本题难度：0.51&&题型：解答题
（2015o黄冈中学自主招生）函数[x]称为高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如[5.3]=5，[-2.4]=-3，[4]=4．对任意的实数x，x-1＜[x]≤x．（1）证明：对于任意实数x，有[x]+[x+]=[2x]；（2）解方程：[]=．
来源：2015o黄冈中学自主招生 | 【考点】取整函数．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2015o黄冈中学自主招生）函数[x]称为高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如[5.3]=5，[-2.4]=-3，[4]=4．对任意的实数x，x-1＜[x]≤x．（1）证明：对于任意实数x，有[x]+[x+12]=[2x]；（2）解方程：[5+6x8]=15x-75．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）分别利用：①若x为整数②若x不为整数分析得出等式成立（2）首先得出5+6x8-1＜[5+6x8]≤5+6x8进而得出求出x的值．
【解答】（1）证明：①若x为整数则[x]+[x+12]=x+x=2x=[2x]②若x不为整数设整数部分为a小数部分为r（0＜r＜1）当0＜r＜05时此时0＜2r＜1[x]+[x+12]=“a+a=＜r＜05[x]+[x+12]=[a]+[a]=2a[2x]=[2a+2r]=2a所以[x]+[x+12]=[2x]当05≤r＜1时此时1≤2r＜2[x]+[x+12]=a+a+1=2a+1[2x]=[2a+2r]=2a+1所以[x]+[x+12]=[2x]综上得：对任意的实数x有[x]+[x+12]=[2x]（2）解：∵x-1＜[x]≤x∴5+6x8-1＜[5+6x8]≤5+6x8即5+6x8-1＜15x-75≤5+6x8解得：4190＜x≤≤5+6x8≤936720∴[5+6x8]=0或1则15x-75]=0或1解得：x=715或x=45经检验都符合题意．
【考点】取整函数．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2015o黄冈中学自主招生）函数[x]称为高斯函数，它表示”主要考察你对
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知识点试题推荐
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作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)位错（dislocation）理论。&br&&br&或许是晶体材料学中最重要的理论，没有之一！但什么是位错？&b&缺陷&/b&！对于晶体来说，材料内部的原子都是按照一定规律排列的，如果近距离看，就会发现无数个一模一样的小单元（晶胞）无限地重复。但是好死不死，有一个原子发脾气跑掉了，留下了一个空位，晶体排列就不完美了，传说中的点缺陷就产生了；同样，如果有个调皮的原子跑过来看亲戚，在不该它出现的地方出现了，把周围其他原子挤到一边去，这也是一种点缺陷。点缺陷其实还好，如果正赶上放假，有一整排的原子过来看亲戚，就出现了一排的点缺陷，那么它就被叫做线缺陷，也就是位错（下图所示）。&br&&img src=&/e4d7c0e53f1dac65f524574_b.jpg& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&459& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&/e4d7c0e53f1dac65f524574_r.jpg&&对于我们这种完美主义者来讲，这种不完美的东西真的令人抓狂。但实际上，正是因为有了位错，我们才能使用晶体材料，有时为了获得一些力学性能，我们还要人为地增加这种缺陷。&br&&br&生活中的常见的金属材料，钢，铜，铝等，都属于晶体材料，其内部大量存在着位错，而我们在把它们加工成各种乱七八糟的形状时，主要利用的就是位错的滑移。可以想象，如果一块晶体近乎完美，那么当我们想要拉长或者压扁它，就需要打断原子间的金属键，这不仅需要巨大的能量，而且无法实现塑性形变，材料内部将会产生大量裂纹，甚至断裂；而有了位错，这一切就会变得非常简单，大量位错向着应力方向滑移，足以使材料形变而不损坏。所以，材料的塑性形变，其本质就是位错的产生和滑移。当然，位错的数量也不是可以无限增加，当位错密高到一定程度，位错之间的距离变小，相互勾连缠结，位错滑移反而变得困难，这时材料就会变得更硬更强（就像把一根铁丝扭来扭去，变形的地方就会越来越难扭），这就是加工硬化的道理。著名的Taylor equation就给出了材料强度（&img src=&///equation?tex=%5Ctau& alt=&\tau& eeimg=&1&&）和位错密度（&img src=&///equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&&）之间的关系：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctau%3D%5Calpha+G+b+%5Csqrt%7B%5Crho%7D& alt=&\tau=\alpha G b \sqrt{\rho}& eeimg=&1&&&br&钢淬火形成的马氏体，非常坚固，正是因为里面的位错密度高达&img src=&///equation?tex=10%5E%7B15%7D++%5Cmathrm%7Bm%5E%7B-2%7D%7D& alt=&10^{15}
\mathrm{m^{-2}}& eeimg=&1&&，这是什么概念呢，就是把1立方米的马氏体里所有的位错拉出来，其长度能从地球到太阳走1万多个来回。&br&当然，还有很多其他的方法来阻止位错的滑移，比如加入一些合金原子来锁住位错或者减小晶粒尺寸用晶界来阻挡位错。&br&&br&总而言之，是位错赋予了材料可塑性，金属材料之所以能为人类完成各种高难度的任务，恰恰是因为它们的不完美。如果晶体材料一个个都是顽固的处女座，不肯产生一点不完美，那么我们的生活，将永远停留在石器时代……
位错（dislocation）理论。 或许是晶体材料学中最重要的理论，没有之一！但什么是位错？缺陷！对于晶体来说，材料内部的原子都是按照一定规律排列的，如果近距离看，就会发现无数个一模一样的小单元（晶胞）无限地重复。但是好死不死，有一个原子发脾气跑掉…
看大家都比较感兴趣，我把全文重新组织一遍，并给出了一些浅显的物理解释。&br&&br&&b&1、首先是变换光学带来的无穷魅力。&/b&&br&&br&&br&变换光学的基本原理是根据麦克斯韦方程的空间不变性。&b&讲得浅显一点就是，改变我们所处的物理空间，保持电磁波的空间不变&/b&。&br&&br&比如隐身衣，从电磁波的角度来看，它所处的空间是没有变化的，所以它感觉不到变换前后的差别，所以它就不能分辨有没有物体在隐身衣之内。但是从我们的空间来看，变换前后的空间是完全不一样的，变换后，空间中有一个”洞“，这个“洞”就可以隐藏物体。&br&&br&从数学上来说，变换前后，在隐身衣外面的麦克斯韦方程的解释一致。这并没有违背唯一性定理，因为唯一性定理描述的是各项同性介质的情况。而隐身衣的构成恰好是各向异性介质。&br&&br&隐身衣应该算是变换光学带来的最有意思的东西。第一次从数学上证明了隐身衣的可能性。&br&&br&&u&隐身衣&/u&：&br&&img src=&/c4023d03beebfbb2c0186a_b.jpg& data-rawwidth=&752& data-rawheight=&331& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&752& data-original=&/c4023d03beebfbb2c0186a_r.jpg&&注意电磁波绕过了一个物体，好像这个物体对于它不存在一样。&br&隐身衣有非常多有趣的地方，如果对它感兴趣可以点击这里：&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&浙大的光学隐身技术是怎么回事？&/a&&br&&br&&u&电磁波聚集器：&/u&&br&&img src=&/4cbdea06f37eacef7da4c_b.jpg& data-rawwidth=&392& data-rawheight=&333& class=&content_image& width=&392&&半径为c的圆圈内的电磁波都聚集在半径为a的圆圈内。注意外面的电磁波不受影响。&br&&br&&u&电磁波转向器&/u&：&br&&img src=&/68f62f2e4c9d99d6dbcf63c0c026215f_b.jpg& data-rawwidth=&388& data-rawheight=&331& class=&content_image& width=&388&&&br&半径为a的圆圈内的场旋转了90°。注意外面的电磁波不受影响。&br&&br&&u&超散射&/u&&br&&img src=&/9e302f899f050c08ec48_b.jpg& data-rawwidth=&667& data-rawheight=&291& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&667& data-original=&/9e302f899f050c08ec48_r.jpg&&在星星外面罩一个”面包圈“，使它看上去放大了几倍。注意是360°无死角放大，跟放大镜不一样。&br&&br&&u&看不见的波导&/u&&br&&img src=&/8b796d0bdb5_b.jpg& data-rawwidth=&382& data-rawheight=&346& class=&content_image& width=&382&&&br&&u&弯曲波导&br&&/u&&br&&img src=&/d918c130e44e2f2a0bd9c6d_b.jpg& data-rawwidth=&448& data-rawheight=&404& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&448& data-original=&/d918c130e44e2f2a0bd9c6d_r.jpg&&&br&&u&光学黑洞&/u&&br&顾名思义，所有的光在遇到这个器件的时候，都有去无回。&br&&b&光学黑洞实际上是用电磁材料来控制电磁波的路径，来模拟光掉进黑洞时的路径变化。从这个角度来说还是挺有意思的。&/b&&br&&img src=&/73cc829f0_b.jpg& data-rawwidth=&471& data-rawheight=&361& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&471& data-original=&/73cc829f0_r.jpg&&&br&还有很多别的应用，我就不列举了。通过变换光学可以自由的操作电磁波，这是跟人们以往的想法是不一样。&br&&br&&b&2、电磁波通过一个很小的波导隧穿过去。&/b&&br&&img src=&/4e263bde88be93eb7e91c9a66f5bc1e9_b.jpg& data-rawwidth=&531& data-rawheight=&503& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&531& data-original=&/4e263bde88be93eb7e91c9a66f5bc1e9_r.jpg&&&br&比如这样，电磁波照理来说在经过一个很小的通道时大部分能量会反射回去。但是在这个窄道里填充介电常数为零的介质后，电磁波竟然全部隧穿过来了。这里涉及到折射率为零的材料，电磁波在狭窄的波导里面，以无穷的相速度传播。&br&&br&&b&3、超透镜&/b&&br&光学显微镜有衍射极限，大约为波长的二分之一，这个大家都知道。&br&但是超透镜可以突破衍射极限，能分辨小于二分之一波长的物体。&br&&br&&b&从物理上来说，光学显微镜只是采集了传播波，所以丢失了一部分信息，这部分信息包含在倏逝波里面。&/b&&br&&br&&br&&b&所谓传播波顾名思义是可以传播的波，倏逝波是不能够传播的波，它的波在传播方向上呈指数衰减。而超透镜它，能够将倏逝波转换为传播波，从而使我们得到倏逝波里面的信息。&/b&&br&&br&&img src=&/a93e4485adb986ce0a0fda3c4643c6fc_b.jpg& data-rawwidth=&327& data-rawheight=&236& class=&content_image& width=&327&&&br&&b&4、负折射率材料&/b&&br&负折射率材料在上个世纪还一直以为是不存在的，现在都造出来了。一般实现负折射介质是采用超材料，当然光子晶体也是可以的。&br&&br&如果对超材料感兴趣可以点击这里，我对它做了比较详细的介绍：&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&地铁内超高速 Wi-Fi 中的超材料到底是什么，怎样 「剪裁」电磁波？&/a&&br&&br&负折射率材料有很多反直观的特性，比如逆契伦科夫辐射。&br&什么是契伦科夫辐射？&br&契伦科夫辐射一般来说是物体运动速度大于介质里面波的传播速度。这里的波可以是电磁波，声波，水波等。&br&&br&所以摩托艇在水面滑行产生的水纹就是契伦科夫辐射。飞机超音速飞行时引发的音爆也是由于契伦科夫辐射。&br&&br&&img src=&/e0b08c4411db23aaaae7_b.jpg& data-rawwidth=&673& data-rawheight=&444& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&673& data-original=&/e0b08c4411db23aaaae7_r.jpg&&&br&在电磁波中：&br&对于折射率为2的介质，电磁波的极限速度为0.5c（c是电磁波在真空中得速度），如果一个高能粒子以0.6c的速度射入这种介质，就会产生所谓的契伦科夫辐射。所以应该是这样的：&br&&img src=&/c1b0cdc0a01de70a2575c_b.jpg& data-rawwidth=&280& data-rawheight=&260& class=&content_image& width=&280&&&br&&b&注意，在这里能量传播方向跟波的传播方向相同。&/b&&br&&br&如果将材料替换为负折射率材料，那么很神奇的事情发生了：&br&&img src=&/54b0b27bee5d4c4e06f972_b.jpg& data-rawwidth=&290& data-rawheight=&259& class=&content_image& width=&290&&&br&&b&可以看到能量传播方向跟波的传播方向正好相反。&/b&&br&&br&还有逆多普勒效应，就是电磁波波源离你远去的时候，你发现它的频率在增加。&br&&br&利用负折射率材料还可以制作完美的透镜，电磁波携带的所有的信息都可以恢复，没有衍射极限的问题了，也就是超透镜。&br&&br&&b&6、光子晶体&/b&&br&光子晶体是模拟固体物理中的晶体得到的。这就很神奇了，它跟晶体一样有禁带。&br&首先看看光子晶体怎么实现，它是这样的：&br&&img src=&/8530bbaedce71e414f2be1da178a616e_b.jpg& data-rawwidth=&486& data-rawheight=&290& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&486& data-original=&/8530bbaedce71e414f2be1da178a616e_r.jpg&&&br&蓝色的普通的介质，比如介电常数为8的材料，其他的是空气。&br&照理来说，这种材料是不可以完全阻挡电磁波传播的，但是如果它排成这种周期结构，在某些频率下，它就可以禁止电磁波传播。所以就可以用来束缚电磁波，做成波导：&br&&img src=&/eea36b9bd13a6241fdd0accf_b.jpg& data-rawwidth=&425& data-rawheight=&238& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&425& data-original=&/eea36b9bd13a6241fdd0accf_r.jpg&&&br&有人问这东西有什么用，波导不是可以用金属来做吗。但是在光频道，金属就不再是金属了，它们变成了普通的介质。所以光子晶体具有做光器件的潜力。它还可以做成三维的，就变成了类似光纤的东西。注意它跟光纤不一样，光子晶体是在亚波长尺度调控光波。&br&&img src=&/c7afebb92dbb5aad4c9e017a57a630c3_b.jpg& data-rawwidth=&391& data-rawheight=&257& class=&content_image& width=&391&&&br&&br&&b&7 、表面波&/b&&br&实际上最初接触表面波时，我是觉得它挺反直观的。因为在我们的印象中，电磁波都是在金属波导里面或者在光纤里面，也就是像自来水管一样，要把水通过壁的阻挡局域在水管里面。&br&&br&但实际上，电磁波可以存在物体的表面，或者说 物体与真空的界面。其实自然界中就存在很多表面波，比如水波，它就是一种表面波，这种波存在于水与空气之间。&br&&br&对于电磁波，一种比较奇特的表面波是表面等离子体激元。这种表面波一般存在比较高的频段，比如光频段。这个频段比较靠近一些金属里面电子的谐振频率（比如金、银），光和电子可以直接交换能量，形成一种很奇特的模式。如果从麦克斯韦的参数上来说，此时金属的介电常数为负数。&br&&img src=&/ace65d8ff0d517105bee3e70e2e72006_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&365& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&/ace65d8ff0d517105bee3e70e2e72006_r.jpg&&这东西好玩得很，可以做成波导，或者其它光器件。以后的光电路有可能用到它。&br&&br&当然在低频段，比如微波段也是可以的。虽然在自然界，微波段没有介电常数为负的材料，但是可以 人工制造出来。它可以做成这样：&br&&img src=&/edf1760efb452dd47135b7_b.jpg& data-rawwidth=&474& data-rawheight=&318& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&474& data-original=&/edf1760efb452dd47135b7_r.jpg&&&br&这东西就像电线一样。。。。电磁波就沿着这个“电线”走，是不是很神奇。&br&&br&&b&8、&/b&&b&拓扑&/b&&b&光学&/b&&br&拓扑绝缘体，这个是最近才火的，其影响可媲美石墨烯。当然这东西也是最先出现在凝聚态物理，最近一两年延伸到电磁波。非常神奇的是，电磁波只能在它的表面传，不能在这种材料里面传。而且在表面传时，它的模式是受拓扑保护的。浅显来说，一种模式只能往特定方向传播，就算有一些障碍物，它也可以绕过去。&br&&br&&b&所以很显然，它很适合当波导，不用担心电磁波拐外时带来的反射问题。就像以前的车道，车有的向前有的向后，很容易发生交通拥堵。现在我们建成了单行道，或者高速公路（由向前向后两个单行道构成），那么拥堵问题就会减少了。&/b&&br&&br&上图：&br&&img src=&/9a226a43b3ee1c2af6ed_b.png& data-rawwidth=&927& data-rawheight=&521& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&927& data-original=&/9a226a43b3ee1c2af6ed_r.png&&&br&&img src=&/ef4c18f047e1a85af2cf98c473ff99ef_b.jpg& data-rawwidth=&431& data-rawheight=&491& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&431& data-original=&/ef4c18f047e1a85af2cf98c473ff99ef_r.jpg&&&br&&br&9、慢光&br&顾名思义是让光走得很慢。其中有个原理是电磁感应透明（electromagnetic induced transparence）。这实际上是从quantum physics中引入的一个概念。我们可以从各种结构或者材料来构建一个二能级系统，即两个不同的模式，在这个二能级系统中，不同能级或者说模式相互作用，在特定情况下就会产生电磁感应透明现象。&br&&br&这种现象可以用超材料来实现。一个dark element 在某个频率点谐振，谐振的品质因数非常高；另一个是bright element 在同一个频率点谐振，谐振的品质因数比较小。然后它们两个一叠加，电磁波就可以透射过去了。放个图：&br&&img src=&/fdf64bfb05b_b.jpg& data-rawwidth=&487& data-rawheight=&615& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&487& data-original=&/fdf64bfb05b_r.jpg&&&br&（c）就是（a）和(b)相互作用的结果。我们可以观察到在c中，电磁波是透过去的。&br&&br&其实重点不在这。在这一点，电磁波的群速度会非常小,也就是光停在那里了。&br&当然这其实是从凝聚态物理引申过来的。真正有趣的可能不在我熟悉的领域。&br&去年科学家已经可以将光停止1分钟了。&br&&img src=&/033afab26c_b.jpg& data-rawwidth=&484& data-rawheight=&108& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&484& data-original=&/033afab26c_r.jpg&&&br&&b&10、casimir force及自发辐射&/b&&br&&img src=&/fb25aae624ec8a4fe24b55_b.png& data-rawwidth=&536& data-rawheight=&550& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&536& data-original=&/fb25aae624ec8a4fe24b55_r.png&&&b&真空中并不是空无一物（零点能），里面有各种光子产生和湮灭，虽然总的场为零，但是它们的扰动不为零。&/b&&br&&br&考虑上面的模型，有两块金属板，中间有一些空隙。由于电磁波在金属板之间有特定的模式，并且由于两块板的作用，一些低频率的模式不能存在于板之间，也就是说，有部分的光子的涨落别限制了。这就导致板外面的力比板里面的力要强，进而产生casimir力。&br&&br&另外，范德华力实际上就是casimir力的一种。所以范德华力的也可以用上面的物理来解释[1]。&br&&br&另外，真空中的扰动，也是自发辐射的根本原因。正是由于真空中的扰动，造成了原子中电子能级的变化，从而辐射出光子。&br&还有很多。。。。。&br&&br&&br&现在科学家研究的一般都是反直觉的东西。越反直觉越有价值。每一个重大的breakthrough都是在刷新人们的世界观。&br&&br&P.S. 由于引用的文献太多了，我就不列举了。&br&&br&References&br&1. Rodriguez, A. W., Capasso, F., & Johnson, S. G. (2011). The Casimir effect in microstructured geometries. &i&Nature photonics&/i&, &i&5&/i&(4), 211-221.&br&&br&&b&持续更新中&/b&。。。。。
看大家都比较感兴趣，我把全文重新组织一遍，并给出了一些浅显的物理解释。 1、首先是变换光学带来的无穷魅力。 变换光学的基本原理是根据麦克斯韦方程的空间不变性。讲得浅显一点就是，改变我们所处的物理空间，保持电磁波的空间不变。 比如隐身衣，从电磁…
题主应该问如何理解 1+2+3...=-1/12 的意义，而不应该问是否等于。&br&&br&如果问是否等于，那这取决于”等于“的定义。这个式子是 ramanujan 求和，在”某个“定义下成立。&br&&br&所以，我想题主大概真正想问的也许这类式子背后的意义是什么？ 初等数学/初等物理/其他学科 里都应该不会接触到需要这个式子的场景，要理解动机并不容易。我下面给一个尽可能简单的解释，这需要你对泰勒级数以及初等物理有一点了解。&br&&br&在最前沿的物理理论中，我们想要描述的物理系统往往是非常复杂的，复杂到我们仅仅只知道如何去”微绕计算“。意思是，这个物理系统包含某个参量 λ，然后系统有一系列的可观测量。我们的理论仅仅知道，当 λ 很小的时候，可观测量可以写成 λ 的泰勒级数，然后我们知道如何去逐阶的计算泰勒级数的系数。&br&&br&注意，这和工程上的逐级近似计算是不同的。你把泰勒级数用于工程近似计算，那个理论本身是完全知道的，理论的定义是清晰的。而我上面说这种情况，是 理论本身 就是在逐级展开的意义下，我们把这种理论叫做微扰论( perturbative theory )。那么精确的理论是什么？比如，如果 λ 并不小，我们如何计算对应的物理量？ 很抱歉，没人确切的知晓，这是个悬而未决的大问题，也是理论物理中引导人们思考的中心问题（如果你解决了，可以从 clay institution 得到一百万美元）。&br&&br&注意，我说的是”没人确切的知晓“，而不是”一无所知“。事实上，我们有种种推测方式。例如，如果我们知道 λ 很小的时候，某个物理量是 1+λ+λ^2+λ^3.... 。那么，当 λ 并不小，例如， 当 λ=2 的时候，这个物理量会是多少呢？如果我们直接去计算，会得到 1+2+4+... 发散。但我们确信物理量是不可能发散的。那么很有可能，其实精确解(exact，而不是 accurate) 是 1/(1-λ)，然后由于我们的无能，我们的理论仅仅只能定义在泰勒展开的意义下，所以理论在定义之初就做了一个错误的 泰勒展开，所以我们得到发散的结果。&br&&br&但，发散的结果并非没有意义。如果你计算常见的初等函数的泰勒级数，你会发现除了 1/(1-λ) 之外，没有哪个函数能给出 1+λ+λ^2+λ^3... 这个表达式。事实上，数学定理（ uniqueness of analytic continuation）保证了“解析”函数之中，只有 1/(1-λ) 具有这样的展开式。所以，我们的推测很有可能是靠谱的。&br&&br&上面这个故事真正的启示就是，发散级数中存在“信息”。如果我们足够聪明，我们就可以从这些蛛丝马迹中提取出真相。总结成一句话，就是&br&&br&&blockquote&Series don't d it is not a capricious thing. The divergence of&br&a series must reflect its cause.
---M. V. Berry&/blockquote&&br&回到楼主这个问题。假设你在某个理论中计算一个物理量，比如能量 E，得到一个表达式 E=1+2+3... 。你如何知道，这个式子就是真正精确（exact，而非 accurate）的呢？事实上，我们知道这不可能是精确的，因为能量不可能发散。那么，说不定真正精确的表达式也许是&br&E=1^s+2^s+3^s+...&br&然后我们的理论仅仅只关注了 s-&1 这个极限？！ 假设如此，则我们一开始就犯了个错误，因为这个式子的求和与取极限并不能交换。先极限后求和，结果发散。而先求和，结果是 zeta(-s)，再取极限，得到 -1/12。&br&&br&你也许会问，为什么精确解会是&br&E=1^s+2^s+3^s+... , lim s-&1&br&为什么不是&br&E=1^(1+s)+2^(1+2s)+3^(1+3s)+... , lim s-&0&br&呢？&br&&br&其实你可以构造出无数个式子，其先极限后求和的结果是 1+2+3+... 。如果先求和后极限，他们可能会得到不同的结果（发散级数可能有不同的求和方式）。 那么，我们如何知道 E=1^s+2^s+3^s+... , lim s-&1 这个式子是对的呢？&br&&br&事实上，大部分时候我们不知道。玩这种游戏的时候，结果往往只是种推测。但这种推测可以引导我们去分析问题。例如，1+2+3...=-1/12 这个式子用于弦论在 lightcone 量子化框架下计算能量，之后人们发现可以用另一个框架 BRST 量子化计算能量。后者无需 1+2+3...=-1/12 也仍然得到和前者一样结果。&br&&br&通常而言，诉诸于这类危险操作得到的单个结果并不完全可信。但我们会从不同的框架去判断，有时会和实验/数值模拟对比，如果相互之间的结果都自洽，那我们就相信这是对的。这就是物理学家的思考方式。
题主应该问如何理解 1+2+3...=-1/12 的意义，而不应该问是否等于。 如果问是否等于，那这取决于”等于“的定义。这个式子是 ramanujan 求和，在”某个“定义下成立。 所以，我想题主大概真正想问的也许这类式子背后的意义是什么？ 初等数学/初等物理/其他学…
「重要」的标准见仁见智。且学科的发展是一脉相承的，实际上很难说那一步「更」重要。于是不妨多列举一些，并给出简要评介。&br&物理是实验科学，重大实验发现一般也意味着物理学本身的重大进展，所以写成了大事年表。有些严格来说算是「发现」，不过发现和实验本来就无绝对界限；还有一些实际上是「发明」或者「技术」，但因意义重大，故一并列出。&br&&br&————————————————————&br&&br&&ul&&li&&b&核磁共振（1946）&/b&&/li&&/ul&Edward Purcell和Felix Bloch分别用共振吸收和核磁感应法测量核磁矩，实现了核磁共振。二人因此获得1952年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&Lamb位移（1947）&br&&/b&&/li&&/ul&由Willis Lamb和Robert Retherford发现。Lamb位移是量子电动力学的第一个实验证据。其说明即便最简单的氢原子，量子力学也不能完整描述，而需要用量子电动力学。Lamb因此获得1955年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&电子反常磁矩（1947）&/b&&/li&&/ul&反常磁矩包括电子和μ子的反常磁矩。前者由Polykarp Kusch精确测量，并因此获1955年Nobel物理学奖。反常磁矩同Lamb位移一起，是量子电动力学的最重要的实验支柱。&br&&ul&&li&&b&π介子（1947）&/b&&/li&&/ul&由Cecil Powell等人在宇宙线中发现。Powell因此获得1950年Nobel物理学奖。而在1949年，汤川秀树则因为理论预测π介子存在获得Nobel奖。π介子是最轻也是最重要的介子，对研究低能强相互作用有重要作用。&br&&ul&&li&&b&晶体管（1947）&br&&/b&&/li&&/ul&由Bell实验室的John Bardeen、Walter Brattain和William Shockley发明。三人因此获得1956年Nobel物理学奖。没有晶体管就没有现代文明。&br&&ul&&li&&b&全息摄影（1947）&/b&&/li&&/ul&Dennis Gabor于电子显微镜技术中发现全息技术的原理，并因此获得1971年Nobel物理学奖。全息技术在激光发明后才有实质进展。Yuri Denisyuk在1962年拍摄了世界上第一张全息照片。&br&&ul&&li&&b&微波激射器（）&/b&&/li&&/ul&即激光的前身，和激光的区别是前者为可见光，后者是微波。由美国的Charles Hard Townes和前苏联Nikolay Basov和Aleksandr Prokhorov两组人各自独立实现。三人因此分享1964年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&反质子（1955）&/b&&/li&&/ul&是继正电子之后，发现的第二个反粒子。由Owen Chamberlain和Emilio Gino Segrè发现，二人因此获得1959年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&反中子（1956）&/b&&/li&&/ul&由Bruce Cork发现。因为中子整体不带电，反中子指的是内部的三个夸克与中子内部的三个夸克相反。&br&&ul&&li&&b&中微子（1956）&br&&/b&&/li&&/ul&中微子由W. Pauli于1930年理论上提出。1956年，Clyde Cowan和Frederick Reines在β衰变中首次证实电子型中微子的存在。&br&&ul&&li&&b&弱相互作用中宇称不守恒（1957）&br&&/b&&/li&&/ul&由杨振宁、李政道1956年理论上提出，吴健雄等人于1957年1月做出实验验证。前二位得了同年的Nobel奖。「宇称」是指波函数/场在空间坐标反号下的变换性质。电磁和强相互作用不改变这种变换性质，被称作「宇称守恒」；弱相互作用改变，被称作「宇称不守恒」。&br&&ul&&li&&b&半导体/超导体量子隧道效应（）&/b&&/li&&/ul&量子力学中物体有一定概率穿过经典上无法穿过的势垒，即量子隧道效应。1957年Sony公司的江崎玲於奈在高频晶体管中发现负电阻现象，1960年Ivan Giaever证实超导体中存在隧道效应。二人因此与Josephson效应的提出者B. Josephson分享了1973年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&M?ssbauer效应（1958）&/b&&/li&&/ul&由Rudolf M?ssbauer发现，并因此获得1961年Nobel物理学奖。M?ssbauer效应是Gamma射线的无反冲共振吸收，本质上也是一种核磁共振。其可用于研究原子核与周围环境的超精细相互作用，是一种非常精确的测量手段。&br&&ul&&li&&b&Pound-Rebka实验（1959）&/b&&/li&&/ul&广义相对论最早的精确实验、同时也是三大经典验证（另两个是水星进动和光线偏折）之一。Robert Pound及其研究生Glen Rebka通过测量哈佛大学Jefferson塔顶端和底端两个辐射源频率，得到了与广义相对论预言一致的相对论红移。&br&&ul&&li&&b&光泵（1950s）&/b&&/li&&/ul&光泵即是用光将原子或分子中的电子从低能级激发到高能级。由Alfred Kastler在1950年代发展，并因此获得1966年的Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&红宝石激光器（1960）&/b&&/li&&/ul&日，Theodore Maiman利用红宝石（掺铬的氧化铝结晶）获得了波长为0.6943微米的激光。这是人类有史以来获得的第一束激光。&br&&ul&&li&&b&电子双缝衍射（1961）&br&&/b&&/li&&/ul&这是Thomas Yang光的双缝衍射的电子版。1961年由Claus J?nsson第一个做出，是电子波动性的最直观体现。1974年Pier Merli进一步将电子一个一个单独发射，同样观测到了衍射。&br&&ul&&li&&b&μ中微子（1962）&/b&&/li&&/ul&1962年，Leon Lederman，Melvin Schwartz和Jack Steinberger证实了μ中微子和电子型中微子是不同的中微子。三人因此获得1988年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&合成孔径射电望远镜（1962）&/b&&/li&&/ul&由Cavendish实验室的Martin Ryle发明。用相隔两地的射电望远镜接收同一天体的射电，等效分辨率最高等于一架口径为两地距离的射电望远镜。目前广泛应用的长基线干涉技术，将全球的射电望远镜综合起来，从而获得等效口径为地球直径的射电望远镜。M. Ryle与脉冲星的发现者A. Hewish分享了1974年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&Josephson效应（1963）&/b&&/li&&/ul&电子通过两块超导体中间一层薄绝缘材料的量子隧道效应，由Brian Josephson于1962年预言。Bell实验室的Philip Anderson和John Rowell在实验上验证了的这一效应。Josephson因此与另两位隧道效应发现人江崎玲於奈和I. Giaever分享了1973年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&星际有机分子（1963）&/b&&/li&&/ul&星际有机分子是20世纪60年代天文学四大发现之一。1963年，于仙后座探测到了羟基（OH）。随后1968年在银河系中心区探测到了氨（NH3）和水，1969年发现了甲醛（HCHO）。到1991年，科学家已经陆续发现了超过100种星际分子。星际有机分子可供研究星系及恒星的演化，以及探索地外生命。&br&&ul&&li&&b&宇宙微波背景辐射（1964）&/b&&/li&&/ul&宇宙早期曾经被光充满，这些光就变成今天的背景辐射，峰值在微波波段。1964年由Bell实验室的Arno Penzias和Robert Wilson第一个探测到。二人因此获得1978年Nobel物理学奖。微波背景辐射是大爆炸理论的直接推论，对其的观测是目前早期宇宙学的主要实验手段之一。&br&&ul&&li&&b&CP破坏（1964）&/b&&/li&&/ul&电荷共轭和宇称的联合对称性被称为CP对称性。James Cronin和Val Fitch在中性K介子的衰变（弱相互作用）中首次发现CP对称被破坏。二人因此共享了1980年Nobel物理学奖。CP破坏对解释今天宇宙中物质的数量超过反物质的数量有极其重要的意义。&br&&ul&&li&&b&脉冲星（1967）&/b&&/li&&/ul&脉冲星是一种快速旋转的中子星，其快速旋转的强磁场使得带电粒子发出同步辐射。Cavendish实验室的Antony Hewish及其研究生Jocelyn Burnell发现了第一颗脉冲星PSR1919+21。Hewish因此与合成孔径射电望远镜的发明者M. Ryle共享了1974年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&Gamma射线暴（1967）&/b&&/li&&/ul&天空中某一方向Gamma射线强度突然增强又迅速减弱的现象，由美国的帆船座卫星于1967年首次观测到。普遍认为Gamma暴是来自超新星、恒星塌缩或者黑洞。Gamma暴是目前天文学、宇宙学中最活跃的领域之一。&br&&ul&&li&&b&深度非弹性散射（1968）&/b&&/li&&/ul&指用轻子（电子、中微子等）轰击强子（质子、中子等）的过程。深度非弹性散射提供了夸克（强子内部结构）存在的第一个证据。这一实验由Jerome Friedman，Henry Kendall和Richard Edward Taylor领导完成，三人因此获得1990年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&中微子振荡（）&br&&/b&&/li&&/ul&1968年，在以Raymond Davis和John N. Bahcall领导的「Homestake实验机」中，发现观测到的中微子流量与标准太阳模型预测的不符。这是实验中人们第一次观测到和中微子振荡有关的现象。日，日本超级神冈探测器首次发现了中微子振荡的确切证据。R. Davis和神冈探测器负责人小柴昌俊因此获得2002年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&电荷耦合器件（1969）&br&&/b&&/li&&/ul&这是现在所有光学成像设备的基础。相机、手机、摄像头中都有一块电荷耦合器件（CCD）。由Bell实验室的Willard Boyle和George Smith发明。二人与光纤通讯发明人高锟一起，分享了2009年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&光纤（1970）&br&&/b&&/li&&/ul&1966年，英籍华人高锟首次利用无线电波导通信的原理，提出了低损耗的光导纤维（光纤）的概念。1970年，美国Corning公司首次研制成功石英光纤。同年，Bell实验室研制成功室温下连续振荡的半导体激光器。光纤通信时代从此开启。高锟因此与电荷耦合器件的发明人W. Boyle和G. Smith一起分享了2009年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&Hafele-Keating实验（1971）&/b&&/li&&/ul&Joseph Hafele和Richard Keating通过安装在商业飞机上的铯原子钟，比较了绕地球向东、向西各飞行一圈和呆在原地三种情况下的时钟快慢，结果与相对论预言一致。&br&&ul&&li&&b&Bell不等式实验（1972-）&/b&&/li&&/ul&Bell不等式简言之，即是说任何定域隐变量理论不可能重复量子力学的全部统计预言。其所要验证的，是量子力学和爱因斯坦的「隐变量」（局域实在论）哪个才是真实世界的理论。这是非常基础的物理乃至哲学问题。1972年，Stuart Freedman和John Clauser做了第一个Bell不等式实验。1981-82年，Alain Aspect等人第一次在精确意义上对EPR作出检验，证实了「量子纠缠」的存在。至今40年间，大量实验表明Bell不等式不成立，即量子力学才是正确的理论，世界在本质上是非局域的。&br&&ul&&li&&b&弱中性流（1973）&/b&&/li&&/ul&弱中性流是由Z玻色子传递的弱相互作用形式。由F.J.Hasert领导下在CERN发现。弱中性流的发现支持了支持了Abdus Salam、Sheldon Glashow和Steven Weinberg的电弱统一理论，并最终导致了W±和Z0玻色子的发现。以上三位理论家因此分享了1979年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&射电脉冲双星（1974）&/b&&/li&&/ul&Russell Hulse和Joseph Taylor发现了第一颗射电脉冲双星PSR 1913+16，它们是两颗互相环绕的脉冲星。通过精确地测量射电脉冲双星轨道周期的变化可以间接检测引力波的存在，从而验证广义相对论。二人也因此获得1993年的Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&J/Psi粒子（1974）&/b&&/li&&/ul&由丁肇中与Burton Richter各自领导的小组分别独立发现。二人因此分享1976年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&引力探测器A（1976）&br&&/b&&/li&&/ul&NASA和哈佛Smithsonian天文台于1976年发射「引力探测器A」火箭，上面携带一个了氢原子钟（hydrogen maser，氢原子微波激射器）。其证实了天上的钟走得比地球上的慢，即广义相对论的引力时间膨胀效应。&br&&ul&&li&&b&红移巡天（1977-）&br&&/b&&/li&&/ul&通过测量大量天体红移值，可以确定其距离，从而研究宇宙的大尺度结构。始于1977年的CfA红移巡天是第一个红移巡天实验。目前最大的两个红移巡天项目是：始于2000年的「Sloan数字巡天」（Sloan Digital Sky Survey）和「2度视场星系红移巡天」Two-degree-Field Galaxy Redshift Survey（）。&br&&ul&&li&&b&激光冷却（1978）&/b&&/li&&/ul&通过吸收和自发辐射光子，可减少原子的动量，获得超低温原子。这一技术由Dave Wineland，Robert Drullinger和Fred Walls首次实现。D. Wineland后来因单量子态测量与操控与S. Haroche共享了2012年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&引力透镜（1979）&br&&/b&&/li&&/ul&引力能将光线扭曲，于是就有引力透镜。Dennis Walsh，Robert Carswell和Ray Weymann通过对类星体Q的研究，发现了第一个引力透镜。&br&&ul&&li&&b&整数量子Hall效应（1980）&/b&&/li&&/ul&处于磁场中的导体，因内部电子受Lorentz力偏转而产生垂直电压的现象即Hall效应。量子Hall效应则是其量子版本。其是过去20多年凝聚态物理最重要的进展之一。由Klaus von Klitzing于高强磁场的二维电子气体中观测到，并因此获得1985年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&扫描隧道显微镜（1981）&/b&&/li&&/ul&一种利用量子力学隧道效应探测物质表面结构的仪器。由Gerd Binnig和Heinrich Rohrer在IBM的实验室中发明。两人因此与电子显微镜的发明者E. Ruska共享了1986年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&分数量子Hall效应（1982）&/b&&/li&&/ul&量子Hall效应的分数版本。这一发现揭示了凝聚态物理中准粒子的重要性，以及Landau对称性破缺理论的局限。由崔琦、Horst St?rmer和A. C. Gossard发现。前两人与这一现象的理论解释者Robert Laughlin共享了1998年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&W±和Z0中间玻色子（1983）&/b&&/li&&/ul&类似于光子是电磁相互作用的媒介粒子，W±和Z0玻色子是弱相互作用的媒介粒子。这一发现极大支持了电弱统一理论（类似Hertz发现电磁波是Maxwell电磁理论的绝佳证据一样）。由Carlo Rubbia和Simon Van der Meer领导下在欧洲核子研究中心发现，二人因此获得1984年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&激光冷却与捕获原子（1985）&/b&&/li&&/ul&由朱棣文和William Daniel Phillips于1985年首次实现，获得了极低温度（240μK）的钠原子气体。Claude Cohen-Tannoudji等人于1995年也将铯原子冷却至2.8nK。由于热运动被消除，从而可以实现原子的囚禁和捕获原子。这一技术极大提高了光谱分析和原子钟的精度，并导致了真正的Bose-Einstein凝聚。朱棣文等三人因此共享了1997年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&高温超导（1986）&/b&&/li&&/ul&IBM的Karl Müller and Johannes Bednorz使用铜氧化物首次获得高温超导。两人因此获得1987年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&超新星SN 1987A（1987）&/b&&/li&&/ul&1987年2月，在大麦哲伦星云发生了超新星1987A的爆发。日本的神冈探测器和美国Homestake探测器几乎同时接收到了来自超新星1987A的19个中微子，这是人类首次探测到太阳系外的中微子。&br&&ul&&li&&b&COBE卫星（1989）&/b&&/li&&/ul&1989年升空的COBE（Cosmic Background Explorer）卫星，是专门探测宇宙微波背景辐射的第一颗卫星。COBE证实了宇宙背景辐射的高度各向同性，且精确符合温度约为2.726K的黑体辐射谱；同时银河系相对于背景辐射存在相对运动。COBE最重要的发现是证实了微波背景辐射温度涨落的存在。COBE的领导者John Mather和George Smoot因此获得2006年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&量子Zeno效应（1989-）&/b&&/li&&/ul&「芝诺效应」的量子版本，由George Sudarshan和Baidyanath Misra于1977年在理论上提出。量子Zeno效应的实质是认为观测会延缓乃至「冻结」量子系统的演化。1989年David Wineland在一个双能级量子系统中观测到了量子Zeno效应的存在。至今有大量实验表明观测（环境）会抑制量子系统的演化。&br&&ul&&li&&b&单量子态测量与操控（1980s-）&/b&&/li&&/ul&对单量子态的测量与操控，是量子力学的最直接的检验。Serge Haroche以中性原子为研究对象，实现了原子辐射的腔增强效应、量子退相干、量子纠缠、Fock态光场的产生、单个光子的量子非破坏测量以及单个光子从产生到湮灭的整个过程的观测等等。David Wineland以带电离子为对象，将单个离子冷却到其质心运动的基态，实现了薛定谔猫态、位置－动量空间负值Wigner函数量子态的产生、物质粒子间的量子隐形传送等。二人共享了2012年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&顶夸克（1995）&/b&&/li&&/ul&由美国Fermi实验室发现，是粒子物理标准模型中最后一个被发现的夸克。三代夸克的预言者，小林诚和益川敏英因此（与南部阳一郎一起）分享2008年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&Bose-Einstein凝聚（1995）&/b&&/li&&/ul&一种新物态，为玻色子原子在冷却到绝对零度附近时所呈现出的一种气态的、超流性的状态。日，Eric Cornell和Carl Wieman利用铷-87原子首次制成，四个月后Wolfgang Ketterle利用钠-23也独立制成。三人因此分享2001年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&Casimir效应（1996）&/b&&/li&&/ul&真空中两块靠近的平行不带电金属板会互相吸引。Casimir效应是真空量子涨落的直接结果，由Hendrik Casimir于1948年预言。Casimir效应虽然很早就被证实存在，但直到1996年才首次被精确测定。&br&&ul&&li&&b&量子隐形传输（1997）&br&&/b&&/li&&/ul&量子隐形传输传递的是量子态而非经典的状态。因为量子纠缠的存在，量子态可以瞬间传递。奥地利的Anton Zeilinger等人于1997年首次实现了单量子比特的量子隐形传输。目前中国在这一领域的研究处于世界一流。2005年，潘建伟院士领导的小组在合肥创造了13公里的双向量子纠缠分发世界纪录；2012年首次成功实现百公里量级的自由空间量子隐形传输和纠缠分发。目前量子隐形传输的世界记录是143公里，由奥地利科学家于2012年9月实现。&br&&ul&&li&&b&宇宙加速膨胀（1998）&/b&&/li&&/ul&Saul Perlmutter，Brian Schmidt和Adam Riess分别领导的三个小组，通过对Ia型超新星的观测，发现宇宙正在加速膨胀。三人因此获得2011年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&τ中微子（2000）&/b&&/li&&/ul&τ中微子是粒子物理标准模型最后一个被发现的轻子，也是倒数第二个被发现的粒子（最后一个是Higgs玻色子）。日，美国Fermi实验室宣布发现τ中微子存在的证据。&br&&ul&&li&&b&夸克-胶子等离子体（2000）&/b&&/li&&/ul&由渐进自由的夸克和胶子组成，是一种高温高密的物质形态。由欧洲核子研究中心（CERN）于2000年宣布制成。&br&&ul&&li&&b&WMAP卫星（2001）&br&&/b&&/li&&/ul&宇宙微波背景的探测始于COBE。但是2001年升空的WMAP（Wilkinson Microwave Anisotropy Probe），才真正开始精确测定微波背景的温度涨落，从而开启了精确宇宙学时代。近十年来，WMAP卫星是宇宙学研究数据的主要来源之一。&br&&ul&&li&&b&费米子凝聚（2003）&/b&&/li&&/ul&所谓物质的第六态。费米子通过Cooper对结合呈现玻色子性质，从而实现量子态的凝聚。由Deborah Jin于日首次实现，将50万个钾-40原子冷却至5×10-8 K。&br&&ul&&li&&b&引力探测器B（2004-）&br&&/b&&/li&&/ul&由NASA和Stanford大学于2004年发射，目的是测定地球周围时空曲率，从而直接验证广义相对论。其证实了「测地线效应」，即陀螺在引力场中的进动；以及「坐标系拖拽」，即地球自转的同时，会带着周围时空一起旋转。&br&&ul&&li&&b&石墨烯（2004）&/b&&/li&&/ul&一种由碳原子组成的、只有一个碳原子厚度的二维材料。石墨烯是目前最薄、最坚硬、电阻率最低的纳米材料。通过石墨烯可在常温下实现量子Hall效应。由Andre Geim和Konstantin Novoselov于2004年发现，二人因此获得2010年Nobel物理学奖。&br&&ul&&li&&b&隐形材料（2006）&/b&&/li&&/ul&如果光线可以绕过物体，然后继续沿原来的方向传播，则物体看上去如隐形。2006年，John Pendry等人用超颖材料首次制造出一个可以让微波弯曲绕道的圆柱，即隐形斗篷的原型。目前隐形材料仍然是热门研究领域。&br&&ul&&li&&b&大型强子对撞机（2008-）&/b&&/li&&/ul&位于欧洲核子研究中心（CERN）的大型强子对撞机（LHC）是目前世界上最大、能量最高的粒子加速器。其用以将质子加速对撞，从而进行高能物理研究。LHC于日开机运行。日，CERN根据LHC的数据宣布了Higgs玻色子粒子存在的证据。&br&&ul&&li&&b&Planck卫星（2009-）&/b&&/li&&/ul&Planck卫星是WMAP卫星的后继者，于2009年升空，2013年刚刚开始发布数据。Planck的观测精度已经逼近所谓「宇宙方差」（cosmic variance）的极限。&br&&ul&&li&&b&Alpha磁谱仪（2011-）&/b&&/li&&/ul&Alpha磁谱仪是丁肇中领导、安装于国际空间站上的粒子物理实验设备。其目的在于探测宇宙中的奇异物质，包括暗物质及反物质。日，丁肇中在CERN公布了初步的暗物质探测结果。&br&&ul&&li&&b&Higgs玻色子（2012）&br&&/b&&/li&&/ul&欧洲核子研究中心的大型强子对撞机（LHC）。Higgs粒子是粒子物理标准模型最后一个待发现的粒子，因此被称为「天杀的粒子」（Goddammed particle）。后为和谐起见，被媒体称为「上帝粒子」（God particle）。日，CERN宣布了Higgs玻色子粒子存在的证据。日，CERN正式宣布此前发现的粒子是Higgs玻色子。日，Nobel奖委员会宣布，2013年Nobel物理学奖授予Higgs机制的（部分）提出者Peter Higgs和Fran?ois Englert。&br&&ul&&li&&b&大亚湾中微子振荡（2012）&br&&/b&&/li&&/ul&日，大亚湾实验组宣布发现一种新的中微子振荡。这大概是到目前为止，中国本土做过的最有影响的高能物理实验。&br&&ul&&li&&b&量子反常Hall效应（2013）&/b&&/li&&/ul&量子反常Hall效应同量子Hall效应本质不同。其并不需要外界磁场，而是通过拓扑非平庸的能带结构产生具有手征性的边缘态实现。由中国科学院物理研究所和清华大学物理系于2013年成功实现，并发表在日的《科学》杂志上。一些人认为这是目前中国本土作出的最接近Nobel奖级的物理实验。&br&&ul&&li&&b&四夸克物质（2013）&/b&&/li&&/ul&目前所知的所有由夸克组成的物质，都只包含三个或两个夸克，前者如质子，后者如π介子。但理论上，「四夸克态」或者说「四夸克物质」确实是可以存在的。位于北京中科院高能物理研究所的正负电子对撞机「北京谱仪」合作组（BES III）和位于日本高能加速器研究机构（KEK）的Belle合作组分别宣布发现一个（相同的）新的共振结构，其极有可能是介子分子态或四夸克态。2013年底，在美国物理学会公布的2013年国际物理领域重要成果中，这一发现位居榜首。&br&&ul&&li&&b&原初引力波（2014）&/b&&br&&/li&&/ul&描述经典电磁场的Maxwell方程的波动解对应电磁波，描述经典引力场的Einstein方程同样预言了引力波的存在。日，美国BICEP2实验组宣布在5个σ的置信度上，探测到了宇宙微波背景的“B-模式”极化（或偏振），而B-模式极化通常即认为来自原初引力波。此一方面是对广义相对论理论预言的证实，也是对原初引力波的产生机制——宇宙学暴涨——的支持。&br&&br&————————————————————&br&感谢&a class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@韩冬& data-hash=&3aacd95f3c680a51c282d91fb796b9ac& href=&///people/3aacd95f3c680a51c282d91fb796b9ac& data-hovercard=&p$b$3aacd95f3c680a51c282d91fb796b9ac&&@韩冬&/a& 邀答。&br&这个回答断断续续写了很久。查阅了很多资料，自己也学习了不少。但专业所限，难免挂一漏万，特别是近年的重要实验。有待继续补充。
「重要」的标准见仁见智。且学科的发展是一脉相承的，实际上很难说那一步「更」重要。于是不妨多列举一些，并给出简要评介。 物理是实验科学，重大实验发现一般也意味着物理学本身的重大进展，所以写成了大事年表。有些严格来说算是「发现」，不过发现和实…
&b&花了好长好长时间写的，转载请注明作者。&/b&&br&&br&=======================================&br&&br&题主简直坑爹。不讲微积分怎么给你讲麦克斯韦方程组？你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。&br&&br&&br&&b&1. 力、能、场、势&/b&&br&&br&经典物理研究的一个重要对象就是&b&力force&/b&。比如牛顿力学的核心就是&b&F&/b&=m&b&a&/b&这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个&b&向量vector&/b&（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。&b&能量energy&/b&说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个&b&标量scalar&/b&，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。&br&&br&在电磁学里，我们通过力定义出了&b&场field&/b&的概念。我们注意到洛仑兹力总有着&b&F&/b&=q(&b&E&/b&+&b&v&/b&×&b&B&/b&)的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是&b&势potential&/b&。&br&&br&一张图表明关系：&br&　　　　积分&br&　　力－－－＞能&br&　　｜　　　　｜&br&　　场＜－－－势&br&　　　　微分&br&&br&具体需要指出，这里的电场（标为&b&E&/b&）和磁场（标为&b&B&/b&）都是向量场，也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把xyz三个分量分开来看的话，这就是三个标量场。而能量和势是标量（电磁学中的势其实并不是标量，原因马上揭晓），放到空间中也就是一个标量场。在力/场和能量/势之间互相转化的时候，我们是在3&-&1个标量场之间转化，必然有一些信息是丢掉了的。怎么办？&br&&br&一个显而易见的答案是&b&“保守力场”conservative force field&/b&。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的x一个分量，那么另两个分量yz就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场&b&F&/b&（3个标量场）和（1个）标量场V之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作&b&F&/b&=-&b&?&/b&V。这里不说具体细节，你只要知道&b&?&/b&是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（叫做&b&算符operator&/b&）。&br&&br&那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念，尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了&b&“向量势”vector potential&/b&，以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。&br&&br&总而言之，我想说明一点，那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。&br&&br&&br&&b&2. 麦克斯韦方程组&/b&&br&&br&前边说到，&b&麦克斯韦方程组Maxwell equations是描述电场和磁场的方程&/b&。前边也说到，因为电磁场不是保守力场，它们有三个标量场的自由度，所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此，麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分，而整个方程组也有&b&积分形式&/b&和&b&微分形式&/b&两种。这两种形式是完全等价的，只是两种不同的写法。这里我先全部写出。&br&&br&积分形式：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%281-1%29%7D+%5Cquad+%5Coiint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7BQ_V%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(1-1)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%281-2%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C%0A& alt=&\text{(1-2)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a},
& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%281-3%29%7D+%5Cquad+%5Coiint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(1-3)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = 0,& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%281-4%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+I_S+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D.& alt=&\text{(1-4)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}.& eeimg=&1&&&br&&br&微分形式：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%282-1%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(2-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%282-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D%2C& alt=&\text{(2-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%282-3%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(2-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%282-4%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cmathbf%7BJ%7D+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(2-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&br&&br&这里&b&E&/b&表示电场，&b&B&/b&表示磁场，ε0和μ0只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中Q是电荷，I是电流，V表示一块体积，?V表示它的表面，而S表示一块曲面，?S表示它的边缘。微分形式中ρ是电荷密度（电荷/体积），&b&J&/b&是电流密度（电流/面积），&b&?·&/b&和&b&?×&/b&是两个不同的算符，基本可以理解为对向量的某种微分。&br&&br&先不说任何细节，我们可以观察一下等式的左边。四个方程中，两个是关于电场&b&E&/b&的，两个是关于磁场&b&B&/b&的；两个是曲面积分∫d&b&a&/b&或者散度&b&?·&/b&，两个是曲线积分∫d&b&l&/b&或者旋度&b&?×&/b&。不要管这些术语都是什么意思，我后面会讲到。但光看等式左边，我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西，非常对称。&br&&br&&br&&b&3. 电荷-&电场，电流-&磁场&/b&&br&&br&这一部分和下一部分中，我来简单讲解四个式子分别代表什么意思，而不涉及任何定量和具体的计算。&br&&br&我们从两个电荷之间的库仑力讲起。&b&库仑定律Coulomb's Law&/b&是电学中大家接触到的最早的定律，有如下形式：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%283%29%7D+%5Cquad+%5Cmathbf%7BF%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4+%5Cpi+%5Cepsilon_0%7D+%5Cfrac%7BQ_1+Q_2%7D%7Br%5E2%7D+%5Cmathbf%7B%5Chat%7Br%7D%7D%2C& alt=&\text{(3)} \quad \mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \mathbf{\hat{r}},& eeimg=&1&&&br&其中Q是电荷，r是电荷之间的距离，&b&r&/b&是表示方向的单位向量。像我之前说的，把其中一个电荷当作来源，然后刨去另一个电荷，就可以得到电场的表达式。&br&&br&高中里应该还学过&b&安培定律Ampere's Law&/b&，也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式，但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源（电荷）之间的“力”，而安培定律是描述了“一个”来源（电流）产生的“场”。事实上，电磁学中也有磁场版本的库仑定律，描述了两个微小电流之间的力，叫做&b&毕奥-萨伐尔定律Biot-Savart Law&/b&；反之，也有电场版本的安培定律，描述了一个电荷产生的磁场，叫做&b&高斯定律Gauss's Law&/b&。这四个定律之间有如下关系：&br&&b&　　　　　　　　　　　　电场　　　　　磁场&/b&&br&&b&两个微小来源之间的力&/b&　库仑定律　毕奥-萨伐尔定律&br&&b&单个来源产生的场&/b&　　　高斯定律　　　安培定律&br&&br&数学上可以证明库仑定律（毕奥-萨伐尔定律）和高斯定律（安培定律）在静电学（静磁学）中是完全等价的，也就是说我们可以任意假设一个定律，从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学，前者是非常不便的而后者很却容易，所以尽管库仑定律在中学中常常提到，麦克斯韦方程组中却没有它，有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(1)和(4)的第一项，即：&br&&br&高斯定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%284-1%29%7D+%5Cquad+%5Coiint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7BQ_V%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(4-1)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%284-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D.& alt=&\text{(4-2)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}.& eeimg=&1&&&br&安培定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%285-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+I_S%2C& alt=&\text{(5-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S,& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%285-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cmathbf%7BJ%7D.& alt=&\text{(5-2)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}.& eeimg=&1&&&br&&br&我们继续推迟讲解数学关系，单看这几个式子本身，就能看到等式的左边有电场&b&E&/b&（磁场&b&B&/b&），而右边有电荷Q（电流I）或电荷密度ρ（电流密度&b&J&/b&）。看，&b&电荷产生电场，电流产生磁场&/b&！&br&&br&&br&&b&4. 变化磁场-&电场，变化磁场-&电场&/b&&br&&br&然而这不是故事的全部，因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应，也就是说变化的磁场是可以产生电场的，这就是&b&法拉第定律Faraday's Law&/b&。类似地，麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善，除了电流以外，变化的电场也可以产生磁场，这被称为&b&安培-麦克斯韦定律Ampere-Maxwell Law&/b&。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(2)和(4)的第二项，即：&br&&br&法拉第定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%286-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(6-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%286-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D.& alt=&\text{(6-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}.& eeimg=&1&&&br&安培-麦克斯韦定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%287-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(7-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%287-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(7-2)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&br&&br&同样地，等式的左边有电场&b&E&/b&（磁场&b&B&/b&），而右边有磁场&b&B&/b&（电场&b&E&/b&）的导数d/dt或偏导?/?t。看，&b&变化磁场产生电场，变化电场产生磁场&/b&！&br&&br&需要指出的是，我这样的说法其实是不准确的，因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场（磁场）和磁场（电场）的变化率之间的定量关系，而不是因果关系。&br&&br&小结一下，我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思，基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学，具体看看这些方程到底说了什么。在这之前，我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。&br&&br&&br&&b&5. 向量积分&/b&&br&&br&普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积，我们用长x乘宽y，即xy。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的（也就是说宽是一个长的函数，即宽=y(x)），那么我们就需要积分，记为“∫y(x)dx”。这样的想法也很容易推广到更高的维度，比如在一块体积V内，若电荷密度为ρ，那么这块体积内的总电荷就是Q=ρV；如果ρ在空间中每一点都不一样，是个关于坐标的函数ρ(x)，那么就要变成积分Q=∫∫∫ρ(x)dV（这里三个∫表示是一个三维的积分，很多时候也可以省略写为一个∫）。&br&&br&在向量场中，这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂，必须使用&b&点乘dot product&/b&，即&b&u·v&/b&，它暗示着两个向量之间的角度，也就是有多么平行。如果&b&u&/b&和&b&v&/b&完全平行，它们的点乘是一个正值；如果方向相反，则是一个负值；如果垂直，那么为0。另一方面，我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积V，我们可以只积一个曲面S或者一条曲线γ。这就是所谓的曲面积分和曲线积分的概念。&br&&br&&b&曲面积分surface integral&/b&有如下形式：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%288%29%7D+%5Cquad+%5Cint_S+%5Cmathbf%7BF%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(8)} \quad \int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&br&其中S表示我们需要积的曲面，&b&F&/b&是我们想要积的向量场，&b&·&/b&代表点乘，&b&a&/b&指向垂直于S的方向。因此，我们看到，如果&b&F&/b&和S是平行的，那么点乘处处得0，这个曲面积分也为0。换句话说，&b&曲面积分表示着向量场F穿过曲面S的程度&/b&，因此也很形象地叫做&b&通量flux&/b&。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲面所在的位置）：&br&&br&曲面积分（通量）为0：&br&→ → → → →&br&--------------------&br&→ → → → →&br&&br&曲面积分（通量）不为0：&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑ ↑&br&--------------------&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑&br&&br&那么&b&曲线积分line integral&/b&也很类似，只不过我们不积一个曲面S而是一个一维的曲线γ。它有如下形式：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%289%29%7D+%5Cquad+%5Cint_%5Cgamma+%5Cmathbf%7BF%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D%2C& alt=&\text{(9)} \quad \int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l},& eeimg=&1&&&br&其中γ表示我们需要积的曲线，&b&·&/b&代表点乘，&b&l&/b&指向曲线γ的方向。不难看出，&b&曲线积分表示着向量场F沿着曲线γ的程度&/b&。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲线γ）：&br&&br&曲线积分不为0：&br&→ → → → →&br&--------------------&br&→ → → → →&br&&br&曲线积分为0：&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑&br&--------------------&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑&br&&br&特别地，如果曲线是闭合的（首尾相连的），那么我们可以在积分符号∫上画一个圈，表示闭合，然后这个特殊的曲线积分叫做&b&环量circulation&/b&，因为是积了一个环嘛。很显然，如果&b&F&/b&是个保守力场，那么我随便找一个闭合曲线，做的功都一定为0（这就是保守力场的定义啊），所以&b&保守力场的任意环量都为0&/b&。最后一提，“环量”这个名字很少使用，一般就直接叫做“闭合曲线的积分”。&br&&br&定义一个通量所使用的曲面S则不一定要是闭合的，任何曲面都可以。如果这个曲面很特殊恰好是闭合的，我们也可以在积分符号∫∫上画上一个圈，代表闭合，但这个量则没有一个特殊的名字了。&br&&br&总结如下表：&br&&b&　　　　　　曲面积分　曲线积分&/b&&br&&b&表示向量场&/b&　通过曲面　沿着曲线　&b&的程度&/b&&br&&b&又叫做&/b&　　　　通量　　　－－&br&&b&若为闭合　&/b&　　－－　　　环量&br&&br&&br&&b&6. 麦克斯韦方程组的积分形式&/b&&br&&br&我非常不严谨地描述了曲面积分和曲线积分分别是什么。我们回头看看麦克斯韦方程组的积分形式，我们应该都能看懂了。&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coiint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7BQ_V%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(10-1)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(10-2)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coiint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(10-3)} \quad \oiint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = 0,& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+I_S+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D.& alt=&\text{(10-4)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}.& eeimg=&1&&&br&&br&&b&(1) 高斯定律&/b&：　　　　电场&b&E&/b&在闭合曲面?V上的通量，等于该曲面包裹住的体积V内的电荷（乘上系数1/ε0）；&br&&b&(2) 法拉第定律&/b&：　　　电场&b&E&/b&在闭合曲线?S上的环量，等于磁场&b&B&/b&在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率（乘上系数-1）；&br&&b&(3) 高斯磁定律&/b&：　　　磁场&b&B&/b&在闭合曲面?V上的通量，等于0；&br&&b&(4) 安培麦克斯韦定律&/b&：磁场&b&B&/b&在闭合曲线?S上的环量，等于该曲线环住的曲面S里的电流（乘上系数μ0），加上电场&b&E&/b&在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率（乘上系数μ0ε0）。&br&&br&虽然在我看来，这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了，但对于没有学习过微积分的同学来说，显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。&br&&br&&b&(1) 高斯定律：&/b&&br&&br&&b&例子1&/b&：假设我们有一个点电荷Q，以其为球心作一个球，把这块体积称为V，那么?V就是这个球的表面。这个电荷Q产生了一些电场，从中心的Q向外发射，显然电场线都穿过了球的表面?V，所以“闭合曲面?V的通量”是个正数，不为0，而“该曲面包裹住的电荷”为Q，也不为0。&br&&br&&b&例子2：&/b&假设我们把电荷Q替换为-Q，那么所有的电场线方向都反过来了，?V的通量（记得通量中的点乘吗？）也因此获得了一个负号，所以“闭合曲面?V的通量”变成了负数，而“该曲面包裹住的电荷”为-Q，也变成了负数。等式再一次成立。&br&&br&&b&例子3：&/b&假设我们把这个球的半径扩大为原来的2倍，这个球的表面积就变成了原来的4倍。与此同时，由于库仑力的反比平方定律，由于球表面与球心电荷Q的距离变成了原来的2倍，在球表面?V的电场强度也变成了原来的1/4。通量（电场和面积的积分）获得一个系数4，又获得一个系数1/4，所以“闭合曲面?V的通量”没有变，而“该曲面包裹住的电荷”显然仍然为Q，也没有变。&br&&br&&b&例子4：&/b&事实上，我们随便怎么改变这一块表面积的大小、体积，算出来的通量都不会变（尽管会非常难算），因为等式的右边“该曲面包裹住的电荷”一直都没有变。&br&&br&&b&例子5：&/b&假设我们把电荷移到这个曲面外面，那么电场线会从这个球的一面穿透进去，然后从另一面出来，所以当我们做积分的时候，两个方向的通量抵消了，整个“闭合曲面?V的通量”为0，而此时我们的曲面没有包裹住任何电荷，所以“该曲面包裹住的电荷”也为0。等式成立。&br&&br&&b&(2) 法拉第定律：&/b&&br&&br&&b&例子6：&/b&一圈闭合导线，环住了一块曲面S，则记这个曲线的位置为?S，那么经过?S的电场&b&E&/b&的环量其实就是导线内的电势（电压）。垂直于S通过一些磁场&b&B&/b&，则通过S的磁通量不为0。然而此时导线内并没有电流，也就是说，并没有电压，“闭合曲线?S的环量”为0。这是很显然的，因为磁通量并没有变化，没有电磁感应，换句话说，“曲面S上的通量的变化率”为0。&br&&br&&b&例子7：&/b&这个时候我突然增加磁场，所以磁通量变大了，“磁通量的变化率”为正，不为0。因此，等式的左边“闭合曲线?S的环量”也为正，不为0，也就是说，导线内产生了一些电压，继而产生了一些感应电流。这正是大家熟悉的法拉第电磁感应。&br&&br&&b&例子8：&/b&如果我不是增加磁场，而是减小磁场，那么磁通量变小了，“磁通量的变化率”为负。那么等式左边“闭合曲线?S的环量”也获得了一个负号，换句话说，感应电流的方向反了过来。&br&&br&&b&(3) 高斯磁定律：&/b&&br&&br&&b&例子9&/b&：随便选择一个闭合曲面，整个曲面上的磁通量一定为0。这和电场的情况迥然不同，因此说明，不像有可以产生电场的“电荷”，这个世界上是没有能单独产生磁场的“磁荷”（也就是“磁单极子”）的。&br&&br&&b&(4) 安培-麦克斯韦定律：&/b&&br&&br&&b&例子10&/b&：假设我们有一个电流I，以其为轴作一个圆，把这个圆称为S，那么?S就是这个圆的边缘。这个电流I产生了一些磁场，（按照右手定则）绕着导线。显然磁场线和?S都是“绕着导线”，方向一致，所以“闭合曲线?S的环量”是个正数，不为0，而“该曲线环住的电流”为I，也不为0。&br&&br&&b&例子11&/b&：假设我们改变电流方向，即把I变成-I，那么所有的磁场线方向都反过来了，?S的环量也因此获得了一个负号，所以“闭合曲线?S的环量”和“该曲线环住的电流”均获得一个负号。等式再一次成立。&br&&br&&b&例子12&/b&：和高斯定律很像，我们随便怎么改变这一个环的大小、面积，只要环住的电流不变，算出来的环量都不会变（尽管可能会非常难算）。而若电流在这个环外面，尽管仍然有磁场存在，但在计算环量时相互抵消，使得等式两边都变成0。&br&&br&&b&例子13&/b&：“变化的电场产生磁场”（即第二项）的例子非常难找，这也正是安培当年没有自己发现、非要等到麦克斯韦帮忙才发现的原因。我这里不妨不再细述，读者只要接受这个设定就好。有兴趣的读者可以自己思考一个这种情况的例子。&br&&br&最后，还记得我们之前说过“保守力场的任意环量都为0”吗？显然，要想让磁场的环量为0，那就只能既没有电流（方程(4)中的第一项），也没有变化的电通量（第二项），那么磁场只能为0。换言之，任何磁场都不是保守力场。想让电场的通量为0还比较简单，只需要令磁通量不变（方程(2)）就好了。换言之，只有在静电学（电磁场均静止不变）中，静电场才是保守力场。&br&&br&&br&&b&7. 向量微分&/b&&br&&br&麦克斯韦方程组描述了所有的电磁现象，从每个方程的名字也可以看出，方程组总结、整合了前人（库仑、高斯、安培、法拉第等）发现的各种现象和其方程（在麦克斯韦以前这样的方程可能有数十个），而麦克斯韦把它们总结归纳到了一起，用短短四个公式涵盖了所有现象，非常了不起。然而平心而论，积分形式仍然显得颇为繁琐，原因有二：1. 积分是很难算的，虽然每一个方程的左右两边都必然相等，但随便给你一个场和一个曲面/曲线，想把左侧的积分算出来极为困难；2. 也正因为如此，我们尽管有可以描述电磁场的方程，但给定一个特定的来源（比如天线中一个来回摇摆的电荷），我们想算出具体的&b&E&/b&和&b&B&/b&也是极为困难，因为我们只知道E和B在某个特殊曲面/曲线上的积分。&br&&br&这就是微分形式的好处。首先，计算一个给定向量场的微分（散度和旋度）是很简单的，只要使用之前提到过的&b&?·&/b&和&b&?×&/b&算符就好，而这两个算符都有一套固定的算法。其次，散度和旋度代表着一个向量场的两种不同的自由度，有着非常直接的几何意义，从这两个量中恢复出向量场也是比较直观的过程。当然，我们又需要再准备一些向量微积分的知识，其中的重点就是散度和旋度。&br&&br&&b&散度divergence&/b&，顾名思义，是&b&指一个向量场发散的程度&/b&。一个向量场&b&F&/b&的散度是一个标量场（向量场的每一点有一个自己的散度），写作&b&?·F&/b&（这个写法也很直白，因为点乘就是标量）。如果一个点的散度为正，那么在这一点上&b&F&/b&有向外发散的趋势；如果为负，那么在这一点上&b&F&/b&有向内收敛的趋势。&br&&br&&b&旋度curl&/b&则&b&指一个向量场旋转的程度&/b&。一个向量场&b&F&/b&的旋度是一个向量场（向量场的每一点有一个自己的旋度，而且是一个向量；这是因为旋转的方向需要标明出来），写作&b&?×F&/b&（这个写法也很直白，因为叉乘就是向量）。如果一个点的旋度不为0，那么在这一点上&b&F&/b&有漩涡的趋势，而这个旋度的方向表明了旋转的方向。&br&&br&举些例子，以下是两个向量场的例子。其中第一个向量场往外发散，但完全没有旋转扭曲的趋势；第二个向量场形成了一个标准的漩涡，但没有任何箭头在往外或往里指，没有发散或收敛的趋势。（显然这两个图都是用字符直接画的；大家凑合着看，有空我再搞张好看点的图）&br&&br&散度不为0、但旋度为0的向量场：&br&
↗&br&← · →&br&
↘&br&&br&旋度不为0、但散度为0的向量场：&br& ↗
↘&br&↑ · ↓&br& ↖
↙&br&&br&因此，如你所见，散度和旋度描述的都是非常直观的几何性质。只要知道一个向量场的散度和旋度，我们就可以唯一确定这个向量场本身（这是亥姆霍兹定理，我要是有兴致可以以后简单谈谈）。&br&&br&麦克斯韦方程组的微分形式，就是要描述电磁场的散度和旋度。我前边说到，微分形式和积分形式是完全等价的，我很也可以很轻松地从一个形式推导出另一个形式，用的是高斯定理（不要和高斯定律混淆、又叫散度定理）和斯托克斯定理。&br&&br&&b&高斯定理Gauss's Theorem&/b&：一个向量场&b&F&/b&在闭合曲面?V上的通量，等于该曲面包裹住的体积V里的&b&F&/b&全部的散度（&b&F&/b&的散度的体积积分）。这是可以想象的，毕竟通量就是在计算有多少场从这个闭合曲面里发散出去了，也就是总共的散度（散度的积分）。&br&&br&&b&斯托克斯定理Stokes' Theorem&/b&：一个向量场&b&F&/b&在闭合曲线?S上的环量，等于该曲线环住的曲面S上的&b&F&/b&全部的旋度（&b&F&/b&的旋度的曲面积分）。这也是可以想象的，毕竟环量就是在计算有多少场和这个环方向一样（有多少场在沿着这个环旋转），也就是总共的旋度（旋度的积分）。&br&&br&总结如下表：&br&&b&　　　　　曲面积分　　曲线积分&/b&&br&&b&积分形式&/b&　　通量　　　　环量&br&&b&联系&/b&　　　高斯定理　斯托克斯定理&br&&b&微分形式&/b&　　散度　　　　旋度&br&&br&&br&&b&8. 麦克斯韦方程组的微分形式&/b&&br&&br&了解了散度和旋度的概念之后，我们便可以读懂麦克斯韦方程组的微分形式了。&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(11-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D%2C& alt=&\text{(11-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(11-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cmathbf%7BJ%7D+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(11-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&br&&br&&b&(1) 高斯定律&/b&：　　　　电场&b&E&/b&的散度，等于在该点的电荷密度ρ（乘上系数1/ε0）；&br&&b&(2) 法拉第定律&/b&：　　　电场&b&E&/b&的旋度，等于在该点的磁场&b&B&/b&的变化率（乘上系数-1）；&br&&b&(3) 高斯磁定律&/b&：　　　磁场&b&B&/b&的散度，等于0；&br&&b&(4) 安培麦克斯韦定律&/b&：磁场&b&B&/b&的旋度，等于在该点的电流密度&b&J&/b&（乘上系数μ0），加上在该点的电场&b&E&/b&的变化率（乘上系数μ0ε0）。&br&&br&我们可以看出，电荷和电流对电场和磁场干的事情是不一样的：电荷的作用是给电场贡献一些散度，而电流的作用是给磁场贡献一些旋度。然而变化的电磁场对对方干的事情是一样的，都是给对方贡献一些旋度。&br&&br&想看一些具体例子的同学要失望了。微分形式的例子比较难举，因为微分形式主要是让计算更加简便，在数学上比较有优势，而应用到具体的现象上则不那么显而易见。不过，至少静电磁场的例子还是可以举的。比如，我们知道电场线总是从正电荷出发、然后进入负电荷，这正是在说电场的散度在正电荷处为正，在负电荷处为负。再例如我们知道磁场线总是绕着电流，而不会进入或发源于电流，这也就是在说磁场有旋度而一定没有散度。&br&&br&&br&&b&9. 电磁波&/b&&br&&br&我刚刚提到，微分形式的主要好处是数学上处理起来很简便，我现在就给一个例子，也就是著名的光速。想象我们在真空中，周围什么都没有。这个时候，显然电荷密度和电流密度均为0，所以麦克斯韦方程组的微分形式变成了：&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(12-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = 0,& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D%2C& alt=&\text{(12-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(12-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(12-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&br&&br&这四个公式简直太对称了！而且它们的含义也很清晰，基本就是说，变化的电场产生磁场，而变化的磁场产生电场。这就是&b&电磁波electromagnetic wave&/b&的方程，电磁波也就是电场和磁场此消彼长、相互转化、向前传播的形式。&br&&br&想要具体解出这个方程的解，还是需要玩儿一会儿微积分的，但是我们注意到两个式子分别有系数-1和μ0ε0。如果你了解波动方程的话，从这两个系数就可以算出这个波传播的速度，为&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7B%D+%5Cquad+c+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cmu_0+%5Cepsilon_0%7D%7D.& alt=&\text{(13)} \quad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}.& eeimg=&1&&&br&&br&然而！μ0和ε0这两个常数是真空的性质（分别叫做&b&真空电容率vacuum permittivity&/b&和&b&真空磁导率vacuum permeability&/b&），是个定值。换句话说，&b&电磁波传播的速度（光速）也是一个定值&/b&！也就是说，在任何参考系里观察，光速都应该是一样的c！这根据伽利略速度相加原理是不可能的（静止的你