夹逼不动点定理与数列求数列和函数极限如何放大缩小数列和函数？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-08-18 20:53 标签： 复合函数求极限定理
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用数列极限计算函数极限的夹逼定理
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英文原名Sandwich Theorem，也称两边夹定理、、夹挤定理、挟挤定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一，是
数学、化学
Squeeze/Sandwich Theorem
适用领域范围
一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：
（1）当n&N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，
（2）{Yn}、{Zn}有相同的极限，设为-∞&a&+∞
则，数列{Xn}的极限存在，且当 n→+∞，limXn =a。
证明 因为limYn=a limZn=a 所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在N1，N2，当n&N1时 ，有〡Yn-a∣﹤ε，当n&N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n&N时，∣Yn-a∣&ε，∣Zn-a∣&ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε
F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即x→Xo时, limF(x)=limG(x)=A
则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有
F(x)≤f(x)≤G(x)
则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)
即　A≤limf(x)≤A
故 limf(Xo)=A
简单的说：函数A&B,函数B&C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。
1.设{Xn}，{Zn}为，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.
若存在N，使得当n&N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.
2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定
f(x)的极限
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意见反馈及投诉2018考研数学复习：函数与极限必背定理
2018考研数学复习：函数与极限必背定理
黎明的心智发展
函数与极限考研数学是大家备考阶段第一淘汰的学科，那么逃不过的考研er就会问考研数学复习过程中，有没有更好的方式方法？选择怎样的参考资料，做哪种类型的练习题才能在短期内提高成绩。贱贱的告诉你，并没有，就像考研本身就是没有捷径可走的。考研数学由不同的知识点组合起来，成绩的高低并不仅仅是喜欢数学就能够解决的。勤加练习，熟能生巧，方法公式就摆在课本上，而你要做的就是老老实实、认认真真的把课本上的公式自己推导一遍，才能在考场上运用自如。考研数学也是有需要背诵的知识，那就是一些常用的公式定理，考研er必须在2018考研复习基础阶段就背的滚瓜烂熟，以方便解题做题。1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。3、函数的极限函数极限的定义中0定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A&0(或A0(或f(x)&0)，反之也成立。函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。单调有界数列必有极限。6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。
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黎明的心智发展
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简介: 写字易，然书法惟风韵难及
作者最新文章　　2016年《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》今天正式亮相，新大纲没有任何的变化，说明考研数学继续往年的命题规律。
　　在历年的考研真题中，求极限问题都占有比较大的比重。极限的计算分为两种，一种是求数列极限，一种是求函数极限。不论是在数一、数二还是数三的真题中，求函数极限的问题无疑是考查频率最高的，其解题方法之前已经介绍过。相对于函数极限来说，数列极限考查的频率不是特别高，但它是数一、数二的重点，在客观题和主观题中都考查过。对于数列极限，考研主要考查四个方法：夹逼准则、单调有界准则、定积分的定义、转化为函数极限来求数列极限。
　　下面具体介绍一下这四种方法：
　　1.利用夹逼准则求极限
　　求项和（或项积）数列的极限，可以考虑使用夹逼准则。
　　这类数列的特点是：数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的。求项积的数列极限，也可以利用夹逼准则，但需要先取对数化为项和的形式。
　　使用夹逼准则，需要对所求的数列进行放大缩小，通常的做法是：（1）若果是分式，将分母放大或缩小；（2）如果不是分式，常常利用均值不等式放缩。
　　2.利用单调有界准则求数列极限
　　首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，对递推关系式取极限，解方程,，从而得到数列的极限值。
　　单调有界准则通常用来证明数列极限存在，而这类题常以解答题的形式考查。
　　（实习编辑：豆雪蕾）
　　?冲刺宣言：考研帮重招出击，请来大牛级老师（）?
　　?考研帮冲刺集训课，快速提分，对效果负责（限额）（）（）?
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