(1)探究:如图1.E.F分别在正方形ABCD的边BC.CD上.且∠EAF=45&.请猜测并写出线段DF.BE.EF之间的等量关系,(2)变式:如图2.E.F分别在四边形ABCD的边BC.CD上.∠B+∠D=180&.AB=AD.∠EAF=∠BAD.则线段BE.EF.FD的等量关系又如何?请加以证明,中.若∠BAD=120&.AB=AD=1.BC=CD.求此 题目和参考答案——精英家教网——
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（;莆田质检）（1）探究：如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45&，请猜测并写出线段DF、BE、EF之间的等量关系（不必证明）；（2）变式：如图2，E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，∠B+∠D=180&，AB=AD，∠EAF=∠BAD，则线段BE、EF、FD的等量关系又如何？请加以证明；（3）应用：在条件（2）中，若∠BAD=120&，AB=AD=1，BC=CD（如图3），求此时△CEF的周长．
【答案】分析：（1）结论虽然没有要求证明，从探求线段DF、BE、EF之间的等量关系可知，证明EF=BE+DF，需要将△ADF绕点A顺时针旋转90&，旋转后点F对应点M，构成△AME再寻找它与△AFE全等的条件；以此为启发，图（2），（3）用类似方法可解．解答：解：（1）EF=BE+DF．（2）EF=BE+DF．证明：延长CB至M，使BM=DF，∵∠ABC+∠D=180&，∠1+∠ABC=180&，∠1=∠D，又∵AB=AD，∴△ABM≌△ADF．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AME≌△AFE．∴EF=ME，即EF=BE+BM．∴EF=BE+DF．（3）连接AC，∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠B=∠D，∠DAC=∠BAC．∵∠B+∠D=180&，∴∠B=90&，∠BAC=∠BAD=60&．∴在Rt△ABC中，BC=ABtan60&=，由（2）得EF=BE+DF．∴△CEF的周长=CE+CF+EF=2BC=2．点评：本题综合考查用旋转法证明全等三角形、同时考查了正方形和四边形的有关知识．注意对三角形全等和解直角三角形的综合应用．
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科目：初中数学
来源：2009年浙江省台州市仙居中学中考数学模拟试卷（2）（解析版）
题型：填空题
（;莆田质检）如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是&&& ．
科目：初中数学
来源：2008年福建省莆田市初中学业质量检查数学试卷（解析版）
题型：解答题
（;莆田质检）如图，直角梯形ABCD中，点A为坐标原点，B（6，0），BC=5，cosB=．（1）求梯形ABCD的面积和周长；（2）若点E在线段AB上运动，过点E任作直线，问是否存在直线l将梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，请求出对应的直线l解析式；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：2008年福建省莆田市初中学业质量检查数学试卷（解析版）
题型：解答题
（;莆田质检）A、B两位同学在学习“概率”时，共做了60次的投掷骰子（质地均匀的正方体）的实验，实验的结果如下：（1）计算“5点朝上”的频率；（2）同学A说：“根据实验，出现5点朝上的概率最大”；同学B说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”两位同学的说法正确吗？请直接给出判断，不必说明理由．（3）A、B两位同学各投掷一枚骰子，用列表或树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的概率．
科目：初中数学
来源：2008年福建省莆田市初中学业质量检查数学试卷（解析版）
题型：解答题
（;莆田质检）如图，已知小明家在学校的南偏东30&方向，小红家在学校的西南方向600米处，正好位于小明家的正西方向，请帮小明算算他家与学校的距离．
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（2014o东城区一模）阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足______关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．
静子°1120
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（1）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；如图，∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．&&&&&&&&（2）如图，∵AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG&∵△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°．即∠ECG=90°．∴EC2+CG2=EG2．在△AEG与△AED中，∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED．&∴DE=EG．又∵CG=BD，∴BD2+EC2=DE2．∴．
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（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证得△AFE≌△AFG，由∠B+∠D=180°时，得出EF=BE+DF，（2）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2，代入求得DE即可．
本题考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
考点点评：
此题主要考查了正方形的性质，基本几何变换，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，注意理解解题的思路，把方法进一步推广得出结论．
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＞＞＞如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则..
如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则有结论EF＝BE＋FD成立；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&小题1:如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；小题2:若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
题型：解答题难度：中档来源：不详
小题1:结论EF= BE＋FD成立. 延长EB到G，使BG=DF，连接AG.∵∠ABG＝∠D＝90°, AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF且∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．即EF=BE+BG=BE＋FD．小题1:结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE－FD．在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．应当是EF=BE－FD．在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF即EF=BE－BG=BE－FD．小题1:结论仍然成立．延长CB到G，使BG=FD，根据已知条件容易证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF，进一步得到∠EAF=∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立；小题1:结论不成立，应为EF=BE-DF，如图在CB上截取BG=FD，由于∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，可以得到∠B=∠ADF，再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠EAF=∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，再根据全等三角形的性质就可以证明EF=EG=EB-BG=EB-DF．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则..”主要考查你对&&平行四边形的性质，平行四边形的判定，矩形，矩形的性质，矩形的判定，菱形，菱形的性质，菱形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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平行四边形的性质平行四边形的判定矩形，矩形的性质，矩形的判定菱形，菱形的性质，菱形的判定
平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作ABCD”。①平行四边形属于平面图形。②平行四边形属于四边形。③平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。④平行四边形属于中心对称图形。平行四边形的性质：主要性质（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。（15）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。平行四边形的判定：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。平行四边形的面积：S=底×高。矩形:是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。矩形的性质：1．矩形的4个内角都是直角；2．矩形的对角线相等且互相平分；3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形矩形的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。 黄金矩形:宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。菱形的定义:在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形的性质:①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形的四条边都相等；④菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其重心，即两对角线的交点）；⑤在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。菱形的判定:在同一平面内，（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。
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