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苹果和梨共14筐,总重520千克,其中苹果每筐重35千克,梨每筐重40千克,问梨和苹果各几筐?方程解
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设梨有x筐,那么苹果有（14-x）筐,列方程40x+35（14-x)=520解得x=6答：梨有6筐,苹果有14-6=8筐.
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苹果8筐，梨6筐
苹果和梨各x,y筐x+y=1435x+40y=520x=8.y=6梨6筐，苹果8筐
35x+40Y=520去算一下
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水果店运来100箱水果，其中苹果35箱，梨42箱，剩下的是橘子，橘子有多少箱？（用两种方法解答）
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方法一：100-（35+42），=100-77，=23（箱）；方法二：100-35-42，=65-42，=23（箱）．答：橘子有23箱．
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要求橘子有多少箱，可以先求出苹果和梨4的箱数，再用运来的100箱减去它们的箱数和即可；或者用运来的100箱分别减去苹果的35箱，梨的42箱，剩下的就是橘子的箱数．
本题考点：
整数的加法和减法．
考点点评：
用运来的总箱数减去另两种水果的箱数和或者连续减去另两种水果的箱数，就是第三种水果的箱数．
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小学奥数举一反三(四年级)全
四年级数学奥数培训资料姓名：__________________小学四年级奥数举一反三第 1 讲至第 40 讲全目录 第1讲 第2讲 第3讲 第4讲 第5讲 第6讲 第7讲 第8讲 第9讲 第 10 讲 第 11 讲 第 12 讲 第 13 讲 第 14 讲 第 15 讲 第 16 讲 第 17 讲 第 18 讲 第 19 讲 第 20 讲 找 规 律（一） 找 规 律（二） 简 单 推 理 应用题（一） 算式谜（一） 算式谜（二） 最优化问题 巧妙求和（一） 变化规律（一） 变化规律 错中求解 简单列举 和倍问题 植树问题 图形问题 巧妙求和 数数图形 数数图形 应用题 速算与巧算第二十一周 速算与巧算（二） 第二十二周 平均数问题 第二十三周 定义新运算 第二十四周 差倍问题 第二十五周 和差问题 第二十六周 巧算年龄 第二十七周 较复杂的和差倍问题 第二十八周 周期问题 第二十九周 行程问题（一） 第三十周 用假设法解题 第三十一周 还原问题 第三十二周 逻辑推理 第三十三周 速算与巧算（三） 第三十四周 行程问题（二） 第三十五周 容斥原理 第三十六周 二进制 第三十七周 应用题（三） 第三十八周 应用题（四） 第三十九周 盈亏问题 第四十周 数学开放题-1-第1讲找 规 律（一）一、知识要点 观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况 下，我们可以从以下几个方面来找规律： 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可 以认为是正确的。 二、精讲精练 【例题 1】 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。 1，4，7，10，（ ），16，19 【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是 3，即每一个数加上 3 都等于后面 的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13 或 16－3=13。 像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。 练习 1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，6，10，14，（ ），22，26 （2）3，6，9，12，（ ），18，21 （3）33，28，23，（ ），13，（ ），3 （4）55，49，43，（ ），31，（ ），19 （5）3，6，12，（ ），48，（ ），192 （6）2，6，18，（ ），162，（ ） （7）128，64，32，（ ），8，（ ），2 （8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3.. 【例题 2】 先找出下列数排列的规律， 然后在括号里填上适当的数。 2， 7， 1， 4， （ ） ， 16，22 【思路导航】在这列数中，前 4 个数每相邻的两个数的差依次是 1，2，3。由此可以 推算 7 比括号里的数少 4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。 应填的数为：7+4=11 或 16-5=11。 练习 2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）10，11，13，16，20，（ ），31 （2）1，4，9，16，25，（ ），49，64 （3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2 （4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8 （5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0 （6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1 （7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2 （8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14 【例题 3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 23，4，20，6，17，8，（- 2 -），（），11，12银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________【思路导航】在这列数中，第一个数减去 3 的差是第三个数，第二个数加上 2 的和是 第四个数，第三个数减去 3 的差是第五个数，第四个数加上 2 的和是第六个数……依此规 律，8 后面的一个数为：17-3=14，11 前面的数为：8+2=10 练习 3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ） （2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ） （3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14 （4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ） （5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12 （6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486 （7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ） （8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ） 【例题 4】在数列 1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55……中，括号里应填什 么数？ 【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前 面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21 或 34－13=21 上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。 练习 4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ） （2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ） （3）0，1，3，8，21，（ ），144 （4）3，7，15，31，63，（ ），（ ） （5）33，17，9，5，3，（ ） （6）0，1，4，15，56，（ ） （7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78 （8）0，1，2，4，7，12，20，（ ） 【例题 5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。 （8，4）（5，7）（10，2）（□，9） 【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是 12。 根据这一规律，□里所填的数应为：12－9=3 练习 5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。 （1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，） （2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□） （3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5） （4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□） （5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□） （6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□） （7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21） （8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□）-3-第2讲一、知识要点找 规 律（二）对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考： 1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的 方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分 析； 2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊 位Z有关，这是我们解这类题的突破口。 3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。 二、精讲精练 【例题 1】根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横 行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。 练习 1：找规律，在空格里填上适当的数。【例题 2】 根据前面图形中的数之间的关系， 想一想第三个图形的括号里应填什么数？【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5 〓12〔10=6 4〓20〔10=8 根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8〓30〔10=24. 练习 2：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。 （1）（2）- 4 -银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________（3）【例题 3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写 出后几题的得数。= 54= = 【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是 ，它是有趣的“缺 8 数”，与 9 相乘，结果是由九个 1 组成的九位数，即：。不难发现，这组题得数的规律是： 只要看每道算式的第二个因数中包含几个 9，乘积中就包含几个 。 因为：= 所以：=〓2==〓6= 练习 3：找规律，写得数。 （1） 1+0〓9= （2） 1〓1= （3）19+9〓9= 9= 2+1〓9= 11〓11= 118+98〓9= 65〓9= 【例题 4】找规律计算。（1） 81－18=（8－1）〓9=7〓9=63 （2） 72―27=（7－2）〓9=5〓9=45 （3） 63－36=（□－□）〓9=□〓9=□ 3+12〓9= 111〓111= 4+123〓9= 9+= 〓= =〓 =〓9=. =〓【思路导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位 Z后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘 9，所得的积就是这两个数的差。 练习 4： 1．利用规律计算。 （1）53－35 95－59 2．找规律计算。（1） 62+26=（6+2）〓11=8〓11=88（2） 87+78=（8+7）〓11=15 〓11=165（3） 54+45=（□+□）〓11=□〓11=□【例题 5】计算（1）26〓11 〓11 【思路导航】一个两位数与 11 相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个 数字中间，就是所求的积。（1） 26〓11=2（2+6）6=286（2） 38〓11=3（3+8）8=418 注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。 练习 5：计算下面各题。（1）27〓11 11 （4）46〓11（5）92〓11 （2）32〓11（3） 39〓 （6）98〓11 （2）38 （2）82－28 （3）92－29 （4）61－16 （5）-5-第3讲一、知识要点简 单 推 理解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理地进 行，要充分利用已经得出的结论，作为进一步推理的依据。 二、精讲精练 【例题 1】 一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4 袋牛肉干的重等于一包巧克 力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？ 【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4 袋牛肉干的重量=一 包巧克力的重量”可推出：两袋饼干的重量=4 袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的重量= 两袋牛肉干的重量。 练习 1： （1）一只菠萝的重量等于 4 根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量， 一只梨子的重量等于几根香蕉的重量？ （2）3 包巧克力的重量等于两袋糖的的重量，12 袋牛肉干的重量等于 3 包巧克力的 重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量？ （3）一只小猪的重量等于 6 只鸡的重量，3 只鸡的重量等于 4 只鸭的重量。一只小猪 的重量等于几只鸭的重量？ 【例题 2】一头象的重量等于 4 头牛的重量，一头牛的重量等于 3 匹小马的重量，一 匹小马的重量等于 3 头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量？ 【思路导航】根据“一头象的重量等于 4 头牛的重量”与“一头牛的重量等于 3 匹小 马的重量”可推出：“一头象的重量等于 12 匹小马的重量”，而“一匹小马的重量等于 3 头小猪的重量”，因此，一头象的重量等于 36 头小猪的重量。 练习 2： （1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1 个菠萝的重量等于 4 个苹果的重量，1 个苹果的重量等于两个橘子的重量。1 只西瓜的重量等于几个橘子的重量？ （2）一头牛一天吃草的重量和一只兔子 9 天吃草的重量相等，也和 6 只羊一天吃草 的重量相等。 已知一头牛每天吃青草 18 千克， 一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？ （3）一只小猪的重量等于 6 只鸡的重量，3 只鸡的重量等于 4 只鸭的重量，两只鸭的 重量等于 6 条鱼的重量。问：两只小猪的重量等于几条鱼的重量？ 【例题 3】根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=18 □=10 【思路导航】在第一个算式中，3 个○相加的和是 18，所以○代表的数是：18〔3=6， 又由第二个算式可求出□代表的数是：10－6=4. 练习 3：- 6 银海是我的光荣，我是银海的骄傲○＋四年级数学奥数培训资料姓名：__________________（1）根据下面两个算式，求□与△各代表多少？ □＋□＋□＋□=32 ○＋○＋□＋□＋□=40 （3）根据下面两个算式，求○与△各代表多少？○－△=8 △＋△＋△=○ 【例题 4】根据下面两个算式，求○与△各代表多少？ △－○=2 ○＋○＋△＋△＋△=56 【思路导航】由第一个算式可知，△比○多 2；如果将第二个算式的○都换成△，那 么 5 个△=56＋2〓2，△=12，再由第一个算式可知，○=12－2=10. 练习 4： （1）根据下面两个算式求□与○各代表多少？ □－○=8 △＋△＋△＋○＋○=78 △＋△＋△－□－□=12 □＋□＋○＋○=20 △＋△＋○＋○＋○=72 □＋□＋□－△－△=2 （2）根据下面两个算式，求△与○各代表多少？ （3）根据下面两个算式，求△与□各代表多少？ △ －□=20（2）根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=15【例题 5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上他们分别 获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军，甲不是跳 高冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军。问：他们三个人分别是哪个学校的？获得哪项 冠军？ 【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；因为“一 小的不是垒球冠军”，所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠 军”，“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远 冠军，三小的乙是垒球冠军。 练习 5： （1）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的，一个穿白的，一个 穿红的。但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓 王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗？ （2）小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加 100 米比赛，比赛结束后小猴说：“我比 小猫跑得快。”小狗说：“小鹿在我前面冲过终点线。”小兔说：“我们的名次排在小猴 前面，小狗在后面。”请根据它们的回答排出名次。 （3）五个女孩并排坐着，甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离 相等的座位上，戌坐在她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐？-7-第4讲一、知识要点应用题（一）解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通 过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺 利解决。 二、精讲精练 【例题 1】 某玩具厂把 630 件玩具分别装在 5 个塑料箱和 6 个纸箱里，1 个塑料箱 与 3 个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？ 【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或 一个塑料箱装多少件。因为 3 个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以 6 个纸箱与 2 个塑料 箱装的同样多。这样，5 个塑料箱装的玩具件数和 7 个塑料箱装的就同样多。由此，可求 出一个塑料箱装多少件。 练习 1： （1）百货商店运来 300 双球鞋分别装在 2 个木箱和 6 个纸箱里。如果两个纸箱同一 个木箱装的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？ （2）新华小学买了两张桌子和 5 把椅子，共付款 195 元。已知每张桌子的价钱是每 把椅子的 4 倍，每张桌子多少元？ （3）王叔叔买了 3 千克荔枝和 4 千克桂圆，共付款 156 元。已知 5 千克荔枝的价钱 等于 2 千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？ 【例题 2】一桶油，连桶重 180 千克，用去一半油后，连桶还有 100 千克。问：油和 桶各重多少千克？ 【思路导航】原来油和桶共重 180 千克，用去一半油后，连桶还有 100 千克，说明用 去的一半油的重是 180－100=80（千克），一桶油的重量就是 80〓2=160（千克），油桶 的重量就是 180－160=20（千克）。 练习 2： （1）一筐梨，连筐重 38 千克，吃去一半后，连筐还有 20 千克。问：梨和筐各重多 少千克？ （2）一筐苹果，连筐共重 35 千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送 给一年级小朋友，余下的苹果连筐重 11 千克。这筐苹果重多少千克？ （3）一只油桶里有一些油，如果把油加到原来的 2 倍，油桶连油重 38 千克；如果把 油加到原来的 4 倍，这里油和桶共重 46 千克。原来油桶里有油多少千克？ 【例题 3】有 5 盒茶叶，如果从每盒中取出 200 克，那么 5 盒剩下的茶叶正好和原来 4 盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克？ 【思路导航】由条件“每盒取出 200 克，5 盒剩下的茶叶正好和原来 4 盒茶叶重量相 等”可以推出，拿出的 200〓5=1000（克）茶叶正好等于原来的 5－4=1（盒）茶叶的重量。 练习 3：- 8 银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________（1）有 6 筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出 40 个，6 筐梨子剩下的个 数总和正好和原来两筐的个数相等。原来每筐有多少个？ （2）在 5 个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木箱中拿出 60 个橘子，那么 5 个 木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。原来每个木箱中有多 少个橘子？ （3）某食品店有 5 箱饼干，如果从每个箱子里取出 20 千克，那么 5 个箱子里剩下的 饼干正好等于原来 3 箱饼干的重量。原来每个箱子里装多少千克饼干？ 【例题 4】一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产 60 张，实际每天比原计划多 生产 4 张，结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？ 【思路导航】 这道题的关键是要求出工作时间。 因为实际比原计划提前 1 天完成任务， 这就相当于把原计划最后 1 天的任务平均分到前面的几天去做，正好分完。实际比原计划 每天多生产 4 张， 所以实际生产的天数是 60〔4=15 天， 原计划生产的天数是 15＋1=16 天。 所以原计划要生产 60〓16=960 张。 练习 4： （1）电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产 90 台，可以按期完成。实际每天多 生产 5 台，结果提前 1 天完成任务。这批电视机共有多少台？ （2）小明看一本故事书，计划每天看 12 页，实际每天多看 8 页，结果提前 2 天看完。 这本故事书有多少页？ （3）修一条公路，计划每天修 60 米，实际每天比计划多修 15 米，结果提前 4 天修 完。一共修了多少米？ 【例题 5】有两盒图钉，甲盒有 72 只，乙盒有 48 只，从甲盒拿出多少只放入乙盒， 才能使两盒中的图钉相等？ 【思路导航】由条件可知，甲盒比乙盒多 72－48=24 只。要盒两盒中的图钉相等，只 要把甲盒比乙盒多的 24 只图钉平均分成 2 份，取其中的 1 份放入乙盒就行了。所以应拿 出 24〔2=12 只。 练习 5： （1）有两袋面粉，第一袋面粉有 24 千克，第二袋面粉有 18 千克。从第一袋中取出 几千克放入第二袋，才能使两袋中的面粉重量相等？ （2）有两盒图钉，甲盒有 72 只，乙盒有 48 只。每次从甲盒中拿 4 只放到乙盒，拿 几次才能使两盒相等？ （3）有两袋糖，一袋是 68 粒，另一袋是 20 粒。每次从多的一袋中拿出 6 粒放到少 的一袋里，拿几次才能使两袋糖同样多？-9-第5讲一、知识要点算式谜（一）“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以 根据已学过的知识，运用正确的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。由于 这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏，所以，我们把这类题目称为“算式谜 题”。 解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验， 分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。 二、精讲精练 【例题 1】 在下面算式的括号里填上合适的数。【思路导航】根据题目特点，先看个位：7＋5=12，在和的个位（ ）中填 2，并向十 位进一；再看十位，（ ）+4+1 的和个位是 1，因此，第一个加数的（ ）中只能填 6，并 向百位进 1；最后来看百位、千位，6+（ ）+1 的和的个位是 2，第二个加数的（ ）中只 能填 5，并向千位进 1；因此，和的千位（ ）中应填 8。 练习 1：（1）在括号里填上合适的数。 （2）在方框里填上合适的数。（3）下面的竖式里，有 4 个数字被遮住了，求竖式中被盖住的 4 个数 字的和。 【例题 2】下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代 表不同的数字， 相同的汉字代表相同的数字。 当它们各代表什么数字 时，下列的算式成立。 【思路导航】先看个位，3 个“飞”相加的和的个位数字是 1，可推知“飞”代表 7； 再看十位，3 个“腾”相加，再加上个位进来的 2，所得的和的个位是 0，可推知“腾”代 表 6；再看百位，两个“龙”相加，加上十位进上来的 2，所得和的个位是 0，“龙”可能 是 4 或 9，考虑到千位上的“巨”不可能为 0，所以“龙”只能代表 4，“巨”只能代表 1。 练习 2：- 10 -银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________【例题 3】下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表 0―9 这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字 各代表哪些数字？ 【思路导航】这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然 是“卒”，这个数字只能是 0。确定“卒”是 0 后，所有是“卒”的地方，都是 0。注意 到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是 5，“车”是 1；再由十位上的情 况可推知“马”是 4，进而推得“炮”是 2。 练习 3：【例题 4】将 0、1、2、3、4、5、6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出 现一次，组成一个整数算式。 ○〓○=□=○〔○ 【思路导航】要求用七个数字组成五个数，这五个数有三个是一位数，有两个是两位 数。显然，方格中的数和被除数是两位数，其他是一位数。 0 和 1 不能填入乘法算式，也不能做除数。由于 2〓6=12（2 将出现两次），2〓5=10 （经试验不合题意），2〓4=8（7 个数字中没有 8），2〓3=6（6 不能成为商）。因此，0、 1、2 只能用来组成两位数。经试验可得：3〓4=12=6=〔5. 练习 4：（1）将 0、1、3、5、6、8、9 这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好 出现一次组成一个整数算式。 ○〓○=□=○〔○ □〔□=□〔□ （2）填入 1、2、3、4、7、9，使等式成立。 2、3、4、6 这六个数字列成一个算式。 【例题 5】把“＋、－、〓、〔”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次）， 并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立。36○0○15=15 21○3○5=□ 【思路导航】先从第一个等式入手，等式右边是 15，与等式左边最后一个数 15 相同， 因为 0+15=15，所以，只要使 36 与 0 的运算结果为 0 就行。显然，36〓0+15=15 因为第一个等式已填“〓”、“+”，在第二个等式中只有“－”、“〔”可以填， 题目要求在方框中填整数，已知 3 不能被 5 整除，所以“〔”只能填在 21 与 3 之间，而 3 与 5 之间填“－”。 练习 5：（1）把“＋、－、〓、〔”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当的 整数，使下面每组的两个等式成立。 ② 17○6○2=100 ① 9○13○7=100 14○2○5=□ 5○14○7=□（3）用 1、2、3、7、8 这五个数字可以列成一个算式：（1+3）〓7=28。请你用 0、1、（2）将 1～9 这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式。 □＋□=□ □－□=□ □〓□=□- 11 -第6讲一、知识要点算式谜（二）解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点： 1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部 判断； 2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字； 3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目 的； 4．算式谜解出后，要验算一遍。 二、精讲精练 【例题 1】 在下面的方框中填上合适的数字。 【思路导航】由积的末尾是 0，可推出第二个因数的个位是 5；由 第二个因数的个位是 5，并结合第一个因数与 5 相乘的积的情况考虑， 可推出第一人个因数的百位是 3； 由第一个因数为 376 与积为 31□□0， 可推出第二个因数的十数上是 8。题中别的数字就容易填了。 练习 1： 在□里填上适当的数。【例题 2】在下面方框中填上适合的数字。 【思路导航】由商的十位是 1，以及 1 与除数的乘积的最高位是 1 可推知除数的十位 是 1。由第一次除后余下的数是 1，可推知被除数的十位只可能是 7、8、9。如果是 7，除 数的个位是 0，那么最后必有余数；如果被除数是 8，除数的个位就是 1，也不能除尽；只 有当被除数的十位是 9 时，除数的个位是 2 时，商的个位为 6，正好除尽。完整的竖式是： 练习 2：在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。【例题 3】下面算式中的 a、b、c、d 这四个字母各代表什么数字？- 12 -银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________【思路导航】因为四位数 abcd 乘 9 的积是四位数，可知 a 是 1；d 和 9 相乘 的积的个位是 1， 可知 d 只能是 9； 因为第二个因数 9 与第一个因数百位上的数 b 相乘的积不能进位，所以 b 只能是 0（1 已经用过）；再由 b=0，可推知 c=8。 练习 3： 求下列各题中每个汉字所代表的数字。花=红 =柳 =绿 =华 =罗 =庚 =金 =杯 =盼 =望 =祖 =国 =早 =日 =统 =一 =【例题 4】在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字中间加上“＋、－”两种运算 符号，使其结果等于 100（数字的顺序不能改变）。 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 【思路导航】先凑出与 100 比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。 比如：123 与 100 比较接近，所以把前三个数字组成 123，后面的数字凑出 23 就行。 因为 45 与 67 相差 22，8 与 9 相差 1，所以得到一种解法：123＋45－67＋8－9=100 再比如：89 与 100 比较接近，78 与 67 正好相差 11，所此可得另一种解法：123＋45 －67＋8－9=100. 练习 4：：（1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于 99（数字 的顺序不能改变）。 顺序不能改变）。 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 1 2 3 4 5 = 100 7〓9＋12〔3－2 = 23 （2）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于 100（数字的 （3）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。 【例题 5】在下面的式子里添上括号，使等式成立。【思路导航】采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的 结果减 2，那么前面式子的运算结果应等 25，又因为 25〓3=75，而前面 7〓9＋12 又正好 等于 75，所以，应给前面两步运算加括号。 练习 5： 1.在下面的式子里添上括号，使等式成立。 （1）7〓9＋12〔3－2 = 75（2）7〓9＋12〔3－2 = 47（3）88＋33－11〔11〓2 = 5 2.在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使 其结果等于 100（数字的顺序不能改变）。 （7〓9＋12）〔3－2 = 23- 13 -第7讲一、知识要点最优化问题在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才 能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用 最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它 的最大 （小） 这类问题在数学中称为极值问题。 值， 以上的问题实际上都是 “最优化问题” 。 二、精讲精练 【例题 1】 用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要 2 分钟（规定正反 面各需要 1 分钟）。问煎 3 个饼至少需要多少分钟？ 【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可 将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把 第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎 3 个饼至少需要 3 分钟。 练习 1： 1.烤面包时，第一面需要 2 分钟，第二面只要烤 1 分钟，即烤一片面包需要 3 分钟。 小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃 3 片面包，至少要烤多少分 钟？ 2.用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要 3 分钟，现在要 烙 3 个大饼，最少要用几分钟？ 3.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放 4 个大饼，烙一个要用 4 分钟（每面各需要 2 分钟）。可小华烙 6 个大饼只用了 6 分钟，他是怎样烙的？ 【例题 2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要 1 分钟，烧开水需要 15 分钟，洗 茶壶需要 1 分钟，洗茶杯需要 1 分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？ 【思路导航】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗， 不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水 可以同时进行。 根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用 1 分钟，接着烧开水用 15 分钟，同时 洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要 16 分钟。 练习 2： 1.小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要 10 分钟，把开水灌进热水瓶需要 2 分钟，取奶需要 5 分钟，整理书包需要 4 分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？ 2.小强给客人沏茶，烧开水需要 12 分钟，洗茶杯要 2 分钟，买茶叶要 8 分钟，放茶 叶泡茶要 1 分钟。为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？ 3.在早晨起床后的 1 小时内，小欣要完成以下事情：叠被 3 分钟，洗脸刷牙 8 分钟， 读外语 30 分钟，吃早餐 10 分钟，收碗擦桌 5 分钟，收听广播 30 分钟。最少需要多少分 钟？ 【例题 3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。 赵明打针需要 5 分钟，孙勇包纱布需要 3 分钟，李佳点眼药水需要 1 分钟。卫生室只有一- 14 银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最 短？ 【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三 位同学在卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳 1 分钟， 赵 1+3=4 分钟，赵明 1+3+5=9 分钟。时间总和是 1+4+9=14 分钟。 练习 3： 1．甲、乙、丙三人分别拿着 2 个、3 个、1 个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热 水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？ 2．甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是 10 分 钟、16 分钟和 8 分钟。怎样安排，使 3 人所花的时间最少？最少时间是多少？ 3．甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要 3 分钟，乙洗抹布需 要 2 分钟，丙洗衣服需要 10 分钟，丁用桶注水需要 1 分钟。怎样安排四人用水的次序， 使他们所花的总时间最少？最少时间是多少？ 【例题 4】用 18 厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围 成的长方形的面积最大是多少？ 【思路导航】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是 18〔2=9 厘米。显然， 当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此， 当长是 5 厘米，宽是 4 厘米时，围成的长方形的面积最大：5〓4=20 平方厘米。 练习 4： 1.用长 26 厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长 方形的面积最大是多少？ 2.一个长方形的周长是 20 分米，它的面积最大是多少？ 3.一个长方形的面积是 36 平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形 的周长最长是多少厘米？ 【例题 5】用 3～6 这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 【思路导航】解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能 使两个数的差最小。所以应把 6 和 5 这两个数字放在十位，4 和 3 放在个位。根据“两个 因数的差越小，积越大”的规律，3 应放在 6 的后面，4 应放在 5 的后面。63〓54=3402. 练习 5： 1.用 1～4 这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 2.用 5～8 这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 3.用 3～8 这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。- 15 -第8讲一、知识要点巧妙求和（一）若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最 后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的 差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第 n 项=首项+（项数－1）〓公差 项数公式：项数=（末项－首项）〔公差＋1 二、精讲精练 【例题 1】 有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为 6，首项是 4，末项是 52.要求项数， 可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52－4）〔6＋1=9，即这个数列共有 9 项。 练习 1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列 11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题 2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第 100 项是多少？ 【思路导航】这个等差数列的首项是 3.公差是 4，项数是 100。要求第 100 项，可根 据“末项=首项+公差〓（项数－1）”进行计算。 第 100 项=3+4〓（100－1）=399. 练习 2： 1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求 1.4，7，10……这个等差数列的第 30 项。 3.求等差数列 2.6，10，14……的第 100 项。 【例题 3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把 1.2.3.4，…，99，100 与列 100，99，…，3.2.1 相加，则 得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个 数的和都是 101.一共有 100 个 101 相加，所得的和就是所求数列的和的 2 倍，再除以 2. 就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）〓100〔2=5050 上面的数列是一个等差数列， 经研究发现， 所有的等差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和=（首项+末项）〓项数〔2- 16 银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习 3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题 4】求等差数列 2，4，6，…，48，50 的和。 【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）〔公差+1=（50－ 2）〔2+1=25 首项=2.末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）〓25〔2=650. 练习 4： 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 【例题 5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） 【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它 们各自的和，然后相减。 进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1 ～ 100 这 100 个数分成了奇数与偶 数两个等差数列，每个数列都有 50 个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分 别对应相减，可得到 50 个差，再求出所有差的和。 （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） =（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99） =1+1+1+…+1 =50 练习 5： 用简便方法计算下面各题。 （1）（97+1995）－（96+1994） （2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999） （3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）- 17 -第9讲一、知识要点 和、差的规律见下表（m≠0） 一个加数（a） m 不变 m变化规律（一）另一个加数（b） 不变 m和（c） m m 不变?m减数（b） 不变 m m被减数（a） m 不变 m 二、精讲精练 【例题 1】差（c） m?m不变两个数相加，一个加数增加 9，另一个加数减少 9，和是否发生变化？【思路导航】一个加数增加 9，假如另一个加数不变，和就增加 9；假如一个加数不 变，另一个加数减少 9，和就减少 9；和先增加 9，接着又减少 9，所以不发生变化。 练习 1： 1.两个数相加，一个数减 8，另一个数加 8，和是否变化？ 2.两个数相加，一个数加 3.另一个数也加 3.和起什么变化？ 3.两个数相加，一个数减 6，另一个数减 2.和起什么变化？ 【例题 2】两个数相加，如果一个加数增加 10，要使和增加 6，那么另一个加数应有 什么变化？ 【思路导航】一个加数增加 10，假如另一个加数不变，和就增加 10。现在要使和增 加 6，那么另一个加数应减少 10－6=4。 练习 2： 1.两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和增加 15，另一个加数应有什么变化？ 2.两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和减少 15，另一个加数应有什么变化？ 3.两个数相加，如果一个加数减少 8，要使和减少 8，另一个加数应有什么变化？ 【例题 3】两数相减，如果被减数增加 8，减数也增加 8，差是否起变化？ 【思路导航】被减数增加 8，假如减数不变，差就增加 8；假如被减数不变，减数增 加 8，差就减少 8。两个数的差先增加 8，接着又减少 8，所以不起什么变化。- 18 银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________练习 3： 1.两数相减，被减数减少 6，减数也减少 6，差是否起变化？ 2.两数相减，被减数增加 12.减数减少 12.差起什么变化？ 3.两数相减，被减数减少 10，减数增加 10，差起什么变化？ 【例题 4】两数相乘，如果一个因数扩大 8 倍，另一个因数缩小 2 倍，积将有什么变 化？ 【思路导航】如果一个因数扩大 8 倍，另一个因数不变，积将扩大 8 倍；如果一个因 数不变，另一个因数缩小 2 倍，积将缩小 2 倍。积先扩大 8 倍又缩小 2 倍，因此，积扩大 了 8〔2=4 倍。 练习 4： 1.两数相乘，如果一个因数缩小 4 倍，另一个因数扩大 4 倍，和是否起变化？ 2.两数相乘，如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数缩小 12 倍，积将有什么变化？ 3.两数相乘，如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数扩大 6 倍，积将有什么变化？ 【例题 5】两数相除，如果被除数扩大 4 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？ 【思路导航】如果被除数扩大 4 倍，除数不变，商就扩大 4 倍；如果被除数不变，除 数缩小 2 倍，商就扩大 2 倍。商先扩大 4 倍，接着又扩大 2 倍，商将扩大 4〓2=8 倍。 练习 5： 1.两数相除，被除数扩大 30 倍，除数缩小 5 倍，商将怎样变化？ 2.两数相除，被除数缩小 12 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？ 3.两数相除，除数扩大 6 倍，要使商扩大 3 倍，被除数应怎样变化？- 19 -第 10 讲一、知识要点 乘、除变化规律见下表（m≠0） 被乘数（a） 〓〔m 不变 〓〔m变化规律乘数（b） 不变 〓〔m 〔〓m 除数（b） 不变 〓〔m 〓〔m积（c） 〓〔m 〓〔m 不变被除数（a） 〓〔m 不变 〓〔m商（c） 〓〔m 〔〓m 不变我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周，我们利用这些规律来解决一些较简 单的问题。 二、精讲精练 【例题 1】 两数相减，被减数减少 8，要使差减少 12.减数应有什么变化？【思路导航】被减数减少 8，假如减数不变，差也减少 8；现在要使差减少 12.减数应 增加 12－8=4。 练习 1： 1.两数相减，如果被减数增加 6，要使差增加 15，减数应有什么变化？ 2.两数相减，如果被减数增加 20，要使差减少 12.减数应有什么变化？ 3.两数相减，减数减少 9，要使差增加 16，被减数应有什么变化？ 【例题 2】两个数相除，商是 8，余数是 20，如果被除数和除数同时扩大 10 倍，商是 多少？余数是多少？ 【思路导航】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同 的倍数。所以商是 8，余数是 20〓10=200。 练习 2： 1.两数相除，商是 6，余数是 30，如果被除数和除数同时扩大 10 倍，商是多少？余 数是多少？ 2.两个数相除，商是 9，余数是 3。如果被除数和除数同时扩大 120 倍，商是多少？ 余数是多少？ 3.两个数相除，商是 8，余数是 600。如果被除数和除数同时缩小 100 倍，商是多少？ 余数是多少？- 20 银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________【例题 3】两数相乘，积是 48。如果一个因数扩大 2 倍，另一个因数缩小 3 倍，那么 积是多少？ 【思路导航】一个因数扩大 2 倍，积扩大 2 倍；另一个因数缩小 3 倍，积缩小 3 倍。 所以最后的积是 48〓2〔3=32。 练习 3： 1.两数相乘， 积是 20。 如果一个因数扩大 3 倍， 另一个因数缩小 4 倍， 那么积是多少？ 2.两数相除，商是 19。如果被除数扩大 20 倍，除数缩小 4 倍，那么商是多少？ 3.两数相除，商是 27。如果被除数扩大 12 倍，除数扩大 6 倍，那么商是多少？ 【例题 4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的 1 错误地写成 7，把另一 个加数十位上的 3 错误地写成 8，所得的和是 1996。原来两个数相加的正确答案是多少？ 【思路导航】根据题意，一个加数个位上的 1 被写成了 7，这样错写一个加数比原来 增加了 6；另一个加数十位上的 3 写成 8，增加了 50。这样，所得的结果就比原来增加了 6+50=56。所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56）=1940。 练习 4： 1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的 0 错写成 8，把另一个加数个位上的 6 错 写成 9，所得的和是 532。正确的和是多少？ 2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的 7 错写成 1.把个位上的 8 错写成 0，所得 的和是 285。正确的和是多少？ 3.小亮在计算加法时， 把一个加数个位上的 5 错写成 3.把另一个加数十位上的 3 错写 成 8，所得的和是 650。正确的和是多少？ 【例题 5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的 3 错写成 5，把十位 上的 6 错写成 0，这样算得差是 189。正确的差是多少？ 【思路导航】根据题意， 被减数个位上的 3 写成 5，因此增加了 2；十位上的 6 写成 0， 因此减少 60。这样错写的被减数比原来减少了 60－2=58。因为减数不变，根据差的变化 规律，正确的差要比错误的差多 50。正确的差是：189＋58=247。 练习 5： 1.小军在做题时，把被减数个位上的 3 错写成 8，把十位上的 0 错写成 6，这样算得 的差是 198。正确的差是多少？ 2.小刚在做题时，把减数个位上的 9 错写成 6，把十位上的 3 错写成 8，这样算得的 差是 268。正确的差是多少？ 3.小红在做题时，把被减数十位上的 0 错写成 8，把减数个位上的 8 错写成 3.这样算 得的差是 632。正确的差是多少？- 21 -第 11 讲一、知识要点错中求解在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就 会导致计算结果发生错误。这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。 二、精讲精练 【例题 1】小玲在计算除法时，把除数 65 写成 56，结果得到的商是 13.还余 52。正 确的商是多少？ 【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得 数，求出被除数：13〓56＋52=780。所以，正确的商是：780〔65=12。 练习 1： 1.小星在计算除法时，把除数 87 错写成 78，结果得到的商是 5，余数是 45。正确的 商应该是多少？ 2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用 12 去除，蜜蜜用 15 去除，甜甜得到的 商是 32 还余 6，蜜蜜计算的结果应该是多少？ 3.小虎在计算除法时，把被除数 1250 写成 1205，结果得到的商是 48，余数是 5。正 确的商应该是多少？ 【例题 2】小芳在计算除法时，把除数 32 错写成 320，结果得到商是 48。正确的商应 该是多少？ 【思路导航】根据题意，把除数 32 改成 320 扩大到原来的 10 倍，又因为被除数不变， 根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的 10 倍。所以正确的商应该是 48〓10=480。 练习 2： 1.小丽在计算除法时，把除数 530 末尾的 0 漏写了，得到的商是 40。正确的商应该是 多少？ 2.小马在计算除法时，把被除数 1280 误写成 12800，得到的商是 32。正确的商应该 是多少？ 3.小欣在计算除法时，把被除数 420 错写成 240，结果得到商是 48。正确的商应该是 多少？ 【例题 3】小冬在计算有余数的除法时，把被除数 137 错写成 173.这样商比原来多了 3.而余数正好相同。正确的商和余数是多少？ 【思路导航】因为被除数 137 被错写成了 173.被除数比原来多了 173－137=36，又因 为商比原来多了 3.而且余数相同，所以除数是 36〔3=12。又由 137〔12=11……5，所以余 数是 5。 练习 3：- 22 -银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________1.小军在计算有余数的除法时，把被除数 208 错写成 268，结果商增加了 5，而余数 正好相同。正确的除数和余数是多少？ 2.李明在计算有余数的除法时，把被除数 171 错写成 117，结果商比原来少了 3.而余 数正好相同。求这道除法算式正确的商和余数。 3.刘强在计算有余数的除法时，把被除数 137 错写成 174，结果商比原来多 3.余数比 原来多 1。求这道除法算式的除数和余数。 【例题 4】小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字 4 错当作 1.乘得 的结果是 525，实际应为 600。这两个两位数各是多少？ 【思路导航】一个因数的个位 4 错当作 1.所得的结果比原来少了（4－1）个另一个因 数；实际的结果与错误的结果相差 600－525=75，75〔3=25，600〔25=24。所以一个因数 是 24，另一个因数是 25。 练习 4： 1.小锋在计算乘法时，把一个因数的个位数 8 错当作 3.得 345，实际应为 420。这两 个因数各是多少？ 2.小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字 1 误写成 7，结果得 646， 实际应为 418。这两个两位数各是多少？ 3.李晓在计算两位数乘两位数的题目时，把一个因数十位上的 3 误当作 8，结果得 2150，这道题的正确积应是 900。这两个两位数各是多少？ 【例题 5】方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加 14，计算的积增加了 84，圆圆误将另一个因数增加 14，积增加了 168。那么，正确的积应是多少？ 【思路导航】由“方方将一个因数增加 14，计算结果增加了 84”可知另一个因数是 84〔14=6；又由“圆圆误将另一个因数增加 14，积增加了 168”可知，这个因数是 168〔 14=12。所以正确的积应是 12〓6=72。 练习 5： 1.两个数相乘，如果一个因数增加 10，另一个因数不变，那么积增加 80；如果一个 因数不变，另一个因数增加 6，那么积增加 72。原来的积是多少？ 2.两个数相乘，如果一个因数增加 3.另一个因数不变，那么积增加 18；如果一个因 数不变，另一个因数减少 4，那么积减少 200。原来的积是多少？ 3.小敏在做两位数乘两位数的题时， 把一个因数的个位数字 5 误写成 3.得出的乘积是 552；另一个学生却把这个 5 写成 8，得出的乘积是 672。正确的乘积是多少？- 23 -第 12 讲一、知识要点简单列举有些题目，因其所求问题的答案有多种，直接列式解答比较困难，在这种情况下，我 们不妨采用一一列举的方法解决。这种根据题目的要求，通过一一列举各种情况最终达到 解答整个问题的方法叫做列举法。 二、精讲精练 【例题 1】从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有 3 条路可走。王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种走法？ 【思路导航】为了帮助理解，先画一个线路示意图，并用①、 ②、③、④、⑤表示其中的 5 条路。 我们把王叔叔的各种走法一一列举如下： 根据以上列举可以发现， 从南通经过①到 上海再到南京有 3 种方法， 从南通经过②到上 海再到南京也有 3 种方法， 共有两个 3 种方法， 即 3〓2=6（种）。 练习 1： 1.小明从家到学校有 3 条路可走，从学校到少年宫有两条路，小明从家经过学校到少 年宫有几种走法？ 2.从甲地到乙地，有两条走达铁路和 4 条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同 走法？ 3.从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有 4 条直达公路。那么，从甲地 到丙地有多少种不同的走法？ 【例题 2】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 【思路导航】要使信号不同，就要求每一种信号颜色 的顺序不同，我们把这些不同的信号一一列举如下： 从上面的排列中可以发现， 红色信号灯排在第一位Z 时，有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一位Z时，也有两种不同的信号，蓝色信号灯 排在第一位Z时，也有两种不同的信号。因此，共有 2〓3=6 种不同的排法。 练习 2：1．甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？ 2．小红有 3 种不同颜色的上衣，4 种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法？ 3．用 3、4、5、6 四个数字可以组成多少个不同的四位数？ 【例题 3】有三张数字卡片，分别为 3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共 可以排成多少个两位数？【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位，下面我们进 行分类考虑。 （1）十位上排 6，个位上有两个数字可选，这样的数共有两个：60，63； （2）- 24 银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________十位上排 3.个位上也有两个数字可选，这样的数也有两个：30，60。从以上列举容易发现， 一共可以排成 2〓2=4（个）两位数。 【例题 3】有三张数字卡片，分别为 3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共 可以排成多少个两位数？【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位，下面我们进 行分类考虑。 （1）十位上排 6，个位上有两个数字可选，这样的数共有两个：60，63； （2） 十位上排 3.个位上也有两个数字可选，这样的数也有两个：30，60。从以上列举容易发现， 一共可以排成 2〓2=4（个）两位数。 练习 3：1.用 0、2、9 这三个数字，可以组成多少个不同的两位数？ 2.用 8、6、3、0 这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？ 3.用 0、1、5、6 这四个数字，可以组成多少个不同的四位数？从小到大排列，1650 是第几个？ 【例题 4】从 1～～8 这八个数字中，每次取出两个数字，要使它们的和大于 8，有多 少种取法？【思路导航】为了既不重复，又不遗漏地统计出结果，应该按一定的顺序来分 类列举，可以按“几＋8、几＋7、几＋5、几＋6、几＋5”的顺序来思考。 1＋8、2＋8、3＋8、……7＋8，共 7 个；2＋7、3＋7、4＋7、……6＋7，共 5 个；3 ＋6、4＋6、5＋6，共 3 个；4＋5 共 1 个。这样，两个数的和大于 8 的算式共有 7＋5＋3 ＋1=16（个），所以，共有 16 种不同的取法。 练习 4： 1.从 1～6 这六个数中， 每次取两个数， 要使它们的和大于 6， 有多少种取法？ 2.从 1～9 这九个数中，每次取两个数，要使它们的和大于 10，有多少种取法？ 3.营业员有一个伍分币，4 个贰分币，8 个壹分币，他要找给顾客 9 分钱，有几种找 法？ 【例题 5】在一次足球比赛中，4 个队进行循环赛，需要比赛多少场？（两个队之间 比赛一次称为 1 场） 【思路导航】4 个队进行循环赛，也就是说 4 个队每两个队都要赛一场，设 4 个队分 别为 A、B、C、D，我们可以用图表示 4 个队进行循环赛的情况。 A 队和其他 3 个队各比赛 1 次，要赛 3 场；B 队和其他两个队还要各比赛 1 次，要赛 2 场；C 队还要和 D 队比赛 1 次，要赛 1 场。这样，一共需要比赛 3＋2＋1=6（场）。 练习 5： 1.在一次羽毛球赛中，8 个队进行循环赛，需要比赛多少场？ 2.在一次乒乓球赛中，参加比赛的队进行循环赛，一共赛了 15 场。问有几个队参加 比赛？ 3.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛，共有 6 所学校的足球队比赛，比赛采取循环 制，每个队都要和其他各队赛一场，根据积分排名次。这些比赛分别安排在 3 个学校的球 场上进行，平均每个学校要安排几场比赛？- 25 -第 13 讲一、知识要点和倍问题已知两个数的和与它们之间的倍数关系， 求这两个数是多少的应用题， 叫做和倍问题。 解答和倍应用题的基本数量关系是： 和〔（倍数＋1）=小数 小数〓倍数=大数 （和－小数=大数） 二、精讲精练 【例题 1】 书各有多少本？ 【思路导航】 为了便于理解题意， 我们画图来分析： 由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科 技书的本数就是这样的 3 份，两种书的总本数就是这样 的 1＋3=4 份。把 480 本书平均分成 4 份，1 份是故事书的本数，3 份是科技书的本数。 480〔（1＋3）=120（本） 120〓3=360（本）. 练习 1： 1.用锡和铝制成的合金是 720 千克，其中铝的重量是锡的 5 倍。铝和锡各用了多少千 克？ 2.甲、乙两数的和是 112.甲数除以乙数的商是 6，甲、乙两数各是多少？ 3.一块长方形黑板的周长是 96 分米，长是宽的 3 倍。这块长方形黑板的长和宽各是 多少分米？ 【例题 2】 果园里有梨树、 桃树和苹果树共 1200 棵， 其中梨树的棵数是苹果树的 3 倍， 桃树的棵数是苹果树的 4 倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？ 【思路导航】如果把苹果树的棵数看作 1 份，三种树的总棵数是这样的 1+3+4=8 份。 所以， 苹果树有 （棵） 梨树有 150〓3=450（棵），桃树有 150〓4=600（棵）. ， 练习 2： 1.李大伯养鸡、鸭、鹅共 960 只，养鸡的只数是鹅的 3 倍，养鸭的只数是鹅的 4 倍。 鸡、鸭、鹅各养了多少只？ 2.甲、乙、丙三数之和是 360，已知甲是乙的 3 倍，丙是乙的 2 倍。求甲、乙、丙各 是多少。 3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共 560 支，圆珠笔的支数是钢笔的 3 倍，铅笔的支数与 圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？ 【例题 3】有三个书橱共放了 330 本书，第二个书橱里的书是第一个的 2 倍，第三个 书橱里的书是第二个的 4 倍。每个书橱里各放了多少本书？- 26 银海是我的光荣，我是银海的骄傲学校有科技书和故事书共 480 本，科技书的本数是故事书的 3 倍。两种四年级数学奥数培训资料姓名：__________________【思路导航】把第一个书橱里的本数看作 1 份，那么第二个书橱里的本数是这样的 2 份，第三个就是这样的 2〓4=8 份，三个书橱里的总本数就是这样的 1+2+8=11 份。所以， 第一个书橱里放了 330〔11=30（本），第二个书橱里放了 30〓2=60（本），第三个书橱里放了 60〓4=240 （本）。 练习 3： 1．甲、乙、丙三个数之和是 400，已知甲是乙的 3 倍，丙是甲的 4 倍。求甲、乙、丙 各是多少。 2．三块钢板共重 621 千克，第一块的重量是第二块的 3 倍，第二块的重量是第三块 的 2 倍。三块钢板各重多少千克？ 3．甲、乙、丙三个修路队共修路 1200 米，甲队修的米数是乙队的 2 倍，乙队修的数 数是丙队的 3 倍。三个队各修了多少米？ 【例题 4】少先队员种柳树和杨树共 216 棵，杨树的棵数比柳树的 3 倍多 20 棵，两种 树各种了多少棵？ 【思路导航】如果杨树少种 20 棵，那么柳树和杨树的总棵数是 216－20=196（棵）， 这里杨树的棵数恰好是柳树的 3 倍。所以，柳树的棵数是 196〔（1＋3）=49（棵），杨树 的棵数是 216－49=167（棵）。 练习 4：1.粮站有大米和面粉共 6300 千克，大米的重量比面粉的 4 倍还多 300 千克， 大米和面粉各有多少千克？ 2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得 168 分，小华的得分比小明的 2 倍少 42 分。两人各得多少分？ 3.学校购买了 720 本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的 3 倍多 8 本，中年级分得的比低年级的 2 倍多 4 本。高、中、低年级各分得图书多少本？ 【例题 5】三个筑路队共筑路 1360 米，甲队筑的米数是乙队的 2 倍，乙队比丙队多 240 米。三个队各筑多少米？ 【思路导航】 把乙队的米数看作 1 份， 甲队筑的米数是这样的 2 份。 假设丙队多筑 240 米，那么三个队共筑了 00 米，正好是乙队的 2＋1＋1=4 倍。所以，乙队筑 了
米，甲队筑了 400〓2=800 米，丙队筑了 400－240=160 米。 练习 5：1.三个植树队共植树 1900 棵，甲队植树的棵数是乙队的 2 倍，乙队比丙队少 植 300 棵。三个队各植树多少棵？ 2.三个数的和是 1540，甲数是丙数的 7 倍，乙数比甲数多 40。三个数各是多少？ 3.城东小学共有篮球、足球和排球共 95 个，其中足球比排球少 5 个，排球的个数是 篮球个数的 2 倍。篮球、足球、排球各有多少个？- 27 -第 14 讲一、知识要点植树问题1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形： （1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多 1.即： 棵数=段数＋1； （2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数； （3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少 1.即： 棵数=段数－1。 2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即： 棵数=段数。 二、精讲精练 【例题 1】 城中小学在一条大路边从头至尾栽树 28 棵，每隔 6 米栽一棵。这条路长 多少米？ 【思路导航】题中已知栽树 28 棵，28 棵树之间有 28－1=27 段，每隔 6 米为一段，所 以这条大路长 6〓27=162 米。 练习 1： 1.在一条马路一边从头至尾植树 36 棵， 每相邻两棵树之间隔 8 米， 这长马路有多长？ 2.同学们做早操，21 个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到 最后一个人的距离是 40 米，相邻两个人隔多少米？ 3.一条路长 200 米，在路的一旁从头至尾每隔 5 米植一棵树，一共要植多少棵？ 【例题 2】在一个周长是 240 米的游泳池周围栽树，每隔 5 米栽一棵，一共要栽多少 棵树？ 【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。240〔5=48 （棵） 练习 2： 1.一个鱼塘的周长是 1500 米， 沿鱼塘周围每隔 6 米栽一棵杨树， 需要种多少棵杨树？ 2.在圆形的水池边，每隔 3 米种一棵树，共种树 60 棵，这个水池的周长是多少米？ 3.在一块长 80 米，宽 60 米的长方形地的周围种树，每隔 4 米种一棵，一共要种多少 棵？ 【例题 3】在一座长 800 米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了 202 盏， 相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。- 28 -银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________【思路导航】大桥两边一共挂了 202 盏彩灯，每边各挂 202〔2=101 盏，101 盏彩灯把 800 米长的大桥分成 101－1=100 段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是 800〔100=8 米。 练习 3： 1.在一条长 100 米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽 52 棵，相邻的 两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。 2.一座长 400 米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔 4 米，从桥头到桥尾一共装了多少盏 灯？ 3.六年级学生参加广播操比赛，排了 5 路纵队，队伍长 20 米，前后两排相距 1 米。 六年级有学生多少人？【例题 4】一个木工锯一根 19 米的木料，他先把一头损坏部分锯下来 1 米，然后锯了 5 次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？ 【思路导航】根据题意，把长 19－1=18 米的木条锯了 5 次，可以锯成 5＋1=6 段，所 以每根短木条长 18〔6=3 米。 练习 4： 1.一个木工锯一根长 17 米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来 2 米，然后锯了 4 次，锯成同样长的短木条，每根短木条长几米？ 2.有一根圆钢长 22 米，先锯下 2 米，剩下的锯成每根都是 4 米的小段，又锯了几次？ 3.有一个工人把长 12 米的圆钢锯成了 3 米长的小段，锯断一次要 5 分钟。共需要多 少分钟？ 【例题 5】有一幢 10 层的大楼，由于停电电梯停开。某人从 1 层走到 3 层需要 30 秒， 照这样计算，他从 3 层走到 10 需要多少秒？ 【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔，1 层至 3 层有两个时间间隔， 所以每个间隔用去的时间是 30〔 （3－1） =15 秒， 层到 10 层经过了 10－3=7 个时间间隔， 3 所以，他从 3 层到 10 层需要 15〓7=105 秒。 练习 5： 1.把 6 米长的木料平均锯成 3 段要 6 分钟，照这样计算，如果锯成 6 段，需要多少分 钟？ 2.时钟 4 点敲 4 下，6 秒钟敲完。那么 12 点钟敲 12 下，多少秒钟敲完？ 3.一游人以等速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等，他从第一棵树走 到第 10 棵树用了 11 分钟，如果这个游人走 22 分钟，应走到第几棵树？- 29 -第 15 讲一、知识要点图形问题解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点： 1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决； 2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数 量关系明朗化。 二、精讲精练 【例题 1】 人民路小学操场长 90 米，宽 45 米。改造后，长增加 10 米，宽增加 5 米。 现在操场面积比原来增加了多少平方米？【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的 面积，就得到增加的面积。操场现在的面积是（90+10）〓（45+5）=5000 平方米，操场原 来的面积是 90〓45=4050 平方米。所以，现在的面积比原来增加 =950 平方米。 练习 1：1.有一块长方形的木板，长 22 分米，宽 8 分米。如果长和宽分别减少 10 分 米、3 分米，面积比原来减少多少平方分米？ 2.一块长方形铁板，长 18 分米，宽 13 分米。如果长和宽各减少 2 分米，面积比原来 减少多少平方分米？ 3.一块长方形地，长是 80 米，宽是 45 米。如果把宽增加 5 米，要使面积不变，长应 减少多少米？ 【例题 2】一个长方形，如果宽不变，长增加 6 米，那么它的面积增加 54 平方米；如 果长不变，宽减少 3 米，那么它的面积减少 36 平方米。这个长方形原来的面积是多少平 方米？【思路导航】由“宽不变，长增加 6 米，面积增加 54 平方米”可知，它的宽为 54 〔6=9 米；由“长不变，宽减少 3 米，面积减少 36 平方米”可知，它的长为 36〔3=12 米。 所以，这个长方形原来的面积是 12〓9=108 平方米。 练习 2：1.一个长方形，如果宽不变，长减少 3 米，那么它的面积减少 24 平方米；如 果长不变，宽增加 4 米，那么它的面积增加 60 平方米。这个长方形原来的面积是多少平 方米？ 2.一个长方形，如果宽不变，长增加 5 米，那么它的面积增加 30 平方米；如果长不 变，宽增加 3 米，那么它的面积增加 48 平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？ 3.一个长方形，如果它的长减少 3 米，或它的宽减少 2 米，那么它的面积都减少 36 平 方米。求这个长方形原来的面积。 【例题 3】 下图是一个养禽专业户用一段 16 米的篱笆围成的 一个长方形养鸡场，求它的占地面积。 【思路导航】根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加 一条宽等于 16 米。而宽是 4 米，那么长是（16－4）〔2=6 米， 占地面积是 6〓4=24 平方米。- 30 银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________练习 3： 1.右图是某个养禽专业户用一段长 13 米的篱笆围成的 一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。 2.用 56 米长的木栏围成长或宽是 20 米的长方形，其中一边利 用围墙，怎样才能使围成的面积最大？ 3.用 15 米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃， 其 中一面利用着墙。如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？ 【例题 4】街心花园中一个正方形的花坛四周有 1 米宽的水泥路， 如果水泥路的总面积是 12 平方米， 中间花坛的面积是多少平方米？ 【思 路导航】把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一个 长方形的面积是 12〔4=3 平方米。因为水泥路宽 1 米，所以小长方形的 长是 3〔1=3 米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽 的差，所以小正方形的边长是 3－1=2 米。中间花坛的面积是 2〓2=4 平方米。 练习 4：1.有一个正方形的水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一个 宽 8 米的花池，花池的面积是 480 平方米，求水池的边长。 2.四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如 图），大正方形的面积是 64 平方米，小正方形的面积是 4 平方米，长方形 的短边是多少米？ 3.已知大正方形比小正方形的边长多 4 厘米， 大正方形的面积比小正方 形面积大 96 平方厘米（如下图）。问大小正方形的面积各是多少？ 【例题 5】一块正方形的钢板，先截去宽 5 分米的长方形，又截去宽 8 分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少 181 平方分米。原正方 形的边长是多少？ 【思路导航】把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上 长、宽分别是 8 分米、5 分米的小长方形，这个拼 合成的长方形的面积是 181+8〓5=221 平方分米， 长是原来正方形的边长，宽是 8+5=13 分米。所以， 原来正方形的边长是 221〔13=17 分米。 练习 5： 1.一个正方形一条边减少 6 分米，另一条边减少 10 分米后变为一个长方形，这个长 方形的面积比正方形的面积少 260 平方米，求原来正方形的边长。 2.一个长方形的木板，如果长减少 5 分米，宽减少 2 分米，那么它的面积就减少 66 平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形。求原来长方形的面积。 3.一块正方形的的玻璃，长、宽都截去 8 厘米后，剩下的正方形比原来少 448 平方厘 米，这块正方形玻璃原来的面积是多大？- 31 -第 16 讲一、知识要点巧妙求和某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某 个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分 组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、精讲精练 【例题 1】 刘俊读一本长篇小说，他第一天读 30 页，从第二天起，他每天读的页数 都前一天多 3 页，第 11 天读了 60 页，正好读完。这本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多 3 页”可以知道他每天读的页 数是按一定规律排列的数，即 30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出 这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解： （30＋60）〓11〔2=495（页） 想一想：如果把“第 11 天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习 1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了 30 个，以的每天都比前一天多做 2 个，第 15 天做 了 48 个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了 20 页，从第二天起，每天读的页数都比前一天 多 5 页。最后一天读了 50 页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了 6 个，以后每天都比前一天多学 1 个，最后一天学 会了 16 个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 【例题 2】30 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了 29 把钥匙还不行，那所剩的一把就 一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试 29 次；同理，开第二把锁至多需试 28 次，开 第三把锁至多需试 27 次……等打开第 29 把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所 以，至多需试 29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）〓29〔2=435（次）。 练习 2： 1.有 80 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试 28 次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。 一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有 10 只盒子，44 只羽毛球。能不能把 44 只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的 羽毛球只数不相等？ 【例题 3】某班有 51 个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多 少次手？- 32 银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________【思路导航】假设 51 个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了 50 次， 第二个依次和剩下的人握手，共握了 49 次，第三个人握了 48 次。依次类推，第 50 个人 和剩下的一人握了 1 次手，这样，他们握手的次数和为： 50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）〓50〔2=1275（次）. 练习 3： 1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有 21 人参加比 赛，一共要进行多少场比赛？ 2.在一次同学聚会中，一共到 43 位同学和 4 位老师，每一位同学或老师都要和其他 同学握一次手。那么一共握了多少次手？ 3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了 78 次电话，问有多少位 同学相约互通电话？ 【例题 4】求 1 ～ 99 这 99 个连续自然数的所有数字之和。 【思路导航】首先应该弄清楚这题是求 99 个连续自然数的数字之和，而不是求这 99 个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把 0 算进来（它不影响我们计算数字之和） 计算 0～99 这 100 个数的数字之和。 100 个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等， 这 是 9+9=18，一共有 100〔2=50 对，所以，1～99 这 99 个连续自然数的所有数字之和是 18 〓50=900。 练习 4： 1.求 1～199 这 199 个连续自然数的所有数字之和。 2.求 1～999 这 999 个连续自然数的所有数字之和。 3.求 1～3000 这 3000 个连续自然数的所有数字之和。 . 【例题 5】求 1～209 这 209 个连续自然数的全部数字之和。 【思路导航】不妨先求 0～199 的所有数字之和，再求 200～209 的所有数字之和，然 后把它们合起来。0～199 的所有数字之和为（1+9〓2）〓（200〔2）=～209 的 所有数字之和为 2〓10+1+2+…+9=65。所以，1～209 这 209 个连续自然数的全部数字之和 为 5。 练习 5： 1.求 1～308 连续自然数的全部数字之和。 2.求 1～2009 连续自然数的全部数字之和。 3.求连续自然数
的全部数字之和。- 33 -第 17 讲一、知识要点数数图形我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错 在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形 的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才 能获得正确的结果。 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1.弄清被数图形的特征和变化规律。 2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。 二、精讲精练 【例题 1】 数出下面图中有多少条线段。【思路导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不 遗漏。 从图中可以看出，从 A 点出发的不同线段有 3 条：AB、AC、AD；从 B 点出发的不同线 段有 2 条：BC、BD；从 C 点出发的不同线段有 1 条：CD。因此，图中共有 3+2+1=6 条线段。 练习 1：：数出下列图中有多少条线段。（2）（3）【例题 2】数一数下图中有多少个锐角。【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个 点， 因此， 要求图中有多少个锐角， 可根据公式 1+2+3…… （总射线数－1） 求得： 1+2+3+4=10 （个）.- 34 银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________练习 2：：下列各图中各有多少个锐角？【例题 3】数一数下图中共有多少个三角形。【思路导航】图中 AD 边上的每一条线段与顶点 O 构成一个三角形，也就是说，AD 边 上有几条线段，就构成了几个三角形，因为 AD 上有 4 个点，共有 1+2+3=6 条线段，所以 图中有 6 个三角形。 练习 3：：数一数下面图中各有多少个三角形。【例题 4】数一数下图中共有多少个三角形。【思路导航】与前一个例子相比，图中多了一条线段 EF，因此三角形的个数应是 AD 和 EF 上面的线段与点 O 所围成的三角形个数的和。显然，以 AD 上的线段为底边的三角形 也是 1+2+3=6 个，所以图中共有 6〓2=12 个三角形。 练习 4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。- 35 -【例题 5】数一数下图中有多少个长方形。【思路导航】数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考，图中的长方形的个数取 决于 AB 或 CD 边上的线段，AB 边上的线段条数是 1+2+3=6 条，所以图中有 6 个长方形。 练习 5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。- 36 -银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________第 18 讲一、知识要点数数图形在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方 法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数 出图形的个数，再把他们的个数合起来。 二、精讲精练 【例题 1】 数一数下图中有多少个长方形？【思路导航】图中的 AB 边上有线段 1+2+3=6 条，把 AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有 6〓 3=18 个长方形。 数长方形可以用下面的公式： 长边上的线段〓短边上的线段=长方形的个数 练习 1：：数一数，下面各图中分别有几个长方形？【例题 2】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为 1 的正方形）【思路导航】图中边长为 1 个长度单位的正方形有 3〓3=9 个，边长为 2 个长度单位 的正方形有 2〓2=4 个，边长为 3 个长度单位的正方形有 1〓1=1 个。所以图中的正方形总 数为：1+4+9=14 个。 经进一步分析可以发现，由相同的 n〓n 个小方格组成的几行几列的正方形其中所含 的正方形总数为：1〓1＋2〓2＋…＋n〓n。 练习 2：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是 1 的小正 方形）- 37 -【例题 3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为 1 个长度单 位的正方形）【思路导航】边长是 1 个长度单位的正方形有 3〓2=6 个，边长是 2 个长度单位的正 方形有 2〓1=2 个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8 个。 经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成 m 等份，宽被分成 n 等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n －2)＋…＋(m－n＋1)n. 练习 3： 1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？【例题 4】从广州到北京的某次快车中途要停靠 8 个大站，铁路局要为这次快车准备 多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？ 【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这 条铁路上共有 10 个站，共有 1+2+3+…+9=45 条线段，因此要准备 45 种不同的车票。由于 这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所 以共有 45 种不同的票价。 练习 4： 1.从上海到武汉的航运线上，有 9 个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种 不同的船票？ 2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠 6 个大站，这次列车有几种不同票价？ 3.从成都到南京的快车，中途要停靠 9 个站，有几种不同的票价？ 【例题 5】求下列图中线段长度的总和。 （单位：厘米）- 38 -银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________【思路导航】要求图中的线段长度总和，可以这样计算： AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE =1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352 厘米 从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长 1 厘米的基本线段（我们把不能再 划分的线段称为基本线段）出现了 4 次，长 4 厘米的线段出现了（3〓2）次，长 2 厘米的 线段出现了（2〓3）次，长 3 厘米的线段出现了（1〓4）次，所以，各线段长度的总和还 可以这样算：1〓4+4〓（3〓2）+2〓（2〓3）+3〓（1〓4） =1〓（5－1）+4〓（5－2）〓2+2〓（5－3）〓3+3〓（5－4）〓4=52 厘米 上式中的 5 是线段上的 5 个点， 如果设线段上的点数为 n， 基本线段分别为 a1、 … a2、 a(n－1)。以上各线段长度的总和为 L，那么 L= a1〓(n－1)〓1+ a2〓(n－2)〓2+ a3〓(n －3)〓3+…+ a(n－1)〓1〓(n－1)。 练习 5： 1.一条线段上有 21 个点（包括两个端点） ，相邻两点的距离都是 4 厘米，所有线段长 度的总和是多少？ 2.求下图中所有线段的总和。 （单位：米）3.求下图中所有线段的总和。 （单位：厘米）- 39 -第 19 讲一、知识要点 解答复合应用题时一般有如下四个步骤： 1.弄清题意，找出已知条件和所求问题；应用题2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径； 3.拟定解答计划，列出算式，算出得数； 4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。 二、精讲精练 【例题 1】 某发电厂有 10200 吨煤，前 10 天每天烧煤 300 吨，后来改进炉灶，每天 烧煤 240 吨。这堆煤还能烧多少天？ 【思路导航】条件摘录综合法思路： 前 10 天每天烧煤 300 吨，可以求出 10 天烧的吨数； 已知煤的总吨数和前 10 天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧； 根据还剩的吨数和后来每天烧煤 240 吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。 分析法思路： 要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240 吨）； 要求还有多少吨煤，要知道这堆煤有多少吨（10200 吨）和已经烧了多少吨。 要求已经烧了多少吨，要知道已经烧了多少天（10 天）和每天烧多少吨（300 吨）。 （1〓10）〔240=30（天）. 练习 1： 1.某电冰箱厂要生产 1560 台冰箱，已经生产了 8 天，每天生产 120 台。剩下的每天 生产 150 台，还要多少天才能完成任务？ 2.某工厂计划生产 36500 套轴承，前 5 天平均每天生产 2100 套，后来改进操作方法， 平均每天可以生产 2600 套。这样完成这批轴承生产任务共需多少天？ 3.某机床厂计划每天生产机床 40 台，30 天完成任务。现在要提前 10 天完成任务，每 天要生产多少台？ 【例题 2】 师傅和徒弟同时开始加工 200 个零件， 师傅每小时加工 25 个， 完成任务时， 徒弟还要做 2 小时才能完成任务。徒弟每小时加工多少个？ 【思路导航】由条件可知，师傅完成任务用了 200〔25=8 小时，徒弟完成任务用了 8+2=10 小时。所以，徒弟每小时加工 200〔10=20 个。- 40 银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________练习 2： 1.张师傅和李师傅同时开始各做 90 个玩具，张师傅每天做 10 个，完成任务时，李师 傅还要做 1 天才能完成任务。李师傅每天做多少个？ 2.小华和小明同时开始写 192 个大字，小华每天写 24 个，完成任务时，小明还要写 4 天才能完成。小明每天写多少个字？ 3.丰华农具厂计划 20 天制造农具 2400 件，实际每天多制造 30 件，这样可提前几天 完成任务？ 【例题 3】甲、乙两地相距 200 千米，汽车行完全程要 5 小时，步行要 40 小时。张强 从甲地出发，先步行 8 小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地？ 【思路导航】根据题意， 汽车 5 小时行 200 千米，每小时行 200〔5=40 千米；步行 200 千米要 40 小时，平均每小时行 200〔40=5 千米，8 小时行了 5〓8=40 千米；全程有 200 千 米，乘汽车行了 200－40=160 千米，所以，还需 160〔40=4 小时到达乙地。 练习 3： 1.玩具厂一车间要生产 900 个玩具，如果用手工做要 20 小时才能完成，用机器只需 要 4 小时。一车间工人先用手工做了 5 小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成任 务？ 2.甲、乙两地相距 200 千米，汽车行完全程要 5 小时，步行要 40 小时。张强从甲地 出发，先乘汽车 4 小时，后改步行，他从甲地到乙地共用了多少小时？ 3.A、B 两城相距 300 千米，摩托车行完全程要 5 小时，自行车要 25 小时。王亮从 A 城出发，先骑自行车 5 小时，后改骑摩托车。他从 A 城到 B 城共用了多少小时？ 【例题 4】某筑路队修一条长 4200 米的公路，原计划每人每天修 4 米，派 21 人来完 成；实际修筑时增加了 4 人，可以提前几天完成任务？ 【思路导航】要求可以提前几天完成任务，要知道原计划多少天完成和实际多少天完 成。原计划 21 人每天修 4〓21=84 米，修 4200 米需要
天。实际增加了 4 人， 每天修 4〓（21+4）=100 米，修同样长的公路需要
天。所以可提前 50－42=8 天完成任务。 练习 4： 1.羊毛衫厂要生产 378 件羊毛衫，原计划每人每天生产 3 件，派 18 人来完成。实际 增加了 3 人，可以提前几天完成任务？ 2.某筑路队修一条长 8400 米的公路，原计划每人每天修 4 米，派 42 人来完成。如果 每人的工作效率不变，要提前 8 天完成任务，需要多少人参加？ 3.友谊服装厂要加工 192 套服装，原计划每人每天加工 2 套，8 人可以按时完成。如 果每人工作效率不变，要提前 4 天完成任务，需要增加多少人加工？- 41 -【例题 5】自行车厂计划每天生产自行车 100 辆，可按期完成任务，实际每天生产 120 辆，结果提前 8 天完成任务。这批自行车有多少辆？ 【思路导航】假如以计划生产的时间为准，那么实际完成任务后，再生产 8 天可多生 产 120〓8=960 辆。实际每天多生产 120－100=20 辆，可以求出多生产 960 辆所用的时间， 这个时间就是原计划所需要的时间，960〔20=48 天。所以，这批自行车有 100〓48=4800 辆。 练习 5： 1.农机厂生产柴油机，原计划每天生产 40 台，可以在预定的时间内完成任务。实际 每天生产 50 台，结果提前 6 天完成，这批柴油机有多少台？ 2.一辆汽车运一堆黄沙，计划每天运 15 吨，可以在预定时间内完成任务。实际每天 运 20 吨，结果提前 3 天运完。这批黄沙有多少吨？ 3.新兴机械厂原计划 30 天生产一批机器，实际每天比原计划多生产 80 台，结果提前 25 天就完成了任务。这批机器有多少台？- 42 -银海是我的光荣，我是银海的骄傲四年级数学奥数培训资料姓名：__________________第 20 讲一、知识要点速算与巧算速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高 我们的计算能力和思维能力。这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、 减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。 在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式，根 据运算定律和运算性质， 或改变它的运算顺序， 或减整从而变成一个易于算出