三年级数学下册《乘法应用题和常见的数量关系》公开课教案（和整 - 三年级数学教案及教学反思 - 小学数学区 - 教育资源网（中小学资源交流分享）->
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三年级数学下册《乘法应用题和常见的数量关系》公开课教案（和整&
ynwqqq发表于：&&&&&&三年级数学下册《乘法应用题和常见的数量关系》公开课教案（和整
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撰写公开课教案是每个教师都必需熟悉的一项工作，好的公开课教案能够激发同学兴趣，培养同学多方面的能力，有效提高课堂教学效率。本站提供的这套三年级数学下册《乘法应用题和常见的数量关系》公开课教案符合新课标的规范，思路清晰，结构合理，适合同学的年龄特征，与素质教育的要求相吻合，具有科学性、实用性等优点。
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教学内容：第25～26页例1、例2和做一做、练习六1～4题 素质教育目标 （一）知识教学点 初步理解单价、数量、总价以和单产量数量、总产量的数量关系． （二）能力训练点 1．初步培养同学运用数学术语表达数量关系的能力． 2．运用数量关系解决实际问题． （三）德育渗透点 引导同学探索知识间的内在联系，激发同学自身探求知识的欲望，培养同学自主学习的精神，促进同学笼统思维的发展． 教学重点：通过实例使同学理解和掌握以和能用术语表达这些数量关系，并在解答应用题的实际问题中加以应用． 教学难点：使同学熟练运用这些术语和关系式． 教具、学具准备：幻灯机、口算卡片． 教学步骤 一、铺垫孕伏 口算30&40＝ 6&40＝ 200&20＝ 80&50＝ 12&8＝ 32&20＝ 150&4＝ 240&2＝ 二、探究新知 1．导入：在生产和生活中，有各种数量关系．在乘法应用题中有哪些常见的数量关系．板书：（乘法应用题和常见的数量关系）． 2．数学例1 认识单价&数量＝总价， （1）同学阅读课本第25页例1 例1铅笔每支8分，买3支用： 8&3＝24（分） 24分＝2角4分 篮球每个70元，买2个用： 70&2＝140（元） 鱼每千克9元，买4千克用： 9&4＝36（元） （2）考虑并互相讨论：你知道了什么？ （3）同学讨论汇报： 引导同学明确：以上3题都是买东西用钱的事． 教师明确：知道了每件商品的价钱叫单价；买了多少叫数量；一共用多少钱叫总价． 启发同学结合例题明确： 第①题里的单价是8分，数量是3支，总价是2角4分．求总价是8&3＝24分＝2角4分（板书） 第②题里的单价是70元，数量是2个，总价是140元．求总价是70&2＝140（元）（板书） 第③题里的单价是9元，数量4千克，总价是26元．求总价9&4＝36（元）（板书） 从上面3道题可以看出，单价、数量和总价之间的关系是：单价乘以数量等于总价． 师生一起总结归纳并板书：单价&数量＝总价 （4）反馈练习： ①口答：每件商品的价钱叫（单价）买多少叫（数量）一共用多少钱叫（总价）它们之间的关系是（单价&数量＝总价） ②做一做：请你举出日常生活中符合以上数量关系的实际计算问题． 3．教学例2认识单产量&数量＝总产量 （1）同学阅读课本第26页例2 例2每棵苹果树平均收苹果25千克，3棵苹果树收： 25&3＝75（千克） 菜园每亩产菠菜150千克，4亩产菠菜： 150&4＝600（千克） （2）讨论考虑： ①这两道题都是说的什么事？ ②通过看书你知道了什么？ ③这两题中单产量、数量、总产量分别是什么？求总产量是怎样计算的？ ④从上面两道例题可以看出单产量、数量和总产量之间有什么关系？ （3）引导同学汇报： 这两道题都是说有关生产数量的事情． 每棵树收多少苹果或每畦菜地产多少菜叫做单产量；有多少棵树或有多少畦菜地叫数量；把一共收多少苹果或产多少菜叫总产量． 第①题里的单产量是25千克，数量是3棵，75是总产量．求总产量25&3＝75（棵）（板书） 第②题里的单产量是150千克，4畦是数量，600是总产量，求总产量150&4＝600（千克）（板书） 从上面两道题可以看出单产量、数量和总产量之间的关系是单产量乘以数量等于总产量． 师生总结归纳：板书： 单产量&数量＝总产量 （4）反馈练习： ①口答：每棵树收多少苹果或每畦菜地产多少菜叫（单产量） 有多少棵树或有多少畦菜地叫（数量） ②做一做举出日常生活中符合上述数量关系的实际计算问题 三、巩固发展 1．口答：本节课学习几种常见的数量关系？分别是什么？ 2．填空□&□=总价 单产量&□=总产量 3．判断下面各题的对错： （1）知道每袋洗衣粉的价钱和买的袋数，求总价应用洗衣粉单价乘以袋数(　　　 ) （2）红星生产队有土地20亩，每亩产粮400公斤，共产粮多少公斤？是求数量的题目(　　　 ) 4．练习六第一题 说出下面各题的数量关系，再解答： （1）学校买了4个排球，每个23元，一共用多少元？（4个是数量，23元是单价，求总价．） 根据；单价&数量＝总价 列式为：23&4＝92（元） （2）畜牧场平均每头奶牛每天产奶30千克，20头奶牛每天产奶多少千克？（30是单产量20头是数量求总产量） 根据：单产量&数量＝总产量 列式为：30&20＝600（千克） 5．练习六第2题编一道已知单价和数量求总价应用题．（分组练习） 6．练习六第3题编一道已知单产量和数量求总产量的应用题．（分组练习） 四、全课小结：（略） 五、安排作业：练习六2、3题把所编的应用题解答出来 六、板书设计 乘法应用题和常见的数量关系 例1：8&3＝24（分） 24分＝2角4分 70&2＝140（元） 90&4＝36（元） 单价&数量＝总价 例2：25&3＝75（千克） 150&4＝（千克） 单产量&数量＝总产量
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教学目标 (一)使同学初步理解并掌握速度、时间和路程和工效、工时和工作总量之间的关系，并能解答有关的应用题． (二)初步培养同学运用数学语言的能力，促进同学笼统思维的发展． 教学重点和难点 重点：掌握用术语表达数量关系并能解答应用题和在实际问题中加以应用． 难点：明确速度、时间和路程和工效、工时和工作总量三种数量的含义和它们之间的关系． 教学过程设计 (一)复习准备 1．口算：(口算卡片) 20&40　　　　　　　　　 5&30　　　　　　　　　 24&20　　　　　　　 12&5 42&10　　　　　　　　　 60&50　　　　　　　　 200&30　　　　　　 240&2 2．复习上节课有关三量关系． 提问：我们在购买商品时，常用到哪几种量？它们之间的关系是什么？请举一例． (单价、数量、总价) (单价&数量=总价) (每张课桌45元，4张课桌多少元？) 提问：单产量、数量、总产量之间有什么关系？ (单产量&数量=总产量) (二)学习新课 在日常生活中，除了上节课学习的数量关系，还有一些常见的数量关系，今天我们一起来继续学习．(板书课题) 投影出示： 例题　 1．汽车每分行750米，4分行多少米？ 750&4=3000(米) 2．小强每分步行66米，5分步行多少米？ 66&5=330(米) 3．一艘轮船每小时行18千米，3小时行多少千米？ 18&3=54(千米) 4．一列火车每小时行120千米，2小时行多少千米？ 120&2=240(千米) 以上四道题由同学独立完成，然后请同学口述解题过程，老师板书． 老师引导同学观察以上四小题，讲的是哪方面的事情，有什么特点？ (四个小题讲的是同一类事情，都是行车、走路的问题．特点是已知条件都是每分、每小时走多少路，所求问题都是求一共走多少路) 老师根据同学的回答，进行概括．以上每小题已知条件都是每分，每小时行的路程，我们叫它速度．(同学们互相说一说什么是速度，举出几例说明) 请用一句话概括一下什么叫速度．(每分、每小时行的路程叫速度) 教师给予肯定，并补充说明：根据物体实际运动的快慢，可以按秒、分、时、天、周、月、年等单位时间所行的路程叫速度．(还可以再让同学举一些平时生活中的实例，说明一下什么叫速度) 提问：那么题目中4分、5分、3时、2时又叫做什么呢？(回答是时间)(板书) 再问：我们计算出的结果(也就是题目中的问题)3000米、330米、54千米、240千米表示的是什么呢？(回答是共走的路程) 老师归纳：我们把一共走的路叫路程．从题目中可以看出速度和路程都用米、千米等不同的长度单位表示．想一想速度和路程有什么不同？各表示什么？ 速度：单位时间内行的路程． 路程：一共所走的路． 根据上面的四个算式，分别指出速度、时间、路程三种量之间的关系．并引导同学总结出关系式：速度&时间=路程． 小组同学互相说说每道题里速度是多少，时间是多少，路程是多少．然后根据速度&时间=路程三量关系式，编一道应用题，再请其他同学说一说，速度、时间、路程各是多少． 师：我们掌握了数量之间的关系，可以应用这些数量关系解答相应的应用题．下面我们继续研究一些常见的数量关系． 出示例题： 1．一台织布机每小时织布3米，8小时织布多少米？ 3&8=24(米) 2．修路队每天修路240米，5天修路多少米？ 240&5=1200(米) 3．某机床厂每月生产机床450台，一年生产机床多少台？ 450&12=5400(台) 师：引导同学观察上面三个小题，讲的是哪方面的事情？(生产、工作的事情) 说出各小题的已知条件是什么？有什么一起的特点？ (已知每小时、每天、每月干多少活) 师：在日常工作中，我们把每小时、每天或每月的产量多少叫做工作效率，简称工效． (两个同学互相说一说你知道的一些与工作效率有关的问题) 引导同学归纳出“工效”的概念．每分、每时、每天、每月……生产的数量叫工效． 那么8小时、5天、1年又表示什么呢？ (同学很容易说出是“时间”) 师：对，我们把它叫工时． 老师指每题的结果，问： 24米， 1200米， 5400台表示什么？(共完成的数量) 师：我们把一共完成的数量叫做工作总量．请你用一个关系式概括出工效、工时、工作总量之间的关系． 板书：工效&工时=工作总量 师：请你编一道已知工效和工时求工作总量的应用题．(先给一定的时间让同学独立考虑，然后小组同学互相说自身编的题，进行交流，教师巡视指导) (三)巩固反馈 关于乘法应用题常见的数量关系，同学们掌握的怎么样，我们来检查一下，看看哪些同学学得最好． 1．把已知条件和可以求出的问题用线连接起来．(出示投影) 先让同学独立考虑，然后请同学回答． 已知单价和数量　　　　　　　　　　　　　　可以求出工作总量 已知速度和时间　　　　　　　　　　　　　　可以求出总产量 已知工效和工时　　　　　　　　　　　　　　可以求出总价 已知单产量和数量　　　　　　　　　　　　可以求出路程 2．填空．(投影) (　　　 )&数量=总产量 (　　　 )&数量=总价 速度&(　　　 )=路程 工效&工时=(　　　 ) 3．先补充已知条件，再解答． 要求：先读题，说出已知条件是什么？求什么？应补充什么条件？ (1)李刚每小时能走4500米，(　　　 )，一共走了多少米？ (2)每本《东方少年》5元，(　　　 )，共用了多少元？ (3)一台织布机，(　　　 )．8小时可以织布多少米？ (4)每棵苹果树收苹果45千克，(　　　 )，一共收苹果多少千克？ 下面的练习由小组讨论，在练习本上只列式，然后互相交换检查． 4．说出下面各题的数量关系，再列式． (1)每包毛巾有24条，50包共有毛巾多少条？ (2)学校买了360张课桌，每张课桌48元，一共花了多少元？ (3)挖一条水渠，每天挖280米，20天挖了多少米？ (4)一列火车每小时行140千米，8小时行多少千米？ 作业：看书第27，28页．第29页第8题． 小资料 乘法应用题的数量关系，都可以归结为求b个相同加数a的和c是多少．即 a&b＝c 主要有两种情况：一是直接求b个相同加数a的和；二是求已知数a的b倍是多少，实际上也是求b个a的和． 课堂公开课教案说明 教学例3，例4是在同学掌握了单价&数量=总价和单产量&数量=总产量的基础上进行教学的，对于行程问题和工作问题，同学是接触过，会解答简单的题目，只是没有加以概括，形成规律性的认识，没有系统建立这些概念．速度、时间、路程和工效、工时、工作总量这些数量关系是同学进一步学习物理、化学等知识的基础，因此，本节课教学重点是将这些常见的数量关系加以整理概括，加深对常见数量关系的认识，加强运用术语能力的培养，使同学更好地掌握这些概念．教学过程中注意给同学创设环境，通过自身独立考虑、同学之间互相交流、讨论，加深对常见数量关系的理解．为了巩固已学的知识，设计了形式多样的、大量的、有层次有梯度的练习．通过反馈，教师能准确掌握同学学习的情况． 板书设计
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教材说明 在这一节中结合乘法应用题，对一些常见的数量关系加以归纳总结。这些数量关系同学在日常生活和以前解答各种应用题时都遇到过，只是没有加以概括，形成规律性的认识。这里把常见的、在日常生活以和进一步学习物理、化学等知识中都有很大用途的这些数量关系加以概括整理，加深同学对这些常见数量关系的认识，同时初步培养同学运用数学术语的能力，促进同学笼统思维的发展。 这局部内容主要教学以下几种常见的数量关系：单价、数量和总价，单产量、数量和总产量，速度、时间和路程，工效、时间和工作总量。在前几册通过解答应用题，同学已接触到这些数量关系，有一定的感性认识。只是还没有概括出规律，给出有关的术语。因此，关键是如何通过实际的例子使同学理解和掌握以和能用术语表达这些数量关系，并能在解答应用题和实际问题中加以应用。 教材中例1通过同学熟悉的3个具体例子，首先说明单价、数量和总价等术语的含义，如每件商品的价钱，叫做单价，买多少商品，叫做数量，一共用多少钱叫做总价；然后再概括出这三种量的关系。教材中着重总结出“单价&数量＝总价”这个基本的关系式。然后在练习题中通过改编应用题和自编应用题来巩固所学的术语和数量关系。 例2的编排和例1相似，也是通过具体例子引导同学总结出单产量&数量＝总产量的数量关系。 “做一做”中注意联系实际，让同学举例说出日常生活中符合某种数量关系的实际问题，使同学熟悉所学的数量关系的实际应用，提高同学对周围环境中的数量关系的认识。 例3通过同学熟悉的两个具体例子，首先说明速度、时间和路程等术语的含义，然后再概括出这三种量的关系。教材中着重总结出“速度&时间＝路程”这个基本关系式。 例4教学工效、时间和工作总量的数量关系。为了简便，把工作效率简写为工效，即指单位时间的工作量。教材通过实例总结出“工效&时间＝工作总量”这一关系式。 为了使同学加深对所学的数量关系的理解，练习中还布置了两道没有具体数量，但要求同学自身给出具体的数值，并计算出来的题目。如练习六的第12、13题。由于这些题目要求同学离开具体数值而只分析应用题的数量关系，所以有助于培养同学的笼统概括能力和一定的数学思维方法。 教学建议 1．这局部内容可用3课时进行教学。教学例1～例4，完成练习六的第1～14题。 2．例1中的3道题的解法同学已掌握，可以让同学独立做。老师指定同学口述怎样解答，然后板书算式。接着边提出问题边引导同学观察这3道题所说的事情都是哪一方面的，再看题里的已知条件有什么一起点，要求的问题有什么一起点？引导同学说出3道题都是说购买商品的事，都知道每件商品的价钱和买了多少，求一共用多少钱。教师进而告诉同学每件商品的价钱，我们叫它单价，等等。教师还可以反问单价是什么意思，总价是什么意思。在同学弄清楚三个量的名称之后，再根据3道题的实际计算找出三种量之间的关系。并总结出“单价&数量＝总价”。然后让同学说说每道题里单价是多少，数量是多少，总价是多少。 3．教学例2，可以仿照例1的方法。第一个例子的图可以改画成3棵苹果树。菜园的畦，同学不熟悉还可以画图。 通过例1、例2的教学，注意培养同学分析归纳能力，把已学的具体事例的关系概括为一般的数量关系，以便今后解应用题时迅速寻找解法。 4．教学例3时，可以参考例1的教法。 5．教学例4时，可以适当解释工效的意思是工作效率，是在一个单位时间里（如1分钟或1小时）做的工作量。一小时或一分钟做的工作多，就是工效高。教学方法可以参考前面的例题。在这之后再试算“做一做”中的习题。 6．本单元所讲的数量关系同学不难理解，但是同学对这些术语比较生疏，要达到能熟练运用的程度不是很容易。除了在本单元两个练习中注意练习区分和使用这些术语外，以后还要经常复习和使用。首先教师要经常使用这些术语。 7．关于练习六中一些习题的教学建议 做第1、5题时，都要让同学说一说已知什么，求什么。 第11题，同学填条件之前，最好让同学用数学术语说出已知的是什么（如时间、单价等），求的是什么，还缺少什么条件，然后再填。 第13题是两步应用题。订正时可以让同学每说一步算法同时说一说数量关系，老师可以写在黑板上。如，（1）每筐千克数&卖的筐数＝卖出的千克数；（2）原有千克数－卖出的千克数＝剩下的千克数。然后再让同学给出具体数量并计算出来。 第16*题，学校到少年宫的距离是已经行的路程与还没有行的路程之和，所以先求8分钟已经走的路程：210&8＝1680（米），然后＝1820（米）。 练习六后面的考虑题。算出的结果是自身年龄的10倍。可以这样想：自身的年龄加上5以后，再乘9，就是先把自身的年龄乘9（也就是自身年龄的9倍），5也乘9（得45）。这时等于自身年龄的9倍加上45。再加自身的年龄，就变成自身年龄的10倍加上45。再减去45，就剩下自身年龄的10倍。假如除以10，就得到自身的年龄。还可以让一个同学拿自身年龄或爸爸、妈妈的年龄按书里的步骤计算，把最后的结果说出，他人很快就能猜出自身的或爸爸、妈妈的年龄。为了不容易让人发现规律，也可以把“再加上你的年龄”改为“再减去你的年龄”，这样最后计算的结果是自身年龄的8倍。
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教材说明 本节是对本单元所学的主要内容进行较系统地整理和复习。通过整理和复习，使同学对本单元所学的内容有比较清楚的认识，同时与旧知识联系起来，形成知识的网络。教材注意体现在教师引导下，让同学自身总结所学的知识，从而逐步培养同学的归纳、综合能力。 本单元的主要内容可分为计算和应用题两局部。计算中有用一位数乘和用整十数乘的口算，用两位数乘的笔算，以和用一位数乘多位数的估算。应用题主要是结合乘法应用题教学一些常见的数量关系。 教材注意采取多种形式进行复习，使同学巩固所学的内容，并有所提高。如布置看谁算得都对，培养同学自觉地、合理灵活地进行计算；再如，要求同学判断对错、编题，以利于培养同学分析数量关系，提高解答应用题的能力。 教学建议 1．这局部内容可用2课时进行教学。复习有关计算的知识和常见的数量关系，完成练习七第1～12题。 2．复习口算时，先让同学回忆一下新学了哪些乘法的口算。在计算时应该怎样想，然后做相应的练习。对计算较慢，错误较多的同学，要注意找出原因，以便和时加以弥补。这些口算内容，还可以作为经常性的练习，逐步提高同学的口算能力。 3．复习一个因数是两位数的笔算，可先让平时计算中错误较多的同学举例说一说计算法则，计算时应注意的问题，然后要求同学独立做第2题。发现错误要让同学独立改正。 4?复习估算时，可以让同学结合具体题目先独立估算，再互相交流一下估算思路。使同学进一步了解：估算在日常生活中经常用到，各人的估算方法可能不同，但要合理。 5．复习常见的数量关系时，要让同学说一说新学了哪些常见的数量关系。不只仅是把它们的关系式记住，而且还要说出它们的含义。在做练习时，也要让同学说出判断的根据，培养同学有根有据地进行说理的能力。 6．关于练习七中一些习题的教学建议 第13*题，第（4）个算式是正确的。引导同学判断时，只要说明题意，○表示一个数，△表示一个数，然后让同学独立去想。 第14*题，第一层住：2&4＝8（户），第二、三、四、五、六层住：3&4&5＝60（户），全楼共住：60＋8＝68（户）。 练习七最后的考虑题，同学们做操所排的行数是：7＋13－1＝19（行），每行的人数是：8＋14－1＝21（个），所以，一共有：19&21＝399（人）。
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小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全[1]
小学奥数基础教程（四年级）-1-小学奥数基础教程（四年级） 第 1 讲 速算与巧算（一） 第 2 讲 速算与巧算（二） 第 3 讲 高斯求和 第 4 讲 4，8，9 整除的数的特征 第 5 讲 弃九法 第 6 讲 数的整除性（二） 第 7 讲 找规律（一） 第 8 讲 找规律（二） 第 9 讲 数字谜（一） 第 10 讲 数字谜（二
） 第 11 讲 归一问题与归总问题 第 12 讲 年龄问题 第 13 讲 鸡兔同笼问题与假设法 第 14 讲 盈亏问题与比较法（一） 第 15 讲 盈亏问题与比较法（二） 第 16 讲 数阵图（一） 第 17 讲 数阵图（二） 第 18 讲 数阵图（三） 第 19 将 乘法原理 第 20 讲 加法原理（一） 第 21 讲 加法原理（二） 第 22 讲 还原问题（一） 第 23 讲 还原问题（二） 第 24 讲 页码问题 第 25 讲 智取火柴 第 26 讲 逻辑问题（一） 第 27 讲 逻辑问题（二） 第 28 讲 最不利原则 第 29 讲 抽屉原理（一） 第 30 讲 抽屉原理（二）小学奥数基础教程（四年级）-2-第 1 讲 速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算 能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记 忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法 的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 例 1 四年级一班第一小组有 10 名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这 10 名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这 10 个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。 观察这些数不难发现， 这些数虽然大小不等， 但相差不大。 我们可以选择一个适当的数作 “基 准”，比如以“80”作基准，这 10 个数与 80 的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比 80 小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与 80 的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如 下：通过口算，得到差数累加为 9，再加上 80×10，就可口算出结果为 809。 例 1 所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差 不大的情况。作为“基准”的数（如例 1 的 80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累 计差。由例 1 得到： 总和数=基准数×加数的个数+累计差， 平均数=基准数+累计差÷加数的个数。 在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。 同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整 百的数。 例 2 某农场有 10 块麦田，每块的产量如下（单位：千克）： 462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。 解：选基准数为 450，则小学奥数基础教程（四年级）-3-累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11 ＝50， 平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。 答：平均每块麦田的产量为 455 千克。 求一位数的平方， 在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知， 如 7×7＝49 （七七四十九） 。 对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了 10～20 的平方，而 21～99 的平方就不大熟悉了。 有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法――凑整补零 法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化 成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。 例 3 求 292 和 822 的值。 解：292=29×29 ＝（29＋1）×（29-1）＋12 ＝30×28＋1 ＝840+1 ＝841。 822＝82×82 ＝（82－2）×（82＋2）＋22 ＝80×84＋4 ＝6720+4 ＝6724。 由上例看出，因为 29 比 30 少 1，所以给 29“补”1，这叫“补少”；因为 82 比 80 多 2， 所以从 82 中“移走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多 补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个 29 补 1，就要给另一个 29 减 1； 给一个 82 减了 2，就要给另一个 82 加上 2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。 由凑整补零法计算 352，得 35×35＝40×30＋52=1225。 这与三年级学的个位数是 5 的数的平方的速算方法结果相同。 这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。 例 4 求 9932 和 20042 的值。 解：3 ＝（993＋7）×（993-7）+72 ＝＋49 ＝小学奥数基础教程（四年级）-4-＝986049。 ×2004 ＝（2004-4）×（2004+4）＋42 ＝＋16 ＝ ＝4016016。 下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。 请看下面的算式： 66×46，73×88，19×44。 这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同， 另一因数的十位数与个位数之和为 10。这类算式有非常简便的速算方法。 例 5 88×64＝？ 分析与解：由乘法分配律和结合律，得到 88×64 ＝（80＋8）×（60＋4） ＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4 ＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4 ＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4 ＝80×（60＋6＋4）＋8×4 ＝80×（60＋10）＋8×4 ＝8×（6＋1）×100+8×4。 于是，我们得到下面的速算式：由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为 8×4；积中从百位起前面 的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为 10 的因数”的十位数加 1 的乘积，本例为 8×（6＋1）。 例 6 77×91＝？ 解：由例 3 的解法得到小学奥数基础教程（四年级）-5-由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个 0，本例为 7×1 ＝07。 用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。 练习 1 1.求下面 10 个数的总和： 165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。 2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出 12 株麦苗的高度分别为（单位：厘米）： 26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗的平均高度。 3.某车间有 9 个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为： 68，91，84，75，78，81，83，72，79。 他们共加工了多少个零件？ 4.计算： 13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。 5.计算下列各题： （1）372； （2）532； （3）912； （4）682： （5）1082； （6）3972。 6.计算下列各题： （1）77×28；（2）66×55； （3）33×19；（4）82×44； （5）37×33；（6）46×99。 练习 1 答案 1.1596。 2.26 厘米。 3.711 个。 4.147。 5.（1）1369； （2）2809； （3）8281； （4）4624； （5）11664； （6）157609。 6.（1）2156； （2）3630； （3）627； （4）3608； （5）1221； （6）4554。 第 2 讲 速算与巧算（二） 上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同” 速算法。 两个数之和等于 10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像 72×78，26 ×86 等被乘数与乘数的十位数字相同或互补， 或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。小学奥数基础教程（四年级）-6-72×78 的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互 补”型；26×86 的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互 补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补 同”速算法。 例 1 （1）76×74＝？ （2）31×39＝？ 分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到 76×74 ＝（70＋6）×（70+4） ＝（70＋6）×70＋（70＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4 ＝70×（70＋6＋4）＋6×4 ＝70×（70＋10）＋6×4 ＝7×（7+1）×100＋6×4。 于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例 1 看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的 个位数之积（不够两位时前面补 0，如 1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘 数）的十位数与十位数加 1 的乘积。“同补”速算法简单地说就是： 积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。 我们在三年级时学到的 15×15，25×25，?，95×95 的速算，实际上就是“同补”速算 法。 例 2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？ 分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到 78×38 ＝（70＋8）×（30＋8） ＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8小学奥数基础教程（四年级）-7-＝70×30+8×30＋70×8＋8×8 ＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8 ＝7×3×100＋8×100＋8×8 ＝（7×3＋8）×100＋8×8。 于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例 2 看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位 数之积（不够两位时前面补 0，如 3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数 之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是： 积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。 例 1 和例 2 介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数 多于两位时，情况会发生什么变化呢？ 我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是 10，100，1000，?时，这两个数互为补数， 简称互补。如 43 与 57 互补，99 与 1 互补，555 与 445 互补。 在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算 式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如 ， 因为被乘数与乘数的前 两 位 数 相 同 ， 都 是 70 ， 后 两 位 数 互 补 ， 77 ＋ 23 ＝ 100 ， 所 以 是 “ 同 补 ” 型 。 又 如 ， 等都是“同补”型。 当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型， 即“头互补，尾相同”型。例如， 等都是“补同”型。 在计算多位数的“同补”型乘法时，例 1 的方法仍然适用。 例 3 （1）702×708=？ （2）＝？ 解：（1）小学奥数基础教程（四年级）-8-（2）计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补 数之积作为乘积的后几位。 注意：互补数如果是 n 位数，则应占乘积的后 2n 位，不足的位补“0”。 在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相 同，那么例 2 的方法仍然适用（见例 4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例 2 的 方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。 例 4 ＝？ 解：练习 2 计算下列各题： 1.68×62； 2.93×97； 3.27×87； 4.79×39； 5.42×62； 6.603×607； 7.693×607； 8.。 第 3 讲 高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么 算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。小学奥数基础教程（四年级）-9-1～100 正好可以分成这样的 50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算 为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法， 真是聪明极了， 简单快捷， 并且广泛地适用于“等差数列” 的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后 一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例 如： （1）1，2，3，4，5，?，100； （2）1，3，5，7，9，?，99；（3）8，15，22，29，36，?，71。 其中（1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列； （2）是首项为 1，末项为 99， 公差为 2 的等差数列；（3）是首项为 8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例 1 1＋2＋3＋?＋1999＝？ 分析与解：这串加数 1，2，3，?，1999 是等差数列，首项是 1，末项是 1999，共有 1999 个 数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×99000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例 2 11＋12＋13＋?＋31＝？ 分析与解：这串加数 11，12，13，?，31 是等差数列，首项是 11，末项是 31，共有 31-11 ＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首 项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例 3 3＋7＋11＋?＋99＝？ 分析与解：3，7，11，?，99 是公差为 4 的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例 4 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。小学奥数基础教程（四年级）- 10 -解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 例 5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 厘米 2，边长是 1 根火柴棍。问：（1） 最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有 8 层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋?＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米 2）。 2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。 答：最大三角形的面积是 768 厘米 2，整个图形由 108 根火柴摆成。 例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成 3 只球后放 回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成 3 只球后放回盒子里??第十次 从盒子里拿出十只球，将每只球各变成 3 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓 球？ 分析与解：一只球变成 3 只球，实际上多了 2 只球。第一次多了 2 只球，第二次多了 2×2 只 球??第十次多了 2×10 只球。因此拿了十次后，多了 2×1＋2×2＋?＋2×10 ＝2×（1＋2＋?＋10） ＝2×55＝110（只）。 加上原有的 3 只球，盒子里共有球 110＋3＝113（只）。 综合列式为：小学奥数基础教程（四年级）- 11 -（3-1）×（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。 练习 3 1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋?＋200； （2）17＋19＋21＋?＋39； （3）5＋8＋11＋14＋?＋50； （4）3＋10＋17＋24＋?＋101。 2.求首项是 5，末项是 93，公差是 4 的等差数列的和。 3.求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和。 4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼 夜敲打多少次？ 5.求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。 6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？ 第四讲 我们在三年级已经学习了能被 2，3，5 整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并 讲解能被 4，8，9 整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48 能被 16 整除，16 能被 8 整除，那么 48 一定能被 8 整除。 性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除， 那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整 除。例如，21 与 15 都能被 3 整除，那么 21＋15 及 21-15 都能被 3 整除。 性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除， 那么这个数一定能被这两个互质的自然 数的乘积整除。例如，126 能被 9 整除，又能被 7 整除，且 9 与 7 互质，那么 126 能被 9×7 ＝63 整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的 整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是 0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被 2 整除。 （2）一个数的个位数字如果是 0 或 5，那么这个数就能被 5 整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。 （4）一个数的末两位数如果能被 4（或 25）整除，那么这个数就能被 4（或 25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被 8（或 125）整除，那么这个数就能被 8（或 125）整除。小学奥数基础教程（四年级）- 12 -（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为 100 能被 4（或 25）整除，所以由整除的性质 1 知，整百的数都能被 4（或 25）整 除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质 2 知，只要这个数的后两位数能被 4（或 25）整除，这个数就能被 4（或 25）整除。这就证明 了（4）。 类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。 因为 99 和 9 都能被 9 整除，所以根据整除的性质 1 和性质 2 知，（8x99＋3x9）能被 9 整除。再根据整除的性质 2，由（8＋3＋7）能被 9 整除，就能判断 837 能被 9 整除。 利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以 4，8，9 的余数： （4‘）一个数除以 4 的余数，与它的末两位除以 4 的余数相同。 （5＇）一个数除以 8 的余数，与它的末三位除以 8 的余数相同。 （6＇）一个数除以 9 的余数，与它的各位数字之和除以 9 的余数相同。 例 1 在下面的数中，哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？哪些能被 9 整除？ 234，789，，。 解：能被 4 整除的数有 ，8064； 能被 8 整除的数有 ； 能被 9 整除的数有 234，。 例 2 在四位数 56□2 中， 被盖住的十位数分别等于几时， 这个四位数分别能被 9， 8， 4 整除？ 解：如果 56□2 能被 9 整除，那么 5＋6＋□＋2＝13＋□ 应能被 9 整除，所以当十位数是 5，即四位数是 5652 时能被 9 整除； 如果 56□2 能被 8 整除，那么 6□2 应能被 8 整除，所以当十位数是 3 或 7，即四位数是 5632 或 5672 时能被 8 整除； 如果 56□2 能被 4 整除，那么□2 应能被 4 整除，所以当十位数是 1，3，5，7，9，即四 位数是 ，，5692 时能被 4 整除。小学奥数基础教程（四年级）- 13 -到现在为止，我们已经学过能被 2，3，5，4，8，9 整除的数的特征。根据整除的性质 3， 我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被 6 整除，因为 6＝2×3，2 与 3 互质，所以如果这个数既能被 2 整除又能被 3 整除，那么根据整除的性质 3，可判定这 个数能被 6 整除。 同理， 判断一个数能否被 12 整除， 只需判断这个数能否同时被 3 和 4 整除； 判断一个数能否被 72 整除，只需判断这个数能否同时被 8 和 9 整除；如此等等。 例 3 从 0，2，5，7 四个数字中任选三个，组成能同时被 2，5，3 整除的数，并将这些数从 小到大进行排列。 解：因为组成的三位数能同时被 2，5 整除，所以个位数字为 0。根据三位数能被 3 整除的特 征，数字和 2＋7＋0 与 5＋7＋0 都能被 3 整除，因此所求的这些数为 270，570，720，750。 例 4 五位数 分析与解：已知 能被 72 整除，问：A 与 B 各代表什么数字？ 能被 72 整除。因为 72＝8×9，8 和 9 是互质数，所以 既能被 8整除，又能被 9 整除。根据能被 8 整除的数的特征，要求 6。再根据能被 9 整除的数的特征， 的各位数字之和为能被 8 整除，由此可确定 B＝A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20， 因为 l≤A≤9，所以 21≤A＋20≤29。在这个范围内只有 27 能被 9 整除，所以 A＝7。 解答例 4 的关键是把 72 分解成 8×9， 再分别根据能被 8 和 9 整除的数的特征去讨论 B 和 A 所代表的数字。在解题顺序上，应先确定 B 所代表的数字，因为 B 代表的数字不受 A 的取值 大小的影响，一旦 B 代表的数字确定下来，A 所代表的数字就容易确定了。 例 5 六位数 是 6 的倍数，这样的六位数有多少个？分析与解：因为 6＝2×3，且 2 与 3 互质，所以这个整数既能被 2 整除又能被 3 整除。由六 位数能被 2 整除，推知 A 可取 0，2，4，6，8 这五个值。再由六位数能被 3 整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B 能被 3 整除，故 2B 能被 3 整除。B 可取 0，3，6，9 这 4 个值。由于 B 可以取 4 个值，A 可以取 5 个值，题目没有要求 A≠B，所以符合条件的六位数共有 5×4＝20（个）。 例 6 要使六位数 能被 36 整除，而且所得的商最小，问 A，B，C 各代表什么数字？分析与解：因为 36＝4×9，且 4 与 9 互质，所以这个六位数应既能被 4 整除又能被 9 整 除。六位数 能被 4 整除，就要 能被 4 整除，因此 C 可取 1，3，5，7，9。 这个六位数尽可能小。因此首先是 A 尽量小，其次是 的各位数字之和为 12＋B＋C。它应要使所得的商最小，就要使B 尽量小，最后是 C 尽量小。先试取 A=0。六位数小学奥数基础教程（四年级）- 14 -能被 9 整除，因此 B＋C＝6 或 B＋C＝15。因为 B，C 应尽量小，所以 B＋C＝6，而 C 只能取 1， 3，5，7，9，所以要使 尽可能小，应取 B＝1，C＝5。当 A=0，B=1，C＝5 时，六位数能被 36 整除，而且所得商最小，为 ＝4171。 练习 4 1．6539724 能被 4，8，9，24，36，72 中的哪几个数整除？ 2．个位数是 5，且能被 9 整除的三位数共有多少个？ 3．一些四位数，百位上的数字都是 3，十位上的数字都是 6，并且它们既能被 2 整除又 能被 3 整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？ 4．五位数 能被 12 整除，求这个五位数。5．有一个能被 24 整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？最小是几？ 6．从 0，2，3，6，7 这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被 8 整除的没有重复 数字的四位数？ 7．在 123 的左右各添一个数码，使得到的五位数能被 72 整除。 8．学校买了 72 只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是□67.9□ 元，你知道每只小足球多少钱吗？ 第 5 讲 弃九法 从第 4 讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被 9 整除，那么这个数能被 9 整 除；如果一个数各个数位上的数字之和被 9 除余数是几，那么这个数被 9 除的余数也一定是 几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被 9 整除或者求出被 9 除的余数是几。 例如，3645732 这个数，各个数位上的数字之和为 3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30， 30 被 9 除余 3，所以 3645732 这个数不能被 9 整除，且被 9 除后余数为 3。 但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢？ 因为我们只是判断这个式子被 9 除的余数，所以凡是若干个数的和是 9 时，就把这些数 划掉，如 3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个 3（如下图），所 以这个数除以 9 的余数是 3。这种将和为 9 或 9 的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以 9 的余数的方法，叫做弃 九法。 一个数被 9 除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可 以检验四则运算的正确性。小学奥数基础教程（四年级）- 15 -例 1 求多位数 5436715 除以 9 的余数。 分析与解：利用弃九法，将和为 9 的数依次划掉。只剩下 7，6，1，5 四个数，这时口算一下即可。口算知，7，6，5 的和是 9 的倍数，又 可划掉，只剩下 1。所以这个多位数除以 9 余 1。 例 2 将自然数 1，2，3，?依次无间隔地写下去组成一个数 1213?如果一直写 到自然数 100，那么所得的数除以 9 的余数是多少？ 分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为 9 或 9 的倍数的数，所以要配合适当的分析。我们已经熟知 1＋2＋3＋?＋9＝45， 而 45 是 9 的倍数，所以每一组 1，2，3，?，9 都可以划掉。在 1～99 这九十九个数中， 个位数有十组 1，2，3，?，9，都可划掉；十位数也有十组 1，2，3，?，9，也都划掉。这 样在这个大数中，除了 0 以外，只剩下最后的 100 中的数字 1。所以这个数除以 9 余 1。 在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。 本题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以 9 的余数相同，所 以题中这个数各个数位上的数字之和，与 1＋2＋?＋100 除以 9 的余数相同。 利用高斯求和法，知此和是 5050。因为 5050 的数字和为 5＋0＋5＋0=10，利用弃九法， 弃去一个 9 余 1，故 5050 除以 9 余 1。因此题中的数除以 9 余 1。 例 3 检验下面的加法算式是否正确： 25＝。 分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如 果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为 8，4，6，8+4+6 的九余数为 0；和的九余数为 1。因为 0≠1，所以这个算式不正确。 例 4 检验下面的减法算式是否正确： 2。 分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加 9，然 后再减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的 九余数是 3，减数的九余数是 6，由（9+3）-6＝6 知，原题等号左边的九余数是 6。等号右边 的九余数也是 6。因为 6＝6，所以这个减法运算可能正确。 值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见 例 5）运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；小学奥数基础教程（四年级）- 16 -如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有 0，1，2，?， 8 九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗 略的检验。 例 5 检验下面的乘法算式是否正确： 4＝。 分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。 如果不等， 那么这个乘法计算肯定不正确。 上式中， 被乘数的九余数是 4， 乘数的九余数是 6， 4×6＝24，24 的九余数是 6。乘积的九余数是 7。6≠7，所以这个算式不正确。 说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数×商+余数，所以当余数为零时，利用弃 九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验 3=1517 的正确性，只需检 验 3801 的正确性。 练习 5 1．求下列各数除以 9 的余数： （1）7468251； （2）； （3）2657348； （4）。 2．求下列各式除以 9 的余数： （1）6； （2）； （3）； （4）1。 3．用弃九法检验下列各题计算的正确性： （1）228×222＝50616； （2）334×336＝112224； （3）36＝3748； （4）1＝。 4．有一个 2000 位的数 A 能被 9 整除，数 A 的各个数位上的数字之和是 B，数 B 的各个 数位上的数字之和是 C，数 C 的各个数位上的数字之和是 D。求 D。 第 6 讲 数的整除性（二） 这一讲主要讲能被 11 整除的数的特征。 一个数从右边数起，第 1，3，5，?位称为奇数位，第 2，4，6，?位称为偶数位。也就 是说， 个位、 百位、 万位??是奇数位， 十位、 千位、 十万位??是偶数位。 例如 9 位数
中，奇数位与偶数位如下图所示：小学奥数基础教程（四年级）- 17 -能被 11 整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数 减小数）如果能被 11 整除，那么这个数就能被 11 整除。 例 1 判断七位数 1839673 能否被 11 整除。 分析与解：奇数位上的数字之和为 1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为 8＋9＋7=24，因 为 24-13=11 能被 11 整除，所以 1839673 能被 11 整除。 根据能被 11 整除的数的特征，也能求出一个数除以 11 的余数。 一个数除以 11 的余数， 与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除 以 11 的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的 数字之和上再增加 11 的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。 例 2 求下列各数除以 11 的余数： （1）41873； （2）。 分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11 =7÷11＝0??7， 所以 41873 除以 11 的余数是 7。 （2）奇数位之和为 2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为 9＋7＋8＋8＝32。因为 17＜32，所以 应给 17 增加 11 的整数倍，使其大于 32。 （17+11×2）-32＝7， 所以
除以 11 的余数是 7。 需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以 用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以 11，所得余数与 11 的差即为所求。如上题 （2）中，（32-17）÷11＝1??4，所求余数是 11-4=7。 例3 求 除以 11 的余数。分析与解：奇数位是 101 个 1，偶数位是 100 个 9。 （9×100-1×101）÷11 =799÷11=72??7， 11-7=4，所求余数是 4。小学奥数基础教程（四年级）- 18 -例 3 还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差 9-1＝8，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差 8×99=8×9×11，能被 11 整除。所以例 3 相当于 求最后三位数 191 除以 11 的余数。 例 4 用 3，3，7，7 四个数码能排出哪些能被 11 整除的四位数？ 解：只要奇数位和偶数位上各有一个 3 和一个 7 即可。有 ，。 例 5 用 1～9 九个数码组成能被 11 整除的没有重复数字的最大九位数。 分析与解：最大的没有重复数字的九位数是 ，由 （9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5 知， 不能被 11 整除。为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只 要使奇数位的数字和增加 3（偶数位的数字和自然就减少 3），奇数位的数字之和与偶数位的 数字之和的差就变为 5＋3×2=11，这个数就能被 11 整除。调整“4321”，只要 4 调到奇数 位，1 调到偶数位，奇数位就比原来增大 3，就可达到目的。此时，4，3 在奇数位，2，1 在 偶数位，后四位最大是 2413。所求数为 。 例 6 六位数 能被 99 整除，求 A 和 B。分析与解：由 99=9×11，且 9 与 11 互质，所以六位数既能被 9 整除又能被 11 整除。因为六 位数能被 9 整除，所以 A+2+8+7+5+B ＝22+A+B 应能被 9 整除，由此推知 A＋B＝5 或 14。又因为六位数能被 11 整除，所以 （A＋8＋5）－（2＋7＋B） ＝A-B＋4 应能被 11 整除，即 A-B+4=0 或 A-B+4=11。 化简得 B-A＝4 或 A-B＝7。 因为 A+B 与 A-B 同奇同偶，所以有在（1）中，A≤5 与 A≥7 不能同时满足，所以无解。 在（2）中，上、下两式相加，得 （B＋A）＋（B-A）＝14＋4， 2B＝18，小学奥数基础教程（四年级）- 19 -B=9。 将 B=9 代入 A＋B=14，得 A＝5。 所以，A=5，B＝9。 练习 6 1．为使五位数 6□295 能被 11 整除，□内应当填几？ 2．用 1，2，3，4 四个数码能排出哪些能被 11 整除的没有重复数字的四位数？ 3．求能被 11 整除的最大的没有重复数字的五位数。 4．求下列各数除以 11 的余数： （1）2485； （2）63582； （3）。 5．求 6．六位数 7．七位数 第 7 讲 找规律（一） 我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化 规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢？比如， 一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实 累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总是按照春、夏、 秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比如，数列 0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，? 是按照 0，1，2 三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。 下面，我们通过一些例题作进一步讲解。 例 1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照 5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 3 盏黄灯，然后又 是 5 盏红灯、4 盏蓝灯、3 盏黄灯、??这样排下去。问： （1）第 100 盏灯是什么颜色？ （2）前 150 盏彩灯中有多少盏蓝灯？ 分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照 5 红、4 蓝、3 黄，每 12 盏灯一个周期循环出 现。 （1）100÷12＝8??4，所以第 100 盏灯是第 9 个周期的第 4 盏灯，是红灯。 （2）150÷12=12??6，前 150 盏灯共有 12 个周期零 6 盏灯，12 个周期中有蓝灯 4×12 ＝48（盏），最后的 6 盏灯中有 1 盏蓝灯，所以共有蓝灯 48＋1=49（盏）。 例 2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于 25。已知第 1 个数是 3，第 6 个数是 6，第 11 个数是 7。问：这串数中第 24 个数是几？前 77 个数的和是多少？ 除以 11 的余数。 5A634B 能被 33 整除，求 A+B。 3A8629B 是 88 的倍数，求 A 和 B。小学奥数基础教程（四年级）- 20 -分析与解：因为第 1，2，3，4 个数的和等于第 2，3，4，5 个数的和，所以第 1 个数与第 5 个数相同。进一步可推知，第 1，5，9，13，?个数都相同。 同理，第 2，6，10，14，?个数都相同，第 3，7，11，15，?个数都相同，第 4，8， 12，16?个数都相同。 也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第 2 个数等于第 6 个 数，是 6；第 3 个数等于第 11 个数，是 7。前三个数依次是 3，6，7，第四个数是 25-（3+6+7）=9。 这串数按照 3，6，7，9 的顺序循环出现。第 24 个数与第 4 个数相同，是 9。由 77÷4 ＝9??1 知，前 77 个数是 19 个周期零 1 个数，其和为 25×19+3=478。 例 3 下面这串数的规律是：从第 3 个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这 串数中第 88 个数是几？ ? 分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻 数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻 数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：当写出第 21，22 位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第 1，2 位数相同，所以这 串数按每 20 个数一个周期循环出现。由 88÷20=4??8 知，第 88 个数与第 8 个数相同，所 以第 88 个数是 4。 从例 3 看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。 例 4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在 这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？ 134? 分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例 3 的方法找到一周期， 因为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个 数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数 的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到 奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇?? 可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数 连在一起的情况，即不会出现“2000”。 例 5 A，B，C，D 四个盒子中依次放有 8，6，3，1 个球。第 1 个小朋友找到放球最少的盒子， 然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第 2 个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也小学奥数基础教程（四年级）- 21 -从其它盒子中各取一个球放入这个盒子??当 100 位小朋友放完后，A，B，C，D 四个盒子中 各放有几个球？ 分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D 四个盒子中的球数如下表：可以看出，第 6 人放过后与第 2 人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第 2 人放过 后，每经过 4 人，四个盒子中球的情况重复出现一次。 （100-1）÷4＝24??3， 所以第 100 次后的情况与第 4 次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D 盒中依次有 4， 6，3，5 个球。 练习 7 1．有一串很长的珠子，它是按照 5 颗红珠、3 颗白珠、4 颗黄珠、2 颗绿珠的顺序重复 排列的。问：第 100 颗珠子是什么颜色？前 200 颗珠子中有多少颗红珠？ 2．将 1，2，3，4，?除以 3 的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个数列前 100 个数的和。 3．有一串数，前两个数是 9 和 7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数。 这串数中第 100 个数是几？前 100 个数之和是多少？ 4．有一列数，第一个数是 6，以后每一个数都是它前面一个数与 7 的和的个位数。这列 数中第 88 个数是几？ 5．小明按 1～3 报数，小红按 1～4 报数。两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报 了 100 个数时，有多少次两人报的数相同？ 6．A，B，C，D 四个盒子中依次放有 9，6，3，0 个小球。第 1 个小朋友找到放球最多的 盒子，从中拿出 3 个球放到其它盒子中各 1 个球；第 2 个小朋友也找到放球最多的盒子，也 从中拿出 3 个球放到其它盒子中各 1 个球??当 100 个小朋友放完后，A，B，C，D 四个盒子 中各放有几个球？ 第 8 讲 找规律（二）小学奥数基础教程（四年级）2 2- 22 -整数 a 与它本身的乘积，即 a×a 叫做这个数的平方，记作 a ，即 a ＝a×a；同样，三个 a 的乘积叫做 a 的三次方，记作 a3，即 a3＝a×a×a。一般地，n 个 a 相乘，叫做 a 的 n 次方， 记作 an，即本讲主要讲 an 的个位数的变化规律，以及 an 除以某数所得余数的变化规律。 因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关， 所以 an 的个位数只与 a 的个 位数有关，而 a 的个位数只有 0，1，2，?，9 共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。 为了找出一个整数 a 自乘 n 次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格， 看看 a，a2，a3，a4，?的个位数字各是什么。 从表看出，an 的个位数字的变化规律可分为三类： （1）当 a 的个位数是 0，1，5，6 时，an 的个位数仍然是 0，1，5，6。 （2）当 a 的个位数是 4，9 时，随着 n 的增大，an 的个位数按每两个数为一周期循环出 现。其中 a 的个位数是 4 时，按 4，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 9 时，按 9，1 的顺序 循环出现。 （3）当 a 的个位数是 2，3，7，8 时，随着 n 的增大，an 的个位数按每四个数为一周期 循环出现。其中 a 的个位数是 2 时，按 2，4，8，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 3 时，按 3，9，7，1 的顺序循环出现；当 a 的个位数是 7 时，按 7，9，3，1 的顺序循环出现；当 a 的个位数是 8 时，按 8，4，2，6 的顺序循环出现。例 1 求 67999 的个位数字。 分析与解：因为 67 的个位数是 7，所以 67n 的个位数随着 n 的增大，按 7，9，3，1 四个 数的顺序循环出现。 999÷4＝249??3， 所以 67999 的个位数字与 73 的个位数字相同，即 67999 的个位数字是 3。小学奥数基础教程（四年级）- 23 -例 2 求 2 +3 的个位数字。 分析与解：因为 2n 的个位数字按 2，4，8，6 四个数的顺序循环出现，91÷4＝22??3，所以， 291 的个位数字与 23 的个位数字相同，等于 8。 类似地，3n 的个位数字按 3，9，7，1 四个数的顺序循环出现， 291÷4＝72??3， 所以 3291 与 33 的个位数相同，等于 7。 最后得到 291+3291 的个位数字与 8+7 的个位数字相同，等于 5。 例 3 求
的个位数字。 解：由 128÷4＝32 知，28128 的个位数与 84 的个位数相同，等于 6。由 29÷2＝14??1 知， 2929 的个位数与 91 的个位数相同，等于 9。因为 6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个 位数字为 16－9＝7。 例 4 求下列各除法运算所得的余数： （1）7855÷5； （2）555÷3。 分析与解：（1）由 55÷4＝13??3 知，7855 的个位数与 83 的个位数相同，等于 2，所以 7855 可分解为 10×a＋2。因为 10×a 能被 5 整除，所以 7855 除以 5 的余数是 2。 （2） 因为 a÷3 的余数不仅仅与 a 的个位数有关， 所以不能用求 555 的个位数的方法求解。 为了寻找 5n÷3 的余数的规律，先将 5 的各次方除以 3 的余数列表如下：91291注意：表中除以 3 的余数并不需要计算出 5n，然后再除以 3 去求，而是用上次的余数乘 以 5 后，再除以 3 去求。比如，52 除以 3 的余数是 1，53 除以 3 的余数与 1×5=5 除以 3 的余 数相同。这是因为 52＝3×8+1，其中 3×8 能被 3 整除，而 53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5， （3×8）×5 能被 3 整除，所以 53 除以 3 的余数与 1×5 除以 3 的余数相同。 由上表看出， 5n 除以 3 的余数， 随着 n 的增大， 按 2， 1 的顺序循环出现。 由 55÷2=27?? 1 知，555÷3 的余数与 51÷3 的余数相同，等于 2。 例 5 某种细菌每小时分裂一次，每次 1 个细茵分裂成 3 个细菌。20 时后，将这些细菌每 7 个 分为一组，还剩下几个细菌？ 分析与解：1 时后有 1×3=31（个）细菌，2 时后有 31×3=32（个）细菌??20 时后，有 320 个细菌，所以本题相当于“求 320÷7 的余数”。 由例 4（2）的方法，将 3 的各次方除以 7 的余数列表如下：小学奥数基础教程（四年级）n 20- 24 -由上表看出，3 ÷7 的余数以六个数为周期循环出现。由 20÷6＝3??2 知，3 ÷7 的余 数与 32÷7 的余数相同，等于 2。所以最后还剩 2 个细菌。 最后再说明一点，an÷b 所得余数，随着 n 的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所 得余数必然小于 b，所以在 b 个数以内必会重复出现。 练习 8 1．求下列各数的个位数字： （1）3838； （2）2930； （3）6431； （4）17215。 2．求下列各式运算结果的个位数字： （1）； （2）615+487+349； （3）469-6211； （4）37×48+59×610。 3．求下列各除法算式所得的余数： （1）5100÷4； （2）8111÷6； （3）488÷7 第 9 讲 数字谜（一） 我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩固学过的知识外， 还要学习一些新的内容。 例 1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立： 5+7×8+12÷4-2＝20。 分析：等式右边是 20，而等式左边算式中的 7×8 所得的积比 20 大得多。因此必须设法 使这个积缩小一定的倍数，化大为小。 从整个算式来看，7×8 是 4 的倍数，12 也是 4 的倍数，5 不能被 4 整除，因此可在 7× 8+12 前后添上小括号，再除以 4 得 17，5＋17-2=20。 解：5+（7×8+12）÷4-2=20。 例 2 把 1～9 这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：分析与解：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手， 那么只有下面两种可能： 2×3＝6 或 2×4＝8， 所以应当从乘法算式入手。小学奥数基础教程（四年级）- 25 -因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数 的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内 的三个数的和也是偶数。于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。 若乘法算式是 2×4＝8，则剩下的六个数 1，3，5，6，7，9 的和是奇数，不合题意； 若乘法算式是 2×3＝6，则剩下的六个数 1，4，5，7，8，9 可分为两组： 4＋5＝9，8-7＝1（或 8-1＝7）； 1＋7＝8，9－5＝4（或 9－4＝5）。 所以答案为 与例 3 下面的算式是由 1～9 九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入□，使得 等式成立： □□□÷□□=□-□=□-7。 分析与解：因为左端除法式子的商必大于等于 2，所以右端被减数只能填 9，由此知左端被除 数的百位数只能填 1，故中间减式有 8-6，6-4，5-3 和 4-2 四种可能。经逐一验证，8-6，6-4 和 4-2 均无解，只有当中间减式为 5-3 时有如下两组解： 128÷64=5-3=9-7， 或 164÷82＝5-3＝9-7。 例 4 将 1～9 九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式都成立： □+□=6， □×□=8， □-□=6， □□÷□=8。 分析与解：因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：1＋5 或 2＋4；对于乘式 也只有两种填法：1×8 或 2×4。加式与乘式的数字不能相同，搭配后只有两种可能： （1）加式为 1＋5，乘式为 2×4； （2）加式为 2+4，乘式为 1×8。 对于（1），还剩 3，6，7，8，9 五个数字未填，减式只能是 9-3，此时除式无法满足； 对于（2），还剩 3，5，6，7，9 五个数字未填，减式只能是 9-3，此时除式可填 56÷7。 答案如下： 2＋4＝6， 1×8＝8， 9－3＝6， 56÷7＝8。小学奥数基础教程（四年级）- 26 -例 2～例 4 都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来， 再逐一试算，决定取舍。这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可 能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。 例 5 从 1～9 这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大： [○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。 分析与解：为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后一个中括号 内的结果尽量小。为叙述方便，将原式改写为： [A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。 通过分析，A，C，D，H 应尽可能大，且 A 应最大，C，D 次之，H 再次之；B，E，F，G 应 尽可能小，且 B 应最小，E，F 次之，G 再次之。于是得到 A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2， F=3，G=4，其中 C 与 D，E 与 F 的值可互换。将它们代入算式，得到 [9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。 练习 9 1．在下面的算式里填上括号，使等式成立： （1）4×6+24÷6-5=15； （2）4×6+24÷6-5=35； （3）4×6+24÷6-5=48； （4）4×6+24÷6-5＝0。 2．加上适当的运算符号和括号，使下式成立： 1 2 3 4 5 ＝100。 3．把 0～9 这十个数字填到下面的□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）： □+□=□， □-□=□， □×□=□□。 4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符号，使各个等式成立： 4□4□4□4＝1， 4□4□4□4＝3， 4□4□4□4＝5， 4□4□4□4＝9。 5．将 2～7 这六个数字分别填入下式的□中，使得等式成立： □+□-□=□×□÷□。 6．将 1～9 分别填入下式的九个□内，使算式取得最大值：小学奥数基础教程（四年级）- 27 -□□□×□□□×□□□。 7．将 1～8 分别填入下式的八个□内，使算式取得最小值： □□×□□×□□×□□。第 10 讲 数字谜（二） 例 1 把下面算式中缺少的数字补上：分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到 100。四位数与三位数相差不到 100，三位数必然大于 900，四位数必然小于 1100。由此我们 找出解决本题的突破口在百位数上。 （1）填百位与千位。由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百 位应填 9，被减数的千位应填 1，百位应填 0，且十位相减时必须向百位借 1。 （2）填个位。由于被减数个位数字是 0，差的个位数字是 1，所以减数的个位数字是 9。 （3）填十位。由于个位向十位借 1，十位又向百位借 1，所以被减数十位上的实际数值 是 18，18 分解成两个一位数的和，只能是 9 与 9，因此，减数与差的十位数字都是 9。 所求算式如右式。由例 1 看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。 例 2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出 这两个算式：分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位 与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。 从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是 8，有两种可能情况：2＋2＋2＋2＝8 与 7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2 或 7。 如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为 8，“数”只 能代表数字 6。此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“学”≠2。小学奥数基础教程（四年级）- 28 -如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的 2，和的个位 数字为 8，“数”只能代表数字 2。百位上两个 7 相加要向千位进位 1，由此可得“我”代表 数字 3。 满足条件的解如右式。（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、个位上都有“努”，8，可 将竖式简化为左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下 中式，从而求出“学”=9，“习”=1。 满足条件的算式如右下式。例 2 中的两题形式类似，但题目特点并不相同，解法也不同，请同学们注意比较。 例 3 下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘数。分析与解：由于个位上的“赛”ד赛”所得的积不再是“赛”，而是另一个数，所以“赛” 的取值只能是 2，3，4，7，8，9。 下面采用逐一试验的方法求解。 （1）若“赛”＝2，则“数”＝4，积=444444。被乘数为 ＝222222，而被乘 数各个数位上的数字各不相同，所以“赛”≠2。 （2）若“赛”＝3，则“数”=9，仿（1）讨论，也不行。 （3）若“赛”＝4，则“数”＝6，积=6666÷4 得不到整数商，不合题意。 （4）若“赛”＝7，则“数”＝9，积=999999。被乘数为 ＝142857，符合题 意。 （5）若“赛”＝8 或 9，仿上讨论可知，不合题意。 所以，被乘数是 142857。 例 4 在□内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。小学奥数基础教程（四年级）- 29 -分析与解：为清楚起见，我们用 A，B，C，D，?表示□内应填入的数字（见右上式）。 由被乘数大于 500 知，E=1。由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是 5，故 B，C 中必有一个是 5。若 C＝5，则有 6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5， 不可能等于□5□5，与题意不符，所以 B=5。再由 B=5 推知 G=0 或 5。若 G=5，则 F=A=9， 此时被乘数为 695， 无论 C 为何值， 它与 695 的积不可能等于□5□5， 与题意不符， 所以 G=0， F=A=4。此时已求出被乘数是 645，经试验只有 645×7 满足□5□5，所以 C=7；最后由 B=5， G=0 知 D 为偶数，经试验知 D=2。 右式为所求竖式。此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容易的未知数， 再依次填其余未知数。有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验决定取舍。 例 5 在□内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。分析与解：把左上式改写成右上式。根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除 数应是 99 的两位数的约数，可能取值有 11，33 和 99，再由商的个位数是 5 以及 5 与除数的 积是两位数得到除数是 11，进而知 A＝C-9。至此，除数与商都已求出，其余未知数都可填出 （见右式）。小学奥数基础教程（四年级）- 30 -此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补 0、余数必须小于除数，以及空格 间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃而解了。 例 6 把左下方除法算式中的*号换成数字，使之成为一个完整的式子（各*所表示的数字不一 定相同）。分析与解：由上面的除法算式容易看出，商的十位数字“*”是 0，即商为。因为除数与 8 的积是两位数，除数与商的千位数字的积是三位数，知商的千位数是 9， 即商为 9807。 因为“除数×9”是三位数，所以除数≥12；又因为“除数×8”是两位数，所以除数≤ 12。推知除数只能是 12。被除数为 7684。 除法算式如上页右式。 练习 10 1．在下面各竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立：2．右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。问： “小”代表什么数字？小学奥数基础教程（四年级）- 31 -3．在下列各算式中，不同的汉字代表不同的数字相同的汉字代表相同的数字。求出下列 各式：4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。这些算 式中各字母分别代表什么数字？第 11 讲 归一问题与归总问题 在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根 据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指 单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。 例 1 一种钢轨，4 根共重 1900 千克，现在有 95000 千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损 耗忽略不计） 分析：以一根钢轨的重量为单一量。 （1）一根钢轨重多少千克？ 5（千克）。 （2）95000 千克能制造多少根钢轨？ 9＝200（根）。 解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。 答：可以制造 200 根钢轨。 例 2 王家养了 5 头奶牛，7 天产牛奶 630 千克，照这样计算，8 头奶牛 15 天可产牛奶多少千 克？ 分析：以 1 头奶牛 1 天产的牛奶为单一量。 （1）1 头奶牛 1 天产奶多少千克？小学奥数基础教程（四年级）- 32 -630÷5÷7＝18（千克）。 （2）8 头奶牛 15 天可产牛奶多少千克？ 18×8×15＝2160（千克）。 解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。 答：可产牛奶 2160 千克。 例 3 三台同样的磨面机 2.5 时可以磨面粉 2400 千克， 8 台这样的磨面机磨 25600 千克面粉需 要多少时间？ 分析与解：以 1 台磨面机 1 时磨的面粉为单一量。 （1）1 台磨面机 1 时磨面粉多少千克？ .5=320（千克）。 （2）8 台磨面机磨 25600 千克面粉需要多少小时？ 2÷8=10（时）。 综合列式为 25600÷（.5）÷8=10（时）。 例 4 4 辆大卡车运沙土，7 趟共运走沙土 336 吨。现在有沙土 420 吨，要求 5 趟运完。问： 需要增加同样的卡车多少辆？ 分析与解：以 1 辆卡车 1 趟运的沙土为单一量。 （1）1 辆卡车 1 趟运沙土多少吨？ 336÷4÷7=12（吨）。 （2）5 趟运走 420 吨沙土需卡车多少辆？ 420÷12÷5＝7（辆）。 （3）需要增加多少辆卡车？ 7-4＝3（辆）。 综合列式为 420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。 与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总 量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总 价等。 例 5 一项工程，8 个人工作 15 时可以完成，如果 12 个人工作，那么多少小时可以完成？ 分析：（1）工程总量相当于 1 个人工作多少小时？ 15×8＝120（时）。 （2）12 个人完成这项工程需要多少小时？小学奥数基础教程（四年级）- 33 -120÷12＝10（时）。 解：15×8÷12＝10（时）。 答：12 人需 10 时完成。 例 6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 60 千米，5 时到达。若要 4 时到达，则每小时需要 多行多少千米？ 分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。 （1）从甲地到乙地的路程是多少千米？ 60×5=300（千米）。 （2）4 时到达，每小时需要行多少千米？ 300÷4＝75（千米）。 （3）每小时多行多少千米？ 75－60＝15（千米）。 解：（60×5）÷4――60＝15（千米）。 答：每小时需要多行 15 千米。 例 7 修一条公路，原计划 60 人工作，80 天完成。现在工作 20 天后，又增加了 30 人，这样 剩下的部分再用多少天可以完成？ 分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？ 60×80＝4800（劳动日）。 （2）60 人工作 20 天后，还剩下多少劳动日？ =3600（劳动日）。 （3）剩下的工程增加 30 人后还需多少天完成？ 3600÷（60＋30）=40（天）。 解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。 答：再用 40 天可以完成。 练习 11 1．2 台拖拉机 4 时耕地 20 公顷，照这样速度，5 台拖拉机 6 时可耕地多少公顷？ 2．4 台织布机 5 时可以织布 2600 米，24 台织布机几小时才能织布 24960 米？ 3．一种幻灯机，5 秒钟可以放映 80 张片子。问：48 秒钟可以放映多少张片子？ 4．3 台抽水机 8 时灌溉水田 48 公顷，照这样的速度，5 台同样的抽水机 6 时可以灌溉水 田多小公顷？ 5．平整一块土地，原计划 8 人平整，每天工作 7.5 时，6 天可以完成任务。由于急需播 种，要求 5 天完成，并且增加 1 人。问：每天要工作几小时？小学奥数基础教程（四年级）- 34 -6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克 3.00 元买 35 千克。结果鸡蛋价格下 调了，他用这笔钱多买了 2.5 千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？ 7．锅炉房按照每天 4.5 吨的用量储备了 120 天的供暖煤。供暖 40 天后，由于进行了技 术改造，每天能节约 0.9 吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？ 第 12 讲 年龄问题 年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。 年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年 龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变 化，年龄增大，倍数变小。 根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题” 进行求解。 例 1 儿子今年 10 岁，5 年前母亲的年龄是他的 6 倍，母亲今年多少岁？ 分析与解：儿子今年 10 岁，5 年前的年龄为 5 岁，那么 5 年前母亲的年龄为 5×6＝30（岁）， 因此母亲今年是 30＋5=35（岁）。 例 2 今年爸爸 48 岁，儿子 20 岁，几年前爸爸的年龄是儿子的 5 倍？ 分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差为“48――20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化 而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的 5 倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差 倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的 5 倍时，儿子的年龄是 （48――20）÷（5――1）＝7（岁）。 由 20－7＝13（岁），推知 13 年前爸爸的年龄是儿子年龄的 5 倍。 例 3 兄弟二人的年龄相差 5 岁，兄 3 年后的年龄为弟 4 年前的 3 倍。问：兄、弟二人今年各 多少岁？ 分析与解：根据题意，作示意图如下：由上图可以看出，兄 3 年后的年龄比弟 4 年前的年龄大 5＋3＋4＝12（岁），由“差倍 问题”解得，弟 4 年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到 弟今年 6＋4＝10（岁）， 兄今年 10＋5＝15（岁）。小学奥数基础教程（四年级）- 35 -例 4 今年兄弟二人年龄之和为 55 岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥 哥的岁数恰好是弟弟岁数的 2 倍，请问哥哥今年多少岁？ 分析与解：在哥哥的岁数是弟弟的岁数 2 倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的 岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是 1 份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相 等，所以今年弟弟岁数为 2 份，今年哥哥岁数为 2＋1=3（份）（见下页图）。 由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为 55÷(3+2)×3=33(岁)。例 5 哥哥 5 年前的年龄与妹妹 4 年后的年龄相等，哥哥 2 年后的年龄与妹妹 8 年后的年龄和 为 97 岁，请问二人今年各多少岁？ 分析与解：由“哥哥 5 年前的年龄与妹妹 4 年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4 ＋5”岁。由“哥哥 2 年后的年龄与妹妹 8 年后的年龄和为 97 岁”，可知兄妹二人今年的年 龄和为“97――2――8”岁。由“和差问题”解得， 兄[（97――2――8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁）， 妹[（97――2――8）-（4＋5）]÷2=39（岁）。 例 6 1994 年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的 4 倍。2000 年，父亲的年龄是哥哥和弟弟 年龄之和的 2 倍。问：父亲出生在哪一年？ 分析与解：如果用 1 段线表示兄弟二人 1994 年的年龄和，则父亲 1994 年的年龄要用 4 段线 来表示（见下页图）。父亲在 2000 年的年龄应是 4 段线再加 6 岁，而兄弟二人在 2000 年的年龄之和是 1 段线 再加 2×6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是 2 段线再加 3 岁。由 1 段＋12 岁=2 段＋3 岁， 推知 1 段是 9 岁。所以父亲 1994 年的年龄是 9×4＝36（岁），他出生于 1994――36＝1958（年）。 例 7 今年父亲的年龄为儿子的年龄的 4 倍， 20 年后父亲的年龄为儿子的年龄的 2 倍。 问： 父子今年各多少岁？小学奥数基础教程（四年级）- 36 -解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的 4 倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增 加 4 岁。这样，20 年后儿子增加 20 岁，父亲就要增加 80 岁，比儿子多增加了 80－20＝60 （岁）。 事实上，20 年后父亲的年龄为儿子的年龄的 2 倍，根据刚才的假设，多增加的 60 岁， 正好相当于 20 年后儿子年龄的（4――2＝）2 倍，因此，今年儿子的年龄为 （20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁）， 父亲今年的年龄为 10×4＝40（岁）。 解法二：如果用 1 段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用 4 段线来表示（见下 图）。20 年后，父亲的年龄应是 4 段线再加上 20 岁，而儿子的年龄应是 1 段线再加上 20 岁， 是父亲年龄的一半，也就是 2 段线再加上 10 岁。由 1 段＋20=2 段＋10， 求得 1 段是 10 岁，即儿子今年 10 岁，从而父亲今年 40 岁。 例 8 今年爷爷 78 岁，长孙 27 岁，次孙 23 岁，三孙 16 岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个 孙子年龄之和？ 分析：今年三个孙子的年龄和为 27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多 78 ――66＝12 （岁） 。 每过一年， 爷爷增加一岁， 而三个孙子的年龄和却要增加 1＋1＋1＝3 （岁） ， 比爷爷多增加 3－1＝2（岁）。因而只需求出 12 里面有几个 2 即可。 解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。 答：6 年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。 练习 12 1．父亲比儿子大 30 岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，那么今年儿子几岁？ 2．王梅比舅舅小 19 岁，舅舅的年龄比王梅年龄的 3 倍多 1 岁。问：他们二人各几岁？ 3．小明今年 9 岁，父亲 39 岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的 2 倍？ 4． 父亲年龄是女儿的 4 倍， 三年前父女年龄之和是 49 岁。 问： 父女两人现在各多少岁？ 5．一家三口人，三人年龄之和是 74 岁，妈妈比爸爸小 2 岁，妈妈的年龄是儿子年龄的 4 倍。问：三人各是多少岁？ 6．今年老师 46 岁，学生 16 岁，几年后老师年龄的 2 倍与学生年龄的 5 倍相等？ 7．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之 和为 82 岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的 5 倍。问：祖孙三人各多少岁？小学奥数基础教程（四年级）- 37 -8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才 3 岁；当你像我这么 大时，我已经 42 岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗？第 13 讲 鸡兔同笼问题与假设法 鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。 许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。 例 1 小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少 只？ 分析：假设 16 只都是鸡，那么就应该有 2×16＝32（只）脚，但实际上有 44 只脚，比 假设的情况多了 44-32＝12（只）脚，出现这种情况