《利用导数判断函数的单调性》ppt（课件，教案，练习等共9份）
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选修2-2：1.3.1 利用导数判断函数的单调性（课件，教案，练习等9份打包）
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　　《利用导数判断函数的单调性》教学设计
　　课题& 利用导数判断函数的单调性
　　教材& 人教B版《数学》选修2-2
　　课时& 1课时
　　教学目标
　　知识目标：借助于函数的图像了解函数的单调性与导数的关系；会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间。
　　能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
　　情感目标：通过实例探究函数单调性与导数关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力。
　　重点与难点
　　教学重点：利用导数判断函数的单调性。
　　教学难点：提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力。
　　教学方法
　　1．教学方法的选择：1．自主探究法、比较法
　　2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解。
　　教学准备
　　多媒体（画出函数①& ② ③ 在同一个坐标系下的图象）；
　　教学过程
　　（一）回顾与思考
　　1．如何判断函数 的单调性？（引导学生回顾“定义法”与“图象法”）
　　说明： 通过本题使学生巩固常用判断单调性的方法（1）定义法（2）图象法，为导数法的引入作好铺垫作用。
　　2．如何判断函数 的单调性？ ， 呢？
　　3．还有其它方法吗？（引出课题）学生思考、并举手回答。
　　说明： 通过本题使学生认识到（1）定义法（2）图象法不再适用，培养学生提出问题的能力，从而为导数法的引入提供必要性和合理性，本例也是整节课学生思维开始活跃的开始，为思维的合理、有序的发展奠定了基调。
　　（二）观察与表达
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周一至周五
9：00&22：00
例谈如何利用导数来判断含参数函数的单调性
2011年第8期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　【摘要】当利用导数来判断含参数函数的单调性时，问题往往会变得复杂，运算也会变得繁琐。其解答过程中会蕴含着几个层次的分类讨论，当它们叠加在一起的时候，需要我们有很好的分析问题和解决问题的能力，同时还需要有一定的耐心。本文从例题出发，对解决这一类问题的步骤进行了探讨和总结。对其中会出现的一些问题，也相应的给出了解决的方法。 中国论文网 /9/view-2248173.htm　　【关键词】参数；单调性；分类讨论；二次函数；判别式；方程的根 　　导数是研究函数的重要工具，而利用导数来判断函数的单调性也是高考重点考查的内容之一。用导数来判断函数的单调性，其一般步骤为： 　　1.确定函数y=f（x）的定义域； 　　2.求导函数f'（x）； 　　3.在函数f（x）的定义域的范围内解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0； 　　4.根据3的结果确定函数f（x）的单调区间。 　　例1：求函数 的单调区间。 　　解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）=x2-2x-3，解不等式f'（x）＜0，得-1＜x＜3；解不等式f'（x）＞0，得x＜-1或x＞3。所以f（x）的单调递减区间为（-1，3），单调递增区间为（-∞，-1）（3，+∞）。当我们遇到含参数函数时，基本上也要按照这个步骤进行。 　　例2：求函数的单调减区间。 　　解：函数f（x）的定义域为R， f'（x）=x2-（2a+1）x+2a，解方程f'（x）=0，得x1=1，x2=2a，只需解不等式f'（x）＜0即可，但需要对x1，x2之间的大小关系进行讨论。 　　若x1＞x2，即时，f'（x）＜0的解集为：（2a，1）； 　　若x1＜x2，即时，f'（x）＞0的解集为：（1，2a）。 　　所以，当时，f（x）的单调递减区间为（2a，1）； 当时，f（x）的单调递减区间为（1，2a）。 　　通过例2可以发现，含参数函数问题，往往需要分类讨论，而且有的时候，含参数类问题的讨论并不仅仅像例2那样，只是对两个根之间大小关系的讨论，其讨论的过程会更加复杂，运算会更加繁琐。不少同学解答起来会感觉很混乱，无从下手。下面，就对上述问题进行一些探讨和研究。看看如何才能在这个混乱的“局面”中找到解题的思路，做到“乱中有序”。 　　先看一个例题： 　　例3：设函数f（x）=mx2-ln（x+1），其中m∈R，求f（x）的单调区间。 　　分析：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）， 　　这里通过通分的方法，得到，这样做的好处是显而易见的，因为x+1＞0，所以只需判断好2mx2+2mx-1的符号。不妨设 ，则，不等式f'（x）＞0等价于 ，不等式f'（x）＜0等价于，看来问题可以得到解决了，但是在解决的过程中，有一些确是不容回避的： 　　1.是否为二次函数？这需要通过对m=0或m≠0来加以讨论； 　　2.若 为二次函数，则是否恒为正（负）？这一点，可以通过判别式△来判断。 　　3.若△＞0，则方程=0的两个解x1，x2之间的大小关系是否确定？x1，x2是否在定义域（-1，+∞）内？如不确定需要分类讨论，这也直接关系到不等式 或 的解集。 　　看来这个问题涵盖了三个层次的分类讨论，当它们叠加在一起的时候，需要我们有很好的分析问题和解决问题的能力，同时还需要有一定的耐心。具体解答如下： 　　解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）， 　　设=2mx2+2mx-1，①m=0时， ，此时 ， 　　∴f（x）在区间（-1，+∞）单调递减，②m≠0时，=2mx2+2mx 　　-1为二次函数，其中△=4m2+8m。 　　1.若△≤0，即-2≤m＜0时，函数=2mx2+2mx-1的图像是开口向下的抛物线，故≤0恒成立，此时在定义域x∈（-1，+∞）上也恒成立。 　　∴f（x）在区间（-1，+∞）单调递减 　　2.若△＞0，即m＞0或m＜-2时，=0的两个根分别为 　　 ，。 　　①当m＞0时，，故在 　　上 ＜0，此时；在上 ＜0，此时。 　　∴f（x）在区间 单调递减，在区间（，+∞）上单调递增。 　　②当m＜-2时，由于m＜-2， 　　 ，所以-1＜x2＜-，故在区间（ ，）上 ＞ 　　0，此时f'（x）＞0，在区间 上＜0，此时f'（x）＜0，∴f（x）在区间 单调递增，在区间 　　 上单调递减。 　　综上可得：当m＜-2时，f（x）的单调递增区间为： ，单调递减区间为： ；当-2≤m≤0时，f（x）的单调递减区间为（-1，+∞），无单调递增区间；当m＞0时，f（x）的单调递增区间为： ，单调递减区间为：（-1， ）。 　　通过解答的过程，我们可以发现，像这样的，导函数f'（x）可以转化成二次函数的题型，其解答的一般步骤为： 　　1.确定函数f（x）的定义域，求导函数f'（x），并将f'（x）转化成用二次函数，（可设为 ）来表示；要注意两点：①若f'（x）本身就是二次函数，则无需转化；②若 的二次项系数不确定，需再加一步讨论。 　　2.先讨论二次函数的判别式△，一般是分△≤0和△＞0。因为当△≤0时，往往 恒为正（负），此时，f'（x）的符号就可以较为容易的判断出来，先将这一部分问题解决后，再解决△＞0时的部分； 　　3.当△＞0时，对应方程=0有两个不同的根，需要进一步讨论x1，x2。这一块主要讨论两点：①x1，x2之间的大小关系；②x1，x2是否在定义域或题目条件指定的区域中。这一部分运算往往比较繁琐，讨论容易出现混乱，解答时思路要清晰，还要有耐心。 　　解答这类问题时，要严格按照上面的步骤和要求，有序进行，解答的过程才能更加全面和彻底，不会有遗漏。 　　仿照例3，按上述的步骤和要求，再来训练一个题目。 　　例4：已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值。 　　分析：需要确定函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，按步骤进行。 　　解：第一步：确定函数f（x）的定义域，求导函数f'（x），并将f'（x）转化成用二次函数来表示。 　　函数f（x）的定义域为（0，+∞）， ， 　　设 =2x2-（2a+1）x+a，则 ， 　　第二步：讨论二次函数 的判别式△。 　　因为这里的△=（2a+1）2-8a=4a2-4a+1=（2a-1）2恒大于等于0，所以不需要再讨论，直接求出方程 =2x2-（2a+1）x+a=（2x-1） 　　（x-a）=0的根： 。 　　第三步：讨论x1，x2之间的大小关系，x1，x2是否在区间[1，e]上。 　　 =（2x-1）（x-a），x∈[1，e]时， 　　1.当a≤1时， =（2x-1）（x-a）≥0对任意x∈[1，e]恒成立，此时 ≥0对任意x∈[1，e]也恒成立， 　　∴f（x）在区间[1，e]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=-2a 　　2.当1＜a＜e时， 　　若x∈[1，a]时，则 =（2x-1）（x-a）＜0，此时 ＜0 　　若x∈[a，e]时，则 =（2x-1）（x-a）＞0，此时 ＞0 　　∴f（x）在区间[1，a]上单调递减，在区间[a，e]上单调递增， 　　∴f（x）min=f（a）=a（lna-a-1） 　　3.当a≥e时，=（2x-1）（x-a）≤0对任意x∈[1，e]恒成立，此时 ≤0对任意x∈[1，e]也恒成立， 　　∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，∴f（x）min=f（e）=e2-e（2a+1）+a 　　综上可得：a≤1时，f（x）min=f（1）=-2a； 　　1＜a＜e时，f（x）min=f（a）=a（lna-a-1） 　　a≥e时，f（x）min=f（e）=e2-e（2a+1）+a 　　第三步可以通过绘制草图或列表格来辅助完成。 　　面对这一类型的题目时，不要轻易放弃，只要按照上述的步骤和要求依次执行，问题便可以得到解决。如果时间允许的话，可以在草稿纸上列出解答问题的提纲，这样解题的思路会更加清晰。解答的过程中，还要注意书写的规范，不同层次的分类讨论，最好用上不同的序号（如1，2，3…或①，②，③…）加以区分。
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ID:4647368一、导数在单调性中的应用：；函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函；f?(x)?0（或f?(x)?0）(,)恒成立（；于0）；1.利用导数求单调区间：；例：函数y=xlnx在区间(0，1)上是A.单调；C.在(0，；11；)上是减函数，在(,1)上是增函数ee11；D.在(0，)上是增函数，在(,1)上是减函数；ee；例2.函数y=sin2x的单调
一、 导数在单调性中的应用：
函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。利用在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件是
f?(x)?0（或f?(x)?0）(,)恒成立（但f?(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等，x?ab
于0）。方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。
1. 利用导数求单调区间：
例：函数y=xlnx在区间(0，1)上是 A. 单调增函数
B. 单调减函数
)上是减函数，在(,1)上是增函数 ee11
D.在(0，)上是增函数，在(,1)上是减函数
例2.函数y=sin2x的单调递减区间是__________.
2. 利用导数和单调性的关系，选择导函数与原函数的图像问题：
例：设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如下图所示,则y=f(x)的图象最有可能
3、已知函数y?xf?(x)的图象如右图所示
(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中
y?f(x)的图象大致是(
3. 利用导数和单调性的关系判断方程解的个数：
例：方程x?6x?9x?10?0的实根的个数是
4. 单调性的综合应用：
例：已知f(x)?e?ax?1。
（1）求f(x
)的单调增区间；
（2）若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a使f(x)在(??,0]上单调递减，在[0,??)上单调递增？若存在，
求出a的值；若不存在，说明理由。
二．导数在极（最）值求解中的应用：
最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。 1.直接求最（极）值： 例：函数y=x3+
在(0，+∞)上的最小值为 x
2.利用最（极）值求参数范围：
例：若函数y=x3－3bx+3b在(0，1)内有极小值，则
3.最（极）值的综合应用：
例：已知函数x?1是函数f(x)?mx?3(m?1)x?nx?1的一个极值点，其中
m,n?R，m?0。
（1）求m与n的关系表达式； （2）求f(x)的单调区间；
（3）当x?[?1,1]时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。 例：知函数f(x)?一个是x??c
（1）求函数f(x)的另一个极值点；
（2）求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M?m?1时k的取值范围.
小结：通过可以看出对于这部分知识的学习，要认识到新课程中增加了导数内容的作用，在学习中要明确导数作为一种工具在解答函数的单调性，极值等方面的起着不可替代的作用，今后需要全面学习，抓住导数基础知识学习．注意精选一些以导数为工具分析和解决的函数的典型问题进行训练，提高应用导数知识分析问题和解决问题的能力。
(c?0且c?1,k?R)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中2
1、求过点（2，0）且与曲线y＝x相切的切线方程。
2、判断函数y=x+cosx在x∈［0，2π］上的单调性。 3、求函数y＝1+3x－x3的极值。
4、已知函数f(x)＝x3－3ax2+2bx在x＝1处有极小值－1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。
知识点:函数f(x)在［a，b］上最大值与最小值的求法：
（1）求出f(x)在（a，b）内的极值；
（2）将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
5、已知函数f(x)=－x＋3x＋ax＋b在x＝(1，f(1))处的切线与直线12x－y－1＝0平行． （1）求实数a的值；
（2）求f(x)的单调递减区间；
（3）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
6、已知f(x)=e-ax-1.
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
7、已知函数f(x)=x-ax-1.
（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不
存在，说明理由；
（3）证明：f(x)=x-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
8、已知函数f(x)=x+ax+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，3
y=f(x）有极值.
（1）求a、b、c的值；
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
9、函数y=x4-2x2
+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.
已知函数f(x)=x2e-ax
(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.
10、设函数f(x)=-x(x-a)2
(x∈R),其中a∈R.
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.
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