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初中数学图形与几何
初中数学图形与几何一、图形与几何内容结构分析&1、这次标准修订，从整体框架上，图形与几何这些内容有哪些特点，哪些变化？&原来课程标准实验稿的几何框架是按照图形的认识、图形与变换、图形与坐标和图形与证明四条主线来划分的，新的课程标准修订稿把四条主线变成三条主线，这三条主线分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。首先是图形的性质这条主线基本上涵盖了原来图形的认识和图形与证明的内容。除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时还发展了学生的空间观念和推理能力。&第二条主线是图形的变化，它的内容就比较丰富了，这里面包含了合同变换——图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转，以及图形的相似（包括位似）；由于和相似关系密切，因此直角三角形的边角关系也包含其中；还有一类变换是仿射变换（在标准中呈现的标题就是投影）。这部分主要研究图形之间的关系，特别是从运动的观点和变化的角度来研究图形，这个方法本身也是十分重要的。（原来我们叫图形与变换或图形的运动，但这次我们用的是变化，这是因为在这部分内容里，不光是数学上变换的东西，后面还有一些投影与视图的内容，另外解直角三角形也囊括在这里面，所以在这个里面叫变换显得不那么纯粹，叫运动，像解直角三角形这样的内容也有点牵强，我想用变化这个词可能能够比较好地把刚才那些问题给规避掉，所以就起了这样一个名字。）第三条主线叫做图形与坐标，它包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等。&2、从具体的内容增减变化上，图形与几何这块又有哪些变化？首先，修订后的标准增加了打星号的内容，如关于相似三角形判定的演绎证明，圆中的垂径定理、切线长定理等。作为选取部分，反映了课程标准理念中的“不同的人在数学上得到不同的发展”，相当于给学生提供一个弹性的空间，对那些有余力、有兴趣的学生，给他进一步多学一点数学的机会，学生有选择性的学或者教师有选择性的教。&另外，增加了一个核心概念叫几何直观。因为我们这部分内容针对的是图形，几何直观简单的说就是用图形说事。还有一些关于基本事实的增减变化等等。&3、从教师的角度注意哪些变化？&首先，应该对这部分的内容结构有一个整体的认识和把握。你比如两位教授前面谈到的四条主线变成了三条主线，这三条主线不光是对具体的学习内容的要求，更是从不同的角度，更多的维度对我们初中阶段的几何图形进行了全方位的、立体化的研究，它可以看作图形研究不同的三个途径，比如说都是一个三角形，我既可以用欧式的综合几何的角度去认识它，也可以用变换的角度去认识，同样可以把它放在坐标系，从坐标的角度去认识它。所以同样是这些图形，有这样三条主线，可能就丰富了我们对这些图形的理解。理解好这一点，可以使大家更深刻的体会到几何课程对学生们的教育意义。&另外，图形与几何这部分涵盖的内容很多的，老师在教学过程中，还要抓住一些核心内容。比如三角形是最基本的平面图形之一，如果掌握了，其他图形就可以考虑转化为三角形去处理了。&再有，虽然课程的具体内容发生一些变化，修订稿所倡导的思想、理念和实验稿是一脉相承的。所以我们在教学中所提倡的让学生动手操作、鼓励发现、鼓励合作探究，以及在此基础上完成对所学内容的归纳，最后再通过演绎的方式去证明的教学方式，还是应该继续在日常教学当中提倡的。图形与坐标这部分内容，跟实验稿相比要求提高了。比方说轴对称、平移现在要放到坐标系当中，利用量化的办法进行研究，所以从思维层次上讲提高了。从要求上看，这个步子确实比较大，所以希望老师们能够进一步研读标准，以达到能够准确地去把握。&老师们在把握图形与几何这部分内容的时候，一定要有一个整体的观点。因为一些老师容易有这样的倾向：好像几何更多的是演绎推理和证明，其他内容像附属品，花一点点时间学习学习就够了。其实我们要看到，即使在证明这个方面，我们也希望能够把合情推理和演绎推理结合起来，注意标准中用“探索并证明……”，而不是仅仅去证明，尤其我们一直在提倡空间观念的培养、几何直观能力的发展，还有推理能力，都是我们几何学习中非常重要的。希望老师能够整体认识和把握“图形与几何”的教育价值，这样才能使我们在对几何内容进行教学设计的时候，实现预期的目标。&二、图形的性质内容与教学分析&1、图形的性质这条主线的内容以及定位，包括我们的教学中应该注意哪些问题？&首先，我们所研究的这些图形可以从不同的角度进行分类。比如说把它们分成直线形、曲线形；从维度上，有一维图形，重点是二维图形，当然还有简单的三维图形；从图形的复杂程度上，有基本图形与组合图形。具体来讲，这一部分由七个小的标题组成。前五个标题，详细地介绍了我们在初中阶段所要掌握的一些基本图形——第一部分是点、线、面，介绍了构成几何图形的基本元素；第二部分是相交线与平行线，对相交与平行这两种平面直线位置关系的概念、定义、性质和判别做了介绍；第三部分是三角形，这部分内容里面涉及到三角形边角的基本性质、三角形全等的性质和判定、以及特殊的三角形（等腰三角形和直角三角形）的性质；第四部分是四边形，重点介绍了平行四边形，以及特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形的判别和性质。第五部分是圆，重点介绍了圆的中心对称性和轴对称性，以及由此引出的与圆有关的性质，当然这里面还有圆与其他图形（圆与直线，圆与四边形，圆与多边形）的关系。在六、七这两部分内容中，作为几何学习的一个有机组成部分，分别谈到了尺规作图和定义、公理、证明的相关知识。对于尺规作图，除了这是一种作图方法，更多的是运用了图形判定的一些办法，实际上是对图形判定的一个具体应用。另外，只有明确了定义，公理、定理和证明的意义，我们才能够更好地对图形的性质进行探索和证明。&在“图形的认识”里也有一些变化，比如梯形没有了——首先小学我们已经有了梯形的概念，包括它的面积计算；其次对于梯形来说，我们往往是把它分割成平行四边形和三角形来研究的，而平行四边形和三角形已经作为基本图形在前面研究得比较充分了，也就是说梯形自身已经没有更多新的东西了，即它的问题基本上都解决了。当然如果老师们愿意把梯形给学生们介绍一些也未尝不可，但是标准没有再单独把它列入在本学段的内容当中。&另外，标准中增加了圆内接四边形，这里主要是一个初步的了解，目的是把直线形和曲线形结合起来认识，希望老师们在教学的时候能够很好地把握，没有必要任意扩充。关于认识图形我想我们不能只关注图形的概念和性质这些知识点，还应在这个过程中，关注图形之间的关系，利用认识图形发展空间观念与几何直观，这都是我们教学当中应该考虑的。&2、几何课怎样认识图形？认识图形的什么？对于一个图形，一方面，我们要研究它的各个组成元素的性质。比如三角形的内角和等于&180&度，这是三角形三个角的关系，以及三角形两边之和大于第三边，这是三角形三条边的关系。再如平行四边形的对边、对角、以及角平分线等相关结论，都是围绕图形自身的属性来展开的。另一方面，我们还要研究两个图形（多个图形）之间的关系，如全等、相似，还有图形之间所具有的旋转，平移关系，实际上这些东西都可以归结为一种关系。所以，我们认识图形大概有这么两类，一个图形的要素之间的关系，还有不同图形之间的关系。这些关系更多的都是用命题的形式来呈现，有一些是定理，有些我们作为这些定理证明的基础的基本事实。3、我们用什么样的手段和方式来认识图形？&认识图形的手段我们说是非常丰富的，标准的实验稿也好，修订稿也好，都特别提倡，首先我们利用直观的方法、利用实验的方法，或者叫做操作性的办法（包括拼图，测量这样的手段），这些办法对于学生发展的空间观念、几何直观，对学生认识图形的属性都是非常重要的。另外，变换的方法、坐标的方法，以及演绎的办法，也就是逻辑推理证明，都是认识图形的办法。过去的教学当中，对于利用证明的办法来认识图形这一点老师们都没有疑问，最主要的是合情推理的这些办法有时不太重视，实际上这个方面是非常重要的，结论当然重要，但得到这个结论的过程本身，对于学生来讲也是非常重要的，对他们的能力的发展都是不可或缺的。对于基本事实，它们是进行逻辑推理的起点，我们不怀疑它的正确性，并以它作为依据展开我们的推理证明（标准实验稿的基本事实是&6&条，现在做了一些调整，是&9&条，从这些基本事实出发，证明了关于线段、角、三角形，四边形大概&40&几个结论，还包括圆，相似形的一些性质）。那么谈到认识图形，这些方法都应是有机地联系的，往往一个结论我们先通过合情推理得到一种猜想，然后我们再用逻辑推理的办法来进行证明。在这个过程当中，学生不但学会了证明，得到了一些结论，同时也积累了一些数学活动经验。&这次课程标准的目标比较重要的变化就是，把双基拓展到四基，从两个能力拓展到四个能力。我们在认识图形的方式方法的多样性方面，如果给予关注，实际上也正是对从双基到四基实践的一个很好的机会。因为在这个过程当中，所谓的合情推理，包括归纳类比，一些数学的思想都会渗透其中。另外，基本活动经验的积累，画图、拼图、测量，要让学生经历这样的过程，比如变换，折叠运动很可能与后面演绎推理的辅助线的引出、图形的构造是联系很密切的，这样的操作活动对学生积累活动经验提供了非常好的机会。所以老师们应该认识到，图形认识方法的多样性，带给孩子们的收获不仅仅是一些具体的结论。&4、在图形的认识的教学当中，还有什么注意事项和问题？怎样才能够使学生经历合情推理的过程？首先应该有一个恰当的问题情境，提供一个背景问题让学生充分地去展开探讨。给了他这个情境和机会，给了他这个时间和空间，他的探讨过程才充分，他才真正能经历合情推理的过程，得到相应的数学结论，然后再去证明。学生在这个过程中，收获的就不仅是结论了，还有在这个过程中所发展的各种观念、能力。所以几何教学，特别是图形性质这部分教学，应该注重这种过程性，把过程同样作为教学目标，真正落实在每节课当中。对于同一个问题，不同的问法、不同的提法，可能就会带来不同的教学效果，换句话说，发展学生不同的能力。比方说一个问题，若直接问“请你证明”，就把合情推理的阶段错过去了，学生就没有这个机会了；如果换一种方式“你能发现它有什么性质？”这样，你把发现的性质都罗列一下，然后再从某一个结论把话题引出去证明，这样学生就有发现的机会了。所以说，如果我们的教学设计能够把合情推理作为教学目标、把它重视起来，然后利用适当地把这个问题提出来，也就是创设恰当的问题背景。&在研究图形的性质的过程当中，一个是研究的性质有哪些要明确，第二个研究它的手段和途径我们希望老师们也能够按照标准这样的要求做一个很好的设计。在一节课当中，使过程性目标和结果性目标对接，其实这里面我觉得大有文章可做。&三、图形的变化内容与教学分析&1、为什么要安排图形的变化的内容？首先，图形的变化是图形一种属性的体现。比如，有很多图形本身就是轴对称的，如等腰三角形、正方形等等；有一些图形又表现为中心对称，比如平行四边形，当然平行四边形也可以看成一条边是由其对边平移得到的。所以在我们所学的图形中，大都已经隐含了我们用变化的角度来认识它，来看待它这样一种属性。第二，在日常生活当中，我们也会看到图形的运动，这是一个很常见的现象。所以，能够用运动变化的观点来认识图形，是更好认识我们周围世界的另一个角度。还有，从学生的可持续发展的角度来看，到了高中、甚至大学，变换也是进一步学习的内容。另外，从国际的课程的比较来看，国际上很多国家的几何课程，也都是把变换或者图形的运动，作为课程内容的重要组成部分。2、图形变化的主要的脉络和线索？图形变换里面有合同变换——轴对称，旋转，平移（因为它们的共同特征是保持图形的大小不变）。对于这些概念，从标准上来讲，对于教学实际上的要求，应主要把它作为认识图形的一种工具和途径，不是说要严格对它来进行定义，只是直观的描述。所以，老师们在这个地方也不必过多地去深挖定义，主要是和学生们一起对它的性质做一些研究。我们现在教学当中，利用变换去证明一些几何题，甚至有些很难，从标准的初衷不是这样的，这不是课程标准的本意，希望老师们不要在教学当中，在这个方面做很多工作，结果把学生注意力和精力引到另外一个方向上去。&&同时还有相似，其中包括位似，另外就是投影，平行投影和中心投影，还有视图，都和相似联系得比较密切。对于相似我们主要以三角形的相似为主；关于相似里的位似，根据标准，要求是了解位似能够把图形放大或者缩小，老师们在这个地方也不必过多深究；另外就是关于旋转，主要研究中心对称。这里面还包括增加了一条基本事实——平行线分线段成比例定理（这部分证明是打星号的内容，所以这个基本事实的给出实际上是针对学有余力的学生，对他们的证明学习进一步打基础）。&另外，我们现在内容里面的三视图，老师们不要以画机械制图的要求来要求学生，其目的是体会二维图形与三维图形之间的转换，这是非常重要的一个途径，这里侧重于能够从不同的方向去观察一个立体图形，利用投影画出来，而不是把重点放在怎么精确上，包括位置上的对齐等等，在处理这部分内容时，应该把握住这个度。&还有一点，在第三学段里的三角函数，实际上这个地方我们没有从变量的角度，没有从函数角度来定位，而是更多地研究一些特殊三角形的边角关系，目的还是解直角三角形，它的要求和高中的三角函数是不一样的。&3、在教学当中，对于图形的变化的具体教学有什么建议和值得注意的问题？首先，图形的变化这一部分跟传统的几何教学的演绎证明是不同的，可能老师有些时候对难度和深度的把握会有不同的理解。变换得建立在学生直观经验的基础上，换句话，我们对轴对称，对旋转、平移，不仅从文字上去理解，或者能用它去做题，应更多的让学生建立丰富的大量的实例，只有经历这样一个过程，才能够把这种变换内化在自己对图形的认识当中、自觉去从变换的角度认识图形。其次，有些老师不是很重视图形变化这部分内容，觉得它和演绎证明联系不大，作用不强。应该说，虽然我们不能用变换的方式去完整地处理综合证明的题，但是我们不妨用变换的角度去认识这些问题，挖掘这些问题的证明思路。我们会看到，所有跟等腰三角形有关的证明题，往往都跟等腰三角形的轴对称性相关，如果要添加辅助线，往往都是在对称轴上做文章。同样所有跟平行四边形有关的证明问题，往往跟对称中心是相联系的，两条对角线的交点起着很关键的作用，所以图形变换往往能够成为我们解决和研究图形非常有利的工具。另外，研究变换要抓住这些变换形式中最本质的数学内涵，其实合同变换也好，相似变换也好，我们主要是研究一个图形在变化之后的不变性。克莱因曾说过，几何学就是研究在变化当中的不变量。合同变换的性质主要集中在哪些角、哪些边保持着相等，相似变换虽然不能保持边相等了，但是它保持角相等，边之间变成了一种稳定的比例关系。如果从这些角度去认识变换的话，我们能认识到变换更统一的、更深层的东西。最后，不建议老师们把变换作为一种手段去挖掘难题，当将变换作为命题手段的时候，往往偏离了我们把它作为研究图形途径的初衷，所以在这儿准确把握教学难度和考试难度，也是我们在教学中应该关注的问题。&四、图形与坐标内容与教学分析&1、实验稿之前的大纲里把坐标这部分内容放在函数前一节，要学习函数了，我们首先介绍坐标系是怎么组成的，所以很多老师始终认为这就是为函数服务的，坐标系最主要的作用体现在画函数图象上。现在为什么把图象与坐标这部分内容放在图形与几何这个模块里面来，同时还在坐标系里面赋予了这么多的内容，包括与图形变换的联系呢？&坐标系更多的还是确定点的位置的一个工具，因此在图形与几何里给出就是很自然的东西。有了坐标系之后，因为有了有序数对和点的对应，恰与函数中自变量和因变量之间的关系相似，所以使得坐标系又成为研究函数的工具。从这个意义上讲，把坐标系放在图形与几何里应该是顺理成章的事情。&实际上坐标系的本源在几何图形上，在研究函数的时候，只是借用这样一个二维平面，利用表示几何图形当中点的位置的方法来产生函数的图像。&2、在图形与坐标里到底借助坐标系做一些什么、在第三学段我们可以做哪些事情？从标准来讲，首先是熟悉坐标系最基本的要素，比如坐标轴、单位，原点等等；然后要让学生了解用一个数对可以刻画点的位置，进一步刻画图形的位置，一个图形的关键点的位置确定了，这个图形的位置就确定了。当然这时候都是静止的，在学习了图形的运动后，就进一步研究坐标的变化和图形的变化之间的联系。这一点，标准的修改稿和原来实验稿有一些变化，提高了要求，比如要让学生知道，沿着坐标轴的方向平移一个图形，它的坐标变化和图形变化的联系，还有轴对称等等。当然我们也不能做太复杂的东西，其宗旨就是希望学生通过这部分的学习，能够体会用坐标系刻画点的位置，点的位置和变化和图形的运动变化之间的规律，仅此而已，没有解析几何这样的要求。比如按照标准，轴对称就是研究以坐标轴为对称轴的情况。另外，要求在坐标系里研究图形的平移，而不要求去探究图形的旋转。再就是位似，只研究直线形（多边形），并且多边形还要有一条边放在坐标轴上，位似中心是坐标原点。所以，希望老师们在教学中把握住这个要求的度。&3、在这部分内容的具体教学上的经验和建议。&第一，图形与坐标的教学应该贯穿在整个教学始终，培养学生量化的、坐标化的感受。比如数轴，比如我们在几何里面用方格纸去作图，这都体现了坐标的原始思想。其实在小学孩子们已经知道用方格纸作图，也做了基本的平移、旋转等，那些已经给了他们一些直观坐标系的体验。&第二，教学时要抓住图形与坐标的实质。图形、图像与表达式的对应本质上就是点和数的对应，而这种认识根本上取决于对点的坐标意义的理解，所以我觉得要想把这部分教好、学好，花的笔墨最多的地方，不是在各种变化和题型的技巧上，而是应该浓墨重彩地说明点的坐标的含义究竟是什么。另外，虽然这部分内容对后续的数学学习会产生深远的影响，但现阶段对这部分的要求还要把握好度。在标准的修订稿里，加强了很多东西，但是这些内容是宽而浅，而不是窄而深的，每一种浅尝辄止，不能在一种变换上挖起来没完。所以日常教学中，不能弄的太难，包括命题也是一样的，这样做有助于促进学生们真正对这部分课程标准初衷的理解，还是回到那句话，就是把它作为认识图形的另外一个途径和手段，在坐标系下，图形和图象有了数量的味道，他只要感觉到这种味道，其实对他今后的数学发展就是很有帮助的。包括其中结论性的东西，也显得没有那么重要，更重要的是要体会它们之间的相互关系。通过对坐标变换与图形变换的研究，真正想留在孩子们脑海里的是，在坐标系的影响下，图形的任何一个点滴的变化，都能反映到它的坐标上去，当然这些变化都是有规律的，但我们不能也没必要穷尽这些规律，能体会到这种量的变化规律，与形的变化规律是一一对应的，那就够了。&还有，在这部分教学里值得注意的还有过程性目标的实现，包括要让学生体会到数学和现实的联系，所以在这里还是要坚持给学生空间，要让学生有机会去观察，去发现，去提出猜测，最后再加以验证。&五、空间观念与几何直观&这次课程标准修订稿提出了&10&个核心概念，其中的空间观念，几何直观和推理能力，从名称上就能看出它和图形与几何的学习应该关系比较密切。那么，在我们课程内容的设置以及我们具体的教学当中，如何来关注这几个核心概念？&1、关于空间观念这个核心概念，它和课程内容有怎样的关联，如何在教学当中给予关注？空间观念，在我国以前的教学大纲中就有这样的提法，但以前的课程中用来支撑空间观念，或者培养学生空间观念的内容和素材却相对贫乏，所以从课程实施角度，对它的支撑显得很不够。这次课程标准的实验稿和修改稿，不仅把空间观念作为一个核心概念提出来，同时在内容的设置上、以及在教学的要求上，都有相应的支撑的它的素材。从课程的设计中就非常重视二维和三维图形的转换，因为这样的转换对发展学生的空间观念是非常有益的。包括展开与折叠、截一个几何体、视图与投影等内容，都可以属于这个范围。另外，用运动的观点来看待这个图形，如轴对称、中心对称，通过变换的角度，我们想象这个图形，想象它的形状，想象它的变化，就是培养空间观念非常好的素材。同时，如图形与坐标、一个图形可以看成是由另一个图形做怎样的变化得到的，这些内容都是非常重要的。老师在这些内容的教学当中要重视过程，把培养空间观念作为我们的教学目标，给学生时间和空间，让他们去探究、让他们去交流、让他去表达，说他的感受，说他的想象，这样才能使培养学生的空间观念落到实处。&空间观念的培养，核心就是想象。比如，在二维图形和三维图形转换过程中，实际上是看见二维图形去想象和它对应的三维图形；有了三维图形去想象跟它相关的二维图形。再如，截一个几何体，我们用一个平面去截一个圆锥体，这个平面和锥体的相交的位置不一样，它的截面就不同，有时是一个圆，有时是一个椭圆，有时又是一条双曲线，这同样需要想象；类似的展开折叠也是这样，一个平面图能否折叠成一个三维图形，都是想象在起作用。图形的运动，图形的位置的确定，中间也都有很多想象的成份在里面，所以我们要抓住空间观念的核心要素——想象。&我们谈到空间观念时，给很多老师的第一个感觉就是，那肯定要用立体图形，所以肯定在立体几何的研究过程中，才能落实空间想象的能力。实际上并不是这样，我们截几何体、展开与折叠、视图，可能是针对立体图形来完成的。而图形的轴对称、平移和旋转，包括图形位置的确定，其实都是在平面当中完成的。我们应该从整体上去认识这个空间观念，它就是对几何图形的想象能力，从这个意义上讲，无论是一维的，还是二维的还是三维的，即使是你对直线两端无限延伸的这种想象能力，都能很有效地培养我们空间观念。当然二维与三维之间的转化，是一个很主要的途径，但不是唯一的，这种课程的载体很多，不要把空间观念只局限在某一章节完成，完成之后别的章就没有这个任务了，其实整个几何教学过程中，都有这种空间观念的贯穿。&再有，空间观念想要真正能够落实，还需要我们在教学过程中，充分地留给学生感受体验的过程。唯有过程充分了，观念和能力才能有所提升。所以，我们尽量不要把关乎空间观念的这些课程，上成完成数学结论的课。比如正方体的展开图，虽然都是由&6&个正方形组成的，但是由于我们剪开的棱的相对位置不同，这六个正方形连接的相互位置不同，它的展开图画起来会有很多种。这节课的目的，就是希望同学们能够在头脑里，把一个正方体给剪开，同时又能够把一个展开图给折上，通过在头脑当中不断地想象完成这个工作，以提升你的空间观念。但在实践教学当中有老师把展开图的形式都一一展示总结出来，希望学生能够记住（大概&11&种情况），我想就变成另一种味道了。还是应该把过程做足，淡化这些结论，才能更好地培养空间观念。&2、关于几何直观，和空间观念不同，它是我们这次新增加的一个核心概念，所以对它理解，以及对我们在教学当中和课程内容的关联，可能老师们都特别关心。&关于几何直观——首先，针对图形，我们根据直观可能对图形的性质会有一些判断，而不是依据测量或计算；另外，几何直观不管是在代数当中，还是在统计概率当中，可能都要用到；在历史或其他文科里，也是很有用的。不说太远，在数学中画函数图象，对于理解函数的性质有非常大的帮助，就因为它直观，我们可以对函数的变化情况与趋势进行预测，这方面比解析式、表格都更清楚。再如在统计里面，如扇形统计图，我们一看就知道哪一部分占的比重更大。面对一个比较复杂的、比较抽象的对象，如果我们能用直观的办法，用图形的办法，把它描述刻画出来，会使这个对象更容易理解，这是一种能力。一个学生如果能用直观的方式来进行描述、来进行刻画，那么说明他对这个概念本身的理解比较深刻。因此，几何直观反映了一个学生，能否把他的理解用一种适当的方式表达出来，能否用图形的方式来去帮助别人、帮助自己，去理解一个可能不太容易理解的东西，这是应该作为一个现代人的一种能力体现。在义务教育阶段，我们学了这么多几何，也希望能够把图形作为一种工具来解释甚至解决问题。运用图形到底能够做哪些事情？比如函数图象，我在这里有一个例子，我们研究反比例函数时，老师可能会给几个x&不同的值，然后去比较函数值的大小，我听过一节课，很多孩子就是把这些&x&代到解析式里计算得到的，这样当然可以，但老师若仅仅到这儿显然就不行了，可以借助图象，会来得更直接，甚至可能还可以得到更多的信息，因为数字更多都是具体的、零散的，而从图象上，我们可以整体全面的把握函数的变化。所以我想这可能也是我们学会用图形来说事情，用图形来做事情的一个很重要的体现。当然几何直观，作为一个新出现的核心概念，可能我们对它的认识和理解还是要有一个过程的。&实际上我们现在去回想，虽然原来的教学中，没有专门提出这样一个核心概念，但很多老师在实践教学过中，可能都在用。比如从小学开始，我们解算术或代数应用题所画的线段图；遇到比较复杂的应用问题，我们可能用一个表把数量关系展示出来；包括统计图。有些时候你会发现，有的人遇到一个问题，想要说明急于说明的时候，它会不断地随手拿笔去画图给你说，现在从这个核心概念的角度来看，就是几何直观这方面的数学素养在起作用。不光图形与几何这个领域，应该说各个学习领域，能够借助图形来说事，能够借助图形来说明和解释的问题，有意识去留意这些问题时候可能就会积累大量的，像其他核心概念一样的那些课程的素材和载体，我们再落实几何直观就更扎实了。以前可能我们是在不自觉地做一些这样的事情，我们以后可能要把这种不自觉的行为，变成一种更自觉的行为，更有意识地培养学生运用图形说话，通过画图来解释，来分析问题，从而对学生的几何直观能力给予关注和培养。六、推理能力&在标准实验稿当中，就已经有这个核心概念出现了，只不过那时我们没有明确地提出合情推理与演绎推理作为推理能力的两种不同形式，这次在我们标准修改稿中，就已经明确地提出，推理能力包含了合情推理能力与演绎推理能力。其实在高中的课程标准当中，也提出了合情推理、演绎推理两个概念，因此在我们从义务教育阶段开始，我们就要关注两种能力的培养，一直延续到高中。1、合情推理和演绎推理这二者之间的关系？合情推理，一般包括归纳和类比；演绎推理一般就是从基本事实出发，推出来一些定理，它们再作为推理的出发点，来进行论述。我们在判断一个命题是否正确的时候，首先运用合情推理的方法，包括直观、操作、猜测，然后得出假设。这些假设是否能成立呢？我们就需要用演绎推理的方式去进行证明。所以，合情推理往往是一种发现的方法和手段，而演绎推理是一种证实的手段，它们相辅相成，共同完成对一个命题的认识。我们在生活当中，也用到很多的合情推理，在统计当中，在代数当中也都用到很多合情推理。&美国数学家和数学教育家波利亚写的论著《数学与猜想》的序言中，有一段话说得特别好，他说作为以后要想把数学作为自己终身职业的人，他应该学习演绎推理，因为这是这门学科的一个特点，当然他还要学习合情推理，因为这是使得他的研究工作能够得以进行的一种推理形式。如果你不是把数学作为自己终身职业的人，同样也要学习演绎推理，因为学习了演绎推理，你就获得了一种标准，这个标准就可以用来衡量日常生活中，我们碰到的一些事情。更应该要学习合情推理，因为在他的日常的生活当中，方方面面都要用到合情推理。波利亚很辩证地把这两种推理形式，对于一个无论是以后做数学的人，还是不做数学的人，它的重要性都阐释得很充分。所以合情推理对于我们每个人都是很重要的。&（合情推理这个词就是从波利亚的类比推理和归纳推理来的。当然我们更多指的就是类比和归纳，当然这里面还有其他直觉的、经验的成份，包括特殊化和一般化。）总而言之，就是经过一些合情合理的一些判断，得到一个可能性的猜测，这样一个思维过程就是一个合情推理的过程。当然合情推理会有从特殊到一般，或者从一般到特殊等不同的思维形式。在以往我们的数学教育中，可能还是对演绎推理关注得多，但我们越来越认识到合情推理和人的创新意识与实践能力的培养，联系得非常密切，所以这次课程改革，在课程里面明确地提出来，要培养学生的合情推理能力。&2、在教学中，我们如何去实施，如何去体现？我们需要去做哪些努力？&第一，合情推理，在我们日常对人的发展过程中的作用是非常大的，不专门从事数学，可能很少有机会接触严格的演绎推理，但是合情推理却要经常使用到，我们日常生活中的很多现象，其实往往都是由合情推理得来的。所以在日常的教学中，我们要让孩子们大胆地去发现、大胆地去归纳，大胆地去猜想。我们在课堂上通过动手操作，通过发现，通过你的灵机一动感悟到的东西，一定要大胆地说出来，敢于去猜，你才能迈出研究的第一步。这之后，再利用演绎的方法去从逻辑上去证明，也就有的放矢了。所以在日常教学过程中，千万不要把合情推理作为演绎推理的一个简短的前奏，很快过渡到所谓的“主旋律”了。&第二，合情推理和演绎推理能力的培养，图形与几何是一个很重要的领域，但不是唯一的领域，在很多领域里面都有所体现。代数中法则、公式的获得，我们也可以经历由合情推理到演绎推理的过程，包括刚才提到的统计。&第三，合情推理的落实，跟老师自身对问题的设计也是很有关系的。如果我们只设计一些学生一看就很容易知道结论的问题，他就会觉得老师设计的这个合情推理环节很假，时间长了就对合情推理的环节提不起足够的兴趣。如果我们能够设置好的问题情景，给他一个很开阔的空间，才能够感受到合情推理的价值和意义所在。&例如，先观察下面算式：152&-112&=104&，&92&-72&=32&，&132&-72&=120&，……，能不能自己也写一个跟它们有同样规律的算式呢？能不能用字母来表达刚才所呈现出规律呢？进一步，能不能证明刚才你所猜想的规律呢？实际上当这些算式共同的规律就是奇数的平方差，它们结果都是&8&的倍数。然后我们用字母&2m&+1&和&2n+1&来表达这两个奇数，要做适当的变形，最后得出它含有&8&这个因数。这个问题是由一些特殊的例子得到的一些特殊的规律，尽管前要求学生再举几个例子，但都不能替代证明。&同样这样一个问题，如果我们直接要求“请证明两个奇数的平方差是&8&的倍数”，从结果上好像是一样的，但像前面那样设置问题的话，给学生的就不仅仅是得到这个结论了，而是他经历了观察猜想，自己又举案例去支持他的猜想，再想办法用数学符号来表达规律，进一步通过代数运算去证明。这个例子启示我们，把以前一些纯粹只有演绎这样成分的问题，尽可能改造成既有演绎又有合情推理的过程，在这当中学生的能力就得到了培养。&第四，老师们在平时的教学过程中可能有这样的体会——推理能力孩子们一时半会儿上不来。所以咱们在教学中千万别着急，一定要遵循循序渐进的原则。很多老师在七年级一接触几何就马上开始学演绎证明，但实际上我们走的太急了反而要摔跤，因此推理能力的培养要有层次性，先让学生看到现象能够初步的说明道理，由此出发再慢慢的规范化、形式化，再变成证明，一点一点走，可能会走的更扎实一点。所以建议老师们在平时的教学过程当中，把推理能力贯穿到每个领域、贯穿到每一节课当中，不能一蹴而就，得有耐心。&另外，在平时教学中对于演绎推理，大家不但很重视，而且形式化也很强。当然数学的严谨性是它自身的一个特色，三段论的基本形式我们还是应该坚持，但在学习之初，不要让这种形式化掩盖了学生对证明意义的理解、对证明思路的分析。我们还是尽量在允许的情况下，淡化或者放开一点，学生的精力更多的不是在怎么写上，而是集中在怎么想、怎么理解证明上。&也就是要在规范化和过于刻板之间寻找平衡，有的老师可能担心一开始不规范后面可能就不行了，但这种规范也要建立在他理解的基础之上。他知道这样写的道理是什么，然后我们这种规范才有意义，否则这种规范就变成一种教条，反而阻碍了学生的思维。&许多核心概念，跟知识技能的学习不一样，一定是在一个过程中慢慢的去体会，慢慢的去渗透。所以老师如果试图将某种能力落实在一节课中，可能就是错了，有些能力并不是老师教出来的，实际上是通过不断的在学生解决问题的过程中慢慢感悟出来的。&&以上，我们对图形与几何这部分的内容，从它的整体结构、从它的三个线索及一些核心概念进行了梳理和分析。对于在教学上，我们应该注意哪些问题，有一些建议，与老师们进行了探讨。&&&
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