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线性代数 基础解系求法举例
第十一讲：方程组解的解构与向量空间班级： 时间： 年 月 日；星期教学目的理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。 掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空 间的基的概念与求法基础解系及其求法、向量空间的基 方程组解的结构 媒体与投影 齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－ 非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－ 基与坐标－向量内积与长度。 齐次方程组的基础解系由n-r个无关解向量组成， 非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线 性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算， 由施瓦茨不等式引出长度与正交。作业练习册 P37－40 第13题 至 第19题，期 中交：P37 －40重点 难点 讲授方法 讲授内容 主线 内容概括线性代数 第四章 向量组的线性相关性1第十一讲：方程组解的解构与向量空间本次课讲第四章第四节第五节， 方程组解的结构与向量空间， 下次课讲第五章第一二节，下次上课时交作业P37～P40线性代数 第四章 向量组的线性相关性2第十讲 向量组的秩与方程组解的结构二、齐次线性方程组解的结构： 1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理 齐次方程组AX ? 0有唯一零解 ? R( A) ? n( n为解向量的维数）齐次方程组AX ? 0有非零解（无穷多解） R( A) ? r ? n ? 2.解向量的概念 设有齐次线性方程组? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1 n xn ? 0 ? a x ? a x ??? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n （1）设 ? ? ??????????? ?am 1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0 ?? a11 ? ?a A= 21 ? ? ? ?a ? m1 a12 a22 ? am 2? a1 n ? ? x1 ? ? ? ? ? a2 n ? x x =? 2 ?, ? ? ? ?, ? ? ? ? ?x ? ? amn ? ? n? ?? x11 ? ? ? ? x21 ? 若x1 ? ?11 , x2 ? ? 21 ,?, xn ? ? n1为（）的解则x ? ?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 称为方程组（1）的解向量， 它也是向量方程（2）的解. ? xn1 ?线性代数 第四章 向量组的线性相关性3则（1）式可写成向量方程 Ax = 0 （2）第十讲 向量组的秩与方程组解的结构2.解向量的性质 性质1 若 x ? ?1 , x ? ? 2 为齐次方程组的解，则x ? ?1 ? ? 2 也是 相应齐次方程组的解. 证 A??1 ? ? 2 ?? A?1 ? A? 2 ? 0 ? 0? 0 ? 性质2 若 x ? ?1 为齐次方程组的解，k为实数，则 x ? k 1 也是 相应齐次线性方程组的解. 证： A kξ1 ) ? k ( Aξ1 ) ? k ? 0 ? 0. （结论：AX ? 0的解向量?1 , ? 2 ,?, ? t的线性组合x ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kt? t均是AX ? 0的解（向量）。3.AX=0的基础解系定义：设AX ? 0的全体解向量组成解集 （或解向量组） ，则S中 S 的任一个最大无关组称 AX ? 0的一个基础解系。 为线性代数 第四章 向量组的线性相关性4（）由于基础解系是解集 1 的最大无关组，所以 ? 0的 AX 基础解系不唯一（ ）由最大无关组定义， 2 设解向量?1 , ? 2 ,?, ? t为线性 方程组AX ? 0的一个基础解系，则 ? 0的任意解x AX 均可用?1 , ? 2 ,?, ? t 线性表示，即： x ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kt? t4.求AX=0的基础解系－－AX＝0的通解： 事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程 组通解的方法：假定AX=0,A的秩为R(A)=r,求解步骤如下第十讲 向量组的秩与方程组解的结构线性代数 第四章 向量组的线性相关性5第十讲 向量组的秩与方程组解的结构化A 为行最简形矩阵为 ? 1 ? 0 b11 ? b1,n? r ? ? ? ? ? ? ? ?? ?0 ? 1 b ? br ,n? r ? r1 A ?? ?, ? 0 ? ?0 ?? ? ? ? ? ?0 ? 0 ? ? ? 与 A 对应的方程组的同解方程组为? ?b11 xr ?r ? x1?????1 ? ? ? b1,n?xn , ????? ? ?xr ? ?br 1 xr ?1 ? ? ? br ,n? r xn .令自由未知数xr ?1 ? c1 , xr ?2 ? c2 ,? xn ? cn?r 则：6线性代数 第四章 向量组的线性相关性第十讲 向量组的秩与方程组解的结构? x1 ? ? b11c1 ? b12 c2 ? ? ? b1,n? r cn? r ? ????? ? ? xr ? ? br 1c1 ? br 2c2 ? ? ? br ,n? r cn? r ? ? xr ?1 ? c1 ? 0 ? 0 ? ????? ? 0 ? x ? 0 ? c ? 0 ? ????? ? 0 2 ? r ?1 ??? ? ? x ? 0 ? 0 ? 0 ? ????? ? c ? n n? r根据上式求得通解，用 矩阵表示通解，并写成 向量（列矩阵）的形式 为：? ? b12 ? ? ? b1( n? r ) ? ? x1 ? ? ? b11c1 ? b12c2 ? ? ? b1,n? r cn? r ? ? ? b11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? b ? ?? b ? r2 r ( n? r ) ? x ? ? ? b c ? b c ? ? ? b c ? ? ? br 1 ? ? ? ? ? r r1 1 r2 2 r ,n? r n? r ? ??? ? ? c1 ? 1 ? ? c2 ? 0 ? ? ? ? cn? r ? 1 ? ? xr ?1 ? ? c1 ? 0 ? 0 ? ????? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? ? 0 ? 0 ? 0 ? ????? ? c ? ? ? ? ? ? ? 0 ? 0 ? 0 ? ? n ? ? n- r ? ? ? ?线性代数 第四章 向量组的线性相关性7第十一讲：方程组解的解构与向量空间得到齐次方程组通解如 下： x ? c1?1 ? c2? 2 ? ? ? cn? r? n? r （*）巧得很，AX=0的通解正好是n-r个解向量的线 性组合，如果这n-r个解向量就是解集的最大无 关组，我们就等于找到了AX=0的基础解系。事实 上，我们有如下定理： （2）定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵 的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r线性代数 第四章 向量组的线性相关性8第十一讲：方程组解的解构与向量空间定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解 集（解向量组）为S,则R(S)=n-r ? 1 ? 0 b11 ? b1,n ? r ? 证： ? ?? 第一步：和以前一样，将 ?0 ? 1 系数矩阵化成行最简形： A ~ ? ? ? ?0 ?? ? ?0 ? ? br 1 ? ? ? ?? br ,n ? r ? ?, 0 ? ? ? ? 0 ? ?第二步：仍然是写出与 A 对应的齐次线性方程组的同解方程组? x1 ? ?b11 xr ?1 ? ? ? b1,n?r xn , ? ?????????? ? xr ? ?br 1 xr ?1 ? ? ? br ,n?r xn .线性代数 第四章 向量组的线性相关性9第十一讲：方程组解的解构与向量空间第三步 :自由变量取值: 由于c1 ,?cn? r的任意性, 原自由变量 的取值相当于对自由变 量向量组的取值, 依次令?xr ?1? xi ? xn? r ? ? ?0? 1? 0 ?, 其中i ? r ? 1,?, n ? r .代入同解方程组依次可得：? xr ?1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? xr ? 2 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? x ? ? 0? ? n ? ? ?? 0? ? 0? ? ? ? ? ? 1? ? 0? ? ? ?, ?, ? ? ?, ? ? ? ? ? 0? ? 1? ? ? ? ?? x1 ? ? ? b11 ? ? ? ? ? ? x2 ? ? ? b21 ? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? x ? ?? b ? ? r? ? r1 ?? ? b1,n? r ? ? ? b12 ? ? ? ? ? ? ? b22 ? ?, ? ? b2 ,n? r ?, ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ?? b ? ?? b ? r ,n? r ? ? ? r2 ?10线性代数 第四章 向量组的线性相关性第十一讲：方程组解的解构与向量空间第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量:? ? b11 ? ? ? b12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? b ? ?? b ? r1 r2 ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ?, ? 2 ? ? 0 ?, ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ?? ? b1,n? r ? ? ? ? ? ? ?? b ? r ,n? r ? ? ? ? 0 ?. ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ??,? n? r通过比较原来令自由变 量为任意常数c1 , c2 ,?cn? r 求出通解的 结果，这里，通过令自 由变量向量为单位向量 的方法求出的一 组解向量的线性组合与 前一种方法的通解完全 一致：即 x ? c1?1 ? c2? 2 ? ? ? cn? r? n? r，或： x ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kn? r? n? r线性代数 第四章 向量组的线性相关性11第十一讲：方程组解的解构与向量空间首先，由上一章知识已 知它们是通解，即 ? 0的解集 AX 中任意的解向量均是 1，? 2， ，? n? r的线性组合。 ? ?其次，解向量组 1，? 2， ，? n? r中，存在n ? r阶单位子式 ? ? E n? r ? 1 ? 0,因此：R(?1，? 2， ，? n? r ) ? n ? r , 故：?1，? 2， ，? n? r ? ? 线性无关。由最大无关组定义， 1，? 2， ，? n? r 是AX ? 0的解集S的 ? ? 最大无关组，即基础解 系。即得：R( S ) ? n ? r 该定理的论证说明了两点：（）指出了AX ? 0的基础解系的求解步骤 1 （ ）说明两方程组 ? 0的元n、系数矩阵的秩 及 2 AX r 解集的秩R( S )之间的关系：R( S ) ? n ? r线性代数 第四章 向量组的线性相关性12第十一讲：方程组解的解构与向量空间推论：设m ? n矩阵A的秩R( A) ? r , 则Ax ? 0的解集中任意n ? r个 线性无关的解向量均构 成解集的最大无关组， 即基础解系。 证：设a1 , a2 ,?an? r 是Ax ? 0的n ? r个解向量且线性无关。设b是Ax ? 0的任意一解。 ? Ax ? 0的解集的秩Rs ? n ? r , ? R(a1 , a2 ,?an? r , b ) ? n ? r ? n ? r ? 1 由相关性秩的判别法， 1 , a2 ,?an? r，b线性相关。 a ? a1 , a2 ,?an? r 线性无关，并且 1 , a2 ,?an? r，b线性相关。 a?由相关性与线性表示的 关系定理，b能由a1 , a2 ,?an? r 唯一线性表示。由最大 无关组定义， a1 , a2 ,?an? r 就是Ax ? 0的最大无关组，即基础 解系线性代数 第四章 向量组的线性相关性13第十一讲：方程组解的解构与向量空间这一推论说明了，变量 为n维，系数矩阵 的秩为 x A R( A) ? r的任意n ? r个线性无关的解向量均 构成了Ax ? 0 的一个基础解系。4.齐次线性方程组的求解结论： 根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论， 我们可以得到如下结论： （1）当 R(A) = n 时,齐次线性方程组(1)只有零解,无基础解系 ; （2）当 R(A) & n 时,齐次线性方程组(1)的基础解系含有n C r 个解向量 . （3）齐次线性方程组(1)的任何 n - r 个线性无关的解向量都 可作为它的基础解系. （4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是 唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的.线性代数 第四章 向量组的线性相关性14第十一讲：方程组解的解构与向量空间? x5 ? 0 ? x1 ? x2 ? 求齐次线性方程组 x1 ? x2 ? x3 ?0 ? ? x 3 ? x4 ? x5 ? 0 ? 的基础解系和通解 解：对系数矩阵作初等 行变换，化成行最简有 ：例题（ ，数学一， 1 96 6分）? 1 1 0 0 1? ? 1 1 0 0 1 ? ? 1 1 0 0 1? ? ? ? ? ? ? A～ 1 1 ? 1 0 0 ? ? 0 0 ? 1 0 ? 1 ? ? 0 0 1 0 1 ? ～ ～ ? ? 0 0 1 1 1? ? 0 0 0 1 0 ? ? 0 0 0 1 0? ? ? ? ? ? ?? x5 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? 得同解方程组： x3 ? ? x5 ? 0 , ? ? x4 ? 0 ?线性代数 第四章 向量组的线性相关性15第十一讲：方程组解的解构与向量空间n ? 5, R( A) ? 3,自由变量n ? r ? 2, 为行最简形的 ? x2 ? ? 1 ? ? 0 ? 非零行的非首元 2 , x5。令 ? ? ? ? ?和? ?, 则： x ? x ? ? 0? ? 1? ? 5? ? ? ? ??x , x , ? ?? 1, 1,1 2x3 ,x4 ,x5 ?TT T0, 0, 0? 和?? 1, 0, － , 0, 1? 。 1T T对应的基础解系是 ? r ? 2个解向量： n?1 ? ?? 1, 1, 0, 0, 0? , ? 2 ? ?? 1, 0, － , 0, 1? , 1 通解为：k1?1 ? k2? 2线性代数 第四章 向量组的线性相关性16第十一讲：方程组解的解构与向量空间例题2：设Am?n Bn?l ? 0, 证明：R( A) ? R( B) ? n. 证明： B是n ? l阶矩阵， 令B ? (b1 , b2 ,?, bl ). ? ?? Am?n Bn?l ? 0,? A(b1 , b2 ,?, bl ) ? 0,即：Abi ? 0, i ? 1,2,?, l 且b1 , b2 ,?, bl均满足方程组AX ? 0, 即b1 , b2 ,?, bl 都是AX ? 0的解。设R( A) ? r , 则AX ? 0的解集S的秩R( S ) ? n ? r , ? b1 , b2 ,?, bl 是AX ? 0的解， b1 , b2 ,?, bl 是AX ? 0的解集的一部分。 ?? 部分的秩小于整体的秩 ， ? R(b1 , b2 ,?, bl ) ? R( B ) ? R( S ) ? n ? r ? n ? R( A) ? R( B ) ? R( A) ? n线性代数 第四章 向量组的线性相关性17第十一讲：方程组解的解构与向量空间（二）非齐次线性方程组的通解1.非齐次线性方程组的解向量的性质 设有非齐次线性方程组 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1 n xn ? b1 , ? a x ? a x ??? a x ? b , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? （4） ??????????? ? ?am 1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? bm , ? 它也可写作向量方程 （5） Ax = b 性质3 设 x ? ?1 及 x ? ? 2都是（5）的解，则 x ? ?1 ? ? 2为对应 的齐次线性方程组 Ax ? 0 的解. （6）线性代数 第四章 向量组的线性相关性18所以 x ? ?1 ? ? 2 满足方程（6）. 性质4 设 x ? ? 是方程（5）的解，x ? ? 是方程（6）的解， 则 x ? ? ? ? 仍是方程（5）的解. 证 A?? ? ? ? ? A? ? A? ? 0 ? b ? b 即x ? ? ? ? 满足方程（5）. 结论：设?是非齐次线性方程组 ? b的一个特解，?是对应的 AXAX ? 0的任意解，则AX ? b的任意解（通解）为： x ? ? ??第十一讲：方程组解的解构与向量空间 A??1 ? ? 2 ? ? A?1 ? A? 2 ? b ? b ? 0 证设x为AX ? b的任意解， 为其一个特解，则：? (x ? ? ) ? ? ? x由性质3，? ? x ? ?是对应齐次方程组 ? 0的解，由于x具有任意性， AX 所以，?也具有任意性，因此由齐次方程组通解形式 , ：? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kn? r? n? r , 故： x ? ? ? ? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kn? r? n? r ? ?称上式为非齐次方程组AX=b的通解线性代数 第四章 向量组的线性相关性19例题3 06，数学一， （ 9分）已知非齐次线性方 程组 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?1 ? ?4 x1 ? 3 x2 ? 5 x3 ? x4 ? ?1有3个线性无关的解， ? ax ? x ? 3 x ? bx ? 1 ? 1 2 3 4 （）证明方程组系数矩阵 的秩R( A) ? 2 1 A第十一讲：方程组解的解构与向量空间（2 ）求a , b的值及方程组的通解。 （）证明：设?1 ,? 2 ,? 3 是非齐次线性方程组的 个线性无关的解 1 3 对于对应的齐次解： 1 ? ? 2，? 2 ? ? 3，其线性表达式为： ? k1 (?1 ? ? 2 ) ? k2 (? 2 ? ? 3 ) ? 0, 将其恒等变形为： ( k1 ? k2 )?1 ? k1? 2 ? k2? 3 ? 0.??1 ,? 2 ,? 3线性无关， k1 ? k2 ? 0 ? ??1 ? ? 2，? 2 ? ? 3 是Ax ? 0的2个线性无关的解，即 ? 0基础解系最少 Ax包含2个线性无关的解向量。 ( S ) ? 2 R? R( S ) ? n ? R( A) ? 2, n ? 4,? R( A) ? 2线性代数 第四章 向量组的线性相关性20?1 1 1 1 ? ? ? 又A ? ? 4 3 5 ? 1 ?, 有2阶子式不为零，， R( A) ? 2,即：R( A) ? 2 ? ?a 1 3 b ? ? ? ( 2)对增广矩阵( A, b)进行初等行变换，有：第十一讲：方程组解的解构与向量空间1 1 1 ?1 ? ? 1 1 1 1 ? 1? ? 1 ? ? ? ? （A, b） ? 4 3 5 ? 1 ? 1 ? ? 0 ? 1 ? ～ 1 ?5 3 ? ?a 1 3 b 1 ? ? 0 1 ? a 3 ? a b ? a a ? 1? ? ? ? ?1 1 ?1 ? ?1 1 ? ? ～0 1 ?1 5 ?3 ? ? ? 0 0 4 ? 2a b ? 4a ? 5 4 ? 2a ? ? ?由（），R( A) ? ( A, b) ? 2, 得：? 2a ? 0, a ? 2, 代入b ? 4a ? 5 ? 0, b ? ?3 1 4 ?1 0 2 ? 4 2 ? ? ? 将矩阵化成行最简得： 1 ? 1 5 ? 3 ? ?0 ?0 0 0 0 0 ? ? ? 21线性代数 第四章 向量组的线性相关性第十一讲：方程组解的解构与向量空间? x1 ? ?2 x3 ? 4 x4 对应齐次同解方程组为? ： ? x2 ? x3 ? 5 x4? x3 ? ? 1 ? ? 0 ? 令? ?为? ?和? ?，得对应齐次方程组基 础解系： ? x ? ? 0? ? 1? ? 4? ? ? ? ?T T?1 ? ?? 2, 1, 1, 0? , ? 2 ? ?4, ? 5, 0, 1?? x1 ? ?2 x3 ? 4 x4 ? 2 在非齐次同解方程组为? ： 中 ? x2 ? x3 ? 5 x4 ? 3令x3 ? x4 ? 0, 得Ax ? b的一特解：? ? ?2, ? 3, 0, 0?T?非齐次线性方程组的通 解是：x ? k1?1 ? k2?2 ? ?线性代数 第四章 向量组的线性相关性22第十一讲：方程组解的解构与向量空间二、向量组概念的拓展――空间的概念 1.向量空间的定义 封闭：设 V 是一个集合， ?a, b ?V, ? ? R, 则 a ? b ? V； 若?b ? V, 则称 V 对于加法及数乘运算是封闭的.且集合 V 对于加法 定义1： 设 V 为 n 维非空 向量集合， 及乘数两种运算封闭， 则称集合 V 为向量空间.如Rn空间定义2 设有向量空间 V1 及 V2 ， 1 ? V2， 就称 V1 是 V2 若V 的子空间. 例1 : 齐次线性方程组的解集 S ? ? x Ax ? 0? 是一个向量空间.(解空间) 分析：若x1 , x2为任意两个解，则 ( x1 ? x2 ) ? Ax1 ? Ax 2 ? 0 A且：A(?x1 ) ? ?Ax1 ? 0均属于S线性代数 第四章 向量组的线性相关性23第十一讲：方程组解的解构与向量空间例2 : 非齐次线性方程组的解集,不是向量空间 当 解集 S 为空集时,不是向量空间; 当 解集 S 非空时,也不是向量空间.分析：x1非齐次方程组的解，因 (?x1 ) ? ?Ax1 ? ?b ? b A 故数乘运算不封闭定义3 （生成空间定义）：设向量组A : a1 , a2 ,?, am , 则称向量组A所有 的线性组合得到的向量组成的集合称作向量组A生成的向量空间V。即：V ? ?x ? ?1a1 ? ?2 a2 ? ? ? ?m am | ?1 , ?2 ,?, ?m ? R ? .结论：等价的向量组所生成的向量空间相同。 例3: 设向量组 a1 , a 2 ,?, a m与向量组 b1 , b2 ,?, bs等价， 记V1 ? ? x ? ?1a1 ? ?2 a2 ? ? ? ?m am | ?1 , ?2 ,?, ?m ? R ?,V2 ? ? x ? ?1b1 ? ? 2 b2 ? ? ? ? s bs | ?1 , ? 2 ,?, ? s ? R ?,24线性代数 第四章 向量组的线性相关性试证 V1 ? V2 . 证： 设 x ? V1 , 则 x 可由 a1 , a 2 ,?, a m 线性表示，第十一讲：方程组解的解构与向量空间又 a1 , a 2 ,?, a m 可由 b1 , b2 ,?, bs 线性表示，则 x 可由 b1 , b2 ,?, bs 线性表示，所以 x ?V2 , 即若 x ? V1 , 则 x ? V2, 所以 V1 ? V2； 同理可证：若 x ?V2, 则 x ? V1 ，所以 V2 ? V1. ∴ V1=V2. 2.向量空间的最大无关组――基的概念 （1）基的定义 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a 2 ,?, a r ∈V, 满足 （i） a1 , a 2 ,?, a r线性无关； （ii）V 中 任 一 向量都由 a1 , a2 ,?, ar 线性表示， 那么，向量组 a1 , a 2 ,?, a r 称为向量空间 V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间. 特别地：如果向量空间 V 没有基 则 V 的维数为0。 0 维向量空间只含一个零向量 0. （2）结论1：任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 n n R 的一个基，由此可知 R 的维数为 n .线性代数 第四章 向量组的线性相关性25第十一讲：方程组解的解构与向量空间分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照 线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维 向量都能由这n个线性无关的n维向量线性表示。显然，n 个无关向量可自身表示，故以上结论成立。 结论2：齐次线性方程组 ? 0的基础解系是其解集的 Ax 一个基 （3）过渡矩阵概念：设向量空间 有两个基A、B, A : ?1 , ? 2 ,?? r , B : ?1 , ? 2 ,? ? r .如存在 V 矩阵C，使得：B ? AC, 则称C为由基A到基B的过渡矩阵（4）向量由基线性表示的系数――坐标 若向量组a1 , a2 ,?, ar是向量空间 的一个基，则 可表示为： V V V ? ? b ? ?1a1 ? ?2a2 ? ?? ?r ar | ?1 , ?2 ,?, ?r ? R ? . 数组 ?1 , ?2 ,?, ?n 称为向量 b 在基 a1 , a2 ,?, ar 中的坐标.b在基中的坐标实际上就 b用基向量组线性表示的 是 系数， 即AX ? b的解，其中A是基向量组，X就是线性表示坐标线性代数 第四章 向量组的线性相关性26第十一讲：方程组解的解构与向量空间2 ?1 ? ? 2 ? ? 例4: 设 A ? ? a1 , a2 , a3 ? ? ? 2 ?1 2 ? , ? ?1 2 2? ? ? ? 1 4? ? ? B ? (b1 , b2 ) ? ? 0 3 ? , ? ?4 2 ? ? ?验证 a1 , a 2 , a3 是 R3 的一个基，并求 b1 , b2 在这个基中的坐标.? A是由3维向量组成的向量组，只要a1 , a2 , a3线性无关，它就是 3的一个 ? R 基，b1 , b2用基表示，即 ? B有解，解x的列向量即坐标（线性 Ax 表示系数）解2 ?1 1 4? ? 2 ? ? ? A | B? ? ? 2 ? 1 2 0 3 ? ??1 2 2 ? 4 2? ? ?? 1 ?2 ?2 4 ?2? ? ? 3 6 ?8 7 ? ?0 ?0 0 ?9 9 ?6 ? ? ??1 ? ?0 ?0 ??2010012 2 ? 3 2 ? 1 3 2 ?1 3? ? ? ? ?? ? ? ? ?1000100012 4 ? 3 3 ? 2 ? 1? 3?1 2 3? ?27线性代数 第四章 向量组的线性相关性因 R(A)=3 ， a1 , a 2 , a3 为 R3 的一个基， 故第十一讲：方程组解的解构与向量空间2 2 4 2 且 b1 ? a1 ? a2 ? a3 ,b2 ? a1 ? a2 ? a3 . 3 3 3 3 2 2 4 2 b1 , b2的坐标分别为： ? ,?1和 ,1, ， 3 3 3 例题5 04，数学一， （ 4分） 3? 1? ? 1 ? ? 1? ? 1? 从R 的基A : ? 1 ? ? ?,? 2 ? ? ?到B : ? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? ?的过渡矩阵为： ____ ? 0? ? ? 1? ? 1? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ?2分析：从基 到基B的过渡矩阵为 ，则B ? AC,即C ? A?1 B A C C ? A?1B ? ?1，?2 －1 ?1，?2 ,即AX ? B的解 （ ） （ ）3 ? ? 1 1 1 1? ? 1 0 2 3? ? 1 0 2 ? ? ? ? ? ? ( E , A? 1 B ) （A, B ) ? ～ ～ ～ ? 0 ? 1 1 2? ? 0 ? 1 1 2? ? 0 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2 所以，应填C ? ? ? ? 1 ? 2? ? ? ?线性代数 第四章 向量组的线性相关性28
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你可能喜欢若AX=0中R（A）=r小于未知数个数，你说AX=0有几个解？有无穷多个吧。
这么多的解中，有n-r个解是线性无关的，且所有的解都可由它们线性表示，那么，
这n-r个解就是AX=0的基础解系。例子吗，任何一个习题都可作为例子。
其他答案（共2个回答）
，设KerA={X,AX=0}，KerA是一个
线性子空间，KerA的一个基称为一个基础解系。
也就是说，X1,X2,..Xm为A的基础解系，则等价于
1）X1,X2,..Xm线性无关。
2）所有X,AX=0，有m个数a1,a2,..am，使X=a1X1+a2X2+..+amXm.
记住：1）2）就可以了。
单位化后得到的都是单位向量，这些单位向量组成的矩阵才是正交矩阵（注意：正交矩阵的列向量组是标准正交向量组）
“主元为x1 x3 x4后，自由未知量x2 x5”。x1，x3，x4的值取决于自由未知量x2，x5的值。
举例说明：
x1－x2－x3+x4＝0
是！基础解系不唯一，但是基础解系包含的向量的个数是一定的。方程组Ax＝0，A为m×n矩阵，A的秩r(A)＝r，则基础解系中向量的个数是n－r
能提问这个问题很好，这确实是化学教材的不足之处且长期没有得到究进。当年我学中学化学的时候也思考过这个问题。化学计算数量关系最常见的形式是：
aA + bB = ...
将公式写入excel中计算，结果是：0.6523023
当T=0.6523023时，等式成立。见附件
答: 考研跟以后你在哪工作可以分开考虑吧? 等考上了以后.研究生毕业. 可以先自己闯荡一下啊. 如果最后都没有多大的成就什么的. 可以回到青岛的不是吗? 况且现在青岛...
答: 质量还行，具体的不如去亲自感受一下。
答: 哦!我去年的!我面试前一星期就去了,找到导师,就拿了一点土特产,表表心意,表示会努力好好学习.
导师很善意,不会为难学生,问我带专业书没,拿出来,给我大概讲了一...
答: 高手不需要知道
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这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区
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线性代数的基础解系是什么
我有更好的答案
齐次线性方程组 Ax = 0 的线性无关的解向量组 ξ1，ξ2， ......, ξk
为其基础解系,其中 A&m×n&的秩为 r ， x 是 n 维向量，k = n-r
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