图2-22c所示，有
本题也可将力系向A点简化，然后再求出合力的作用线位置，请自行分析。
第五节平面力系的平衡
一、平衡条件和平衡方程
当平面力系向一点简化，其主矢和主矩均等于零时，即
显然，此时原力系必为平衡力系。故式(2-15)为平面力系平衡的充分条件。
另外，只有当主矢和主矩均等于零时，力系才能平衡；只要主矢和主矩中有一个不等于零，则原力系简化为一合力或一合力偶，力系不能平衡。故式(2-15)又是平面力系平衡的必要条件。
因此，平面力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。
由式(2-15)和式(2-13)，可得
于是，平面力系平衡的充要条件是：力系中各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任一点之矩的代数和也等于零。式(2-16)称为平面力系的平衡方程
二、平衡方程的三种形式
1. 基本形式
平面力系平衡方程的第一种形式为式(2-16)表示的基本形式，也称为一力矩形式。
由于平面力系的简化中心是任意选取的，因此，在求解平面力系平衡问题时，可取不同的矩心，列出不同的矩方程，用矩方程代替投影方程进行求解往往比较简便。下面简述平面力系平衡方程的其它两种形式。
2. 二力矩形式
第二种形式为三个平衡方程中有两个力矩方程，即
其中x轴不得垂直于A、B两点的连线。式(2-17)为平衡方程的二力矩形式。
现证明二力矩形式的平衡方程也是平面力系平衡的充要条件。
如果平面力系平衡（FR''''=0 MO=0），则该力系中各力对任意轴(包括x轴)的投影的代数和等于零，故∑Fx =0；因简化中心是任取的，故力系对任一点的主矩(包括A、B两点)都等于零，即MA ＝ 0、MB＝ 0，
或 ∑MA(F)=0、∑MB(F)=0 。
如果平面力系满足式(2-17)，根据第一式和第二式，力系对A、B两点的主矩均等于零，则这个力系不可能简化为一个力偶，只可能平衡或者简化为经过A、B两点的一个力，如图2-23所示。由于AB连线不垂直于x轴，由∑Fx =0 ，可知FR＝0，故该力系必为平衡力系。
3、三力矩形式
第三种形式为三个平衡方程均为力矩方程，即
其中A、B、C三点不得共线。式(2-18)为平衡方程的三力矩形式。
三力矩形式的平衡方程也是平面力系平衡的充要条件，自行证明。
平面力系有三个独立的平衡方程，能求解三个未知量。平衡方程的三种形式是等价的， 它们都可用来求解平面力系的平衡问题。在实际应用时，需根据具体情况选用，力求使一个方程只包含一个未知量，以减少解联立方程的麻烦。
三、几种平面特殊力系的平衡方程
由平面力系的平衡方程容易得到下面几种平面特殊力系的平衡方程。
1. 平面汇交力系的平衡方程
如图2-24a所示，设平面汇交力系汇交点为O，若取O点为矩心，则方程∑MO(F)=0 自然满足，因此，平面汇交力系的平衡方程只有两个，即
2. 平面平行力系的平衡方程
如图2-24b所示，建立直角坐标系，并使y轴与各力平行，则方程∑Fx =0 自然满足，因此，平面平行力系的平衡方程也只有两个，即
3. 平面力偶系的平衡方程
对于平面力偶系，如图2-24c所示，方程∑Fx =0 ∑Fy =0 自然满足，因此，平面力偶系的平衡方程只有一个，即
在此情况下，可以不注明矩心。
四、单个物体的平衡问题
求解单个物体的平面力系平衡问题时，一般按如下步骤进行。
1) 选定研究对象，取出分离体；
2) 画受力图；
3) 取适当的投影轴和矩心，列平衡方程并求解。
第二章 第五节 平面力系的平衡(例题2-5)
例2-5 如图2-25a所示的支架，在横梁AB的B端作用有一集中载荷F， A、C、D处均为铰链联接，忽略梁AB和撑杆CD的自重，试求铰链 A的约束反力和撑杆CD所受的力。
方法一（汇交力系方法）
选取横梁AB为研究对象。横梁在B处受载荷F作用。因CD为二力杆，故它对横梁C处的约束反力FC的作用线必沿两铰链C、D中心的连线。如图2-25b所示，梁AB在F、FC、FA三力作用下处于平衡，根据三力平衡汇交定理可确定铰链A的约束反力FA的作用线，即必通过另两力的交点E。根据平面汇交力系的平衡条件，可求得FA和FC。
用"几何法＋辅助计算"求解
用这种方法进行求解时，必须预先判断各未知力的指向。当三力平衡时，这三个力应组成一封闭的力三角形，可确定FA和FC的指向，其中，FA应与图2-25b中指向相反，如图2-25c所示。在力三角形中，由正弦定理
用解析法求解
用这种方法进行求解时，不必预先判断各未知力的指向。如图2-25b所示，取投影轴，列平衡方程。
联立求解，得
FA为负值，说明其方向与所设方向相反。
方法二(平面一般力系方法)
不用三力平衡汇交定理确定铰链A处约束反力FA 的方向，而将A铰反力用两个正交分量表示，如图2-25d所示。则力F、FC、FAx、FAy组成一平面一般力系。列出平衡方程并求解。
式中负号表明，约束反力FAx、FAy的方向与图中所设的方向相反。若将FAx、FAy合成，得
此结果与汇交力系方法的计算结果相同。
从上面讨论可见，应用三力平衡条件求解可加深平衡概念，此时，梁AB受汇交力系作用，未知量和平衡方程数均为2，但需计算角度α，增加了解题麻烦；用平面一般力系方法求解，未知量和平衡方程数均为3，但不必确定反力FA 的方向，也不需计算角度α。此外，在工程实际中，为了计算梁AB的内力，用汇交力系求出反力FA 后，常常还要将它分解为FAx和FAy，因此实际应用中，较多使用的是平面一般力系方法。
例2-6 例2-5中，如将横梁AB上的集中载荷改为一力偶，力偶矩为M，如图2-26a所示，试求铰链A的约束反力和撑杆CD所受的力。
选取横梁AB为研究对象。横梁在B处受力偶M 的作用。与上题相同，由于CD为二力杆，故它对横梁C处的约束反力FC的作用线必沿两铰链C、D中心的连线。如图2-26b所示，梁AB在力偶M和力FC、FA作用下处于平衡，根据力偶只能与力偶平衡的性质，FC和FA两力必须组成一力偶，才能与力偶M平衡，由此可确定铰链A的约束反力FA必与力FC大小相等，方向相反。如图2-26b所示。根据平面力偶系的平衡条件，可求得FA和FC。
与上题相同，本题也可用平面一般力系方法进行求解，读者可自己分析求解。
例2-7 塔式起重机如图2-27所示。机架重W1=700kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量W2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡重W3到机身中心线距离为6m。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重W3应为多少？(2)当平衡重W3=180kN时，求满载时轨道A、B的约束反力。
(1)起重机受力如图2-27所示，在起重机不翻倒的情况下，这些力组成的力系应满足平面力系的平衡条件。
满载时，在起重机即将绕B点翻倒的临界情况下，有FA=0。由此可求出平衡重W3的最小值。
空载时，载荷W2=0。在起重机即将绕A点翻倒的临界情况，有FB=0。由此可求出平衡重W3的最大值。
实际工作时，起重机不允许处于临界平衡状态，因此，起重机不致翻到的平衡重取值范围为
(2)当W3=180kN时，由平面平行力系的平衡方程
结果校核：由不独立的平衡方程∑MB = 0，可校核以上计算结果的正确性。
代入FA、W1、W2、W3的值，满足该方程，说明计算无误。
例2-8 平面刚架如图2-28所示，
已知F＝50kN，q＝10kN/m，M＝30kN?m，试求固定端A处的约束反力。
取刚架为研究对象，其上除受主动力外，还受固定端A处的约束反力FAx、FAy和MA，刚架受力图如图2-28所示。列平衡方程并求解。
图2-28第六节物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念
在静力平衡问题中，若未知量的数目等于独立平衡方程的数目，则全部未知量都能由静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题，显然上节中所举各例都是静定问题。
如果未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则由静力平衡方程就不能求出全部未知量，这类问题称为静不定问题，在静不定问题中，未知量的数目减去独立平衡方程的数目称为静不定次数。
在工程实际中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，经常在结构上增加多余约束，这样原来的静定结构就变成了静不定结构。如图2-30a所示的简支梁AB，有三个未和量FAx、FAy、FB，可列出三个独立的平衡方程，是一个静定问题；如在梁中间增加一个支座C，如图2-30b所示，则有四个未和量(FAx、FAy、FB、FC)，独立的平衡方程数仍为三个，未和量数比方程数多一个，故为一次静不定问题。又如图2-31a所示，用两根钢丝吊起一重物，未知量有两个，独立的平衡方程数也是两个(重物受平面汇交力系作用)，因此是静定的。如用三根钢丝吊起重物，如图2-31b所示，则未知量有三个，而平衡方程仍只有两个，因此是一次静不定问题。
求解静不定问题时，必须考虑物体在受力后产生的变形，根据物体的变形条件，列出足够的补充方程后，才能求出全部未知量。这类问题已超出刚体静力学的范围，将在材料力学等课程中讨论，在理论力学中只研究静定问题。
二、物体系统的平衡
由若干个物体通过适当的联接方式(约束)组成的系统称为物体系统，简称物系。工程实际中的结构或机构，如多跨梁、三铰拱、组合构架、曲柄滑块机构等都可看作物体系统。
研究物体系统的平衡问题时，必须综合考察整体与局部的平衡。当物体系统平衡时，组成该系统的任何一个局部系统以至任何一个物体也必然处于平衡状态，因此在求解物体系统的平衡问题时，不仅要研究整个系统的平衡，而且要研究系统内某个局部或单个物体的平衡。在画物体系统、局部、单个物体的受力图时，特别要注意施力体与受力体、作用力与反作用力的关系，由于力是物体之间相互的机械作用，因此，对于受力图上的任何一个力，必须明确它是哪个物体所施加的，决不能凭空臆造。
在求解物体系统的平衡问题时，应根据问题的具体情况，恰当地选取研究对象，这是对问题求解过程的繁简起决定性作用的一步，同时要注意在列平衡方程时，适当地选取矩心和投影轴，选择的原则是尽量做到一个平衡方程中只有一个未知量，以避免求解联立方程。
第二章 第六节 物体系统的平衡(例题2-10)
组合梁由AC和CE用铰链联接而成，结构的尺寸和载荷如图2-32a所示，已知F＝5kN，q＝4kN/m，M＝10kN?m，试求梁的支座反力。
先取梁的CE段为研究对象，受力如图2-32c所示，列平衡方程,求出C、E处的反力。
然后，取梁的AC段为研究对象，受力如图2-32b所示，列平衡方程
本题也可先取梁的CE段为研究对象，求出E处的反力FE，然后，再取整体为研究对象，列方程求出A、B处的反力FAx、FAy、FB。请自行分析。
卧式刮刀离心机的耙料装置如图2-33a所示。耙齿D对物料的作用力是借助于物块E的重量产生的。耙齿装在耙杆OD上。已知OA＝50mm，OD＝200mm， AB＝300mm，BC＝CE＝150mm，物块E重W＝360N，试求在图示位置作用在耙齿上的力F的大小。
先取曲杆BCE及物块为研究对象，其受力如图2-33b所示，列出对C点的力矩方程。
再取耙杆OD为研究对象，其受力图如图2-33c所示，以O点为矩心，列出力矩方程。
由于连杆AB为二力杆，可知FA=FB ，因此可得
三铰拱如图2-34a所示，已知每个半拱重W＝300kN，跨度l＝32m，高h＝10m。试求支座A、B的反力。
首先取整体为研究对象。其受力如图2-34a所示。可见此时A、B两处共有四个未知力，而独立的平衡方程只有三个，显然不能解出全部未知力。但其中的三个约束力的作用线通过A点或B点，可列出对A点或B点的力矩方程，求出部分未知力。
再以右半拱（或左半拱）为研究对象，例如，取右半拱为研究对象，其受力如图2-34b所示。列出对C点的力矩平衡方程，并求出FBx
工程中，经常遇到对称结构上作用对称载荷的情况，在这种情形下，结构的支反力也对称，有时，可以根据这种对称性直接判断出某些约束力的大小，但这些结果及关系都包含在平衡方程中。例如，本题中，根据对称性，可得FAx=FBx ， FAy=FBy ，再根据铅垂方向的平衡方程，容易得到FAy=FBy=W 。
从本题的讨论还可看出，所谓"某一方向的主动力只会引起该方向的约束力"的说法是完全错误的。本题中，在研究整体的平衡时，图2-34c所示的受力图是错误的，根据这种受力分析，整体虽然是平衡的，但局部（左半拱、右半拱）却是不平衡的，读者可自行分析。
平面构架如图2-35a所示。已知物块重W，DC=CE=AC=CB=2l ，R=2r=l 。试求支座A、E处的约束力及BD杆所受的力。
首先取整体为研究对象，其受力如图2-35a所示。列平衡方程，可求出A、E处的约束反力。
为求BD杆所受的力，应取包含此力的物体或局部系统为研究对象，可取杆DE或杆AB连滑轮、重物为研究对象进行分析。为求解方便，在此，取杆DE为研究对象，其受力如图2-35b所示。列平衡方程
代入上式，解得
工程中，桥梁、起重机、电视塔、输电塔架等结构物常采用桁架结构。桁架是一种由直杆彼此在两端用光滑铰链联接而成的结构，各杆的铰接点称为节点。载荷都作用在节点上，各杆自重略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上，故各杆均为二力杆。平面静定桁架的内力计算常采用节点法和截面法，节点法一般应用于结构的设计计算，以求桁架中所有杆件的内力；截面法一般应用于结构的校核计算，以求桁架中指定杆件的内力。
平面静定桁架如图2-36a所示，已知F＝20KN，试求各杆的内力。
本题用节点法进行求解。节点法是以节点为研究对象，逐个研究其受力和平衡，从而求得全部未知力(杆件的内力)的方法。
先求桁架的支座反力，为此，取桁架整体为研究对象。其受力如图2-36a所示，列平衡方程，可求出支反力。本题中，桁架结构及载荷关于DE对称，因此，可直接判断出A、E处反力的大小。
然后，依次取各个节点为研究对象，计算各杆的内力。
假定各杆均受拉力，A、B、C、D各节点的受力如图2-36b所示，为计算方便，最好逐次列出只含两个未知力的节点的平衡方程。
同样列出节点C的平衡方程，解得F5=12.5kN，F6=-30kN ；列出节点D的平衡方程，解得 F7=0。
求出左半部分各杆件的内力后，可根据对称性得到右半部分各杆件的内力，即
F8=F6=-30kNF9=F5=12.5kNF10=F4=22.5kNF11=F3=20kN
F12=F2=22.5kN F13=F1=-37.5kN F7=0kN
最后判断各杆件受拉或受压。由于原来假设各杆均受拉力，因此，由计算结果可见，杆件内力为正值时受拉，杆件内力为负值时受压。
桁架结构中，内力为零的杆件称为零杆，本题中，杆件7为零杆。
工程上，计算出各杆件的内力后，常将内力值写在杆件旁边，如图2-36c所示，便于直观地判断哪些杆件受拉或受压，以及内力的变化情况，为结构的最终设计提供计算依据。
对于本题中的桁架，如果只需要求杆件4、5、6的内力，则可采用截面法进行计算。截面法是用一假想截面将桁架截开，考虑其中任一部分的平衡，从而求出被截杆件内力的方法。
为求杆4、5、6的内力，可先取桁架整体为研究对象，求出桁架的支座反力（同节点法），然后作一截面m-m，将三杆截断，如图2-36d所示。选取桁架左半部分为研究对象。假定所截断的三杆都受拉力，受力如图2-36e所示，为一平面一般力系。列平衡方程，并求解
图2-36（d)(e)
由本题的讨论可见，采用截面法时，选择适当的力矩方程，常可较快地求得某些指定杆件的内力。当然，应注意到，平面一般力系只有三个独立的平衡方程，因此，一般情况下，作截面时每次最多只能截断三根内力未知的杆件。
第七节有摩擦的平衡问题
在工程实际中，摩擦常起重要的作用，例如，我们常见的火车、汽车利用摩擦进行起动和制动，皮带轮和摩擦轮的传动，尖劈顶重等，这时，就必须考虑摩擦力的作用。
按照接触物体之间可能发生的相对运动分类，摩擦可分为滑动摩擦和滚动阻碍，滑动摩擦是指当两物体有相对滑动或相对滑动趋势时的摩擦；滚动阻碍是指当两物体有相对滚动或相对滚动趋势时的摩擦。摩擦机理十分复杂，已超出本书的研究范围，这里仅介绍工程中常用的摩擦近似理论。
一、滑动摩擦
两个表面粗糙相互接触的物体，当发生相对滑动或有相对滑动趋势时，在接触面上产生阻碍相对滑动的力，这种阻力称为滑动摩擦力，简称摩擦力，一般以F 表示。在两物体开始相对滑动之前的摩擦力，称为静摩擦力；滑动之后的摩擦力，称为动摩擦力。
由于摩擦力是阻碍两物体间相对滑动的力，因此物体所受摩擦力的方向总是与物体的相对滑动或相对滑动的趋势方向相反，它的大小则需根据主动力作用的不同来分析，可以分为三种情况，即静摩擦力Fs，最大静摩擦力Fsmax(简写为Fmax)和动摩擦力Fd
1．实验曲线
在粗糙的水平面上放置一重为W的物块，如图2-37a所示，该物块在重力W和法向反力FN的作用下处于静止状态。今在该物块上施加一水平力FT ，如图2-37b所示，当拉力FT由零值逐渐增加但不是很大时，物体仍保持静止，可见支承面对物块的约束力除法向反力FN外，还有切向的静摩擦力Fs ，它的大小可用静力平衡方程确定，即
可见，当水平力FT增大时，静摩擦力Fs 亦随之增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。
静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力FT的增大而无限度地增大。当力FT的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态，此时静摩擦力达到最大值，即为最大静摩擦力F＝Fmax，如图2-37c所示。此后，如果FT再继续增大，静摩擦力不能再随之增大，物块将失去平衡而开始滑动。这就是静摩擦力的特点。
在物块开始滑动时，摩擦力从Fmax突变至动摩擦力Fd (Fd 略低于Fmax)，如图2-37d所示，此后，如FT继续增加，摩擦力F基本上保持常值Fd 。若速度更高，则Fd 值下降。以上过程中FT-F关系曲线图如图2-38所示。
2．最大静摩擦力--静摩擦定律
根据上述实验曲线可知，当物块平衡时，静摩擦力的数值在零与最大静摩擦力Fmax之间，即
0≤Fs ≤Fmax (2-19)
大量实验表明：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力(即法向反力)成正比，而与接触
收录时间:日 12:51:16 来源:马棚网 作者:匿名
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