级数能适用么其实就是不明白函数展开成函数的幂级数展开时有

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-06-02 23:48 标签： 函数的幂级数展开
不用泰勒定理把sinx展开成幂级数【高等数学吧】_百度贴吧
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不用泰勒定理把sinx展开成幂级数收藏
高三的时候无意居然中看到三角函数的幂级数展开形式，不过那时不了解级数，更不知道泰勒公式，也没有系统的微积分知识（我没有高等数学的书本，老师也不讲，靠自己仅有的导数知识一点点摸索）。但我一直很惊讶，三角函数居然能用跟多项式一样的东西表示出来。我决心要这种“神奇”用自己的方法搞懂。在这个过程中，无意理解（也算一种证明吧）了欧拉公式。
y=sinx(姑且认为我们不知道sinx为何物，仅仅用正弦线来理解)
由物理几何意义可知&&&&&&&&&&
y'=cosx(我们也不知道cosx为何物，也只是用余弦线来理解；从物理意义中我们就可以证明两条线段之间的存在此种关系)
y'^2+y^2=1(微分方程)
我们知道微分方程
y'^2-y^2=1
解得为
y=[e^x-e^(-x)]/2
可以类比
y'^2+y^2=1
的解应该为
y=[e^(ix)-e^(-ix)]/2i(没有循环论证，只是纯粹的用复函数求导规则)
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2i
【*】
至于cosx的指数函数表达形式、e^x的三角函数表达形式(欧拉公式)均可以通过这个求出，我就不叙述了
对于e^x的展开式也无需用泰勒展开
e^x=[n-&+∞]lim[(1+1/n)^n]^x
& &&&=[n-&+∞]lim[(1+1/n)^nx]
不妨认为nx为整数(稍欠严谨)，用二项式定理再求极限得(e的本身展开也可以通过把[(1+1/n)^n]二项展开再求极限得到，e=1^0/0!+1^1/1!+1^2/2!+……)
e^x=x^0/0!+x^1/1!+x^2/2!+…
将x用(ix)和(-ix)替换,并应用i^2=-1，解得
sinx=x^1/1!-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+…… 【*】
也就是说，我是先知道理解欧拉公式，再知道三角函数的展开形式的，有点“叛逆”。说实话，能够用自己的方法发现指数函数、三角函数的展开式，是我高中数学的骄傲之一。
这篇是我看了吧主安培关于欧拉公式的文章写的，感觉有必要分享一下！欢迎大家交流！
快试试吧，可以对自己使用挽尊卡咯~◆◆
姑且不论楼主对否，应为我知识不够。
作为高中生来说能有这样的修为，佩服。
是龙一定不会屈于小小的龙潭。
没什么意义，证明EULER公式本来就要TAYLOR级数，你这只是用TAYLOR级数证了一遍EULER公式，在以次展开了SIN函数
说到底就是得到EULER公式，最终要用TAYLOR定理
不知到四楼的同胞你看清看完整我的解答没有？写的形式确实有点乱，但如果你没认真看就妄下断言，这是对人的不尊重，别人更不尊重你的！
我再总结一下：
一：欧拉公式我是用复函数、微分方程求出来的，或者说验证的，没有用泰勒定理！
二：对于e^x的展开结果确实是幂级数形式，但我只是用高中所学的二项式定理加上极限的知识。没有用泰勒定理的！
三：我是先求得三角函数的指数函数形式（一），在通过指数函数的展开（二）求得的。没有用到泰勒定理！
自始至终，我没有用到过泰勒定理！！！
我觉得你有可能也看清看全了，只是一直觉得欧拉公式就那样被我“验证”了，不像是证明，接受不了。
那我告诉你，欧拉公式本身不需要证明（你可以不接受，绝大多数人度接受不了）；什么是证明？证明要低层到什么程度？
我们考虑欧拉公式的完全等价式【sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2i】（其实我也不知道写错了没，反正也没什么影响，我也懒得验证）就理解的更透彻了，或者说是更清晰。
等式的两边是两个函数（我们姑且认为完全不了解它的任何实际意义）
两个函数的初值（x=0时函数值）相同；两个函数的满足同一个微分方程【y'^2-y^2=1】
微观来说：第一个值定了，根据微分方程，后面的无限近距离的第二个点也确定了，一次递推，所有的点都确定了；宏观来说：单独的这个微分方程的解虽然不唯一，但加上初值条件它就唯一(存在加上初始条件解还不唯一的情况)。
它们其实就是一个函数！
（整个过程很有我自己所谓的“决定论”的味道）
这还不够明白吗。如果你说太不严谨了，太感觉化了！对不起，我就是天马行空！我一直坚持：没有“感觉”的数学家不是一个真正的数学家（当然，我不是数学家；我学的是软件，数学专业的学生读不是），而且好像我这个也不是一般意义上的那种能钻空子有遗漏点的不严谨。
你能接受泰勒公式展开后的验证，什么不能接受微分方程加复变函数的验证呢？
看了你在《关于无理数e,各位大大帮帮忙哈&》的回复，我真后悔在这里还跟你辩驳！
7L你可能不知道我以前的经历...现在你犯了我以前犯过的错误...&
小普是我的老熟人,以前搞过物理竞赛的,后来就神隐了...他早就...不说精通高等数学,至少也是很熟练了...
首先抱歉，自己确实有点失态！
至于错误，还请安培明示。但我还是要强调：这也是一种方法，请大家不要拘泥于书本或者约定俗成。
抱歉楼主，是我自己看得不仔细，你证EULER公式的确没用TAYLOR定理。
但是e^x的展开不能那那么做，可以先设nN(自然数)用二项式求出e(n,N)=(1+1/n)^nN=...再令n-&无穷，最后拓展N到实数（定义某种方法使得x左右都有一个极限向其逼近，这样迫敛后即可）。具体这种方法我没有操作过，不过思路上应该可行。
不过问一下，你7楼的话是啥意思？难道最早定义e不是那样操作的吗？
还有安培，你说的他的错误在哪里，也许有地方不对，我没看出来。
有什么错误还请楼主和安培指正。
至于我说的拓展的方法我也是很久以前在一本数学书上看到过的，如何才能严格操作我也不能确定。
我好久不上网也是因为迫于无情的高考……
不闹不相识！
小普（我07年高考的，这样叫你没意见吧），你那个对我e^x展开的指正很在理。当然，毕竟这是很早以前依照我“天马行空的风格“想得的，之后学得又不是数学专业，而且理科都不是，也没继续深究。
至于七楼，现在自己也感觉很尴尬。不是说你说错了，而是觉得说的价值不大。你可以看看我的回答，或许对你有所启示。
最后说一下，你才刚刚高考，对高数这么热衷，也有自己的见解，很不错！
恩，交个朋友吧。
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楼主高三才这点儿觉悟……
这世道，数学不行啊！
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晕
欧拉公式是用泰勒公式推导出来的
你的证明是本末倒置
欧拉公式可以不用泰勒公式推导定义函数f(x)=（cos&x+i&sin&x）/e^（ix）因为e^（ix）×e^（-ix）=e^0=1所以f(x)的导数：f'(x)=0恒成立即f(x)是一常函数，即f(x)=1所以（cos&x+i&sin&x）/e^（ix）=f(x)=f(0)=1即（cos&x+i&sin&x）=e^（ix）这就是欧拉公式
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楼主牛，高中就会解微分方程了。一般的非数学学生，到了高等数学的下册才接触微分方程。
楼主严重违规！！欧拉公式不就是Taylor级数推出的吗？
十分嫉妒中……
请楼上再看看我18楼的发言！！
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如果你能不用欧拉的公式自己用最基本的知识推导出sinx的级数展开式来才算厉害，像格里高利，牛顿，莱布尼茨那样
楼主那个“稍欠严谨”实际上就是最大的漏洞，因为以高中的数学知识而言，二项式定理的指数必然是正整数，虽说事实上指数不一定是，但楼主的理论证明过程已经错了，虽然结果对，但最多算是蒙对。18楼很牛……
18楼的证明似乎很犀利..
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顶18楼。但是关于虚数单位i和实数到底是怎么连接的，这里还是没有太直接的感觉。倒是觉得微分方程的推导方式更好一点。 其实这个问题归根结底就是讨论i。。。
另外也提出一种类似于楼主的论证：y''(t)-b*y(t)=0 (b&0)解为Ce^(b^0.5) 其中C为常数 y''(t)+b*y(t)=0 (b&0)解为Asin(wt)+B(coswt) 其中A，B为常数，w为根号b 当我们把第一种情况和第二种情况统一的时候就可以得到欧拉公式。不过我想这个最多只能算验证，大概不能算证明。
其实现在的年轻人都很牛，独立意识强了些。不过在做讨论时以一个不很强势的姿态出现更好。能看到不学数学的人对数学有些探索的确是值得欣慰的事。对楼主的探索鼓掌……与此相反，有数学天份的人不得不被高考是很让人遗憾的。
不定义e^z之前这些证明都是形式化的，不严谨的。最常用的e^z的定义就是泰勒级数定义，当然也有别的方式。18楼的证明在不指明采用哪种定义的情况下是无效的。
18L 循环论证 了。就酱。
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利用间接法将函数展开成幂级数的疑问利用间接法将函数展开成幂级数时,2-x ,x*2,(2-x)/2都可以代替公式中的那个x,从而带进公式中,但为什么x+√(x^2+1)-不可以直接替换x带进公式哪?
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2-x ,x*2,(2-x)/2是多项式函数,它们的幂级数等于自身,无非是改写成在哪点的展开式形式而已.但 x+√(x^2+1) 在不同点展开,必须结合已知公式做调整.
你的意思是 x+√(x^2+1) 不符合多项式函数的形式吗？那如果是x+x^2+1的话能不能直接替换x带进公式哪？
=a(x-x0)²+b(x-x0)+c
根据具体的x0值，就可以得出系数a,b,c
那请问1/(x-2)^2展开成幂级数时能不能看做1/1+[(x-2)^2-1],用[(x-2)^2-1]直接替换公式中的x，这样的话幂次不存在非负整数
这样的话就是在x=2处展开，即x-2的幂级数，这是没问题的；
在其它点则要再变形。
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个人觉得这样是可以的
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