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一元二次不等式的教案
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＞＞＞已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间..
已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，使得方程f(x)+37x=0在区间（m，m+1）内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：福建
（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），∴可设f（x）=ax（x-5）（a＞0）．∴f（x）在区间[-1，4]上的最大值是f（-1）=6a．由已知得6a=12，∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x2-10x（x∈R）．（2）方程f(x)+37x=0等价于方程 2x3-10x2+37=0．设h（x）=2x3-10x2+37，则h'（x）=6x2-20x=2x（3x-10）．在区间x∈(0，103)时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；在区间（-∞，0），或(103，+∞)上，h'（x）＞0，h（x）是增函数，故h（0）是极大值，h（103）是极小值．∵h(3)=1＞0，h(103)=-127＜0，h(4)=5＞0，∴方程h（x）=0在区间(3，103)，(103，4)内分别有惟一实数根，故函数h（x）在（3，4）内有2个零点．而在区间（0，3），（4，+∞）内没有零点，在（-∞，0）上有唯一的零点．画出函数h（x）的单调性和零点情况的简图，如图所示．所以存在惟一的自然数m=3，使得方程f(x)+37x=0在区间（m，m+1）内有且只有两个不同的实数根．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间..”主要考查你对&&函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数解析式的求解及其常用方法
函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
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与“已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间..”考查相似的试题有：
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一元二次不等式3x²-2x+1＜0怎么解
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可以用到配方法3x²-2x+1＜0两边同除以3,得到x²-2/3x+1/3＜0（x-1/3）^2-1/9+1/3＜0（x-1/3）^2
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△=4-12＜0故原不等式无解
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不等式与圆锥曲线解答题
2 1．已知函数： f ( x) ? 3x ? 2mx ? 1 ,g ( x) ? x ?7 4．⑴解不等式 f ? x ? ? ?2 ; ⑵若对任意的 x ? ( ?1,2) , f ( x ) ? g ( x ) ，求 m 的取值范围. 【答案】 (1) ① ? 3 ? m ? 3 时 , 不等式的解为 R; ② m ? ? 3 或 m ? ? 3 时，m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 或x? ；(2) m ? [?1,1] . x? 3 3【解析】 试题分析： （1）含参数的二次不等式的解法要考虑判别式的值.（2）本题较难就是绝对 值的处理，把 x 的范围按正负分开在讨论，特别是小于零部分的处理要细心，应用基本 不等式的知识.2 试题解析：⑴ f ? x ? ? ?2 可化为 3x ? 2mx ? 1 ? 0 , ? ? 4 m ? 3 ,2??①当 ? ? 0 时,即 ? 3 ? m ? 3 时,不等式的解为 R; ②当 ? ? 0 时,即 m ? ? 3 或 m ? ? 3 时, x1 ?m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 , x2 ? , 3 3不等式的解为 x ?m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 或x ? ; 3 37 4 ，对任意的 x ? ( ?1,2) 恒成立, 3 3 ?0 3x ? ? 2m ? 1 4 4x ，即 在 0 ? x ? 2 时恒成3 x 2 ? 2mx ? 1 ?| x | ?⑵①当 0 ? x ? 2 时， 立;3x 2 ? (2m ? 1) x ?因为 x ? ?0, 2? ，当 x ?1 时等号成立．所以 3 ? 2m ? 1 ，即 m ? 1 ; 23 | x | 2 ?(2m ? 1) | x | ?② 当 x ? (?1, 0) 时 ，3 3 3| x | ? ? 1 ? 2m ?0 4| x| 4 ，即 在? 1 ? x ? 0 时恒成立，因为 x ? (?1, 0) ，当 x ? ?1 时等号成立． 2试卷第 1 页，总 71 页所以 3 ? 1 ? 2m ，即 m ? ?1 ; ③当 x ? 0 时， m ? R ．综上所述，实数 m 的取值范围是 x ?? ?1,1? ． 考点：1.含参的二次不等式的解法.2.含绝对值的不等式恒成立问题.3.分类的思想. 2．已知函数 f ( x) ? ax ? x ? a, a ? R ，2（1）当 a ? 2 时，解不等式 f ( x) ? 1 （2）若函数 f ( x) 有最大值17 ，求实数 a 的值． 8【答案】(1) 解集为 ? x | x ? ? 或x ? 1? ； （2） a ? ?2 或 a ? ? 【解析】? ?3 2? ?1 8试题分析：(1)一元二次不等式一般都化为 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的形式，然后求出一2元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根（如果有的话，当然不一定具体写方程的根是什么） ，2再写出不等式的解集． （2）二次函数 f ( x) ? ax ? x ? a 有最大值，说明二次项系数为2正，然后直接利用最值公式立出关于参数 a 方程即可．二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的2最值为4ac ? b 2 （最大最小由 a 的正负确定） ． 4a2 2 试题解析： （1）当 a ? 2 时，有 2 x ? x ? 2 ? 1 ，即 2 x ? x ? 3 ? 0解得 x ? ? 或x ? 13 2不等式的解集为 ? x | x ? ? 或x ? 1?? ?3 2? ?6分?a ? 0 ? （2）由题意 ? ? 4a 2 ? 1 17 ? ? 8 ? 4a ?a ? 0 ? 得? 1 a ? ?2或a ? ? ? 8 ?因此 a ? ?2或a ? ?10 分1 812 分考点： （1）一元二次不等式的解法； （2）二次函数的最值．试卷第 2 页，总 71 页3．已知函数 f ( x) ? ax ? x ? a, a ? R ，2（1）当 a ? 2 时，解不等式 f ( x) ? 1 （2）若函数 f ( x) 有最大值17 ，求实数 a 的值． 8【答案】(1) 解集为 ? x | x ? ? 或x ? 1? ； （2） a ? ?2 或 a ? ? 【解析】? ?3 2? ?1 8试题分析：(1)一元二次不等式一般都化为 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的形式，然后求出一2元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根（如果有的话，当然不一定具体写方程的根是什么） ，2再写出不等式的解集． （2）二次函数 f ( x) ? ax ? x ? a 有最大值，说明二次项系数为2正，然后直接利用最值公式立出关于参数 a 方程即可．二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的2最值为4ac ? b 2 （最大最小由 a 的正负确定） ． 4a2 2 试题解析： （1）当 a ? 2 时，有 2 x ? x ? 2 ? 1 ，即 2 x ? x ? 3 ? 0解得 x ? ? 或x ? 13 2不等式的解集为 ? x | x ? ? 或x ? 1?? ?3 2? ?6分?a ? 0 ? （2）由题意 ? ? 4a 2 ? 1 17 ? ? 8 ? 4a ?a ? 0 ? 得? 1 a ? ?2或a ? ? ? 8 ?因此 a ? ?2或a ? ?10 分1 812 分考点： （1）一元二次不等式的解法； （2）二次函数的最值．2 4．设不等式 x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 的解集为 M.（1）如果 M ? ? ，求实数 a 的取值范围； （2）如果 M ? [1, 4] ，求实数 a 的取值范围.试卷第 3 页，总 71 页【答案】 （1） a ? ?1 或 a ? 2 ； （2） ?1 ? a ?18 . 7【解析】 试题分析：本题考查含参一元二次不等式的解法及二次函数图像的性质等基础知识，考 查转化思想、分类讨论思想等数学思想方法.第一问，由于抛物线开口向上，要使不等 式的解集不为 ? ，只需 ? ? 0 ；第二问，一元二次不等式含参数 a ，对应的一元二次方 程是否有解取决于 ? ，所以本问讨论 ? 的三种情况，在每一种情况下，求出方程的根， 写出不等式的解集，利用子集关系列出不等式，求 a 的取值范围. 试题解析： （1） ? ? 0 ， 4a 2 ? 4(a ? 2) ? 0 ，∴ a ? ?1 或 a ? 2 . 4分 6分（2）①当 ? ? 4a2 ? 4(a ? 2) ? 0 ，即 ?1 ? a ? 2 时， M ? ? ，满足题意；②当 ? ? 0 时，a ? ?1 或 a ? 2 ，a ? ?1 时，M ? {?1} ， 不合题意；a ? 2 时，M ? {2} ， 满足题意； 8分③当 ? ? 0 ，即 a ? 2 或 a ? ?1 时，令 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a ? 2 ，要使 M ? [1, 4] ，只需1? a ? 4 ? ? ? f (1) ? 3 ? a ? 0 ， ? f (4) ? 18 ? 7 a ? 0 ?得2 ? a ?10 分18 18 ，综上， ?1 ? a ? . 7 712 分考点：1.二次函数的判别式；2.含参一元二次不等式的解法. 5 ． 已 知 函 数 f ( x) ? kx? 2( k ? 0) 的图象分别与x 轴 、 y 轴 交 于 A, B 两 点 ， 且AB ? (1,2) ，函数 g ( x) ? x2 ? x ? 6 ，当 x 满足不等式 f ( x) ? g ( x) ? 4 ，时，求函数y? g ( x) ? 1 的值域. f ( x) ? 2? 3 7? , ?． ? 2 12?【答案】 y ? ?? 【解析】试题分析：求函数 y ?g ( x) ? 1 的值域，首先求函数的解析式，因为函数 f ( x) ? 22 g ( x)? x ? x? 6，函数 f ( x) ? kx? 2( k ? 0)，只需求出 k 的值即可，由已知函数f ( x) ? kx ? 2(k ? 0) 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于 A, B 两点，可求出 A, B 的坐标（用k 表示） ，从而写出 AB 的坐标，再由已知 AB ? (1,2) ，利用复数相等的定义，可求出 k的值，可得 y ?g ( x) ? 1 1 ? 1 ? ? ?( x ? 2) ? ? 5? 的解析式，又 f ( x) ? g ( x) ? 4 ，可 f ( x) ? 2 2 ? x?2 ?试卷第 4 页，总 71 页得 x ? ?? 1,4? ,由基本不等式及单调性，从而得值域．试题解析：A(?2 2 ,0), B(0,2) ? AB ? ( ,2) , 又 AB ? (1,2) , 所以 K KK=2 ，又f ( x) ? g ( x) ? 4 ， 可 得 x ? ?? 1,4? , y ?x2 ? x ? 5 1 ? 1 ? = ?( x ? 2) ? ? 5? 因 为 2x ? 4 2? x?2 ?? 3 7? x ? 2 ? ?1,6? ，所以函数值域为 y ? ?? , ? ? 2 12?考点：求函数解析式，解一元二次不等式，基本不等式． 6 ． 已 知 m ∈ R ， 设 命 题 P ： ?x ? R, mx2 ? mx ? 1 ? 0 ; 命 题 Q ： 函 数f ( x ) ? 3x 2 ? 2mx ? m ?值范围.4 有两个不同的零点 . 求使“P ? Q”为假命题的实数 m 的取 3【答案】 m ?1 ? m ? 0, 或 m ? 4? 【解析】 试题分析：把命题 P, Q 翻译为最简，即 P ： 0 ? m ? 4 ； Q ： m ? ?1 或 m ? 4 ，因为 “P ? Q”为假命题，所以 P, Q 均为假命题，先求 ?P,?Q ，再求其交集. 试题解析：由 ?x ? R, mx ? mx ? 1 ? 0 ，则当 m=0 时，1&0 恒成立；当 m≠0 时，有2??m ? 0 ， 解 得 0?m?4 ， 所 以 命 题 P ： 0?m?4 ， 由 函 数 ? 2 ? ? m ? 4 m ? 0 ?f ( x ) ? 3x 2 ? 2mx ? m ?4 2 m ? 16? 0 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则 ? ? 4m ? 12 ，解得 3m ? ?1 或 m ? 4 ，所以命题 Q： m ? ?1 或 m ? 4 ，因为“P ? Q”为假命题，所以 P, Q均为假命题，故 ?P:m ? 0 或 m ? 4 ； ?Q ： ?1 ? m ? 4 ，取交集为 m ?1 ? m ? 0, 或?m ? 4? .考点：1、一元二次方程；2、一元二次不等式；3、复合命题的真假. 7．已知集合 A ? ? x? 1? x ? ? 0? ， B ? x x 2 ? 2 x ? a 2 ? 2a ? 0 ? x?7 ???（1）当 a ? 4 时，求 A B ； （2）若 A ? B ，求实数 a 的取值范围. 【答案】 （1） ?1,6 ? ； （2） (??, ?7] ? [5, ??) . 【解析】试卷第 5 页，总 71 页试题分析： （1）集合 A, B 分别是两不等式的解集，解两不等式就能将两集合具体化， 简单化， 然后利用数轴可以求出两集合的交集； （2） 由 （1）A ? ?x |1 ? x ? 7? ，A ? B ， 而集合 B 是一个含有参数的一元二次不等式的解集， 可对其分类讨论求解， 或转化为对 任意的 x ? (1, 7) ，都有 x 2 ? 2 x ? a 2 ? 2a ? 0 成立，从而转化为不等式恒成立问题，分 离参数后可求，比分类讨论更为简单. 试题解析： （1） A ? ?x |1 ? x ? 7? ,2 当 a ? 4 时， B ? x | x ? 2 x ? 24 ? 0 ? x ? 4 ? x ? 6 ,?? ??∴AB ? ?1,6? .（2） B ? x ( x ? a )( x ? a ? 2) ? 0 , ①当 a ? ?1 时， B ? ?, ? A ? B 不成立； ②当 a ? 2 ? ?a, 即 a ? ?1 时， B ? (?a, a ? 2),????a ? 1 ，解得 a ? 5; A ? B,? ? ?a ? 2 ? 7③当 a ? 2 ? ? a, 即 a ? ?1 时， B ? (a ? 2, ?a),?a ? 2 ? 1 解得 a ? ?7; A ? B,? ? ??a ? 7综上，当 A ? B ，实数 a 的取值范围是 (??, ?7] ? [5, ??) . 考点：子集、一元二次不等式和分式不等式. 8 ． 已知集合? x ?3 ? （ ? x 2 +12x ? 20） A ? ?x | ? 0? , B ? ? x | y ? ln ? , C ? ?x | 5 ? a ? x ? a? x ? 7 ? ?（1）求 A ? B , ?C R A? ? B ; （2）若 C ? ? A ? B ? ,求 a 的取值范围. 【答案】 （1） A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?，?C R A? ? B ? x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10 ； （2）??a?3【解析】 试题分析： （1）先由分式不等式解出集合 A= ?x | 3 ? x ? 7? ，再利用集合的交、并、补 运算进行集合运算求解； （2）由 C ? ? A ? B ? 知，集合 C 是集合 ? A ? B? 的子集，由集试卷第 6 页，总 71 页合与集合之间的包含关系，分 C ? ? 和 C ? ? 两种情况讨论，通过端点位置的比较求出 参数范围，此题注意考虑集合 C 为空集以及对端点的取舍是容易出错之处. 试题解析： （1） A ? ? x |? ?x ?3 ? ? 0? = ?x | 3 ? x ? 7? x?7 ?（1 分）B ? ?x | 2 ? x ? 10?（2 分） （3 分）A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?,因为 CR A ? x | x ? 3或x ? 7 ,所以 ?C R A? ? B ? x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10 .????（5分） （2）由（1）知 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?, ①当 C ? ? 时,满足 C ? ? A ? B ? ,此时 5 ? a ? a ,得 a ?5 ; 2（8 分 ）?5 ? a ? a 5 ? ②当 C ? ? 时,要 C ? ? A ? B ? ,则 ?5 ? a ? 2 ,解得 ? a ? 3 . 2 ?a ? 10 ?由①②得可知 a 的取值范围： a ? 3 . （12 分 ） 考点：1.分式不等式；2.集合的运算；3.集合间的包含关系（11 分）9．已知 y ? 2x , x ? [2, 4]的值域为集合 A ， y ? log2 ? x2 ? (m ? 3) x ? 2(m ? 1) 的定 义域为集合 B ，其中 m ? 1 。 （1）当 m ? 4 ，求 A 求实数 m 的取值范围. 【答案】 （ 1 ） A ? B ? [4， ． （ 2） 5） （? ?， 1）（ ? 1， 3] ． 【解析】??B； （2）设全集为 R，若 A ? C RB ，? 0 试题分析： （ 1） 首 先 求 得 A ? [ 4 ， ，得 ，1 6 ] 通 过 解 不 等 式 ? x2 ? 7 x ? 1 0B? （2 ，） 5 ， 进 一 步 计 算 得 A ? B? [ 4 ． ， 5 ）m ＞1 ， 及 m ＜1 的 两 种 情 况 ， 根 据 已 （ 2 ） 根 据 ( x ? m ? 1) (x ? 2)? ，注意讨论 0知条件建立m 的不等式（组）.x试题解析： （ 1 ） ∵ y ? 2 , x ? [ 2, 4] 的值域为 A ? [4 ， 1 6， ]2 （2，） 5， 当 m ? 4 时， 由 ? x ? 7 x ? 10? 0 ，解得 B ?∴ A ? B ? [4， ． 5） （2）由 ? x ? (m ? 3) x ? 2(m ? 1) ? 0 得 ( x ? m ? 1)( x ? 2) ? 0 ，2若 m ＞1 ，则 CR B ? {x | x ? 2 或 x ? m ? 1}试卷第 7 页，总 71 页∴ m ?1 ? 4 ， ∴ 1＜m ? 3 若 m ＜1 ，则 CR B ? {x | x ? m ? 1 或 x ? 2} ，此时 A ? CR B 成立． 综上所述，实数 m 的取值范围为 （? ?， 1）（ ? 1， 3] ． 考点：1、指数函数的性质；2 一元二次不等式解法；3、集合的运算. 4 2 10．已知 m ? R ，设命题 P： ?3 ? m ? 5 ? 3 ；命题 Q：函数 f（x）＝3x ＋2mx＋m＋ 3 有两个不同的零点．求使命题“P 或 Q”为真命题的实数 m 的取值范围． 【答案】 ? ??, ?1? ??2, ??? . 【解析】 试题分析：对 P： ?3 ? m ? 5 ? 3 ，即 2≤m≤8 . 4 2 对 Q:由已知得方程 3x ＋2mx＋m＋ ＝0 的判别式 Δ &0． 3 要使“P 或 Q”为真命题，即求这两个集合的并集. 试题解析：对 P： ?3 ? m ? 5 ? 3 ，即 2≤m≤8. 4 2 对 Q:由已知得 f（x）＝3x ＋2mx＋m＋ ＝0 的判别式. 3 4 2 2 Δ ＝4m －12（m＋ ）＝4m －12m－16&0， 3 得 m&－1 或 m&4． 所以，要使“P 或 Q”为真命题，即求这两个集合的并集： 即 m＜-1 或 m≥2. 5分 8分 10 分 12 分 2分? 实数 m 的取值范围是 ? ??, ?1? ??2, ??? .考点：1、不等式的解法；2、函数的零点；3、简单的逻辑连结词.2 11．已知命题：“ ?x ? {x | ?1 ? x ? 1} ，都有不等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题。（I）求实数 m 的取值集合 B ； （II）设不等式 ? x ? 3a ?? x ? a ? 2? ? 0 的解集为 A ，若 x ? A 是 x ? B 的充分不必要 条件，求实数 a 的取值范围. 【答案】 （I） B ? (2, ??) （II） a ? ? , ?? ? 【解析】2 试题分析：解： （1）命题：“ ?x ? {x | ?1 ? x ? 1} ，都有不等式 x ? x ? m ? 0 成立”?2 ?3? ?是真命题，2 得 x ? x ? m ? 0 在 ?1 ? x ? 1 恒成立，? m ? ( x2 ? x)max 得 m ? 2 即 B ? (2, ??)（2）不等式 ? x ? 3a ?? x ? a ? 2? ? 0试卷第 8 页，总 71 页①当 3a ? 2 ? a ,即 a ? 1 时解集 A ? (2 ? a,3a) ， 若 x ? A 是 x ? B 的充分不必要条件， 则 A ? B,? 2?a ? 2此时 a ? (1, ??) .②当 3a ? 2 ? a 即 a ? 1 时解集 A ? ? ，若 x ? A 是 x ? B 的充分不必要条件，则 A ? ?B 成立. ③当 3a ? 2 ? a ,即 a ? 1 时解集 A ? (3a, 2 ? a) ， 若 x ? A 是 x ? B 的充分不必要条件， 则 A ? B 成立，? 3a ? 2 此时 a ? ? ,1? .?2 ? ?3 ?综上①②③： a ? ? , ?? ? ． 考点：解一元二次不等式 点 评 ： 若 方 程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 两 根 为 x1 , x 2, x 1 ? x 2， 则 一 元 二 次 不 等 式22 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? x1或x ? x2} ， 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集?2 ?3? ?为 {x | x1 ? x ? x2 } 。2 12．已知集合 A= x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ，B= ?x | ( x ? m ?1)( x ? m ?1) ? 0 ? ，??（1）当 m ? 0 时，求 A ? B2 （2）若 p ： x ? 2 x ? 3 ? 0 ， q ： ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ，且 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围。 【答案】 （1）? A ? B ? ?x |1 ? x ? 3? （2） (??, ?2] ? [4, ? ?) 【解析】2 试题分析：解： （1） A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ? x | ?1 ? x ? 3? ， 2 分??B ? ?x | ( x ?1)( x ?1) ? 0? ? ?x | x ? 1或x ? ?1? ? A ? B ? ?x |1 ? x ? 3?（2） 6分 7分 9分 10 分4分p 为： (?1,3)而 q 为： (??, m ? 1] ? [m ? 1, ??) ， 又 q 是 p 的必要不充分条件， 即 p ? q 所以m ? 1 ? ?1 或 m ? 1 ? 3 ?m ? 4 或 m ? ?212 分即实数 m 的取值范围为 (??, ?2] ? [4, ? ?) 。 考点：一元二次不等和命题试卷第 9 页，总 71 页点评：主要是考查了充分条件和二次不等式的求解，属于基础题。 13．关于 x 的不等式x?m 2 ? 0 的解集为 ?? 1,2? 。 1 x（1）求实数 m 的值； （2）若实系数一元二次方程 x 2 ? m x ? n ? 0 的一个根 x1 ? 【答案】 （1） m ? ?1 （2） n ? x1 x2 ? 1 【解析】 试题分析：解： （1）原不等式等价于 ( x ? m) x ? 2 ? 0 ，即 x 2 ? mx ? 2 ? 01 3 ? i ，求 n ． 2 22 由题意得，解集为 ?? 1,2? 的一个不等式 x ? x ? 2 ? 0解得 m ? ?1 ， （2）由题意得： x 2 ?1 3 ? i 2 2n ? x1 x2 ? 1考点：一元二次不等式的解集 点 评 ： 若 方 程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 两 根 为 x1 , x 2, x 1 ? x 2， 则 一 元 二 次 不 等 式22 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? x1或x ? x2} ， 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x1 ? x ? x2 } 。 14．若关于 x 的方程 x ? 4x ? a ? 3 ? 0 有实根2(Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A2 (Ⅱ)若对于 ?a ? A ，不等式 t ? 2at ? 12 ? 0 恒成立，求 t 的取值范围【答案】(Ⅰ) A ? a ? 1 ? a ? 7 ；(Ⅱ) (7 ? 37,7 ? 37) 。 【解析】 试题分析： （Ⅰ）∵关于 x 的方程 x ? 4x ? a ? 3 ? 0 有实根，2??∴△=16－4|a－3|≥0，即|a－3|≤4， ∴－4≤a－3≤4，∴－1≤a≤7，故实数 a 的取值集合 A={a|－1≤a≤7 }； 2 2 （Ⅱ）∵对于?a∈A，不等式 t －2at+12＜0 恒成立，令 f（a）=－2at+t +12，则 f（a） ＜0 恒成立． 2 2 故 f（－1）＜0 且 f（7）＜0，即 2t+t +12＜0 ①，且－14t+t +12＜0 ②． 解①得 t∈?，解②得 7 ? 37 ? t ? 7 ? 37 ． 综上可得，t 的取值范围 (7 ? 37,7 ? 37) ．试卷第 10 页，总 71 页10 分考点：一元二次不等式解法，不等式恒成立问题。 2 点评：中档题，对于二次函数的根的问题，变更主元，构造函数 f（a）=t －2a|t|+12， 转化为函数的最小值是解题的关键和难点。 15．已知 a 是实数，试解关于 x 的不等式： 【答案】 当 a &-1 时，原不等式解集为 当 a=1 时，原不等式解集为 当 a &-1 时，原不等式解集为 【解析】x2 ? 2 x ? a ?x x ?1试题分析：解：根据题意，由于原不等式同解为 根 1,-a 的大小关系要讨论，因此分为 3 种情况来得到，分别是： 当 a &-1 时，原不等式解集为 当 a=1 时，原不等式解集为 当 a &-1 时，原不等式解集为 ．那么需要对于方程的考点：一元二次不等式的解集 点评：主要是考查了运用分类讨论是思想求解二次不等式的解集。属于基础题。 2 16． （1）解不等式－3＜4x－4x ≤0 2 2 （2）若不等式 mx ＋2mx－4＜2x ＋4x 对任意 x 均成立，求实数 m 的取值范围 【答案】 （1） ( ?1 3 , 0] U[1, ) 2 2（2） ?2 ? m ? 2【解析】 2 试题分析： （1）根据题意，由于－3＜4x－4x ≤0 2 2 ，那么等价于一个不等式组，可知－3＜4x－4x 且 4x－4x ≤0，先分析方程的根，结合 二次函数图像可知，不等式的解集为 ( ?2 21 3 , 0] U[1, ) 2 22（2）由于不等式 mx ＋2mx－4＜2x ＋4x 对任意 x 均成立，那么可知，当 m=0，－4＜2x ＋4x，由于判别式小于零可知成立，恒大于零，当 m ? 0 ,要是不等式恒成立，只要开口 向上，判别式小于零即可得到 ?2 ? m ? 2, 且m ? 0 综上可知 ?2 ? m ? 2 考点：一元二次不等式的解集 点评：解决的关键是根据一元二次不等式的解法来得到其解集，属于重点试题，要掌握 好。 17．已知不等式 ax 2 ? 3x ? 6 ? 4 的解集为 x x ? 1或x ? b ． （1）求 a , b ； （2）解不等式 ? x ? c ?? ax ? b? ? 0 ．??试卷第 11 页，总 71 页【答案】 （1） ??a ? 1 ?b ? 2（2） c ? 2 时解集为 x x ? c或x ? 2??c ? 2 时解集为 ? x x ? 2或x ? c? c ? 2 时解集为 ? x x ? 2?【解析】 试题分析：解： （1）由已知 1 是方程 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根，则 a=1， ∴方程为 x ? 3x ? 2 ? 0 ? b ? 223分解得 ??a ? 1 ?b ? 26分原不等式为 ? x ? c ?? x ? 2? ? 0c ? 2 时解集为 ? x x ? c或x ? 2? c ? 2 时解集为 ? x x ? 2或x ? c? c ? 2 时解集为 ? x x ? 2?12 分考点：一元二次不等式的求解 点评：主要是对于一元二次不等式的解集的运用，属于基础题。 18．)已知二次函数 f(x)= 4x ? 2? p ? 2?x ? 2 p ? p ? 12 2（1）若 f（0）&0，求实数 p 的取值范围 （2）在区间［－1，1］内至少存在一个实数 c,使 f(c)&0,求实数 p 的取值范围。?1 ? p ?【答案】 （1） 【解析】3 1 ( ?3, ) 2 （2） 2?1 ? p ?试题分析：解：（1）f（0）&0 得1 2（2）只需 f(1)=－2p2－3p+9&0 或 f(－1)=－2p2+p+1&0.解得3 ( ?3, ) 2考点：一元二次不等式的解集 点评：主要是考查了二次不等式的求解，以及二次函数的图像与性质的运用，属于基础 题。 19．已知不等式（m +4m-5）x -4(m-1)x+3&0 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值 范围。 【答案】[1，19）试卷第 12 页，总 71 页2 2【解析】 试题分析：根据题意，由于不等式（m +4m-5）x -4(m-1)x+3&0 对一切实数 x 恒成立， 那么当 m +4m-5=0,m=-5(舍),m=1,显然成立，故可知当 m=1 成立；m +4m-5 ? 0，则开2 2 2 2口向上，判别式小于零即可，得到 1&m&19,综上可知满足题意的实数 m 的取值范围[1， 19） 。 考点：不等式的恒成立 点评：本题考查二次函数的取值范围，是基础题．解题时要认真审题，注意分类讨论思 想的灵活运用．? 1 ? 20．若不等式 ax2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ?x ? x ? 2? ， 2 ? ? (1) 求 a 的值；(2) 求不等式 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集. 【答案】 （1） a =－2 （2） {x ? 3 ? x ? } 【解析】2 试题分析： （1）依题意，可知方程 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的两个实数根为1 21 和 2， 22分由韦达定理得： 解得： a =－21 5 +2= ? 2 a4分 5分2 （2）不等式 ?2 x ? 5x ? 3 ? 0 化为 (2 x ? 1)( x ? 3) ? 0 ，∴ ?3 ? x ?1 ， 210 分故原不等式的解集为 {x ? 3 ? x ? }1 2考点：本题考查了一元二次不等式的解法 点评：一元二次不等式的解法的考查主要有：一是利用一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系解一元二次不等式的出题；二是求含参数的一元二次不等式的 解集或者利用不等式求参数范围，一般要对参数进行分类讨论 21． 已知不等式 mx ? mx ? 1 ? 0 ．2（1）若对 ?x ? R 不等式恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）若对 ?x ? [1,3] 不等式恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）若对满足 | m |? 2 的一切 m 的值不等式恒成立，求实数 x 的取值范围． 【答案】 （1） {m | ?4 ? m ? 0} （2） {m | m ? } （3） {x | 【解析】 试题分析： （1）要使不等式 mx ? mx ? 1 ? 0 恒成立21 61? 3 1? 3 ?x? } 2 2①若 若m?0 m?0， ，显 ??1 分然 则?1 ? 0②试卷第 13 页，总 71 页?m ? 0 ? ?4 ? m ? 0 ? 2 ? ? m ? 4 m ? 0 ?∴ 综 上 ， 实 数??3 分m的取值 ??4 分范围是{m | ?4 ? m ? 0}（2）令 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1 ① 立 当m?0时，f ( x) ? ?1 ? 0??5 分显然恒成②当 m ? 0 时，若对 ?x ? [1,3] 不等式恒成立，只需 ?? f (1) ? 0 即可 ? f (3) ? 0， 解 得∴? f (1) ? ?1 ? 0 ? ? f (3) ? 9m ? 3m ? 1 ? 01 6 1 6m?∴??7 分0?m???8 分③当 m ? 0 时，函数 f ( x) 的图象开口向下，对称轴为 x ? 成立，结合函数图象知只需 f (1) ? 0 即可，解得 m ? R ∴1 ，若对 ?x ? [1,3] 不等式恒 2m?0??10 分 ∴ 综 上 述 ， 实 数m的取 ??11 分值范围是1 {m | m ? } 6（3）令 g (m) ? mx ? mx ? 1 ? ( x ? x)m ? 12 2若对满足 | m |? 2 的一切 m 的值不等式恒成立，则只需 ?2 ? ?? 2( x ? x ) ? 1 ? 0 ? 2 ? ? 2( x ? x ) ? 1 ? 0? g (?2) ? 0 即可 ? g (2) ? 0， 解 得∴1? 3 1? 3 ?x? 2 2∴ 实 数??13 分x的取值范围是{x |1? 3 1? 3 ?x? } 2 2试卷第 14 页，总 71 页??14 分考点：本小题主要考查二次函数的性质与不等式恒成立问题. 点评：二次函数的单调性和开口方向和对称轴有关，讨论时要正确确定分类标准，要努 力做到不重不漏；另外，恒成立问题往往转化为最值问题解决. 22．方程 x 2 ? ( k ? 2) x ? 5 ? k ? 0 的两根都大于 2，求实数 k 的取值范围。 【答案】 ?5 ? k ? ?4 【解析】 【错解分析】此题易犯这样的错误：? x1 ? 2，x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 4 ，且 x1 x 2 ? 4 和判 别式 ? ? 0 联立即得 k 的范围，原因是 x1 ? 2和x2 ? 2 只是 x1 ? x2 ? 4 的充分条件， 即 x1 ? x2 ? 4 不能保证 x1 ? 2和x2 ? 2 同时成立. 【正解】设方程的两根为 x1，x 2 ，则必有?? ? 0 ? ?( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? 0 ?( x ? 2)( x ? 2) ? 0 2 ? 123．(本题满分 12 分)?(k ? 2) 2 ? 4(5 ? k ) ? 0 ? ? ?? (k ? 2) ? 4 ? 0 ? ?5 ? k ? ?4 ?(5 ? k ) ? 2(k ? 2) ? 4 ? 0 ?2 已知不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 2或x ? 1}（1)求 b 和 c 的值；(2)求不等式 cx 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集.【答案】 （1) b ? ?3, c ? 2 (2) ? x | 【解析】? ?1 ? ? x ? 1? 2 ?2 试题分析： （1)不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 2或x ? 1} 所以与之对应的二次2 方程 x ? bx ? c ? 0 的两个根为 1,2 由根与系数关系的 b ? ?3, c ? 2(2)不等式cx 2 ? bx ? 1 ? 0化简为2x2 ? x ? ? 3 ?? x ? 11 0 ? ?? x ? ?2?1 2? 1 ? x 不等式的解为 1 1? 0 ? ? x | ? x ? 1? ? 2 ?考点：一元二次不等式求解及三个二次关系 点评：一元二次不等式的解的边界值是与之对应的二次方程的实数根 24． （本题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 8) x ? a ? ab ，当 x ? (?3, 2) 时， f ( x) ? 0 ；2当 x ? (??, ?3)(2,+?) 时， f ( x) ? 0 ．（1）求 f ( x ) 在 [0,1] 内的值域；2 （2） c 为何值时， ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R ．试卷第 15 页，总 71 页【答案】 （1） f ( x ) 在 [0,1] 内的值域为 [12,18] ． （2）当 c ? ?25 时， ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 R ． 12【解析】 试题分析：由题意可得当 x=-3 和 x=2 时，有 y=0，代入可求 a，b，进而可求 f（x） （1）由二次函数的性质可判断其在[0，1]上的单调性，进而可求函数的值域 2 （2）令 g（x）=-3x +5x+c，要使 g（x）≤0 的解集为 R．则△≤0，解不等式可求 解：由题意可知 f ( x) ? ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab ? 0 的两根分别为 ?3, 2 ，且 a ? 0 ，则b ?8 ? ?3 ? 2 ? ? ? ?a ? ?3 ． a 由韦达定理可得： ? ?? ? ?b ? 5 ??3 ? 2 ? ? ab ? a ? a ?2 2 故 f ( x) ? ?3x ? 3x ? 18 ? ?3( x ? ) ?1 275 ， 4（1） f ( x ) 在 [0,1] 内单调递减，故 f ( x)min ? f (1) ? 12, f ( x)max ? f (0) ? 18, 故 f ( x ) 在 [0,1] 内的值域为 [12,18] ． （2） g ( x) ? ax2 ? bx ? c ? ?3x2 ? 5x ? c ，则要使 g ( x) ? 0 的解集为 R，只需要方程?3x 2 ? 5x ? c ? 0 的判别式 ? ? 0 ，即 ? ? 25 ? 12c ? 0 ，解得 c ? ?∴当 c ? ?25 ． 1225 2 时， ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R ． 12考点：本试题主要考查了二次函数、二次方程及二次不等式之间的关系的相互转化，二 次函数性质的应用及二次不等式的求解，属于知识的简单应用。 点评：解决该试题的关键是对于二次函数单调性性质的运用，以及二次不等式的恒陈立 问题的等价转化。 25． （本题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? x + ? 2a ? 8? x ，不等式 f ( x) ? 5 的解集是 {x ?1 ? x ? 5} ．2（1）求实数 a 的值； （2） f ( x) ? m ? 4m ? 9 对于 x ? R 恒成立，求实数 m 的取值范围．2? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ? 【答案】 （1） f ( x) ? ? ； 0, x ? 0 ?? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ?（2） f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, 0), (0,1) ， 单调递减区间是 (??, ?1), (1, ??) ． （12 分） 【解析】 试题分析： （1）根据二次函数的不等式的解集，结合韦达定理可知参数 a,b 的值，求解 解析式。 （2）要使得不等式 f ( x) ? m ? 4m ? 9 对于 x ? R 恒成立， ，只要求解函数 f(x)的最小2值即可。转化与划归思想的运用。试卷第 16 页，总 71 页解（1）设 x ? 0 ，则 ? x ? 0 ， 所以 f (? x) ? ?(? x)2 ? 2 ? (? x) ? 2 ? ? x2 ? 2 x ? 2 （3 分） 又 f ( x ) 是 R 上的奇函数，则 f ( x) ? ? f (? x) ? x2 ? 2 x ? 2 ， f (0) ? 0 （4 分）? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ? 所以， f ( x) ? ? （6 分） 0, x ? 0 ?? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ?（2）函数 f ( x ) 的图像略 （画图像关键点必须画准确，如顶点、端点、点的虚实，变化趋势等 9 分） 根据函数 f ( x ) 的图像可知， f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, 0), (0,1) ， 单调递减区间是 (??, ?1), (1, ??) ． （12 分） 考点：本题主要考查了一元二次不等式的应用，二次函数性质的运用。体现了分类讨论 的数学思想． 点评：解决该试题的关键是能结合不等式的解集得到参数的取值进而得到解析式，而对 于恒成立的问题，通常转化为最大值或者最小值问题来处理即可。 26．本小题满分 12 分) 解关于 x 的不等式 a x ? 5 ? a 4 x ?1 （ a ? 0 ，且 a ? 1 ）. 【答案】当 0 ? a ? 1 时，原不等式的解集为 x x ? 2 ； 当 a ? 1 时，原不等式的解集为 x x ? 2 【解析】 试题分析：当 0 ? a ? 1 时，函数 y ? a 在 R 上为减函数 .x??????2分 由ax ?5? a 4 x ?1 ，得 x ? 5 ? 4 x ? 1 ，即 x ? 2??5 分 ??7x 当 a ? 1 时，函数 y ? a 在 R 上为增函数 .分 由a 分 综上，当 0 ? a ? 1 时，原不等式的解集为 x x ? 2 ； 当 a ? 1 时，原不等式的解集为 x x ? 2 .x ?5? a 4 x ?1 得 x ? 5 ? 4 x ? 1 ，即 x ? 2.??10??????12 分考点：本小题主要考查指数函数的单调性和利用指数函数的单调性求解不等式，考查了 学生分类讨论思想的应用和运算求解能力. 点评：分类讨论要做到不重不漏，而且最后一定要有综上所述，把各种情况一一列举出 来，并写成集合点形式.试卷第 17 页，总 71 页27． （本小题 12 分）已知不等式 x 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 2或x ? 1} （1)求 b 和 c 的值； (2)求不等式 cx 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集.【答案】(1)b=-(2+1)=-3,c= 2 ? 1 ；(2) {x | 【解析】1 ? x ? 1} 。 2试题分析： （1）根据不等式的解集可知 x=2,1 是方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两根,从而根据 韦达定理可求出 b,c 的值. （2）在（1）的基础上可知此不等式对应的二次函数是开口向上的抛物线，不等式的解 应该取两零点之间的值. (1) 因为不等式 x 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 2或x ? 1} ，所以 x ? 2、x ? 1 是方程x 2 ? bx ? c ? 0 的两根，由 韦 b=-(2+1)=-3,c= 2 ? 1 6分 (2) 不 等 式 达 定 理 得 ： ................................化为：2 x 2 ? x ? 3?1 ，0 即( x? 2 x??1 ， )................................9 分 ( 1 ) 0 ....................1 ? x ? 1， 2............11 分 所 以 不 等 式 的解集为{x1 ?x? | 21}................................12 分考点：一元二次不等式的解法. 点评：解一元二次不等式要注意对应二次函数的开口方向，然后再根据不等式的符号， 决定是取对应二次方程根的两边值还是中间值.2 28． （8 分）已知关于 x 的一元二次不等式 ax ? 4x ? 3 ? 0 2 （1）当 a ? 1 时，求不等式 ax ? 4x ? 3 ? 0 的解集； （4 分） 2 （2）当 a 取什么值时，关于 x 的一元二次不等式 ax ? 4x ? 3 ? 0 对一切实数 x 都成立？ （4 分） 【答案】 （ 1 ） {x | x ? 1, 或 x ? 3} ； （ 2 ） a ? ( , ??) 时 ， 一 元 二 次 不 等 式4 3ax2 ? 4x ? 3 ? 0 对一切实数 x 都成立。【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的求解.2 （1）当 a=1 时，方程 x ? 4x ? 3 ? 0 的两根为 x 1 ? 1 ， x 2 ? 3 ，那么结合二次函数图像可知解集。试卷第 18 页，总 71 页（2）? 一元二次不等式 ax2 ? 4x ? 3 ? 0 对一切实数 x 都成立? ? ? (?4)2 ? 4 ? a ? 3 ? 0 ，解得 a ?解： （1）当 a ? 1 时，4 ，得到参数 a 的范围。 3------------3 分方程 x 2 ? 4x ? 3 ? 0 的两根为 x 1 ? 1 ， x 2 ? 3 由二次函数 y ? x 2 ? 4x ? 3 的图象得 不等式 x 2 ? 4x ? 3 ? 0 的解集是 {x | x ? 1, 或 x ? 3} （2）? 一元二次不等式 ax2 ? 4x ? 3 ? 0 对一切实数 x 都成立-----------5 分? ? ? (?4)2 ? 4 ? a ? 3 ? 0，解得a?4 3--------------------------------------7 分4 ? a ? ( ,?? ) 时，一元二次不等式 ax2 ? 4x ? 3 ? 0 对一切实数 x 都成立。 3分 29．(13 分)关于 x 的不等式 x2 ? (1 ? a) x ? a ? 0 . (1)当 a ? 2 时，求不等式的解集； (2)当 a ? R 时，解不等式. 【答案】(1) {x | x ? 2或x ? 1} (2) ①当 a ? 1 时,解集为 {x | x ? a或x ? 1} ，②当 a ? 1 ,解集为 {x | x ? 1} ③当 a ? 1 时,解集为 {x | x ? 1或x ? a} 【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的求解。2 （1）因为当 a=2 时，不等式为 x ? 3x ? 2 ? 0---8∴解集为 {x | x ? 2或x ? 1}（2）因为 x ? (1 ? a) x ? a ? 0 ? ( x ? a)( x ?1) ? 0 ，那么由于根的大小不定，需要对2根分类讨论得到结论。2 解:(1)当 a ? 2 时,不等式为 x ? 3x ? 2 ? 0∴解集为 {x | x ? 2或x ? 1}(2) x ? (1 ? a) x ? a ? 0 ? ( x ? a)( x ?1) ? 02①当 a ? 1 时,解集为 {x | x ? a或x ? 1} ②当 a ? 1 ,解集为 {x | x ? 1} ③当 a ? 1 时,解集为 {x | x ? 1或x ? a}2 30．(12 分)(1) 求不等式的解集： ? x ? 4 x ? 5 ? 0试卷第 19 页，总 71 页(2)求函数的定义域： y ?x ?1 ?5 x?2【答案】 （1） {x x ? ?1或x ? 5} ； (2) {x x ? ?2或x ? 1} . 【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的求解，以及分式不等式的求解的综合运 用。 （1）原不等式等价于 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ，然后先解方程的根，然后结合图像得到解集。? x ?1 ?0 x ?1 ? （2）要使函数 y ? ，那么解不等式组得到结论。 ? 5 有意义，则 ? x ? 2 x?2 ? ?x ? 2 ? 0解： （1）解：原不等式等价于 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ，令 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ，得 x ? ?1 或 x ? 5 所 以 原 不 等 式 的 解 为 x ? ?1 或 x ? 5 ， 即 原 不 等 式 的 解 集 为{x x ? ?1或x ? 5}┄┄┄┄┄┄┄6 分? x ?1 ?0 x ?1 ? ? 5 有意义，则 ? x ? 2 x?2 ? ?x ? 2 ? 0(2) 要使函数 y ?得 不 等 式 组 的 解 为 x ? ?2 或 x ? 1 ， 所 以 函 数 定 义 域 为{x x ? ?2或x ? 1}.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分31． （本小题满分 12 分） 已知集合 A ? {x |6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? m ? 0}. x ?1（Ⅰ）当 m =3 时，求 A （Ⅱ）若 A(?R B) ；B ? {x | ?1 ? x ? 4} ，求实数 m 的值．【答案】 （Ⅰ） ?R B ? {x | x ? ?1或x ? 3} ，? A ? (CR B) ? {x | 3 ? x ? 5} （Ⅱ）m 的值为 8． 【解析】由6 x?5 ? 1, 得 ? 0, ??1 ? x ? 5 ? A ? {x | ?1 ? x ? 5} ， x ?1 x ?1（Ⅰ）当 m=3 时， B ? {x | ?1 ? x ? 3} ，则 ?R B ? {x | x ? ?1或x ? 3}? A ? (CR B) ? {x | 3 ? x ? 5}（Ⅱ）? A ? {x | ?1 ? x ? 5}, A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4},? 有4 2 ? 2 ? 4 ? m ? 0, 解得m ? 8 ，此时 B ? {x | ?2 ? x ? 4} ，符合题意，故实数 m 的值为 8．试卷第 20 页，总 71 页32．关于 x 的不等式 kx ? 6kx ? k ? 8 ? 0 的解集为空集，求实数 k 的取值范围.2【 答 案 】 ?0,1? 【 解 析 】 根 据 k=0 和 k ? 0 两 种 情 况 进 行 讨 论 ， 当 k=0 时 ， 显 然 满 足 题 意 . 当 k ? 0时，说明此二次不等式对应的二次函数的开口方向向上，并且图 像 x 轴 最 多 有 一 个 公 共 点 ，所 以 ??k ? 02 ?? ? (6k ) ? 4 ? k (8 ? k ) ? 0,解 后 解 出 k 的值，最后结合两种情况最终可得 k 的取值范围. 解 ： (1)当 k ? 0 时，原不等式化为 8&0，显然符合题意. (2)当 k ? 0 时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足：?k ? 0 ? 2 ?? ? (6k ) ? 4 ? k (8 ? k ) ? 0解得 0 ? k ? 1 综合(1)(2)得 k 的取值范围为 ?0,1? . 33． （本小题满分 12 分）已知集合 A={xOx2-3(a+1)x+2(3a+1)&0},B= ? x （1）当 a=2 时，求 A∩ B； （2）求使 B A 的实数 a 的取值范围. 【答案】 （1） A?? x - 2a &0 ?, 2 ? x - (a +1) ?B ? (4,5) ； （2） [1，3]∪{-1}.【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的求解，以及集合的交集和集合间关系的 运用。 （1）根据已知条件先分析当 a=2 时，A=（2，7）B=（4，5） 得到结论。 （2）∵B=（2a,a2+1）那么根据 B ? A ，需要对于参数 a 进行分类讨论得到结论。 解： （1）当 a=2 时，A=（2，7）B=（4，5） ∴AB ? (4,5)…………4 分 …………5 分（2）∵B=（2a,a2+1）, ①当 a&1 时，A=（3a+1,2） 3要使 B ? A 必须a? 1 ? 2a ? 3 此时a ? ?1, ? 2 ? a ?1 ? 2…………7 分② 当a ? 时A ? ?, 使B ? A的a不存在.1 3…………9 分③a&1 时，A=（2，3a+1）要使 B ? A ， 3试卷第 21 页，总 71 页必须 ?2a ? 2 此时1 ? a ? 3 . ?a ? 1 ? 3a ? 1 ?2…………11 分综上可知，使 B ? A 的实数 a 的范围为[1，3]∪{-1}. …………12 分 34．解关于 x 的不等式： (ax ? 2)( x ? 2) ? 0 【答案】当 a ? 1 ? 2 ?2 ? 2 ? ? ? x | ? x ? 2? ； a ? a ?当 0 ? a ?1? 2 ?2? 2 ? ? ?x | 2 ? x ? ? ， a? a ?当 a ? 0 ? ( ?ax ? 2)( x ? 2) ? 0 ? ? x | x ?? ?2 ? 或x ? 2? a ?a ? 0 ? x ? 2; a ? 1 ? x ? ?【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的求解的分类讨论思想的运用。 根据已知条件，那么对于开口方向和根的大小两个角度同时讨论得到结论。 解： (ax ? 2)( x ? 2) ? 02?2 2(a ? 1) ? a a 2 ? a? 2 ? ? x | ? x ? 2? ； a ? ?当 a ?1? 2 ?当 0 ? a ?1? 2 ?2? 2 ? ? ?x | 2 ? x ? ? ， a? a ?当 a ? 0 ? ( ?ax ? 2)( x ? 2) ? 0 ? ? x | x ?? ?2 ? 或x ? 2? a ?a ? 0 ? x ? 2; a ? 1 ? x ? ?35．解不等式 （1）已知关于 x 的不等式(a＋b)x＋(2a－3b)&0 的解集为 ?x/x＜- ? ，求关于 x 的不等 式(a－3b)x＋(b－2a)&0 的解集． （2） ? 4 ? ?? ?1? 3?1 2 3 x ? x ? ? ?2 2 2【答案】 （1）{x|x&－3}． （2）? x ? (? 6 ?1, ? 2 ?1)( 2 ?1, 6 ?1)【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的求解问题，以及解集的逆用。 （1）根据不等式的解集。知道方程的两个根，运用韦达定理得到参数的值，进而求解。 （2）该试题是不等式组，然后分别求解一元二次不等式，求解交集得到结论。 解:（1）∵(a＋b)x＋(2a－3b)&0 的解集为 ?x/x＜- ? ，∴ 于是 a＝2b&0，b&0，不等式(a－3b)x＋(b－2a)&0，试卷第 22 页，总 71 页? ?1? 3?即为－bx－3b&0，亦即－bx&3b，∴x&－3. 故所求不等式的解集为{x|x&－3}．3 ?1 2 x ?x? ? 4 ? ? x2 ? 2 x ?1 ? 0 1 2 3 ?2 ? 2 （2） 2 ? x ? x ? ? 4, ? ,? 2 2 2 ?x ? 2x ? 5 ? 0 ? 1 x2 ? x ? 3 ? 2 ? ? ?2 2? 或x ? ? 2 ? 1 ?x ? 2 ? 1 , ? ? 1 ? ?? 6 ? 1? x ? 6? x ? (? 6 ?1, ? 2 ?1) ( 2 ?1, 6 ?1)36． (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? (lg a ? 2) x ? lg b 满足 f (?1) ? ?2 , 且对于 任意 x ? R ,恒有 f ( x) ? 2 x 成立.(1)求实数 a , b 的值; (2)解不等式 f ( x) ? x ? 5 . 【 答 案 】 (1) b ? 10 , a ? 100 ． (2){x | ?4 ? x ? 1} ．【解析】 （1）由 f（-1）=-2，代入函数解析式得到关于 lga 与 lgb 的等式记作①，化 简后得到关于 a 与 b 的等式记作②，又因为 f（x）≥2x 恒成立，把 f（x）的解析式代 入后，令△≤0 得到关于 lga 与 lgb 的不等式，把①代入后得到关于 lgb 的不等式，根 据平方大于等于 0，即可求出 b 的值，把 b 的值代入②即可求出 a 的值； （2）由（1）求出的 a 与 b 的值代入 f（x）的解析式中即可确定出 f（x）的解析式， 然后把 f（x）的解析式代入到 f（x）＜x+5 中，得到关于 x 的一元二次不等式，求出 一元二次不等式的解集即可． 解：(1) 由 f (?1) ? ?2, 知 lg b ? lg a ? 1 ? 0, ∴2a ? 10. b又 f ( x) ? 2 x 恒成立, 所以 x ? x ? lg a ? lg b ? 0 恒成立, 故 ? ? (lg a) ? 4 lg b ? 0 ．2将a ? 10 代 入 得 : (lg b)2 ? 2lg b ? 1 ? 0 , 即 b(lgb ? 1) 2 ? 0, 即 lg b ? 1．故 b ? 10 , 所以 a ? 100 ．(2) 因为 f ( x) ? x ? 4 x ? 1,2 2 ∴ x ? 3x ? 4 ? 0, 所以 ? 4 ? x ? 1 ,所以 f ( x) ? x ? 5, 即 x ? 4 x ? 1 ? x ? 5,2∴不等式的解集为 {x | ?4 ? x ? 1} ．237．已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A，不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 B.求 A∩B；2【答案】 （-1，2） 【解析】 本试题主要是考查了一元二次不等式的求解， 以及集合的交集运算的综合运用。 首先分析集合 A,B，然后利用数轴标根法表示两个集合，得到交集。2 解：由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ，所以 A=（-1，3） ??4 分试卷第 23 页，总 71 页2 由 x ? x ? 6 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 ，所以 B=（-3，2） ，??8 分∴A∩B=（-1，2）??10 分38．设关于 x 的不等式 x( x ? a ? 1) ? 0(a ? R) 的解集为 M ，不等式x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 N .（Ⅰ）当 a ? 1 时,求集合 M ； （Ⅱ）若 M ? N ,求实数 a 的取值范围. 【答案】 （Ⅰ） M ? {x | 0 ? x ? 2} （Ⅱ） [?2, 2] 【解析】本试题主要是考查了结合的运算，以及不等式的求解的综合运用。 （1）当 a=1 时，可知 x 的不等式的解集，然后得到集合 M (2)由已知可知集合 N，然后根据集合间的包含关系可知道，参数 a 的范围。 解：(Ⅰ)当 a ? 1 时, 由已知得 x( x ? 2) ? 0 . 所以 M ? {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ) 由已知得 N ? x ?1 ? x ? 3 . ①当 a ? ?1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ，所以 M ? {x | a ? 1 ? x ? 0} . 因为 M ? N ，所以 ?1 ? a ? 1 ? 0 ，解得 ?2 ? a ? ?1 ②若 a ? ?1 时, M ? ? ，显然有 M ? N ，所以 a ? ?1 成立 ③若 a ? ?1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ，所以 M ? {x | 0 ? x ? a ? 1} . ??9 分 解得 0 ? x ? 2 . ??4 分????6 分又 N ? x ?1 ? x ? 3 ，因为 M ? N ，所以 0 ? a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 ?11 分 综上所述, a 的取值范围是 [?2, 2] .2???12 分39．已知 f ( x) ? 2 x ? bx ? c ，不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ? 0,5? ， (Ⅰ) 求 f ( x) 的解析式； (Ⅱ) 若对于任意 x ?[?1,1] ，不等式 f ( x) ? t ? 2 恒成立，求 t 的取值范围． 【答案】(Ⅰ) f ( x) ? 2 x ?10 x2(Ⅱ) t ? ?10【解析】本题重点考查函数的解析式，考查恒成立问题，解题的关键是利用好不等式的 解集与方程解之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决． （1）根据不等式的解集与方程解之间的关系可知 2x2+bx+c=0 的两根为 0，5，从而可求 b、c 的值，进而可求 f（x）的解析式； （2）要使对于任意 x∈[-1，1]，不等式 f（x）+t≤2 恒成立，只需 f（x）max≤2-t 即可， 从而可求 t 的范围． 40．已知不等式 x2－2x－3＜0 的解集为 A，不等式 x2＋4x－5＜0 的解集为 B． (1)求 A∪B； (2)若不等式 x2＋ax＋b＜0 的解集是 A∪B，求 ax2＋x＋b ? 0 的解集． 【 答 案 】 (1) A∪B＝{x|－5＜x＜3} (2) {x|x ?5 或 x ? －3}． 2试卷第 24 页，总 71 页【解析】 （１）解二次不等式分别求出Ａ，Ｂ然后根据并集的定义求出由两个集合所有 元素组成的集合即是这两个集合的并集，在写集合时，要注意集合元素的互异性． （２）由 A∪B＝{x|－5＜x＜3}知-5,3 是方程 x ? ax ? b ? 0 的两个根，从而利用韦达定2理可求出 a,b 的值，再解关于 x 的二次不等式 ax2＋x＋b ? 0 即可． 解 ： (1)解不等式 x2－2x－3＜0，得 A＝{x|－1＜x＜3}．???2 分 2 解不等式 x ＋4x－5＜0，得 B＝{x|－5＜x＜1}， ????4 分 ∴A∪B＝{x|－5＜x＜3}． ?????????????6 分 2 (2)由 x ＋ax＋b＜0 的解集是(－5,3)，25?5 a ?b ?0 a ?2 ∴ {9 ?3a ?b ?0 ，解得 {b ??15??????9 分∴2x2＋x－15 ? 0， 得解集为{x|x ?5 或 x ? －3}． ??????12 分 241． （ （本题满分 14 分）某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与车库到车站的距离成 反比，而每月库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距车站 10 公里处建仓 库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库 应建在离车站多少公里处? 【答案】解：设 x 为仓库与车站距离 由已知 y1=20 ；y2=0.8x x20 20 ≥2 0.8 x ? =8 x x费用之和 y=y1+y2=0.8x+当且仅当 0.8x= 答：5 公里处 【解析】略20 即 x=5 时“=”成立 x1 1 ?b? b a 1 1 1 1 a ? ? (b ? ) ? (a ? b) ? ( ? ) 【答案】证明： b a b a42．本题满分 12 分）已知 a ? b ? 0 求证： a ?∵a ? b ? 0a?b ab 1 ) = (a ? b)(1 ? ab 1 ∴ (a ? b) &0 , 1 ? &0 ab= ( a ? b) ?(a ? b)(1 ?1 1 1 ) &0 ∴ a ? ? b ? ab b a【解析】略 43．求证： 3(1 ?a2? a ) ? (1? a ? a 2) 。42【答案】用分析法可证。 【解析】略试卷第 25 页，总 71 页x 2 y 2 ?x ? y ? 44． （1）已知 a, b ? R , x, y ? R ，求证： ； ? ? a b a?b?2（2）已知实数 x, y 满足： 2 x 2 ? y 2 ? 1，试利用（1）求 【 答 案 】 （ 12 1 ? 2 的最小值。 2 x y） 证 ：? x2 y2 ? bx2 ay 2 2 2 2 2 2 ?a ? b?? ? a ? b ? ? ? x ? y ? a ? b ? x ? y ? 2 xy ? ?x ? y ? ? ? ?x 2 y 2 ?x ? y ? x y （当且仅当 时，取等号） ； ? ? ? a b a?b a b2（2） 解：?2 ? 1?2 ? 9 ，当且仅当 x 2 ? y 2 ? 1 时， 2 ? 1 2 1 22 12 ? ? ? ? 3 x2 y2 x 2 y 2 2x 2 y 2 2x 2 ? y 2的最小值是 9。 【解析】略 45．.（本小题满分 10 分）?x ? 1 ? 记不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域为 M. ?x ? y ? 1 ? 0 ?（Ⅰ）画出平面区域 M，并求平面区域 M 的面积；（ a， b） （Ⅱ）若点 为平面区域 M 中任意一点，求直线 y ? ax ? b 的图象经过一、二、四象限的概率.y1 ?1 O?x【答案】 解： （Ⅰ） 如图， △ABC 的内部及其各条边就表示平面区域Ｍ， 其中 A（? ， ） 、3 1 2 2? 2） B（1,3） 、 C（1， ，∴平面区域 M 的面积为 ?（3 分）1 5 25 （5 分） ?5? 2 2 4 （ Ⅱ ） 要 使 直 线 y ? ax ? b 的 图 象 经 过 一 、 二 、 四 象 限 ， 则 a ? 0，b ? 0 ，（6 分）（ a， b） （ a， b） 又点 的区域为 M， 故使直线 y ? ax ? b 的图象经过一、 二、 四象限的点 的试卷第 26 页，总 71 页区域为第二象限的阴影部分 故所求的概率为 P ?（8 分）2?1 1 ? ?1 7 2 2 ? 25 25 4（10分） 【解析】略 46． （本小题 13 分）某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为 8 m ，最大 装水量为 72 m ，池底和池壁的造价分别为 2 a 元 / m 、 a 元 / m ，怎样设计水池底的 另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？ 【答案】解：设池底一边长为 x ，水池的高为 y ，池底、池壁造价分别为 z1 , z2 ，则总 造价为32 2z ? z1 ? z2由最大装水量知 8 xy ? 72 ，? y ??????????2 分9 x?????????3 分? z1 ? 2a ? 8x ? 16ax?????????5 分z2 ? 2 ? a ? xy ? 2 ? a ? 8 y ? 18a ?144a x?????????7 分144 ? ? ? z ? 18a ? a ?16 x ? ? x ? ?x?0? 18a ? 2a 16 x ?当且仅当 16 x ?144 ? 18a ? 96a ? 114a x?????????10 分144 9 即 x ? 3, y ? ? 3 时，总造价最低， zmin ? 114a ????12 分 x x 答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为 3m 时，总造价最低，最低造价为 51a元。 【解析】略 47． （本题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? ?????????13 分x2 (a, b 为常数） ，且方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 有两实根 3 和 4 ax ? b（1） 求函数 f ( x) 的解析式； （2） 设k ? 1， 解关于 x 的不等式： f ( x ) ?(k ? 1) x ? k 2? x【答案】解： （1）即方程x2 ? x ? 12 ? 0 有两根 3 和 4， ax ? b试卷第 27 页，总 71 页? 9 ?9 ? 0 ? ? 3a ? b 所以 ? ? 16 ? 8 ? 0 ? ? 4a ? b所以 f ( x) ?得 ??a ? ?1 ?b ? 2x2 2? x（2）即x2 (k ? 1) x ? k ? 整理的 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0 2? x 2? x1. 1 ? k ? 2 时，不等式的解集 {x | 1 ? x ? k或x ? 2} 2. k ? 2 时，不等式的解集 {x | 1 ? x ? 2或x ? 2} 3.k ? 2 时，不等式的解集 {x | 1 ? x ? 2或x ? k}【解析】略? y ? x, ? 48．已知 z ? 2 x ? y ，使式中的 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?（1）作出可行域； （2）求 z 的最大值．【答案】作出可行域 【解析】略Z m a x? 349．(本小题 12 分)设 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2 （1）求 a ? b 的最大值； （2）求 【答案】 （1）2 8 ? 最小值。 a ba ? b ? 2 ab ? ab ? 1当且仅当a ? b ? 1时取 ? (ab) max ? 1 2 8 1 4 b 4a (2) ? ? ( a ? b)( ? ) ? 5 ? ( ? ) ? 9 a b a b a b ? b 4a 2 4 ? ? 当且仅当 ? a b 即a ? , b ? 时bc时取 3 3 ? ?a ? b ? 2 2 8 ? ( ? ) min ? 9 a b【解析】略 50． （本题满分 14 分） （1）a &0,b&0,若 3 为 3 与 3 的等比中项，求a b1 1 ? 的最小值 a b试卷第 28 页，总 71 页（2）已知 x＞2,求 f(x)=1 ? x 的值域. x?2【答案】 （1）∵ 3 a ? 3b ? 3 ∴ a+b=1 a0 则 b01 1 a?b a?b b a ? ? ? =2+ ? ≥4 a b a b a b 1 1 ∴ ? 的最小值为 4 a b（2）∵x＞2 ∴x-2＞0 ∴f(x)=1 1 ?x= ? x -2+2≥4 x?2 x?2∴f(x)的值域?f (x) f (x) ? 4?【解析】略 51．设函数 f(x)＝ax＋2， 不等式|f(x)|&6 的解集为(－1,2)， x 试求不等式f(x)≤1 的解集． 【答案】∵|ax＋2|&6，∴(ax＋2)2&36， 即 a2x2＋4ax－32&0，?－ a ＝(－1)＋2 由题设可得? 32 ?－ a ＝(－1)×22 24a，解得：a＝－4.x ∴f(x)＝－4x＋2，由 ≤1 f(x) 即 5x－2 x ≤1 变形得： ≥0，它等价于(5x－2)(4x－2)≥0，且 4x－2≠0，解得： －4x＋2 4x－21 2 x& 或 x≤ . 2 5 2 ? ?? 1 ∴原不等式的解集为?x x&2或x≤5 ?. ? ? ? 【解析】略 52． （本题满分 10 分）4-5（不等试证明） 已知 f ( x) ?| x ? 3 | ?2, g ( x) ? 4? | x ? 1| . （Ⅰ）若 f ( x) ? g ( x), 求x 的取值范围； （Ⅱ）若不等式 f ( x) ? g ( x) ? a ? 3a 的解集为 R，求实数 a 的取值范围。2【答案】试卷第 29 页，总 71 页【解析】略 53． （1）求证： a ? b2?2??c2? d 2 ? ?ac ? bd ??2（2）求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值. 【答案】5 【解析】略 54． ． 四、附加题（本题 10 分，记入总分）1 1 1 ? ? 23.若 0 ? a, b, c ? 1 ，且 满足 ab ? bc ? ca ? 1 ，求 1 ? a 1 ? b 1 ? c 的最小值.【答案】略 【解析】略 55． 附加题（共 3 个小题每个小题 5 分）1、已知 x＞y＞0 且 xy=1，x2 ? y2 x? y的最小值是_____________2、已知点 A（-3，5） ，B（0，3）试在直线 y=x+1 上找一点 P 使|PA |+|PB|最小求出最 小值是 3、数列?an ?中， a1? 1 ， 2an?1 ? 2an ? 3 ，则通项 an ?；【答案】【解析】略 56． （本题满分 12 分）试卷第 30 页，总 71 页某工厂年初用 98 万元购买一台新设备,第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的 低劣化）的总费用 12 万元，以后每年都增加 4 万元,新设备每年可给工厂收益 50 万元． （Ⅰ）工厂第几年开始获利? （Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均获利最大时,以 26 万元出 售该设备；②总纯收入获利最大时，以 8 万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算?【答案】解： （Ⅰ）由题设每年费用是以 12 为首项，4 为公差的等差数列， 设第 n 年时累计的纯收入为 f (n) ． ∴ f (n) ? 50n ? [12 ? 16 ?? 40n ? 2n2 ? 982 2 获利即为： f (n) ? 0 ∴ 4n ? 2n ? 98 ? 0 ? n ? 20n ? 49 ? 0? (4n ? 8)] ? 98?????3 分? 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 又 n ? N∴ n ? 3, 4, 5,,17 ．∴当 n ? 3 时，即第 3 年开始获利??????6 分（Ⅱ）①年平均收入f ( n) 49 49 ? 40 ? 2(n ? ) ? 40 ? 4 n ? ? 12 n n n （万元）即年平均收益最大时．总收益为： 12 ? 7 ? 26 ? 110 （万元） 此时 n ? 72 ② f (n) ? ?2(n ? 10) ? 102∴当 n ? 10 时， f (n)max ? 102 ?????10 分总收益为 102 ? 8 ? 110 万元，此时 n ? 10比较两种方案，总收益均为 110 万元．但第一种方案需 7 年，第二种方案需 10 年， 故选择第一种方案． ?????12 分 【解析】略 57．(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三边长为 a、b、c，且其中任意两边长均不相等.若 1 , 1 , 1 成等差数a b c列. (1)比较 b 与 c 的大小，并证明你的结论;a b(2)求证 B 不可能是钝角. 【答案】解:(1)b c ? ,证明如下: a b试卷第 31 页，总 71 页【解析】略 58． （本小题满分 12 分） 已知 a ? 0, b ? 0 ，求证： 【答案】 证明：a b ? ? a? b． b aa ? 0, b ? 0要证a b ? ? a ? b 成立 4 分 b a a b 2 ? ) ? ( a ? b ) 2 成立 b a4分只需证 (a 2 b2 ? ? 2 ab ? a ? b ? 2 ab 只需证 b a只需证6分a 3 ? b3 ? a?b ab2 2只需证 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? ab(a ? b) 只需证8分a 2 ? 2ab ? b2 ? 02只需证 (a ? b) ? 02???10 分而 (a ? b) ? 0 显然成立，则原不等式得证．????12 分【解析】略 59． （本小题满分 10 分）试卷第 32 页，总 71 页已知 x2 ? 3 y 2 ? 4z 2 ? 2, 求证 :| x ? 3 y ? 4z |? 4. 【答案】【解析】略 60． （1）解方程:lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ; （2）解不等式: 21? 2 x?1 ; 4【答案】【解析】略 61． （12 分） 已知 a、b、c 都是正实数，且 ab+bc+ca=1 求证：a +b+c ? 【答案】略 【解析】略2 2 mx ? ny 的范围。 62．12 分）已知 x ? y ? 4 ， m ? n ? 9 ，求322【答案】??6,6?【解析】略 63． （本小题满分 8 分）A、B 两城相距 100km，在两地之间距 A 城 xkm 处 D 地建一核 电站给 A、B 两城供电，为保证城市安全.核电站距市距离不得少于 10km.已知供电费用 与供电距离的平方和供电量之积成正比， 比例系数 ? ? 0.25 .若 A 城供电量为 20 亿度/月， B 城为 10 亿度/月. （Ⅰ）把月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求定义域； （Ⅱ）核电站建在距 A 城多远，才能使供电费用最小. 【答案】（Ⅰ）y=5x2+ 才能使供电费用最小 【解析】解： （Ⅰ）y=5x2+5 100 (100―x)2（10≤x≤90） ； （Ⅱ）当核电站建在距 A 城 米时， 2 3 5 (100―x)2（10≤x≤90） ；??????????5 分 2 50000 ? 100 ? ?x? ? ＋ 3 . 3 ? ?2（Ⅱ）由 y=5x2+5 15 15 (100―x)2＝ x2－500x+25000＝ 2 2 2试卷第 33 页，总 71 页100 米时，y 最小. 3 100 故当核电站建在距 A 城 米时，才能使供电费用最小. ???????????8 分 3则当 x＝ 64． （本题满分 12 分）某商场预计全年分批购入每台价值为 2 000 元的电视机共 3 600 台.每批都购入 x 台（x∈N*） ，且每批均需付运费 400 元.贮存购入的电视机全年所付保 管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入 400 台，则全年需用 去运输和保管总费用 43 600 元.现在全年只有 24 000 元资金用于支付这笔费用，请问能 否恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论，并说明理由. 【答案】只要安排每批进货 120 台，便可使资金够用 【解析】 依题意，当每批购入 x 台时，全年需用保管费 S=2 000x?k. 000x?k. x 1 ∵x=400 时，y=43 600，代入上式得 k= ， 20∴全年需用去运输和保管总费用为 y= ∴y=1440000 ? 100x 0x≥ 2 =24 000. x x0x，即 x=120 台时，y 取最小值 24 000 元. x当且仅当∴只要安排每批进货 120 台，便可使资金够用.2 2 2 65． 已知 a, b, c ? R , ab ? 1 ， a ? b ? c ? 9 ，求 a ? b ? c 的最大值【答案】 222 1 ? bc ? ac) 【解析】 (a ? b ? c) = a ? b ? c + 2(ab ? bc ? ac) = 9 ? （22 2 2即 (a ? b ? c) = 11? 2(a ? b)c2所以只需求 (a ? b)c 的最大值[(a ? b)c]2 ? (a ? b) 2 c 2 ? (a 2 ? b 2 ? 2ab)c 2? (a 2 ? b 2 ? 2)c 2 ? (即 (a ? b)c ?a 2 ? b 2 ? 2 ? c 2 2 11 2 ) =( ) 2 211 ， 2 11 = 22 2(a ? b ? c) 2 = 11? 2(a ? b)c ? 11 ? 2 ?所以 a ? b ? c ?22 ，即 a ? b ? c 的最大值为 2266．已知 xy ? 1 ，求 【答案】11 1 ? 4 的最小值 4 x 4y试卷第 34 页，总 71 页【解析】1 1 ( xy) 4 ( xy) 4 x 4 y 4 x 4 y 4 x4 4 ? ? ? ? ? ? y ? x4 4y4 4 x4 4y4 x4 4y4所以4 1 1 1 x4 4 x 4 ? ? y ? ? 2 y ? 2 ( xy) 4 ? 1 4 4 4 4 4 x y所以1 1 ? 4 最小值为1 4 x y67．已知实数 a, b, c 满足 b ? 4 ? a ， ab ? 4 ? c ，求 a ? b ? c 的值 【答案】8 【解析】由已知 a . b ? 4 ? c ，即 a.(4 ? a ) ? 4 ? c 展开移项得： a ? 4 a ? 4 ? c ? 0 ，配方得 ( a ? 2) ? c ? 022所以 a ? 2 ? 0 ，且 c ? 0 ，所以 a ? 2 ，从而 b ? 2 ， c ? 0 所以 a ? 4, b ? 4, c ? 0 ，所以 a ? b ? c ? 8 68．已知关于 x 的不等式ax ? 5 ? 0 的解集为 M 。 x2 ? a （1）当 a ? 4 时，求集合 M ； （2）若 3 ? M且5 ? M ，求实数 a 的取值范围。【答案】 （1） M ? ?? ?,?2? ? ? ,2 ? （2） a ? ?1, ? ? ?9,25? 【解析】 （1） a ? 4 时，不等式为?5 ?4? ?? 5? ? 3?4x ? 5 ? 0 ，解之，得 x2 ? 4?5 ? M ? ?? ?,?2? ? ? ,2 ? …………………………………………. 4’ ?4 ?? 3a ? 5 ?0 ? ?3 ? M ? 9?a ?? （2） a ? 25 时， ? ?5 ? M ? 5a ? 5 ? 0 ? ? 25 ? a5 ? ?a ? 9ora ? 3 ? ? ?1 ? a ? 25? 5? ? a ? ?1, ? ? ?9,25? ……………………………………….……… 5’ ? 3?a ? 25 时，不等式为则 3 ? M且5 ? M ，25 x ? 5 ? 0 ， 解之，得 x 2 ? 25?1 ? M ? ?? ?,?5? ? ? ,5 ? ， ?5 ?∴ a ? 25 满足条件………………….…………..2’综上，得 a ? ?1, ? ? ?9,25? 。……………….….…………….1’? 5? ? 3?试卷第 35 页，总 71 页69．函数 f(x)=x (a，b 是非零实常数)，满足 f(2)=1，且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax ? b(1)求 a、b 的值； (2)是否存在实常数 m，使得对定义域中任意的 x，f(x)+f(mCx)=4 恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点 A(C3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。 【答案】 （1）1；1 （2） ? 4 （3）3 2 x =x 的解， ax ? b【解析】(1)由 f(2)=1 得 2a+b=2，又 x=0 一定是方程 所以1 =1 无解或有解为 0，若无解，则 ax+b=1 无解，得 a=0，矛盾，若有解为 0， ax ? b 1 则 b=1，所以 a= 。 2 2x (2)f(x)= ，设存在常数 m，使得对定义域中任意的 x，f(x)+f(mCx)=4 恒成立， x?2 2m 取 x=0，则 f(0)+f(mC0)=4，即 =4，m= C4(必要性)， m?2 2x 2(?4 ? x) ? 又 m= C4 时，f(x)+f(C4Cx)= =??=4 成立(充分性) ，所以存在常数 x?2 ?4? x?2m= C4，使得对定义域中任意的 x，f(x)+f(mCx)=4 恒成立，x?2 2 ) ，设 x+2=t，t≠0， x?2 t?4 2 2 8 16 16 4 4 4 则|AP|2=(t+1)2+( ) =t +2t+2C + 2 =(t2+ 2 )+2(tC )+2=(tC )2+2(tC )+10 t t t t t t t(3)|AP|2=(x+3)2+( =( tC4 2 4 ? 1 ? 17 ? 5 ? 17 +1) +9， 所以当 tC +1=0 时即 t= ，也就是 x= 时，|AP| min = 3 。 t t 2 270．解关于 x 的不等式|2x+m|&x－m(x∈R). 本题考查含有绝对值不等式的解法.解题关键是对 m 进行分类讨论. 【答案】当 m&0 时,－2m&0,此时原不等式的解集为{x|0&x&－2m}； 当 m≥0 时,－2m≤0,原不等式的解集为 ? . 【解析】∵|2x+m|&x－m, ∴m－x&2x+m&x－m. ∴0&x&－2m. ∴当 m&0 时,－2m&0,此时原不等式的解集为{x|0&x&－2m}； 当 m≥0 时,－2m≤0,原不等式的解集为 ? . 71．已知椭圆x2 y 2 3 ? 12 ? + 2 ＝1(a&b&0)的离心率为 ，且过点 P ? 4, ? ，A 为上顶点，F 为 2 5 a b ? 5?右焦点．点 Q(0，t)是线段 OA(除端点外)上的一个动点，过 Q 作平行于 x 轴的直线交直线 AP 于点 M，以 QM 为直径的圆的圆心为 N.试卷第 36 页，总 71 页(1)求椭圆方程； (2)若圆 N 与 x 轴相切，求圆 N 的方程； (3)设点 R 为圆 N 上的动点，点 R 到直线 PF 的最大距离为 d，求 d 的取值范围． 【答案】 （1）x2 y 2 400 ? 7 89 ? ? 20 ? ? 20 ? + ＝1（2） ? x- ? ＋? y- ? ＝ （3） ? ， ? 25 16 9 ? ? 9 ? 81 ? 2 13 ? ?3 不妨设 c ＝ 3k ， a ＝ 5k ，则 b ＝ 4k ，其中 k&0 ，故椭圆方程为 5222【解析】(1)∵e＝? 12 ? ? ? 2 2 2 4 x y ? 12 ? ? 5 ? ＝1 解得 k＝1，∴ ＋ + ＝ 1(a&b&0) ，∵ P 在椭圆上，∴ 4, ? ? 2 2 2 25k 16k 25k 16k 2 ? 5?x2 y 2 + ＝1. 椭圆方程为 25 1612 -4 2 2 5 (2)kAP＝ ＝- ,则直线 AP 的方程为 y＝－ x＋4， 5 4 5令 y＝t ? 0 ? t ? 4? ，则 x＝ ∵圆 N 与 x 轴相切，∴（ 5 4－t） ? （ 5 4－t） ? 5 4－t） ? ?（ ∴M ? , t ? .∵Q(0，t)∴N ? ,t ?， 4 ? 4 ? ? 4 ?（ 5 4－t） （ 5 4－t） ＝t，由题意 M 为第一象限的点，则 ＝t，解得 4 42 2t＝20 400 ? 20 20 ? ? 20 ? ? 20 ? .∴N ? . , ? ，圆 N 的方程为 ? x- ? ＋? y- ? ＝ 9 9 ? ? 9 ? 81 ? 9 9 ? ? 12 12 ，∴直线 PF 的方程为 y＝ (x－3)即 12x－5y－36＝0， 5 5(3)F(3，0)，kPF＝∴点 N 到直线 PF 的距离为15 （4－t）-5t -36 24－20t 4 ＝ ＝ 6－5t ， 13 13 134 5 6－5t ＋ (4－t)，∵0&t&4， 13 4 6 4 5 164-145t 7 89 ∴当 0&t≤ 时，d＝ (6－5t)＋ (4－t)＝ ，此时 ≤d& ， 5 13 4 52 2 13 6 4 5 164＋15t 7 56 当 &t&4 时，d＝ (5t－6)＋ (4－t)＝ ，此时 &d& ， 5 13 4 52 2 13∴d＝ ∴综上，d 的取值范围为 ? ， ? .? 7 89 ? ? 2 13 ?72．已知椭圆x2 y 2 2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，短轴的一个端点为 M(0，1)，直 2 a b 21 与椭圆相交于不同的两点 A、B. 3线 l：y＝kx－(1)若 AB＝4 26 ，求 k 的值； 9试卷第 37 页，总 71 页(2)求证：不论 k 取何值，以 AB 为直径的圆恒过点 M. 【答案】 （1）k＝±1.（2）见解析 【解析】(1)解：由题意知c 2 2 2 2 ＝ ，b＝1.由 a ＝b ＋c 可得 c＝b＝1，a＝ 2 ， a 21 ? y＝kx－ ， ? x 4 16 ? 3 2 2 2 ∴椭圆的方程为 ＋y ＝1.由 ? 2 得(2k ＋1)x － kx－ ＝0. 3 9 2 ? x ＋y 2＝1 ? ?22Δ＝16 2 64 ? 16 ? 2 2 k －4(2k ＋1)× ? ? ? ＝16k ＋ ＞0 恒成立， 9 9 ? 9? 4k 16 ，x1x2＝－ . 2 （ 3 2k +1 ） （ 9 2k 2 +1 ）2设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝4（ 1+k 2 )(9k 2 +4） 4 26 ∴ AB＝ 1+k ? |x1－x2|＝ 1+k ? （x1＋x2）-4 x1 x2＝ ， ＝ （ 3 2k 2 +1 ） 922化简得 23k －13k －10＝0，即(k －1)(23k ＋10)＝0，解得 k＝±1. (2)证明：∵ MA ＝(x1，y1－1)， MB ＝(x2，y2－1)，422216 （ 1+k 2） 4 16 ∴ MA ? MB ＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k )x1x2－ k(x1＋x2)＋ ＝－ － 3 9 （ 9 2k 2 +1 ）216k 2 16 ＋ ＝0.∴不论 k 取何值，以 AB 为直径的圆恒过点 M. 2 （ 9 2k +1 ） 973．如图，设 E：x2 y 2 + ＝1(a＞b＞0)的焦点为 F1 与 F2，且 P∈E，∠F1PF2＝2θ .求证： a 2 b22△PF1F2 的面积 S＝b tanθ .【答案】见解析 【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 S＝21 r1r2sin2θ .又|F1F2|＝2c， 22 22 2 由余弦定理有 (2c) ＝ r 1 ＋r 2 － 2r1r2cos2 θ ＝ (r1 ＋ r2) － 2r1r2 － 2r1r2cos2 θ ＝ (2a) －2r1r2(1＋cos2θ )，于是 2r1r2(1＋cos2θ )＝4a －4c ＝4b . 所以 r1r2＝2222b 2 1 2b 2 ? cos? 2 2 sin 2 .这样即有 S＝ ? sin2θ ＝b ＝b tanθ . 2 2cos ? 2 1＋cos 2? 1＋cos 2?试卷第 38 页，总 71 页x2 2 74．如图，已知椭圆 C 的方程为 ＋y ＝1，A、B 是四条直线 x＝±2，y＝±1 所围成 4的矩形的两个顶点．(1)设 P 是椭圆 C 上任意一点，若 OP ＝m OA ＋n OB ，求证：动点 Q(m，n)在定圆上运 动，并求出定圆的方程； (2)若 M、N 是椭圆 C 上两个动点，且直线 OM、ON 的斜率之积等于直线 OA、OB 的斜率之 积，试探求△OMN 的面积是否为定值，并说明理由． 【答案】 （1）见解析（2）△OMN 的面积为定值 1 【解析】(1)证明：易知 A(2，1)，B(－2，1)．设 P(x0，y0)，则2 x0 2 ＋ y0 ＝1.由 OP ＝ 42 2 m－n）， （ ? x0＝（ 4 m－n） 1 2 2 2 m OA ＋n OB ，得 ? 所以 ＋(m＋n) ＝1，即 m ＋n ＝ ，故点 2 4 ? y0＝m＋n，Q(m，n)在定圆 x ＋y ＝221 上． 2(2)解：(解法 1)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1 y2 1 2 2 2 ＝16 y1 ＝ ＝- ，平方得 x12 x2 y2 x1 x2 42 2 2 2 (4－ x1 )(4－ x2 )，即 x1 ＋ x2 ＝4.因为直线 MN 的方程为(y1－y2)x－(x1－x2)y＋x1y2－x2y1＝0，所以 O 到直线 MN 的距离为 d＝| x1 y2－x2 y1 |2 2 （x2－x1） +(y2－y1），所以△OMN 的面积 S＝1 2MN ? d ＝1 2|x1y2 － x2y1| ＝1 22 2 2 x12 y2 ＋x2 y1 －2 x1 x2 y1 y2＝1 2? x 2 ? 2 ? x12 ? 1 2 2 1 x12 ?1- 2 ? +x2 ?1- ? + x1 x2 ＝ 2 ? 4? ? 4? 22 x12 ? x2 ＝1，故△OMN 的面积为定值 1.(解法 2)设 OM 的方程为 y＝kx(k&0)，则 ON 的方程为 y＝－1 x(k&0)．联立方程组 4k? ? 4k ? y＝kx， 2 2k ? ?1 ? , , 解得 M . 同理可得 N ? 2 ? ? ? ? 2 2 2 1+4k 2 ? 1+4k 2 ? ? x ＋4 y ＝4， ? 1+ 4k ? 1+ 4k因为点 N 到直线 OM 的距离为 d ＝1+ 4k 2 1+k 2? 2 ? ? 2k ? ， OM ＝ ? ? ?? ? ＝ 2 2 ? 1+4k ? ? 1+4k ?2221 1+ 4k 2 1+k 2 1 1+k 2 ? ? 2 ，所以△OMN 的面积 S ＝ d ? OM ＝ ＝1，故△OMN 的面 2 1+k 2 1+ 4k 2 2 1+4k 2积为定值．试卷第 39 页，总 71 页x2 y 2 75．给定椭圆 C： 2 + 2 ＝1(a&b&0)，称圆心在原点 O、半径是 a 2 ? b2 的圆为椭圆 a bC 的“准圆”．已知椭圆 C 的一个焦点为 F( 2 ，0)，其短轴的一个端点到点 F 的距离 为 3. (1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程； (2)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点，B、D 是椭圆 C 上的两相异点，且 BD⊥x 轴，求 AB ? AD 的取值范围； (3)在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P，过点 P 作直线 l1，l2，使得 l1，l2 与椭圆 C 都只 有一个交点，试判断 l1，l2 是否垂直？并说明理由． 【答案】 （1）x ＋y ＝4（2）[0，7＋4 3 )（3）对于椭圆 C 上的任意点 P，都有 l1⊥l2.2 22 2 【解析】(1)由题意知 c＝ 2 ，且 a＝ c ? b ＝ 3 ，可得 b＝1，故椭圆 C 的方程为x2 2 2 2 ＋y ＝1，其“准圆”方程为 x ＋y ＝4. 3 m2 2 (2)由题意，可设 B(m，n)，D(m，－n)(－ 3 &m& 3 )，则有 ＋n ＝1，又 A 点坐标 3为(2，0)，故 AB ＝(m－2，n)， AD ＝(m－2，－n)，故 AB ? AD ＝(m－2) －n ＝m2 2 2? m2 －4m＋4－ ? 1 ? 3 ?2 2 ? 4 2 4? 3? 4? 3? ? ＝ m －4m＋3＝ ? m ? ? ，又－ 3 &m& 3 ，故 ? m ? ? ∈ 3? 2? 3? 2? ? 3[0，7＋4 3 ]，所以 AB ? AD 的取值范围是[0，7＋4 3 )． (3)设 P(s，t)，则 s ＋t ＝4.当 s＝± 3 时，t＝±1，则 l1，l2 其中之一斜率不存在，2 2另一斜率为 0，显然有 l1⊥l2.当 s≠± 3 时，设过 P(s，t)且与椭圆有一个公共点的 直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y－t＝k(x－s)，代入椭圆 C 方程可得 x ＋3[kx＋(t 2 2 2 2 2 2 2 －ks)] ＝3， 即(3k ＋1)x ＋6k(t－ks)x＋3(t－ks) －3＝0， 由Δ ＝36k (t－ks) －4(3k 2 2 2 2 2 ＋1)[3(t－ks) －3]＝0，可得(3－s )k ＋2stk＋1－t ＝0，其中 3－s ＝0，设 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则 k1，k2 是上述方程的两个根，故 k1k2＝21－t 2 1-（4-s 2） ＝ ＝ 3－s 2 3-s 2－1，即 l1⊥l2.综上可知，对于椭圆 C 上的任意点 P，都有 l1⊥l2. 2 2 76．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：(x＋1) ＋y ＝16，点 F(1，0)，E 是圆 C 上的一个动点，EF 的垂直平分线 PQ 与 CE 交于点 B，与 EF 交于点 D.试卷第 40 页，总 71 页(1)求点 B 的轨迹方程； (2)当点 D 位于 y 轴的正半轴上时，求直线 PQ 的方程； (3)若 G 是圆 C 上的另一个动点，且满足 FG⊥FE，记线段 EG 的中点为 M，试判断线段 OM 的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．x2 y 2 + ＝1（2）x－2y＋4＝0（3） 7 【答案】 （1） 4 3【解析】(1)连结 BF，由已知 BF＝BE，所以 BC＋BF＝BC＋BE＝CE＝4， 所以点 B 的轨迹是以 C、 F 为焦点， 长轴为 4 的椭圆， 所以 B 点的轨迹方程为x2 y 2 + ＝ 4 31. (2)当点 D 位于 y 轴的正半轴上时，因为 D 是线段 EF 的中点，O 为线段 CF 的中点，所 以 CE∥OD，且 CE＝2OD，所以 E、D 的坐标分别为(－1，4)和(0，2)． 因为 PQ 是线段 EF 的垂直平分线，所以直线 PQ 的方程为 y＝ 为 x－2y＋4＝0. (3)设点 E、G 的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则点 M 的坐标为 ?21 x＋2，即直线 PQ 的方程 2? x1＋x2 y1＋y2 ? ， ? ，因 2 ? ? 222 2 为点 E、G 均在圆 C 上，且 FG⊥FE，所以(x1＋1) ＋ y1 ＝16，①，(x2＋1) ＋ y2 ＝16，② (x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，③2 2 2 2 所以 x1 ＋ y1 ＝15－2x1， x2 ＋ y2 ＝15－2x2，x1x2＋y1y2＝x1＋x2－1.所以 MO ＝21 [(x1 4＋x2) ＋(y1＋y2) ]＝221 1 2 2 2 2 ?[( x1 ＋ y1 )＋( x2 ＋ y2 )＋2(x1x2＋y1y2)]＝ [15－2x1＋15 4 4－2x2＋2(x1＋x2－1)]＝7，即 M 点到坐标原点 O 的距离为定值，且定值为 7 . 77．如图，过抛物线 C：y ＝4x 上一点 P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛 物线交于点 A(x，y1)，B(x2，y2)．2(1)求 y1＋y2 的值； (2)若 y1≥0，y2≥0，求△PAB 面积的最大值． 【答案】 （1）y1＋y2＝4.（2）6试卷第 41 页，总 71 页【解析】 (1)因为 A(x1， y1)， B(x2， y2)在抛物线 C： y ＝4x 上， 所以 A ?22 ? y12 ? ? y2 ? , y1 ? ， , y2 ? ， B? ? 4 ? ? 4 ?kPA＝y1＋2 （ 4 y ＋2） 4 4 4 ＝ 21 ＝ ，同理 kPB＝ ，依题意有 kPA＝－kPB，因为 2 y1 y1 －4 y1－2 y2－2 y1－2 －1 44 ，所以 y1＋y2＝4 y2－2＝－y2－ y1 y12 y12 (2)由(1)知 kAB＝ 2 ＝1， 设 AB 的方程为 y－y1＝x－ ， 即 x－y＋y1－ ＝0， y2 y12 4 4 － 4 43 ? y1 ? y12 2 y12 y2 4 ， ? AB＝ 2 ? ＝ 2 |y1－y2|＝2 2 |2－y1|， 4 4 2P 到 AB 的距离为 d＝所以 S△PAB＝1 × 23 ? y1 ?y12 4 ×2 2 |2－y1|＝ 1 | y 2 －4y1－12||y1－2|＝ 1 |(y1－2)2 4 1 4 21 3 |t 4－16|?|y1－2|， 令 y1－2＝t， 由 y1＋y2＝4， y1≥0， y2≥0， 可知－2≤t≤2.S△PAB＝ －16t|， 因为 S△PAB＝31 3 3 |t －16t|为偶函数， 只考虑 0≤t≤2 的情况， 记 f(t)＝|t －16t| 42＝16t－t ，f′(t)＝16－3t &0，故 f(t)在[0，2]是单调增函数，故 f(t)的最大值为 f(2)＝24，故 S△PAB 的最大值为 6 78．已知椭圆 C：x2 y 2 2 + 2 ＝1(a&b&0)的一个顶点为 A(2，0)，离心率为 .直线 y＝ 2 a b 2k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为10 时，求 k 的值． 3【答案】 （1）x2 y 2 + ＝1（2）k＝±1. 4 2?a＝2， ? x2 y 2 2 ?c 【解析】(1)由题意得 ? ＝ ， 解得 b＝ 2 ，所以椭圆 C 的方程为 + ＝1. 4 2 2 ?a 2 2 2 ?a ＝b ＋c ， ?试卷第 42 页，总 71 页? x2 y 2 ? + ?1 2 2 2 2 (2)由 ? 4 得(1＋2k )x －4k x＋2k －4＝0.设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)， 2 ? y ? k ( x ? 1) ?(x2，y2)， 则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝4k 2 2k 2 ? 4 ， x ， 1x2＝ 1＋2k 2 1＋2k 22[ x2 -x1 ) -4 x2 x1 ] ＝ 所以 MN＝ (x2－x1 ) +(y2－y1 ) = (1+k )(2222 (1＋k 2 )(4＋6k 2） . 1＋2k 2又因为点 A(2，0)到直线 y＝k(x－1)的距离 d＝k 1＋k 2，所以△AMN 的面积为 S＝k 4 ? 6k 2 k 4 ? 6k 2 1 10 MN?d＝ .由 ＝ ，解得 k＝±1. 2 2 2 3 1＋2k 1＋2k79．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2 y 2 + ＝1 的左、右顶点为 A、B，右 9 5焦点为 F.设过点 T(t，m)的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中 m&0，y1&0，y2&0.(1)设动点 P 满足 PF －PB ＝4，求点 P 的轨迹； (2)设 x1＝2，x2＝221 ，求点 T 的坐标； 3(3)设 t＝9，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)． 【答案】 （1）x＝9 ? 10 ? （2） ? 7, ? （3）见解析 2 ? 3?2 2【解析】(1)解：设点 P(x，y)，则 F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由 PF －PB ＝4， 得(x－2) ＋y －[(x－3) ＋y ]＝4，化简得 x＝2 2 2 29 9 ，故所求点 P 的轨迹为直线 x＝ . 2 2(2)解：将 x1＝2，x2＝1 ? 5 ? ? 1 20 ? 分别代入椭圆方程，以及 y1&0，y2&0 得 M ? 2, ? 、N ? , ? ?. 3 9 ? ? 3? ?3直线 MTA 的方程为1 y－0 x＋3 y－0 x-3 ， 即 y＝ x＋1.直线 NTB 的方程为 ， ＝ ＝ 5 20 1 3 2 ＋ 3 －0 ? －0 ?3 3 9 3? x＝7， 5 5 ? ? 10 ? 即 y＝ x－ .联立方程组，解得 ? 10 所以点 T 的坐标为 ? 7, ? . 6 2 y＝ ， ? 3? ? 3 ?(3)证明： 点 T 的坐标为(9， m)， 直线 MTA 的方程为y－0 x＋3 m ＝ ， 即 y＝ (x＋3)． 直 m－0 9＋3 12试卷第 43 页，总 71 页线 NTB 的方程为y－0 x -3 m ＝ ，即 y＝ (x－3)． m－0 9-3 6x2 y 2 + ＝1 联立方程组，同时考虑到 x1≠－3，x2≠3，解得 分别与椭圆 9 5M? (?（ ?（ 3 80－m2） 40m ? 3 m2 -20） 20m ? 、 N ， ，? ? 2 2 ? 2 80＋m ? 20＋m2 ? ? 80＋m ? 20＋m证 法 1) 当 x1 ≠ x22时，直线MN的方程为20m （ 3 m -20） x－ 2 20＋m 20＋m2 ， 令 y＝0， 解得 x＝1， 此时必过点 D(1， ＝ 2 2 40m 20m （ 3 80 － m ） －（ 3 m － 20 ） ＋ 80＋m2 20＋m2 80＋m2 20＋m2 y＋0)；当 x1＝x2 时，直线 MN 的方程为 x＝1，与 x 轴交点为 D(1，0)，所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1，0)． (证法 2)若 x1＝x2，则由 方程为 x＝1，240－3m2 3m2－60 ＝ 及 m&0，得 m＝2 10 ，此时直线 MN 的 80＋m2 20＋m240m 80＋m2 ＝ 10m ， 过点 D(1， 0)． 若 x1≠x2， 则 m≠2 10 .直线 MD 的斜率 kMD＝ 240－3m2 40－m2 － 1 80＋m2 -20m ＋m2 ＝ 10m ，得 kMD＝kND，所以直线 MN 过 D 点． 直线 ND 的斜率 kND＝ 20 3m2 -60 40-m2 1 20＋m2因此，直线 MN 必过 x 轴上的点 D(1，0)． 80．已知曲线 E：ax ＋by ＝1(a&0，b&0)，经过点 M ?2 2? 3 ? ? 3 ,0? ? 的直线 l 与曲线 E 交于点 ? ?A、B，且 MB ＝－2 MA . (1)若点 B 的坐标为(0，2)，求曲线 E 的方程； (2)若 a＝b＝1，求直线 AB 的方程． 【答案】 （1）x ＋2y2 ＝1（2）y＝ 3 x－1. 4? 3 ? 3 ，0)，所以 MB ＝ ? ? ? 3 ,2? ? ， MA 3 ? ?【解析】(1)设 A(x0，y0)，由已知 B(0，2)，M(＝(x0－3 ，y0)． 3试卷第 44 页，总 71 页? 3 3 3 3 ?x ＝ ， 由于 MB ＝－2 MA ， 所以(－ ， 2)＝－2(x0－ ， y0)， 所以 ? 0 ， 2 即 A( 3 3 2 ? y ＝－1， ? 0? ? 3 ?2 1， ? a＝ 2 ? ＋b（－ ? 1 ） ＝1， ? ?a ? ? ? ? ? －1)，将 A、B 点的坐标代入曲线 E 的方程，得 ? ? 2 ? 解得 ? 1 b＝ ， ? ? 2 2 ? 4 ? ?a ? 0 ＋b ? 2 ＝1，所以曲线 E 的方程为 x ＋2y2 ＝1. 42 2(2)当 a＝b＝1 时，曲线 E 为圆 x ＋y ＝1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．又 MB ＝－2 MA ， 所以 ? x2 ?? ? ?? 3 3 ＝－2(x1－ ，y1)， , y2 ? ? 3 3 ?即有 ?? ? 2 x1＋x2＝ 3， 2 2 2 ＋ y2 ＝1②，由①×4－②，得(2x1＋x2)(2x1－ x1 ＋ y12 ＝1①， x2 ? ? 2 y1＋y2＝01 3 3 ， x2 ＝ 0. 由 x1 ＝ ，得 y1 ＝± . 当 2 2 2x2) ＝ 3 ，所以 2x1 － x2 ＝ 3 ，解得 x1 ＝A?? 3 1? ? 2 ,? 2 ? ? 时，B(0，－1)，此时 kAB＝－ 3 ，直线 AB 的方程为 y＝－ 3 x＋1； ? ? ? 3 1? ? 2 ,2? ? 时，B(0，1)，此时 kAB＝ 3 ，直线 AB 的方程为 y＝ 3 x－1. ? ?当 A?81．已知定点 F(0，1)和直线 l1：y＝－1，过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程； (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P、Q，交直线 l1 于点 R，求 RP ? RQ 的最小值． 【答案】 （1）x ＝4y（2）16 【解析】(1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离， 2 ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l1 为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为 x ＝4y.2(2)由题意直线 l2 的方程为 y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去 y，得 x －4kx－4＝0. 记 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 由直线 PQ 的斜率 k≠0，易得点 R 的坐标为 ?2?2 ? , ?1? ， ?k ?试卷第 45 页，总 71 页2 2 2 ?? 2? ? ? ? ? ? RP ? RQ ＝ ? x1 + ，y1 +1? ? ? x2 + ，y2 +1?＝? x1 + ?? x2 + ? ＋(kx1＋2)(kx2＋2) k k k ?? k? ? ? ? ? ?＝(1＋k )x1x2＋ ?24 ?2 ? ? 2k ? (x1＋x2)＋ 2 ＋4 k ?k ? 4 ?2 ? ? 1 ? ? 2k ? ＋ 2 ＋4＝4 ? 2 ? k 2 ? ＋8. ?k ? k ?k ?＝－4(1＋k )＋4k ? ∵k ＋221 2 ≥2，当且仅当 k ＝1 时取到等号． 2 k∴ RP ? RQ ≥4×2＋8＝16，即 RP ? RQ 的最小值为 16. 82．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在直线 x－2y－4＝0 上． 【答案】 （1）y ＝－ －24 9 1 2 x 或 x ＝ y，前者的准线方程是 x＝ ，后者的准线方程是 y＝ 3 2 39 2 2 .（2）所求抛物线的方程为 y ＝16x 或 x ＝－8y，对应的准线方程分别是 x＝－4， 8y＝2. 2 2 【解析】(1)设所求抛物线的方程为 y ＝－2px 或 x ＝2py(p＞0)．2 9 或 p＝ .∴所求抛物线的方程 3 4 4 9 1 9 2 2 为 y ＝－ x 或 x ＝ y，前者的准线方程是 x＝ ，后者的准线方程是 y＝－ . 3 2 3 8∵过点(－3，2)，∴4＝－2p(－3)或 9＝2p?2.∴p＝ (2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点 为(4，0)时，p p 2 ＝4，∴p＝8，此时抛物线的方程为 y ＝16x；焦点为(0，－2)时， ＝ 2 22 2 22， ∴p＝4， 此时抛物线的方程为 x ＝－8y.∴所求抛物线的方程为 y ＝16x 或 x ＝－8y， 对应的准线方程分别是 x＝－4，y＝2. 83．如图所示，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1⊥l2，点 N∈l1，以 A、B 为端点的曲线段 C 上任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM|＝ 17 ，|AN| ＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程．【答案】y ＝8x(1≤x≤4，y&0) 【解析】以直线 l1 为 x 轴，线段 MN 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，由条件可 知，曲线段 C 是以点 N 为焦点，以 l2 为准线的抛物线的一段．其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点． 2 设曲线段 C 的方程为 y ＝2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)，其中 xA、xB 为 A、B 的横坐标， p＝|MN|，∴M ? ?2p? ? p ? ?p ? ? , 0 ? 、N ? , 0 ? .由|AM|＝ 17 ，|AN|＝3，得 ? xA ? ? ＋2pxA＝ 2? ? 2 ? ?2 ? ?试卷第 46 页，总 71 页217，①p? ? ? xA - ? ＋2pxA＝9.② 2? ?联立①②，解得 xA＝2? p＝4， ? p＝2， 4 ，代入①式，并由 p＞0，解得 ? 或? ∵△AMN 为锐 p ? x A＝1. ? x A＝2.角三角形，∴? p＝4， p p ＞xA.∴ ? 由点 B 在曲线段 C 上，得 xB＝|BN|－ ＝4. 2 2 ? x A＝1.2综上，曲线 C 的方程为 y ＝8x(1≤x≤4，y&0)．x2 y 2 84．物线顶点在原点，它的准线过双曲线 2 - 2 ＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并 a b与双曲线实轴垂直，已知物线与双曲线的一个交点为 ? 方程． 【答案】y ＝4x2?3 ? , 6 ? ，求物线与双曲线 ?2 ?4x －24 y2 ＝1 3【解析】由题设知，物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝ 2 2c，设物线方程为 y ＝4c?x. ∵物线过点 ?3 ?3 ? , 6 ? ，∴ 6 ＝4c? . ∴ c ＝ 1 ，故物线方程为 y2 ＝ 4x. 又双曲线 2 ?2 ?x2 y 2 9 6 9 6 ?3 ? 2 2 2 2 - 2 ＝1 过点 ? , 6 ? ， ∴ 2 - 2 ＝1.又 a ＋b ＝c ＝1， ∴ 2＝1.∴a 2 2 4 a b 4 a 1 ? a a b 2 ? ?＝4 y2 1 3 2 2 2 或 a ＝9(舍)．∴b ＝ ，故双曲线方程为 4x － ＝1 4 4 3x2 y 2 85．已知抛物线 D 的顶点是椭圆 C： + ＝1 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合． 16 15(1)求抛物线 D 的方程； (2)过椭圆 C 右顶点 A 的直线 l 交抛物线 D 于 M、N 两点． ①若直线 l 的斜率为 1，求 MN 的长； ②是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长为定值？如果存在， 求出 m 的方程；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)y ＝4x（2）① 4 10 ②存在直线 m：x＝3 满足题意2【解析】(1)由题意，可设抛物线方程为 y ＝2px(p&0)．由 a －b ＝4－3＝1，得 c＝1， 2 ∴抛物线的焦点为(1，0)，∴p＝2.∴抛物线 D 的方程为 y ＝4x. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)． ①直线 l 的方