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拉格朗日方程的应用程序.doc 36页
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拉格朗日方程的应用例1．解：该系统属于理想约束完整体系，自由度为2，选取广义坐标，系统的动能：系统的势能：应用约束方程约去z代入得到：代入得到：例2．（a）拉格朗日函数对于：得到：对于：得到：（b）（c）例3．在极坐标中：对于光滑杆我们可以设线密度为，质量为：绕ox轴转动的转动惯量杆的转动动能：杆的质心高度：（1）质点的动能：质点的势能：（2）杆的动能：杆的势能：系统的拉格朗日函数带入拉格朗日方程得到：二阶线形非齐次微分方程通解为：应用初始条件可以得到：应用牛顿运动方程：例4．解：（1）自由度：平面运动的质点的自由度为2，现在受到绳子的约束所以自由度为1（2）质点受重力（主动力）和绳子的拉力（约束力）均为保守力，（3）系统是理想约束，完整体系（4）取为广义坐标拉格朗日量为：带入拉格朗日方程即：若不考虑质点势能：代入拉格朗日方程：暂时不考虑点，例5．解：此系统具有一个自由度，以物块平衡位置为原点，取x为广义坐标如图，以平衡位置为重力零势能点，取弹簧原长处为弹性力零势能点，系统在任意位置x处的势能为：其中为平衡位置处弹簧的伸长量。由运动学关系式当物块速度为时，轮B角速度为，轮A质心速度为，角速度亦为此系统的动能为：系统的拉格朗日函数为：代入拉格朗日方程注意到时：例6．解：该系统有两个自由度，选取和为广义坐标把以上结果代入拉格朗日方程中如果质点摆动很小,可以近似地认为且可以忽略含和的高阶小量上式可以写成：消去有：这是自由振动方程：如果，则质点的位移将很小质点的摆动周期将趋于普通单摆的周期：将式代入中将代入上式：可见质点沿x方向也作自由振动。拉各朗日方程对平衡问题上的应用例7.所以：例8．由得到：；；；；带入上式：带电粒子在电磁场中的运动若体系所受到的力不是保守力则拉格朗日方程为：其中中既包含保守力又包含非保守力，令其中为保守力部分，为非保守力部分。可以将保守力部分用下式表示：取拉格朗日函数拉格朗日方程为：若非保守力可以写成：其中为待定函数令则拉格朗日方程为：例：带电粒子在电磁场中的运动设电场：；磁场：；对于带电粒子：电荷：；速度：Lorentz力：Maxwell方程：Lorentz力是非保守力：因此带电粒子在电磁场中的运动应该通过将洛伦兹力构建，进而写出新的拉格朗日函数。步骤（1）引入矢势，，因为：带入得由恒等式：，我们可以对上式定义一个标量函数：：电磁场的矢势：电磁场的标势因为：；；；将和带入洛伦兹力公式：为了更清楚地看到广义势能的表达式，我们取直角坐标系：对于x分量：则洛伦兹力在x方向的分量：矢势，其中，是粒子在t时刻的空间位置，所以：带入上式可得：由于和不是的函数：比较拉格朗日函数可以写成：例：26质点被约束在一个光滑的平面上运动，质点上系着一根长度为的轻绳，绳子穿过平面上的小孔，另一端系着质量为的指点，讨论质点的运动情况质量为的滑块，被约束在水平的光滑平面上，沿Ox轴滑动，滑块下带有一个质量为的平面单摆，摆长为l，求运动方程：解：的自由度为1，的自由度为1，总自由度为2体统是理想约束完整体系，选取广义坐标：，：滑块通过一个劲度系数为k的弹簧连接。滑块做简谐振动。自由度为1。取一个光滑杆，在铅直平面Oyz内以角速度绕ox轴转动，一个质点约束在杆上运动，时，，求质点运动规律和约束反力解：体系的自由度为1约束方程为：取广义坐标为：在一光滑的平面上竖直固定一半径为的圆柱体，设长为轻绳一端固定在柱底面的点，另一端系着质量为的小球，小球在平面上以垂直于绳子的方向的初速度为运动。写出体系的拉格朗日函数小球碰倒主体时的位置和消耗的时间如图所示的系统中轮A沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上，质量为的物块C以细绳跨过定滑轮B联于点A。A，B两轮皆为均质圆盘半径为R质量为弹簧刚度为k质量不计当弹簧较软在细绳能始终保持张紧的条件下求此系统的运动微分方程如图所示的运动系统中，重物的质量为，可沿光滑水平面移动；摆锤的质量为，两个物体用无重杆连接，杆长为l。试建立此系统的运动微分方程。选质点在最低处时的位置为系统的零势能位置质量为、固有长度为，劲度系数为的弹性圈，放在顶角为的光滑铅直圆锥体上，求平衡时弹性圈的位置？解：自由度为1，广义坐标：取弹性圈距离锥体定点的距离，体系的势能：（重力势能）；（弹性势能）平衡条件：如图,重量忽略不计的五根杆，当点受一个铅直向下的力时，杆和所受的力？解：约束力看成主动力，约束解除，自由度增加1去掉和的约束，用主动力代替，该系统自由度为1。取广义坐标
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力学竞赛之拉格朗日方程.ppt 53页
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解：研究整个系统。此系统具有两个自由度取转角为广义坐标令则点C下降动力学普遍方程（a）令则代入动力学普遍方程或（b）运动学关系（c）联立式（a）（b）（c）解出§1－4第二类拉格朗日方程设由n质点组成的系统受s个完整约束作用，系统具有N=3n-s个自由度。设为系统的一组广义坐标对于完整约束系统，其广义坐标是相互独立的。故是任意的，为使上式恒成立，必须有广义惯性力上式不便于直接应用，为此可作如下变换：（1）证明：注意和只是广义坐标和时间的函数（2）证明：对时间求微分而若函数的一阶和二阶偏导数连续得到——第二类拉格朗日方程拉格朗日方程方程式的数目等于质点系的自由度数。如果作用在质点系上的主动力都是有势力（保守力）于是拉格朗日方程可以写成引入拉格朗日函数（又称为动势）则拉格朗日方程又可以写成例1－6已知：轮A沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上。A，B两轮皆为均质圆盘，质量为的物块C以细绳跨过定滑轮B联于点A，半径为R，质量为，弹簧刚度为k，质量不计。试求：当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，此系统的运动微分方程。解：此系统具有一个自由度，以物块平衡位置为原点。取x为广义坐标。以平衡位置为重力零势能点。取弹簧原长处为弹性力零势能点。系统在任意位置x处的势能为其中为平衡位置处弹簧的伸长量此系统的动能为系统的动势为代入拉格朗日方程得注意到则系统的运动微分方程为例1－7试求：此系统的运动微分方程。已知：运动系统中，，可沿光滑，两个物体重物的质量为摆锤的质量为水平面移动。用无重杆连接，杆长为l。解：选和为广义坐标（a）将式（a）两端对时间求导数（b）系统的动能则系统的势能为选质点在最低处时的位置为系统的零势能位置由此得把以上结果代入拉格朗日方程中如果质点摆动很小，可以近似地认为且可以忽略含和的高阶小量，上式可改写为（c）（d）从以上两式中消去，得到（e）这是自由振动的微分方程，其解为（f）固有角频率为摆动周期（g）如果则质点的位移将很小质点的摆动周期将趋于普通单摆的周期若将式（e）代入（d）得到（h）可见质点沿x方向也作自由振动。将式（f）代入，第一章分析力学基础18世纪提出了处理多个约束的刚体系统动力学问题。利用矢量力学分析出现以下问题：对于复杂约束系统约束力的性质和分布是未知的；表述形式复杂。如球坐标系下的运动方程。质点系问题为大量方程的微分方程组。1788年拉格朗日发表了《分析力学》一书，提出了解决动力学问题的新观点和新方法：采用功和能量来描述物体的运动和相互作用力之间的关系。与矢量力学相比，分析力学的特点：（3）追求一般理论和一般模型，对于具体问题，只要代入和展开的工作，处理问题规范化。（1）把约束看成对系统位置（速度）的限定，而不是看成一种力。（2）使用广义坐标、功、能等标量研究系统运动，大量使用数学分析方法，得到标量方程。（4）不仅研究获得运动微分方程的方法，也研究其求解的一般方法。在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目，称为质点系的自由度数，简称自由度。§1－1自由度和广义坐标例：确定一个质点在空间的位置需3个独立的参量自由质点为3个自由度。例：质点M被限定只能在球面的上半部分运动由此解出这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定它的自由度数为2。n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束作用自由度数为N=3n-s描述质点系在空间中的位置的独立参数称为广义坐标。对于完整约束广义坐标的数目＝系统的自由度数思考：非完整约束，广义坐标数目和系统的自由度数目的关系？拉格朗日广义坐标约束方程为系统N个独立的坐标参量表示为系统的n个坐标参量设由n个质点组成的系统受s个完整双侧约束其中为广义坐标的变分称为广义虚位移。例：一单摆在空间摆动，摆长为l。约束方程为自由度数为2。x，y为独立变量（单摆在xy面上的投影与x轴夹角）为独立变量。思考：导弹在追踪飞机的情况下，广义坐标的数目和自由度数目的关系如何？描述导弹的位置：质心的位置导弹的纵轴和x轴的夹角独立的广义坐标数目为3约束方程导弹的速度方向要对准飞机的质心－－非完整约束独立的虚位移数目＝自由度数目＝2设作用在第i个质点上的主动力的合力在三个坐标轴上的投影分别为虚功方程§1－2以广义坐标表示的质点系平衡条件1.以广义坐标表示的质点系平衡条件称为与广义坐标相对应的广义力。由于广义坐标的独立性可以为任一值如令质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。——用广义坐标表示的质点系的平衡条件求广义力的两种方法1.直接计算法（解析法）2.几何法令某一个不等于零而其他N-1个广义虚位移都等于零利用广义虚位移的任意性，例1－1已知：杆OA和AB以铰链相连，O端悬挂于圆柱铰链上，杆长OA=aAB=b，杆重和铰链的摩擦都忽略不计。今在点A和B分别作用向下的铅锤力和又在点B作用一
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关于弹簧的拉格朗日方程求助,急水平桌面上,一个质点m用 前后左右 位置固定的 四根弹簧拉住,四个弹簧各自的长度 L1 L2 L3 L4 已知,K1 K2 K3 K4也已知,求拉格朗日方程...然后如果四个弹簧的位置不固定而是按照预定的路线运动,这个拉格朗日方程怎么变化呢?可能不太好讲式子怎么弄,但是帮忙给点小提示什么的也就很感激了...尤其是第二问,
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