导读：6）求控制器D(z)，(2)求出数字控制器输出序列u(k)的递推形式，(1)采用Smith补偿控制，求取控制器的输出u?k?，(2)采用大林算法设计数字控制器D?z?，(1)采用Smith补偿控制广义对象的传递函数为，所谓振铃现象是指数字控制器的输出u(k)以接近二分之一的采样频率大幅度上下摆动，找出数字控制器D(z)中引起振铃现象的因子(即z=-1附近的极点)，但却改变了数字控制器的动态特性 6）求控制器D(z) D(z)?1?(z) G(z)1??(z)(1?z?1)(1?0.368z?1)z?1D(z)???1?10.368z(1?0.717z)(1?z?1)?(1?0.368z)0.368(1?0.717z?1)?1
4.10 被控对象的传递函数为
采样周期T=1s，采用零阶保持器，针对单位速度输入函数，按以下要求设计：
(1)最少拍无纹波系统的设计方法，设计?(z)和D?z?；
(2)求出数字控制器输出序列u(k)的递推形式。 解：广义对象的脉冲传递函数 ?1?e-Ts1?T2z-11?z?1??Ts1?Gc?z??Ζ?? 23??s?s2???Z?1?e?1s??21?z????????将T=1S代入，有 Gc?z??z-11?z?121?z?1???2? 最少拍无纹波设计步骤： N（分母多项式的幂次） M （分子多项式的幂次） d=N-M延时 零点） v在z平面的单位圆上或圆外极点的个数 j在z平面的单位圆上极点的个数 q(输入类型)
2）确定F1(z)和F2(z)的幂次m和n m?w?dn?v?j?max(j,q）
所以d=0 w=1 v=2，j=2； 1）根据广义对象的传递函数确定参数 已知N=2，M=2 w在所有零点的总数（不包括无穷远的q=2(单位阶跃输入) m?w?d?1n?v?j?max(j,q）?2
F1(z)?1?f11z?1?f12z?2???f1mz?m F2(z)?f21z?1?f22z?2???f2nz?n F1(z)?1?f11z?1 F2(z)?f21z?1?f22z?2 3）确定Фe(z) ?v?j??e(z)???(1?aiz?1)?(1?z?1)max(j,q)F1(z)?i?1??v?j??e(z)?1??(z)???(1?aiz?1)?(1?z?1)max(j,q)F1(z) ?12?1 ?(1?z)(1?fz)??11?i?1??1?(f11?2)z?1?(1?2f11)z?2?f11z?34）确定Ф(z) ?w??(z)?z??(1?biz?1)?F2(z) ?i?1??d?w??(z)?z??(1?biz?1)?F2(z)?i?1??(1?z?1)(f21z?1?f22z?2) ?d?f21z?1?(f21?f22)z?2?f22z?35）根据关系?e(z)?1??(z)使等式两边?同幂次的系数相等，解出F1和F2中的系数。 f11?2??f21?1?2f??（f22?f21） 11??f11??f22??f11?3/4解得：??f21?5/4 ??f22??3/4所以： ?e(z)?(1?z?1)2(1?3/4z?1) ?(z)?(1?z?1)(5/4z?1?3/4z?2) 6）求控制器D(z) D(z)?1?(z) G(z)1??(z)21?z?1D(z)?-1z1?z?1???2?(1?z?1)(5/4z?1?3/4z?2)? ?12?1(1?z)(1?3/4z)10?6z?1?4?3z?1
11.被控对象的传递函数为 Gc?s??1e?s s?1采样周期T=1s，要求： (1)采用Smith补偿控制，求取控制器的输出u?k?； (2)采用大林算法设计数字控制器D?z?，并求取u?k?的递推形式。
(1)采用Smith补偿控制 广义对象的传递函数为 1?e?Tse?s1?e?sHGC?s??H0?s?GC?s?????e?s?HGP?s??e?s ss?1s?s?1??1?e?sb1z?1??s??L D??z??Z?D??s???Z??1?e??1?z?1??ss?11?az??1??????其中a1?e?TT1?e?1,b1?1?e?1,L??t?1,T?1S U?z?0.6321z?1?z?2则D??z?? ??1E?z?1?0.3679z??U?z??0.3697z?1U?z??0.6321z?1?z?2E?z? u?k??0.6321e?k?1??0.6321e?k?2??0.3679u?k?1? ?? (2)采用大林算法设计数字控制器 取T=1S,??1,K=1,T1=1,L=?/T=1,设期望闭环传递函数的惯性时间常数T0=0.5S 则期望的闭环系统的脉冲传递函数为 ?1?e?Tse?LTs?z?21?e?2 GB?z??Z?????1?2T0s?1?1?ze?s??广义被控对象的脉冲传递函数为 ?1?e?sTK1?z-21?e?1?LTs??1-1?1 HGC?z??Z??e??1?zzZ????1?1?1?T1s?s1?s?1?ze?s?????则 GB?z?z?21?e?2z?21?e?2D?z?????2?1?2?2?2z1?e?1HGC?z??1?GB?z??HGC?z?1?ze?z1?e?1?2?2?21?ze?z1?e1?z?1e?1???????1?ze??1?e???1?e??1?ze??1?e?z??1?0.3679z??1?0.1353???1?0..1353z??1?0.1353?z??1?1?2?1?1?2?2?2?1?1?2??????????又1.3z?1?1?0..8647z?2D?z??U?z? E?z?则U?z??0.1353z?1U?z??0.8647z?2U?z??1.3680E?z??0.5033z?1E?z?
上式反变换到时域，则可得到 u?k??1.3680e?k??0.5033e?k?1??0.1353u?k?1??0.8647u?k?2?
12.何为振铃现象？如何消除振铃现象？ 所谓振铃现象是指数字控制器的输出u(k)以接近二分之一的采样频率大幅度上下摆动。它对系统的输出几乎是没有影响的，但会使执行机构因磨损而造成损坏。 消除振铃现象的方法： （1）参数选择法 对于一阶滞后对象，如果合理选择期望闭环传递函数的惯性时间常数T0和采样周期T，使RA≤0，就没有振铃现象。即使不能使RA≤0，也可以把RA减到最小，最大程度地抑制振铃。 （2）消除振铃因子法 找出数字控制器D(z)中引起振铃现象的因子(即z=-1附近的极点)，然后人为地令其中的z=1，就消除了这个极点。根据终值定理，这样做不影响输出的稳态值，但却改变了数字控制器的动态特性，从而将影响闭环系统的动态响应。
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数字控制器的直接设计方法
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第4章 数字控制器的直接设计方法 模拟化设计方法： 对连续系统在时间域或S域内讨论问题，设计出模拟调节器。 数学工具：微分方程、拉氏变换 最后把D（s）离散化为D（z），求出差分方程u(k)。 前面介绍的数字PID控制器是连续PID控制器的数字实现，如果控制对象的特征不是很清楚，使用数字PID控制可以取得比较满意的效果。 但这种方法以连续控制为基础，要求T必须足够小，一般只能实现较简单的控制。 随着辨识技术的发展，可以精确获得某些对象的特征。 若对象特征已知，则可以根据采样系统理论来设计控制器，采样周期可以比较大，控制质量也比较高。 该方法是以z变换、脉冲传递函数为基础的一种设计方法，又称解析法。 在数字随动系统中，往往要求系统输出值尽快地跟踪期望值的变化，最少拍控制就是适应这一要求的直接数字设计方法。下面讨论最少拍控制系统的解析设计方法，其基本出发点是根据设计要求确定系统的期望特征，然后通过计算求得控制器的传递函数。 该方法的关键是如何把设计指标转化成 z 域中对脉冲传递函数的要求。
所谓最少拍系统，是指系统对典型输入如单位阶跃、单位速度或单位加速度输入具有最快的响应，且系统的稳态误差为0。 最少拍系统也称为最少调整时间系统或最快响应系统。 在采样控制系统中，通常把一个采样周期称为一拍。 最少拍系统设计的具体要求：
（1）准确性。对典型的参考输入信号，在系统达到稳态后，采样时刻的输出值能准确跟踪输入信号，不存在静差。
（2）快速性。在各种使系统在有限拍内达到稳态的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的采样周期数应为最少。
（3）物理可实现性。数字控制器必须在物理上是可以实现的。
（4）稳定性。闭环系统必须是稳定的。 最少拍系统的闭环传递函数具有的形式
第四章 4.1 引言 4.2 最少拍有波纹系统设计 4.3最少拍无波纹系统设计 4.4 最少拍系统的改进 4.5达林算法 4.1 引言4.1.1 数字控制器的基本设计方法 含零阶保持器的广义被控对象的脉冲传递函数 思路： 已知G(z)和Φ(z)，求D(z)。 （1）求带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传递函数G(z)。 4.1.2 最少拍系统对数字控制器设计的要求
一、物理上的可实现性要求 所谓物理上的可实现性是指数字控制器当前的输出信号，只能与当前时刻的输入信号以及过去的输入信号和输出信号有关，而与将来的输入信号无关。 数字控制器一般具有下列形式： 数字控制器满足物理上可实现性的条件：
二、稳定性要求 在进行离散系统稳定性分析时，曾得到如下结论：离散系统的稳定性条件是系统脉冲传递函数的特征根必须全部在单位圆内，即
在进行数字控制器设计过程中，如果G(z)中存在单位圆外的零点或极点（即不稳定零、极点），简单地用D(z)的极点（或零点）来抵消G(z)的不稳定零点（或不稳定极点），那么在理论上可得到一个稳定的控制系统。 但是，这种稳定是建立在被控对象的不稳定零点（或不稳定极点）被控制器的极点（或零点）准确抵消的基础上的。在实际控制过程中，由于存在系统参数辨识的误差，以及参数随时间的变化，这类抵消是不可能准确实现的。 假定被控对象只含一个不稳定的极点，观察简单地用D(z)的零点来抵消G(z)的不稳定极点的后果。 G(z)不稳定零、极点的处理方法： G(z)不稳定零、极点的处理方法： 三、最少拍系统的稳定误差 三、最少拍系统的稳定误差 单位阶跃输入： 最少拍系统是针对典型输入进行设计的，主要的输 入函数及其Z变换形式如下：
4.2 最少拍有波纹系统的设计 最少拍系统设计中，Φ(z)满足上式只能保证稳态误差为零。而对采样点之间的输出响应不做任何要求。 因此采样点之间的输出可能是有波动的，这种波动通常成为“ 波纹”。 波纹不仅造成采样点之间存在偏差，而且消耗能力，增加机械磨损。 4.2 最少拍有波纹系统的设计 4.2.1 特殊情况下最少拍有波纹系统的设计 输入为单位阶跃函数时 误差产生的原因 G(z)不稳定零、极点的处理方法： 单位阶跃输入： 最少拍系统是针对典型输入进行设计的，主要的输 入函数及其Z变换形式如下：
稳态误差为零的条件： 4.2 最少拍有波纹系统的设计 4.2.1 特殊情况下最少拍有波纹系统的设计 从上述最少拍有波纹系统的设计可知，只要确定了输入函数的形式，就可以根据表4-1求得控制器，同时系统的闭环传递函数也被唯一地确定了。 因此，固有部分特征不同的系统，对于相同的典型输入，其输出响应都是相同的。 但是，这种设计方法存在一定的局限性. 但是，这种设计方法存在一定的局限性，对广义被控对象G(z)有一定的要求，即： 不含不稳定零点，不包含单位圆外的极点，允许含有单位圆上的极点，但其极点数目
（m由典型输入函数确定，对于单位阶跃输入、单
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第6章 数字控制器的直接设计方法6.1 6.2 6.3 6.4 6.5概述 最少拍无差系统的设计 最少拍无波纹系统的设计 W变换法设计 达林算法6.16.1.1 直接设计方法分类概述模拟化设计方法要求较小的采样周期，只能实现较简单的控制算法。由于控制 任务的需要，当采样周期较大或对控制质量要求较高时，模拟化设计方法不能满 足控制设计要求，就需要采用直接设计方法设计数字控制系统。 直接数字设计：从被控对象的特性出发，直接根据采样理论来设计数字控制器 的方法称之为直接数字设计。 直接数字控制器设计从设计方法上主要分为两类：一类是参数优化方法，另一 类是根据被控对象特性设计法。 参数优化法：根据系统设计要求，首先确定数字控制器结构D(Z)，然后通过 某一优化指标求出D(Z)中的参数。 根据被控对象特性设计法：按照某一期望的闭环响应或期望的误差响应等来设 计数字控制器的方法。此时，D(Z)的结构依赖于被控对象的结构。6.1如下图所示的离散控制系统中， 为广义对象的脉冲传递函数，其中 计的数字控制器，概述为被控制对象， 代表零阶段保持器， 代表被设6.1.2 直接设计法的基本原理和设计步骤：为系统的闭环脉冲传递函数，其表达式为：6.1概述，利用它来系统设计的目标，是要设计一个数字控制的脉冲传递函数控制被控制对象，达到期望的性能指标。由上一表达式可得：由此表达式可知，当已知 求得时，只要根据设计要求选择好，就可。因此，在已知对象特性的前提下，设计步骤为： 1）求得带零阶段保持器的被控对象的广义脉冲传递函数 。 。2）根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环传递函数3）依据上式确定数字控制器的传递函数 4）由确定控制算法并编制程序。 。6.2最少拍无差系统的设计最少拍无差系统，是指在典型的控制输入信号作用下能在最少几个采样 周期内达到稳态无静差的系统。其闭环z传递函数具有如下形式：对最少拍控制系统设计的具体要求如下： 1．准确性要求 对典型的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样点的输出值能准确 跟踪输入信号，不存在静差。 2．快速性要求 在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信 号所需的采样周期数应为最少。6.23．稳定性要求数字控制器最少拍无差系统的设计必须在物理上可以实现且闭环系统必须是稳定的。下面，具体讨论最少拍无差系统的设计及其特点。 6.2.1 典型输入下最少拍系统的设计方法系统的误差传递函数为 （1）根据准确性要求，系统无稳态误差，而 （2）6.2又根据终值定理，有最少拍无差系统的设计（3）对于时间t为幂函数的典型输入函数 （4） 其z变换的一般形式为 （5）其中为不包括因子的关于 Z-1的多项式，所以 （6）6.2最少拍无差系统的设计必须含有因子 ，即 （7）为使稳态误差为零，其中P≥q，q为对应于典型输入函数 是不包含零点z=1的z-1的多项式。中分母因子的阶次。根据快速性要求，即，使系统的稳态误差尽快为零，故必然有所以，对于典型的输入来说，有 （8） （9）6.21.单位阶跃输入最少拍无差系统的设计由式（8）、 （9）有 （10） （11）（12）即6.2最少拍无差系统的设计（13）说明系统只需一拍，输出就能跟随输入。此时用长除法可得输出序列如下图所示。将（10）、（11）代人上图有（14）6.22.单位速度输入最少拍无差系统的设计由式（8）、（9），有： （15） （16）（17）即6.2出为最少拍无差系统的设计说明系统只需要两拍，在采样点上偏差即为零，输出就跟随输入。此时，输（18）输出序列如右图（b）所示将式（15）、（16）代入式（a）有 （19）6.23.单位加速度输入 输入函数最少拍无差系统的设计，由式（8）、（9），有：（20） （21）（22）即6.2最少拍无差系统的设计（23）说明系统的过渡过程共需三拍，此时，输出为（24） 6.2.2 最少拍控制器的可实现性和稳定性要求 （一）物理上的可实现性要求 所谓物理上的可实现性是指控制器当前的输出信号，只能与当前时刻的输入信号、以前的输入信号和输出信号有关，而与将来的输出信号无关。这就要求数字控制器的z传递函数不能有z的正幕项。6.2最少拍无差系统的设计的一般表达式为(二)稳定性要求 在最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保证控制变 量收敛，方能使闭环系统在物理上真正稳定。 要使系统补偿成稳定的系统，就必须采取其他方法，即必须在确定闭环脉冲 传递函数 时增加附加条件。可知，要避免 必须使得：在单位圆外或圆上的零极点与的零极点抵消，则6.21)当作为其零点而保留。最少拍无差系统的设计有单位圆上或圆外的零点时，在 表达式中应把这些零点。2)当G（z）有单位圆上的极点时，在Φe（z）表达式中应把这些极点作为 零点而保留。 6.2.3 最少拍快速有波纹系统设计的一般方法设广义对象的脉冲传递函数为式中，为对象的S传递函数，当中不含有延迟环节时，m=1;当中有延滞环节时，一般m&l。6.2是 Z-m的部分。最少拍无差系统的设计中不包含单位圆外或圆上的零极点，以及不包含延滞环节 是广义对象在单位圆外和圆上的u个零点，是广义对象在单位圆外或单位圆上的v个极点。 1)设定 ，把 中所有单位圆上和圆外的极点作为自己的零点。即是关于Z-1的多项式，且不包含 2）设定 即 是关于z-1的多项式，且不包含 的零点bi 。中不稳定极点ai 。，把中所有单位圆上和圆外的零点作为自己的零点，中在单位圆上和圆外6.2最少拍无差系统的设计在单位圆上和圆外的零考虑上述条件后，数字控制器中显然不再包含 极点，在物理上具有可实现性。即综合考虑系统的准确性、快速性和稳定性要求，闭环脉冲传递函数 必须选择为 式中，m为广义对象的瞬变滞后； bi为 点，u为 在z平面单位圆外或圆上的零 在z平面单位圆外在z平面单位圆外或圆上的零点数；V为或圆上的极点数。 当典型输入分别为阶跃、单位速度、单位加速度输入时，q分别取值1，2，3。6.2必须包含最少拍无差系统的设计包含有 的因子； 由稳定性条件知， 在z平面单位圆外和圆上的极点，即由准确性条件式(8)知，包含有a 的因子，其中， i为 非重极点个数。 而在z平面单位圆外或圆上的非重极点； V为，所以，上一式中q+v个待定系数可由下列q+v个方程所确定，6.2应当指出，当最少拍无差系统的设计是显然，准确性条件决定了前q个方程，另外由于的极点，由稳定性条件得到了后v个方程。 中有z=1的极点时，稳定性条件与准确性条件取得一致， 因此， 的设计要作 即q个方程中第一个方程与v个方程中的一定的降阶处理。 6.2.4 最少拍控制系统的局限性 （1）系统的适应性差 最少拍控制器的 调和静差。 的设计是根据某类典型输入信号设计的，对其他类型的输入信号不一定是最少拍，甚至会产生很大的超6.2最少拍无差系统的设计（2）对参数变化的灵敏度大 当系统的结构和参数发生变化时，系统的性能指标将受到严重影响。 （3）控制作用易超出限定范围 因为当采样周期很小时，往往对系统的控制作用的要求超出限定范围，而控 制结构实际所能提供的作用是在一定范围内的， 所以，当时间很小时，实际的控制情况与理论设备性能和系统总体要求的限 制。因此，在最少拍设计时，必须合理选择采样周期的大小。 （4）在采样点之间有波纹 最少拍设计只在采样点上保证稳态误差为零。 基于以上这些原因，最少拍控制在工程上的应用受到一定的限制，必须加 以改进和完善。6.3最少拍无波纹系统的设计在上述最少拍系统设计中，实际上只能保证系统在采样点上的稳态误差为零，而在采样点之间的输出响应可能是波动的，这种波动通常称为“波纹”。波纹不仅造成采样点之间存在有偏差，而且消耗功率，浪费能量，增加机械磨 损。 最少拍无波纹设计的要求是，系统在典型的输入作用下，经过尽可能少的采 样周期以后达到稳态，且输出在采样点之间没有波纹。 6.3.1 波纹产生的原因及设计要求 系统输出在采样点之间存在着波纹，是由控制量输出序列的波动引起的。其 根源在于控制变量的z变换有非零的极点，6.3以外，还须使得最少拍无波纹系统的设计包含 所有的零点 (单位圆内和单位圆外的所有零点) 。最少拍无波纹系统的设计要求是，除了满足最少有波纹系统的一切设计要求6.3.2 设计无波纹系统的必要条件 针对特定输入函数来设计无波纹系统，其必要条件是被控对象 中必须含有无波纹系统所必需的积分环节数。 6.3.3 最少拍无波纹系统 的一般确定方法中含有无波纹系统最少拍无波纹系统设计的必要条件是：被控对象 必需使 的零点包括 所有的零点。所必需是积分环节数。它不仅要满足有波纹系统的性能要求及全部约束条件，而且6.4W变换法设计6.4.1 数字控制器的频率特性 设一阶校正器的传递函数D（W）的一般形式为1.相位超前校正器如下图6.42.相位滞后校正器 右图为相位滞后校正器W变换法设计6.4.2 W变换法的设计步骤 1）根据给定的被控对象传递函数，求出包含零阶保持器在内的广义对象的 脉冲传递函数。6.4W变换法设计2）选取采样周期T，进行W变换3）令W=jv，作的伯德图，用与连接系统相同的方法，根据相位裕度和幅值裕度的要求进行补偿校正，设计出D（w）。4）将D（W） 换成变z平面的脉冲传递函数 即5）将的再修正。变换成计算机数学算法，检验系统的性能指标，作必要6.5设连续系统中，被控对象达林算法具有一阶或二阶性环节，即纯滞后对象的控制算法――达林算法如下：或式中，为纯带后时间，T1、T2为时间常数，K为放大系数。为简单起见，设=NT，N为正整数，即为采样周期的整数倍。6.5达林算法6.5.1 达林算法的设计原则 达林算法的设计准则是，以达林算法为模型的数字控制器，使闭环系统的特性为具有时间滞后的一阶惯性环节，且滞后时间与被控对象的滞后时间相同。 此时，系统的闭环传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为因此，数字控制器的传递函数为6.5达林算法（1）1）当被控对象为带纯带后的一阶惯性环节时2）当被控对象为带纯带后的二阶惯性环节时（2）6.5其中达林算法将（2）代入式（1），得
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第五章数字控制器的直接设计方法
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第五章 数字控制器的直接设计方法
最少拍随动系统设计 5.3
最少拍无差系统的局限性 5.4
最少拍无文波系统设计 5.5
最少拍设计的改进 5.6
达林算法 复习思考题
5．2 最少拍随动系统的设计
5．3 最少拍无差系统的局限性
5．4 最少拍无纹波系统设计
5．5 最少拍设计的改进
5．6 达林算法
复习思考题
快速有纹波系统的输出在非采样时刻存在的纹波，是由控制量脉冲序列U（k） 的波动引起的，而u(k)波动的根源在于控制量的z变换U（z）中含有左半单位圆内的极点。根据Z平面上极点分布与瞬态响应的关系，在左半单位圆内的极点虽然是稳定的，单对应的时域响应是振荡收敛的。此外，从前面快速无纹波系统的设计过程可以看出，U（z ）的这种极点是由G （z）的相应零点引起的。弄清了纹波产生的根源之后，我们便可以着手讨论如何消除非采样时刻纹波的具体方法了。
1．设计无纹波系统的必要条件
如图5．7所示，为了在到达稳态时获得无纹波的平滑输出，被控对象G0（s）必须有能 力给出与系统输人r(t)相同的、平滑的输出c(t）。例如，针对等速输人函数进行设计，那么对于等速输出函数，稳态过程中G0（s）的输出也必须是等速函数。为了产生这样的等速输出， G0（s）的传递函数中必须至少有一个 积分环节，使得在常值（包括零）的控制信号作用下，其稳态输出也是所要求的等速变化量。同理，若针对等加速度输入函数设计无纹波系统，则G。（S）中必须至少含有两个积分环节。
在下面的讨论中，假定被控对象G。（S）中含有无纹波系统所必需的积分环节数。
2．最少拍无差无纹波系统中确定闭环脉冲传递函数Φ（Z）的附加条件
由于有纹波系统纹波存在的原因在于系统进人稳态后，控制信号还存在波动。因此要使系统在稳态过程中无纹波，就要求稳 态时的控制信号为零或常值。 采样控制信号Z* （z）的Z变换幂级数展开式为
如果系统经过z个采样周期到达稳态，无纹波要求u(l),u(l+O) ，…或为零，或相等。 由于
把上面两式相除，得到控制信号U（Z）对输人信号R（Z）的脉冲传递函数为
设广义对象G（Z）是关于z-1的有理分式
将上式代人式（5．13）。得
要使控制信号u*(t) 在稳态过程中或为零或为常值，那么它的Z变换U(z)对输人R（Z）的脉冲传递函数之比U(z)/R(z)只能是关于z-1的有限项多项式。因此，式(5．14）中闭环脉冲传递函数Φ（Z）中必须包含G（Z）的分子多项式P（z ）。即
式中 A（z）是关于z-1的多项式。
综上所述，确定最少拍无纹波系统 闭环脉冲传递函数Φ（z）的附加条件Φ(z)必须包含广义对象G(z) 的所有零点，即Φ（z）不仅包含G(z) 在之平面单位圆外或圆上的零点，而且还必须包含G（Z）在。平面单位圆内的零点。这样处理后，无纹波系统比有纹波系统的调整时间要增加若干拍 ,增加的拍数等于
G（z）在单位圆内的零点数。
3．最少拍无纹波系统中闭环脉冲传递函数Φ（z）的确定方法
确定最少拍无纹波系统的闭环脉冲传递函数时，必须满足下列要求：
(1) 无纹波的必要条件是被控对象GO（z）中含有无纹波系统所必需的积分环节数。
（2）满足有纹波系统的性能要求和D（z）的物理可实现性的约束条件全部适用。
（3）无纹波的附加条件是，Φ（z）的零点中包括G（z）在Z平面单位圆外、圆上和圆内的所有零点。 根据以上三条要求，无纹波系统的闭环脉冲传递函数中Φ（z）必须选择为
式中：m——广义对象G（z）的瞬变滞后；
q——典型输人函数R（Z）分母的（1－）因子的阶次；
bi —G（z）的所有W个零点；
v——G（z）在z平面单位回外或圆上的极点数，这些极点为a1 ，a2 ，…av。
待定系数φi 和fi 可由关系式Φ（Z）＝1- Φe（Z）各项的对应系数相等得到的方程组求得。
例 5－9 在例 5 4中，试针对等速输人函数设计快速无纹波系统，并绘出数字控制器和系统的输出序列波形图。
解：被控对象的传递函数
其中有一个积分环节，
说明它有能力平滑地产生等速输出响应，满足无纹波系统的必要条件。 由例5-4可知，零阶保持器和被控对象组成的广义对象的脉冲传递函数为
可以看出，G（Z）的零点为-0．718（单位圆内），极点为1单位圆上）和0．368（单位圆内），故ω＝1，v＝1，m＝l，q＝2。与有纹波系统相同，统计
v时，z＝1的极点不包括在内。
根据最少拍无纹波系统对闭环脉冲传递函数Φ（Z）的要求，得到闭环脉冲传递函数为
根据关系式Φ（Z）=1-Φe(
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