谁能帮我总结一下,找规律都有哪几种可能（用代数式表示）
谁能帮我总结一下,找规律都有哪几种可能（用代数式表示）还有一个题一组数1,3/4,5/9,7/16,9/25……则弟N个数为（）（代数式）怎么算,是多少,有啥窍门儿没
2n-1/（n的平方） 你看,比如5/9 = 2*3/3*3 9/25=2*4/4*4一般找规律的题,尽量往这个数的序数上凑,准没错
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& 再答： 橫着相减结果一样，竖着相减结果一样
汽车设计理论与设计技术 由于汽车是一种包罗了各种典型机械元件、零部件、各种金属与非金属；材料及各种机械加工工艺的典型的机械产品,因此其设计理论显然要以机械设计理论为基础,并考虑到其结构特点、使用条件的复杂多变以及大批量生产等情况.它涉及许多基础理论、专业基础理论及专业知识,例如：工程数学、工程力学、热力学与传热学、流体
(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n
解题思路： 一个数与9相乘，看做先与10相乘再减去它与一相乘的积解题过程： 见附件 晚安最终答案：略
都填21单数数字是以2,3,4,5.递增双数数字前两位相加等于第三位
都是把一个数分解成两个质数相加
我找到两种规律,不知对否.1.-2,-1,6,25,62,(123)每相邻两数的差成一数列,得,1,7,19,37,(61)然后求出这组数列的相邻两数的差,得,6,12,18,(24)得出是6的倍数的一组等差数列.所以下面接下去的数是24,倒推出上一个数列出来的是37+24=61,再推得62+61=123.即,推出括号
数学都是相通的,2次函数是一个抛物线要看具体题目但一般找规律都是看具体题目的一般不用
你看啊,这叫杨辉三角,你上了初中就知道了.每一个数都等于它左上和右上两个数的和（除了1以外）,所以就能看出一个是10,一个是5了这类找规律都比较简单,只要认真、反复看图就好了,祝你取得好成绩
一、选择题（1）下列各式正确的是（ ）A． B． C． D． （2）实数 是（ ）A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数（3） 不是（ ）A．分数 B．小数 C．无理数 D．实数（4）在数轴上,原点和原点左边的所有点表示的数是（ ）A．负有理数 B．负实数 C．零和负有理数 D．零和负实数（5）a、b是两个实数,在
17 19 质数列
7=3*3-218=7*3-347=18*3-7()=47*3-18=123()=123*3-47=322即后一个数等于前一个数乘以3,再减去再前面一个数.
1.古希腊学家把1,3,6,10,15,21...叫做三角数,它有一定的规律性,则第24个三角形与第22个三角形数的差为( ) 可以根据这个数列形象得看出 每后一项与前一项的差为2、3、4、5、6……那么第24项与第23项的差即为24 而第23项与第22项的差又是23所以24项与22的差为24+23=47所以答案是47
4:11个,偶数.5：00,我叔叔是高级数学老师,是它教我滴,绝对绝对不会错!
1/1、7/8、5/6、13/16 4/5 19/24An=(3n+1)/4n
它们的差距分别是2、4、8、7、5、10怎么看呢,就是2*2＝4,4*2＝8,这个乘积小于等于10,大于10,8*2＝16》10,1+6＝7,7*2＝14》10,1+4＝5...接着5*2＝10,所以10*2＝20>10,2+0＝2,所以（）＝47+2＝49；
似乎是题目不对,应该这样：1/1、2/1、1/2、3/1、1/2、1/3、4/1、(1/2)、（1/3）
填55 1*3-0=3 3*3-1=8 8*3-3=21 21*3-8=55 55*3-21=144小学_学霸学习网
华罗庚学校数学课本：二年级上册 第一讲速算与巧算 第二讲数数与计数（一） 第三讲数数与计数（二） 第四讲认识简单数列 第五讲自然数列趣题 第六讲找规律（一） 第七讲找规律（二） 第八讲找规律（三） 第九讲填图与拆数 第十讲考虑所有可能情况（一） 第十一讲考虑所有可能情况（二） 第十二讲仔细审题 第十三讲猜猜凑凑 第十四讲列表尝试法 第十五讲画图凑数法 下册 第一讲机智与顿悟 第二讲数数与计数 第三讲速算与巧算 第四讲数与形相映 第五讲一笔画问题 第六讲七座桥问题 第七讲数字游戏问题（一） 第八讲数字游戏问题（二） 第九讲整数的分拆 第十讲枚举法 第十一讲找规律法 第十二讲逆序推理法 第十三讲画图显示法 第十四讲等量代换法 第十五讲等式加减法 附：第一讲重量的认识 附：第二讲长度的认识 附：第三讲时间的认识（上） 附：第四讲时间的认识（下）（2）53+36+47第一讲速算与巧算 一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的 和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带 着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11） =（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑 整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和， 再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以 凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2 减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运 算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算 19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和 相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫 等差数列，如： 1，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，9 2，4，6，8，10 3，6，9，12，15 4，8，12，16，20等等都是等差连续数. 1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间 数乘以个数，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9 =5×9 中间数是5 =45 共9个数 （2）计算：1+3+5+7+9 =5× 中间数是5 5 =25 共有5个数 （3）计算：2+4+6+8+10 =6×5 =30 中间数是6 共有5个数（4）计算：3+6+9+12+15 =9× 中间数是9 5 =45 共有5个数 （5）计算：4+8+12+16+20 =12× 中间数是12 5 =60 共有5个数 2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数 与末数之和乘以个数的一半，简记成：（1）计算： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =（1+10）× 5=11× 5=55 共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10. （2）计算： 3+5+7+9+11+13+15+17 =（3+17）× 4=20× 4=80 共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17. （3）计算： 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =（2+20）× 5=110 共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20. 四、基准数法 （1）计算：23+20+19+22+18+21 解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每 个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去. 23+20+19+22+18+21 =20× 6+3+0-1+2-2+1 =120+3=123 6个加数都按20相加，其和=20× 6=120.23按20计算就少加 了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再 减去“1”，以此类推. （2）计算：102+100+99+101+98解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选 100为基准数，采用基准数法进行巧算. 102+100+99+101+98 =100× 5+2+0-1+1-2=500 方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就 是把有的加数带有符号搬家） 102+100+99+101+98 =98+99+100+101+102 =100× 5=500 可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100， 个数是5.3.解：（1）82-49+18=82+18-49 =100-49=51 （2）82-50+49=82-1=81 （减50再加49等于减1） （3）41-64+29=41+29-64 =70-64=6 4.解：（1）99+98+97+96+95 =100× 5-1-2-3-4-5 =500-15=485 （ 每 个 加 数 都 按 100 算 ， 再 把 多 加 的 减 去 ） 或 99+98+97+96+95=97× 5=485 （2）9+99+999=10+100+10-3=1107第一行白方块5个，黑方块4个； 第二行白方块4个，黑方块5个； 第三、五、七行同第一行， 第四、六、八行同第二行； 但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总 数比黑方块总数多1个. 白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个） 黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个） 再一种方法是： 每一行的白方块和黑方块共9个. 共有9行，所以，白、黑方块的总数是： 9× 9=81（个）. 由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块 是40个. 例2图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有 个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4） 才能把它补好？（1）3面涂色的小立方体共有1个； （2）4面涂色的小立方体共有4个； （3）5面涂色的小立方体共有3个. 例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色， 然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些 切成的小立方体中，问：］习题一 1.计算：（1）18+28+72 （2）87+15+13 （3）43+56+17+24 （4）28+44+39+62+56+21 2.计算：（1）98+67 （2）43+28 （3）75+26 3.计算：（1）82-49+18 （2）82-50+49 （3）41-64+29 4.计算：（1）99+98+97+96+95 （2）9+99+999 5.计算：（1）5+6+7+8+9 （2）5+10+15+20+25+30+35 （3）9+18+27+36+45+54 （4）12+14+16+18+20+22+24+26 6.计算：（1）53+49+51+48+52+50 （2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84 计 算 ： 7. 1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5 习题一解答 1.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118 （2）87+15+13=（87+13）+15 =100+15=115 （3）43+56+17+24 =（43+17）+（56+24） =60+80=140 （4）28+44+39+62+56+21 =（28+62）+（44+56）+（39+21） =90+100+60=250 2.解：（1）98+67=98+2+65 =100+65=165 （2）43+28=43+7+21=50+21=71 或43+28=41+（2+28）=41+30=71 （3）75+26=75+25+1=100+1=1015.解：（1）5+6+7+8+9 =7× 5=35 （2）5+10+15+20+25+30+35 =20× 7=140 （3）9+18+27+36+45+54 =（9+54）× 3=63× 3=189 （4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）× 4=38× 4=152 6.解：（1）53+49+51+48+52+50=50× 6+3-1+1-2+2+0 =300+3=303 （ 0-2+1+4 =800+4=804 7.解：方法1：原式=21+21+21+15=78 方法2：原式=21× 4-6=84-6=78 方法3：原式=（1+2+3+4+5+6）× 3+15=21× 3+15=63+15=78 第二讲数数与计数（一） 数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发 现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数 与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大 家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发 挥想像力. 例1数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方 块？ 2 ）（1）1面涂成红色的有几个？ （2）2面涂成红色的有几个？ （3）3面涂成红色的有几个？ 解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知： （1）上下两层中间的2块只有一面涂色； （2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块； （3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后 检验一下小立体总块数： 2+8+8=18（个）.87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边 形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更 清楚了. 例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表 面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问： （1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？ （2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？习题二 1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙 补好？2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗？ 若能补好，共需几块？（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？ 解：如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表 面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接 触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没 涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都 写在了它的上面，参看图2－6所示. 3.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不 同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块？解：仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因 为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以： 黑方块是：4× 8=32（个） 白方块是：4× 8=32（个） 再仔细观察图2－2，从上往下看： 4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长 为1寸的小正方体.习题二解答 1.解：用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数 （发挥想像力）：5.解：同上题（1）8块；（2）24块；（3）24块； （4）8块；（5）64块. 6.解：3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图2―18 中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.第十四层6个 第十五层5个 第十六层4个 第十七层3个 第十八层2个 第十九层1个 总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1） =55+45=100（利用已学过的知识计算）. （2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数7.解：分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为 求：（1）3面涂成红色的有多少块？ （2）2面涂成红色的有多少块？ （3）1面涂成红色的有多少块？ （4）各面都没有涂色的有多少块？ （5）切成的小正方体共有多少块？ 5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染 成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体. 共1+2+2+1+2+2=10（块）. 如果用铅笔把砖画出来（注意把砖缝对好）就会十分清楚 了，如图2－15所示. 2.解：仔细观察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号 砖1块，也就是共需（如图2－16所示） 第一层1个 第二层3个 第三层5个 第四层7个 第五层9个 问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？ （2）有2面被染成蓝色的多少块？ （3）有1面被染成蓝色的多少块？ （4）各面都没有被染色的多少块？ （5）锯成的小正方体木块共有多少块？ 6.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的 外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆 开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？ 1+2=3（块）. 3.解：因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行 分类数，再进行统计： 解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数： 第六层11个 第七层13个 第八层15个 第九层17个 第十层19个 总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的 知识计算）. （3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示 的 样 子 ， 变 成 为 10 行 10 列 的 点 阵 . 显 然 点 的 总 数 为 10× 10=100（个）. 第三讲数数与计数（二） 例1数一数，图3－1中共有多少点？ 小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫 身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.7.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围 成的，你知道哪一条绳子长吗？（仔细观察，想办法比较 出来）. 4.解：（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4 块和最下层四个角上的4块. （2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那 块共8块和中层四角的4块. （3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的 那块. （4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块. （5）共切成了3× 3×3=27（块）. 或是如下计算： 8+12+6+1=27（块）.第一层1个 第二层2个 第三层3个 第四层4个 第五层5个 第六层6个 第七层7个 第八层8个 第九层9个 第十层10个 第十一层9个 第十二层8个 第十三层7个 想一想： ①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋. ②由方法1和方法3得出下式： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10× 10 即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想： 1=1× 1 1+2+1=2× 2 1+2+3+2+1=3× 3 1+2+3+4+3+2+1=4× 4 1+2+3+4+5+4+3+2+1=5× 5 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6× 6 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7× 7 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8× 8 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9× 9 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10× 10 这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多. 同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就 发现了一条规律. ③由方法2和方法3也可以得出下式： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10× 10. 即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积 .由此 我们猜想： 1+3=2× 2 1+3+5=3× 3 1+3+5+7=4× 4 1+3+5+7+9=5× 5 1+3+5+7+9+11=6× 6 1+3+5+7+9+11+13=7× 7 1+3+5+7+9+11+13+15=8× 8 1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10× 10 还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确， 如果正确，我们就又发现了一条规律. 例2数一数，图3－5中有多少条线段？ 还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连 续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现 了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系. ②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫 做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条 数之间的关系是： 线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大 的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数 线段总条数 总数5+4+3+2+1=15（条）. 想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有： 总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：共3个.以 OD 边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF 共2 个.以 OE 边为一边的锐角有：∠EOF 只1个. 锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）. ②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为： 5+4+3+2+1=15（个）.③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段 的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表 达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完 全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力. 习题三 1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数 一数这些书共有多少本？想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的 锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见 图3－11～15） 两条射线1个角（见图3－11） 2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘 上共有多少个棋孔？三条射线2+1个角（见图3－12）四条射线3+2+1个角（见图3－13）3.数一数，图3－18中有多少条线段？4.数一数，图3－19中有多少锐角？ 五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以 A 点为共同端点的线段有： ABACADAEAF5条. 以 B 点为共同左端点的线段有： BCBDBEBF4条. 以 C 点为共同左端点的线段有： CDCECF3条. 以 D 点为共同左端点的线段有： DEDF2条. 以 E 点为共同左端点的线段有： EF1条. 总数5+4+3+2+1=15条. （2）用图示法更为直观明了.见图3－6.还可以一直写下去，同学们可以自己试试看. 例3数一数，图3－9中共有多少个锐角？ 解：（1）我们知道，图中任意两条从 O 点发出的射线都 组成一个锐角. 所以，以 OA 边为公共边的锐角有： 六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）5.数一数，图3－20中有多少个三角形？6.数一数，图3－21中有多少正方形？∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE， ∠AOF 共5个. 以 OB 边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE， ∠BOF 共4个. 以 OC 边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中 最大的自然数比射线数小1. ②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫 做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关 系是： 角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的 自然数等于基本角个数. 习题三解答 1.解：方法1：从左往右一摞一摞地数，再相加求和：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10 =135（本）. 方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个 三角形“尖顶”组成. 长方形中的书10× 11=110 三角形中的书1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 总数：110+25=135（本）. 2.解：因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数. 仔细观察可知，图中大三角形 ABC 上的棋孔的排列规律 是（从上往下数）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， 12，13，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1， 2 ， 3 ， 4 ， 所 以 棋 孔 总 数 是 ： （ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13 ） + （ 1+2+3+4 ） × 3=91+10× 3=121（个）. 3.解：方法1：按图3－22所示方法数（图中只画出了一部 分）以 OG 边和 OH，GH 两边构成的三角形仅有：△ OGH1 个； 三角形总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）. （2）方法2：显然底边 AH 上的每一条线段对应着一个三 角形，而基本线段是 7 条，所以三角形总数为： 7+6+5+4+3+2+1=28（个）. 6.解：最小的正方形有25个， 由4个小正方形组成的正方形16个； 由9个小正方形组成的正方形9个； 由16个小正方形组成的正方形4个； 由25个小正方形组成的正方形1个； 正方形总数：25+16+9+4+1=55个. 第四讲认识简单数列 我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列. 在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习 找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最 后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题. 例1找出下面各数列的规律，并填空. （1）1，2，3，4，5 ， ，，8，9，10. （2）1，3，5，7，9 ， ，，15，17，19. （3）2，4，6，8，10 ， ，，16，18，20. （4）1，4，7，10 ， ，，19，22，25. 自然数列： ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 自然数平方数列：481100 例7一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘 客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后， 车上坐满乘客？（假定在坐满以前，无乘客下车，见表四 （1）） ，64=8× 8，81=9× 9，100=10× 10. 若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚. 另外，原数列的规律也可以这样看：后一个数等于前一个 数乘以2再加1，即后一个数=前一个数×2+1. 例6找出下面数列的生成规律，并填空. 1，4，9，16，25 ， ，，64，81，100. 解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自 乘积 .如： 1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 25=5×5， 例5找出下面数列的规律，并填空： 1，3，7，15，31 ， ，，255，511. 解：规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差 的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍.为止（见表四（2））.可见73是第11项. 例9一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸 爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在 你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第 二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放 16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这 100块糖够不够？”小朋友，请你帮小明想一想？ 解：小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个 纸盒的了！下面让我们算一算，看你想得对不对（见表四 （3））.表四（3）放满10个盒所需要的糖块总数：线段总数：7+6+5+4+3+2+1=28（条）. 方法2：基本线段共7条，所以线段总数是： 7+6+5+4+3+2+1=28（条）. 4.解：按图3－23的方法数：（5） 5，10，15，20 ， ，，35，40，45.可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！这可能是你 没有想到的吧！其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故 事呢.习题四 1.从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数 来. 注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列. 例2找出下面的数列的规律并填空. 1，1，2，3，5，8，13 ， ，，55，89. 解：这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前 角的总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）. 5.解：方法1：（1）三角形是由三条边构成的图形. 以 OA 边为左公共边构成的三角形有：△ OAB，△ OAC， △ OAD，△ OAE，△ OAF，△ OAG，△ OAH，共7个； 以 OB 边为左公共边构成的三角形有：△ OBC，△ OBD， △ OBE，△ OBF，△ OBG，△ OBH，共6个； 以 OC 边为左公共边构成的三角形有：△ OCD，△ OCE， △ OCF，△ OCG，△ OCH，共5个； 以 OD 边为左公共边构成的三角形有：△ ODE，△ ODF， △ ODG，△ ODH，共4个； 以 OE 边为左公共边构成的三角形有：△ OEF，△ OEG， △ OEH，共3个； 以 OF 边为左公共边构成的三角形有：△ OFG，△ OFH， 共2个； 倍.16× 2=32，32× 2=64，所以空处依次填： 例4找出下面数列的规律，并填空. 1，2，4，7，11 ， ，，29，37. 解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大 的，这些差是个自然数列： 空处依次填： 例3找出下面数列的生成规律并填空. 1，2，4，8，16 ， ，，128，256. 解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的 2 方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数 相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78 时，就可知道是到多少站了， 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人） 可见第12站以后，车上坐满乘客. 例8如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到 一列数：3，10，17，……，73.这里3叫第一项，10叫第 二项，17叫第三项，试求73是第几项？ 解：从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现 6.如图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个 小宝塔共包括多少个小立方体？ 面的两个数之和 .这是个有重要用途的数列 .8+13=21， 13+21=34.所以： 2.从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数 来. 3.在习题一和习题二中，按题目要求写出的两个数列中， 除1以外出现的最小的相同的数是几？ 4.自2开始，隔两个数写一个数：2，5，8，……，101. 可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项， 等等.问101是第几个数？ 5.如图4－1所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的 高度，而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯 形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个 图形应包括多少个小正方形？+8× 10+9× 10 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9）× 10 可见两个数列中最小的相同数是22. 4.解：经仔细观察后可以看出，这是一个等差数列，后一 个数比前一个数大3，即公差是3.下面再多写出几项，以 便从中发现规律：（表四（4）） 7.开学的第一个星期，小明准备发起成立一个趣味数学小 组，这时只有他一个人.他决定第二个星期吸收两名新组 员，而每个新组员要在进入小组后的下一个星期再吸收两 名新组员，求开学4个星期后，这个小组共有多少组员？ 8.图4－3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个， 再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去， 问经过10次分裂，一个细胞变成几个？ 再仔细观察可知： 第二项=第一项+1× 公差，即5＝2+1× 3； 第三项=第一项+2× 公差，即8=2+2× 3； 第四项=第一项+3× 公差，即11=2+3× 3； 第五项=第一项+4× 公差，即14=2+4× 3； ………… 由于101=2+33×3； 9.图4－4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些 珠子在盒子里，问 可见，101是第34项，即第34个数. 5.解：仔细观察可发现，这个“阶梯形”图形最高处是4个小 正方形时，它就有4个台阶，整个图形包括的小正方形数 为： 1+2+3+4=10. 所以最高处是12个小正方形时，它必有12个台阶，整个图 形包括的小正方形数为： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（个）. 6.解：从上往下数，小宝塔共有六层.仔细观察可发现如下 规律（表四（5））： （1）盒子里有多少珠子？ （2）这串珠子共有多少个？ 所以六层小立方体的总数为： 习题四解答 1.解：可以先写出从1开始的自然数列，再按题目要求删 去那些不应该出现的数，就得到答案了： 1+3+6+10+15+21=56（个）. 7.解：列表如下： ①在盒子里有： 4+1+4=9（个）. ②这一串珠子总数是： 1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1 =1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+1+1+1） =28+8=36（个）. 第五讲自然数列趣题 本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题 的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们 能很好地掌握它. 例1小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”？ 解：分类计算： “1”出现在个位上的数有： 1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个； “1”出现在十位上的数有： 10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个； “1”出现在百位上的数有：100共1个； 共计10+10+1=21个. 例2一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数 字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？ 解：分类计算： 从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9（个）； 从第 10页到第 99页，共 90页，每页用 2个铅字，共用 2× 90=180（个）； 第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用 铅字的总数是： 9+180+3=192（个）. 例3把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数 字的和是多少？ 习题五 1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、……、199、 200，问数字“1”在页码中共出现了多少次？ 2.在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次？ 3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多 少个？ 4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独 的铅字排版（比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、 “5”和“0”），问排这本书的页码一共需要多少个铅字？ 5.像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”， 问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数？ 6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以 后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样 的三位数？ 7.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加 之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前20 个数的数字之和是多少？ 8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字 的和是多少？ 9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少？ 习题五解答 1.解：分类计算，并将有数字“1”的数枚举出来. 即1，4，7，10，13，16，19，22，25，28 可以看出，这是一个等差数列，后面一个数比前面一个数 大3. 2.解：仿习题1，先写前面的几个数如下： 8.解：列表如下： 4个星期后小组的总人数： 1+2+4+8=15（人）. 解：（见图5―1）先按题要求，把1到100的一百个自然数 全部写出来，再分类进行计算： 如图5―1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数 字之和是： 可以看出，1，8，15，22，……也是一个等差数列，后面 的一个数比前面的一个数大7.按照这个规律，可以写出所 有的10个数： 1，8，15，22，29，36，43，50，57，64. 解：观察习题一和习题二两个数列： 3. （1+2+3+4+5+6+7+8+9）× 10 一个细胞经过10次分裂变为1024个. 9.解：仔细观察可知，这串珠子的排列规律是： 白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白 1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1, =45× 10 =450. 窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数 字之和是： 1× 10+2× 10+3× 10+4× 10+5× 10+6× 10+7× 10 “1”出现在个位上的数有： 1，11，21，31，41，51，61，71，81，91， 101，111，121，131，141，151，161，171，181，191 共20个； “1”出现在十位上的数有： 10，11，12，13，14，15，16，17，18，19 110，111，112，113，114，115，116，117，118，119 共20个； “1”出现在百位上的数有： 100，101，102，103，104，105，106，107，108，109， 110，111，112，113，114，115，116，117，118，119， 120，121，122，123，124，125，126，127，128，129， 130，131，132，133，134，135，136，137，138，139， 140，141，142，143，144，145，146，147，148，149， =45× 10 ＝450. 另外100这个数的数字和是1+0+0=1. 所以，这一百个自然数的数字总和是： 450+450+1=901. 顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一 种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有 更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试 试看，你能不能找出来？150，151，152，153，154，155，156，157，158，159， 160，161，162，163，164，165，166，167，168，169， 170，171，172，173，174，175，176，177，178，179， 180，181，182，183，184，185，186，187，188，189， 190，191，192，193，194，195，196，197，198，199 共100个； 数字“1”在1至200中出现的总次数是： 20+20+100=140（次）. 2.解：采用枚举法，并分类计算： “3”在个位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93 共10个； “3”在十位上：31，33，35，37，39共5个； 数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数： 10+5=15（次）. 3.解：枚举法：12，17，22，27，32，37，42，47，52， 57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个. 4.解：分段统计，再总计. 页数 铅字个数 1～9共9页 1× 9=9（个）（每个页码用1个铅字） 10～90共90页 2× 90=180（个）（每个页码用2个铅字） 100～199共100页 个铅字） 3× 100=300（个）（每个页码用3 所以从1～1000的所有自然数的所有数字之和为： 27× 500+1=13501. 若再补个0（并不影响题目的答案）还可以写出一个类似 的算式： 0+99=99； 因此共得出50个99.而一个99的数字和是：9+9=18； 50个99的数字和是：18× 50=900，再加上100这个数的数字 和是1+0+0=1，就得出从1到100的所有自然数的数字之和 为901. 照以上方法列出算式就非常简洁： （9+9）× 50+1=901. 9.解：（见图5―2）写出1～1000的自然数列的头、尾和中 间的几部分，并在1的前面加个“0”； 又因为9+9+9=27， 1+0+0+0=1，（3）前十个点群，所有点的总数是： 1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（个）解：（1）数一数，“宝塔”每层包含的方砖块数：例2图6―2表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样 大的小三角形摆成的.仔细观察后，请你回答： （1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？ （2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？ （3） 从第（1）到第（10）的十个“宝塔”，共包含多少 个小三角形？可见各层的方砖块数组成自然数平方数列，按此规律，第 五层应包含的方砖块数是： 5× 5=25（块）. （2）整个五层“宝塔”共包含的方砖块数应是从1开始的前 五个自然数的平方数相加之和，即： 1+4+9+16+25=55（块）. （3）根据上面得到的规律，可求出十层宝塔所包含的方 砖的块数：解：（1）数一数“宝塔”每层包含的小三角形数： 习题六 1.观察图6―4中的点群，请回答： （1）方框内的点群包含多少个点？ （2）第10个点群中包含多少个点？ 可见1，3，5，7是个奇数列，所以由这个规律猜出第五层 应包含的小三角形是9个. （2）整个五层塔共包含的小三角形个数是： 1+3+5+7+9=25（个）. （3）前十个点群中，所有点的总数是多少？第200页共1页 3× 1=3（个）（这页用3个铅字） 总数：9+180+300+3=492（个）. 5.解：列表枚举，分类统计： 10 2021 1个 2个 4个 5个 7个 8个 9个 第六讲找规律（一） 例1观察下面由点组成的图形（点群），请回答： （1）方框内的点群包含多少个点？ （2）第（10）个点群中包含多少个点？ （3）前十个点群中，所有点的总数是多少？ 由此发现从第（1）到第（10）共十个“宝塔”所包含的小 三角形数是从1开始的自然数平方数列前十项之和：个 1525354（3）每个“宝塔”所包含的小三角形数可列表如下： 6个 76 2.观察下面图6―5中的点群，请回答：总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）. 6.解：枚举法，再总计： 101，111，121，131，141，151，161，171，181，191 共10个. 7.解：分段统计（见表五（1）），再总计： 解：数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是： 1，4，7，10. 可见，这是一个等差数列，在每相邻的两个数中，后一个 数都比前一个数大3（即公差是3）. （1）因为方框内应是第（5）个点群，它的点数应该是 10+3=13（个）. 总的数字相加之和：45+45+10+2=102. 8.解：按题意，试着写出从1到100的自然数中的头、尾和 中间的几部分：1，2，3，……，48，49，50，51，……， 96，97，98，99，100.仔细观察可知： 可知第（10）个点群包含有28个点. （2）列表，依次写出各点群的点数， （1）从上往下数，第五层包含几块砖？ （2）整个五层的“宝塔”共包含多少块砖？ （3）若另有一座这样的十层宝塔，共包含多少块砖？ 例3下面的图形表示由一些方砖堆起来的“宝塔”.仔细观 察后，请你回答： （1）方框内的点群包含多少个点？ （2）推测第10个点群中包含多少个点？ （3）前10个点群中，所有点的总数是多少？ 3.观察图6―6中的点群，请回答： （1）方框内的点群包含多少个点？ （2）推测第10个点群包含多少个点？ （3）前十个点群中，所有点的总数是多少？4.图6―7所示为一堆砖.中央最高一摞是10块，它的左右两 边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、 2块、1块. 问：（1）这堆砖共有多少块？ （2）如果中央最高一摞是10O 块，两边按图示的方式堆 砌，问这堆砖共多少块？ 3.解：（1）数一数，前四个点群包含的点数分别是：4，8， 12，16. 不难发现，这是一个等差数列，公差是4，可以推出，第5 个点群（即方框中的点群）包含的点数是： 16+4=20（个）. （2）下面依次写出各点群的点数，可得第10个点群的点 数为40.则看不见的砖块总数为：第七讲找规律（二） 例1仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的 右框空白格内填一个什么样的图？ 解：图7―5的？处应填.▲注意观察第1组和第2组，每组 都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白” 的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是 “空白”的在左边，“黑色”的在右边.5.图6―8所示为堆积的方砖，共画出了五层.如果以同样的 方式继续堆积下去，共堆积了10层，问： （1）能看到的方砖有多少块？ （2）不能看到的方砖有多少块？（3）前十个点群的所有的点数为：再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小 图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当 一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边. 按这个移动规律，可知图7―5中第3组“？”处应填：.▲ 图7―6的？处应填□0. 仔细观察可发现第1组和第2组中4.解：从最简单情况入手，找规律： 解：仔细观察图7―1，可知： 第1组左边是个大菱形，右边是个小菱形. 第2组左边是个大三角形，右边是个小三角形. 其规律是：每组中左右两边图形的形状相同，大小不同. 都是左边的图形大，右边的图形小. 猜出答案：第3组中右边空白格内应填个小长方形.（如图 习题六解答 1.解：（1）数一数，前四个点群包含的点数分别是：1，5， 9，13. 不难发现，这是一个等差数列，公差是4，可以推出，第5 个点群包含的点数是： 13+4=17（个）. （2）下面依次写出各点群的点数，可得第10个点群的点 数为37. 按着这种规律可求得： （1）当中央最高一摞是10块时，这堆砖的总数是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4 +3+2+1 =10× 10=100（块）. （2）当中央最高一摞是100块时，这堆砖的总数是： 1+2+3+……+98+99+100+99+98+……+3+2+1 =100× 100=10000（块）. （3）前十个点群的所有点数为： 5.解：（1）数一数，前五层中各层可见的方砖数是：1，3， 5，7，9 不难发现，这是一个奇数列.照此规律，十层中可见的方 砖总数是： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 2.解：（1）数一数，前4个点群包含的点数分别是： 1，4，9，16. 不难发现，这是一个自然数平方数列.所以第5个点群（即 方框中的点群）包含的点数是： 5× 5=25（个）. （2）按发现的规律推出，第十个点群的点数是： 10× 10=100（个）. （3）前十个点群，所有的点数是： =100（块）. （2）再想一想，前五层中，各层不能看到的方砖数是： 第一层0块；第二层1块；第三层4块； 第四层9块；第五层16块； 不难发现，1，4，9，16是自然数平方数列，按照此规律 把其余各层看不见的砖块数写出来（如下表）： 例2按顺序仔细观察图7―5、7―6的形状，猜一猜第3组的 “？”处应填什么图？ 仔细观察图7―2可知： 第1组左边是个圆，而且左半圆涂有阴影线.右边是左边的 阴影半圆顺时针旋转后放置的. 第2组左边是个等腰三角形，而且左半部（直角三角形） 涂有阴影线，右边是左边阴影直角三角形顺时针旋转后放 置的. 其规律是：每组的右边格内的图形都是左边图形左边的一 半，顺时针旋转放置后成为右边图形. 猜出答案：第3组中右框内应填个阴影小长方形.如图7―4 示. 7―3）.间的部分都是由三个小图形构成的.构成的规律是：当你 按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左 移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序 保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它 就回到了最右边.按这个规律可知图7―6中第3组中间“？” 处是：△ 0. 例3观察图7―7的变化，请先回答：在方框（4）中应画出 怎样的图形？ 再答按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个 方框中是怎样的图形？解：先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现： 方框中的箭头是按逆时针方向旋转的；方框中的其他小图 形，如□、 和也都是按逆时针方向旋转的. 也就是说，方框连同内部的所有小图形作为一个整体在按 逆时针方向旋转.因此，方框（4）中的小图形应画成图7―8状.再按已找到 的规律，进一步可发现图形的变化是有“周期性”的，也就 是说，每过4个方框后，同样的图形又重新出现一次.如， 你可看到第（1）和第（5）是完全一样的；因此，你可以 想像得到，第（2）和第（6）及第（10）个图形应当是完全一样的.即第（10）个方框中的图形应是图7―9所示的 样子. 例4观察图7―10的变化，请先回答： 第（4）、（8）个图中，黑点在什么地方？ 第（10）、（18）个图中，黑点在什么地方？ 2.仔细观察图7―15，找找变化规律，猜猜在第3组的空白 格内填一个什么样的图？ 9.仔细观察下列图形的变化，请先回答： ①在方框（4）中应画出怎样的图形？ ②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个 方框是怎样的图形？ ①先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可以发现： 在（1）中，*在左上角，在（2）中它在右上角，在（3） 3.仔细观察图7―16，找找变化规律，猜猜在第3组的空白 格内填一个什么样的图？ 解：（1）按图7―10中（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细 观察，可发现黑点位置的变化规律： 在（1）中，黑点在最上面第一条横线上； 在（2）中，黑点下降了一格，在上面第二条横线上； 在（3）中，黑点又下降了一格，在中间一条线上了. 按黑点位置的这种变化可推测出： 在（4）中，黑点又下降一格，它的位置应如图7―11所示. 2.答：（见图7―24）. 4.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什 么图？ 1.答：（见图7―23）. 习题七解答 中它在右下角，……可见它在沿顺时针方向转动. 其他三个小图形，即□、○、 ，也和*一样都在沿着顺时 针方向转动. 发现规律：因方框中的每个小图形的位置的变化都是按顺 时针方向旋转，可以说，方框连同内部的小图形及整体在 按顺时针方向旋转. ②进一步猜想，根据所发现的规律进一步推测可知，第（4） 个方框中的图形的样子. ③按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，进一步还可 发现，图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个 方框后，完全同样的图形又重新出现，如第（1）、（5）、 （9）个图形是完全一样的.因为2＋4＋4=10，所以第（10） 个方框内的图形与第（2）完全相同. 9.答：（见图7―31） 继续观察下去： 在（5）中，黑点下降到最下面的一条横线上； 在（6）中，黑点开始往上升一格； 5.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什 么图？ 3.答：（见图7―25）. 8.答：（见图7―30）.在（7）中，黑点再上升一格，按着黑点位置的这种变化 可推测出： 在（8）中，黑点又上升一格，它的位置应如图7―12所示. （2）进一步仔细观察图7―10（1）～（9），可发现黑点位 置变化的“周期性”规律：也就是说，每隔8个小图，黑点 又回到原来的位置. 因为2+8=10，2+8+8=18.6.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么 图？4.答（见图7―26）.第八讲找规律（三） 数学家看问题，总想找规律.我们学数学，也要向他们学 习.找规律，要从简单的情况着手，仔细观察，得到启示， 大胆猜想，找出一般规律，还要进行验证，最后还需要证5.答：（见图7―27）.明（在小学阶段不要求同学们进行证明）. 例1沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫 做线段.这两个点就叫线段的端点，如图8―1―1所示.不难7.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么 图？ 6.答：（见图7―28）. 所以第（10）、（18）个小图中，黑点的位置应与第（2） 个小图相同，见图7―13所示. 8.仔细观察下列图形的变化，请先回答： ①在方框（4）中应画出怎样的图形？ ②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个 方框是怎样的图形？ 7.答：（见图7―29）.看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分.如果一条 直线上标出11个点，如图8―1―2所示，任何两点间的部 分都是一条线段，问共有多少条线段.习题七 1.仔细观察图7―14，找找变化规律，猜猜在第3组的空白 格内填一个什么样的图？解：先从简单的情况着手.（1）画一画，数一数：（见图8―1―3） （2）试着分析： 2个点，线段条数：1=1 3个点，线段条数：3=2+1 4个点，线段条数：6=3+2+1 5个点，线段条数：10=4+3+2+1所切刀数切出的块数 01 12=1+1 24=1+1+2 37=1+1+2+3 411=1+1+2+3+4 （3）大胆猜想：把一张大饼切若干刀时，切成的最多块 数等于从1开始的一串自然数相加之和加1.其中最大的自 图8-2 （2）试着分析： 直线条数最多交点数 10 21=1 33=2+1 46=3+2+1 510=4+3+2+1 （3）大胆猜想：若干条直线相交时，最多的交点数是从1 开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条 数小1. （4）进行验证：见图8―3.取6条直线相交，画一画，数 一数，看一看最多交点个数与猜想的是否一致，若相符， 则更增强了对猜想的信心. 然数等于切的刀数. （4）进行验证：见图8―5对大饼切5刀的情况用两种方法 求解，看结果是否一致，若一致则更增强了对猜想的信心. ①数一数：16块. ②算一算：1+1+2+3+4+5=16（块）. （5）应用规律：把大饼切10刀时，最多切成的块数是： 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =1+55 =56（块）.4.如图8―9所示，将自然数从小到大沿三角形的边成螺旋 状，排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7 在第三个拐弯处，……，问在第十个拐弯处的自然数是 几？5.如图8―10所示为切大饼的示意图.切一刀只有一种切 法，切两刀有2种切法，切三刀有4种切法，……，问切十 一刀有多少种切法（规定：三刀或三刀以上不能切在同一 点上，如图8―11所示）？（3）大胆猜想：一条直线上有若干点时线段的条数总是 从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点 数小1. （4）进行验证：对于更多点的情况，对猜想进行验证， 看猜想是否正确，如果正确，就增加了对猜想的信心.如： 6个点时：对不对？ ――对.见图8―1―4. 线段条数：5+4+3+2+1=15（条）. （5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题. 当直线上有11个点时，线段的条数应是： 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（条）.习题八 1.如图8―6所示，直线上有13个点，任意两点间的部分都 构成一条线段，问共构成多少条线段？ 习题八解答 例2如图8―2中（1）～（5）所示两条直线相交只有1个交 点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6 个交点，……那么，11条直线相交最多有多少交点？ 解：从简单情况着手研究： （1）画一画、数一数 用猜想的算法进行计算：最多交点数应是 5+4+3+2+1=15（个）. （5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.当 有11条直线相交时，最多的交点数应是： 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）. 例3如图8―4所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2 刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……问切10刀最多 切成多少块？ 解：从最简单情况着手研究. （1）画一画、数一数 3.图8―8所示为切大饼示意图，已知切1刀最多切成2块， 切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……，问切12 刀最多切成多少块？ 2.如图8―7所示，两条直线最多有一个交点，三条直线最 多有三个交点，四条直线最多有六个交点，……，问十三 条直线最多有几个交点？ 1.解：利用例1得到的规律可知：一条直线上有若干点时， 线段的条数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大 的自然数比点数小1. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =78（条）. 2.解：利用例2得到的规律可知，有若干条直线相交时， 最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最 大的自然数比直线条数小1. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =78（个）. 3.解：利用例3得到的规律可知，把一张大饼切若干刀时， 切成的最多块数，等于从1开始的一串自然数相加之和加 1，其中最大的自然数等于切的刀数. 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =1+78 =79（块）. （2）试着分析： 4.解：方法1：观察图8―12，仔细分析找规律.第一个拐弯处2=1+1 第二个拐弯处4=1+1+2 第三个拐弯处7=1+1+2+3 第四个拐弯处11=1+1+2+3+4 第五个拐弯处16=1+1+2+3+4+5 发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串自然数相加之和 再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个自然数. 所以第十个拐弯处的数是： 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56. 方法2：由于此题比较简单，把图形画出来（图8―12）， 按要求把自然数排列在三角形的边上，答案也是56.填进各类图形.这不仅可以提高运算能力，而且更能促使 你积极地去思考问题、分析问题，使你的智力得到更好地 发展. 例1请你把1、2、3这三个数填在图9.1中的方格中，使每 行、每列和每条对角线上的三个数字之和都相等.后，尝试几次是不难得出这种答案的. 例3如下面图9―9所示有八张卡片.卡片上分别写有1、2、 3、4、5、6、7、8八个数.现在请你重新按图9―10进行排 列，使每边三张卡片上的数的和等于：①13，②15.4就不能填到中间的小圆圈中了.解：①要使每边三张卡片上的数相加之和等于13时，就要 将13分拆成三个数之和. 解：这样想，如果每行的三个数分别是1、2、3，每列的 三个数也分别是1、2、3，那么自然满足每行、每列的三 个数之和相等这个条件的要求.试着填填看.有图9―2、图 9―3和图9―4三种不同的填法，检查一下，只有图 9―4 的填法，满足对角线上的三个数之和与每行、每列三数之 和相等这个条件的要求. 以上的分拆是分两步进行的. 可以看出，因为8+5=13，所以8和5不能填在同一边（若把 8和5填在同一边，再加上第三个数时必然会大于13，这不 符合题目要求），也就是说，要把8和5分别填在相对的两 个角上的方格里.如图9―11所示. ②要使每边三张卡片上的数相加之和等于15时，就要将15 分拆成三个数之和：习题九 1.在图9―15，9―16中，只能用图中已有的三个数填满其 余的空格，并要求每个数字必须使用3次，而且每行、每 列及每条对角线上的三个数之和都必须相等.2.把10、12、14这三个数填在图9―17的方格中，使每行、 每列和每条对角线上的三个数之和都相等.5.解：对简单的情况，仔细观察、分析，大胆猜想，找出 规律，用于解决复杂的情况.如图8―13所示：切一刀，1 种切法：1=1 切两刀，2种切法：2=1+1 切三刀，4种切法：4=1+1+2 大胆猜想，切四刀的切法数应为： 1+1+2+3=7种切法. 进行验证（实际切切看）： 例2请把1～9九个数字填入图9―5中，要求每行、每列和 每条对角线上三个数的和都要等于15. 以上的分拆也是分两步进行的. 可以看出，因为8+7=15，所以8和7不能填在同一边，也就 是说，要把8和7分别填在相对的两个角的方格里，如图 9―12所示. 3.在图9―18中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分 别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数3、5、 7三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中， 要求每个圆圈中四个数的和都是15. 4.与第3题的图相似，只是已经把1、4、6三个数填好，请 你继续把图9―19填满.例4图9―13是由八个小圆圈组成的，每个小圆圈都有直线 与相邻的小圆圈相接连.请你把1、2、3、4、5、6、7、8 八个数字分别填在八个小圆圈内，但相邻的两个数不能填 入有直线相连的两个小圆圈（例如，你在最上头的一个小 圆圈中填了5，那么4和6就不能填在第二层三个小圆圈中 应用得到的规律，求得切十一刀的不同切法数为： 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =1+55 =56（种）. 解：从1～9这九个数字中，5是处于中间的一个数，而4 与6，3与7，2与8，1与9之和都正好是10.所以5应当填在 第九讲填图与拆数 填图是一种运算游戏，它要求把一些数字按照一定的规则 中心的空格中，而其他八个数字应当填到周边的方格中. 上面图9―6就是一个符合要求的解答，把5填在中心空格 了）. 解：答案如图9―14所示.中间的两个圈只能填1和8，是这 样分析出来的：在1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字中， 只有“1”和“8”这两个数，各有一个相邻的数，也就是有六 个不相邻的数.中间的两个小圆圈，每个都有六条线连着 六个小圆圈，每个小圆圈中恰好能填一个与它不相邻的数. 其余的数每个都有两个相邻的数，如4有两个相邻的数2 和3，所以在1至8这八个数中4只有五个不相邻的数，这样5.图9―20中有三个大圆，在大圆的交点上有六个小圆圈. 请你把1、2、3、4、5、6六个数分别填在六个小圆圈里， 要求每个大圆上的四个小圆圈中的数之和都是14.6.图9―21是由四个三角形组成的，每个三角形上都有三 个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填 在九个小圆圈中，让每个三角形上的三个数之和都是15. 7.图9―22是由四个扁而长的圆圈组成的，在交点处有8个 小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填 在8个小圆圈中.要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都等于18.18=8+7+2+1 18=8+5+2+3 18=7+6+4+1 18=6+5+4+3 即得到四组数：（8，7，2，1）、（8，5，2，3）、（7，6，4， 4.解：模仿第3题解法拆数： 要填2、3、5、7. 15-4-6=5，5=2+3 15-1-6=8，8=3+5 习题九解答 15-1-4=10，10=3+7 所以，应把3填在中心的小区域，见图9―32. 1）、（6，5，4，3），把它们填入扁长圆圈时，注意适当调 整，就可以得出题目的答案如图9―35所示.再将这些茶杯与2角钱的茶盘搭配，同时去掉那些与前面 相同的价钱：最后数一数，共有10种不同价钱的茶具.这些价钱是1元6 角，1元5角，1元4角，1元3角，1元1角，1元，9角，8角， 6角，5角. 例3将无法区分的7个苹果放在三个同样的盘子里，允许有 的盘子空着不放.问共有多少种不同的放法？ 解：用数字代表盘子里的苹果数，用由3个数字组成的数 组表示不同的放置方式.如（7，0，0）表示：一个盘子里 放7个苹果，而另外两个盘子里都空着不放.各种可能的放 置情况如下： （7，0，0） （6，1，0）1.解：因为空格中只能用4、6、8填，不难看出左上角的 空格只能填6，见图9―23.同样道理，右下角也只能填6， 见图 9―24.下一步就能容易地填满其他空格了（见图 9―25）.第十讲考虑所有可能情况（一） 有些数学题，要求把符合条件的算式或得数全部找出来； 5.解：如图9―33所示，因为要求大圆上的四个小圆圈中 在图9―16中，显然右下角应填7，见图9―26.而右上角应 填5，见图9―27.这样其他空格随之就可以填满了，见图 9―28. 的四个数之和等于14，所以就要把14分拆成四个数相加之 和，而且按题目要求这四个数要在1、2、3、4、5、6中选 取；14=6+5+2+1， 14=6+4+3+1， 14=5+4+3+2. 若漏掉一个，答案就不对.做这种题，特别强调有秩序的 思考. 例1从2个5分硬币、5个2分硬币、10个1分硬币中，拿出1 角钱来，有多少种不同的拿法？ 解：找出所有不同的搭配情况，共10种见下表.（5，2，0），（5，1，1） （4，3，0），（4，2，1） （3，3，1），（3，2，2） 数一数，共有8种不同的放法. 例4把一个整数表示成若干个小于它的自然数之和，通常 叫做整数的分拆.问整数4有多少种不同的分拆方式？ 解：分拆时，使自然数按由大到小的顺序出现.可以看出， 共有4种不同的分拆方式： 4=3+1 4=2+2 4=2+1+12.解：模仿例1的填法.首先将10、12、14三个数的中间数 12填在中心方格中，并使一条对角线上的三个数都是12， 见图9―29，第二步再按要求填满其他空格就容易了，见 图9―30. 6.解：先将15分拆成三个数之和，并且要求各数在1、2、 3、4、5、6、7、8、9这九个数中选取.用二步分拆法： 15=9+6=9+5+1 15=8+7=8+4+3 15=7+8=7+6+2 3.解：这样想，图9―18中还空着四个小区域需要填入四 个数：1、2、4、6.还可看出中心的一个小区域属于三个 圆圈，这里应填哪个数呢？下面用拆数方法来分析确定. 先见图9―18中的圆圈Ⅰ，圆中已有两个数5和7，所以空 着的两个小区域应填的两个数之和为15-5-7=3.再将3分拆 成3=1+2，但是在1和2中应把哪一个填到中心的小区域里， 现在还不能肯定下来. 再看圆圈Ⅱ，圆中已有两个数5和3，15-5-3=7，而7=1+6， 即可把7分拆成7=1+6. 最后看圆圈Ⅲ，15-3-7=5，而5=1+4.至此可以看出，应该 把“1”填在中心的小区域了（见图9―31）. 7.解：因为题目要求扁长圆圈上的四个数之和等于18，所 以就要将18分拆成四个不相等的整数之和，而且各数要从 1～8这八个数中选取.如： 将这些茶杯与5角钱的茶盘搭配，又可得出一些不同价钱 的茶具，但要注意去掉那些与前面相同的价钱： 以上三式把九个数都用上了.这样（9，5，1）、（8，4，3） 和（7，6，2）就可以分别填入角上的3个三角形中.再注 意到中间的三角形的三个小圆圈分属于角上的3个三角 形，所以从三组中各取一个数重新组成一组填入中间三角 形，如取（9，4，2），填出下面的结果，见图9―34.注意 此题填法不惟一，你还能想出别种填法吗？ 例25个茶杯的价钱分别是9角、8角、6角、4角和3角，3 个茶盘的价钱分别是7角、5角和2角；如果一个茶杯配一 个茶盘，一共可以配成多少种不同价钱的茶具？ 解：采取“笨”办法进行搭配.先把各种不同价钱的茶杯都 配上一个7角钱的茶盘，得出不同价钱的茶具如下：4=1+1+1+1. 例5邮局门前共有5级台阶.若规定一步只能登上一级或两 级，问上这个台阶共有多少种不同的上法？解：如图10―1，同时用数组表示不同的上法. （1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有1种上法.见图10―2，①（2，1，1，1）②（1，2，1，1） ③（1，1，2，1）④（1，1，1，2） 表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有 四种上法.5分、5分5+5=10（分）（即1角） 5分、10分5+10=15（分）（即1角5分） 5分、50分5+50=55（分）（即5角5分） 10分、10分10+10=2O（分）（即2角） 10分、50分10+50=60（分）（即6角） 共有9种不同的钱数. 8.解：把所有的情况都列举出来：4张3分邮票可组成4种 邮资： 见图10―3，①（2，2，1），②（1，2，2）， ③（2，1，2）. 表示有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶，这种上法 共有3种.因此，上台阶共有1+4+3=8种不同的上法. 3.解：有2种不同的放法.第1种放法：3个苹果全放在一个 抽屉里，另一个抽屉空着不放；第2种放法：2个苹果放在 一个抽屉里，1个苹果放在另一个抽屉里；注意：在每种 放法中，必有一个抽屉里的苹果数等于或大于2. 4.解：有3种不同的放法. 习题十 1.现有5分币一枚，2分币三枚，1分币六枚，若从中取出6 分钱，有多少种不同的取法？ 2.从1个5分，4个2分，8个1分硬币中拿出8分钱，你能想 出多少种不同的拿法？ 3.把3个无法区分的苹果放到同样的两个抽屉里，有多少 种不同的放法？ 4.把4个苹果放到同样的2个抽屉里，有多少种不同的放 法？ 5.整数6有多少种不同的分拆方式？ 6.用分别写着1，2，3的三张纸片，可以组成多少个不同 的三位数？ 第1种放法：甲抽屉中放4个，乙抽屉中不放； 第2种放法：甲抽屉中放3个，乙抽屉中放1个； 第3种放法：甲、乙抽屉中各放2个苹果； 注意：这三种放法中，无论哪种放法，都必有一个抽屉里 的苹果数等于或大于2. 5.解：6的不同分拆方式共有10种，它们是： ①拆成两个数之和： 6=5+1=4+2=3+3 ②拆成三个数之和： 6=4+1+1=3+2+1=2+2+2 ③拆成四个数之和： 6=3+1+1+1=2+2+1+1 ④拆成五个数之和： 6=2+1+1+1+1 ⑤拆成六个数之和： 7.一个盒中装有七枚硬币，两枚1分的，两枚5分的，两枚 1角的，一枚5角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后 放回盒中.如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有 多少种不同的钱数？ 8.一个外国小朋友手中有4张3分邮票和3张5分邮票.请你 帮他算一算，他用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？ 6=1+1+1+1+1+1. 6.解：可以组成6个不同的三位数.下面是用选择填空法组 数；见图10－5. 解：不难看出，这样的两位数共有4对，它们是：（18，81）， （27，72），（36，63），（45，54）. 第十一讲考虑所有可能情况（二） 例1象右边竖式那样十位数字和个位数字顺序相颠倒的一 对二位数相加之和是99，问这样的两位数共有多少对？ 3分，6分，9分，12分. 3张5分邮票可组成3种邮资： 5分，10分，15分. 两种邮票搭配可组成12种邮资： 3+5=8（分）3+10=13（分） 3+15=18（分）6+5=11（分） 6+10=16（分）6+15=21（分） 9+5=14（分）9+10=19（分） 9+15=24（分）12+5=17（分） 12+10=22（分）12+15=27（分） 共可组成4+3+12=19种不同的邮资.44、55、66、77、88、99九个.其中11和22都不能由一对 倒序数相加得到.其他各数的倒序数是： 33：12和21…………………………………………1对 44：13和31…………………………………………1对 55：14和41、23和32……………………………2对 66：15和51、24和42……………………………2对 77：16和61、25和52、34和43…………………3对 88：17和71、26和62、35和53…………………3对 99∶18和81、27和72、36和63、45和54…4对 总数=1+1+2+2+3+3+4=16对. 例3规定：相同的字母代表同一个数字，不同的字母代表 不同的数字.请问，符合下面的算式的数字共有多少组？解：分两步做.第一，先找出被乘数的个位数字 A 和乘数 A 相乘时，积的个位数是 A 的所有可能情况：第二，从中选出能满足题目要求的数：积的十位数字和被 乘数的十位数字 B 相同.经试验可知：可得两组数字作为答案： 第一组 A=5，B=2，C=1； 第二组 A=5，B=7，C=3； 再看0× 0，1× 1，显然不符合题目要求，而6× 6经试验也不 符合题目要求. 所以最后的答案就是2组. 例4把整数10分拆成三个不同的自然数之和共有多少种不 同的分拆分式？习题十解答 1.解：有5种不同的取法.（见下表）7.解：列举出两枚硬币搭配的所有情况： 硬币算式和钱数 1分、1分1+1=2（分） 1分、5分1+5=6（分） 2.解：有7种不同的拿法.（见下表） 1分、10分1+10=11（分）（即1角1分） 1分、50分1+50=51（分）（即5角1分）例2一些十位数字和个位数字相同的二位数可以由十位数 字和个位数字不同的两个二位数相加得到，如 12+21=33 （人们通常把12和21这样的两个数叫做一对倒序数）.问 在100之内有多少对这样的倒序数？ 解：十位数字和个位数字相同的二位数有：11、22、33、例5将1、2、3、4、5填入下图11－1的五个空格中，使横 行和竖行的三个数之和相等.问共有多少种不同的填法？数所组成的数组有多少个？ 9.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑 顺序，那么和为10的三元自然数组有多少个[注意：“不考 虑顺序”的意思是指如（1，1，8）与（1，8，1）是相同 解：3填在中间格中，和=9，见图11－2. 1填在中间格中，和=8，见图11－3. 习题十一解答 1.解：①共有9对，它们是： 1 ，2，3，4，5，6，7，8，9 9 ，8，7，6，5，4，3，2，1 ②共有7对，它们是： △ 3，4，5，6，7，8，9 9 ，8，7，6，5，4，3 2.解：共有4对. 的三元自然数组]？19=8+6+5. 6.解：把每一个十位数字大于个位数字的二位数都写出 来： 10 20，21 30，31，32 40，41，42，43 50，51，52，53，54 60，61，62，63，64，65 70，71，72，73，74，75，76 80，81，82，83，84，85，86，87 90，91，92，93，94，95，96，97，98 总数=1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45（个）. 7.解：把两个数相乘积为144的所有情况列举出来为：②对这一问，如果你还像上面那样算就错了.正确地算法 应该是：5-1-4=0（只）为什么呢？听到“叭”地一声响，其他4只会被吓飞的，这 叫“隐含的条件”，在题目中虽没有明确地说出来，解题时 却要考虑到. 例2要把一个篮子里的5个苹果分给5个孩子，使每人得到1 个苹果，但篮子里还要留下一个苹果，你能分吗？其中相差为10的两个数是18和8. 8.解：把不完全相同的三个自然数相乘得24的情况全列举 出来： 1× 24=241× 6=24 1× 4× 5填在中间格中，和=10，见图11－4.经试验，2和4不能填 在中间格中，所以共有三种不同的填法. 习题十一 1.想一想，下面算式中的△ 和□中，各有多少对不同的填 法？ 1× 12=242× 6=24 2× 2× 1× 8=242× 4=24 3× 3× 所以，若不计数组中数字的顺序，所有乘积为24的三个数 所组成的数组有： （1，1，24）；（1，2，12）；（1，3，8）； （1，4，6）；（2，2，6）；（2，3，4）.共6组. 9.解：将10分拆成三个不完全相同的自然数之和： 10=1+1+810=2+2+6 3.解：见图11－6，经试验，共有4种不同的填法，它们是： 2.见下式，满足下式的两个二位数，共有多少对？ 10=1+2+710=2+3+5 10=1+3+610=2+4+4 10=1+4+510=3+3+4 所以和为10的三元自然数组共有8个： （1，1，8）；（1，2，7）；（1，3，6）； （1，4，5）；（2，2，6）；（2，3，5）； 3.见图11―5，将1、2、3、4、5、6六个数填在下图中的 黑点处，使每条线的三个数之和相等，共有多少种不同的 填法？ 第十二讲仔细审题 4.解：4种，它们是： 20=9+8+3 20=9+7+4 4.把整数20分拆成不大于9的三个不同的自然数之和，有 多少种不同的分拆方式？ 5.把整数19分拆成不大于9的三个不同的自然数之和，有 多少种不同的分拆方式？ 6.十位数字大于个位数字的二位数共有多少个？ 7.两个整数之积是144，差为10，求这两个数. 8.三个不完全相同的自然数的乘积是24.问由这样的三个 20=9+6+5 20=8+7+5. 5.解：5种，它们是： 19=9+8+2 19=9+7+3 19=9+6+4 19=8+7+4 解数学题很关键的一步是审题.如果把题目看错了，或是 把题意理解错了，那样解题肯定是得不出正确的答案来的. 什么叫审题？扼要地讲，审题就是要弄清楚：未知数是什 么？已知数是什么？条件是什么？ 有一种类型的数学题叫“机智题”.在这一讲要通过解这种 题体会如何审题. 例1①树上有5只小鸟，飞起了1只，还剩几只？ ②树上有5只小鸟，“叭”地一声，猎人用枪打下来1只，树 上还剩几只？ 解：①5-1=4（只），树上还剩4只小鸟. （2，4，4）；（3，3，4）. 解：“两个父亲和两个儿子”实际上只是3个人：爷爷、爸 爸和孩子.“爸爸”这个人既是父亲又是儿子.再数有几个爸 爸几个儿子时，把他算了两次.这是数数与计数时必须注 意的（见图12―4）. 例4一个小岛上住着说谎的和说真话的两种人 .说谎人句 句谎话，说真话的人句句是实话.假想某一天你去小岛探 险，碰到了岛上的三个人 A、B 和 C.互相交谈中，有这样 一段对话： A 说：B 和 C 两人都说谎； B 说：我没有说谎； C 说：B 确实在说谎. 小朋友，你能知道他们三个人中，有几个人说谎，有几个 人说真话吗？ 解：能.最后一个苹果留在篮子里不拿出来，把它们一同 送给一个孩子.这是因为“篮子里留下一个苹果和每个孩 子分得一个苹果”这两个条件并不矛盾（见图12―3）. 例3两个父亲和两个儿子一起上山捕猎，每人都捉到了一 只野兔.拿回去后数一数一共有兔3只.为什么？解：这是并不难的一道逻辑推理问题.怎样解答这个问题 呢？有的人一定会列成下面形式的表格，想由此把所有的 可能情况都判断出来，认为这样就可以得到答案了. 人说谎说真话 A__________ B__________ C__________ 但是，如果你也真的这样做的话，你是无论如果得不出答 案的，因为从这道题目所给出的条件中根本无法判断出某 一个人是说谎还是说真话.你这样解题，说明你把解题的 目标（未知数）改变了.请你再看一下，题目问的是什么？ 题目并没有问“谁说谎，谁说真话”？而是在问“几个人说 谎，几个人说真话？”正确的答案是不难得到的：因为 B 和 C 两人说的话正好相反，所以一定有一个人说谎，另 一个人说真话；由此又可知道，他们两人不可能都说谎， 所以 A 必定说谎.于是可知3个人有2个人说谎，有一个人 说真话. 例5如图12―5，三根火柴棍可以组成一个等边三角形，再 加三根火柴棍，请你组成同样大小的四个等边三角形. 回想一下开始的想法也是属于把题意理解错了的情况，但 是这种错误是很不容易被自己发现的.只有在解题的过程 中，通过对自己的失败的解法加以总结，再与题目中所给 出的已知条件加以对照，才有可能发现自己“不自觉”的错 误想法. 总结一下画过的折线的特点，显然这些线段都没有超出这 9个点所决定的正方形. 再仔细看看已知条件，问题里并没有这一条限制，画线段 的时候没有不让你超出这个正方形.明白了这点，就不难 得到正确的答案了（见图12―9）.有多少个孩子？ 10.一个长方形，剪掉一个角时，剩下的部分还有几个角？ 11.图中12―10正方体形的纸盒六个面的正中都有一个洞 口，旁边放着三根圆木棍，洞口的直径能容棍子通过去. 请你将三根木棍从三个洞口穿到另外三个洞口，而且每根 棍子穿好后就不再拔出来，你能做得到吗？ 3.解：天上只有3只大雁（见图12―15）. 4.解：不能说售货员找错了钱.很可能是小强买东西时给售 货员的钱是2元一张的，所以售货员给小强找回五角钱， 售货员找的钱是对的. 5.解：60盏灯.60-0=0.关掉灯后灯还在大楼里. 6.解：100只耳环.因为50+50=100（只）. 7.解：20页.“第三天因病没读书”并不影响第十二天仍按计 12.一家冷饮店规定，喝完汽水后，用4个空汽水瓶可以换 1瓶汽水.老师带着32个学生进店后，他只买了24瓶汽水. 问每个学生能喝到一瓶汽水吗？ 13.两条直线垂直相交，可以组成4个直角，如图12―11所 示，那么三根直线相交时最多能组成多少个直角呢？ 划读书. 8.解：“五十万个”是4元（一个字一元钱）. 对这道题进行审题时，很可能被以往的经验和知识影响， 把“五个”、“五十个”等作为数量词，为了得出价钱，总想解：请你先不要继续往下看，自己想一想能不能用六根火 柴棍组成四个同样大小的等边三角形？ 通常，很多人在解这题时，往往自己给自己多加了一个限 制条件：“在平面上组成等边三角形”.但是，仔细看看， 原题并没有限制你在平面上解题.由于给自己多加了一个 条件，他们的思想就会被限制在平面上解题，那就无论如 何也解不出来.这也是把题意理解错了的一种情况.习题十二 1.①一个学生花2角钱买了2个练习本，花5角钱能买几个 练习本？ ②在上学的路上2个学生拾到了2角钱，问5个学生捡到多 少钱？ 2.桌上放着一堆糖果，两个母亲和两个女儿，还有一个外 祖母和一个外孙女，每人拿了一块，这堆糖果就被拿完了， 而这堆糖只有3块.这是为什么？ 3.天上飞着几只大雁：两只在后，一只在前；一只在后， 两只在前；一只在两只中间，三只排成一条线.请你猜猜 看，天上共有几只雁？ 4.小强带了5元钱上街，他到书店买了3本书，应付一元五 角钱，可是售货员找给他五角钱，你说售货员一定错了 15.图12―13有16个点，请你用一笔画出由六条线段连接 成的折线，把16个点串起来. 猜测后面的名词是什么，从而得出问的文具的价钱.实际 上这家商店卖的是刻有“五”、“十”、“百”、“千”、“万”等 字的字模.心理学上，把这种情况叫做“负迁移”规律干扰人 们准确地审题. ［注］：一个人掌握了某些知识后，当他用这些知识以某 种智力活动方式去解决某一问题时，这个应用过程就是心 理学上所说的“迁移”.迁移就是已经学得的东西在新情景 中的应用.在审题中，也就是已有知识、经验对解题的影 响.如果影响是积极的、起促进作用的，就叫“正迁移”；如 果影响是消极的，起干扰作用的，就叫“负迁移”. 9.解：可能是1个，也可能是2个.当王老师和李老师是一对 夫妻时，只有一个孩子当王老师和李老师不是一家人时， 共有2个孩子. 习题十二解答 1.解：①花5角钱买5个练习本. ②无法回答.因为在路上捡钱是偶然的，人数多不一定能 多捡到钱.这和多花钱就能多买练习本不是同样的问题. 2.解：因为只有三个人：外祖母、母亲和女孩（人物关系 见图12―14）. 10.解：可能是5个角，也可能是4个角，也可能是3个角. 如图12―16所示： 14.图12―12有12个点.请你用一笔画出由五条线段连接成 的折线，把12个点串起来.但是，如图12―6所示，只要把思维从平面扩大到立体空 间，你就能轻而易举找到问题的答案. 例6一笔画出由四条线段连接而成的折线把九个点串起 来，你能做到吗？（见图12―7）.吗？ 5.一栋大楼内有60盏灯，关掉其中的一半后，还剩下多少 盏灯？ 6.大海中有一个小岛，小岛上住着的100名妇女中有一半 人只戴一只耳环.余下的妇女中一半人戴两只耳环，另一 半人不戴耳环.问这100名妇女共戴有多少只耳环？ 7.有一人一天读20页书，第三天因病没读，其他日子都按 计划读了书.问第十二天他读了多少页书？解：先不要往下看，你先画画试试.你可能会画出类似于 下面的各种各样的折线来，但你很快会发现，它们都不是 符合题目要求的答案（见图12―8）.8.一家文具店卖某种文具，文具的价钱是：五个是2元， 五十个是3元，而五百个、五千个、五万个都是3元.问五 十万个是几元？ 9.王老师有一个孩子，李老师也有一个孩子，两位老师共11.解：能.见图12―17.次猜中；凑，也不一定凑得准．那不要紧，再猜再凑，对 于比较简单的问题，最后总能凑出答案来． 数学家说，猜猜凑凑也是一种数学方法，它的正式的名字 叫“尝试法”．有时，它还是一种极为有效的方法，数学上 的有些重大的发现往往都是大数学家们大胆地猜出来的． 猜，要大胆；凑，要细心．要知道猜的对不对，还要根据 题目中的条件进行检验． 例1小明心中想到三个数，这三个数的和等于这三个数的 积，你知道小明想的三个数都是什么吗？100-99=1（个）馒头，分给3个小和尚，这样和尚总人数 为33+3=36人，与已知有100个和尚不符，不对！ 大和尚的人数减少些．若是有30个大和尚，分3× 30=90个 馒头，还剩10个馒头，可以分给3× 10=30个小和尚，这样 和尚总数是30+30=60人． 还必须减少大和尚的人数．若是有25个大和尚，分3× 25=75 个馒头，还剩100-75=25个馒头，可以分给3× 25=75个小和 尚．这样和尚总数是25+75=100人，对了． 所以答案是大和尚25人，小和尚75人． 例5甲、乙、丙三个小朋友在操场跑步．甲2分钟跑一圈， 乙3分钟跑一圈，丙5分钟跑一圈．如果他们三人同时从同 一起点起跑，问多少分钟后他们三人再次相遇？ 解：猜与凑． 先猜过6分钟后，甲跑了3圈，乙跑了2圈，他们在起跑点 又相遇了．再看丙是否与他俩相遇呢？丙5分钟跑一圈，6 分钟跑了1圈多一点，错过了，丙没能与甲、乙相遇在一 起． 若再过6分钟，即12分钟后，甲和乙又相遇了．但是丙还 不能与甲、乙相遇；因为： 12÷ 5=2（圈）……2 即丙跑了2圈又多一些． 这样，已看出一个规律来了，能够估计出若起跑后经过5 个6分钟，即6× 5=30分钟，这时丙跑了30÷ 5=6圈整，这样 丙就能够与甲、乙相遇了． 例6有人问孩子年龄，回答说：“比父亲的岁数的一半少9 岁”．再猜父亲48岁， 则儿子：48÷ 2-9=24-9=15岁 检验父龄： 15× 3+3=45+3=48岁，对了！ 所以答案是：父亲年龄48岁，儿子年龄15岁．习题十三 1．林林心里想到三个数，它们的和是12，又知道第二个 数比第一个大1，第三个又比第二个大1．请猜出林林心中 想的这三个数各是几？ 2．一群老头去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨， 一人2梨少3梨，几个老头几个梨？ 3．图13－2中算式里的小动物各代表什么数？需要注意的 是有规定：相同的动物代表相同的数字，不同的动物代表 不同的数字．如果只想把棍子穿两个对面的洞口，穿进一根棍子后，另 两根棍子就会因为被挡住而无法再穿进去，仔细看题目， 并没有要求小棍穿“对面”洞口的条件.只有把小棍穿过相 邻的两个洞口，方可能解决问题. 12.解：能够使每个学生都喝到一瓶汽水. 因为用4个空瓶可换1瓶汽水，写成算式就是： 1瓶汽水=4个空瓶 因为汽水=1瓶中的汽水+1个空瓶 得1瓶中的汽水=3个空瓶 所以24+24÷ 3=24+8=32汽水 上面的1汽水=3空瓶是较隐蔽的条件，审题时，只要细心 寻找，并加以适当的演算是可以发现的. 13.解：12个直角.把思维从平面扩大到空间，就能容易得 到答案（见图12―18）. 对了！ 解：猜――小明想的三个数是1、2、3． 检验：1+2+3=6 1× 3=6 2× 所以1+2+3=1× 3 2×解：猜 由 +―― 可猜=3=1，=2 ； 又由 14.解：列出两种画法（如图12―19和图12―20所示）. + 可猜=4=1 ，=3； 检验：+ ○=2+3=5，对了！ 所以=1，=2 ，=3． 例3一些老人去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨， 一人两梨少两梨，问几个老人几个梨？ 解：猜――可以先从小数猜起．2个老人3个梨．检验：2 个老人3个梨符合一人一梨多一梨的条件． 但是不是符合另一个条件呢？ 15.解：见图12―21. 先看：若一人分两个梨，2个老人就需要有4个梨，因为假 设3个梨，这样就会还少4-3=1个梨，这不符合少两梨的条 件． 再猜：若是3个老人4个梨呢？显然这符合第一个条件．再 看第二个条件是不是也符合呢？若是一个老人分2个梨，3 个老人就需要有6个梨，假设有4个梨，这样就少6-4=2个 梨，对了！ 所以最后答案就是3个老人4个梨． 例4100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个馒头，小和 尚3人分1个馒头，恰好分完．问大和尚、小和尚各多少人？ 第十三讲猜猜凑凑 解：这是一道古代的算题． 有些数学题可以用猜猜凑凑的方法求出答案．猜，很难一 猜――若是大和尚33人，就要分3× 33=99个馒头，还剩又问父亲年龄，回答说：“比孩子的岁数的3倍多3岁”．求 父亲和孩子的年龄各是多少岁？ 解：猜猜凑凑――要找到对题中的两句话都适合的年龄． 先猜父亲40岁， 则儿子年龄是：40÷ 2-9=20-9=11（岁） 检验父龄： 11× 3+3=33+3=36岁，不对！ 再猜父亲42岁， 则儿子：42÷ 2-9=21-9=12（岁） 检验父龄： 12× 3+3=36+3=39（岁），不对！ 再猜父亲44岁， 则儿子：44÷ 2-9=22-9=13岁 检验父龄： 13× 3+3=39+3=42岁，不对！ 再猜父亲46岁， 则儿子：46÷ 2-9=23-9=14岁 检验父龄： 14× 3+3=42+3=45岁，不对！ 5．如果在一个小本子里每页贴一片树叶，就多出4片树叶． 如果在每页贴2片树叶就会空出6页．问这个小本子共多少 页，树叶有多少片？ 6．小虎是趣味数学小组的成员．有人问小虎今年几岁， 他编了一道有趣的数学题回答说：“爷爷、爸爸和我，三 个人年龄的和是120岁，爷爷比爸爸大30岁，爷爷和爸爸 的年龄之和刚好比我大100岁，你猜我今年几岁？”请猜出 小虎、爸爸和爷爷各是多少岁？ 7．图13－4所示的方格中，已填好了数字5，请你把其余 4．游泳池中男孩戴蓝帽，女孩戴红帽．一个男孩说：“我 看见的蓝帽与红帽一样多”；一个女孩说：“我看见的蓝帽 比红帽多一倍．”你知道游泳池中有几个男孩，有几个女 孩吗？的空格填好．使每行每列的三个数之和都是7．（空格中只 能填自然数）若每页贴2片树叶，14片树叶需要14÷ 2=7页就够了，还空 10-7=3页，不符合题目中空6页的条件． 再猜――如果小本子有12页，树叶12+4=16片，当每页贴2 片树叶时，只需要16÷ 2=8页就够了，还空12-8=4页，也不 对！ 再猜――如果小本子有14页，则树叶14+4=18片，当每页 贴2片树叶时，只需要18÷ 2=9页就够了，还空14-9=5页， 也不对！ 再猜――如果小本子有16页，树叶16+4=20片时，只需要经学过的知识相结合，就能较快地、较准确地猜出正确的 答案了．第十四讲列表尝试法 对于比较复杂的问题，可以采用列表法进行尝试． 例1老大、老二、老三兄弟三人岁数之和是32岁，老大的 岁数比老二大3岁，而且老大的岁数是老三的2倍，问兄弟 三人各几岁？ 解：进行列表尝试：如果老三5岁，按题意可推算出老大 5× 2=10岁，老二10-3=7岁……8．有21个装铅笔的盒子，其中7盒是满的，7盒是半满的， 7盒是空的．现在要把这些铅笔连同盒子平均奖给三个学 生，使每人分得的铅笔和盒子数都一样多，怎样分？ 提示：①总数是21个盒，每人应当平分7个盒． ②7盒满的等于14盒半满的铅笔，再加本来就是半满的7 盒，合计共有21个半满盒铅笔，平均分给三人，每人分得 的铅笔应折合成7个半满盒．20÷ 2=10页就够了，还空16-10=6页，对了！ 所以本题答案是小本子16页，树叶20片． 注意，在这道题的猜猜凑凑的过程中，得数越来越接近答 案． 6．解：猜，需要有一般的生活常识，猜的数要大致上符 合人们的生活实际． 先猜――爷爷80岁，爸爸30岁，小虎10岁，这样三个人年 龄之和就是120岁，这符合第一个条件，看能不能满足第 二个条件“爷爷比爸爸大80-30=50岁，不符合30的条件， 不对！ 再猜――若是爷爷70岁，爸爸40岁呢？这样三个人的和还由表1和表2，同时满足题目中两个条件的数是，小明5个 球，小方7个球． 注意：解这道题，依题意列出了两个表格，从而得出了问 题答案，这样就更加拓宽了列表尝试法的使用范围． 例5某学校的学生去郊游，中午开饭时，两个学生合用1 只饭碗，三个学生合用1只菜碗，四个学生合用1只汤碗， 由表可知，老大14岁，老二11岁，老三7岁． 例2一次数学测验共10题，小明都做完了，但只得到29分． 因为按规定做对一题得5分，做错一题扣掉2分．你知道小 明做错了几道题吗？ 解：列表尝试，见表十四（2）． 共用了65只碗，问共有多少学生？ 解：一边猜，一边列表，可求出有60个学生．见表十四（5）．习题十三解答 1．解：因为三个4之和是12，可见这三个数应该都与4相 差不多．猜想，第一个是3，第二个数应当是4，第三个数 应当是5． 检验：3+4+5=12，对了！ 2．解：猜想是3个老头4个梨．这样，若每个人分2个梨时， 就需要有2× 3=6个梨，6-4=2，少2个梨，不对！若再凑一 下数，减去1个梨，即只有3个梨，不就是少三个梨了吗！ 但是这样又不符合一人一个多一个的条件了． 那么再猜若是4个老头5个梨，一人分2个，需要有2× 4=8 个梨，还少8-5=3个梨，对了！ 3．解：先看第一式：因5=1+4=2+3， 所以先猜公鸡=1，鸭=4； 再看第二式：因为鸭=4，只有母鸡=4才能使第二式成立， 但是这不符合题目规定的条件，说明猜错了！ 再猜，公鸡=2，鸭=3，那么母鸡=5第二式也对了． 再看第三式：这里母鸡和公鸡相加，即5+2=7，对了！ 4．解：先要仔细审题，搞清题意．这道题中有一个隐含 的条件是：无论是那个男孩还是那个女孩，他们自己都看 不见自己的帽子是什么颜色．明白了这点，就不难知道， 当男孩说：“我看见的蓝帽与红帽一样多”时，实际上游泳 池中的蓝帽比