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9.2 复数域和实数域上的二次型
9.2 复数域与实数域上的二次型定义：复数域和实数域上的二次 型分别叫做复二次型和实二次型。 定理9.2.1：复数域上两个 阶对 称矩阵合同的充要条件是它们有相 同的秩。两个复二次型等价的充要 条件是它们有相同的秩。n定理9.2.2：实数域上每一个 阶对 称矩阵矩阵 A 都合同于如下形式的一 ? o o
?，这里R（A）? r 个矩阵： Ip ? ??o ?o ? ? Ir ?pnoo? ? o?定理9.2.3：实数域上每一个 元二 次型都与如下形式的二次型等价： 2 2 2 2 2 2 （1）x 1 ? x 2 ? ? ? x p ? x p ?1 ? x p ? 2 ? ? ? x r （典范形式或规范形），这里 r 是所 给二次型的秩。n结论：实数域上每一个二次型都与 一个典范形式等价。 定理9.2.4（惯性定律）：设实数域 n n 上 元二次型 a x x ,(a ? a )n?? i j?1 ?12 2ij i jijji等价于两个典范形式：（2）y1 ? y2 ? ? ? y p ? y p?1 ? ? ?2 2 2 2那么 p ? p ? 。(3) z1 ? z2 ? ? ? z p? ? z p??1 ? ? ?2 2 2 2结论：实数域上每一个二次型 （ q(x1,x 2 ,? ,x n ) 都与唯一的典范形式 1） 等价。 2 2 2 2 2 2 定义：x 1 ? x 2 ? ? ? x p ? x p ?1 ? x p ? 2 ? ? ? x r 中，正平方项的个数 p 叫做所给二次 型的惯性指标（或正惯性指数）；负 平方项的个数 r ? p 叫做所给二次型 的负惯性指数；正、负惯性指数的差 s ? p ? (r ? p ) ? 2p ? r 叫做所给二次型的 符号差。结论：一个实二次型的秩、惯 性指标和符号差都是唯一的。定理9.2.5：实数域上两个 n 元 二次型等价的充要条件是它们有 相同的秩和符号差。例、用满秩线性代换将二次型f(x1,x 2 ,x 3 ) ? 2x1x 2 ? 2x1x 3 ? 6x 2x 3化为规范形；并求该二次型的秩， 正、负惯性指数和符号差。
二次型( 14+4 学时) 9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主轴轴问题 (一)总论(或绪论、概论等) 总论(或绪论、...第九章二次型 9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主轴问题 9.5 双线性函数 第十章群,环和域简介 10.1 群 10....8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵 第八章习题课 第八章总结 第九章 二次型 9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4...3x1 x3 为标准形,写出所作的非退化的线性替 换.并回答下列问题: (1)该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少? (2)该二次型在复数域、实数域上的规范形...二次型理论与域的特征有关。在高等代数课程的学习 中,我们主要研究了实数域和复数域的二次型问题。本课题研究四 元数体上的二次型问题。着重解决四元数体上的...? zn 2 2 2 (1.6) (1.6)式即为复二次型 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的规范型,其中 z i ( i ? 1,2? n )属于复数域。 同理,将实数域中的二...? ? (ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数. (iii) F 上两个 n 阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩. §5.2 复数域和实数域上的二次型 1.设 S ...一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同_农林牧渔_专业资料。公会第14届第3...§9.2 复数域和实数域上的二次型 1.设 S 是复数域上一个 n 阶对称矩阵....化二次型为标准形的方法 (配方法、 初等变换法);正确理解复数域和实数域上二...9.2 正交变换 9.3 对称矩阵的标准形 教学要求: 掌握两个向量的夹角、正交及...第五章 二次型 1、二次型的标准形与合同变换; 2、复数域和实数域上二次型的标准形,规范型; 第 1 页共 1 页 凯程考研集训营,为学生引路,为学员服务! 3...
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9.2 复数域和实数域上的二次型
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你可能喜欢?100???；f(x,x2,x3)?Y'?010?Y；?00?7???；（四）雅可比(Jacobi)方法；此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行；1.几个相关定义；定义[1]V是数域P上一个线性空间，f(?,?)；f(?,?)有下列性质：；（1）f(?,k1?1+k2?2)=k1f(?,；其中?,?1,?2,?,?1,?2是V中任意向量；
f(x,x2,x3)? Y'?010?Y
（四）雅可比(Jacobi)方法
此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定 标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二 次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．
1. 几个相关定义
定义[1] V 是数域P上一个线性空间，f(?,?)是V上一个二元函数，如果
f(?,?)有下列性质：
（1）f(?,k1?1+k2?2)=k1f(?,?1)+k2f(?,?2)； （2）f(k1?1+k2?2,?)=k1f(?1,?)+k2f(?2,?)；
其中?,?1,?2,?,?1,?2是V中任意向量，k1,k2是P中任意数，则称f(?,?)为
V上的一个双线性函数．
定义[11] f(?,?)线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α,β都有f(?,?)=f(?,?)，则称f(?,?)为对称双线性函数．
定义[11] 设f(?,?)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函
?f(?1,?1)?f(?1,?n)?
??A=??????f(?,??f(?,??
数.?1,?2,...,?n是V的一组基，则矩阵
称为 f(?,?)在
?1,?2,...,?n下的度量矩阵．
2. 解题步骤
雅可比方法的计算步骤归纳如下：
（1）在矩阵A的非对角线元素中选取一个非零元素 值最大的非对角线元素;
.一般说来，取绝对
2aijaii?ajj
?PIJ; 1求出?，从而得平面旋转矩阵P
AA?PAP11,1的元素由公式(9)计算． （3）
（4） 以A1代替A，重复第一、二、三步求出A2及P2，继续重复这一过程，直到Am的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．
P...Pm的第j12（5）
Am的对角线元素为A的全部特征值的近似值,P?P
列为对应于特征值
为Am的对角线上第j个元素)的特征向量．
f(x,x,x)2x?x?x?3x1x2?4x1x3化为 用雅可比方法将二次型=
解：二次型的矩阵A=?
10?，顺序主子式?1=2，?2=-，?3=-4都
不等于零，所以能采用雅可比方法．
?1??0??0??,???1?,???0?f(?,?)关于基?1,?2,?3的矩阵为0
设?1??，双线性函数??2??3???0??0??1???????A, 则
?f??1,?1?f??1,?2?
?f??2,?1?f??2,?2??f??,??f??,??3132A=?
f??1,?3???
f??2,?3??2
??f??3,?3???=?
?2??0???1???
??1?c11?1?
??2?c12?1?c22?2
???c??c??c??
可由条件f??1,?1??1求出，即c11f??1,?1??2c11?1，从而得出c11?
?1???c12f??1,?1??c22f??1,?2??0?2????1?c12f??1,?2??c22f??2,?2??1求所以?1?c11?1??1??0?，系数c12,c22可由方程组?2?0?
?6????8??c12?6???0?c22??8??c??c??2121222出，并可得到，所以=??，系数c13,c23,c33可由方程组83??8??
c?2c?c?2c?033?17??
?3?????c13?c23?0?c23???17?17?2???
11?2c13?c33?1???????c33?1717???.由此可得，由基?求出，即，所以
12?,?,?因此f(x1,x2,x3)经线性替换?1,?2,?3到123的过渡矩阵为C??0?8??．
?17??1????00?
X?CZ能够化成标准形：?0z2??1z2??2z2?1z2?8z2?1z2． 123123
（五）偏导数法
偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．
利用偏导数法将二次型f?x1,x2...xn?＝??aijxixj化为标准形的解题步骤如
下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）
1. 情形1： 二次中含有形．
的平方项，即
?i?1,2,...n?中至少有一个不为零的情
（1） （2）
ax2?x1. 不妨设11不等于零，将f对1的偏导数?x1求出来，并记
根据偏导数法f?x1,x2...xn??中已经不再含有
通过计算得出g．此时g(f1)2?g，
x2?x2，又可得求出g对2的偏导数?x2，并记
f1??'?g1??u?f?x1,x2,...xn??a11xa22
， 此时u中不再含有2．
（4） 按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．
2. 情形2：二次型中不含是至少有一
的平方项，即所有
aii?i?1,2,...n?
都等于零，但
不等于零的情形．
（1）不妨设12不等于零，首先求出f对1的偏导数?x1，以及f对2的偏?f1?f1?f
2?x1，2?x2， 导数?x2，并记
（2）将(1)结果代入，此时得到f?x1,x2,...xn??其中?中不含
[(f1?f2)2?(f1?f2)2]??，a12
（3）进行观察：如果?中含有计算，如果?中仍然不含有型化为标准形为止．
的平方项，则按照情形1中的方法去进行
的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次
f(x,x,x)x?2x?4x?2x1x2?2x2x3为标准23123?例6 用偏导数法化二次型
解：原二次型中含有
的平方项，符合情形1，首先求出f对1的偏导数
?x1?2x1?2x2，
所以可以得到：
2?x1?x1?x2
?f1??g?x?x?2?g
f(x,x2,x3)?a11
整理可得到：
g?x2?4x3?2x2x3
接下来求出g对
?x2?2?x2?x3?, 2?x2?x2?x3
?f1??'?g1??5x32??x?x?2??x?x?2?5x2
f(x,x2,x3)?a11
?y2?x2?x3?y?x
?x1?y1?y2?y3
??x2?y2?y3
经过变形可以得到?
222f(x,x,x)y?y?5y23123?于是原二次型化为标准形
所得的变换矩阵为
例7 用偏导数法化二次型f(x,x2,x3)??4x1x2?2x1x3?2x2x3为标准形． 解：由于所给的二次型中不含
的平方项，符合情形2，所以分别求出f对
的偏导数?x1，以及f对2的偏导数?x2，其结果如下：
?x1??4x2?2x3，?x2??4x1?2x3
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　1 n 面将介绍几种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形,并求出 P ,使问题简 化.下面首先介绍有关概念,再分别讨论二次型化为标准形的方法. 1 矩阵及二... 　本文的中心问题是如何化二次型为标准形,也 就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一, 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换... 　引言二次型是高等代数的重要内容之一, 化二次型为标准形在很多领域有着重要 的意义. 张钊在文献[1]中介绍了化二次型为标准形的几种基本方法. 陈惠汝,... 　化二次型为标准形、规范形,惯性定理 教学目的、要求(分掌握、熟悉、了解三个层次) : 了解化二次型为标准形的方法,即:配方法、正交变换法;掌握实二次型的规范... 　化二次型为标准形的几种方... 3页 1财富值 §5.2 化二次型为标准形 33...用配方法化二次型 f ( x, y, z ) = x + 4 xy + 4 xz ? 4 yz ... 　用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041 数本
廖丹 摘要: 摘要:本文介绍两种特殊方法:一种是用正交变换化实二次型为标准形,另一种是连续用第三种... 　2 用配方法化二次型为标准形 定理 2.1[2] 数域 P 上的任一个 n 元二次型 f ( x1, x2 ,?, xn ) ? X T AX , A ? (aij )n?n 均可以... 　实二次型化成标准形的几种... 3页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心...内容分布图示★ ★★★ 二次型的标准性 用配方法化二次型为标准形 例1 ★... 　1 二次型的矩阵形式和矩阵的合同 二次型的概念定义 1 含有 n 个变量 x1 ,...化二次型为标准形三种方法分别式:①对称变换法,②拉格朗日配方法,③正交变换法...《二次型化为标准型》_精选优秀范文十篇
二次型化为标准型
二次型化为标准型
范文一：第二节 化二次型为标准形若二次型f(x1,x2,?,xn)经可逆线性变换化为只含平方项的形式22b1y12?b2y2???bnyn,则称之为二次型f(x1,x2,?,xn)的标准形.由上节讨论知,二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX在线性变换X?CY下,可化为YT(CTAC)Y. 如果CTAC为对角矩阵?b1???b2? B???????bn??22则f(x1,x2,?,xn)就可化为标准形b1y12?b2y2???bnyn,其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵.内容分布图示★ 二次型的标准性★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1
★ 用初等变换化二次型为标准形★ 例5★ 定理3 ?4
★ 用正交变换化二次型为标准形★ 例7★ 二次型与对称矩阵的规范形★ 例9★ 内容小结
★ 课堂练习 ★ 习题5-2
★ 返回★ 例4 ★ 例6 ★ 例8 ★ 例10内容要点：一、用配方法化二次型为标准形.定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤:(1) 若二次型含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;(2) 若二次型中不含有平方项, 但是aij?0(i?j),则先作可逆变换?xi?yi?yj?(k?1,2,?,n且k?i,j) ?xj?yi?yj??xk?yk化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A的特征值无关. 因为二次型f与它的对称矩阵A有一一对应的关系，由定理1即得:定理2
对任一实对称矩阵A，存在非奇异矩阵C，使B?CTAC为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.二、用初等变换化二次为标准型设有可逆线性变换为X?CY，它把二次型XTAX化为标准型YTBY，则 CTAC?B. 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵P1,P2,?,Ps，使 C?P1P2?Ps, 于是C?EP1P2?PsTCTAC?PsT?P2TP1AP1P2?Ps??.?A?由此可见, 对2n?n矩阵?1P2?Ps的初等列变换, 再对A施以相应于左?E??施以相应于右乘P??TTT乘P1,P2,?,Ps的初等行变换, 则矩阵A变为对角矩阵B, 而单位矩阵E就变为所要求的可逆矩阵C.三、用正交变换化二次型为标准形定理2
若A为对称矩阵，C为任一可逆矩阵,令B?CTAC,,则B也为对称矩阵,且r(B)?r(A).注: (1) 二次型经可逆变换X?CY后,其秩不变,但f的矩阵由A变为B?CTAC; (2) 要使二次型f经可逆变换X?CY变成标准形,即要使CTAC成为对角矩阵, 即?b1??y1?????b???y2?2222YTCTACY?(y1,y2,?,yn)??b1y1?b2y2???bnyn. ????????????bn????yn?定理3
任给二次型f??aijxixj(aji?aij), 总有正交变换X?PY, 使f化为标准形i,j?1n22f??1y12??2y2????nyn,其中?1,?2,?,?n是f的矩阵A?(aij)的特征值.用正交变换化二次型为标准形(1) 将二次型表成矩阵形式f?XTAX, 求出A;(2) 求出A的所有特征值 ?1,?2,?,?n; (3) 求出对应于特征值的特征向量 ?1,?2,?,?n;(4) 将特征向量?1,?2,?,?n正交化, 单位化, 得?1,?2,?,?n, 记C?(?1,?2,?,?n); (5) 作正交变换X?CY,则得f的标准形22f??1y12??2y2????nyn.四、二次型与对称矩阵的规范型将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为22d1x12???dpx2(1) p?dp?1xp?1???drxr其中di?0(i?1,2,?,r).定理4
任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.注: 把规范形中的正项个数p称为二次型的正惯性指数,负项个数r?p称为二次型的负惯性指数, r是二次型的秩.00??Ep??注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形?0?Er?p0??000???定理5
设A为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵C,Q，且C?Q,使得?Ep?TCAC??0?0?0?Er?p0??Ep??T0?，QAQ??0?00????Er?q0??0? 0??则 p?q.注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。例题选讲:222例1(讲义例1) 将x1化为标准形. ?2x1x2?2x1x3?2x2?4x2x3?x3用配方法化二次型为标准形.22例2 化二次型f?x12?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3为标准形, 并求所用的变换矩阵.例3 (讲义例2) 化二次型f?2x1x2?2x1x3?6x2x3成标准形, 并求所用的变换矩阵. 例4 用配方法将以下二次型化为标准型.f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?x1x3?x1x4?x2x3?x2x4?2x3x4.用初等变换化二次为标准型?111???例5(讲义例3) 设A??122?,求非奇异矩阵C, 使CTAC为对角矩阵.?121???例6 求一可逆线性变换将2x1x2?2x1x3?4x2x3化为标准形.用正交变换化二次型为标准形22例7 (讲义例4) 将二次型f?17x12?14x2?14x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3通过正交变换x?Py, 化成标准形.例8 设f?2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x2x3?2x2x4?2x3x4, 求一个正交变换x?Py, 把该二次型化为标准形.二次型与对称矩阵的规范型1222例9 将标准型2y1规范化. ?2y2?y32例10 (讲义例5) 化二次型f?2x1x2?2x1x3?6x2x3为规范形, 并求其正惯性指数.课堂练习1. 求一正交变换,将二次型22f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?3x3?2x1x2?6x1x3?6x2x3 化为标准形, 并指出f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.原文地址：第二节 化二次型为标准形若二次型f(x1,x2,?,xn)经可逆线性变换化为只含平方项的形式22b1y12?b2y2???bnyn,则称之为二次型f(x1,x2,?,xn)的标准形.由上节讨论知,二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX在线性变换X?CY下,可化为YT(CTAC)Y. 如果CTAC为对角矩阵?b1???b2? B???????bn??22则f(x1,x2,?,xn)就可化为标准形b1y12?b2y2???bnyn,其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵.内容分布图示★ 二次型的标准性★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1
★ 用初等变换化二次型为标准形★ 例5★ 定理3 ?4
★ 用正交变换化二次型为标准形★ 例7★ 二次型与对称矩阵的规范形★ 例9★ 内容小结
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对任一实对称矩阵A，存在非奇异矩阵C，使B?CTAC为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.二、用初等变换化二次为标准型设有可逆线性变换为X?CY，它把二次型XTAX化为标准型YTBY，则 CTAC?B. 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵P1,P2,?,Ps，使 C?P1P2?Ps, 于是C?EP1P2?PsTCTAC?PsT?P2TP1AP1P2?Ps??.?A?由此可见, 对2n?n矩阵?1P2?Ps的初等列变换, 再对A施以相应于左?E??施以相应于右乘P??TTT乘P1,P2,?,Ps的初等行变换, 则矩阵A变为对角矩阵B, 而单位矩阵E就变为所要求的可逆矩阵C.三、用正交变换化二次型为标准形定理2
若A为对称矩阵，C为任一可逆矩阵,令B?CTAC,,则B也为对称矩阵,且r(B)?r(A).注: (1) 二次型经可逆变换X?CY后,其秩不变,但f的矩阵由A变为B?CTAC; (2) 要使二次型f经可逆变换X?CY变成标准形,即要使CTAC成为对角矩阵, 即?b1??y1?????b???y2?2222YTCTACY?(y1,y2,?,yn)??b1y1?b2y2???bnyn. ????????????bn????yn?定理3
任给二次型f??aijxixj(aji?aij), 总有正交变换X?PY, 使f化为标准形i,j?1n22f??1y12??2y2????nyn,其中?1,?2,?,?n是f的矩阵A?(aij)的特征值.用正交变换化二次型为标准形(1) 将二次型表成矩阵形式f?XTAX, 求出A;(2) 求出A的所有特征值 ?1,?2,?,?n; (3) 求出对应于特征值的特征向量 ?1,?2,?,?n;(4) 将特征向量?1,?2,?,?n正交化, 单位化, 得?1,?2,?,?n, 记C?(?1,?2,?,?n); (5) 作正交变换X?CY,则得f的标准形22f??1y12??2y2????nyn.四、二次型与对称矩阵的规范型将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为22d1x12???dpx2(1) p?dp?1xp?1???drxr其中di?0(i?1,2,?,r).定理4
任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.注: 把规范形中的正项个数p称为二次型的正惯性指数,负项个数r?p称为二次型的负惯性指数, r是二次型的秩.00??Ep??注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形?0?Er?p0??000???定理5
设A为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵C,Q，且C?Q,使得?Ep?TCAC??0?0?0?Er?p0??Ep??T0?，QAQ??0?00????Er?q0??0? 0??则 p?q.注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。例题选讲:222例1(讲义例1) 将x1化为标准形. ?2x1x2?2x1x3?2x2?4x2x3?x3用配方法化二次型为标准形.22例2 化二次型f?x12?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3为标准形, 并求所用的变换矩阵.例3 (讲义例2) 化二次型f?2x1x2?2x1x3?6x2x3成标准形, 并求所用的变换矩阵. 例4 用配方法将以下二次型化为标准型.f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?x1x3?x1x4?x2x3?x2x4?2x3x4.用初等变换化二次为标准型?111???例5(讲义例3) 设A??122?,求非奇异矩阵C, 使CTAC为对角矩阵.?121???例6 求一可逆线性变换将2x1x2?2x1x3?4x2x3化为标准形.用正交变换化二次型为标准形22例7 (讲义例4) 将二次型f?17x12?14x2?14x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3通过正交变换x?Py, 化成标准形.例8 设f?2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x2x3?2x2x4?2x3x4, 求一个正交变换x?Py, 把该二次型化为标准形.二次型与对称矩阵的规范型1222例9 将标准型2y1规范化. ?2y2?y32例10 (讲义例5) 化二次型f?2x1x2?2x1x3?6x2x3为规范形, 并求其正惯性指数.课堂练习1. 求一正交变换,将二次型22f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?3x3?2x1x2?6x1x3?6x2x3 化为标准形, 并指出f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.
范文二：配方法化次型二为准标形例:1用 配法方化二型次为准形标 并求可,变逆换阵矩。解: f (
x 1, 2 , x3 )x?
21x x2 ? 4 2 x3x2
（x1?f (1x
x12 ? ?2 x2 2 5x?3 2?2
x2 3.x? 2 x x12 ） 2 x? 2 ?5
22222? x（1?
42 xx3? x（1? x 2 ? ）x2（
x3 ? y?12? y
2 ?2 y23? 1 ?y 1x?
2x 3 ?, ?y x.
? 33x1 ??y 1 ?y2 ? 2
? C ? ? ?0 1?2
0 ? 1x ? y . ?? ?
? 33例2: 设 二次f型(
x x13 ? 4x2 x3
22.求一可1逆变换将二该型次化为标准形 ;2. f(
1 x ,x2 , 3 )x?
1是什么面曲?1. f(
,2x, x 3 )
41x 3 x 4 x? 23x21
22? ( x ?12
2x 3 2 ?)y 12 ?y2 2
.? 1y ? 1x? 2 x3
, ? ?2 y ?2 x ? 23x,
. ?3 3?x1?
2y3 , x ? y ?.3
?31? 0 ?2 ??
? .0 0 ? 1? ?? 22.2 A由 ?
A特征的为值1 ??0,
?3? 9?在.交正换变，下将 f可 ?1 为化y2 ?
9y3 ? 1为.圆椭柱面。正交换保持变量长向度不,只变在有正变交下换将二 型次化标为准形，能才确定它所表示的曲面类型 注。设 Y=Q：，QX正为矩交，则有阵|Y|||=2TYY=QX(T()XQ=)XTTQQ=XXT=|X|||2.X注配方：化二法次为型标准形般一两有情种形：情形 1二次型中有含方项，平含有如 x12，时此先集中有 x1含的项 ， 对 1x 成配完平方全再集中，有含 x2 的项对 ，2 x配完全平方成如， 继续下此，直到化为去准标形。形2情二次型 不含平方中，项只含 有xixj 的项 ，此先时可作逆性线 换变?x
? ii y y ?j, ? ?
xj? y i? y
??x k ? k ,y
k ?,ij. 将二次型化含为平项方的二型次，按再情1形介中的绍法方。做
范文三：莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形姓名： 廖丹 学号： 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级2007年 6月20日用矩阵的初等变换化实二次型为标准形041数本
廖丹摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形.关键词：初等变换
第三种初等阵
实二次型标准形1．数域下任意一个实二次型X?AX,总可以经过非奇异变换X?PY使得X?AX??diyi2,其中di为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法i?1n最大的缺点是不易求矩阵P.下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P.定义1.1以Tij(k)表示将单位矩阵的j行（列）的k倍加到i行（列）,所得到的第三种初等阵.定理1.2设A是n阶实对称阵,P是有限个第三种初等阵Tij(k),i?1的乘积.且?d1?PA???0a??d?其中a是n?1维行向量,A1是n?1阶阵,则必有PAP???A1??00?. ?A1?证明：由于P是Tij(k)的乘积，且i?1,根据矩阵的乘法规则，用P右乘P?A时,P?A的?d1第一列元素不变,从而P?AP???0,即A是实对称的. ?A1???? P?AP亦为实对称阵 ? ??0这个定理实质上就给出矩阵A化标准形,求出变换矩阵P的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A化为上三角形.现作矩阵?A,E?找出P?使??d1???????drP??A,E???P?A,P??????????????*?????????,P??则这个P?的转置阵就是我0???????0???们要找的非异阵P,它使P?AP为对角阵.即只要对?A,E?作有限次第三种初等变换Tij(k),i?j,则当把A变换成上三角阵时,?A,E?的E就同时化为P?,且使?d1????dr?PAP???????????.0????0??1?12???例1 求非异阵P,使P?AP为对角阵,其中A??1?10. ???202???解：?1?A,E??????2?????????1?12100??r2?r1?????0?22110???202001???1r3?(?2)r1?????1?1?100??0?22110?????0?22110? r3?r2??????02?2?201??000?111??????11?1???故由定理知P?011. ???001????100???
P?AP?0?20 ???000???例2将实二次型2x1x2?6x2x3?2x1x3化为平方和.?011???解：此二次型的系数矩阵 A?10?3,A的主对角元素全是0,故不能立即引用???1?30???定理,需先对A作初等行变换及其相应的列.使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数,然后再用定理即可.??2110??????10?10?3010??A,E????????1?301??????21?2?2110??r2?1r1??1r3?r??1??????3010????0?2c1?c2??2???2?30001????0?2?2?2110?2?r3?4r2?????0??0?1?20???110?22?3?11?????1? 令X?PY, 2?6??111?12110??10?2?11???1?2206??1?? P??1??0????1?3??22??1?1?
,P?AP???2???01????21则2x1x2?6x2x3?2x1x3?2y?12y2?6y23. 22． 若要求一正交阵P使P?AP成对角阵,这等价于经过正交变换X?PY将二次型X?AX化为标准形.一般步骤是通过施密特正交化过程来求解,但此方法较为复杂,下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形.?An?n?列初等变换?Bn?nQn?(n?1)???????定理2.1设A为n?n阶矩阵,秩?A??r,且?其中??Pn?(n?1)??En??*B是秩为r的列满秩矩阵,则矩阵P所含n?r个列向量就是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系. 证明：?秩?A??r?存在可逆的n级矩阵PP12??PS使APP12??PS??Bn*r,0?，其中Bn*r是秩为r的列满秩矩阵???同理：EnPP12??PS??En*r,En*(n?r)?，其中En*r表示秩为r的每一列有且只有一元素?*(n?r)表示秩为n?r的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵 为1的列满秩矩阵，En?Bn?n?An*n????PP12??PS??E?n??Qn?n???r，P??，其中Qn?n?Enn?n?En?(n?r)Pn?(n?1)?由于AX?0的解向量个数为n?r，而Pn?(n?r)为秩为n?r的列满秩矩阵 再由初等变换原理易知：矩阵P所含n?r个列向量就是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系.定理2.2矩阵A的特征矩阵A???经列的初等变换可化为下三角的?矩阵B???,且B???的主对角线上元素的乘积的?多项式的根恰为A的所有特征根.此定理证明与定理1.2相仿,故省去.下面探讨计算方法：?A????列初等变换?B????设A?????E?A 且????,其中B???为下三角矩阵,则B?????????E??A????的主对角线上的全部元素的?多项式的全部根恰为矩阵A的全部特征根,对于矩阵A的每一特征根?i,若矩阵B???中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么矩阵P??i?中和B??i?中零向量所对应的列向量是属于特征根?i的全部线性无关的特征向量；否则继续?B??i??列初等变换?B*??i??*B使得??i?中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么?????????*???A??i???P??i??P*??i?中和B*??i?中向量对应的列向量是属于特征根?i的全部线性无关的特征向量.设所求出的特征向量?11??1k??i1??ik??s1??sk,它是一组线性无关的向量,以?ij1is为列向量构成矩阵B????,则B?B是一个n阶正定矩阵,必与单位矩阵正合同,即存在nij阶可逆矩阵Q,使得Q??B?B?Q?E???1? 即?Q?B???BQ??E???2??1?式说明：对矩阵B?B施行一系列的列初等变换,（相应的初等矩阵的乘积为Q）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为Q?）,可化为单位矩阵；(2)式说明：BQ的列向量组是一个标准正交基,BQ可以通过对矩阵B施行与对矩阵B?B所施行的相同的初等变换求出.?B?B??E?于是得到求正交矩阵的初等变换法?对B?B施行列初等变换,对B施行行?????B??BQ?初等变换.实际上将B?B化为E,分别乘以a11所在的行和列使a11变成1；再施以列初等变换把a11所在行其他元素化为0，又施以行初等变换把a11所在列的其他元素化为0 ,按此法,依次把a22?，?ann变为1.其它元素变为0,那么矩阵BQ即为所求的矩阵P,且P?AP为对角阵,其中主对角线上元素?1??i?,?l??s???k1???ks?422???例1 求正交矩阵P使P?AP为对角阵,其中A?242. ???224????2????4?2??2??4?2????2??4??A??????2解：?? ???00??E??1?010???01??0?1?1??4???2???0?0???1??2?2??4??2?2100??4?2010?1??1????4???????2??0??0?????1????2????22???2??8??12?2???2?01??10??4???1?2?0000?1??1???20???????2?2???2?5??8??2?
??201?0???011????1???1?3???22?? 矩阵A的特征根为?1?2（二重）,?2?8.?100??100????100??B??1????当?1?2时,有????001?非零向量的列构成满秩矩阵,对应零向量的向量?P??1???011?????1?1?2????2??0??1??,???1??1??1??2????1???2??????1???当?2?8时,同法求出对应特征向量?3?1,?1,?2,?3是无关的,以?1,?2,?3为列向量构???1???成矩阵B,再求出B?B于是得：?1?0?230???360??0????B?B??003??0?B???011?????????111???????1?21?????100?0??1????0??即得：P???????200??020??且有PAP????008???参考文献：[1] 北大. 高等代数[M]. 高等教育出版社,1989.11[2] 北大数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M]. 高等教育出版社,] 王琳. 用正交变换化实二次型为标准形方法研究[J]. 数学通讯, 1990（3） [4] 牟俊霖、李青古.洞穿考研数学[M]. 航空工业出版社, 2005.3
范文四：2011年第3期SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION○职校论坛○科技信息二次齐次函数化标准型韩瑞娜（郑州旅游职业学院基础部河南郑州450009）【摘要】二次型是《线性代数》课程的重要组成部分，它在几何、物理和优化理论等方面有着非常重要的作用。有不少地质工作者利用二次型理论从事研究地震波，极大的丰富了地震研究的理论成果。本文首先介绍二次型的基本概念，二次型的标准型，然后，利用不同的数学方法将不同的二次型化成标准型。【关键词】二次型；标准型；合同变换法；拉格朗日配方法；正交变换1介绍Py，使二次型f=xAx变成标准形，也就是要使:姨姨1姨姨姨姨姨姨姨姨姨T二十世纪以来，由于科学技术的飞速发展，数学的应用范围急剧扩展，它不仅更广泛的深入的应用于自然科学和工程技术中，而且也渗透到诸如生命科学、经济与社会科学领域。尤其是计算机的广泛使用何计算机软件的高速发展，引起了科学技术的定量化分析方法迅速发展，使得各门学科之间加速相互渗透。《线性代数》是讨论有限维空间的理论课程，它是很多高等院校的一门重要的基础理论课程。二次型是《线性代数》课程的重要组成部分，它在几何、物理和优化理论等方面有着非常重要的作用。二次型也常常出现在线性代数在工程和信号处理的应用中，也出现在物理学，微分几何，经济学和统计学中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。有不少地质工作者利用二次型理论从事研究地震波[1]，用矩阵的正定二次型理论阐述了“能量矩阵与弹性矩阵”之间一致的对称性和正定性．能量矩阵蕴舍的动态力的平衡关系、速度的时间-空间分布和能量的传播及变化的物理意义，能够从能量矩阵的正定二次型特性表述出来，极大的丰富了地震研究的理论成果。kyPAPy=k1y1+k2y2+…+knyn=［y1，y2，…，yn］TT222k2…k姨姨姨姨1姨姨姨姨姨姨姨姨姨2姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨n姨姨姨姨姨姨n姨yy·，·y既是要使PAP成为对角阵，因此我们的主要问题就是：对于对称矩阵A，寻求可逆矩阵P，使PAP为对角阵。TT3部分方法、事例常用的化二次型为标准形的方法有三种:拉格朗日配方法、合同变换法、正交变换法。下面我们举出典型事例，描述这些方法的具体运用过程：①用拉格朗日配方法将二次型f＝x1x2＋4x1x3－6x2x3化作标准形。解：在二次型f中不含有平方项，由于含有交叉项x1x2，故令：2二次型基本概念定义[2,3]：含有n个变量x1，x2，…，xn的二次齐次函数：1x1＝y1＋y2x2＝y1－y2，代入可得f＝y1－y2－2y1y3＋10y2y3，再配方可得：x3＝y322222f（x1，x2，…，xn）＝a11x1+2a12x1x2+2a13a1a3+…+2a1nx1xn+a22x2+2a23x2x3+…+2a2nx2xn+a33x3+…+2a3nx3xn+…+annxn2222f＝（y1－y3）－（y2－5y3）＋24y3，令：z2＝y1－5y3，解得y2＝z2＋5z3。z3＝y3y3＝z3110故，所用的变换矩阵为：C＝1－100011z1＝y1－y21y1＝z1＋z2称为二次型，其中aij（i，j＝1，2，…，n）成为二次型的系数。当二次型的系数为复数时，称之为复二次型，当二次型的系数为实数时，称之为实二次型。下面，我们仅研究实二次型。把变量的交叉项2aijxixj（i＜j），写成对称的两项之和aijxixj＋ajixjxi（aij＝aji），并利用矩阵的记法将二次型表示成：011111116101015＝1－1－4.00100122222即所用的可逆变换为X＝CY，二次型的标准形为：f＝z1－z2＋24z3.②用正交变换方法将二次型f（x1，x2）＝3x1＋3x2＋2x1x2化作标准形。解：二次型的矩阵为A＝f（x1，x2，…，xn）＝xAx，其中：T姨姨11姨姨姨21姨姨姨姨姨姨n1Taaaa12a22……………a1naax＝（x1，x2，…，xn），A＝……an2姨姨姨姨2n姨姨姨姨姨姨nn姨31，A的特征多项式为：1113A是对称矩阵。如:将二次型f（x1，x2，x3）=3x1-2x1x2-2x1x3+4x2x3写成矩阵形式。23－λ1=（4－λ）（2－λ），A的特征根为：λ1＝2，λ2＝4。03－λ11x110当λ1＝2时，解方程组，得基础解系为，单位=011x2-1A－λE＝111111113－1－1解:二次型f的矩阵为：A＝－102则二次型的矩阵形式为－120x13－1－1·－10f=xAx=［x1，x2，x3］－12T11化得：p1=（12·x2。0x31111，－1）T.当λ＝4时，解方程组－11x1=0，11－1x20姨姨T1得基础解系为，单位化得：p1=（1，1）.取正交矩阵P＝1姨姨111111姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨11姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨定义2[4,5]：如果一个二次型只含有变量的平方项，则称这个二次型为标准型。如f＝x1＋2x2＋3x3就是标准型，它的矩阵为A＝222姨姨姨姨姨姨姨姨姨1姨－1姨1姨1姨21x1姨，则正交变换＝x2－1姨11姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨1姨1姨211y1y2，将二次11123型f（x1，x2）＝3x1＋3x2＋2x1x2化为标准形f＝2y1＋4y2.22是对角阵。③用合同变化法将二次型f＝x1x2＋4x1x3＋x2x3化作标准形。01/22解：二次型的矩阵为A＝1/201/2，于是：（下转第690页）21/20对于二次型，我们讨论的主要问题是寻求非退化的线性变换x＝116762011年第3期SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION○职校论坛○科技信息的贴图是一种比较可取的方法。例如制作三维猪的模型,首先要对所制作猪角色的形体、造型以及所生活的环境等进行仔细地分析，在充分了解以后绘制出基本的结构图，以便在以后的制作中准确地把握形体和合理利用贴图资源，更好地对角色细节进行刻画。然后通过在动物园或者猪场进行实地拍照，最后利用Photoshop中的“磁性套索”、“多边形套索”、“亮度/对比度”和“滤镜”等工具去制作猪的每一部分图像（如图3、图4所示）。处理后的图像保存为jpg或者tga等格式文件。在3DSMAX软件中对三维猪模型施加贴图效果，打开材质编辑器内选择相应的“材质球”进行,对同一三维模型的不同面或不同元素可以分配不同的贴图。3三维场景后期处理在三维场景效果图的制作过程中,后期处理是最后一个工作环节,是提高效果图品质与档次的关键。由于在3DSMAX软件渲染效果图存在的不足,又要完善周边环境,提高艺术氛围。例如给实物添加阴影、道路和铺装的填充、添加建筑小品、汽车、人物、水体、加入光线等。后期处理可以使效果图有画龙点睛之妙，所以,任何一张三维场景效果图的设计都必须重视后期的处理,它决定作品的优劣。3．1在三维场景中调节色彩明亮度对3DSMAX所渲染效果图调节色彩明亮度,一般包括以下几个方面:1）调整效果图整体的亮度和对比度，选择“亮度/对比度”、“色阶”、“曲线”三种命令任意一种都可以实现。2）局部灯光偏暗或者图形的阴影较重,使用多边形套索工具,选取图形的阴影部分,利用“涂抹工具”吸取相邻色彩较亮地方，反复调整画笔大小和强度数值来提高图形的亮度。3）打开“色彩平衡”或者“色相和饱和度”对话框,进行适当调节,会使色彩更加和谐、更加逼真诱人。4）某些窗户缺少光线，使用多边形套索工具,沿着光线方向绘制，添加适当“羽化”数值白色填充，再反复通过“橡皮擦工具”和调整图层透明度就可以实现。3．2在三维场景中添加建筑小品、树木、人物在添加建筑小品时一般不能与总体色调有强烈的对比，尽量考虑周围环境色彩，进行合理搭配。例如主体建筑是浅黄色，建筑小品运用与道路同样的浅灰色。制作主体建筑及建筑小品阴影时，应该考虑与周围树木阴影方向一致，否则会产生不协调感觉。还有添加其它景物时，比如人物、树木、花草、动物、汽车等景物,要使整个画面生动活泼,更具空间感，就必须注意所添加新景物的大小、透视点、光线方向、明暗程度、色调是否统一等等因素。总之，图像处理在三维场景制作过程中,起到非常重要的作用，对常规运用方法加以提炼总结并使之系统化，有助于工作效率的极大提升，并且能使创作效果图更具有出精美的艺术风格。科●【参考文献】［1］王世旭，张凡，等，编著.3dsmax+Photoshop游戏角色设计[M].北京：机械工业出版社，2010，01．［2］张亚梅,马绍惠.Photoshop在3DSMAX中的应用研究[J].河南机电高等专科学校学报，－107.［3］黄瑶.Photoshop在园林设计后期处理中的运用[J].武汉生物工程学院学报，2006，（06）:73-76.作者简介：朱明秀（1970—），女,江苏沛县人，壮族，广西工商职业技术学院信息与设计系，讲师，研究方向为数据库技术和计算机图形图像。［责任编辑：张慧］［2］何克抗.建构主义：革新传统教学的理论基础[J].教育技术研究,1997(1)．［3］Krashen，S.D.TheInputHypothesis[M].London:Longman,1985．［4］HolecH.AutonomyandForeignLanguageLearning[M].Oxford:PergamonPress，（上接第661页）生在获取知识、培养能力方面得到同步提高，帮助学习者向更高的层次递进。4结束语网络和多媒体技术为自主学习模式提供了可能，建构主义理论、输入假设理论和交互假设理论为自主学习提供了理论依据。网络环境下的大学英语自主学习是终生教育观念的重要体现。它不只是目前学生在校的一种学习方式，也是终生学习的一种主要方式。因此网络环境下开展大学英语自主学习具有非常重要的。然而，学生的自主学习能力不是天生的，它是需要培养的。需要在教师的指导下不断提高自己的自主学习能力。科1981．［5］DickinsonL.Autonomyandmotivation:aliteraturereview[J].System，)．［6］何克抗.建构主义：革新传统教学的理论基础[J].教育技术研究,1997(1)．［7］刘祥荣，韩青．基于网络的大学英语自主学习模式模式探究[J].中国电力教育，2008（9）．作者简介：梁英（1976—），女，河南商丘人，商丘师范学院外语系，讲师。［责任编辑：常鹏飞］●【参考文献】［1］教育部高教司人学英语教学课程要求[M].上海:上海外语教育出版社，2007．（上接第676页）000000所以，00000000000001/221/201/221/20…11/25/21/201/25/21／20…→000000000－1/4－3/4-3/4-25/4…001101100－1/00000000→000000105/20-1/4-3/405/2-3/4…-1/21/200010000001P＝0－1/2－12221/2－4，于是：f（x1，x2，x3）＝y1－1y2－4y3（X＝PY）科10●【参考文献】［1］牛滨华，等．地震波的场方程矩阵和能量的正定二次型及其意义．地球物理学进展，3－358.［2］北京大学数学系，编．高等代数．2版．北京：高等教育出版社，1988．［3］同济大学数学教研室，编．线性代数．3版．北京：高等教育出版社，1999.［4］林升旭，等．线性代数．武汉：华中科技大学出版社.［5］张禾瑞，等．高等代数．北京：人民教育出版社.→→…1－1/2－5/201/2－5/2001690110－1/2－11/2－401［责任编辑：王静］
范文五：第8章§ 8.5 二次曲面的标准型§ 8.5.1 坐标平移§ 8.5.2 坐标旋转 §8.5.3 二次曲面的标准型二次曲面的举例三元二次方程Ax ? By ? Cz ? 2 Dxy ? 2 Eyz ? 2 Fzx ? Gx ? Hy ? Iz ? J ? 02 2 2(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 下面仅1. 椭球面(1)范围：x2 y2 z 2 ? 2 ? 2 ? 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b cx ? a,y ? b,z ?c? y2 z2 ? ? ?1 , ?b2 c2 ? ? x?0 ? x2 z 2 ? ? ?1 ?a 2 c 2 ? ? y?0(2)与坐标面的交线：椭圆? x2 y2 ? ? ?1, 2 2 ?a b ? ? z?0x y z ? 2 ? 2 ? 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c(3) 截痕: 与222z ? z1 ( z1 ? c)的交线为椭圆：2xa c22(c 2 ? z12 )?yb c222z(c 2 ? z12 )?1z ? z1同样y ? y1 ( y1 ? b ) 及的截痕也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.2. 抛物面(1) 椭圆抛物面zx2 y2 ? ? z ( p , q 同号) 2 p 2q特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）xzyx2 y2 ? ? ? z ( p , q 同号) 2p 2qxy3. 双曲面(1)单叶双曲面zx2 y2 z 2 ? 2 ? 2 ? 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 z ? z1 上的截痕为 椭圆.平面xyy ? y1上的截痕情况:y1 x z ? 2 ? 1? 2 2 a c b y ? y12 2 21) y1 ? b 时, 截痕为 双曲线:(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）2) y1 ? b 时, 截痕为 相交直线: x z ? ?0 a c y ? b (或 ? b) 3) y1 ? b时, 截痕为 双曲线:y1 x z ? 2 ? 1? 2 2 a c b y ? y12 2 2zxyz?0(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）xy(2) 双叶双曲面zx2 y2 z 2 ? 2 ? 2 ? ?1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y ? y1 上的截痕为 双曲线平面 x ? x1 上的截痕为 双曲线平面 z ? z1 ( z1 ? c)上的截痕为 椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:o xyx2 a2?y2 b2?z2 c2?1 单叶双曲面 ? 1 双叶双曲面图形4. 椭圆锥面zzx2 y2 2 ? ? z ( a, b 为正数 ) 2 2 a b 在平面 z ? t 上的截痕为 椭圆 x2 y2 ① , z ? t ? ? 1 (at ) 2 (bt ) 2xxoy y在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到)§ 8.5.1 坐标平移设空间一点 M 空间直角坐标系 O-x, y, z 下的坐标为( x, y, z )M在新坐标系 O?-x?, y?, z?下的坐标为( x?, y?, z ?)O?平移公式：? x ' ? x ? a, ? ? y ' ? y ? b, ? z ' ? z ? c. ?O或者? x ? x?+a, ? ? y? y?+b, ? z ? z ?+c. ?§ 8.5.2 坐标旋转平面解析几何的坐标旋转（旋转角为 ? ） 平面一点 M 坐标系 O-x, y 下的坐标为 M( x, y ) 在新坐标系 O?-x?, y? 下的坐标为 M( x?, y?) 旋转公式? x ? x 'cos ? ? y 'sin ? , ? ? y ? x 'sin ? ? y 'cos ? .空间直角坐标系的坐标旋转公式? x ? a11 X ? a12 Y ? a13 Z, ? ? y ? a21 X ? a22 Y ? a23 Z, ? z ? a X ? a Y ? a Z. 31 32 33 ?§8.5.3 二次曲面的标准型二次型 f ( x, y, z ) ? Ax 2 ? By 2 ? Cz 2 ? 2 Dxy ? 2 Eyx ? 2 Fzx的特征值为 ?1 , ?2 , ?3 . 由线性代数知识可以将二次型 化为对角阵，其主对角线上元素为 ?1 , ?2 , ?3 。一、?i ? 0(i ? 1, 2, 3)x2 y2 z2 1、?i同号(i ? 1, 2, 3) ? 椭球面 2 ? 2 ? 2 ? 1 a b cx2 y2 z2 2、?i 异号(?1 , ?2 ? 0, ?3 ? 0, 常数项=0) ? 椭圆锥面 2 ? 2 - 2 ? 0 a b c x2 y2 z2 3、?i 异号(?1 , ?2 ? 0, ?3 ? 0, 常数项>0) ? 单叶双曲面 2 ? 2 - 2 ? 1 a b c x2 y2 z2 4、?i 异号(?1 , ?2 ? 0, ?3 ? 0, 常数项二、?1 , ?2 ? 0, ?3 ? 0x2 y2 5、?1 ?2 ? 0, z 的系数 ? 0 ? 椭圆抛物面 ? ? z ( p, q同号). 2p 2qx2 y2 6、?1 ?2 ? 0, z 的系数 ? 0 ? 双曲抛物面 ? ? z ( p, q同号). 2 p 2qx2 y2 7、?1 ?2 ? 0, z 的系数=0 ? 椭圆柱面 2 ? 2 ? 1. a bx2 y2 8、?1 ?2 ? 0, z 的系数=0 ? 双曲柱面 2 ? 2 ? 1. a b三、?1 ? 0, ?2 , ?3 ? 0x2 9、?1 ? 0，?2 , ?3 =0 ? 抛物柱面 ? y. 2p
范文六：正交化变化二次型法标为准型定义： 2含平只项方二的次，即形型如222
2dx2 ? ? ? d n x
称?为次型二的准形标（或法式。 ）?
??? ? ??问 1：题标准的形矩 = 阵？? ? d n? ?题问： 2将二型化次标准形实际为上什么是题？问找逆阵可, 使CC T A C ??对角为阵.题3： 二次问能否型为化准标形 能！？因为任实对意阵都与对角阵称正合交同。定2理 实二对型 f ? 次X T X , 总A正有交变换X
?Q Y, 使? fXT A X?
(Q Y)TA( Y )Q ? YT ( T QQ )Y ?AY T ? Y?? y?
n? y. 21 212 2 n??1 ?
?, ?? ,1? ,
n为?f 的 阵 A的矩征特。 值 ??
?n ??正交变法将二换次型化标为准的形一步骤：(般) i出写二型的矩次 A阵；ii() 求 A的所有相异出特征值的?1, 2?
,?,? (iii )每对个重特一值征?i，出求应对ri 个的线无关性特征的向量?1i,
m,,)性质由知?r i? n .imi() v施用特密正交化法将每方一重个特值?i征 对所的 ri应 线性 无个关的征向特?量1 , i?i
2?,, ?ir (i i? ,12,
, ?)m先交正再单位化化为i?1?i1 ,?i2
1?, 2 ,? ,m)，们它为仍于属?i的特征向。量i()v 上面求将的正交单位得向作量列向量为，成排一 个 n方阶阵Q 则Q，即为求的正所方交阵。时此 Q ?1AQ
为对角阵。?(iv 作)正交换变
,Y 即可将次二化型标准形为f ?
(QY)T A( Y Q) ?Y T
Q( AQT) Y ?YT ? Y.2例 正交变换法用将次二型 f ( x1,
x2 化为标3形，并求准出用的正交变所换阵.矩?22 0 ? ??
二次?的型矩为A阵
??? 22 0 由 | ?A
? 2( ??1 (? ?)4) ?(? 2) ，0 ?2 ?得 A ?的特值征为 1 ??1,
?3?2；因 为1? , 2 ,? 3 互?异故 ，? 1,
3两两正交将，们它位化，单得其对的应特征量向为 ?1?
(?, ?2 ,1 2)T,
? 2 ? (,2? 2, 1)T , ? 3 ? ( ,12 , 2T)，11 1 ?1
1,? 2 ? 2 ,??3?
3 . ?3 332 1? ? ?2? 1 ? 是于所正交求换变的矩为阵Q
? ?? 1 ? 2
令X ? Q ，则二Y次型化标准为形y 1 2?4
y 2? 2 y3 .练 习用交正变换法二将次型22f
x1( ,x 2, x
x2 ? 1 41xx
x8 x23为标化准，形并求出所用的正交换变阵.矩求正阵交Q使，
1? ? 22 ?? ?5
? ? A ??2?
QQA对为阵。角? 1 ?
?1 23 ?? 5 ? 0 ??2
35 5 3 5 1 ?
3? ? 2 ? .
Q?Y则二次型，为化标准形 y122? 2 y2 ? 7 y
3正.变交换法将次型化二为标形的一般准骤步：i) (出写次二的型矩 A；阵(ii ) 出A的求有相所的特征值?1, ?2异 ,?, ?(iii) 每对一重特个征?i值，求对出的应ri个 线无性的关特征向?i量 , ?1i
2?, ,i?r i ( 1? ,,2? ,m )由,性知?质 r i? ni.m(iv )施密用正交化特方将每法个一特征值重?i 对应所的ri
线个性 无关的特征向量i? ,1?i 2 ,?,
?ii r(i? 1, 2 , ? m)先,交正化单位化再为i?1?i1 ,i? 2 ?,,i? (ri ?1
)，它m仍们为属?i于的征向量。特i(v)将 上面求得正的交单位向作为量列向量排，成个 n 一方阶阵Q 则，即Q为所的求正交阵方。此 Q时?1
QTA Q ? ?对为角阵。(vi)作 正交换变 X ?QY , 即可 二将次化为型标准形f?
X ?Q(Y T) (QYA)
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Q?Y则二次型，为化标准形 y122? 2 y2 ? 7 y
3正.变交换法将次型化二为标形的一般准骤步：i) (出写次二的型矩 A；阵(ii ) 出A的求有相所的特征值?1, ?2异 ,?, ?(iii) 每对一重特个征?i值，求对出的应ri个 线无性的关特征向?i量 , ?1i
2?, ,i?r i ( 1? ,,2? ,m )由,性知?质 r i? ni.m(iv )施密用正交化特方将每法个一特征值重?i 对应所的ri
线个性 无关的特征向量i? ,1?i 2 ,?,
?ii r(i? 1, 2 , ? m)先,交正化单位化再为i?1?i1 ,i? 2 ?,,i? (ri ?1
)，它m仍们为属?i于的征向量。特i(v)将 上面求得正的交单位向作为量列向量排，成个 n 一方阶阵Q 则，即Q为所的求正交阵方。此 Q时?1
QTA Q ? ?对为角阵。(vi)作 正交换变 X ?QY , 即可 二将次化为型标准形f?
X ?Q(Y T) (QYA)
T Q(T Q)Y ?AY T
范文七：维普资讯 第２ ６卷第 ２期太 原 大 学 教 育 学 院 学 报Ｊ ＯＵＲＮ Ｌ　 　 ＤＵ ＴＩ Ⅱ Ｓ Ｔ Ｕ Ｅ ０ＦＴＡ Ｙ Ｎ　 Ｉ ＥＲ Ｉ Ａ ＯＦ Ｅ ＣＡ ＯＮ 　 Ｔ ｒ Ｔ 　 　 Ｉ ＵＡ ＵＮ Ｖ ＳＴＹＶｏ ．６ Ｎｏ２ １ 　 ．　 ２２０ ０ ８年 ６月Ｊ ｎ２ ０ 　 ｕ ．０ ８化实二次型 为标准型 的一种新 方法白　 颉（ 太原 大 学 教 育 学 院 ，山 西 太 原 ０ ００ ） ３０ １［ 摘要 ］二次型是 高等代数 的重要 内容之 一，基 于函数 与其偏导数 的关系这一原理 。依据 配方法。提出 了一 种将 二 次型 化 为标 准 型 的方 法 ，并 通 过 例 子 说 明 该 方 法 的 有 效 性 。［ 关键词 ］实二次型 ；标准型 ；非线性替换　 ［ 中图分类号］０１　 ［ ５ 文献标识码 ］Ａ ［ 　 文章编号 ］１ ７－ ０ ６ ２ ０ ）２ ０ １－ ２ ６ ３ ７ １ （０ ８ ０ － １ １ 　 ０考虑 一 个 ｎ元 二 次型 ： 　 ， ， ， ｆ ｘ …　 ２＝ ｌ１２１ 口１ ２ 口　 ｘ＋ｎ　 ｎ下 面分三 种情 况讨 论 ： 　 情形 一 ：若 ａ ｉ １ ， ，）中至少 有一 个 不 为　 ｎ（ ， … ｎ ＝２? ＋ ａ ｘ＋ ＝ ２ … ２ ￣ ｎａ ｘ ＋… ＋ ａ ｘｘ＋ ． １ ２ －， ｎ ａ， 　 ￣２ ． ｘ＝ｉ＝ １ ＝ １ 』乃，其 中 ａ ∈Ｒ，ｑ ｌ … ， ． ｏ － ＝，零 妨 ａ０ 计　一… ＝善 ， ， 设－ ， 算 　 ， 　 　 不 －则 ≠ ：　 ，）　 ， 。二 次 型　 ｘ ， ：… ， 经 过非 线 性 替 换所 变成　 。 ， 　 　 的平 方 和　 ｘ ，… ， ＝ － ２ ２ …＋ 口 称 为　 － 　： 　 ｄｘ ＋ ２ －　 ＋ 　 ２ ， ｘ ， ， 的标 准型 。 １ …　 　２ 　 二 次型是 高 等代数 的重 要 内容 之一 ，将 二 次 型化 为标 准型 往往是 困惑学 生 的一大难 点 问题 ，而且　 它在 物理 学 、工程 学 、经 济学 等领域 有非 常重 要 的令户十 ，其 中 ｇ中 已不含 有　 这 时令　 ｇ；应用 ，因此探 索将 实 二次型 化 为标 准型 的简 单 方法　 有重 要 的理论 与应 用 价值 。我们 知道 ，任一 二 次 型　 和某 一对 称 矩阵是 相互 唯一 确 定 ，而任 一 实对 称矩再 ｇ１ 令＝ ｇ ，中 中含　 求－薏，ｇ１２ 其　 不有 ＝ 　 　－ 　　 且 是 中：系 。而 ＋ － 　 　 　 数 从　 之ｇ　 的 ２ ＋：，ｚ＝ 　 ｌ Ｙｌ阵都 可 以化 成一对 角 矩阵 ，相应 的任一 实 二次 型都可 以化 为标 准型 。在 高等代 数课 本 中介 绍 了将 实二次型 化 为 标 准 型 的两 种 方 法 ：配 方 法 和 正 交 变 换ｈ ，令２ｇ＝２，照 此依 次 做下 去 ，即 可将 二 次 型化ｚ ＿　 　 ］法 ；此外 ， 由于任意 矩阵 可 以利用 初 等变 换化 为对　 角矩 阵 ，因此也 可用 初等 变换 法将 二 次型 化 为标 准型 。但 配 方 法 需 要 通 过 观 察 来 配 方 ，对 初 学 者 来为标 准型 。情形 二 ：若所 有 ａ ＝ （＝ ，， ｎ ，但 至 少有　 ｎ ｏ ｎ ｌ …， ２ ）一讲 ，具 有一 定 的盲 目性 ；而正 交变 换法 和 初等 变换　 法 运算 过程 比较 繁琐 。为 了帮助学 生快 速 灵活 掌 握相关 的知识 ，开拓 思维 ，培养 多 角度思 考 问题 的能≠ ） 妨　 ０ 计　１ 　 ０ ， 设 ≠ 则算＝善， 　１不 ， 　 薏， 产 　 　 胡 ＋其　 且 　【 一 ２ ，中 令 蜩　 】ｙ。力 ，结 合 自己的教学 实践 和相 关资 料 ，下 面通 过 例题 给 出利用 偏导 数将 实二 次型 化成 标 准型 的方 法 。ｎ　 ｎ中不含　１２ 这 时 令 ｛３ ＂ ，观 察　 的结构 ，若　 　。 　 Ｙ－ ３ ￣方法 ： 二 次型　 （１ ２… ， ＝ 设 　， ，ａ ￣， ｏ 　 ￣ －收 稿 日期 ：０ ８０ －７ ２ ０ —２ ２ 　 作者简介 ： 白颉 （９８ ） 女 ， １７－ 。 山西 临 县 人 ， 原 大 学教 育 学 院 助 教 。 太维普资讯 ２０ ０８年白 颉 ：化 实二次 型为标准 型 的一种 新方法例 ２ 将 二 次 型第 ２期中含 有 平 方项 ，则 下 面 就 按 照 情 形 一 的 方法 计算 ；若　 中仍不 含 有 平 方 项 ，则 下 面 就 按 照 上 面的步骤 继续进行 ，直 到化 为标准 型为止 。 　 情 形 三 ：若 ａｌ０ ＝ － 　 ０ ｌ 　 … ａ ＝ ，则 由对 称性 知 ， ＝ｆ（ｌ２ｘ ２ １２２ １３６ ２３ ｚ， ，３ ｘｘ ｘＸ— ｘＸ　 ｘ ）＝ ＋化 为标 准 型 ，并 写出所作 的变换 。。ａ 国 … 　 ０， 时 １ …，）∑ ∑　 辑 　 ２ １ ：１ 这 　 　 　＝ １： ： ： ＾ 是ｎ １ 二次 型 ， 一元 然后按 照情形 一 或情形 二讨论 即可 。例 １ 将下 ｙ － 次 型　 ， Ｊ解因　０ ，） 　争 慨， 为 　１ ， ＝　 ， ２ 故 ， ３争 　　则 誓＝３ｆ 　 ，）＝ 　 　一 ［ 调 　 ３ｕ１ ＇— ： 　刁一　， ６３ ２ｆ １ ，３ Ｘ２３ ２ ５３ ２ １２２ １３　２３ 　 　２ ）＝ １ ｘ － ｘ － ｘｘ＋ ｘ ＋ Ｘ 　 ＋ ２ ２化 为标 准型 ，并 写 出所作 的变换 。＝慨ｒ　３ （ 慨　缸　 — ２ ） 　 　 　３ ，令解因 口１ ，　１ 为ｎ≠ 故＝誓　 ，　 ＝０ 　 ， 则，或１ ２，３ ）了１ ｇ （厂 ２ ＝ 　 　 ３ ＋ ｘ ＿ ｘ２ ＋ ） ２ ２６３　 ３ 　 ２ ＋ ，）　 ， ３因为在　 ２ ２ ６３ ｒ２ 中 ，Ｘ 的系 数 ａ ＝ ≠０ ， ｘ— ｘ＋ｘ ３ ２ ２ ｘ ２ 　 ２故＝誓＝＋从 ｇ 　争 ＋ 毋１ 　３ 而＝ ＝（３ 　 　 去勘 　 　 ，２一．用 矩 阵表 示 为 ： ＝ ｙ，其 中 ｃ 　 　 Ｃ ＝１， 　，池 其中 　一 　 ， 已经是平方 项 ，故 厂 ， ３ 　 １ 　 　 　 　 ，，３ 　 ）＝＋ １ １ ｈ （一 　 ，＋１ 　　ｇ２ ＝　 ＋ ） ２－ －－２（＋ 　 故ｆ ，Ｘ　３＝ ２３ Ｘ　争 ， 　 ２ ） 　 ２二二６ 即为所求。 疗令 ｛２ ２ ２ ３ Ｙ ＝ ｘ＋３：＋　手 ｙ争 一　 　 得 换 ｛｝， ） 变 为 ＝）手， 　 ２ ３ 一３ ， 　） 　 ３由上 可知 ，利用 偏导数将 二 次型化 为标准 型与配 方法相 同 ，但这种 方法不 需要通 过观察 配方 ，而一　 的 方法 。另 外 ，求解 过 程 也 比配 方　 是 一 种 程２ 一　 　 序化 ２ ０法 、正交 变换法 、初 等变换 法简单 ，所 以对 于初 学者 而言 ，这 是一 种很好 的方法 。～ 一 ０ 一　 １　 　 ２ ． ２ ．１ 　 ２５ 　 ２ 　 ３ 　 ２ 　 １。参考文献：３【】 以 中． 等代 数 简 明 教 程 ［ ． 京 ： 京 大 学 出版 社 ， １蓝 高 Ｍ】北 北２ｏ． ０ ３或 矩阵 示为： Ｃ ， 用 表 Ｘ Ｙ其中Ｃｌ ＝ ＝ｏ故　 １ ，３ 　 　）１ 　 ２【 北 京 大学 数 学 系主 编 ． ２ 】 高等代 数 （ 第二 版 ）Ｍ】 京 ： ［ ． 北 高等 教育 出版 社 ，９ ８ １８ ．０ 　 ０＋１）一２ ｒ即 为所 求 　 ｒ 丁１） ２ ２ ３ ２［ 黎伯 堂， ３ ］ 刘桂真． 高等代数解题技巧与法． 南： 东科学技　 济 山术 出版 社 ．０ ２　 ２０．Ａ Ｎｅ 　 ｔ ｏ 　ｆ ｒ ｎｆｒ ｎ 　 ｅＱ ａ ｒ ｔ 　ｏ ｍ　 ｔ　 ｅＳａ ｄ ｒ 　 ｏｍ　 　 ｗ Ｍｅｈ ｄｏ　 ａ ｓｏ ｍｉｇｔ 　 ｕ ｄ ａｉ Ｆ ｒ ｉ ｏｔ 　ｔｎ ａ ｄＦ ｒ Ｔ ｈ ｃ ｎ ｈＢ 　ｉ　 ＡＩＪｅ （ｄ ｃｔ ｎｌ ｎｔｕ 　ｆ ａｙａ　 ｎｖｒｔ， ａ ｕｎ００ ０ ，ｈ ａ Ｅ ｕ ａｏ ａ Ｉｓ ｔｅｏ　 ｉ ｎＵ ｉｅ ｉ Ｔ ｉ ａ　３０ １ ｉ ） ｉ 　 ｉｔ Ｔ ｕ ｓｙ ｙ Ｃ ｎＡｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ ｑ ａ ｒ ｔ 　 ｏ ｍ　 ｓ ｏ ｅ ｏ 　ｈ 　ｍｐ ｒ ｎ 　 ｏ ｔ ｎ ｓ ｏ 　 ｄ ａ ｃ ｄ ａｇ ｂ ａ ａ ｅ 　 ｎ ｄ ｓｒ ｕ ｏ 　 ｔ ｏ 　 ｎ 　ｈ 　 ｓｒ ｃ ： ｈ 　 ｕ ｄ ａｉ ｆｒ ｉ ｎ 　 ｆ ｔｅ ｉ ｏ ｔ ｔｃ ｎ ｅ ｔ　 ｆ ａｖ ｎ ｅ 　 ｌｅ ｒ．Ｂ ｓ ｄ ｏ 　 ｉｔ ｂ ｔ ｎ ｍｅ ｈ ｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｃ 　 ａ ｉ ｉｒ ｌｔ ｎ 　 ｅｗ ｅ 　ｈ 　 ｒ ｉ ａ　ｕ ｃｉｎ ａ ｄ ｉ 　 ａ ｔ 　 ｅ ｖ ｔ ｅ ａ ｎ ｗ　 ｔ ｏ 　 ｆｔａ ｓｏｍｉ ｇ ｔ ｅ ｑ ａ ｒ ｔ 　ｏ ｍ　ｎ ｏ ｔ ｅ ｓａ ｄ ｒ 　 ｅａ ｏ ｓ ｂ ｔ ｅ ｎ ｔ ｅ ｏ ｇ ｎ ｌｆ ｎ ｔ 　 ｎ 　ｔ ｐ ｒ ａ ｄ ｒ ａ ｖ ， 　 ｅ ｍｅｈ ｄ ｏ 　ｒｎ ｆ ｒ ｎ 　ｈ 　 ｕ ｄ ａ ｃ ｆｒ ｉ ｔ　ｈ 　 ｔｎ ａｄ ｉ ｉ ｏ ｓ ｉ ｌ ｉ ｉ ｉ ｆｒ ｉ　 ｒ ｓ ｎ ｅ ．ｎ 　 ０ 　 ｘ ｍｐ ｅ 　ｈ ｗ　 ｅｅ ｅ ｔ ｅ ｅ ｓｏ 　 ｅ ｍｅ ｏ ． ｏ ｍ　ｓｐ ｅ ｅ ｔｄ ａ ｄ ｓ ｍｅｅ ａ ｌ ｓｓ ｏ ｔ 　 ｆ ｃ ｖ ｎ ｓ　 ｆｔ 　 ｔ ｄ　 ｈ ｉ ｈ ｈＫｅ 　 ｏ ｄ ：ｑ ａ ｒ ｔ 　ｏ ｍ；ｓ ｎ ａ ｄ ｆ ｒ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ Ｉ ｔ， ｒ ｌ ｔ ｌ ｙ Ｗ ｒ ｓ ｕ ｄ ａ ｃｆ ｒ ｉ ｔ ｄ ｒ 　 ｍ； ｏ ｌ ａ 　 ａＬｆ ｎ ａ ｏｌ ａ ｏ ｎ ｘ ｃｏ ． ｉ一１２ 　 １一
范文八：第21卷第5期新乡师范高等专科学校学报Vol.21,No.5SEP,20072007年9月
JOURNALOFXINXIANGTEACHERSCOLLEGE化二次型为标准型中正交变换的一种新求法程李晴,朱永娥12X(1.新乡医学院计算机教研室,河南新乡.新乡学院数学系,河南新乡453003)摘 要:根据用正交变换化二次型为标准型中正交矩阵的列向量组的特点,提出了一种利用矩阵的乘法和矩阵的初等变换求正交变换的新方法。关键词:二次型;标准型;正交变换;正交矩阵;初等变换中图分类号:O151.2
文献标志码:A
文章编号:07)05O0018O020 引言在许多理论和实际研究中常常会遇到二次型问题,二次型通常都是先化为标准型再进行求解的。常见的化二次型为标准型的方法有拉格朗日配方法、合同变换法和正交变换法等。正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐。在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于特征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型。这种方法综合性比较强,计算比较复杂。本文是在向大晶[2][1]全部不同的特征值,重数分别为n1,n2,,,ns,(n1+n2+,+ns=n),则(A-K(A-K1E),i-1E)(A-Ki-1E),(A-KsE)的列向量组的最大无关组是齐次线性方程组(A-KiE)x=0的一个基础解系。证明:由于实对称矩阵可对角化,所以,存在n@n逆矩阵P,使得A=P-1+P,其中+=diag(K1E1,,,KsEs),Ei是ni阶单位矩阵,于是,(A-K(A-K1E),(A-Ki-1E)(A-Ki+1E),sE)=ssj=1jX1-17(P-1+P-KjPP)=P[-1-1j=1jX17(+-KjE)]P=Pj=1jX1-17sdiag((K1-Kj)E1,,,(Ks-Kj)Es)]P和靳廷昌[3]=Pdiag(0,,,0,[文章j=1jX17ss(Ki-Kj)]E1,0,,0)P的基础上,经过整合改进,得出了一种简单实用的求正交矩阵的新方法。此方法只用到了矩阵的乘法和矩阵的初等变换,它是在上述传统求解思路的基础上,对求解手段进行了创新,方法新颖,易于操作。1 对新求法的讨论定理1 若A为n阶实对称矩阵,K,K1,K2,,s为其全部不同的特征值,则(A-K1E)(A-K2E),(A-KsE)=0。定理2 设K1,K2,,,Ks为n阶实对称矩阵A的X[2]由于K1,K2,,Ks互不相等,P为可逆阵,所以,矩阵Pdiag(0,,,0,[-1j=1jX17(K,0)P的i-Kj)]E1,0,秩为ni,即矩阵(A-K(A-KiE),i-1E)(A-K(A-Ki+1E),sE)的秩为ni。由定理1知,(A-K1E),(A-Ki-1E)(A-K(A-Ki+1E),sE)(A-KiE)=0,所以,矩阵(A-K(A-K(A-K1E),i-1E)(A-Ki+1E),sE)的列向收稿日期:作者简介:程李晴(1971O),女,河南信阳人,新乡医学院计算机教研室讲师,主要从事基础数学方面的研究。第5期
程李晴,朱永娥:化二次型为标准型中正交变换的一种新求法量都是齐次线性方程组(A-KiE)=0的解,且方程组(A-KiE)x=0的解集的秩Ki与Ki的重数一致,也为ni,所以矩阵(A-K(A-K1E),i-1E)(A-Ki+1E),(A-KsE)的列向量组的最大无关组即为齐次线性方程组(A-KiE)x=0的一个基础解系。定理3 设K1,K2,,,Ks为n阶实对称矩阵A的全部不同的特征值,重数分别为n1,n2,,,ns,(n1+n2+,+ns=n),则(A-K1E),(A-Ki-1E)(A-K(A-Ki+1E),sE)的行最简形矩阵的所有非零行向量也是齐次线性方程组(A-KiE)x=0的一个基础解系。证:由于A为对称矩阵,所以(A-K1E),(A-Ki-1E)(A-Ki+1E),(A-KsE)也为对称矩阵,由定理2知,矩阵(A-K1E),(A-Ki-1E)(A-Ki+1E),(A-KsE)的行向量组的最大无关组是齐次线性方程组(A-K1E)x=0的一个基础解系。若A与B行等价,则A的行向量组与B的行向量组等价,它们的行向量组的最大无关组也等价,所以矩阵(A-K1E),(A-Ki-1E)(A-Ki+1E),(A-KsE)的行最简形矩阵的所有非零行向量也是齐次线性方程组(A-K1E)x=0的一个基础解系。当然,(A-K(A-K(A-1E),i-1E)(A-Ki+1E),KsE)的行最简形矩阵的这些非零行向量,即为对应于特征值K量。i的ni个线性无关的特征向定理4 设C=(A1,,,An)的列向量组线性无关,对矩阵CCTKE|=0,求出二次型矩阵A的全部特征根K1,K2,,,Ks,重数分别为n1,n2,,,ns,(n1+n2+,+ns=n)。2)计算每一个(A-K1E),(A-Ki-1E)(A-Ki+1E),(A-KsE)并将其化为行最简形矩阵,所得的ni个非零行向量即为对应于Ki的线性无关的特征向量(i=1,,,s)。3)若ni=1,则将得到的特征向量单位化即可;若ni>1,则把这ni个线性无关的特征向量作为列向量组构成矩阵C,计算出CC,对矩阵CCCTT施行E(ij(k))(ib10b2s*,,,00sbn,接着施上半部分化为下三角阵*s*行第二种初等列变换E(i()),得到的下半部分bi的ni个列向量即为对应于Ki的两两正交的单位特征向量。4)把总共得到的n个两两正交的特征向量作为列向量组构成正交阵P,即得正交变换x=Py,T把二次型f=xAx化为标准型f=yTdiag(K1E1,,,KsEs)y.2结束语本方法既避免了直接求矩阵方程的基础解系的麻烦,又避免了实施复杂的施密特正交化过程,只用到了矩阵的乘法和初等变换。利用矩阵的乘法和矩阵的初等行变换不但巧妙地间接地求出了矩阵方程(A-KiE)x=0的基础解系,而且使基础解系实现了最优化,减少了后面的计算量。利用矩阵的初等列变换,使线性无关的特征向量实现了正交化、单位化,从而得到正交变换中的正交矩阵。方法简单实用,不失一般性。参考文献:CT变换,求得可逆阵Q,使得CCQ为下三角阵b1*s*T施行E(ij(k))(i0b2s*,,,00sbn)),得可bi(其中bi>0,i,,,n),同时CQ=(B1,,,Bn)的列向量组为正交向量组。再对矩阵CCQCQ施行第二种初等列变换E(i([1]李玉洁.利用初等变换化二次型为标准形[J].芜湖职业技术学院学报,):35-37.[2]向大晶.矩阵可对角化的简单判定[J].数学通报,2000,3:27-29.[3]靳廷昌.求标准正交基的技巧[J].数学通报,-34.逆阵K,使得PCQK=(C,C1,,n)为正交矩阵,且对任何k(1[k[n),C1,,,Ck与A1,,,An等价。根据上述定理,得出一种化二次型为标准型中正交变换的新求法,步骤如下:1)解特征方程|A-[3]=责任编辑 邢怀民>
范文九：第３１
第卷５期２ ０１
月９佳 木斯大 学 学 报 （ 自
ｒ ｎ ａｌ　 ｏ
ｆ 　Ｊ ｉ ａ ｍｕ
ｉ ｙｔ Ｎ（
ｔａｕ ｒ ａ
ｌ 　 ｃ Ｓ ｅ ｉ ｃ ｎｅ　
ｄＥ ｉｔ ｉ ｏ
） ｎＶ０ １ ． １３
Ｎ　ｏ ．５Ｓ ｅ
３ １章编文号：
０１ ０８ —１４
０ １ ３）
０５０ ７ － ７５ ０— ２一类实
为 标 准化 型 方
法的证新 　①张 洪刚　 （ 吉 林师
大 范学博 达
院 数学 学系
３ ６１ ０
００）摘要： 雅 可比 法是化 二实 次 型为标准型
一的 特 殊 种 法 方，但
证 明较其为
复 杂．本 文利 用特
殊矩阵 同理论合给
了出 雅可 比 的法种一新的证 明．关 键词： 二 次 型；
准标型；实对称
矩阵中图分类 　号 ： ０１
１ ７ 文献标 　识码： Ａ二次
在二 次型曲线 、 二
领 何有　 域着 泛广的 应 用 ．研
一的个 要重问题
如是何 将　二次型 化 标 为 型． 准 现有 文的献中总
了结诸如 拉 　朗格日 配方法
正、交变换、法初等变换 法、 偏导法２ 　 主要
结 果理定 　（
可雅 法 ） 比 设为 Ａ１７
称 阵 ， 矩　
Ａ的顺 序且主 子
Ｉ式　 Ａ 　 ｌ
， ＝ｋ１，
ｎ ，全 不零 ， 　为．等文 ［献 １
］还介 中了雅绍可
过通对种方此 　法的学 习
，发现 此种
方对法 一类 实二次
型 化标为 准 　型（ 次二型阵顺矩序 子主 皆式不为零） 非 常 的 简　 便， 其但证 明的过程却 过 于 抽象
， 以理难解
， 本文　 将从特殊
阵合矩 的同角 度 给出 雅可比
的法证 新．　
准 的 问题 型本质
对 应其 　的对
称合 同于阵对 角阵
问题 ， 文 中皆采的 对称用矩
阵 　来表示二
型次．存则在特上三角殊阵 矩Ｃ， 使
得 　 Ａ Ｃ为Ｃ对型 ，角对　
线角上元素 ｄ
　不皆 为 零，且ｌ Ａ
ｌ　 ＝ 　２
， ， ｎ …证对 阶数 ／ ／ ，
数用 学 归法纳．当　 ／ ，７＝１
， 时题显命成然立，
设对 假ｎ１ 一矩阶　阵成立．１预
知 备 及 识引理义 定主角对线 上是 全的上 ｌ（下
）角矩　三阵
，为成特殊
上 下（ 三 ）角 矩　阵Ｊ ．引 理 设 Ａ　 为 ｎ级矩阵 ，Ｃ 为ｎ特 级上殊三角
　矩， 阵 而 ＝Ｂｃ
　 ＣＡ， 则
与 ＡＢ对的应顺序主子都　式有相
　证 　 设Ａ Ｉ
的ｋ顺 级序 子式主（ ｋ
２ ，… ， ， ）１，
则将 可Ａ 与分Ｃ块写成Ａ当为 ｎ
＝ ［　 ０ ／　
　’ ａ 　
ｎ ｎ】中其 ／０　 ＝（ ａ
， … ，ａ　一
．且ｌ 　Ａ 　 一
　 １ｌ 是的 ／ ７Ａ ， 　一１阶顺序 主子 式从 而 由，设 Ａ假 　一 　是 逆可 ． 的令一有则 Ｐ　 显 然
是殊特上三 角 形 ， 且有Ａ＝且有Ｌ＝ 【　木ｌ， ｃ 　ＪＰ Ｉ Ａ＇Ｐ １ ＝ 　
Ｉ ，１ －　
】其中　 ｄ＝ａ　 一 　Ａ 　ｌ 　 Ａ 　 　顺 的序 主式子即为
Ａ前 ｎ的１ 一个顺序主Ｂ： Ｃ
＇ ＡＣ： 　 Ａ
水１ｌ　Ｃ
Ｉ Ｃ 　 Ｉ　＝１由于 　Ｃ为 ｎ级特 殊上三
从而有 　故有ｌ Ｂ　Ｉ＾＝Ｉ　 Ｃ　Ａ　 Ｃ　ｌ Ｉ 　Ｃ＝ ｌ　
ｌＡ 　　ｌ 　
　Ｃ　Ｊ＝ＩＩ　 　ＡＩ子，式从而全 为零不 按归纳假设，，有特殊
匕 角形三１ ｄ阵Ｐ 矩 ，２ 使 　 ２ 　Ｐ Ａ
１Ｐ ２ｄ＝ 　 　ｌ一即 Ａ与Ｂ 的应对顺 序主 式子都 有 相 同 的值
．①收稿日期 ： ２
０ １—３０ ８ — ２８基金 项目： 林吉教育省厅“ 二十五” 科学技研术项究目
吉（科合字 教 ［２ｏ
１ ］ 第２ ６３ ９号 ）．者简作介 张洪刚（ １：９ ８
，男， 吉 公林主人， 岭林吉师范学博大达学讲师， 硕院研究士学生历 ，研方究：向 代学数 　．７ ７６佳
（自 报然 科学
） 版２０ １
３令血Ｐ ： 尸。 『 Ｐ０计算 知 ：的则显然 Ｐ特是殊上
三角矩阵 ， 且Ｐ　 Ａ
＝Ｐ［ Ｐ ２ 　。 Ｐ １ ＇ Ａ Ｐ
Ｌ 　 　】Ｊ 　 ０ 　
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１：＝ｔ］ｌ＝
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＞０ ）３ 　 　举 　一例 　 ２ 一２ 　 　～ｔＡｌｌ弓…＝…，Ｘ ｎ ）∑＝ ＋　∑ ｘ ｉ ｘ
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ｋ 阶一顺 主子式序，
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ｆ　 ｃ ｈ
ｎ ａｎ￣ ｇ　 ｒ ｅ ａ ｌ 　
ｑｕ ａ ｄ
ｔｃ 　 ｆ ｏ
ｏ ｔ ｓ ｔ　ａ
ｒ ｄ　 ｏｆ
ｂ ｕｔ 　 ｉ ｔｓ　ｐ
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范文十：第 32 第 2 卷期2 04 年 06月武　 　汉工 　业　 学　
　院学 报　Jo unrla 　fo 　uWan h　 olytePhnic 　cUivenrsityVol 2.N3.o 2J nu .2040文章编号
50 30化两类二型为次准型的标易方简法涂诗甲( 汉武业学工 院理数系,
北湖 武汉 340203)摘要 :给 了出接可直线逆变性 换 ,出求两二次型的标类型准简易的方法。
键词 关: 二型次;
可线逆变性换
标;准 型中图分号 : 类T 31P1 1 .　　　　　 文献标　码识 : A积 项一含同变相量。 引
:理 对于二 型 f 次a =1 x 1x 2 +a
+n n…　 引0言次二 型f(
j=1ij ∑ a a i∑ xi xjj ([1]+n a2 - n x2 x n-- 1+an -1
xn -1 xn ,
(a 若)n 为 数 ,奇可 过可逆线通变换 性:ai x i x i+ 1++ ia+
1x i+ 2 yi
2= aixi -xi +1 +ai +1 xi + 2 yi +
= 2 1 y n=xn(1) a=ji )经可 逆线变性换化标为准型, 可以 用正交采 变换法 、配法 方、同变合法 、雅换比可法等 方法[2]。其对于不含中方平的项二次型, 文 献道报的法是 先方作逆变可 换:i=(1 , 3
y iy- j　 　 (　 k ≠i
= 1 , 2 , …,n) x
k= ky 二次化型
为含平方f的二次型 项 ;用配再方法将
f化标准为 型。该 方法很繁琐
,使即用其它方采法 ,
算计也量很大 3[](2) 化为 准型标:f 2 yn -1=2y1y-2+y2 23y- 2 4+…
+y2n -2;( -b)若 n为 数 偶,可通过 逆可线变性换ia ix+ x +1i +a i+ 1xi +
2ix ai x-i
1 ++ai +1 x i + y2i
a -n1 x n1 +x-n
na -1 xn -1
- x ynn= 2 (
)3 为化准标型: f
=2 yy 2y2 y 2y 22 1y2 +43+ …+n n。1证
a( )n为奇 数 ,时 次二型(1
含偶)个项 数, 作 变换 ()2,
i x+ x i+1 a +i +1x i
1+22。 但于某些对 殊特二的次型有,有没较捷简的方法其化将标为准呢 型? 面下就 两类二型进行分次析 , 出求其标导型准的易简法 方。( = 1 , 3 ,i5
n3)1二型 次Ⅰ( fx
x n ,)= a 1x i1
+…3 +an -2 x
x2i n 1- a + n- 1 xin 1 x-in
其 中 i1 i2 …
n 的 任一,全 排 列
,i a≠0 (i=
,2, 1,… n )1该类二 型次的点特 : 是不含方项 ,平 各 邻相乘　稿日期收
:023 01-2 2- 作者6简介
涂:甲诗( 9651) ,
男, 北湖省阳新人县
副教授,。106 　-汉 武工　 　业　 学　院 　
学　报024 0年aix i -x i
1 ++ ia 1 x+
xi xi 1 +ai++ 1x i +1
xi +22因ai
0≠ 可为逆线性变 换。 定 1 理　于二次对型f
) =na 1x x
i x2 +a 2 x xi 2x 3i+ … a+
n ,i 其中 i i1 2i 3 …
n-1 , n的 一全任列排,
用可可 逆性变线换化为准标 。 型　证该 二次只需依型n
奇数为偶数而或在可逆变 换(2 ) 或( 3 )中将x k
(1 k ≤n≤
) ,余 其变不,
则二次该化型为理引所的标述型准 。 例
1　用逆线可性变换将以二下型次化标为准型
: f= x 1 4 x + 2 4 x 3x+ 3 x 3 x2( i1 =,
, 53 , ,… n -2)222
1-y2 = a1 x 1 x 2
+ a2 x 2x 3
- ny -1= a
-2 x n -2 xn n-
1+ na - x n1-1 x
所以n, 将变 换 2)(代 二入次型(1)
可,将次二型f
为标准型 f化=y 1 -y 2
且1用线所变性换a12 1 y2y
- 2 ny n 1 yn -00 0 0
1 -2 0 na1-2
0 …0 an-2 2 1
2x - n2 x -n1
xna1 2 … 1
0 … … 0 ……
0… 0 …0 …
1 x2 x?222222解该　次二为型定理1
所二次指的型特 例 且,
n为偶 数,所以作 换变
: x 1x 4 +2+x 3 y1
2 3 =x +3 x 23y
x - x23 y =4 2即 逆线可变换 x性 1 1 0=
0 1 0 1 10
23 2 3 y1 y 2y y4因 3i a0≠, 所 以为逆可换 变 ( b) ;n为 偶数 ,时二 型次(
)1含奇数 项 个,作 变换(
3) , 由(则 a) 的论 , 二次型讨 f前 面偶数个的 项 :　a 1 x
-y 4 +…y+ n 3 - n2-而y2 n -1-2yn 2=an -1
+1 n 2x2-2 xx3x411 3 01 130a n 1- x n- 1-x n
2以所通变换(过3
,)f 化 为准标型222
-1 2y y + 3y-4
+…+y n -1n因。为　y
22xx3 ,4 y 22y3 x3 x 2
3= 所4 f 以为标准化型 :f =
y2 2y y 22 y1+234 。所用且线变性换:1 2ay1
…?y n - 3
0 00an-1 2
0=0 0 0 …
… 0a-n 3 an-23
n-a 2 2…… … …
… ? x… -n 3x
n - 2 n- x1 x an1 21
22a 2 2a2 0 … … 0
0 x0 x21二次型2Ⅱ(f x1
2i+ a 2x i3 x i4 +… a+ xni 2
… , n2 1n ,
n2的 任全排列 一该次二的型特是 点: 含不平项 方 ,各乘且项积 变量彼此不的 同 。引理 1 　对于二 型 f 次=a 1
2 x+a2 x 3
4 +x …a +n
2n 　其中 a
通可过可 逆(4
)中其a i ≠ ( 10≤i
1 2 i i … n 2- i 1 2 为n1
0000000000000…002期涂甲诗: 化 类二两次为标型型的准简方易法017性变换 :线x1= 1 1
=n(4 ′)2 x= 1 1 yy21 1aa1化为准标型f =± (
2y 2y± …± (y2 y2 ±…±
(y y22 1)2i i
2n 1 -n) 2中第其 i(
≤1i≤n ) 项 前面符号的 , 照依a i 正值 为或值负而别分取 “ ”+“ 或号” 。由引理
1 引和 理2,
定理易证该。
例 　2用可逆性变线化换次型 f 二x= 1 x4 -
+x3x48 为标型准解
　这于定理 属 2特的殊情 。形作线 性换变
1y =1+y 2 ,
=y4 1 y - 21 1x 6 =y 3
1y 63 31 1x
22 0 0 0 1 03 0
2 0 0 0 101
0y40 y 5 6yy7 0
-1 2 y y18 2y y 030 1 2 0 0
12 01 3……0………x 2…n -1 = 1
y2 an nna……
n2-1 y 2 nan a n(5)化标准型为2f
= y y22y2 y 2y2 12+
3 +…+4 y 2 -n 12n证 　将(5) 代入( 4 ′
) 因, 为a1x
y2 1 , …,2 anx
2 2 y n1 2-
化为标准可型f
y 1 -= 2 y+y3 -y
2 n此时用所性变线1换 1 xa1x
? 2 x2n-1 x n20 0
a1 1 11 a 0 …0
0 0 … ……
00… 0 0 0
an 1an y 2 ?
2n -1yy n2
2 2 22x2 =11y 3+
11x 3 = y 7+
8 y 22即 :11 xx2x3 1 x 4 5 x6 xx 78x= 0 0
0 100 - 10 0
0 0 1 22 00
0 0可为逆性变线换
。理引 2 若二次 　( 4′ )型 某些有系 为数值 负,仍 可通过适当的可 线逆性变 换,化二 型次标为型 。准 　证设存 某个在 i 1 (≤i≤ )n 使 ai
00000余其变同( 换5) , 二则次的型标准为型2
f=y 2 y2 y2 y2
y2( 2 1… ++
i 23 - i 2- 2 i -12-y 2 i)0然 , 此变换为可显逆线变性 , 换该变使二次型换f
化标为准型
22 y2 yy2 2y y
6 +7 y 8 -参文献 考:[ 1 ]
　同大济数学教学室 研工程.学数 线性.数 代 第(三) 版 M ][. 北 京 :等高教出版社育19 9. 9[2
]　 秉衡蔡 .高等代数 专题 究研选编 ( 一第版 )
陕科学西版出社
,9921 [ .]3　
eBlnlnaR I.nrodtucitnot
oma tr ixanal
siy[s M ]. eNw Yrok
MeGre:-wilHl ,1 907.y 2 +y2y2 y 2
,… ,an 中若干个数为负有 值, 则每一 应项依对以照方法上处理即 可 类。地该似方法推可到更一广般的情 ,形 有而 : 定理2 　 有设次型 f 二 x ( 1 ,, …x
n)= a x1i1 x
i +4 …+an
其中 , ai 0(≠
≤1i ≤n ) ,i
i 2 i 2…n -1
2 ni为 1 ,
n任一全的 列排,
可则通可逆过性变换 线:i =1x1y
+ 1a 1………………12y 1,a…x =i21y 1a
…1……………1y2
a1xi2n -1=1y 2 n
an+1y 2 n n,axi2n1=
2 y -1 ann1y 2
ann10武8 　汉　
工业 　学　 院　　 学 报20　40 年SIMAPE METLHDOOF
RANTSFROMIN GWT OIKND OFS QAURTDI FOCRM NIT OSTADANR DORMTF SUhi-j ia(epDarmtneto f
Mt ahema tics Phsyci ,s uhWn aoPltycehin Ucinevsrti y, Whun 43a020 , 3hCina)A bst artc : Int his
imslep mehotd of evaualtig st anndar fo dmrf
orq uadatrcif omru ingsi medmaitel iynvreitbl eilnea t ransrrmationo isg vien
。eKy owrd :in vrtebleil nis tnadardf o rm(上接 第101 页)APPICALITNO FO EMSPARAIMETRC IUSRVEY DAUJTSEMN TMDOEL INS FTIITG OFN PSGE EVLAIOTPAN N iongX(Depratme tn ofm ahemtaicsta dn phsicsy,
WuhanP lyoechnictUni ersvti y, Whun a43002 ,3 Cinha A)sb ratct:
hist aper p, bsad en opnelazid eelas squatesr,
ht penelizead we gihtde us mf osuqares iss e utp . yBco bimingns empaiametrr c siurvye daujtsenm todMlesw i tht h
eleat squsares olclcatioont o d ela wt i hPGS leeavion t ,teh alculctai o metnho
od f posat iielyv deifinetre glaurty i ma tix rsi educdd eadnt eh orrcespodinng ersuts alre otabiendA.cocdrig ntothe f ondauiotanlp roprteesi ofth e anrdmo errrso , hwo o ctoiche
raaeos nbale somo tihng apramtee radnregu lariez mratix isr tsduideT. eh daatation opft hi tsecnhiqeuis m reof
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mosthiog narampeert上接第(104
)页ASMYPOTTC IRPOERPITSE FOT OW SETSP ESTIMTIAN OFR OESIMAPARETRMCIR ERGSESIO MNODLSEJN LiI- onhg(eDpratm net ofM
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σ and g, rae erdivd by ueinsgt he
enaesr ntighboe rwigeh f unttcoina n thd leaetss qarue mehto d,obaiten dheti rasmptytoci ra eot abned indures meo suita lebc noidtino.s eKyords:ws eipamarmterictw
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