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正态分布的期望和方差怎么求
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不用二重积分的,可以有简单的办法的.设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 其实就是均值是u,方差是t^2,百度不太好打公式,你将就看一下.于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*） 积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域,所以略去不写了.（1）求均值 对（*）式两边对u求导：∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得：∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 把(u-x)拆开,再移项：∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u 这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u.(2)方差 过程和求均值是差不多的,我就稍微略写一点了.对(*)式两边对t求导：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 移项：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 正好凑出了方差的定义式,从而结论得证.
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[求助] 非正态分布数据能用均值标准差表示吗？
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丁香园准中级站友
这个帖子发布于11年零272天前，其中的信息可能已发生改变或有所发展。
我的实验数据大多为非正态分布，本来是用中值和范围表示，老板建议改用均值加减标准差或标准误表示，请问可以吗？若标准差比均值还大，该如何表示呢？谢谢！！
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如上所述，如果是用于描述，可用中位数（最小值，最大值）表示，若用于统计学比较，则先需将数据转换成正态分布，然后作比较。一、如何判断一个资料是否为正态分布。最常用的是让SPSS做出频数分布图，这样比较直观，但不够精确。一个比较简单有效的方法是让SPSS做出描述性统计分析(Descriptive Statistics)，在Distribution(分布分析)这个选项卡中将Skewness(偏度系数)和Kurtosis(峰度系数)两个选项前的方框打上小钩，这样就可以得出偏度系数和峰度系数及其标准误。然后将所得的偏度系数和峰度系数除以其标准误，就可以得出资料在偏度和峰度上按u分布(若为小样本，则为t分布)的检验值，所得到的值若&1.96(P&0.05)，则数据在该方向上为正态分布；反之，所得到的值若&1.96(P&0.05)或&2.58(P&0.01)，则资料在该方向上为偏态分布。即如果资料为正态分布时，Skewness与Kurtosis的值都应等于零，若Skewness值为正时，曲线左偏，Skewness值为负时，曲线右偏。而Kurtosis值为正时，曲线较平坦，Kurtosis值为负时，曲线峰度超出正态分布，即靠中心处的数据过多(当然，这在频数图上一目了然，但频数图不能证明正态性，而偏度和峰度检验则可做到这一点)二、如何处理非正态资料。当一组资料不为正态分布或在方差分析时，各组资料方差不齐，这时常需对资料进行适当的变量变换，使资料转换成正态分布或使各组资料达到方差齐性，使之满足t检验及方差分析的应用条件。常用的有对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等。SPSS在Transform(变量变换)命令中提供了Compute(计算，即给新变量赋值)命令，并且提供了算术函数、转换函数、累计分布函数、日期和时间函数、逆分布函数、逻辑函数、缺省值函数、随机变量函数、样本统计函数、字符函数等十余类函数，完全可以满足日常工作的需要。具体操作为：在Transform菜单中选择Compute命令，然后在target(目标变量)中输入目标变量名，并定义其数据类型，然后在Numeric Expression方格中填写相应的表达式。例如，我们要定义y＝kog x，则可先输入原始数据x，然后在target方框中输入y，并定义其数据类型，然后在Numeric Expression方框中输入LG10(x)即可。当然，算术运算符+(加)、-(减)、?(乘)、/(除)、??(乘方)等均可应用。其他 常用的函数表达式如下：ABS(numexpr)?绝对值函数?(numexpr为numeric expression)、ARSIN(numexpr)(反正弦函数)、ARTAN(numexpr)(反正切函数)、EXP(numexpr)(指数函数)、LN(numexpr)(自然对数函数)、SQRT(numexpr)(平方根函数)、TRUNC(numexpr)(取整函数)、SIN(radians)?正弦函数，radians为弧度?、COS?radians?(余弦函数)等。呵呵，希望能加分！！！
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对于不服从正态分布资料的描述:若是经对数变换后，可转换成正态分布的资料，可使用几何均数和对数标准差描述。其余资料可使用中位数描述其集中趋势，用四分位数间距描述其离散程度。
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均数用于表示集中趋势这只是说在正态分布时或者偏态不太严重时，如果偏态严重，或者有异常的极大极小值，对均数影响很大，这时均数绝对不能代表集中趋势，应该用中位数，众数，或者截尾均数等等。 虽然中心极限定律可以使样本均数符合正态，但是这个均数不代表整体均数，没有意义。
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如果，是对资料进行描述，那么建议还是使用中位数，百分位数。可以对你的资料进行变换，看是否符合正态分布。均值和标准差主要在正态分布的资料的描述。
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谢谢windowsplay ！我在统计时进行了转换，请问描述时也能用转换后的数据吗？转换后数据不就变了吗？比如105（12－300）转换成正态后可能是7(2.5-10)若和不需转换的数据放在一起就没有可比性了呀？这一直是我的疑问，请别见笑。请大侠们赐教！
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描述不能用转换后的数据，非正态资料用中位数和最大最小值表示。
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谢谢与众不同 ！请问我如果用均值加减标准误来表示所有的数据，可以吗？因为老板让把非正态分布的数据也改成均值加减来表示，大侠们谁有办法使我既达到老板要求又能正确表示数据？非常感谢！
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如上所述，如果是用于描述，可用中位数（最小值，最大值）表示，若用于统计学比较，则先需将数据转换成正态分布，然后作比较。一、如何判断一个资料是否为正态分布。最常用的是让SPSS做出频数分布图，这样比较直观，但不够精确。一个比较简单有效的方法是让SPSS做出描述性统计分析(Descriptive Statistics)，在Distribution(分布分析)这个选项卡中将Skewness(偏度系数)和Kurtosis(峰度系数)两个选项前的方框打上小钩，这样就可以得出偏度系数和峰度系数及其标准误。然后将所得的偏度系数和峰度系数除以其标准误，就可以得出资料在偏度和峰度上按u分布(若为小样本，则为t分布)的检验值，所得到的值若&1.96(P&0.05)，则数据在该方向上为正态分布；反之，所得到的值若&1.96(P&0.05)或&2.58(P&0.01)，则资料在该方向上为偏态分布。即如果资料为正态分布时，Skewness与Kurtosis的值都应等于零，若Skewness值为正时，曲线左偏，Skewness值为负时，曲线右偏。而Kurtosis值为正时，曲线较平坦，Kurtosis值为负时，曲线峰度超出正态分布，即靠中心处的数据过多(当然，这在频数图上一目了然，但频数图不能证明正态性，而偏度和峰度检验则可做到这一点)二、如何处理非正态资料。当一组资料不为正态分布或在方差分析时，各组资料方差不齐，这时常需对资料进行适当的变量变换，使资料转换成正态分布或使各组资料达到方差齐性，使之满足t检验及方差分析的应用条件。常用的有对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等。SPSS在Transform(变量变换)命令中提供了Compute(计算，即给新变量赋值)命令，并且提供了算术函数、转换函数、累计分布函数、日期和时间函数、逆分布函数、逻辑函数、缺省值函数、随机变量函数、样本统计函数、字符函数等十余类函数，完全可以满足日常工作的需要。具体操作为：在Transform菜单中选择Compute命令，然后在target(目标变量)中输入目标变量名，并定义其数据类型，然后在Numeric Expression方格中填写相应的表达式。例如，我们要定义y＝kog x，则可先输入原始数据x，然后在target方框中输入y，并定义其数据类型，然后在Numeric Expression方框中输入LG10(x)即可。当然，算术运算符+(加)、-(减)、?(乘)、/(除)、??(乘方)等均可应用。其他 常用的函数表达式如下：ABS(numexpr)?绝对值函数?(numexpr为numeric expression)、ARSIN(numexpr)(反正弦函数)、ARTAN(numexpr)(反正切函数)、EXP(numexpr)(指数函数)、LN(numexpr)(自然对数函数)、SQRT(numexpr)(平方根函数)、TRUNC(numexpr)(取整函数)、SIN(radians)?正弦函数，radians为弧度?、COS?radians?(余弦函数)等。呵呵，希望能加分！！！
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为什么不可以呢，均数用于表示集中趋势，Sd表示离散趋势。如Sd很大，表明变异很大，代表性不好。正态分布在统计上有很多优良性能，数据转化后只能用于统计分析，不可用于描述。你老板是对的。
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均数用于表示集中趋势这只是说在正态分布时或者偏态不太严重时，如果偏态严重，或者有异常的极大极小值，对均数影响很大，这时均数绝对不能代表集中趋势，应该用中位数，众数，或者截尾均数等等。 虽然中心极限定律可以使样本均数符合正态，但是这个均数不代表整体均数，没有意义。
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经正态性检验，偏度系数和峰度系数检验的P值均大于0.05，说明资料服从正态分布。该资料可使用均数描述其集中趋势，标准差描述其离散程度。正态性检验的任意一个系数检验（偏度系数和峰度系数检验）的P值小于0.05，或两个系数检验的P值均小于0.05，说明资料不服从正态分布。如果均数与中位数相差较大，也可能不是正态分布资料。
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请问前辈们用SPSS16.0怎样把非正态的数据转换后进行t检验啊？
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summer520 如上所述，如果是用于描述，可用中位数（最小值，最大值）表示，若用于统计学比较，则先需将数据转换成正态分布，然后作比较。一、如何判断一个资料是否为正态分布。最常用的是让SPSS做出频数分布图，这样比较直观，但不够精确。一个比较简单有效的方法是让SPSS做出描述性统计分析(Descriptive Statistics)，在Distribution(分布分析)这个选项卡中将Skewness(偏度系数)和Kurtosis(峰度系数)两个选项前的方框打上小钩，这样就可以得出偏度系数和峰度系数及其标准误。然后将所得的偏度系数和峰度系数除以其标准误，就可以得出资料在偏度和峰度上按u分布(若为小样本，则为t分布)的检验值，所得到的值若&1.96(P&0.05)，则数据在该方向上为正态分布；反之，所得到的值若&1.96(P&0.05)或&2.58(P&0.01)，则资料在该方向上为偏态分布。即如果资料为正态分布时，Skewness与Kurtosis的值都应等于零，若Skewness值为正时，曲线左偏，Skewness值为负时，曲线右偏。而Kurtosis值为正时，曲线较平坦，Kurtosis值为负时，曲线峰度超出正态分布，即靠中心处的数据过多(当然，这在频数图上一目了然，但频数图不能证明正态性，而偏度和峰度检验则可做到这一点)二、如何处理非正态资料。当一组资料不为正态分布或在方差分析时，各组资料方差不齐，这时常需对资料进行适当的变量变换，使资料转换成正态分布或使各组资料达到方差齐性，使之满足t检验及方差分析的应用条件。常用的有对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等。SPSS在Transform(变量变换)命令中提供了Compute(计算，即给新变量赋值)命令，并且提供了算术函数、转换函数、累计分布函数、日期和时间函数、逆分布函数、逻辑函数、缺省值函数、随机变量函数、样本统计函数、字符函数等十余类函数，完全可以满足日常工作的需要。具体操作为：在Transform菜单中选择Compute命令，然后在target(目标变量)中输入目标变量名，并定义其数据类型，然后在Numeric Expression方格中填写相应的表达式。例如，我们要定义y＝kog x，则可先输入原始数据x，然后在target方框中输入y，并定义其数据类型，然后在Numeric Expression方框中输入LG10(x)即可。当然，算术运算符+(加)、-(减)、?(乘)、/(除)、??(乘方)等均可应用。其他 常用的函数表达式如下：ABS(numexpr)?绝对值函数?(numexpr为numeric expression)、ARSIN(numexpr)(反正弦函数)、ARTAN(numexpr)(反正切函数)、EXP(numexpr)(指数函数)、LN(numexpr)(自然对数函数)、SQRT(numexpr)(平方根函数)、TRUNC(numexpr)(取整函数)、SIN(radians)?正弦函数，radians为弧度?、COS?radians?(余弦函数)等。呵呵，希望能加分！！！
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请问后来你是用了什么方式来描述这些非正态的数据呢？因为我也在写论文时遇到了这样的情况，我的标准差也都比均值大，该怎么办？另外，如果我用中位数（最小值，最大值）来表示这些数据的话，应该怎么分析这些数据呢？比如说我的有两组数之间是这样的A药
C药3.671±3.05864.941±3.22284.744±3.5381.572±2.54071.242±2.30742.435±2.879上面这两组的中位数（最小值，最大值）是3（0，10）5（0,11）5.5（0,11.5）0（0,5.5）0（0,11.5）0（0,7.5）这个怎么分析啊？哎，完全不懂。
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非正态性资料需要25，中位数，75百分位表示才是正规的
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问一个比较弱智的问题，如果转换了，那不就是把原始数据都变了吗，这还检验个啥啊？有意义吗？ 不会的，转换的只是数据，比较的性质和意义没有变，一样可以说明问题。
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如果用秩和检验处理非正态的两组数据，我 的论文表格应该怎么表述？列上秩均值，秩和 和中位四分位间距？均值正负标准差要写吗？？
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请问后来你是用了什么方式来描述这些非正态的数据呢？因为我也在写论文时遇到了这样的情况，我的标准差也都比均值大，该怎么办？另外，如果我用中位数（最小值，最大值）来表示这些数据的话，应该怎么分析这些数据呢？比如说我的有两组数之间是这样的A药
C药3.671±3.05864.941±3.22284.744±3.5381.572±2.54071.242±2.30742.435±2.879上面这两组的中位数（最小值，最大值）是3（0，10）5（0,11）5.5（0,11.5）0（0,5.5）0（0,11.5）0（0,7.5）这个怎么分析啊？哎，完全不懂。你好请问你是怎么解决你的疑问的
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Lanchliu edited on
弯弯下弦月 请问后来你是用了什么方式来描述这些非正态的数据呢？因为我也在写论文时遇到了这样的情况，我的标准差也都比均值大，该怎么办？另外，如果我用中位数（最小值，最大值）来表示这些数据的话，应该怎么分析这些数据呢？比如说我的有两组数之间是这样的A药
C药3.671±3.05864.941±3.22284.744±3.5381.572±2.54071.242±2.30742.435±2.879上面这两组的中位数（最小值，最大值）是3（0，10）5（0,11）5.5（0,11.5）0（0,5.5）0（0,11.5）0（0,7.5）这个怎么分析啊？哎，完全不懂。我正在处理数据也遇到了和你一样的问题，请问你知道怎么处理了吗？请指教，谢谢啦
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xingshuai2011
不会的，转换的只是数据，比较的性质和意义没有变，一样可以说明问题。 请教 用转换后的数据做统计理解是对的 但是在结果表示的时候怎么表示，比如正态t值p值，非参数后t值是不是没有了？另外还有方差分析F值？
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