高等数学曲面积分对面积的曲面积分的计算中，计算DS时，Zx的平方是什么意思，怎么计算啊。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-06-19 09:12 标签： 对面积的曲面积分
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同济高数下228页例3第二类曲面积分,解中cosa/cosr怎么来的?不应该是-cosa/cosr吗?后面按对坐标的曲面积分的计算法,=后添加的负号怎么来的
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先看两类曲面积分之间的转换,同济高数下227页有.∫∫Σ (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ) dS = ∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy==> cosα dS = dydz ==> cosβ dS = dzdx ===> cosγ dS = dxdy对于xy面来说,曲面的单位法向量n = (cosα)i + (cosβ)j + (cosγ)k= 1/√[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] * [- (∂z/∂x)i - (∂z/∂y)j + k],这个是取上侧的= 1/√[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] * [(∂z/∂x)i + (∂z/∂y)j - k],这个是取下侧的所以取下侧的话,注意角度α、β、γ都变成钝角,余弦值变负数,所以要添加负号.cosα = (z'x)/√[1 + (z'x)² + (z'y)²] = x/√(1 + x² + y²)cosβ = (z'y)/√[1 + (z'x)² + (z'y)²] = y/√(1 + x² + y²)cosγ = - 1/√[1 + (z'x)² + (z'y)²] = - 1/√(1 + x² + y²)于是∫∫Σ (z² + x²)dydz = ∫∫Σ (z² + x²) * cosα dS,先转为第一类= ∫∫Σ (z² + x²) * cosα * 1/cosγ * dxdy,再转为第二类,将yz面转为xy面从而简化,不用向yz面投影= ∫∫Σ (z² + x²) * x/√(1 + x² + y²) * (- 1)√(1 + x² + y²) dxdy= ∫∫Σ [(z² + x)(- x) - z] dxdy,因为是取下侧的,所以要添加负号.(上侧正、下侧负)= - ∫∫D { [1/4 *(x² + y²)² + x](- x) - 1/2 * (x² + y²) } dxdy、D：x² + y² ≤ 4= ∫∫D (x/4)(x² + y²)² dxdy + ∫∫D [x² - (1/2)(x² + y²)] dxdy,前面积分是关于x的奇函数,等于0= 0 + (1/2)∫∫D (x² - y²) dxdy = 8π至于为什么方向余弦与曲面的单位法向量会等于那个,你要看偏导数应用的几何部分.推导的话,从同济高数下97页的曲面切线方程方程开始看,然后到了曲面的法向量部分98页到99页就是推导过程了.
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