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年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及解析
2000 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)?102 x ? x 2 dx =_____________.2 2 2(2)曲面 x ? 2 y ? 3z ? 21 在点 (1, ?2, ?2) 的法线方程为_____________. (3)微分方程 xy?? ? 3 y? ? 0 的通解为_____________.1 ? ? x1 ? ?1 ? ?1 2 ? 2 3 a ? 2? ? x ? ? ?3? (4)已知方程组 ? ? ? 2 ? ? ? 无解,则 a = _____________. ? ?1 a ?2 ? ?? ? x3 ? ? ? ?0 ? ?(5)设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 发生 A 不发生的概率相等,则 P ( A) =_____________.1 , A 发生 B 不发生的概率与 B 9二、 选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设 f ( x ) 、 g ( x) 是 恒 大 于 零 的 可 导 函 数 , 且 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 , 则 当a ? x ? b 时,有(A) f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) (C) f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) (B) f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) (D) f ( x) g ( x) ? f (a) g (a)(2)设 S : x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 ( z ? 0), S1 为 S 在第一卦限中的部分,则有 (A) (C)?? xdS ? 4?? xdSS S1(B) (D)?? ydS ? 4?? xdSS S1?? zdS ? 4?? xdSS S1?? xyzdS ? 4?? xyzdSS S1(3)设级数??un ?1?n收敛,则必收敛的级数为?(A)? (?1)nn ?1 ? n ?1un n(B)?un ?12 n(C)? (u2n?1 ? u2n )(D)? (un ?1?n? un?1 )(4)设 n 维列向量组 α1 ,? α ,则 n 维列向量组 β1 ,?, βm 线性无关的 , m m(? n 线性无关 ) 充分必要条件为 (A)向量组 α1 ,?, αm 可由向量组 β1 ,?, βm 线性表示 (B)向量组 β1 ,?, βm 可由向量组 α1 ,?, αm 线性表示 (C)向量组 α1 ,?, αm 与向量组 β1 ,?, βm 等价 (D)矩阵 A ? (α1 ? , αm , 与矩阵 ) B ? (β1 ? , βm , 等价 ) (5) 设二维随机变量 ( X Y , 则随机变量 ? ? X ? Y 与 ? ? X ? Y 不 , 服从二维正态分布 ) 相关的充分必要条件为 (A) E ( X ) ?2 E( X ? )E( Y )(B)2 [E ( X ?) ] E2 ? Y ( 2 2) E2 [ Y() ](D)(C) E( X ) ? E(Y )2 E( X ? ) 2 [E ( X ?) ] E2 ? Y () E2 [ Y() ]三、(本题满分 6 分)2? x e sx i n ) . 求l i m (4 ? x ?? x x 1? e四、(本题满分 5 分) 设 z ? f ( xy , ? )g1x y?2 z x , (其中 ) f 具有二阶连续偏导数 , g 具有二阶连续导数,求 . y ?x?y五、(本题满分 6 分) 计算曲线积分 I ? 取逆时针方向. 六、(本题满分 7 分) 设 对 于 半 空 间 x ? 0 内 任 意 的 光 滑 有 向 封 闭 曲 面 S, 都 有? ?xdy ? ydx 0 ) , R 为半径的圆周 ( R ? 1 ) , ,其中 L 是以点 ( 1 , 为中心 L 4 x2 ? y 2? ?? xf ( x)dydz ? xyf ( x)dzdx ? eS2xzdxdy ? 0, 其中函数 f ( x) 在 (0, ??) 内具有连续的一阶f ( x) ? 1, 求 f ( x) . 导数,且 lim ?x ?0七、(本题满分 6 分)1 xn 求幂级数 ? n 的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n n n ?1 3 ? (?2)八、(本题满分 7 分) 设有一半径为 R 的球体 , P0 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到?P0 距离的平方成正比(比例常数 k ? 0 ),求球体的重心位置.九、(本题满分 6 分) 设函数 f ( x ) 在 [0, ? ] 上连续 , 且??0f ( x)dx ? 0,? f ( x) cos xdx ? 0. 试证 : 在 (0, ? ) 内0?至少存在两个不同的点 ?1 , ?2 , 使 f (?1 ) ? f (?2 ) ? 0. 十、(本题满分 6 分)?1 0 ?0 1 * 设矩阵 A 的伴随矩阵 A ? ? ?1 0 ? ?0 ?3单位矩阵,求矩阵 B . 十一、(本题满分 8 分)0 0 1 00? 0? ? , 且 ABA?1 ? BA?1 ? 3E ,其中 E 为 4 阶 0? ? 8?某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1 熟练工支援其 6他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2 成为熟练工.设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn , 记成向 5量?? xn ? ?. ? yn ?(1)求 ?? xn ?1 ? ? xn ? ? xn?1 ? ? xn ? ? 与 ? ? 的关系式并写成矩阵形式: ? ? ? A ? ?. ? yn ?1 ? ? yn ? ? yn?1 ? ? yn ?? 4? ?1? ? ?1? ? 是 A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. ?1?(2)验证 η1 ? ? ? , η2 ? ??1? ? x1 ? ? 2 ? ? xn ?1 ? (3)当 ? ? ? ? ? 时,求 ? ?. yn ?1 ? ? y1 ? ? 1 ? ? ? ? ?2?十二、(本题满分 8 分) 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0 ? p ? 1) ,各产品合格与否相对独立,当出现 1 个不合格产品时即停机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X ,求 X 的数学 期望 E ( X ) 和方差 D( X ) .十三、(本题满分 6 分)? 2 e ?2( x ?? ) x ? ? 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 f (? ) ? ? ,其中 ? ? 0 为未知 x ?? ?0参数.又设 x1 , x2 ,?, xn 是 X 的一组样本观测值,求参数 ? 的最大似然估计值.2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1)设 y ? ex(C1 sin x ? C2 cos x) ( C1, C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)设 r ?x 2 ? y 2 ? z 2 ,则 div(gradr)(1, ?2 , 2 )=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:2?0 ?1dy?1? y 2f ( x, y)dx ＝_____________.?1(4)设矩阵 A 满足 A ? A ? 4 E ? 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A ? E ) =_____________. (5) 设随机变量 X 的方差是 2 , 则根据切比雪夫不等式有估计P{ X ? E( X ) ? 2} ?_____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)设函数 f ( x ) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图形如右图所 示, 则 y ? f ?( x) 的图形为yOx(2)设 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 附近有定义,且 (A)f x?(0,0) ? 3, f y? (0,0) ? 1,则dz |(0,0) ? 3dx ? dy .(B) 曲面 z ? f ( x, y) 在 (0,0, f (0,0)) 处的法向量为{3,1,1}.(C) 曲线 ?? z ? f ( x, y ) 在 (0,0, f (0,0)) 处的切向量为{1,0,3}. ? y?0(D) 曲线 ?? z ? f ( x, y ) 在 (0,0, f (0,0)) 处的切向量为{3,0,1}. ? y?0(3)设 f (0) ? 0 ,则 f ( x ) 在 x =0 处可导的充要条件为1 f (1 ? cosh) 存在. h2 1 (C) lim 2 f ( h ? sinh) 存在. h?0 h(A) limh?01 f (1 ? e h ) 存在. h 1 (D) lim [ f (2h) ? f ( h)] 存在. h ?0 h(B) limh?0?1 ?1 (4)设 A ? ? ?1 ? ?11 1 1 11 1 1 11? ?4 ? ?0 1? ,B ? ? ?0 1? ? ? 1? ?00 0 0 00 0 0 00? 0? ?,则 A 与 B 0? ? 0?(A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X 和 Y 的相关 系数等于 (A)-1. (B) 0. (C)1 . 2(D) 1.三、(本题满分 6 分) 求arctane x ? e 2 x dx .四、(本题满分 6 分) 设函数 z ? f ( x, y) 在点 (1,1) 处可微,且 f (1,1) ? 1 ,?f ?f |(1,1) ? 2 , |(1,1) ? 3 , ? ( x) ? f ( x, ?x ?yf ( x, x)) .求d 3 ? ( x) dxx ?1.五、(本题满分 8 分) 设 f ( x) = ?? ? 1?xx arctan x, x ? 0, (?1) n 将 f ( x ) 展开成 x 的幂级数,并求级数 ? 的和. 2 x ? 0, 1 ? 4 n 1, n ? 1 ?2六、(本题满分 7 分) 计算 I? ? ( y 2 ? z 2 )dx ? (2 z 2 ? x 2 )dy ? (3x 2 ? y 2 )dz ,其中 L 是平面 x ? y ? z ? 2 与L柱面x ? y ? 1 的交线,从 Z轴正向看去, L 为逆时针方向.七、(本题满分 7 分) 设 f ( x ) 在 (?1,1) 内具有二阶连续导数且 f ??( x) ? 0 ,试证: (1) 对于 (?1,1) 内的任一 x ? 0 ,存在惟一的 ? ( x) ? (0,1) ,使 f ( x ) = f (0) + xf ?(? ( x) x) 成 立; (2) lim ? ( x ) ?x ?01 . 2八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 h(t ) ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 z? h(t ) ?2( x 2 ? y 2 ) h(t )(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问 高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时? 九、(本题满分 6 分) 设?1 ,? 2 ,?,? s为 线 性 方 程 组 Ax ? 0 的 一 个 基 础 解 系 ,?1 ? t1?1 ? t2?2,?2 ? t1?2 ? t2?3 ,? ,?s ? t1?s ? t2?1 ,其中 t , t1 2为实常数.试问 t1 , t 2 满足什么条件时, ?1 , ? 2 ,?, ? s 也为 Ax ? 0 的一个基础解系. 十、(本题满分 8 分) 已知 3 阶矩阵A2与三维向量x , 使 得 向 量 组 x, Ax, A2 x线性无关,且满足A3 x ? 3 Ax ? 2 A2 x .(1)记 P =（ x, Ax, A (2)计算行列式x ）,求 3 阶矩阵 B ,使 A ? PBP ?1 ;A? E .十一、(本题满分 7 分) 设某班车起点站上客人数 率为X服从参数为 ? ( ? ? 0 )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概 表示在中途下车的人数,求:p ( 0 ? p ? 1 ),且中途下车与否相互独立.以 Y(1)在发车时有 个乘客的条件下,中途有 (2)二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布. 十二、(本题满分 7 分)nm 人下车的概率;设总体X服从正态分布N (? ,? 2 ) ( ? ? 0 ), 从该总体中抽取简单随机样本 X1 , X 2 , ? ,1 2n ? Xi 2n i ?1,求统计量 YX 2 n ( n ? 2 ),其样本均值为 X ?E (Y ) .? ? ( X i ? X n ?i ? 2 X ) 2i ?1n的数学期望2001 年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是 r 1 , r22 (r ? r1 )(r ? r2 ) ? r 2 ? (r1 ? r2 )r ? rr 1 2 ? r ? 2r ? 2 ? 0 .? 1 ? i ,从而得知特征方程为由此,所求微分方程为y&#39;&#39; ? 2 y&#39; ? 2 y ? 0 .(2)【分析】 先求 gradr. gradr= ?? ?r ?r ?r ? ? x y z ? , , ? ? ? , , ?. ? ?x ?y ?z ? ? r r r ?divgradr=再求? x ? y ? z ( )? ( )? ( ) ?x r ?y r ?z r1 x2 1 y2 1 z 2 3 x2 ? y 2 ? z 2 2 ? . =( ? 3 )?( ? 3 )?( ? 3 ) ? ? r r r r r r r r3 r于是 divgradr| (1, ?2,2) =2 2 |(1, ?2,2) ? . r 3(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 ?1 ? y ? 0 时1 ? y ? 2 .由此看出二次积分?0 ?1dy ?21? yf ( x, y)dx 是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为?0 ?1dy ?21? yf ( x, y )dx ? ?? f ( x, y )dxdy .D由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D : ?1 ? y ? 0,1 ? y ? x ? 2 . 见图.现可交换积分次序 原式= ??0 ?1dy ?21? yf ( x, y)dx ? ?? dx ?1201? xf ( x, y)dy ?? dx ?121? x0f ( x, y)dy .(4)【分析】 矩阵 虑用定义法. 因为 故 按定义知A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考( A ? E)( A ? 2E) ? 2E ? A2 ? A ? 4E ? 0 ,( A ? E )( A ? 2E ) ? 2E ,即( A ? E) ?A ? 2E ?E. 2( A ? E ) ?1 ?1 ( A ? 2E ) . 2(5)【分析】 根据切比雪夫不等式P{ X ? E ( X ) ? ? } ?于是D( x)?2,P{ X ? E ( X ) ? 2} ?D( x) 1 ? . 22 2二、选择题 (1)【分析】 当 x ? 0 时, f ( x ) 单调增 ? 当 x ? 0 时, f ( x ) :增――减――增 ? 应选(D). (2)【分析】 我们逐一分析. 关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由 f ( x, y ) 在(0,0)存在两个偏导数 ? f ( x, y ) 在(0,0)处可微. 因此(A)不一定成立. 关于 (B) 只能假设 f ( x, y ) 在 (0,0) 存在偏导数 在f &#39; ( x) ? 0 ,(A),(C)不对;f &#39; ( x) :正――负――正,(B)不对,(D)对.?f (0, 0) ?f (0, 0) , , 不保证曲面 z ? f ( x, y) ?x ?y(0, 0, f (0, 0)) 存在切平面.若存在时,法向量 n= ? ?不共线,因而(B)不成立.? ? ?f (0,0) ?f (0,0) ， ， ? 1? ? ? {3,1,-1}与{3,1,1} ?y ? ?x ?? x ? t, ? 关于(C),该曲线的参数方程为 ? y ? 0, 它在点 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为 ? z ? f (t , 0), ?{t &#39;, 0,因此,(C)成立.d f (t , 0)} |t ?0 ? {1, 0, f x&#39; (0, 0)} ? {1, 0,3} . dtf ( x) f ( x) f ( x) ? ?. ? lim ? lim x ?0 x ?0 ? x ?0? x x x 1 f (1 ? cos h) 1 ? cos h 1 f (t ) 关于(A): lim 2 f (1 ? cos h) ? lim , ? t ? 1 ? cos h lim 2 h ?0 h h ?0 t ? 0 ? 1 ? cos h h 2 t &#39; 1 由此可知 lim 2 f (1 ? cos h) ? ? f ? (0) ? . h ?0 h(3)【分析】 当 f (0) ? 0 时, f &#39; (0) ? lim 若 f ( x ) 在 x ? 0 可导 ? (A)成立,反之若(A)成立 ? f ? (0)&#39;&#39; ? ? f (0)? . 如f ( x) ?| x | 满足(A),但f &#39; (0) 不 ? .关于(D):若 f ( x ) 在 x ? 0 可导, ?1 f (2h) f (h) lim [ f (2h) ? f (h)] ? lim[2 ? ] ? 2 f &#39; (0) ? f &#39; (0) . h ?0 h h ?0 2h h? (D) 成 立 . 反 之 (D) 成 立 ? li m (f h ?0?2 x ? 1, x ? 0 x ? 0 可导.如 f ( x) ? ? 0, x?0 ?　不?. 再看(C):(2 h ? ) f h ( )? )? 0 f ( x) 在 x ? 0 连 续 ,?f ( x) 在满足 (D), 但 f ( x ) 在 x ? 0 处不连续 , 因而f &#39; (0) 也1 h ? sin h f (h ? sin h) h ? sin h f (t ) (当它们都 ? 时). f (h ? sin h) ? lim ? ? lim ? h ?0 h ?0 h2 h2 h ? sin h h2 t &#39; h ? sin h f (t ) 注意,易求得 lim (即 ? 0 .因而,若 f (0) ? ? (C)成立.反之若(C)成立 ? lim 2 h ?0 t ?0 h t f &#39; (0) ? ).因为只要 f (t ) 有界,任有(C)成立,如 f ( x) ?| x | 满足(C),但 f &#39; (0) 不 ? . t limh ?0因此,只能选(B).(4)【分析】 由 阵,| ? E ? A |? ? 4 ? 4? 3 ? 0 ,知矩阵 A 的特征值是相似.4,0,0,0.又因A 是实对称矩A 必能相似对角化,所以 A 与对角矩阵 B作为实对称矩阵,当 A ?B 时,知 A 与 B合同.有相同的特征值,从而二次型 xT Ax 与xT Bx 有相同的正负惯性指数,因此 所以本题应当选(A).A与B注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如?1 0 ? ?1 0? 与 A?? B ? ? ?0 3 ? , ?0 2 ? ? ?它们的特征值不同,故A与B不相似,但它们的正惯性指数均为 2,负惯性指数均为 0.所以A与B合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X和 Y 的关系: X ? Y ? n ,即 Y ? n ? X ,在此基础上利用性质 : 相关系数 ? XY 的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量X与 Y 之间存在线性关系 , 即Y ? aX ? b ( 其 中 a , b 是 常 数 ), 且 当 a ? 0 时 ,?XY ? 1 ; 当 a ? 0 时 , ? XY ? ?1 , 由 此 便 知? XY ? ?1 ,应选(A).事实上 , Cov( X , Y ) ? Cov( X , n ? X ) ? ? DX , DY ? D(n ? X ) ? DX , 由此由相关系数 的定义式有? XY ?Cov( X , Y ) ? DX ? ? ?1. DX DY DX DY三、 【解】原式= ?1 1 ?2 x de x x ?2 x x arctan e d ( e ) ? ? [ e arctan e ? ? e2 x (1 ? e2 x ) ] 2? 21 ?2 x de x de x x ? ( e arctan e ? ? = ? e2 x ? 1 ? e2 x ) 2=?1 ?2 x (e arctan e x ? e ? x ? arctan e x ) ? C . 2四、 【解】 求先求 ? (1) ? f (1, f (1,1)) ? f (1,1) ? 1 .&#39; d 3 ? ( x) |x ?1 ? 3? 2 (1)? &#39; (1) ? 3? &#39; (1) ,归结为求 ? (1) .由复合函数求导法 dx d ? &#39; ( x) ? f1&#39; ( x, f ( x, x)) ? f 2&#39; ( x, f ( x, x)) f ( x, x) , dx? &#39; (1) ? f1&#39; (1,1) ? f2&#39; (1,1)[ f1&#39; (1,1) ? f2&#39; (1,1)] .注意f1&#39; (1,1) ??f (1,1) ?2, ?xf 2&#39; (1,1) ??f (1,1) ?3. ?y因此? &#39; (1) ? 2 ? 3(2 ? 3) ? 17 ,d 3 ? ( x) |x ?1 ? 3 ?17 ? 51 . dx五、 【分析与求解】 可.关键是将 arctan x 展成幂级数,然后约去因子 ,再乘上 1 ? x 2 并化简即&#39;x直接将 arctan x 展开办不到,但 (arctan x) 易展开,即? 1 (arctan x) ? ? ? (?1)n x 2 n , | x |? 1 , 2 1 ? x n ?0 &#39;①积分得arctan x ? ? (arctan t )&#39;dt ? ? (?1)n ? t 2 n dt ? ?x x 0 n ?0 0?(?1)n 2 n?1 x , x ?[?1,1] .② n ?0 2n ? 1?因为右端积分在 x ? ?1 时均收敛,又 arctan x 在 x ? ?1 连续,所以展开式在收敛区间端点x ? ?1 成立.现将②式两边同乘以1 ? x2 得 x? 1 ? x2 (?1)n 2n ? (?1)n 2n ? (?1)n x2n?2 2 arctan x ? (1 ? x )? x ?? x ?? x 2n ? 1 n ?0 2n ? 1 n ?0 2n ? 1 n ?0=(?1)n 2 n ? (?1)n?1 2 n x ?? x ? n ?0 2n ? 1 n ? 0 2n ? 1?=1 ?? (?1) ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) xn n ?1??112n? 1? ?(?1)n 2 2 n x 2 n ?1 1 ? 4n?,x ?[?1,1] , x ? 0上式右端当 x ? 0 时取值为 1,于是(?1)n 2 2 n f ( x) ? 1 ? ? x , x ?[?1,1] . 2 n ?1 1 ? 4n上式中令 x ? 1 ?(?1)n 1 1 ? ? 1 ? [ f (1) ? 1] ? (2 ? ? 1) ? ? . ? 2 2 2 4 4 2 n ?1 1 ? 4n?六、 【解】 为围部分.由用斯托克斯公式来计算.记 S 为平面 x ? y ? z ? 2 上 L 所L 的定向,按右手法则 S取上侧, S 的单位法向量? 1 n ? (cos ? ,cos ? ,cos ? ) ? (1,1,1) . 3于是由斯托克斯公式得cos ? ? I ? ?? ?x S y2 ? z2=cos ? ? ?y 2 z 2 ? x2cos ? ? ?z 3x 2 ? y 2dS?? [(?2 y ? 4z)S1 1 1 ? (?2 z ? 6 x) ? (?2 x ? 2 y) ]dS 3 3 3=?2 2 (4 x ? 2 y ? 3z)dS (利用x ? y ? z ? 2) ? ?? ?? (6 ? x ? y)dS . 3 S 3 S于是&#39;2 &#39;2 1? Zx ? Zy ? 1?1?1 ? 3 .按第一类曲面积分化为二重积分得I ??2 (6 ? x ? y) 3dxdy ? ?2?? (6 ? x ? y)dxdy , 3 ?? D Dy 轴的对称性及被积函数其中 D 围 S 在 xy 平面上的投影区域 | x | ? | y |? 1 (图）.由 D 关于 x , 的奇偶性得?? ( x ? y)dxdy ? 0D?I ? ?12?? dxdy ? ?12( 2)2 ? ?24 .D七、 【证明】 (1)由拉格朗日中值定理, ? x ? (1, ?1) , x ? 0 , ?? ? (0,1) ,使f ( x) ? f (0) ? xf &#39; (? x)(? 与x有关); 又由f &#39;&#39; ( x) 连续而 f &#39;&#39; ( x) ? 0 , f &#39;&#39; ( x) 在 (1, ?1)的定义.由题(1)中的式子先解出不变号,f &#39; ( x) 在 (1, ?1)严格单调, ? 唯一. (2)对f &#39; (? x) 使用 f &#39;&#39; (0)f &#39; (? x ) ?f &#39; (? x) ,则有f ( x ) ? f (0) . x再改写成f &#39; (? x)? f &#39; (0)?f ( x) ? f (0) ? xf &#39; (0) . xf &#39; (? x)? f &#39; (0) f ( x) ? f (0) ? xf &#39; (0) ?? ? , ?x x2解出 ? ,令 x ? 0 取极限得1 &#39;&#39; f (0) f ( x) ? f (0) ? xf (0) f (? x)? f (0) 2 1 lim ? ? lim / lim ? &#39;&#39; ? . 2 x ?0 x ?0 x ? 0 x ?x f (0) 2&#39; &#39; &#39;八、 【解】(1)设 t 时刻雪堆的体积为 V (t ) ,侧面积为 S (t ) . t 时刻雪堆形状如图所示先求 S (t ) 与 V (t ) .2( x 2 ? y 2 ) h2 (t ) 2 2 (( x, y) ? Dxy : x ? y ? ). 侧面方程是 z ? h(t ) ? h(t ) 2? ??z 4 x ?z 4y ?? , ?? ?x h(t ) ?y h(t )S (t ) ? ??Dxy.?z 2 ?z 2 h 2 (t ) ? 16( x 2 ? y 2 ) 1 ? ( ) ? ( ) dxdy ? ?? dxdy . ?x ?y h(t ) Dxy作极坐标变换: x ? r cos ? , y ? r sin ? ,则Dxy : 0 ? ? ? 2? ,0 ? r ?1 h(t ) . 2?S (t ) ?1 h (t ) 1 2? 2 d ? h 2 (t ) ? 16r 2 rdr ? ? 0 0 h(t ) 13 h (t ) 2? 1 2 13? 2 2 2 ? ? [h (t ) ? 16r ] |0 2 ? h (t ). h(t ) 48 12用先二后一的积分顺序求三重积分V (t ) ? ?h (t )0dz ?? dxdy ,D( x)其中 D( z ):2( x 2 ? y 2 ) ? h(t ) ? z (t ) ,即 x 2 ? y 2 ? 1 [h 2 (t ) ? h(t ) z ] . 2 h(t )V (t ) ? ?h (t )??20[h 2 (t ) ? h(t ) z ]dz ??2[h3 (t ) ?1 ? h(t )3 ] ? h3 (t ) . 2 4dV ? ?0.9 S dt(2)按题意列出微分方程与初始条件.dV ,它与侧面积成正比(比例系数 0.9),即 dt ? 2 dh 13? 2 将 V (t ) 与 S (t ) 的表达式代入得 3h (t ) ? ?0.9 h (t ) ,即 4 dt 12 dh 13 . ?? dt 10体积减少的速度是 ? ①h(0) ? 130 .②13 13 由②得 C ? 130 ,即 h(t ) ? ? t ?C. t ? 130 . 10 10 令 h(t ) ? 0 ,得 t ? 100 .因此,高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时.(3)解①得 h(t ) ? ? 由于 ?i (i ? 1, 2? s ) 是 ?1 , ? 2 ,?? s 线性组合,又 ?1 , ? 2 ,?? s 是 Ax ? 0 的解, 所九、 【解】以根据齐次线性方程组解的性质知 ?i (i ? 1,2? s) 均为 Ax ? 0 的解. 从 ?1 , ? 2 ,?? s 是 Ax ? 0 的基础解系,知 s ? n ? r ( A) . 下面来分析 ?1 , ?2 ,? ?s 线性无关的条件.设 k1?1 ? k2 ?2? ??ks ?s ? 0 ,即(t1k1 ? t2ks )?1 ? (t2k1 ? t1k2 )?2 ? (t2k2 ? t1k3 )?3 ? ?? (t2ks?1 ? t1ks )?s ? 0 .由于 ?1 , ? 2 ,?? s 线性无关,因此有?t1k1 ? t2 ks ? 0, ?t k ? t k ? 0, 2 1 1 2 ? ? ?t2 k2 ? t1k3 ? 0, ? ? ? ? ?t2 ks ?1 ? t1k s ? 0.因为系数行列式(*)t1 0 0? 0 t2 t2 t1 0 ? 0 0s 0 t2 t1 ? 0 0 ? t1s ? ( ?1) s ?1 t2 ,? ? ???0 0 0? t2 t1所以当 t1s s ? (?1)s?1t2 ? 0 时,方程组(*)只有零解 k1 ? k2 ? ? ? ks ? 0 .从而 ?1 , ?2 ,? ?s 线性无关. (1)由于 AP十、 【解】? PB,即A( x, Ax, A2 x) ? ( Ax, A2 x, A3 x) ? ( Ax, A2 x,3Ax ? 2 A2 x)?0 0 0 ? ? ? ( x, Ax, A x ) ? ?1 0 3 ? , ? ?0 1 ? 2 ? ?2?0 0 0 ? ? ? 所以 B ? 1 0 3 . ? ? ? ? 0 1 ? 2 ? ?(2)由(1)知 A ? B ,那么 A ? E ? B ? E ,从而1 0 0 | A ? E |?| B ? E |? 1 1 3 ? ?4 . 0 1 ?1十一、 【解】 (1) P{Y? m | X ? n} ? Cnm pm (1 ? p)n?m ,0 ? m ? n, n ? 0,1,2,?.(2) P{ X ? n, Y ? m} = P{ X ? n}P{Y ? m | X ? n}? n ?? m m e ? Cn p (1 ? p)n?m ,0 ? m ? n, n ? 0,1, 2,?. = n!十二、 【解】 易见随机变量 ( X1 ? X n?1 ) , ( X 2 ? X n?2 ) , 分布 N (2? , 2?2? ,( X n ? X 2n ) 相互独立都服从正态) .因此可以将它们看作是取自总体 N (2? , 2? 2 ) 的一个容量为 n 的简单随机1 n 1 2n ( X i ? X n ?i ) ? ? X i ?2 X , ? n i ?1 n i ?1 1 n 1 ( X i ? X n ?i ? 2 X ) 2 ? Y. ? n ? 1 i ?1 n ?12 1 Y ) ? 2? 2 ,即 E(Y ) ? 2(n ?1)? . n ?1样本.其样本均值为样本方差为因样本方差是总体方差的无偏估计,故 E (2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1)??? edx = x ln 2 x.y(2)已知函数 y ? y ( x) 由方程 e (3)微分方程 yy ? ?? 6xy ? x 2 ? 1 ? 0 确定,则 y??(0) =x ?0. .y? 2 ? 0 满足初始条件 y? 1, y &#39;x ?0?1 的特解是 2(4) 已 知 实 二 次 型2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? a( x12 ? x2 ? x3 ) ? 4x1 x2 ? 4x1 x3 ? 4x2 x3 经 正 交 变 换可化成标准型 x ? Py (5)设随机变量 为f ? 6 y12 ,则 a =2.X服从正态分布 N (?,? .)(? ? 0) ,且二次方程 y 2 ? 4 y ? X ? 0 无实根的概率1 ,则 ? ＝ 2二、 选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数 f ( x, y ) 的下面 4 条性质: ① f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续; ③ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微; ② f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续; ④ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在．若用“ P ? Q ”表示可由性质 P 推出性质 Q ,则有 (A) ② ? ③ ? ①. (C) ③ ? ④ ? ①. (B) ③ ? ② ? ①. (D) ③ ? ① ? ④.? n 1 1 ? 1 ,则级数 ? (?1)n?1 ( ? ) n ?? u un un?1 n ?1 n(2)设 un? 0(n ? 1,2,3,L ) ,且 lim(A) 发散. (C) 条件收敛.(B) 绝对收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数 y ? f ( x) 在 (0, ??) 内有界且可导,则 (A) 当 lim f ( x ) ? 0 时,必有 lim f ?( x ) ? 0 .x ? ?? x ? ??(B) 当 lim f ?( x ) 存在时,必有 lim f ?( x ) ? 0 .x ? ??x ? ??f ( x) ? 0 时,必有 lim? f ?( x) ? 0 . (C) 当 lim ?x ?0 x ?0f ?( x) 存在时,必有 lim? f ?( x) ? 0 . (D) 当 lim ?x ?0 x ?0(4)设有三张不同平面的方程 ai1 x ? ai 2 y ? ai 3 z ? bi , i ? 1,2,3 ,它们所组成的线性方程组的系数 矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5) 设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量 ,它们的概率密度分别为 f1 ( x) 和 f 2 ( x) , 分布函数分别为 F1 ( x) 和 F2 ( x) ,则 (A) (B) (C) ( D)f1 ( x) ＋ f 2 ( x) 必为某一随机变量的概率密度. f1 ( x) f 2 ( x) 必为某一随机变量的概率密度. F1 ( x) ＋ F2 ( x) 必为某一随机变量的分布函数. F1 ( x) F2 ( x) 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分 6 分) 设 函 数 f ( x ) 在 x ? 0 的 某 邻 域 内 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 且 f (0) ? 0, f ?(0) ? 0 , 若af (h) ? bf (2h) ? f (0) 在 h ? 0 时是比 h 高阶的无穷小,试确定 a , b 的值.四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 y ? f ( x) 与y??arctanx 0e ?t dt 在点 (0, 0) 处的切线相同 , 写出此切线方程, 并求极限22 lim nf ( ) . n ?? n五、(本题满分 7 分) 计算二重积分?? eDmax{x 2 , y 2 }dxdy ,其中 D ? {( x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} .六、(本题满分 8 分) 设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 内具有一阶连续导数, L 是上半平面( 其起点为( a , b ),终点为( c , d ).记y ＞0)内的有向分段光滑曲线,I ??1 x [1 ? y 2 f ( xy)]dx ? 2 [ y 2 f ( xy ) ? 1]dy, L y y(1)证明曲线积分 I 与路径(2)当 ab ? cd 时,求 I 的值. 七、(本题满分 7 分) (1) 验 证 函 数L 无关;y ( x) ? 1 ?x3 6 3 9 3 xn3 ? ? ?L ? ? L (?? ? x ? ??) 满 足 微 分 方 程 3! 6! 9! (3n)!y?? ? y? ? y ?x 3n (2)利用(1)的结果求幂级数 ? 的和函数. n ? 0 (3n)!八、(本题满分 7 分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面,其底部所占的区域为 D ? {( x, y) | x2?? y2 ? xy ? 75} ,小山的高度函数为 h( x, y) ? 75 ? x 2 ? y 2 ? xy .(1)设 M ( x0 , y0 ) 为区域 D 上一点,问 h( x, y ) 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 g ( x0 , y0 ) ,试写出 g ( x0 , y0 ) 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点 .也 就是说 ,要在 D 的边界线 x 登起点的位置. 九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵2? y2 ? xy ? 75 上找出使(1)中 g ( x, y ) 达到最大值的点 .试确定攀A ? (?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ) , ?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 均为 4 维列向量 , 其中 ? 2 ,? 3 ,? 4 线性无关,?1 ? 2? 2 ? ? 3 ,如果 ? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ,求线性方程组 Ax ? ? 的通解.十、(本题满分 8 分) 设 A, B 为同阶方阵, (1)若 A, B 相似,证明 A, B 的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 A, B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 X 的概率密度为x ?1 ? cos , f ( x) ? ? 2 2 ? ? 0,0 ? x ??, 其他.?3的次数,求 Y 的数学期望.2对 X 独立地重复观察４次,用 Y 表示观察值大于十二、(本题满分 7 分) 设总体 X 的概率分布为X P其中 ? (0 ? ? ?0123?22? (1 ? ? )?21 ? 2?1 ) 是未知参数,利用总体 X 的如下样本值 2 3,1,3, 0,3,1, 2,3,求 ? 的矩估计值和最大似然估计值.2002 年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】 原式 ???? ed ln x 1 ?? 2 ln x ln x?? e? 1.(2)【分析】 方程两边对 两次求导得xe y y &#39;? 6xy &#39;? 6 y ? 2x ? 0,①e y y &#39;&#39;? e y y &#39;2 ? 6xy &#39;&#39;? 12 y &#39;? 2 ? 0.②以 x ? 0 代入原方程得 y ? 0 , 以 x ? y ? 0 代入①得 y &#39; ? 0, , 再以 x ? y ? y &#39; ? 0 代入②得y &#39;&#39;(0) ? ?2.(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程. 令 y &#39; ? P( y ) ( 以y为自变量),则y &#39;&#39; ?dy &#39; dP dP ? ?P . dx dx dyx ?0代入方程得yPdP dP ? P 2 ? 0 ,即 y ? P ? 0 (或 P ? 0 ,但其不满足初始条件 y &#39; dy dy?1 ). 2分离变量得dP dy ? ? 0, P y积分得ln P ? ln y ? C &#39;, 即 P ?C1 ( P ? 0 对应 C1 ? 0 ); y由 x ? 0 时 y ? 1, P ? y &#39; ?1 1 , 得 C1 ? . 于是 2 2y&#39; ? P ?又由1 , 2 ydy ? dx, 积分得 y2 ? x ? C2 . 2yyx ?0? 1 得 C2 ? 1, 所求特解为 y ? x ? 1.(4)【分析】 因为二次型 xT Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩 阵A 的特征值,所以 6,0,0 是 A 的特征值.又因?a ? ?? ,故 a ? a ? a ? 6 ? 0 ? 0, ? a ? 2.ii i(5)【分析】 设 事 件A表 示 “ 二 次 方 程y2 ? 4y ? X ? 0无 实 根 ” , 则A ? {16 ? 4 X ? 0} ? {X ?4}. 依题意,有而 即P ( A) ? P{ X ? 4} ?1 . 2P{ X ? 4} ? 1 ? P{ X ? 4} ? 1 ? ? ( 1 ?? ( 4??4???),?)?1 4?? 1 4?? ,? ( )? , ? 0. ? ? ? 4. 2 ? 2 ?二、选择题(1)【分析】 这是讨论函数 f ( x, y ) 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系. 我们知道, f ( x, y ) 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若 f ( x, y ) 可微则必连续,故选(A).1 1 1 un ? 1 ? 0 ? n 充分大时即 ?N , n ? N 时 ? 0 ,且 lim ? 0, 不妨认 (2)【分析】 由 lim n ??? u n ??? 1 un n n为 ?n, un? 0, 因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1 的单调性. un按定义考察部分和Sn ? ? (?1)k ?1 (k ?1nnn 1 1 1 n 1 ? ) ? ? (?1)k ?1 ? ? (?1) k ?1 uk uk ?1 uk k ?1 uk ?1 k ?1(?1)k n?1 1 (?1)n?1 1 l 1 ? ?? ? ? (?1) ? ? ? (n ? ??), ul u1 un?1 u1 k ?1 uk l ?1?原级数收敛.1 1 ? u un?1 n n ? 1 n 1 1 ? ? ? ? 2, ? ) .注意 n 再考察取绝对值后的级数 ? ( 1 un un?1 n ? 1 un ?1 n ?1 un n?? n 发散 ? ? ( un ?1n ?1?1?1n?1 ) 发散.因此选(C). un ?1(3)【分析】 证明(B)对:反证法.假设 lim f ?( x ) ? a ? 0 ,则由拉格朗日中值定理,x ???f (2 x) ? f ( x) ? f &#39;(? ) x ? ?( x ? ??)(当 x ??? 时, ? ? ?? ,因为 x ? ? ? 2 x );但这与 盾(f (2x) ? f ( x) ? f (2x) ? f ( x) ? 2M 矛f ( x) ? M ).(4)【分析】 因为 r ( A) ? r ( A) ? 2 ? 3 ,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不 唯一,因此应选(B). (A)表示方程组有唯一解,其充要条件是 r ( A) ? r ( A) ? 3. (C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故 r ( A) ? 2 和r ( A) ? 3 ,且 A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故 r ( A) ? 2 , r ( A) ? 3 ,且A 中有两个平行向量共线.(5)【分析】 首先可以否定选项(A)与(C),因?????[ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ?????f1 ( x)dx ? ?????f 2 ( x)dx ? 2 ? 1,F1 (??) ? F2 (??) ? 1 ? 1 ? 2 ? 1.对于选项(B),若 f1 ( x) ? ????1, ?2 ? x ? ?1, ?1, 0 ? x ? 1, 则对任何 x ? (??, ??), f 2 ( x) ? ? ?0, 其他， ?0, 其他，f1 ( x) f 2 ( x) ? 0 , ? f1 ( x) f 2 ( x)dx ? 0 ? 1, 因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D). ??进一步分析可知,若令 X 是F 1 ( x) F2 ( x).? max( X1, X 2 ) ,而 X i ~ fi ( x), i ? 1,2, 则 X的分布函数 F ( x ) 恰F ( x) ? P{max( X1, X 2 ) ? x} ? P{X1 ? x, X 2 ? x} ? P{X1 ? x}P{X 2 ? x} ? F1 ( x)F2 ( x).三、 【解】h ?0用洛必达法则.由题设条件知lim[af (h) ? bf (2h) ? f (0)] ? ( a ? b ? 1) f (0). 由于 f ?(0) ? 0 ,故必有 a ? b ? 1 ? 0.又由洛必达法则limh ?0af (h) ? bf (2h) ? f (0) af &#39;(h) ? 2bf &#39;(2h) ? lim h ? 0 h 1? (a ? 2b) f &#39;(0) ? 0,及 f ?(0) ? 0 ,则有 a ? 2b ? 0 . 综上,得 a ? 2, b ? ?1. 四、 【解】 由已知条件得f (0) ? 0, f &#39;(0) ? (故所求切线方程为?arctan x 0e dt ) &#39;x?t 2x ?0e? arctan x ? 1 ? x22x ?0? 1,y ? x .由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得2 f ( ) ? f (0) 2 f ( x) ? f (0) lim nf ( ) ? 2 lim n ? 2 lim ? 2 f &#39;(0) ? 2. n ?? n ?? x ? 0 2 n x n五、 【分析与求解】D 是正方形区域如图.因在 D 上被积函数分块表示? x 2 , x ? y, ? max{x , y } ? ? 2 ( x, y ) ? D, y , x ? y , ? ?2 2于是要用分块积分法,用y ? x 将 D 分成两块:D ? D1 U D2 , D1 ? D I {y ? x}, D2 ? D I {y ? x}.?D1I ? ?? emax{ xD1 D22, y2 }dxdy ? ?? emax{ xD22, y2 }dxdy2 2 2 ? ?? e x dxdy ? ?? e y dxdy ? 2?? e x dxdy ( D 关于 y ? x 对称)D1? 2? dx ? e x dy (选择积分顺序) ? 2? xe x dx ? e x2 21x120001 0? e ? 1.六、 【分析与求解】(1)易知 Pdx ? Qdy? 原函数,Pdx ? Qdy ?1 x 1 dx ? yf ( xy )dx ? xf ( xy )dy ? 2 dy ? 2 ( ydx ? xdy ) ? f ( xy )( ydx ? xdy ) y y yx x xy ? d ( ) ? f ( xy)d ( xy) ? d [ ? ? f (t )dt ]. y y 0?在 y ? 0 上 Pdx ? Qdy? 原函数,即 u ( x, y ) ? ? ?0 f (t )dt .x yxy?积分 I 在 y ? 0 与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得 I ? u ( x, y )( c ,d ) ( a ,b )?c a ? . d b七、 【证明】 与书上解答略有不同,参见数三 2002 第七题(1)因为幂级数y ( x) ? 1 ?x3 x 6 x9 x3n ? ? ?L ? ?L 3! 6! 9! (3n)!的收敛域是 (?? ? x ? ?) ,因而可在 (?? ? x ? ?) 上逐项求导数,得y &#39;( x) ?x 2 x 5 x8 x3n?1 ? ? ?L ? ?L , 2! 5! 8! (3n ? 1)!x4 x7 x3n ? 2 y &#39;&#39;( x) ? x ? ? ? L ? ?L , 4! 7! (3n ? 2)!所以 (2)与 y &#39;&#39;?x2 xn y &#39;&#39;? y &#39;? y ? 1 ? x ? ? L ? ? L ? e x (?? ? x ? ?) . 2! n!y &#39;? y ? e x 相应的齐次微分方程为 y &#39;&#39;? y &#39;? y ? 0 ,其特征方程为 ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,特征根为 ?1,2x1 3 ?? ? i. 2 2 3 3 x ? C2 sin x) . 2 2因此齐次微分方程的通解为 Y ? e 2 (C1 cos?设非齐次微分方程的特解为y? ? Ae x ,将 y? 代入方程 y &#39;&#39;? y &#39;? y ? e x 可得A?1 1 ,即有 y ? ? e x . 3 3于是,方程通解为y ? Y ? y ? e (C1 cos??x 23 3 1 x ? C2 sin x) ? e x . 2 2 31 ? y (0) ? 1 ? C1 ? , ? 2 3 当 x ? 0 时,有 ? ? C1 ? , C2 ? 0. ? 3 ? y &#39;(0) ? 0 ? ? 1 C ? 3 C ? 1 . 1 2 ? 2 2 3 ?x 2 ?2 3 1 x 3n x ? e x (?? ? x ? ?) 于是幂级数 ? 的和函数为 y ( x) ? e cos 3 2 3 n ? 0 (3n)!?八、 【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数 h( x, y ) 在点 M 处沿该点的梯度方向gradh( x, y )( x0 , y0 )?{?h ?h , } ( x , y ) ? {?2 x0 ? y0 , ?2 y0 ? x0 } ?x ?y 0 0( x0 , y0 )方向导数取最大值即 gradh( x, y ) (2)按题意,即求 g ( x, y ) 求在条件 x的模, ? g ( x0 , y0 ) ?( y0 ? 2 x0 ) 2 ? ( x0 ? 2 y0 ) 2 .2? y2 ? xy ? 75 ? 0 下的最大值点 ?g 2 ( x, y) ? ( y ? 2x)2 ? ( x ? 2 y)2 ? 5x2 ? 5 y 2 ? 8xy在条件 x2? y2 ? xy ? 75 ? 0 下的最大值点. L( x, y, ? ) ? 5x2 ? 5 y2 ? 8xy ? ?( x2 ? y 2 ? xy ? 75),??L ? ?x ? 10 x ? 8 y ? ? (2 x ? y ) ? 0, ? ? ?L ? ? 10 y ? 8 x ? ? (2 y ? x) ? 0, ? ?y ? ?L ? x 2 ? y 2 ? xy ? 75 ? 0. ? ? ??这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数则有解此方程组:将①式与②式相加得 ( x ? y)(? ? 2) ? 0. ? x ? ? y 或 ? ? ?2. 若y ? ? x ,则由③式得 3x 2 ? 75 即 x ? ?5, y ? m5. 若 ? ? ?2, 由①或②均得 y ? x ,代入③式得 x2 ? 75 即 x ? ?53, y ? ?5 3. 于是得可能的条件极值点M1 (5, ?5), M2 (?5,5), M3 (5 3,5 3), M4 (?5 3, ?5 3).现比较f ( x, y) ? g 2 ( x, y) ? 5x2 ? 5 y 2 ? 8xy 在这些点的函数值: f (M1 ) ? f (M 2 ) ? 450, f (M3 ) ? f (M 4 ) ? 150.因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在 M1 , M 2 , M 3 , M 4 中取到 .因此 g2( x, y) 在M1 , M 2 取到在 D 的边界上的最大值,即 M1 , M 2 可作为攀登的起点.九、 【解】 矩阵 由 ? 2 ,? 3 ,? 4 线性无关及 ?1? 2? 2 ? ? 3 知,向量组的秩 r (?1,?2 ,?3 ,?4 ) ? 3 ,即A 的秩为 3. 因此 Ax ? 0 的基础解系中只包含一个向量.那么由?1? ? ?2 ? (?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ? ? ? ?1 ? 2? 2 ? ? 3 ? 0 ?1? ? ? ?0?知, Ax ? 0 的基础解系是 (1, ?2,1,0)T.?1? ?1? ?1? ?1? T 再由 ? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? (? 1, ? 2, ? 3 , ? 4) ? ? ? A ? ? 知 , (1,1,1,1) 是 Ax ? ? 的一个 ?1? ?1? ?? ?? ?1? ?1?? 1 ? ?1? ? ?2? ?1? 特解.故 Ax ? ? 的通解是 k ? ? ? ? ? , 其中 k 为任意常数. ? 1 ? ?1? ? ? ?? ? 0 ? ?1?(1)若 A, B 相似,那么存在可逆矩阵 P ,使 P?1十、 【解】AP ? B, 故? E ? B ? ? E ? P ?1 AP ? P ?1? EP ? P ?1 AP? P ?1 (? E ? A) P ? P ?1 ? E ? A P ? ? E ? A .(2)令 A ? ??0 1 ? ?0 0? 2 ,B ? ? ? ? , 那么 ? E ? A ? ? ? ? E ? B . 0 0 0 0 ? ? ? ?但 A, B 不相似 . 否则 , 存在可逆矩阵P , 使 P?1 AP ? B ? 0 . 从而 A ? P0P?1 ? 0 , 矛盾 , 亦可从而知 A 与 B 不相似. r ( A) ? 1, r (B )? 0 (3) 由 A, B 均为实对称矩阵知, A, B 均相似于对角阵,若 A, B 的特征多项式相等,记特征多项式的 根为 ?1 ,L, ?n , 则有? ? ?1 ?, B ? O 也相似于 ? ? ? ?n ? ? ??1? ?1 O A 相似于 ? ? ? ?? ?. ? ?n ? ???1 ? O 即存在可逆矩阵 P, Q ,使 P AP ? ? ? ?于是 ( PQ?1 ?1? ? ? Q ?1 BQ. ? ?n ? ?) A( PQ?1 ) ? B. 由 PQ ?1 为可逆矩阵知, A 与 B 相似.? 1 ? x 1 ? } ? ?? cos dx ? , 依题意, Y 3 2 2 3 2十一、 【解】 由于 P{ X服从二项分布 B (4, ) ,则有1 21 1 1 EY 2 ? DY ? ( EY ) 2 ? npq ? (np) 2 ? 4 ? ? ? (4 ? ) 2 ? 5. 2 2 2十二、 【解】EX ? 0 ?? 2 ?1? 2? (1 ?? ) ? 2 ?? 2 ? 3? (1? 2? ) ? 3 ? 4? , ? ? 1 (3 ? EX ).4? ? 1 (3 ? X ), 根据给定的样本观察值计算 x ? 1 (3 ? 1 ? 3 ? 0 ? 3 ? 1 ? 2 ? 3) ? 的矩估计量为 ? 48? ? 1 (3 ? x) ? 1 . ? 2. 因此 ? 的矩估计值 ? 4 4对于给定的样本值似然函数为L(? ) ? 4? 6 (1 ?? )2 (1 ? 2? )4 ,ln L(? ) ? ln 4 ? 6ln ? ? 2ln(1 ?? ) ? 4ln(1 ? 2? ),d ln L(? ) 6 2 8 24? 2 ? 28? ? 6 ? ? ? ? . d? ? 1 ? ? 1 ? 2? ? (1 ? ? )(1 ? 2? )令7 ? 13 7 ? 13 1 d ln L(? ) ? , 不合题意). (? ? ? 0 ,得方程 12? 2 ? 14? ? 3 ? 0 ,解得 ? ? 12 12 2 d? 7 ? 13 . 12?? 于是 ? 的最大似然估计值为 ?
2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）1（1） lim(cos x)x ?0ln(1? x 2 )=______ .（2）曲面 z （3）设 x2? x 2 ? y 2 与平面 2 x ? 4 y ? z ? 0 平行的切平面的方程是______.?? ? a n cos nx(?? ? x ? ? ) ，则 a2 = .n ?0（4）从 R 2 的基 ?1 ? ? ? 0? ?,? 2 ? ? ? ? 1? ? 到基 ?1 ? ? ?1? ?, ? 2 ? ? ? 2? ? 的过渡矩阵为 _____ . ? ? ? ? ? ? ? ? （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为? 1??1??1?? 1??6 x, 0 ? x ? y ? 1, f ( x, y) ? ? 其他， ? 0,则 P{ X ? Y ? 1} ? ______ . （6） 已知一批零件的长度 X (单位： cm)服从正态分布 N ( ? ,1) ， 从中随机地抽取 16 个零件， 得到长度的平均值为 40 (cm)，则 ? 的置信度为 0.95 的置信区间是_______ . (注：标准正态分布函数值 ?(1.96) ? 0.975 , ?(1.645) ? 0.95.) 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数 f(x)在 (??,??) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) (B) (C) (D) 一个极小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. 三个极小值点和一个极大值点. y[]Ox（2）设 {an },{bn },{cn } 均为非负数列，且 lim a n ? 0 , lim bn ? 1 , lim c n ? ? ,则必有n?? n ?? n??(A)an ? bn 对任意 n 成立.n ??(B)bn ? cn 对任意 n 成立.n ??(C) 极限 lim a n c n 不存在.(D) 极限 lim bn c n 不存在.[]（3）已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且 (A) (B) (C) (D)x ? 0 , y ?0limf ( x, y ) ? xy ? 1 ，则 (x 2 ? y 2 )2点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. 点(0,0)是 f(x,y)的极大值点. 点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点.[] ]（4）设向量组 I： ?1 ,? 2 ,?,? r 可由向量组 II： ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性表示，则 [(A) 当 r ? s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r ? s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r ? s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r ? s 时，向量组 I 必线性相关. （5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 m ? n 矩阵，现有 4 个命题： ①若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) ? 秩(B)； ②若秩(A) ? 秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； ③若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)； ④若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是 (A) ①②. (B) ①③. (C) ②④. (D) ③④. 1 （6）设随机变量 X ~ t ( n)( n ? 1), Y ? 2 ，则 X (A)[][]Y ~ ? 2 (n) .(B)Y ~ ? 2 (n ? 1) .(C) Y ~ F (n,1) .(D) Y ~ F (1, n) .三、 （本题满分 10 分） 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 四、 （本题满分 12 分） 将函数 f ( x) ? arctan(?1) 1 ? 2x 展开成 x 的幂级数，并求级数 的和. 1 ? 2x n ?0 2n ? 1??n五、 （本题满分 10 分） 已知平面区域 D ? {( x, y) 0 ? x ? ? ,0 ? (1) (2)y ? ? }，L 为 D 的正向边界.试证：? xeLsin ydy ? ye ? sin x dx ? ? xe ? sin y dy ?L? xeLsin ydy ? ye ? sin x dx ? 2? 2 .六、 （本题满分 10 分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而 作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 k,k&0）.汽锤第 一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打 时所作的功之比为常数 r(0&r&1). 问(1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ 七、 （本题满分 12 分） 设函数 y=y(x)在 (??,??) 内具有二阶导数，且 y ? ? 0, x ? x( y) 是 y=y(x)的反函数.d 2x dx (1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 2 ? ( y ? sin x)( ) 3 ? 0 变换为 y=y(x)满足的微分方 dy dy程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y (0) ? 0, y ?(0) ? 八、 （本题满分 12 分） 设函数 f(x)连续且恒大于零，3 的解. 2F (t ) ???? f ( x?(t ) D (t )2? y 2 ? z 2 )dv2 2??f ( x ? y )d?， G (t ) ?D (t )?? f ( x ?t ?12? y 2 ) d?，f ( x 2 ) dx2 2 2 2 2 2 2 其中 ?(t ) ? {( x, y, z ) x ? y ? z ? t } ， D (t ) ? {( x, y ) x ? y ? t }.(1) 讨论 F(t)在区间 (0,??) 内的单调性. (2) 证明当 t&0 时， F (t ) ? 九、 （本题满分 10 分）2?G (t ).? 3 2 2? ?0 1 0 ? ? ? ? ? 设矩阵 A ? ?2 3 2? ， P ? ?1 0 1? ， B ? P ?1 A* P ，求 B+2E 的特征值与特征向量， ? ? ? 2 2 3? ? ?0 0 1 ? ?其中 A* 为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵. 十、 （本题满分 8 分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1 : ax ? 2by ? 3c ? 0 ， l 2 : bx ? 2cy ? 3a ? 0 ，l3 : cx ? 2ay ? 3b ? 0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a ? b ? c ? 0. 十一、 （本题满分 10 分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二、 （本题满分 8 分） 设总体 X 的概率密度为?2e ?2( x ?? ) , x ? ? , f ( x) ? ? x ??, ? 0,其中? ?0 是未知参数. 从总体 X 中抽取简单随机样本X 1 , X 2 ,?, X n ， 记? ? min(X , X ,?, X ). ? 1 2 n(1) 求总体 X 的分布函数 F(x); (2) 求统计量?? 的分布函数 F?? ( x) ； (3) 如果用?? 作为? 的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003 年硕士研究生入学考试（数学一）试题答案一、 1、1 e2、 2 x ? 4 y ? z ? 5 3、1 4、 ? ? 5、3 ? ? 2 ? ? ? ? 1 ? 2?1 4 6、 (39.51,40.49) 二、 CDADBC 三、【详解】 (1) 设切点的横坐标为 x0 ，则曲线 y=lnx 在点 ( x0 , ln x0 ) 处的切线方程是y ? ln x0 ?1 ( x ? x0 ). x0由该切线过原点知 ln x0? 1 ? 0 ，从而 x0 ? e. 所以该切线的方程为1 x. e 平面图形 D 的面积 y?A?? (e01y? ey )dy ?1 e ? 1. 2（2）切线 y ?1 x 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体积为 e1 2 ?e . 3 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 V1 ?V2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy ，01因此所求旋转体的体积为 1 1 ? V ? V1 ? V2 ? ?e 2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy ? (5e 2 ? 12e ? 3). 0 3 6y 1D O 1 e x四、 【详解】因为f ?( x) ? ?? 2 1 1 ? ? 2 (?1) n 4 n x 2 n , x ? (? , ). ? 2 2 2 1 ? 4x n ?0又 f(0)=?4, 所以xf ( x) ? f (0) ? ?=0f ?(t )dt ?x ? ? ? 2? [? (?1) n 4 n t 2 n ]dt 0 4 n ?0?4? 2??(?1) n 4 n 2 n?1 1 1 x , x ? (? , ). 2 2 n ?0 2n ? 1?因为级数(?1) n 1 收敛，函数 f(x)在 x ? 处连续，所以 ? 2 n ?0 2n ? 1 ? 2? (?1) n 4 n 2n?1 1 1 x , x ? (? , ]. 2 2 n ?0 2n ? 1?f ( x) ?令x ??41 ，得 2? 1 ? (?1)4 n 1 ? ? (?1) n f ( ) ? ? 2?[ ? 2n?1 ] ? ? ? , 2 4 4 n?0 2n ? 1 n ?0 2n ? 1 21 再由 f ( ) ? 0 ，得 2(?1) n ? 1 ? ? ? f( )? . ? 4 2 4 n ?0 2n ? 1?五、 【详解】方法一： (1) 左边=??0?e sin y dy ? ? ?e ?sin x dx?0=???0(e sin x ? e ?sin x )dx ，右边=??0?e ?sin y dy ? ? ?e sin x dx?0=?L??0(e sin x ? e ?sin x )dx ，所以 ? xe sin y dy ? ye ? sin x dx ??? xeL? sin ydy ? ye sin x dx .(2) 由于 e sin x ? e ? sin x ? 2 ，故由（1）得sin y ?sin x sin x ?sin x 2 ? xe dy ? ye dx ? ? ? (e ? e )dx ? 2? . L 0方法二： （1）根据格林公式，得? xeLsin ydy ? ye? sin x dx ? ?? (esin y ? e ? sin x )dxdy ，D? xeL? sin ydy ? yesin x dx ? ?? (e ? sin y ? e sin x )dxdy .D因为 D 具有轮换对称性，所以?? (eDLsin y? e ? sin x )dxdy= ?? (e ? sin y ? e sin x )dxdy，D故 ? xe sin y dy ? ye ? sin x dx ? (2) 由(1)知? xeL? sin ydy ? ye sin x dx .? xeLsin ydy ? ye? sin x dx ? ?? (esin y ? e ? sin x )dxdyD= =?? eDsin ydxdy ? ?? e ? sin x dxdyD?? eDsin xdxdy ? ?? e ? sin x dxdy（利用轮换对称性）D sin x= 六、?? (eD? e ? sin x )dxdy ? ?? 2dxdy ? 2? 2 .D【详解】 (1) 设第 n 次击打后，桩被打进地下 xn ，第 n 次击打时，汽锤所作的功为Wn (n ? 1,2,3,?) .所以由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx ，k 2 k 2 x1 ? a ， 2 2 x2 k 2 k 2 W2 ? ? kxdx ? ( x 2 ? x12 ) ? ( x 2 ? a 2 ). x1 2 2 由 W2 ? rW1 可得 W1 ??x10kxdx ?2 x2 ? a2 ? ra 2即 x22? (1 ? r )a 2 .W3 ?由 W3?x3x2kxdx ?k 2 k 2 2 ( x3 ? x 2 ) ? [ x3 ? (1 ? r )a 2 ]. 2 2? rW2 ? r 2W1 可得x32 ? (1 ? r)a 2 ? r 2 a 2 ，2 从而 x3 ? 1 ? r ? r a ，即汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下1 ? r ? r 2 am.2 n ?1 （2）由归纳法，设 x n ? 1 ? r ? r ? ? ? r a ，则Wn ?1 ??x n ?1xnkxdx ?=k 2 2 ( x n ?1 ? x n ) 2k 2 [ x n ?1 ? (1 ? r ? ? ? r n ?1 )a 2 ]. 2由于 Wn?1? rWn ? r 2Wn?1 ? ? ? r nW1 ，故得2 n?1 xn )a 2 ? r n a 2 , ?1 ? (1 ? r ? ? ? r从而 xn?11 ? r n?1 ? 1? r ??? r a ? a. 1? rn于是 lim xn?1 ?n??1 a， 1? r1 a m. 1? r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 七、 【详解】 (1) 由反函数的求导公式知dx 1 ? ，于是有 dy y ?y ?? d 2 x d dx d 1 dx ? y ?? 1 . ? ( ) = ( )? = 2 ? ? ? 2 y? ( y ?) 3 dy dy dx y ? dy y ? dy代入原微分方程得 y ?? ? y ? sin x. (2) 方程( * )所对应的齐次方程 y ?? ? y ? 0 的通解为 ( * )Y ? C1e x ? C2 e ? x .设方程( * )的特解为y * ? A cos x ? B sin x ，代入方程( * )，求得 A ? 0, B ? ?1 1 ，故 y * ? ? sin x ，从而 y ?? ? y ? sin x 的通解是 2 2y ? Y ? y * ? C1e x ? C 2 e ? x ?由 y (0) ? 0, y ?(0) ?1 sin x. 23 ，得 C1 ? 1, C2 ? ?1 . 故所求初值问题的解为 2y ? e x ? e ?x ?1 sin x. 2八、 【详解】 (1) 因为? F (t ) ?2?0d? ? d? ? f (r 2 )r 2 sin ?dr?t?0 2?00d? ? f (r )rdr2 0 t 0 tt?2? f (r 2 )r 2 drt?0 t，0f (r 2 )rdrF ?(t ) ? 2tf (t 2 ) ? f (r 2 )r (t ? r )dr [ ? f (r 2 )rdr] 20，所以在 (0,??) 上 F ?(t ) ? 0 ，故 F(t) 在 (0,??) 内单调增加. （2）因tG (t ) ?? ? f (r 2 )rdr?0 t，0f (r 2 )dr2要证明 t&0 时 F (t ) ??G (t ) ，只需证明 t&0 时， F (t ) ?t2?G (t ) ? 0 ，即?t0f (r 2 )r 2 dr? f (r 2 )dr ? [? f (r 2 )rdr]2 ? 0.0 0t令 g (t ) ? 则 g ?(t ) ??t0f (r 2 )r 2 dr? f (r 2 )dr ? [? f (r 2 )rdr]20 0t 0tt，f (t 2 )? f (r 2 )(t ? r ) 2 dr ? 0 ，故 g(t)在 (0,??) 内单调增加.因为 g(t)在 t=0 处连续，所以当 t&0 时，有 g(t)&g(0). 又 g(0)=0, 故当 t&0 时，g(t)&0, 2 因此，当 t&0 时， F (t ) ? G (t ).?九、 【详解】方法一： 经计算可得? 5 ? 2 ? 2? ?0 1 ? 1? ? ? ? ?1 A* ? ?? 2 5 ? 2? ， P ? ? ?1 0 0 ? ， ? ? ?? 2 ? 2 5 ? ? ?0 0 1 ? ?0 0? ?7 ? ? B ? P ?1 A* P = ?? 2 5 ? 4? . ? ?? 2 ? 2 3 ? ?从而0 0 ? ?9 ? B ? 2 E ? ?? 2 7 ? 4? ?， ? ?? 2 ? 2 5 ? ?? ?9 ?E ? ( B ? 2 E ) ?2 2故 B+2E 的特征值为 ?100 4 ? (? ? 9) 2 (? ? 3) ，? ?72? ?5? ?2 ? 9, ?3 ? 3.当 ?1 ? ?2 ? 9 时，解 (9 E ? A) x ? 0 ，得线性无关的特征向量为? ? 1? ? ? 2? ? ? ? ?1 ? ? 1 ? , ? 2 ? ? ? 0 ?, ? ? ?0? ? ?1 ? ?所以属于特征值 ?1 ? ?2 ? 9 的所有特征向量为?? 1? ? ? 2? ? ? ? k1?1 ? k 2? 2 ? k1 ? 1 ? ? k 2 ? ? 0 ? ，其中 k1 , k 2 是不全为零的任意常数. ? ? ?0? ? ?1? ?当 ?3? 3 时，解 (3E ? A) x ? 0 ，得线性无关的特征向量为?0 ? ? ?3 ? ? ?1 ? ， ? ?1 ? ?所以属于特征值 ?3?0 ? ? ? 3 的所有特征向量为 k 3? 3 ? k 3 ? ?1? ，其中 k3 ? 0 为任意常数. ? ?1 ? ?方法二： 设 A 的特征值为 ? ， 对应特征向量为? ， 即 A? ? ?? . 由于 又因 A * A ?A ? 7 ? 0， 所以 ? ? 0.A E ，故有 A *? ?A??.A ( P ?1? ) ，于是有 B( P?1? ) ? P ?1 A * P( P ?1? ) ??( B ? 2 E ) P ?1? ? (AA?? 2) P ?1?.?1因此，?? 2 为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为 P ?.? ?3 ?2 ?2 2 由于 ?E ? A ? ? 2 ? ? 3 ? 2 ? (? ? 1) (? ? 7) ， ?2 ?2 ? ?3故 A 的特征值为 ?1? ?2 ? 1, ?3 ? 7.?? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 当 ?1 ? ?2 ? 1 时，对应的线性无关特征向量可取为 ?1 ? ? 1 ? ， ? 2 ? ? 0 ?. ? ? ?0? ? ?1? ?当 ?3?1? ? ? 7 时，对应的一个特征向量为? 3 ? ? ?1?. ? ?1? ? ?0 1 ? 1? ?1? ?? 1? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ?1 ?1 ?? ?1 0 0 ? ，得 P ?1 ? ?? 1? ， P ? 2 ? ?? 1? ， P ? 3 ? ?1? . ? ? ? ? ?0 0 1 ? ? ?0? ? ?1? ? ?1 ? ?由P?1因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3. 对应于特征值 9 的全部特征向量为?1? ?? 1? ? ? ? k1 P ?1 ? k 2 P ? 2 ? k1 ?? 1? ? k 2 ? ?? 1? ，其中 k1 , k 2 是不全为零的任意常数； ? ? ?0? ? ?1? ??1 ?1对应于特征值 3 的全部特征向量为?0 ? ? k 3 P ?1? 3 ? k 3 ? ?1? ，其中 k 3 是不为零的任意常数. ? ?1? ?十、 【详解】方法一：必要性 设三条直线 l1 , l 2 , l3 交于一点，则线性方程组?ax ? 2by ? ?3c, ? ?bx ? 2cy ? ?3a, ?cx ? 2ay ? ?3b, ?(*)?a 2b ? ?a 2b ? 3c ? ? ? ? ? 有唯一解，故系数矩阵 A ? ?b 2c ? 与增广矩阵 A ? ?b 2c ? 3a ? 的秩均为 2，于是 ? ? ? c 2a ? ? ? c 2a ? 3b ? ?A ? 0.a 2b ? 3c由于 A ? b2c ? 3a ? 6(a ? b ? c)[a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc]c 2a ? 3b= 3(a ? b ? c)[(a ? b) 但根据题设2? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] ,(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 ，故a ? b ? c ? 0.充分性：由 a ? b ? c ? 0 ，则从必要性的证明可知， A ? 0 ，故秩 ( A ) ? 3. 由于a 2b ? 2(ac ? b 2 ) ? ?2[a(a ? b) ? b 2 ] b 2c= ? 2[( a ? 故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩 ( A ) =2. 因此方程组(*)有唯一解，即三直线 l1 , l 2 , l3 交于一点. 方法二：必要性1 2 3 2 b) ? b ] ? 0 ， 2 4? x0 ? ? ? 设三直线交于一点 ( x0 , y0 ) ，则 ? y 0 ? 为 Ax=0 的非零解，其中 ? ?1? ? ?a 2b 3c ? ? A?? ?b 2c 3a ?. ? ? c 2a 3b ? ?于是A ? 0.a 2b 3c 2c 3a ? ?6(a ? b ? c)[a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc]而 A ? bc 2a 3b= ? 3(a ? b ? c)[(a ? b)2? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] ,但根据题设(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 ，故a ? b ? c ? 0.充分性：考虑线性方程组?ax ? 2by ? ?3c, ? ?bx ? 2cy ? ?3a, ?cx ? 2ay ? ?3b, ??ax ? 2by ? ?3c, (* *) ? ?bx ? 2cy ? ?3a.因为(*)将方程组(*)的三个方程相加，并由 a+b+c=0 可知，方程组(*)等价于方程组a 2b ? 2(ac ? b 2 ) ? ?2[a(a ? b) ? b 2 ] b 2c=- [a2? b 2 ? (a ? b) 2 ] ? 0 ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线 l1 , l 2 , l3 交于一点. 十一、 【详解】(1) X 的可能取值为 0，1，2，3，X 的概率分布为P{ X ? k} ?即3? k C3k C3 ， k=0,1,2,3. 3 C6X P0 1 2 1 9 9 1 20 20 20 203因此1 9 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 20 20 20 20 2 (2) 设 A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品” ，由于 { X ? 0} ，{X ? 1} ，{ X ? 2} ， { X ? 3} 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 EX ? 0 ?P( A) ? ? P{ X ? k}P{ A X ? k}k ?03k 1 3 = ? P{ X ? k} ? ? ? kP{ X ? k} 6 6 k ?0 k ?01 1 3 1 EX ? ? ? . 6 6 2 4 【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法： 设=3i件产品是合格品 , ?0, 从甲箱中取出的第 Xi ? ? i件产品是次品 , ?1, 从甲箱中取出的第则 X i 的概率分布为XiP 因为 X011 1 i ? 1,2,3. 2 2? X 1 ? X 2 ? X 3 ，所以3 . 2EX ? EX 1 ? EX 2 ? EX 3 ?十二、 【详解】(1)F ( x) ? ?(2)x???1 ? e ?2( x ?? ) , x ? ? , f (t )dt ? ? x ? ?. 0, ?F?? ( x) ? P{?? ? x} ? P{min( X 1 , X 2 ,? , X n ) ? x}= 1 ? P{min(X 1 , X 2 ,?, X n ) ? = 1 ? P{X 1x}? x, X 2 ? x,?, X n ? x}n= 1 ? [1 ? F ( x)] =??1 ? e ?2 n ( x?? ) , x ? ? , x ? ?. 0, ??2ne?2 n ( x ?? ) , x ? ? , ?? x ? ?. 0, ???(3) ?? 概率密度为f?? ( x) ?dF?? ( x) dx?? 因为 E??????xf?? ( x)dx ? ? 2nxe?2n( x?? ) dx?1 ?? ， 2n 所以?? 作为? 的估计量不具有无偏性.=? ?2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1)曲线 y ? ln x 上与直线 x ? y ? 1 垂直的切线方程为__________ . (2)已知 f ?(e ) ? x e ,且 f (1) ? 0 ,则 f ( x ) =__________ .x ?x(3)设 L 为正向圆周 x 2 ? y 2 ? 2 在第一象限中的部分 ,则曲线积分 为__________. (4)欧拉方程 x2?Lxdy ? 2 ydx 的值d2y dy ? 4 x ? 2 y ? 0( x ? 0) 的通解为__________ . 2 dx dx?2 1 0? ? ? * * * (5) 设矩阵 A ? 1 2 0 , 矩阵 B 满足 ABA ? 2BA ? E , 其中 A 为 A 的伴随矩阵 , ? ? ? ?0 0 1? ?E 是单位矩阵,则 B =__________ .(6)设随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布,则 P{X ?DX }= __________ .二、 选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把 x ? 0 时的无穷小量 ? ???x0cost 2 dt, ? ? ? tan t dt, ? ? ? sin t 3 dt ,使排在后0 0x2x面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A) ? , ? , ? (C) ? , ? , ? (B) ? , ? , ? (D) ? , ? , ?(8)设函数 f ( x ) 连续,且 f ?(0) ? 0, 则存在 ? ? 0 ,使得 (A) f ( x ) 在(0, ? ) 内单调增加 (C)对任意的 x ? (0, ? ) 有 f ( x) ? f (0) (B) f ( x ) 在 (?? ,0) 内单调减少 (D)对任意的 x ? (?? ,0) 有 f ( x) ? f (0)(9)设?an ?1?n为正项级数,下列结论中正确的是(A)若 lim na n =0,则级数n???an ?1?n收敛(B)若存在非零常数 ? ,使得 lim na n ? ? ,则级数n???an ?1?n发散(C)若级数?an ?1 ? n ?1?n收敛,则 lim n a n ? 02 n ??(D)若级数?an发散, 则存在非零常数 ? ,使得 lim na n ? ?n??(10)设 f ( x ) 为连续函数, F (t ) ? (A) 2 f (2) (C) ? f (2)? dy?1ttyf ( x)dx ,则 F ?(2) 等于(B) f (2) (D) 0(11)设 A 是 3 阶方阵,将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B ,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C , 则满足 AQ ? C 的可逆矩阵 Q 为?0 1 0 ? ? ? (A) 1 0 0 ? ? ? ? 1 0 1 ? ? ?0 1 0 ? ? ? (C) 1 0 0 ? ? ? ? 0 1 1 ? ??0 1 0 ? ? ? (B) 1 0 1 ? ? ? ? 0 0 1 ? ? ?0 1 1 ? ? ? (D) 1 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 ? ?(12)设 A, B 为满足 AB ? O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A) A 的列向量组线性相关 , B 的行向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关 , B 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性相关 , B 的行向量组线性相关 (D) A 的行向量组线性相关 , B 的列向量组线性相关 (13) 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N (0,1), 对 给 定 的 ? (0 ? ? ? 1) , 数 u? 满 足P{X ? u? } ? ? ,若 P{ X ? x} ? ? ,则 x 等于(A) u ?2(B) u1??2(C) u1??2(D) u1??(14)设随机变量 X 1 , X 2 ,?, X n (n ? 1) 独立同分布,且其方差为 ? 2 ? 0. 令 Y ? 则 (A) Cov( X 1 , Y ) ? (C) D( X 1 ? Y ) ?1 n ? Xi , n i ?1?2nn?2 2 ? n(B) Cov( X1, Y ) ? ? 2 (D) D ( X 1 ? Y ) ?n ?1 2 ? n三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 12 分)2 2 2 设 e ? a ? b ? e ,证明 ln b ? ln a ?4 (b ? a ) . e2(16)(本题满分 11 分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大 阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机 所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k ? 6.0 ? 10 ). 问从着陆点算起,飞机滑行的6最长距离是多少? (注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分 12 分) 计 算 曲 面 积 分 I??? 2 x dydz ? 2 y dzdx ? 3( z3 3 ?2? 1)dxdy , 其 中 ? 是 曲 面z ? 1 ? x 2 ? y 2 ( z ? 0) 的上侧.(18)(本题满分 11 分)n 设有方程 x ? nx ? 1 ? 0 , 其中 n 为正整数 . 证明此方程存在惟一正实根 xn , 并证明当? ? ? 1 时,级数 ? xn 收敛.n ?1?(19)(本题满分 12 分) 设 z ? z ( x, y ) 是由 x ? 6 xy ? 10 y ? 2 yz ? z ? 18 ? 0 确定的函数 ,求 z ? z ( x, y ) 的极2 2 2值点和极值. (20)(本题满分 9 分) 设有齐次线性方程组? (1 ? a) x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0, ?2 x ? (2 ? a) x ? ? ? 2 x ? 0, ? 1 2 n ? ?????? ? ? ? nx1 ? nx2 ? ? ? (n ? a ) xn ? 0,试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. (21)(本题满分 9 分)(n ? 2) ,? 1 2 ?3 ? ? ? 设矩阵 A ? ?1 4 ?3 的特征方程有一个二重根 ,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对 ? ? ? ? 1 a 5 ? ?角化. (22)(本题满分 9 分) 设 A, B 为随机事件,且 P( A) ?1 1 1 , P( B | A) ? , P( A | B) ? ,令 4 3 2?1, A发生, ?1, B发生, X ?? Y ?? ?0, A不发生; ?0, B不发生.求:(1)二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布. (2) X 和 Y 的相关系数 ? XY . (23)(本题满分 9 分) 设总体 X 的分布函数为1 ? ?1 ? ? , x ? 1, F ( x, ? ) ? ? x x ? 1, ? ? 0,其中未知参数 ? ? 1, X 1 , X 2 ,?, X n 为来自总体 X 的简单随机样本, 求:(1) ? 的矩估计量. (2) ? 的最大似然估计量.2004 年考研数学试题答案与解析（数学一）一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上） （1）曲线 y=lnx 上与直线 x ? y ? 1 垂直的切线方程为 y ? x ? 1 . 【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确 定切点的坐标. 1 【详解】由 y ? ? (ln x)? ? ? 1 ，得 x=1, 可见切点为 (1,0) ，于是所求的切线方程为 x y ? 0 ? 1 ? ( x ? 1) ，即 y ? x ? 1 . 【评注】本题也可先设切点为( x0 , ln x0 ) ， 曲 线y=lnx 过 此 切 点 的 导 数 为y?x ? x0?1 ? 1 ，得 x0 ? 1 ，由此可知所求切线方程为 y ? 0 ? 1 ? ( x ? 1) ，即 y ? x ? 1 . x0本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知f ?(e x ) ? xe? x ，且 f(1)=0,则 f(x)=1 (ln x ) 2 2.【分析】先求出 f ?( x) 的表达式，再积分即可. 【详解】令 e x ? t ，则 x ? ln t ，于是有 ln t ln x ，即 f ?( x) ? f ?(t ) ? . t x 积分得 f ( x) ? f(x)=?ln x 1 dx ? (ln x) 2 ? C . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为 x 21 (ln x ) 2 . 2 【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.（3） 设 L 为正向圆周 x2? y 2 ? 2 在第一象限中的部分， 则曲线积分 ?Lxdy ? 2 ydx 的值为3 ? . 2【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.【详解】正向圆周 x2? y 2 ? 2 在第一象限中的部分，可表示为? x ? 2 cos? , ? ? y ? 2 sin ? ,L? ? :0 ? . 2于是 ? xdy ? 2 ydx ???2 0[ 2 cos ? ? 2 cos ? ? 2 2 sin ? ? 2 sin ? ]d??2 = ? ? ? 2 2 sin ? d? ? 03? . 2【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的 线段上用参数法化为定积分计算即可.d2y dy ? 4 x ? 2 y ? 0( x ? 0) 的通解为 y ? c1 ? c 2 （4）欧拉方程 x . 2 dx dx x x22【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 x ? e t 化为常系数线性齐次微分方程 即可. dy dy dt dy 1 dy 【详解】令 x ? e t ，则 ， ? ? ? e ?t ? dx dt dx dt x dtd2y 1 dy 1 d 2 y dt 1 d 2 y dy ?? 2 ? ? ? [ ? ]， dx2 x dt x dt 2 dx x 2 dt 2 dt代入原方程，整理得d2y dy ? 3 ? 2y ? 0 ， 2 dt dt解此方程，得通解为 y ? c1e ?t ? c 2 e ? 2t ?c1 c 2 ? . x x2 【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x ? e t ，则欧拉方程d2y dy ax ? bx ? cy ? f ( x) ， 2 dx dx2可化为 a[d 2 y dy dy ? ] ? b ? cy ? f (e t ). 2 dt dt dt?2 1 0? ? ? （5）设矩阵 A ? ?1 2 0? ，矩阵 B 满足 ABA * ? 2 BA * ? E ，其中 A* 为 A 的伴随矩 ? ?0 0 1 ? ?阵，E 是单位矩阵，则B?19*.【分析】可先用公式 AA ? A E 进行化简【详解】已知等式两边同时右乘 A，得ABA * A ? 2 BA * A ? A ，而 A ? 3 ，于是有3 AB ? 6 B ? A ，即 (3 A ? 6 E ) B ? A ，再两边取行列式，有 而3A ? 6E B ? A ? 3 ，93A ? 6E ? 27，故所求行列式为 B ? 1 .【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 A* ，一般均应先利用公式 A*A ? AA* ? A E 进行化简.（6）设随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布，则 P{X? DX }=1 . e【分析】已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计 算即可. 1 【详解】由题设，知 DX ? 2 ，于是?P{X ? DX }= P{ X ? } ? ?1 ?e ??x dx ? ?= ? e ? ?x?? 11???1 ? . e【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征， 而不应在考试时再去 推算. 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）把 x ? 0 时的无穷小量 ??? ? cost dt, ? ? ? tan t dt, ? ? ? sin t 3 dt ，使排2 0 0 0xx2x在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A) ? , ? , ? . (B) ? , ? , ? . (C) ? , ? , ? . (D) 【分析】先两两进行比较，再排出次序即可.x2 x? , ? ,? .[ B]【详解】 lim ?x ?0? ? lim ? x ?0?? ?0tan t dt cost 2 dt? lim ?x ?0tan x ? 2 x ? 0 ，可排除(C),(D)选项， cos x 20又 lim ?x ?0? ? lim ? x?0?? ?x0 x2sin t 3 dtsin x ? ? lim ?x ?03 210tan t dt=2 x 2 x tan x1 x lim ? ? ，可见 ? 是比 ? 低阶的无穷小量，故应选(B). ? 4 x ?0 x 2【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将 ? , ? , ? 分别与 x n 进行比较，再确定相 互的高低次序. （8）设函数 f(x)连续，且 f ?(0) ? 0, 则存在 ? ? 0 ，使得 (A) f(x)在（0， ? ) 内单调增加. （B）f(x)在 (?? ,0) 内单调减少. (C) 对 任 意 的 x ? (0, ? ) 有 f(x)&f(0) . (D) 对 任 意 的 x ? (?? ,0) 有 f(x)&f(0) . [ C ] 【分析】函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可. 【详解】由导数的定义，知 f ( x ) ? f ( 0) f ?(0) ? lim ? 0， x ?0 x 根据保号性，知存在 ? ? 0 ，当 x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 时，有f ( x) ? f (0) ?0 x 即当 x ? (?? ,0) 时，f(x)&f(0); 而当 x ? (0, ? ) 时，有 f(x)&f(0). 故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论. （9）设??an ?1n ??n为正项级数，下列结论中正确的是?(A) 若 lim na n =0，则级数?an ?1n收敛.?（B）若存在非零常数 ? ，使得 lim na n ? ? ，则级数n???an ?1n发散.(C) 若级数?an ?1 ? n ?1?n收敛，则 lim n 2 a n ? 0 .n ??(D)若级数?an发散, 则存在非零常数 ? ，使得 lim na n ? ? .n??[ B ]【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正 确选项.1 an ? 【详解】取 a n ? ，则 lim na n =0，但 n ?? n ln n n ?1又取 a n??? n ln n 发散，排除(A)，(D)；n ?1?1?1 n n，则级数?an ?1?n收敛，但 lim n 2 a n ? ? ，排除(C), 故应选(B).n ??【评注】本题也可用比较判别法的极限形式，lim nan ? limn ??? ? an 1 ? ? ? 0 ，而级数 ? 发散，因此级数 ? an 也发散，故应选(B). n ?? 1 n ?1 n n ?1 n（10）设 f(x)为连续函数， F (t ) ??t1dy? f ( x)dx ，则 F ?(2) 等于yt(A) 2f(2). (B) f(2). (C) Cf(2). (D) 0. [ B ] 【分析】先求导，再代入 t=2 求 F ?(2) 即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积 函数中不含有变量 t. 【详解】交换积分次序，得F (t ) ? ? dy? f ( x)dx = ? [? f ( x)dy]dx ? ? f ( x)(x ? 1)dxt t 1 ytxt111于是， F ?(t ) ? f (t )(t ? 1) ，从而有 F ?(2) ? f (2) ，故应选(B). 【评注】在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x:[?b( x )a( x)f (t )dt]? ? f [b( x)]b?( x) ? f [a( x)]a?( x)否则， 应先通过恒等变形、 变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外 或积分线上. （11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列 得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为(A)?0 1 0 ? ?1 0 0 ? ? ?. ? ?1 0 1 ? ??0 1 0 ? ? ? (B) ?1 0 1 ? . (C) ? ?0 0 1 ? ??0 1 0 ? ?1 0 0 ? ? ?. ? ?0 1 1 ? ?(D)?0 1 1 ? ?1 0 0 ? ? ?. ? ?0 0 1 ? ?[ D ]【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两 个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积. 【详解】由题设，有?0 1 0 ? ?1 0 0 ? ? ? ? A ?1 0 0 ? ? B ， B ? ?0 1 1 ? ? C ， ? ? ?0 0 1 ? ? ?0 0 1 ? ? ? 0 1 0 ? ?1 0 0 ? ? ?? ? 于是， A?1 0 0? ?0 1 1? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?0 0 1 ? ? ?0 1 1 ? ? A? ?1 0 0 ? ? C . ? ?0 0 1 ? ?可见，应选(D). 【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等 变换的关系. （12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ] 【分析】 A,B 的行列向量组是否线性相关， 可从 A,B 是否行 （或列） 满秩或 Ax=0 （Bx=0） 是否有非零解进行分析讨论. 【详解 1】设 A 为 m ? n 矩阵，B 为 n ? s 矩阵，则由 AB=O 知， r ( A) ? r ( B) ? n . 又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)&0,r(B)&0. 可见 r(A)&n, r(B)&n, 即 A 的列向量组线性相关，B 的 行向量组线性相关，故应选(A). 【详解 2】由 AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即 Ax=0 存在非 零解，可见 A 的列向量组线性相关. 同理， 由 AB=O 知，B T AT ? O ， 于是有 B T 的列向量组， 从而 B 的行向量组线性相关， 故应选(A).【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的： 1） AB=O ? r ( A) ? r ( B) ? 2） AB=O ? B 的每列均为 Ax=0 的解. （ 13 ）设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1) ，对给定的 ? (0 ? ? ? 1) ，数 u? 满足P{X ? u? } ? ? ，若 P{ X ? x} ? ? ，则 x 等于(A)u? .2(B) u1?? 2.(C) u1?? .2(D)u1??.[ C ]【分析】此类问题的求解，可通过 u? 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得 到结论. 【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知， P{X? ?u? } ? ? ，于是1 ? ? ? 1 ? P{ X ? x} ? P{ X ? x} ? P{X ? x} ? P{X ? ?x} ? 2P{X ? x}即有 P{ X ? x} ?1?? ，可见根据定义有 x ? u1?? ，故应选(C). 2 2【评注】本题 u? 相当于分位数，直观地有??(1 ? ? ) / 2ou? u1??2（ 14 ） 设 随 机 变 量X 1 , X 2 ,?, X n (n ? 1) 独 立 同 分 布 ， 且 其 方 差 为 ? 2 ? 0. 令Y?1 n ? X i ，则 n i ?1(A) Cov( X 1 , Y ) ? (C)?2 . n(B)Cov( X 1 , Y ) ? ? 2 .n?2 2 n ?1 2 (D) D ( X 1 ? Y ) ? [ A ] ? . ? . n n 【 分 析 】 本 题 用 方 差 和协 方 差 的 运 算 性 质 直 接计 算 即 可 ， 注 意 利 用 独立 性 有 ： D( X 1 ? Y ) ?Cov( X 1 , X i ) ? 0, i ? 2,3,?n.【详解】 Cov( X 1 , Y ) ? Cov( X 1 , =1 n 1 1 n X ) ? Cov ( X , X ) ? ? i n ? Cov( X 1 , X i ) 1 1 n i ?1 n i ?21 1 DX 1 ? ? 2 . n n 【评注】本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如1? n 1 1 (1 ? n) 2 2 n ? 1 2 D( X 1 ? Y ) ? D( X1 ? X 2 ? ? ? X n ) ? ? ? 2 ? n n n n2 n n 2 ? 3n 2 n ? 3 2 ? ? ? ， = n n2 D( X 1 ? Y ) ? D( n ?1 1 1 (n ? 1) 2 2 n ? 1 2 X1 ? X 2 ?? ? X n ) ? ? ? 2 ? n n n n2 n=n 2 ? 2n 2 n ? 2 2 ? ? ? . n n2（15） （本题满分 12 分）4 (b ? a ) . e2 【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用 单调性证明. 【证法 1】对函数 ln 2 x 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得设 e ? a ? b ? e 2 , 证明 ln 2 b ? ln 2 a ?ln 2 b ? ln 2 a ?设 ? (t ) ?2 ln ? (b ? a), a ? ? ? b. ?ln t 1 ? ln t ，则 ? ?(t ) ? ， t t22当 t&e 时， ? ?(t ) ? 0, 所以 ? (t ) 单调减少，从而 ? (? ) ? ? (e) ，即ln ???ln e 2 2 ? 2， 2 e e4 (b ? a ) . e2 4 【证法 2】设 ? ( x ) ? ln 2 x ? 2 x ，则 e ln x 4 ? ?( x) ? 2 ? 2 ， x e 1 ? ln x , ? ??( x) ? 2 x2故 ln 2 b ? ln 2 a ? 所以当 x&e 时， ? ??( x) ? 0, 故 ? ?( x ) 单调减少，从而当 e ? x ? e 2 时，? ?( x) ? ? ?(e 2 ) ?4 4 ? 2 ?0， 2 e e即当 e ? x ? e 2 时， ? ( x) 单调增加. 因此当 e ? x ? e 2 时， ? (b) ? ? (a) ，4 4 b ? ln 2 a ? 2 a ， 2 e e 4 故 ln 2 b ? ln 2 a ? 2 (b ? a ) . e即 ln 2 b ? 【评注】本题也可设辅助函数为 ? ( x) ? ln 2 x ? ln 2 a ?4 ( x ? a ), e ? a ? x ? e 2 或 e24 (b ? x), e ? x ? b ? e 2 ，再用单调性进行证明即可. e2 （16） （本题满分 11 分） 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞， 以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg 的飞机， 着陆时的水平速度为 700km/h. 经测试， 减速伞打开后，? ( x) ? ln 2 b ? ln 2 x ?飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 k? 6.0 ?106 ).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ 注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. 【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 【详解 1】由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度 v0 接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t). 根据牛顿第二定律，得 dv m ? ? kv . dt? 700km / h .从飞机dv dv dx dv ? ? ?v ， dt dx dt dx 由以上两式得 m dx ? ? dv ， k m m 积分得 x(t ) ? ? v ? C. 由于 v(0) ? v0 , x(0) ? 0 ，故得 C ? v 0 ，从而 k k m x(t ) ? (v0 ? v(t )). k m v0
当 v(t ) ? 0 时， x(t ) ? ? ? 1.05(km). k 6.0 ? 106 所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km. dv 【详解 2】根据牛顿第二定律，得 m ? ? kv , dt又所以dv k ? ? dt . v m? k t m两端积分得通解 v ? Ce 故 v(t ) ? v0 ek ? t m，代入初始条件 vt ?0? v0 解得 C ? v0 ，.k飞机滑行的最长距离为x????0mv ? t v(t )dt ? ? 0 e m kk?? 0?kmv0 ? 1.05(km). kk? t ? t t kv0 ? m t dx (e ? 1) ， ? v0 e m ， 或由 知 x(t ) ? ? v0 e m dt ? ? 故最长距离为当 t ? ? 时， 0 m dtx(t ) ?kv0 ? 1.05(km). m【详解 3】根据牛顿第二定律，得 md 2x dx ? ?k , 2 dt dtd 2 x k dx ? ? 0， dt 2 m dt其特征方程为 ?2 ? 故 x ? C1 ? C2 ek ? t mk k ? ? 0 ，解之得 ?1 ? 0, ?2 ? ? ， m m.kC ? t ?? 2 e m t ?0 mk k t ?0dx ? 0, v ? 由x t ?0 t ?0 dt? v0 ，m v0 得 C1 ? ?C 2 ? , 于是 x(t ) ? k当t? t m v0 (1 ? e m ). k? ??时， x(t ) ? m v0? 1.05(km). k 所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离，可理解为 t? ??或 v(t ) ? 0 的极限值，这种条件应引起注意. （17） （本题满分 12 分） 计算曲面积分I ? ?? 2 x 3dydz ? 2 y 3dzdx ? 3( z 2 ? 1)dxdy ,?其中 ? 是曲面 z? 1 ? x 2 ? y 2 ( z ? 0) 的上侧.【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可. 【详解】取 ?1 为 xoy 平面上被圆 x 的空间闭区域，则2? y 2 ? 1 所围部分的下侧，记 ? 为由 ? 与 ?1 围成I ?? ? ?1?? 2 x3dydz ? 2 y 3 dzdx ? 3( z 2 ? 1)dxdy? ?? 2 x 3 dydz ? 2 y 3 dzdx ? 3( z 2 ? 1)dxdy .?1由高斯公式知? ? ?1?? 2 x3dydz ? 2 y 3 dzdx ? 3( z 2 ? 1)dxdy ?=6??? 6( x?2? y 2 ? z )dxdydz?2?0d? ? dr?011?r20( z ? r 2 )rdz1 1 = 12? ? [ r (1 ? r 2 ) 2 ? r 3 (1 ? r 2 )]dr ? 2? . 0 2而?? 2 x?13dydz ? 2 y 3 dzdx ? 3( z 2 ? 1)dxdy ? ?x 2 ? y 2 ?1?? ? 3dxdy ? 3? ，故 I ? 2? ? 3? ? ?? . 【评注】本题选择 ?1 时应注意其侧与 ? 围成封闭曲面后同为外侧（或内侧） ，再就是 在 ?1 上直接投影积分时，应注意符号( ?1 取下侧，与 z 轴正向相反，所以取负号). （18） （本题满分 11 分） 设有方程 x n ? nx ? 1 ? 0 ，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 xn ，并证 明当 ? ? 1 时，级数? x? 收敛.n ?1 n?【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用 比较法判定. 【证】记f n ( x) ? x n ? nx ? 1. 由 f n (0) ? ?1 ? 0 ， f n (1) ? n ? 0 ，及连续函数的介值定理知，方程 x n ? nx ? 1 ? 0 存在正实数根 xn 当 x&0 时 ，? (0,1).故方程f n?( x) ? nxn?1 ? n ? 0 ， 可 见 f n ( x) 在 [0,??) 上 单 调 增 加 ,x n ? nx ? 1 ? 0 存在惟一正实数根 x n .由 x n ? nx ? 1 ? 0 与 xn? 0知n 1 ? xn 1 1 ? 0 ? xn ? ? ，故当 ? ? 1 时， 0 ? x n ? ( )? . n n n? 1 ? xn ? ? 1 收敛，所以当 时，级数 收敛. ? ? ? n ?1 n n ?1 ?而正项级数【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性， 题型设计比较新颖， 但难度并不大， 只要基本概念清楚，应该可以轻松求证. （19） （本题满分 12 分） 设 z=z(x,y)是由 x2? 6xy ? 10y 2 ? 2 yz ? z 2 ? 18 ? 0 确定的函数，求 z ? z ( x, y) 的极值点和极值. 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定 极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【详解】因为 x2? 6xy ? 10y 2 ? 2 yz ? z 2 ? 18 ? 0 ，所以2x ? 6 y ? 2 y?z ?z ? 2z ? 0， ?x ?x? 6 x ? 20y ? 2 z ? 2 y?z ?z ? 2z ? 0 . ?y ?y? ?z ? 0, ? x ? 3 y ? 0, ? ? ?x 令? 得? ?z ? ? 0 ?? 3x ? 10y ? z ? 0, ? ? ?y故?? x ? 3 y, ? z ? y.将上式代入 x2? 6xy ? 10y 2 ? 2 yz ? z 2 ? 18 ? 0 ，可得? x ? 9 , ? x ? ? 9, ? ? ? y ? 3, 或 ? y ? ?3, ? z ? 3 ? z ? ?3. ? ??2z ?z 2 ?2z 由于 2 ? 2 y 2 ? 2( ) ? 2 z 2 ? 0 ， ?x ?x ?x?6?2 ?z ?2z ?z ?z ?2z ? 2y ? 2 ? ? 2z ? 0, ?x ?x?y ?y ?x ?x?y?z ?z ?2 z ?z 2 ?2 z 20 ? 2 ? 2 ? 2 y 2 ? 2( ) ? 2 z 2 ? 0 ， ?y ?y ?y ?y ?y所以 A ??2z ?x 21 ?2 z ? ，B ? ( 9 , 3, 3 ) 6 ?x?y1 ?2z ? ? ，C ? 2 ( 9, 3, 3) 2 ?y( 9, 3, 3)5 ? ， 3故 AC ? B 2 ?1 1 ? 0 ，又 A ? ? 0 ，从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点，极小值为 z(9,3)=3. 36 6 类似地，由A??2z ?x 21 ?2z ? ? ，B ? ( ?9, ?3, ?3) 6 ?x?y( ?9, ?3, ?3)?1 ?2 z ，C ? 2 ?y 2( ?9, ?3, ?3)5 ?? ， 3可知 AC ? B 2 ? z(-9, -3)= -3.1 1 ? 0 ，又 A ? ? ? 0 ，从而点(-9, -3)是 z(x,y)的极大值点，极大值为 36 6【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程. （20） （本题满分 9 分） 设有齐次线性方程组? (1 ? a ) x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 0, ?2 x ? (2 ? a ) x ? ? ? 2 x ? 0, ? 1 2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nx1 ? nx2 ? ? ? (n ? a ) x n ? 0,( n ? 2)试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩 阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n，进而判断是否有非零解；或直接 计算系数矩阵的行列式， 根据题设行列式的值必为零， 由此对参数 a 的可能取值进行讨论即 可. 【详解 1】对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有1 1 ? 1 ? ?1 ? a 1 1 ?1 ? a ? 2 ? ? 2a a 0 2?a 2 ? 2 ? ? ? A? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? n n ? n ? a ? ?? na 0 0 ? n? 1? ? 0? ? ? B. ? ?? ? ? a?当 a=0 时， r(A)=1&n，故方程组有非零解，其同解方程组为x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0,由此得基础解系为?1 ? (?1,1,0,?,0)T , ?2 ? (?1,0,1,?,0)T , ?,?n?1 ? (?1,0,0,?,1)T ,于是方程组的通解为x ? k1?1 ? ? ? kn?1?n?1 , 其中 k1 ,?, k n?1 为任意常数.当 a ? 0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有? ?1 ? a 1 1 ? 1 ? ?a ? ? ?2 1 0 ? 0? ??? B?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? n 0 0 ? 1 ? ? ?可知 a ? ?n(n ? 1) 2 ?2 ? ?n? 0? 1 0 ? 0 ?. ? ? ? ? ?? 0 0 ? 1? ? 0 0 ?n( n ? 1) 时， r ( A) ? n ? 1 ? n ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 2?? 2 x1 ? x 2 ? 0, ? ? 3 x ? x ? 0, ? 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? nx1 ? x n ? 0,由此得基础解系为? ? (1,2,?, n)T ，于是方程组的通解为 x ? k? ，其中 k 为任意常数. 【详解 2】方程组的系数行列式为1? a 1 1 ? 1 2 2?a 2 ? 2 n(n ? 1) n ?1 A? ? (a ? )a . ? ? ? ? ? 2 n n n ? n?a当2 当 a=0 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有A ? 0 ，即 a=0 或 a ? ? n(n ? 1) 时，方程组有非零解.?1 1 1 ? 1? ?1 1 1 ? 1? ?2 2 2 ? 2? ?0 0 0 ? 0? ??? ?， A?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?n n n ? n? ?0 0 0 0 0?故方程组的同解方程组为x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0,由此得基础解系为?1 ? (?1,1,0,?,0)T , ?2 ? (?1,0,1,?,0)T , ?,?n?1 ? (?1,0,0,?,1)T ,于是方程组的通解为x ? k1?1 ? ? ? kn?1?n?1 , 其中 k1 ,?, k n?1 为任意常数.当a ? ?n( n ? 1) 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 21 1 ? 1 ? ?1 ? a 1 1 ? 1 ? ?1 ? a ? 2 ? ? 2a a 0 ? 0 ? 2?a 2 ? 2 ? ? ? ? A? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? n n ? n ? a ? ?? na 0 0 ? a ? ? n?1 ? a 1 1 ? 1 ? ? 0 0 0 ? 0? ? ?2 1 0 ? 0? ?? 2 1 0 ? 0 ? ? ? ?， ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?n 0 0 ? 1? ?? n 0 0 ? 1 ?故方程组的同解方程组为?? 2 x1 ? x 2 ? 0, ? ? 3 x ? x ? 0, ? 1 3 ? ? ??? ? ? ? nx1 ? x n ? 0,由此得基础解系为? ? (1,2,?, n)T ，于是方程组的通解为 x ? k? ，其中 k 为任意常数. 【评注】矩阵 A 的行列式A 也可这样计算：?1 1 1 ?2 2 2 + ? ?? ? ? ? ?n n n ? 1? ? 2? ? ， 矩 阵 ? ?? ? ? n?1 1 ? 1 ? ?1 ? a ? 2 2?a 2 ? 2 ? ? = aE A?? ?? ? ? ? ? ? ? ? n n ? n ? a? ? n ?1 1 1 ?2 2 2 ? ?? ? ? ? ?n n n?, a ?? 1? ? 2? ? 的 特 征 值 为 0, ? ,0, n(n ? 1) ， 从 而 A 的 特 征 值 为 a,a, 2 ? ?? ? ? n?n(n ? 1) n( n ? 1) n ?1 , 故行列式 A ? ( a ? )a . 2 2 （21） （本题满分 9 分）? 1 2 ? 3? ? ? 设矩阵 A ? ?? 1 4 ? 3? 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相 ? ?1 a 5? ?似对角化. 【分析】先求出 A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定 A 是否可相似对角化即可. 【详解】 A 的特征多项式为? ?1 ? 2 3 ? ? 2 ? (? ? 2) 0 ?E ? A ? 1 ? ?4 3 ? 1 ? ?4 3 ?1 ?a ? ?5 ?1 ?a ? ?51= (? ? 2) 1?10? ?4 3 ? (? ? 2)(?2 ? 8? ? 18 ? 3a). ?1 ? a ? ? 52当 ? ? 2 是特征方程的二重根，则有 2? 16 ? 18 ? 3a ? 0, 解得 a= -2.? 1 ?2 3 ? ? ? 当 a= -2 时， A 的特征值为 2,2,6, 矩阵 2E-A= ? 1 ? 2 3 ? 的秩为 1， 故 ? ? 2 对应的 ? ? ? 1 2 ? 3? ?线性无关的特征向量有两个，从而 A 可相似对角化. 若 ? ? 2 不是特征方程的二重根，则 ?2 ? 8? ? 18 ? 3a 为完全平方，从而 18+3a=16， 2 解得 a ? ? . 3? ? ? 3 ?2 3 ? 2 0 3 ? 秩为 2，故 ? ? 4 对 当 a ? ? 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 4E-A= ? 1 3 ? ? 2 ? 1? ?? 1 3 ? ?应的线性无关的特征向量只有一个，从而 A 不可相似对角化. 【评注】 n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是：对于 A 的任意 k i 重特征根 ?i ，恒有n ? r(?i E ? A) ? ki . 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)（本题满分 9