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学年初一数学组读书笔记
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叶军2017读书笔记&&
让我们沉下心来聆听大师的呐喊：数学教育，教师为本
首都师范大学数学科学学院&方运加
&&&&日人民日报刊载了温家宝的文章《教育大计教师为本》。这篇文章是温总理于日到北京三十五中学听了5节课后的点评以及座谈会上听取教师代表发言后的讲话。
温总理对数学课的点评，表明了他对初中数学及其教学是十分熟悉的，是内行，对教师教学的评价是中肯而又恰当的。温总理的文章标题&&&教育大计教师为本&，可谓一语中的，指明对当前包括数学教育在内的整个中小学教育来说，教师是根本，抓这个根本，是重中之重：温总理听课、评课、讲话的指向均是教师，他说：百年大计，教育为本；教育大计，教师为本，如果说教育是国家发展的基石，教师就是基石的奠基者。他提出：教师是知识的传播者和创造者，更要不断地用新的知识充实自己。教师只有学而不厌，才能做副诲人不倦。
一、产出杰出人才& 务必教师为本
温总理在文章中提到钱学森曾问他，为什么现在我们的学校总是培养不出杰出人才？钱学森就这个问题问过温总理五、六次。温总理说：我理解，钱学森讲的杰出人才不是我们说的一般人才，而是像他那样有重大成就的人才。如果拿这个标准来衡量，我们这些年甚至建国以来培养的人才尤其是杰出人才，确实不能满足国家的需要，还不能说在世界上占到应有的地位。温总理还指出，我们出去这么多留学生，也成长了一批人才，充实了各行各业，但确实很少有像李四光、钱学森、钱三强那样的世界著名人才。
目前的情况是，有关方面显然还没有意识到中小学数学教师在我国是被长期扭曲塑造的。教师们热衷的各种数学教学目标均将数学教育之根本的意义：培养求原理、讲道理、懂科学、有智慧、究根底、会思考的人的要求抛之九霄云外，所执之数学教学目标，一是为考试服务，二是&假、大、空&。
【说的太好！以职称制度而论，中小学确立职称制度，本来是对知识分子的尊重，按照教学年限和资历、成就，正常而自然的晋升职称本来是教育部门主动为一线教师服务的必修课，但看目前的职称制度，已经成了普通教师的噩梦，教育行政部门和学校教育管理部门都有直接&卡&教师晋升职称的权利：公共课缺一次，否决；校级以上公开课要5节以上，各项证明；班主任不仅年限足够，还有&优秀&&&这就难说了，管理人的事情是横看成岭侧成峰，年级主任看你顺眼，笑呵呵就是&优秀&，否则你怎么干出实际成绩都没用；论文，正式发表和花钱购买的竟然可以同样同台竞争&&，教师几十年都是为了某些证书、证明而努力，而不是专业教学、学生能力的提高。于是，厚黑者可以上，只要脸皮厚；老老实实工作的，不想去拍马屁的，等着吧，耗死你！
再有，参加过联考阅卷的教师都知道，学生学得再好也没用，还要看教师怎么制定阅卷标准、是不是认真阅卷。&扣一分&真的没处说理去，考试是教学的指挥棒，怎么批改就怎么教学，于是，数学教学就演变成一件很奇怪的事情：很多数学教师课堂上不讲数学，不讲思想和方法，一心讲这个题型怎么得分、怎么避免扣分。于是，&训练有素&的学生真是&名师出高徒&，开口闭口是&燕尾模型、猪蹄模型&&&他们知道什么是数学模型！数学课堂上少见真实的数学问题，都是面向考试的智力含量极低的考试题，要么特别简单，要么非常绕人，数学教师本人也极少重温那些好的问题了。讽刺的是，这些教师占据了学校主要部门的&优秀&行列，因为他们的分数好看一点，会&死z学生&&&这种&优秀&的标准，已经成为学校教学的常态标准，少有人作出反思。而这些人其实并不相信自己的做法，他们早已经悄悄想办法把自己的子女送到国外去了。】
可以猜想，钱学森向温总理提出这个问题时，他内心和总理一样实际上是知道答案的，他是过来人，他知道应该如何做，只是他可能不大了解近几十年来中国中小学数学教育的细节，他熟知或了解的是早已流逝的过去。他本人在中国上个世纪的二、三十年代曾经享受过高水平的中学数学教育，他的中学数学老师是傅种孙。
二、中国的数学教育大师&&傅种孙
傅种孙()当时在北京师大附中教几何。他教几何时，每逢考试，必预先告诉学生要带圆规和直尺。但当时的学生大多不很认真，常常忘带，考试时临时抱佛脚，就用铅笔杆代替直尺，再从兜里拿出一个铜圆（形同现在流通的硬币）来画图。傅先生针对这个情形，干脆出了一个题目，让学生研究&用一个铜圆代替圆规，能否作直尺与圆规所能作的一切工作？&显然，傅先生的这道题对学生来说应该算是具有挑战性的问题。
众所周知，平面几何作图工具仅限于圆规和直尺。其中，直尺是没有刻度的，是一根具有理想的直且有有限长度的棍子。傅先生的学生用铅笔充当尺子虽不符合要求，但还不算离谱。用铅笔一类的物品充当直尺的关键不在于他是否是直的以及能否利用它画得很直，而在于画图者的观念或思想是否把它看作直线或线段。公元前三世纪以前，即欧几里得的《几何原本》诞生之前，圆规和直尺曾被当时的数学工作者看成是地位平等的画图工具。人们在作图时，对利用圆规和直尺，或只用圆规、或只用直尺是不加区别的。当时的人们有个风气，喜欢以增加问题条件的严苛性来挑战问题，用以证明自己比别人更智慧。他们不断的给问题设立苛刻的条件或前提，例如，在平面上作图只用直尺行不行、只用圆规行不行等，用以挑战智慧的极限。之后，欧几里得撰写教科书《几何原本》（这是世界上第一本传播科学真理和方法的教科书，建议专门研究&课程与教学论&的专家首先应该读懂这本书）时，才规定了以圆规和直尺为几何作图的基础。
在之后的二千年间，用尺规作图的研究并未停顿。直到1797年，意大利数学家Mascheroni证明了&所有用圆规和直尺可解的作图问题，只用圆规也能够精确地解决。&（注：有事实说明在他之前已有人率先证明了这个结果）
1833年瑞士数学家Steiner证明了：在平面上给出一个定圆和它的中心，则每个用圆规和直尺可解的作图题，只用直尺也能够解决。十九世纪，非欧几何产生，尺规作图仍是具有挑战性的问题，数学家们随即证明了在罗巴切夫斯基平面上也可以不用直尺作图。另外，对尺规作图问题的研究也导致了十九世纪的一些重要的数学进展，例如群论的产生就是作图问题代数化所促成的结果。
说到这儿，傅先生让学生研究的利用一个铜圆作图的问题相当于几何中的什么要求呢？傅先生把这个问题干脆称为&铜圆几何学&。这个几何学比只用圆规作图的几何学还要苛刻。是否比&固定脚开度的圆规作图&更苛刻呢？显然，实心的铜圆连&已知圆的圆心&这个条件都否具备，这铜圆甚至还不能算作已知圆。至此，这个铜圆能做什么，不能做什么，的确是个具有趣味性和挑战性的开放性问题。
三、傅种孙与钱学森的传承关系
八十年前的事了，傅先生早以作古，提这事干吗？五十年前，二十世纪六十年代初，钱学森在中国科技大学给o班学生授课，期末，他给学生出了一道题：建立从地球发射一颗航天器绕太阳飞行一周后再返回地球的数学模型。这班学生都是精选出来的中国航天事业的后备人才，他们考了一上午没人做出来，反而晕倒了几个。中午用餐后下午接着考，最终无人做出。结果是这班学生被钱教授延长了半年学业才毕业。（注：这个事是从电视访谈钱学森的秘书涂元季将军的节目中获知的，文字上可能有不准确之处，但事情是确凿的）
一位中学数学教师傅种孙，一位世界著名的科学家钱学森，他们都为自己的学生出了一道题，一道绝不平凡的题，精彩而又深刻，难得的考题。这之间有什么关系吗？
【感想：现在的课堂要求中规中矩，不可越雷池半步，这里面，既有教学纲要的束缚，也有流行的教学理念的束缚，更与教师知识和思维能力有关。如遇老师在课堂上过分延伸，评课者大约总是要批评的，因为他总认为一堂课必须围绕&教学重点&展开，你花时间讲题外话了，如何帮助学生&突破难点&呢？教师的课堂在这些无形的力量的影响下，变得千篇一律、毫无内容与个性可言。中庸之道，确实害死人。】
北师大附中是钱学森的中学母校。从1923年到1929年，他在这里度过了6年学习时光。钱学森曾坦陈：在我一生的道路上，有两个高潮，一个是在师大附中，一个是在美国读研究生的时候。师大附中的学习生活对我的教育很深，对我的一生，对我的知识和人生观起了很大的作用。&一个铜圆&和&一个绕日返回地球的航天器&，两道数学题，两个不同的时代，一对师生，这诠释了什么呢？这当中蕴含着某个规律，存在着重大的&解&。这个&解&可以说明为什么建国以来培养的人才尤其是杰出人才，确实不能满足国家的需要；可以解答为什么我们的学校总是培养不出杰出人才。
我们不妨以傅种孙培养出钱学森、闵嗣鹤（中国著名的数学家、北京大学教授、陈景润那篇著名的论文的审稿人，也曾在北师大附中任数学教师）这样的学生为例，剖析中国数学教育，从根本上揭示问题，求出解来。
四、中国数学教育的问题所在
当前中国数学教育究竟存在着什么问题？温总理到北京三十五中学听的那节数学课已经很能够说明问题了。传统的中学初中几何是平面几何：现在的初中数学课本给出的则是平面与立体界限模糊的几何（因为《数学课程标准》不提&几何&二字，所以现在的课本也往往不提&几何&二字）【这种现象，众所周知，唯有大家说出来发表出来才有说服力，良可叹矣。不用&几何&而用&图形与证明&，无论从数学本质还是从简洁性来讲，都是很可笑的。可是类似的掩耳盗铃的事情，现在是遍地开花。】。但&三角形全等的判定&的魅力就在于其最佳运用背景是平面空间。就以风筝为例，将这个具有轴对称特点的实物正投影在平面上后，其对称（全等）关系并不能单纯依靠平面上的平移、旋转这两个动作而使其得到验证，通俗讲就是风筝的左半部分有可能在平面上无论经过什么样的旋转、平移都不会与右半部分重合。这相当于说，在平面上，仅靠平移和旋转无法验证所有的轴对称关系。面对这个问题，先贤们，可能最早的-是古希腊先哲泰勒斯归纳出了若干判定三角形全等的要素来解决这个矛盾，这个判定的重要性、必要性就在这里。但从北京三十五中学的这堂数学课看，教师采用了翻折的方法来验证轴对称，用以说明风筝的左右部分是全等的。在三维空间（或称平直的立体空间）通过平移、旋转、翻折这三个动作使两个图形重合，自然也就说明了全等。在立体空间这个背景下，平面上的三角形的全等判定定理显然不那么必须了，因为用三个动作的变换就可以使两个三角形重合，即可说明这两个三角形全等。当然，这种运动性的变换尚须以图形的刚性不变为前提，这也是被现在的课本和教师都忽视的前提。通过报导，我们还看到这堂课用了量角器、圆规、尺子。几何的魅力，几何之能够促使人更智慧的思考，就在于这个系统要求用尽量简单的动作、尽量简单的工具处理并不简单的事物。【&实验&、&&操作&、&合作探究&，这些流行的新名词，都驱使教师们原理数学本质，把思维能力的开发寄托于&动手实验&，可能该理念的倡导者希望动手合作之类的事情可以促进学生理解，但这些毕竟是辅助措施，而不能完全替代抽象的思维。一个疑问是：为何认为传统的几何教学就没有实验操作合作探究呢？】&&三角形全等判定&的魅力就在于其抓住了全等的本质，摆脱了用器具&实际测量&的束缚，这是数学科学的聪明之处。不难看出，我们讲数学课的老师没有讲出数学的聪明，没有讲为什么要有三角形判定定理，没有讲若没有这个判定定理会发生什么。当然，即使没有明确这些问题或要求，温总理也非常内行的指出：一堂课只教会学生三角形全等的判定，内容显得单薄了一些，还可以再增加一点内容。
但令人遗憾的是，相关任课教师在其后的一篇报导中，对温总理所指出的问题的认识是：这次总理特别选择了一个中学的普通班，这个班级的学生多数不属于基础很好的学生。【我们总是在低估学生的能力。】因此，课程内容量和讲课速度，都要考虑到这部分学生对于知识的接受能力&&，我理解，总理所说的增加课的容量，应该就是要求教师要在注重基础的同时，也要满足不同层次学生的需求。(日新京报A08版)
北京三十五中学是区级的示范（重点）校。显然，该教师没有领悟温总理的评析。这不怪这位老师，因为，当前我国的&三角形全等判定&的课都是这样上的，若说有差别那也仅仅是这节课是讲一个判定还是讲三个判定的量上的差别。根据教育部颁布的现行的《数学课程标准》，出自不同出版社的多套教材也大致就是这样编写的。再往大了说，到目前为止，人们还是没有认识到&教育大计教师为本&的实质性意义。人们问着&我们为什么产生不出世界级的大师？&，却不愿意面对答案：我国中小学数学教师队伍缺乏或干脆没有像傅种孙这样的大师级的教师。我们所倡导的、追捧的、培养的数学教师与傅种孙这样的中学数学教师的专业和思想差距越来越大。而在上个世纪二、三十年代，距中国政府正式引进西方现代中小学数学课程及标准不超过二十年的情况下，我们就已经有了在数学教育思想水平上不输世界著名数学家克莱因这样的大师级的中学数学教师傅种孙。而只有这样的数学教师才能最终培养出钱学森、钱三强、李四光、陈省身、杨振宁、李政道、吴健雄这样的世界级的科学技术大师。
五、以傅种孙为榜样& 向傅种孙学习
今天的中国数学教育是中国教育的重灾区吗？可以用灾难深重来形容吗？若真是这样，此灾已经影响并正在继续影响着中国人的创新能力。许多知道或了解世界主要科学领域发展状况的有识之士清楚地看到：面对世界科学技术的最高水平，我们与之的差距似乎正在扩大。令人忧心啊！
中国的数学教育的根本在于数学教师，在于究竟应该培养什么样的数学教师，提倡什么样的数学教学。在于以怎样的视野、用什么样的话语来讨论数学教育问题。
我们就以傅种孙先生为例，来搞清楚一个数学教师究竟应该有什么样的数学根底，对数学知识有什么样的思想认识。以大师为榜样，我们应该如何培养像傅先生这样的教师，提倡傅& 这样的教学。
学森曾回忆过听傅先生讲课的感想，他说：&听傅老师讲几何课，使我第一次懂得了什么是严谨科学。&一名数学教师通过自己的数学课使一位未来的世界级科学家第一次懂得了什么是严谨科学，这是非常了不起的，也是非常值得后世效仿的。只可惜，我们今天的数学教育或数学教学，有多少人是提倡通过数学课来使学生懂得严谨科学的。当今的数学课本不提倡，数学教学不提倡，甚至我们的数学教育研究也不提倡。现在的数学课提倡学有用的数学，讲究立竿见影，喜欢抛弃本质，而在非本质的形式上打转转、作文章。这使得学生追求实惠、时髦，即使是学得非常好的，也容易为&实利&所累。话说回来，什么样的数学教师才能使学生懂得并追求严谨科学的规律或要求呢？傅种孙早在1920年前后就已经注意到西方先进的数学科学进展，特别重视与数学教育相关的思想或哲学层面的数学发展状况。例如数学哲学、数理逻辑、几何基础，集合理论等等。这些领域在当时是十分活跃的，是罗素、怀特海、克莱因、希尔伯特这些大师级数学思想家驰骋的天地，而这些知识涉及的往往是数学原理、数学思想，属于数学科学的哲学思考，对挖掘中小学数学的思想价值、育人价值极有意义。哪怕是最简单的数学对象，例如1、2、3、&&、线段、三角形、圆这些最基本的数字和几何图形也具有非常深刻的科学背景或数学思考，简单的知识并不简单。对此，傅先生深入研究过罗素的4《算理哲学》；早在1920年就发表过论文《什么是数学》。他将几何研究的先进成果引入我国，翻译出版了希尔伯特的《几何原理》。他于1931年所著《高中平面几何教科书》更是风行全国。由此再看傅先生向学生抛出&铜圆几何&，显然绝非偶然。傅先生注重对数学的原理、道理、科学方法、智慧思考的发掘，并将这些思想贯穿于数学教学的始终，使学生从数学中获取尽可能多、尽可能大的思想力量。我们就以当今小学数学中的&比和比例&的教学为例，看看傅先生是如何认识这个教学内容的。他认为教师首先要搞清楚：
（一）什么是比？给学生讲比时，若讲码对尺的比，不是用公尺与市尺的关系来打比方，而是应该用三个手指与一个手指的关务作比喻。这就是：用比例说比。
（二）什么是比例？两比相等就是比例。这是用比来说比例。
搞清楚了（一）和（二），自然就有问题
（三）比与比例应该谁先谁后？
这个问题是我们现今的小学数学教师很少会考虑的。课本上也是不会有的，但这又的确是个历史悠久且颇具思想意义的问题，靠小学生自主探究或凭空想是想不出来的。首先是教师要有这个问题意识。但是，关于这个问题，现如今的小学数学教师未曾受过相应的数学训练，自然是不会思想到的，更由于教师缺乏对数学的科学认识，因此也就不会把问题（三）当作一回事，学生的发展智慧和提高理性思维能力的学习机会就这样流逝了。傅先生对这个问题有精到且科学的表达，可惜无人去读，更没有被重视，被淹没在历史的尘埃中。至此我们看到，今天，无论是中小学数学老师还是学生，绝大多数人对数学中的&比与比例的意义&的认识处在表面化是个不争的现实。而实际上问题还远没有完结。傅先生进一步指出：
在确立了比的意义之后，继之而来的问题：
（四）什么是量（liǎng）数？量Q的量数是该量对于特定么率（单位）U之比，显然么率不同则量数Q:U不同，这个问题未曾解决以前，我们又有问题
（五）(Q1/U)/ (Q2/U)=（Q1/U&)/ (Q2/U&)吗？
（六）能说两量的比即是它们的量数的比吗？
傅先生指出当时（1941年）的教科书都漠视（五）而漫谈（六），这是个缺憾。他不无讥讽的指出：我说的这一切，都是我们教学中所认为不成问题的。幸而学生们都有颜回之风，终日不言，教师得安然无事，若有子路在座，怕是要不得安宁了。【此所谓质疑的思想，纵观中学课堂，这样的学生是越来越少了，甚至老师偶尔讲错了，也长时间无人知觉，进而大胆质疑。再者，一些无知而自负的教师，对学生提出质疑的做法比较反感，他们缺乏一种严谨的科学精神，以为自己讲错了是不小心，但是面子上还要过得去，若让学生帮自己纠错，岂不有失尊严？】
&比和比例&是目前在小学数学课程中安排的知识，小学数学教师几乎都曾讲授过，但能按傅先生所指点的，达到由（一）到（六）这样认识的，却极少有。想到：一些社会位置有利、能够影响导向和发展的著名的教育学家一再宣扬小学数学知识浅显，并无值得研究的内容，教师要将力量放在教育思想和教学法上，以致现今的这种教师状况，的确是令人不怪的了。（据观察，这些教育学家又在影响我国教育的&中长期规划&的制定呢，应该警觉此事）客观说，小学数学最丰富的就是其启迪性、思想性，包含了大量的、原始的、具有启蒙科学认识意义的思想。这些思想源于对数学科学中的元问题的研究，是两千多年来由大量一流数学家殚精竭虑的研究、争论而结晶出来的，形成了许多名篇佳作，是提高数学教师数学专业水平最好的食粮。目前的情况是，这些有价值的知识没有用于培养数学教师。而数学教师们在近几十年的高等或进修教育中学到的往往是被误导、误解的数学教育理论和知识。就如同《红楼梦》里的刘姥姥在大观园里吃了茄子却不知道吃的是茄子，因为茄子已经被大观园里的厨师加工得远离了茄子味。以贾母为代表的大观园的主人们还以此为自豪。试想连刘姥姥这样的种茄子的都识不出茄子味了，这样的茄子加工技术还不高明吗？
现如今，指挥或凌驾于数学教育之上，对数学教育说三道四而不懂得数学之意义的&贾母&太多、权力太大，在他们的好恶下，中小学数学课程已被加工得毫无数学味，充斥了各种各样无意义的、浪费时间的、望文生义的、只能带来误导或误解的各种热闹的、夹带着口号和空想的教学活动，对此，六十年不出大师还有什么可奇怪的。【这些贾母们很多都是数学专业出身，十几年几十年的教学经历，已经让他们忘记了数学的本质、内容、方法和意义，他们只会发出村长式的命令，却占据着&老教师&、&优秀教师&的位子(比如做上了教研员)而不放，借此发号施令，与村长无异。可悲的是，刚刚毕业的大学生不用几年也会如此。】
傅先生在指导&扩大数系&的教学时，曾提出：当负数引进时，指出无论是用温度的升降，行程的进退、账项的收付，还是数轴及面积的表达都不是可通的证法。他指出若理论与实际兼顾教学，则应该
第一，须用一些事例说明自然数不能满足应用，需要扩张，把所得新数称为正负数，而不规定正负数之意义；
第二，须从这些事例概括出正负数在事实上所需要之性质（如关于加、减、乘、除及大小之各种规则），将其中基本的性质列举出来，承认他们而不加证明。
第三，将自然数之重要性质，以正负数拟之，分别同异，以资比较。
这里有几点应当注意之处：升降进退都是我们想拿正负数去代表的事例，而不是正负数。&&故虽以升降为正负，而不可认升降为正负，此应注意者一也，&&。
当前小学数学教学的现实是什么呢？有上述正负数教学思想的教师少之又少。本人长期责编《中小学数学》，尽阅来稿，其中有关负数的教学讨论、案例很多，但无任何一篇能达到傅先生之认识，而他的认识是科学的、是数学教学的常识，能让学生有这个认识相当于提高了抽象或科学认识事物的能力。这也不怪教师，现在的课本编得相当离谱，为了所谓的情境引入，为了说明数学来源于实际，僵化而又教条的在每章数学教学内容的开始一律强调数学来源于实际，甚至连数学知识课题都被代之以非数学的情境标题。从根本上忽视作为数学的学习规律，更具优势的是可以先学习掌握数学的真理，即规律，再将规律应用于实际。这是数学科学独有的优势，知识可通过逻辑链条以及由浅人深的认知路径顺理成章的学习下去，十分高效。而讲授数学知识来源于实际，只须小学、初中、高中各安排一二节课即可。数学课应该尽量利用逻辑便利，以承前启后的方式将数学新知识揭示给学生，之后再学习或尝试对新知识的应用和发展，这才是数学学习的特点，这样才能发挥数学知识的智慧作用。【诚然！课程改革倡导的就是&数学来源于生活实践，然后又用于解决实际问题&，为了所谓的追求生动有趣，让数学降低身份，几乎千篇一律地联系&实际&，制造各种各样的&伪情境&，甚至有人藉此作为研究，成为某一类型的&专家&。翻阅中学教材，大篇幅的图片替代了基本的代数推演和几何证明，形式虽然生动，内容却乏善可陈。以至于教师备课需要从其他参考资料上摘取典型例题和习题。而上课的方式就更为典型了：从&问题情境&入手，如能水到渠成地引入课题，就算是开题成功了，至于那种开门见山地讲课的教师，其评课表上&问题情境&这一栏的分数自然是零分。我们似乎都默认了&传统&的课堂总是冷冰冰的，新课程理念下的课堂则充满了活力，至于教会了几多思考，似乎不必关心，渐渐地，也无力关心了。考试的评价，提倡让应用题进入试卷，结果就出现了很多匪夷所思让学生难于理解的偏题怪题，我敢确定，哪些出现于中考题的所有的应用题，没有一道题是真正来源于实践的有价值的问题，不过是少数几个人闭门造车的&杰作&&&说不定此人还为此沾沾自喜呢。若轮今日数学与二十年前数学题目的难度比较，只要看看哪些应用题就行了。所以，出现了一种怪局：老师不教十字相乘法和韦达定理，却花很多时间做繁杂的应用题。哪些题目能让学生体会数学的思想方法，明眼人一看便知】那种恨不得从&钻木取火&开始去讲去学去认识某个数学知识的办法是极其低效的，是不符合数学学习规律的。以凭空想象为基础的、想当然式的、毫无道理的强调让学生重复数学家或经历数学家的研究过程的口号或要求是污染极大的形而上学垃圾。须知，哪怕是对数字&1&的认识过程也是历经了上万年的人类的思维曲折才发展出来的，这之中既包括有普通人的思想，也有数学工作者的提炼，更有现代数学家的理论概括。一般的宣扬所谓数学家的思考过程，根本上是误导学生，把创新当儿戏不说还难以符合实际，也无法发挥数学科学的培养人的智慧的作用。更何况，缺乏对数学知识深入了解的教师能领会或知道数学家是怎么想的吗？一个数学教师若不具备傅先生那样的思想和认识，他怎么能领会皮亚诺为何要建立自然数公理体系，而不懂得这个公理体系，他又怎么知道数字&l&的数学意义，连数字&1&的意义都不清楚，他能理解&1+1=2&的数学意义吗？教师连这些都不懂，让他教你的孩子，你愿意吗？教师们都不研究基本的数学原理、不研究基本的数学思想，习惯于就坡下驴，听凭教育学家们充满空洞说教的教育原则、任由课程与教学论专家们推广从国外整本抄引的各种教学法、热心于教育心理学家从国外拿来的经不起推敲的各种告诫，唯独不关注数学本身的原理、道理、规律。小学数学教师读了师范专业，却连基本的算术理论都没有学过，这使得小学数学教师职业客观上成了是个人就能干的职业。试问大师能从这样的教育环境中蕴育而生吗？我对&教育家办教育&这句话的最大担心是：谁是教育家？近六十年来，许多教育行业内的事都是&教育家&办的，我们的教育产生不出大师就与这些所谓的教育家有关。由此，我还想到&以教师为主导，以学生为主体&这个口号，是既误导了教师，又误导了学生。【又有谁敢公然反对呢？】教师教学可以不讲，谓之&导&，学生上课可以不听，谓之&主&，&主导与主体&的说法在哲学上讲不通，容易引发思想混乱。傅先生和钱先生都是讲课有名的好，一堂课从头讲到尾，没人说这二位是在&满堂灌&，讲就是讲，许多知识不讲，仅靠学生自己是学不到、悟不会、探究不出来的。【工作十年，从被训导要学习&洋思经验&，到众人竞相吹捧&杜郎口模式&，我都坚持自己的教学观念，为此，还在一定程度上受到了有关人员的打击或排挤。我始终认定一条，无论你怎么认为老师的作用仅仅是&引导&，你要肚子里有货才能说服学生，否则，是个人就可以教学，甚至让电视来教学生不是更好？教师对数学知识的理解、一些好的数学观念、个人的学习经验、可以言传的数学家的经历，等等这些，都不是学生可以普遍悟出来的，该讲的地方，老师绝不可以放弃，否则就是偷懒，是借用所谓的新课程理念来糊弄未成年人。】
可能有人会说，傅先生教书的时代实施的是精英教育，现在是大众教育，要求不一样。这是个&高标准高要求好呢？还是低标准低要求好呢？&的简单问题，仅从数学教育思想水平来看，我们今天的最好的数学教师与八十年前的傅先生相比，其专业差距是明显的，在实施大众教育、普及高水平教育的今天，难道不应该以傅先生这等水平的中小学数学教师为标准、为榜样吗？具有标志性的数学教育人才水准不升反降，难道不需要找找原因吗？难道有人喜欢&今不如昔&的现状？
最近围绕我国数学教育的讨论比较多，人们各执一词或两词，公说公有理、婆说婆有理，但不难看出所用词汇，放出的话语，讨论的问题，争论的焦点均像&贾府的茄子&，独缺数学或数学教育本身的话语。【讨论的问题诸如&针尖上可以站立几个天使&，远离数学本质，甚至也不解决实际的教学问题。】数学本是思想极其丰富的科学，历史上古希腊、古罗马的人们曾认为数学就是哲学，哲学就是数学，数学为人类的深入思考和思想解放提供了动力，提供了方法，提供了智慧，数学以最廉价的工具或手段，用无刻度的尺、圆规、笔，高效训练了人脑，发展了科学方法，甚至不用纸、不用笔，只需有根树枝子，坐在地上，就可以让思想驰骋，进行智慧角力。数学是社会和经济成本最低的科学与教育手段，是科学思想的高效培养途径，其应用的广泛性更是无人怀疑。十九世纪下半叶到二十世纪初，数学思想、方法、哲学基础处于蓬勃发展的时期，戴德金、康托尔、罗素、希尔伯特、克莱因、怀特海、哥德尔等众多数学思想家都为建立数学的基础而不懈的努力和著述，形成了宝贵的思想结晶，这& 些思想或认识正是中小学数学教师应该吸收学习或掌握的，像弗雷格的《算术基础》、阿达玛的《数学领域中的发明心理学》、兰道的《分析引论》、牛顿的《自然哲学之数学原理》（读了这本书，你将会体会到，我们现在的《数学课程标准》中将几何学习置于了什么样的可笑地位）、罗素的《数理哲学引论》、菲利克斯?克莱因的《高观点下的初等数学》（克莱因是有深远影响的数学家，这本书是他的助手为其整理出的讲课稿，他热诚献身子数学教育事业，& 从1886年到1925年在哥廷根一直为中学数学教师讲培训课）。&傅先生以数学家的睿智，长期从事对中学数学教师的培养，从事中学数学教学。北京师范大学的刘绍学教授（代数学家）、王世强教授（数理逻辑学家）将中国的傅种孙、德国的克莱因、美国的波利亚并列齐名，认为他们为数学教育做出了伟大的贡献，值得敬仰和热爱。王世强教授还殷切希望中国有更多的傅种孙式的教师出现。
现在的问题是，为什么傅种孙这样的教师没有象克莱因那样得到褒扬并发扬光大，甚至在中国，在现在，知其者甚少。我们现在并不难列举出～些其他国家的出色的中小学数学教& 育研究者，现今的书架上有许多翻译进来的这类名家的著作可以佐证这一点。但在中国目前却几乎没有这样的从事中小学数学教育的名家，没有人所共知的，为数学界和教育界所公&认的中小学名教师。不仅没有，反而是傅种孙的数学教育思想和方法在中国与他本人的经历一样长期沉而未浮，这对于数学教育来说是灾难性的。一个能培养出大师的大师级的数学教育思想、方法居然被长期湮没，太可悲了，现在是，&山中无老虎，猴子当大王&。数学教育领域本来是有一个类似国学中的孔子、孟子那样的先行者、智者的，但这先行者的光芒却没有放射出来，被长期彻底的湮灭了，现在是需要我们挖掘并面对的时候了，否则，中国的数学教育会继续走在培养世界三流、四流科技人才以及高素质廉价劳动力的道上。
据了解，我们有许多具有大师潜质的数学人才在中国读一流大学本科，再到美国读一流大学硕士、博士，然后就到华尔街设计金融衍生交易产品去了，这能为自己挣大钱。【清华、北大等高校对此罪不可赦。】这种追求实惠的思想根源与我们从小学开始就受的是学有用的数学的教育有关，我们太过强调在小学、中学阶段学有用的数学、学实惠的数学、学立竿见影的数学了，这个只为眼前的利益而学习的数学教育是出不来大师的原因之一。
六、数学教育之&灾&
我们在追溯六十年以来的数学教育历史的时候，应该承认，在五十年代，起码由于两个原因，而未使傅先生的数学教育思想和方法得到光大和发扬，这就是对苏联数学教育的全面学习，以及1957年傅先生被错划成右派。尽管他在五十年代初多次为中学数学教师办过讲座，但从当时的中小学数学教材的编写等主流工作上看，少有傅先生的影子，也难见傅先生的思想的渗透。当时，他对数学教育的影响顶多限于北京师范大学的院子内。这是中国数学教育在二十世纪五十年代的一个令人心痛而永远无法挽回的损失。傅先生从1957年错划右派到1%2年辞世，一直在北京师范大学数学系资料室任资料员工作。
六十年代前半期的中国数学教育产生了&双基&的传统，有的数学家，如华罗庚等人参与了中学数学教材的咨询或主持工作，但就中小学数学教育来讲，华先生自始至终是关心者、热心者、参与者，终非傅先生那样的，是专门的、职业的研究和实践者。六十年代前半期的中学生是幸运的，他们能够听到或接触到当时的中国的一流的数学家或数学工作者的讲座以及在讲座的基础上整理出来的小册子。华罗庚的多次讲座以及由其主持倡导的数学竞赛甚至蕴育出了中国上个世纪八十年代的一批有能力走向世界的出色的科学技术工作者或数学家。但当时的中小学校的数学教育水平，随着大量出色的师资在五十年代中期前后被充实到大学去了，而有所降低。傅先生的数学教育思想更是不见了踪迹。1949年前，我国的中小学数学师资水平是很高的，有一个事实可以说明这一点。我的一个同事早年从北京大学数学系毕业到北京四中教数学并担任数学教研组长。而北京四中后来的数学教研组长、特级教师周长生在解放初刚从北京大学物理系毕业到四中教数学。我的这位同事当时交给他一本戴德金的《实数探原》让他读，周长生读了两三年才基本读明白。周长生认为我的这位同事是北京最好的中学数学教师，到今天仍无人可比。这位教师于五十年代中期调入了北京师范学院数学系，我听过他讲《数学分析》，感觉他也是类同傅先生那样的教师。他被从四中调走，是北京四中的历史性损失。这位同事名日王景鹤，八十年代，我曾亲耳听到美籍著名数理逻辑学家王浩说：在中学读书时，王景鹤是他的同学，比他读得好，也比他聪明。有这样棒的数学教师，北京四中在1950年前后的确培养出了一些出色的人才。说到这儿，我们怎能不为中国旧时的中学数学教师的专业水准而惊叹。
六十年代下半期及至七十年代整个时期，就数学教育来讲，大环境所致，与国家状态同步。七十年代后期属于教育恢复期，恢复的水平与当时的&小升初、初升高、高升大&相对应，数学教育开始非常功利的为考试服务，题海在七十年代后期出现了。
八十年代，随着对外大门的打开，各种各样的西方思想、意识、研究成果被引入中国，追求先进的数学教育理念，了解最新的数学教育方法成为当时中国数学教育界最为关注或重视的事情。可以说，我们对外来事物的吸收及加工能力是绝无仅有的。以美国心理学家、教育学家布卢姆(B．S．Bloom)的儆育目标分类体系》（1956年发表）被引人中国为例，其识记、理解、应用、分析、综合、评价本来是其学术上的一个认识，其科学性、合理性尚待实验上的证明。并且，近二十年来，随着实验心理学、分子生物学的发展，人类对认知领域有了许多薪的认识，且处在不断的发展中，每日都有新成果、新发现。但中国的一些教育工作者在当时很快就将布卢姆的学说转化成了生产力。大量的&目标检测&、&掌握指导&式的习题集、练习册、作业本充斥国内所有的课堂，泛滥成灾，成了世界独有的一道风景线。【我也思考过类似的问题：&练习册&之类的词语在国外有没有？他们的学校、出版界现状如何？】中国数学教育开始被与出版相关的利益机制所左右。教师因有现成的课本、现成的练习册、统一的教学指导而在数学专业认识上不进反退。当他们把课本上的知识教给学生后，就不再比学生多知道什么了。【可喜大多数教师不自知，中学教学，已经不见了高观念，无非是如何避免错误，如何解决某类题型，而所有的题型只是考试的题型，如果这类题目不再考试，则立即放弃不用，宛如对待妓女。】教师连命制题目的热情都不必有了，现成的练习册、作业本、考卷及标准答案替代了数学教师的专业思考。在布卢姆分类指导的影响下，中小学生成了规格产品，课堂教学、课外练习被固化成若干道工序，数学教师不必对数学知识本身有什么深入的认识和思考，学校教育规律如同饲养场的家畜蓄栏标准，从入学到毕业，一律施与的是规格教育。令人庆幸的是也有例外，这就是随着华罗庚倡导的全国数学竞赛在八十年代得到恢复，中国开始组织代表队参加国际数学奥林匹克，校外数学教育机构兴起，数学工作者或数学家有机会通过这些机构直接给中学生授课，一些有天赋的学生得以在规格培养之外得到特殊的学习机会，这些孩子有的正在国内外的各个领域初现实力。
八十年代，中国数学教育被种下了影响今生和来世的苦果。当时高等院校学科建设兴起，学位制度得到恢复或建立，但遗憾的是，作为我国中小学数学教育的传统领头单位的北京师范大学数学系没能担起对数学教育的关键责任（须知，在国际数学科学领域中，数学教育是其下八十多个分支科学之一，许多一流的重要的数学家为这个学科做出了重大贡献），这在某种程度上背离了傅先生为之奋斗而形成的引领中小学数学教育的师大数学教育传统，除了未能负责任的将数学教育作为基础数学下的二级学科外，也拒绝争取将数学教育学作为一级学科来发展，从而种下了影响国家长远发展大局（也包括中国数学科学的发展）的祸根。从此，数学教育科学落入&课程与教学论&中的一个括弧内，被套住了，有了个说不明、道不清、指向存疑的学科名称，和物理、化学、外语等基础教育学科共用一个学科分类Ⅱ4&学科教学论&，在&课程与教学论&中被当作旁门左道，颁授的学位属于教育学，只能培养教育学方向的硕士生。从此，数学教育逐渐变得没有了自己的话语，&课程与教学论&作为一级学科，最警剔的事就是给强调数学教育重要的人扣上&学科本位主义&的帽子。数学教育真正变成了&贾府的茄子&背离了数学科学及其教育的固有的规律或精神。多年来，数学教育只能看教育学的脸色行事。人们都知道，在我国、在世界上，教育学离科学化的程度还差着十万八千里，其所形成的一些主要结论还离不开经验总结，而教育方面的经验是人人都有的，在经验基础上形成的认识远非是科学的，起码应该经过哲学上的概括和实验的检验，而这正是中国教育学的软肋。大学或高师的教育学系长期来，以培养小学教师或教育行业的从业人员为已任，这从各大学的教育学系的专业课程设置上可以看出，这个学科对数学教育的性质和规律尚处于基本无知的阶段。仅仅因为北京师范大学数学系八十年代初在学科建设上的决断而使得数学教育长期受&知识不重要，能力才是重要&的教育思想的控制，使得大量第一线的数学教师轻视对数学知识的学习、研究，情况已经严重到了令人吃惊的地步。同时，数学界也因此而远离了中小学数学教育，对中小学数学教育基本上没有什么说话的机会。上个世纪五十年代，华罗庚、陈建功（中科院学部委员）等数学科学的领头人物在中小学数学教育领域尚有些影响力，六十年代初华罗庚等数学家还能参与中小学数学教材的工作，还能写一些供中小学生阅读的小册子。八十年代开始，数学工作者或数学家与数学教育是渐行渐远，他们一般只能通过数学奥林匹克这个途径来影响中小学生、来影响中小学数学师资队伍。他们在由行政机关组织的师资培训、教材编写、大纲或标准的制定方面基本上没有参与权或决策权。当然，也有个别的数学工作者参与其中，但那都是被&精心&选择的，不具代表性。从事中小学数学教育的高校教师的学术评价或论文发表处在基础数学不认可，课程与教学论不重视的境地。【我就有过类似的经历：年度，我在《数学通报》、《数学教学》等刊物发表若干文章，按照学校的奖励制度，算下来大约有一两千块钱奖金，结果在算账的时候，也是也算是数学教师的校长声明：解题类文章不属于教育类文章，所以奖金只能一半。】中国数学家除了少数者如姜伯驹（北京大学教授、中科院学部委员）、丁石孙（北京大学教授）、李忠（北京大学教授）等翻译了一些国外的数学普及读物外，几乎很少有人为中学师生写读物。除张景中（中科院院士）有几部为人知，但少有人读的（因考试用不上）作品，武汉大学齐民友教授等翻译过一些西方的数学教育名著外，近十几年来中国数学教育工作者中少有人创作高水平的供中小学师生阅读的介绍数学思想或方法的读物。有人说国外的数学教育不如中国，但仅从零星翻译来的数学教育读物来看，国外，像美国、俄罗斯、日本、韩国每年都有大量的高水平的由数学家撰写的数学普及读物问世，中学生甚至有机会接触了解最新的数学成果。这些在我国却成了长达二十年的空白，能站住脚的数学普及读物还是华罗庚、张景中等少数数学家写的那些小册子（也没什么人读）。【大多数数学教师甚至对这些读物不知情，也不感兴趣。从中反映出对数学专业的热情，一个没有热情的教师，怎么可能让学生喜爱数学呢？】
数学教育学沦为&课程与教学论&这个一级学科下的二级学科的一部分，对中国的数学教育，对中国人的科学素质的培养是个灾难，这个灾难的影响是长远的。近的，影响到了数学课程标准的制定；远的，培养大师级人才的可能性将微乎其微。这是一个严重的历史倒退。在还没有&课程与教学论&这个学科时，1963年，北师大数学系就招收了数学教育学研究生。当时招收了3名，由著名的数学家关肇直（中科院学部委员）、罗劲柏（中宣部科学处）、丁尔升（数学教育学家）指导。足见，当时党和国家对数学教育是重视的。最近，首都师范大学数学科学学院和南京师范大学数学科学学院将数学教育置于基础数学的二级学科是一个使事情朝着积极方向发展的努力。当前，中小学数学教师的关键问题是对数学本身的认识十分浅显，不能充分发挥数学的科学的育人功能，但目前的教师进修、提高以及教育硕士的培养、数学教师的职业资格认定等，还都是以教育学或课程与教学论的要求为准，数学教育离数学太远，数学教育的课题也离数学太远，这都是急需解决的问题。总之，数学教师是培养国人科学素质的关键因素，是培养世界科学技术或其他领域顶尖人才的不可少的前提条件。以数学教师的专业发展为本，促使数学教育的水平达到傅种孙先生那样的水平，是包括政府在内的方方面面努力的根本方向。
读孙维刚老师教学法
学习了孙老师的著作以后，对孙老师的数学教学能力非常敬佩，尤其是孙老师本身是一位知识非常渊博的知识分子，他具备了系统的高度教学知识。从他一些言谈就可以看出来，我认为，这种知识层面深厚，学识丰富对任何一位教师都是适用的，我本来以为，知识丰富是语文老师必备的能力，但看了孙老师的一些教学方法以后，才知晓，原来数学老师同样需要具备这样的能力，在这方面，我做得不是很好，平时自己喜欢看一些小说而已，对一位教师而言，具备一些军事、中外历史、美学、地理人文等知识都是必须的。我认为，以后在几要有意识地在这些方面积累相关的知识，而不是一个教书匠，对学生的熏陶来说，也是非常有好处的，对学生对数学的兴趣的进一步激发也是大有裨益的。
在一般人看来，数学是枯燥的。但在孙维刚学生眼里，数学是和谐，是对称，是美丽。孙维刚讲数学，第一次写出&、&、&，他可以从希腊字母讲到希腊文化，再讲到欧洲、二战。　一堂数学课，他可以讲到历史、军事、世界局势、地理风情、唐诗宋词，也可能随机转到物理、化学、俄语、英语，从初等数学讲到高等数学。
孙维刚认为，学科间本无明显界限，它们总是互相交织，互相渗透，只有掌握其中的规律，才能把握内在的灵魂。教学的关键是掌握和运用知识本质的必然联系，掌握了内在规律性，学生分析和解决问题的能力就会大大提高。
孙老师没有让学生沉浸在题海里，相反，他让学生从题海中解脱出来了。
他启发学生学习数学，按四个&大规律&、十五个&中规律&，还有三四十个&小规律&去做。他认为把这些运用娴熟了，从初一到高三，从代数到几何，就没有不会做的题目了。的确，在孙维刚学生的眼里，6年的数学不过如此。更重要的是他们将这种方法迁移到各学科的学习，以至后来的工作和学习，给予学生的是一种可持续发展的能力。
孙老师很更看重对哲理的发现和汲取
有一次，孙维刚得到了一份俄罗斯数学竞赛的试题。他完全可以把它译成中文拿到课堂上。但是他把题目原文写在黑板上，然后指导学生把它译成英文。他把每个语法现象与英语做比较，捕捉共性，形成对俄语的认识，学生们是学英语的，但通过这道俄语题，找到了俄语和英语之间的内在联系，学习当然就有兴趣了。
孙维刚说，知识间有着内在的联系，学科内的知识有联系，不同学科知识之间也有联系。不仅是掌握这些联系，更要掌握探索这些联系的方法，这就是哲学。
有人说，能把老师讲的所有知识记住，或者把最重要的知识记住的就是好学生。在孙维刚眼里，这样的学生不是好学生，因为他们只会因袭教师。
孙维刚总是鼓励学生推翻教师给出的结论。&世界上不存在&没有为什么&的问题&，他鼓励学生向未知世界挑战，向老师挑战，向书本挑战。他善于把舞台让给学生，自己退居幕侧当导演，引导学生把一堂堂课演绎成攻克一座座山头的战斗。让学生自己动手去发现，去归纳，去证明，去总结，去完成。这样的过程，孙维刚称之为&自己动手，丰衣足食&。
他组织学生讨论，鼓励大家在激烈的思想交锋中传递聪明。他提倡的一题多解、多解归一、多题归一，不仅是一种学习方式，也是一种课堂教学形式。有些题，学生们可以找出十几种甚至二十几种解法，在此基础上再一起寻找这些不同解法的共同本质和必经之路。然后，在多解归一的基础上，总结一些题目的共同特点，从而找出普遍的规律，即多题归一。在这样的过程中，学生们不但思维得到发展，更感受到共同探索、获取成功的乐趣。
很多人认为孙维刚教学进度太快，实际上在初中的前半段，他把重点放在了学生的道德教育和习惯养成上。从初二开始，学生学习的习惯基本形成了，能够主动领悟知识，记忆和认识都比较深刻了，不需要不断地重复复习，省去了很多时间。在这样的基础上教学进度就自然提高了。因此，他用一个月可以讲完初一数学课程，初一一学期多一点讲完全部初中课程，初二讲完全部高中课程。
孙维刚的学生一般没有家庭作业，而且每天能保证八九个小时的睡眠，男同学每天跑1500米，女同学跑800米。学习轻松而快乐。
不需要学生预习的数学老师还能找到，但是不要求学生做课后作业的数学老师在国内恐怕 也是屈指可数的了，而且还能让学生怀着对数学浓厚的兴趣，并在数学学习中取得那么好的成绩的老师实在是奇迹啊!
再从提高思维能力来说，让孩子的大脑聪明起来，使不聪明的孩子聪明起来，使聪明的孩子更聪明。这是孙氏名言和定理。其中含有独到的教育方法。他善于站在哲学的高度，用矛盾的观点、运动的观点启发学生做每一道数学题，分析每一件事物。要求学生解立体几何时，&飞上跳下，钻进钻出，像孙悟空钻进铁扇公主肚子里一样&，观察立体几何的图型，培养空间想象能力。一道题，启发同学们有多种解法，进行前后左右、全方位的思考，结果得出24个解法，开发了学生智力，学生能不聪明吗?他常说，够到房顶，上桌子还难吗?重视每次区、市、全国的奥林匹克数学竞赛，认为这种竞赛最能检验学生的智力、大脑和成绩。一位也教数学的、当老师的家长感慨地说，我教数学这么多年，从没有像孙老师那样灵活地、辩证地启发学生，更没有得出24个解法。这样的教学方法真使她找到了自己的差距。
学习了孙老师的教学思想方法以后，我觉得自己的差距实在是太大了，希望通过今后的努力，能做到孙老师的十分之一，我以于愿足已。
读《数学史》心得
读完《数学史》，心底不由得一阵感动。数学的殿堂是多么的华丽,我们这一本本厚厚的高中课本中蕴含着多少前人的探索,未来的数学史会不会因为我们的发现创造而改写?
数学,似乎是一个枯燥的学科,但是,却是我们生活里最为有用的工具之一，它是物理化学生物的摇篮，是政治经济学的基础，是市场里的公平称，是我们量化自己的必要工具&&是的，数学是一个&工具箱&！那么，前人是怎么样把这个工具弄得更为人性化，更能让我们好好地使用呢？看完《数学史》，我知道了许多。
&&数学的历史源远流长。我了解到，在早期的人类社会中，是数学与语言、艺术以及宗教一并构成了最早的人类文明。数学是最抽象的科学，而最抽象的数学却能催生出人类文明的绚烂的花朵。这便使数学成为人类文化中最基础的工具。而在现代社会中，数学正在对科学和社会的发展提供着不可或缺的理论和技术支持。
数学的发展决不是一帆风顺的，更是一部充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临困难和战盛危机的情景剧。在数学那漫漫长河中，三次数学危机掀起的巨浪，真正体现了数学长河般雄壮的气势。
&&第一次数学危机&&你知道根号2吗？你知道平时的一块钱两块糖之中是怎么迸溅出无理数的火花的吗？正是他&&希帕苏斯，是他首先发现了无理数，是他开始质疑藏在有理数的背后的神奇数字。从那时起无理数成为数字大家庭中的一员，推理和证明战胜了直觉和经验，一片广阔的天地出现在眼前。但是，希帕苏斯却被无情地抛进了大海。不过，历史却绝对不会忘记他，纵然海浪早已淹没了他的身躯，我们今天还保留着他的名字&&希帕苏斯！
&& 第二次数学危机&&知道吗？站在巨人的肩膀上的牛顿，曾经站在英国大主教贝克莱的前面，用颤抖的嗓音述说者自己的观点，没有人相信他，没有人支持他，即便他的观点着实是今天的正解！数学分析被建立在实数理论的严格基础之上，数学分析才真正成为数学发展的主流。
第三次数学危机&&我们听过这个名字&&罗素，但是紧跟在他的身后的两个字却是那么刺眼&&&悖论&。&罗素悖论&的出现使数学的确定性第一次受到了挑战，彻底动摇了整个数学的基础。与此同时，歌德尔的不完全性定理却使希尔伯特雄心建立完善数学形式化体系、解决数学基础的工作完全破灭。数学似乎是再也站不起来了。是的，罗素的观点似乎真的很有道理，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案,比如ZF公理系统。这一问题的解决到现在还在进行中。罗素悖论的根源在于集合论里没有对集合的限制，以至于让罗素能构造一切集合的集合这样&过大&的集合，对集合的构造的限制至今仍然是数学界里一个巨大的难题！不过,我们不能蔑视&罗素悖论&，换种说法,不正是这个&悖论&引起了我们的思考吗？不正是这个&悖论&使我们更有创造精神吗？
前文一直是外国的事件，但是，我们中国在数学上的成就也绝对不能忽视，从《九章算术》到《周髀算经》，中国传统数学源远流长，有其自身特有的思想体系与发展途径。它持续不断，长期发达，成就辉煌，呈现出鲜明的&东方数学&色彩，对于世界数学发展的历史进程有着深远的影响。
&&数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。例如，数的理论演进就表现出明显的累积性；在几何学中，非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广；溯源于初等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰；同样现代分析中诸如函数、导数、积分等概念的推广均包含乐古典定义作为特例。可以说，在数学的漫长进化过程中，几乎没有发生过彻底推翻前人建筑的情况。正是我们不断地为数学这座高楼添砖加瓦，她才能越立越高，越立越扎实！
读《孙维刚初中数学》有感
&&&&《孙维刚初中数学》是数学教育家孙维刚老师的著作，涵盖了现行初中数学教育大纲中所要掌握的内容，是孙老师三轮实验班的数学教材。孙老师的数学教学理念可以概括成四句话：八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底。他认为，学好数学，首重概念扎实，基础知识牢固。解数学题，要在&扎实&&牢固&的基础上，加强在概念的理解，引申，概念外围的规律方法，以及解题思考规律方面的功夫。而在本书中，他更旗帜鲜明的亮出自己的观点：要学好数学，还要学会&聪明的做题&，这一论点给我留下了深刻地印象。
孙老师认为：提不求多，但求精彩，要求&知人善用&。很多老师和同学做了大量的联系，但实际上无论从知识或是从思维能力哪个方面来说，收获都很少，明显的与付出不成正比。造成这种情况的主要原因在于：其一，是否从思想上明确了如上所述的做题目的目的；其二，是否在用科学的态度和方法去做题。 所谓科学的态度和方法主要包括一下几个方面：
&&&&1.题不求多，但求精彩。对于题目的选择可以遵循下述几个原则：（1）题目本身无错误；（2）不要选只是对概念，定理，方法进行复述的题目（这一点对于我校学生尤为重要），这种题目，对于理解知识，培养能力几乎毫无作用；（3）题目从解法上看，应是充满活力，不要死气沉沉，只是繁琐的堆砌公式或冗长无味；（4）同一类型的题目，解透一两个有代表性的即可，不必大量重复；（5）不问津那些对于概念无理解价值，在思考方法上远离一般规律的偏题，怪题
&&&&2、讲究做题的方法&&
&&&&一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）。这三种方法与其说是是研究问题的三种手段，不如说是深入理解解题思想的三个层次。在本书中孙老师用了几个浅显的例子来说明自己如何通过这三个层次的引导，帮助学生掌握知识熟练技巧，进而思考规律的。而孙老师教学成功的所在，我认为也恰恰在于他对学生做题方法指导上。
我从一些资料中了解到，孙维刚训练学生，一要&敢&提问题；二要&会&提问题；三是在发现问题后，找出此知识与彼知识间的相互联系。别人要花一个月，他们仅用三个半天便讲完了高中数学的118个公式。初中三年便提前学完了高中的全部数学课程，而且还增加了许多课本上没有的内容和部分大学的数学课程。 初二上到一半，便可以优异的成绩答完前一年的高考数学试卷。而孙维刚学生的成绩，总是和&付出&之间有一道&不等式&：课前不用预习，课上没有笔记，课后没有作业。孙维刚到底靠什么呢？他说：&我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的。&在孙维刚的书橱里，有一摞大硬皮本。数数共有二十二个（但这只是其中一部分）。上面画着三角、圆锥等各种几何图形，旁边则是密密麻麻的解题笔记。他为学生开创了解题的&三级跳&：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；又是他为学生归纳了4个大规律，15个中规律，30多个小规律，使他们从初一到高三，从代数到几何，再没有不会做的题目了。所以，要想引导学生理性思维，首先教师要有很大的内存和相当的积累，并且用心总结剖析，才有可能做到这种深入浅出和行云流水的境界。
&&&&3、在可见的系统中学习，知道自己还缺什么，知道自己已拥有什么。达到知己知彼。魏书生认为，教学中首先应当帮助学生解决&学什么&的问题。为此，他与学生多次讨论、商量，画出了语文学科的知识结构图，整理成了支干、小杈、叶子的系统，即所谓&语文知识树&，或叫&知识地图&。这样做就能使学生&当思维的车在知识的原野上奔驰时．有了这张&地图&，目标才能明确，少走冤枉路&。
& &&孙维刚则把站在系统的高度教学知识分成了三层意思：一、每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；二、在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；三、在系统中进行教学。孙维刚认为这种做法所起到的作用是：&使学生发现知识之间盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌，不再是一堆杂乱无章的瓦砾、一片望而生畏的戈壁滩。&
读《孙维刚初中数学》有感
《孙维刚初中数学》一书，主要是对如何学、学什么的有关方法和要求作了论述，书中力求一题多解，多解归一，多题归一；对待失误，善于反思，&吃一堑，长一智&。孙老师怎么教数学？其境界是什么？&八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底&。孙老师的的这种教学方法称之为&结构教学法&，讲究新旧知识的比较和联系。他说，其根本办法在于提高学生的智力素质。
孙老师谈到如何在教学中利用结构教学法，让学生在学习中学会举一反三、融会贯通。孙老师的学生们学习灵活性都很强，也都有很强的自学能力。孙老师带的班成绩都好得惊人，最好的班有全班55%的同学考上清华北大，其余全是一类本科，更难得的是他从不布置课后作业，即使高三学生也能保证每天睡到8个小时以上，这简直不可想象！
在构建知识结构的过程中，如果能巧妙利用知识结构进行教学，将使教学效率大大提高，会有效减轻学生的课业负担，而且学生能保持优良的成绩&&这是我们一直孜孜不倦梦寐以求的。孙老师的结构教学法非常值得我们学习：
1、学会找知识的新旧联系。
许多知识都是互相联系的，比如高中时要学的余弦定理，你就应该明白勾股定理就余弦定理的一个特例。找到新旧知识的联系， 那么数学就变得简单多了。
课堂上老师常会重复以前的知识，这时候你应努力找到新旧知识的联系，这样学习数学就变得简单而有趣了。就像华罗庚说的，读书应有个过程&&先把书读&厚&，再把书读&薄&，也就是说要善于总结规律。
孙老师则把站在系统的高度教学知识分成了三层意思：
（1）每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；
（2）在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；
（3）在系统中进行教学。孙老师认为这种做法所起到的作用是：&使学生发现知识之间既盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌的一张网，而不再是一堆杂乱无章的瓦砾和一片望而生畏的戈壁滩。&
在孙老师的课上，他并不担心 学生的脑子够不够使，基本上是先出题，写出公式，然后让学生讨论，上黑板演示，老师在一旁点拨，让学生学 会寻找规律。这就造就学生发达的脑子。
2、听讲要专心，专心的标准是什么？
是精神集中，不走神吗？
孙老师觉得这不是一个好的回答，只把精神集中到老师的讲授内容上，很可能是跟在老师的后面亦步亦趋，学生的思维即使在活动，也只是处在被动的状态。
孙老师的建议是：一个命题提出来了，自己先试着去判断它的真假；一个定理或公式写出来 了，自己先试着去证明它；一个例题写出来了，自己先试着分析、解出它。甚至在学习进程中自己设想，该提出什么命题了，该定义什么概念了，让思维跑在老师的 前面。如果达不到大幅度的超前，也要设想讲课的老师正在进行的推理的这句话的下一句会是什么。
孙老师在每届的数学教学中，要求学生做到如下几点：
（1）几乎每道例题、每个定理、每个公式都是引导学生自己动手完成的。
（2）在课堂上要创造条件，造成学生总是想在老师前面、向老师(包括课本)挑战的氛围，让学生在思维运动中训练思维。让一个个学生到前面来讲，促进了学生之间聪明才智的相互传染。
（3）从数学学科特点出发，在知识上指导学生注意追根究底，寻找知识之间的联系和规律，在比较中学习新知识，站在哲理的高度思考问题，注重联想。
（4）在解题中指导学生一题多解，多题归一，多解归一，归纳共性，分离个性，并总结出了一套科学有效的解题规律。
（5）提倡和指导学生开展问题研究，练习写论文、写总结。
（6）不能忽视回顾总结工作，学生完成作业后，要回顾、总结、反思，只有掩卷反思才会有所发现和优化。
（7）世上不存在没有&为什么&的事物，凡事需问&所以然&。知其然，更知其所以然，凡事都要问一个为什么。鼓励学生勇于探索大胆创新，各抒己见，展开争论。
孙老师认为：老师给学生讲题，如果只把题目的解法过程一步一步讲清楚，哪怕再细致明白，而讲不出这些解法步骤是怎么想出来的，对提高学生的解题能力，效果是不大的，甚至起消极作用。要讲清楚自己当时的心绪和想法，在笨拙中学会反思，学会提出问题解决问题。
3、学习的四种基本能力组成了学习的基本模型。
孙老师训练学生，一要&敢&提问题；二要&会&提问题；三是在发现问题后，找出此知识与彼知识间的相互联系。
而孙老师的学生的成绩，总是和&付出&之间有一道&不等式&：课前不用预习，课上没有笔记，课后没有作业。
孙老师到底靠什么呢？
孙老师说：&我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的。&
孙老师每出一道题，自己要先做上10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的，让学生在课堂上讨论，不用预习，不留作业。学生在讨论中感受到学习数学的乐趣，下课自己就会把找题解题当做一种乐趣。这就是孙老师教学成功的秘诀。
孙老师为学生开创了解题的&三级跳&：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；又是他为学生归纳了4个大规律，15个中规律，30多个小规律，使他们从初一到高三，从代数到几何，再没有不会做的题目了。
有些家长会说自己孩子上课听讲很认真，也挺聪明，但就是考试不出成绩，上课听得很会，就是不会做题。这到底是什么原因呢？ 其实这就是知识零散造成的结果。
合理的知识结构可以在运用时，快速、准确地提取有效的知识。&个人是否真正把知识学到手了，要用&运用&来检查。如果学了许多知识但不能在&运用&中表现出来，所贮存的知识不能根据需要成为进一步学习和解决实际问 题的智慧和力量，那就是没有把知识学到手。引导学生建立合理的知识结构，就是为了帮助学生快速提取，充分运用己掌握的知识，使知识发挥作用。
美国心理学家布鲁纳认为，记忆保持的重要问题不是贮存而运用时&如何把用到的知识易于提取&，&易于提取&的关键又在于&对知识的组织&。因此掌握知识的人要善于把所掌握的知识进行科学安排，到需要时即能知道在何处提取。
如果学生掌握了孙老师的学习方法，就可以提升自己的智力素质，这样就可以很轻松自在地运用到所有科目的学习中去，一理通，百理通。更为重要的是，它使使学生在思维的根源上具备了面对问题、探索问题、解决问题的能力，它打开了思维的万千视角，让学生将这种领悟延伸到未来，受益终生。
面对这样一副美好的画面，我忍不住的希冀。我在感到自己渺小的同时，也感到有着一份责任在身上。路漫漫其修远兮，希望自己能够从孙老师的书中汲取力量和教学的智慧，教出数学的味道和本质。
读《孙维刚初中数学》有感
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&初一数学 魏巍
《孙维刚初中数学》是数学教育家孙维刚老师的著作，涵盖了现行初中数学教育大纲中所要掌握的内容，是孙老师三轮实验班的数学教材。孙老师的数学教学理念可以概括成四句话：八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底。他认为，学好数学，首重概念扎实，基础知识牢固。解数学题，要在&扎实&&牢固&的基础上，加强在概念的理解，引申，概念外围的规律方法，以及解题思考规律方面的功夫。而在本书中，他更旗帜鲜明的亮出自己的观点：要学好数学，还要学会&聪明的做题&，这一论点给我留下了深刻地印象。
孙老师认为：提不求多，但求精彩，要求&知人善用&。很多老师和同学做了大量的联系，但实际上无论从知识或是从思维能力哪个方面来说，收获都很少，明显的与付出不成正比。造成这种情况的主要原因在于：其一，是否从思想上明确了如上所述的做题目的目的；其二，是否在用科学的态度和方法去做题。 所谓科学的态度和方法主要包括一下几个方面：
1.题不求多，但求精彩。对于题目的选择可以遵循下述几个原则：（1）题目本身无错误；（2）不要选只是对概念，定理，方法进行复述的题目（这一点对于我校学生尤为重要），这种题目，对于理解知识，培养能力几乎毫无作用；（3）题目从解法上看，应是充满活力，不要死气沉沉，只是繁琐的堆砌公式或冗长无味；（4）同一类型的题目，解透一两个有代表性的即可，不必大量重复；（5）不问津那些对于概念无理解价值，在思考方法上远离一般规律的偏题，怪题
2、讲究做题的方法&&
一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）。这三种方法与其说是是研究问题的三种手段，不如说是深入理解解题思想的三个层次。在本书中孙老师用了几个浅显的例子来说明自己如何通过这三个层次的引导，帮助学生掌握知识熟练技巧，进而思考规律的。而孙老师教学成功的所在，我认为也恰恰在于他对学生做题方法指导上。
我从一些资料中了解到，孙维刚训练学生，一要&敢&提问题；二要&会&提问题；三是在发现问题后，找出此知识与彼知识间的相互联系。别人要花一个月，他们仅用三个半天便讲完了高中数学的118个公式。初中三年便提前学完了高中
的全部数学课程，而且还增加了许多课本上没有的内容和部分大学的数学课程。 初二上到一半，便可以优异的成绩答完前一年的高考数学试卷。
而孙维刚学生的成绩，总是和&付出&之间有一道&不等式&：课前不用预习，课上没有笔记，课后没有作业。孙维刚到底靠什么呢？
他说：&我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的。&
在孙维刚的书橱里，有一摞大硬皮本。数数共有二十二个（但这只是其中一部分）。上面画着三角、圆锥等各种几何图形，旁边则是密密麻麻的解题笔记。
他为学生开创了解题的&三级跳&：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；又是他为学生归纳了4个大规律，15个中规律，30多个小规律，使他们从初一到高三，从代数到几何，再没有不会做的题目了。
所以，要想引导学生理性思维，首先教师要有很大的内存和相当的积累，并且用心总结剖析，才有可能做到这种深入浅出和行云流水的境界。
3、在可见的系统中学习，知道自己还缺什么，知道自己已拥有什么。达到知己知彼。魏书生认为，教学中首先应当帮助学生解决&学什么&的问题。为此，他与学生多次讨论、商量，画出了语文学科的知识结构图，整理成了支干、小杈、叶子的系统，即所谓&语文知识树&，或叫&知识地图&。这样做就能使学生&当思维的车在知识的原野上奔驰时．有了这张&地图&，目标才能明确，少走冤枉路&。
孙维刚则把站在系统的高度教学知识分成了三层意思：一、每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；二、在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；三、在系统中进行教学。孙维刚认为这种做法所起到的作用是：&使学生发现知识之间盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌，不再是一堆杂乱无章的瓦砾、一片望而生畏的戈壁滩。&
陆青读《孙维刚初中数学》有感
著名的数学教育家孙维刚老师的著作，涵盖了现行教育大纲中所要求掌握的内容，是孙老师三轮实验班的教材。本书立足于对基础知识的分析把握，以及对方法和思想的指导，各章由学习指导和例题两部分组成，在详述概念后，引申概念外围的规律、方法，以及解题思考规律。书中提出，学好数学必须站在系统的角度看问题，力求一题多解、多解归一（结论一个）、多题归一（善于总结），善于用&动&的观点思考问题（做到&风物长宜放眼量&），这对开启学生的数学智慧，掌握科学的学习方法、思维规律，提高学习效率有很大的帮助。
孙老师旗帜鲜明的亮出自己的观点：要学好数学，还要学会&聪明的做题&。
一.题不求多，但求精彩。
对于题目的选择可以遵循下述几个原则：
（1）题目本身无错误；
（2）不要选只是对概念，定理，方法进行复述的题目，这种题目，对于理解知识，培养能力几乎毫无作用；
（3）题目从解法上看，应是充满活力，不要死气沉沉，只是繁琐的堆砌公式或冗长无味；
（4）同一类型的题目，解透一两个有代表性的即可，不必大量重复；
（5）不做那些对于概念无理解价值，在思考方法上远离一般规律的偏题，怪题
二、讲究做题的方法
（一）一题多解（达到熟悉）；
多解归一（寻求共性）；
多题归一（寻求规律）。
这三种方法与其说是是研究问题的三种手段，不如说是深入理解解题思想的三个层次。
（二）对待失误，善于反思，&吃一堑，长一智&
修正错误，也是讲究做题方法的一个内容。因为题做错了，是纠正自己对概念的片面理解或不正确思想方法的良机。
看完本书，我将孙老师的做法总结为以下几点：
1、题目设计特别，针对性强；
2、一题多变，设计练习；
3、给学生充足的探讨、纠错、总结的时间；
4、鼓励学生大胆的发言；
5、教师的总结简洁易记。
我将把总结学习的理论应用到教学工作中去。
读《初中数学创新教学设计》的读书笔记
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&初一数学组 &&周晶晶
&&今年担任初一两个班的数学教学工作,为了更好的教学，提升自己的专业能力，买了很多与初中数学有关的书籍,其中一本《初中数学创新教学设计》一书对我很有帮助，感想很多。&&
&&教学设计作为教师进行教学的主要工作之一，对教学起着先导作用，它往往决定着教学工作的方向；同时教学设计的技能作为教师专业发展的重要内容，已成为教师从师任教必备的基本功。所以教师了解初中数学教学设计的内容很有必要。新理念下的初中数学教学设计的内容可以包括:
&&(1)教学目标。
& &在新理念下，教学目标一般包括过程性目标和结果性目标两个方面，也可以进一步细分为知识技能，数学思考，解决问题，情感态度等多方面。
&&（2）任务分析
&&进行任务分析的重点在于关注几个要点：
一是关注学生的起点;二是关注学生主要的认知障碍和可能的认知途径；三是分析教学内容的重点、难点和关键；四是研究达成目标的主要途径和方法。
&&在这里，有两个问题十分重要:第一，要关注学生的经验基础，第二，要正确认识教材。对于前者，意味着不仅要考虑学科自身的特点，更应遵循学生学科学习的心理规律；要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为初中数学教学的重要资源。对于后者，意味着要&用教材教，而不是教教材&。创造性的使用教材是本次新课程对我们提出的新要求，教材是极其宏观性的一个蓝本，覆盖着非常广阔的时空，主要对教师教什么、学生学什么起到指向作用。但教材仅仅是教师组织数学课堂教学活动的素材，使学生进行数学学习的平台。新理念下的教材给教师留下了比较大的创造空间，进行任务分析，就必须改变&以教材为本处理教材&的现象，根据学生实际、教学实际和当地实际，模拟教材，重组教材，编制教材，消减技巧性训练，增加其探索性、思考性和现实性的成分，为实施开放式、活动式的探究、合作、参与等新型学习方式创造条件。事实上，对初中生来说，喜好数学问题，对有关的数学活动充满好奇心，这是进一步学习数学的首要前提和发展动力。
&&（3）教学思路。
&&主要考虑具体的教学过程，包括创设的情景、活动的线索、学生可能提出的问题，可能的情况下必须附设计说明。
&&（4）教学反思。
&&&主要针对如下一些问题开展反思：
是否达到预期目标？如果没有达到，分析其原因，并提供改进的方案。有哪些突发的灵感，印象最深的讨论或学生独特的想法？哪些地方与教学设计的不一样，学生提出了哪些没有想到的问题?为什么会提出这些问题？
了解了教学设计的内容，为我们以后教学设计具有很重要的指导意义。
& & & & & & & 陈妹《孙维刚 初中数学》读后感
&&&&《孙维刚初中数学》是数学教育家孙维刚老师的著作，涵盖了现行初中数学教育大纲中所要掌握的内容，是孙老师三轮实验班的数学教材。孙维刚老师说，知识本身并不重要，通过数学教学，让学生追问数学上的为什么，养成科学的思维习惯才是最重要的。知识都是相互联系的，课堂上老师常会重复以前的知识，这时候学生应努力找到新旧知识的联系，这样学习数学就变得简单而有趣了。
&&&&&孙老师提倡学生要在可见的系统中学习，知道自己还缺什么，知道自己已拥有什么，达到知己知彼。孙维刚老师站在系统的高度把教学知识分成了三层意思：一、每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；二、在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；三、在系统中进行教学。孙维刚老师认为这种做法所起到的作用是：&使学生发现知识之间盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌，不再是一堆杂乱无章的瓦砾、一片望而生畏的戈壁滩。&
同时孙老师注重教给学生学习方法。孙维刚老师在每届6年的数学教学中：第一，几乎每道例题、每个定理、每个公式都是引导学生自己动手完成的。第二，在课堂上要创造条件，造成学生总是想在老师前面、向老师(包括课本)挑战的氛围，让学生在思维运动中训练思维。让一个个学生到前面来讲，促进了学生之间聪明才智的相互传染。第三，从数学学科特点出发，在知识上指导学生注意追根究底，寻找知识之间的联系和规律，在比较中学习新知识，站在哲理的高度思考问题，注重联想。第四，在解题中指导学生一题多解，多题归一，多解归一，归纳共性，分离个性，并总结出了一套科学有效的解题规律。第五，提倡和指导学生开展问题研究，练习写论文、写总结。第六，不能忽视回顾总结工作，学生完成作业后，要回顾、总结、反思，只有掩卷反思才会有所发现和优化。第七，世上不存在没有&为什么&的事物，凡事需问&所以然&。知其然，更知其所以然，凡事都要问一个为什么。鼓励学生勇于探索大胆创新，各抒己见，展开争论。孙老师认为：老师给学生讲题，如果只把题目的解法过程一步一步讲清楚，哪怕再细致明白，而讲不出这些解法步骤是怎么想出来的，对提高学生的解题能力，效果是不大的，甚至起消极作用。要讲清楚自己当时的心绪和想法，在笨拙中学会反思，学会提出问题解决问题。
孙老师说过：&水能载舟，也能覆舟，题海战术，是覆舟之术。正确对待做题，首先是指，题不在多但求精彩。&孙老师每出一道题，自己要先做上十道题，再从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的题给学生做。这套书中每道题都是孙老师精心挑选过的，讲究数学中的新知识和旧知识的比较与联系，让学生能够站在系统的高度看问题，进而升华到从哲学的角度认识世界，从而形成强大的学习能力。读孙老师的书，仿佛孙老师在眼前亲自为你辅导一样，对于不会做的题，看到孙老师的解法往往会有峰回路转的感觉。书中力求&一题多解，多解归一，多题归一&，用&动&的观点考虑问题，尽可能多地拓宽思路，训练发达的头脑，做到&八方联系，浑然一体&，最终达到&漫江碧透，鱼翔浅底&的境界。
读《孙维刚初中数学》有感
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&陈平
《孙维刚初中数学》是数学教育家孙维刚老师的著作，涵盖了现行初中数学教育大纲中所要掌握的内容，是孙老师三轮实验班的数学教材。孙老师的数学教学理念可以概括成四句话：八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底。他认为，学好数学，首重概念扎实，基础知识牢固。解数学题，要在&扎实&&牢固&的基础上，加强在概念的理解，引申，概念外围的规律方法，以及解题思考规律方面的功夫。而在本书中，他更旗帜鲜明的亮出自己的观点：要学好数学，还要学会&聪明的做题&，这一论点给我留下了深刻地印象。
孙老师认为：提不求多，但求精彩，要求&知人善用&。很多老师和同学做了大量的联系，但实际上无论从知识或是从思维能力哪个方面来说，收获都很少，明显的与付出不成正比。造成这种情况的主要原因在于：其一，是否从思想上明确了如上所述的做题目的目的；其二，是否在用科学的态度和方法去做题。
所谓科学的态度和方法主要包括一下几个方面：
1.题不求多，但求精彩。对于题目的选择可以遵循下述几个原则：（1）题目本身无错误；（2）不要选只是对概念，定理，方法进行复述的题目（这一点对于我校学生尤为重要），这种题目，对于理解知识，培养能力几乎毫无作用；（3）题目从解法上看，应是充满活力，不要死气沉沉，只是繁琐的堆砌公式或冗长无味；（4）同一类型的题目，解透一两个有代表性的即可，不必大量重复；（5）不问津那些对于概念无理解价值，在思考方法上远离一般规律的偏题，怪题
2、讲究做题的方法&&
一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）。这三种方法与其说是是研究问题的三种手段，不如说是深入理解解题思想的三个层次。在本书中孙老师用了几个浅显的例子来说明自己如何通过这三个层次的引导，帮助学生掌握知识熟练技巧，进而思考规律的。而孙老师教学成功的所在，我认为也恰恰在于他对学生做题方法指导上。
我从一些资料中了解到，孙维刚训练学生，一要&敢&提问题；二要&会&提问题；三是在发现问题后，找出此知识与彼知识间的相互联系。别人要花一个月，他们仅用三个半天便讲完了高中数学的118个公式。初中三年便提前学完了高中的全部数学课程，而且还增加了许多课本上没有的内容和部分大学的数学课程。 初二上到一半，便可以优异的成绩答完前一年的高考数学试卷。
而孙维刚学生的成绩，总是和&付出&之间有一道&不等式&：课前不用预习，课上没有笔记，课后没有作业。孙维刚到底靠什么呢？
他说：&我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的。&
在孙维刚的书橱里，有一摞大硬皮本。数数共有二十二个（但这只是其中一部分）。上面画着三角、圆锥等各种几何图形，旁边则是密密麻麻的解题笔记。
他为学生开创了解题的&三级跳&：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；又是他为学生归纳了4个大规律，15个中规律，30多个小规律，使他们从初一到高三，从代数到几何，再没有不会做的题目了。
所以，要想引导学生理性思维，首先教师要有很大的内存和相当的积累，并且用心总结剖析，才有可能做到这种深入浅出和行云流水的境界。
3、在可见的系统中学习，知道自己还缺什么，知道自己已拥有什么。达到知己知彼。魏书生认为，教学中首先应当帮助学生解决&学什么&的问题。为此，他与学生多次讨论、商量，画出了语文学科的知识结构图，整理成了支干、小杈、叶子的系统，即所谓&语文知识树&，或叫&知识地图&。这样做就能使学生&当思维的车在知识的原野上奔驰时．有了这张&地图&，目标才能明确，少走冤枉路&。
&孙维刚则把站在系统的高度教学知识分成了三层意思：一、每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；二、在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；三、在系统中进行教学。孙维刚认为这种做法所起到的作用是：&使学生发现知识之间盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌，不再是一堆杂乱无章的瓦砾、一片望而生畏的戈壁滩。&
读《孙维刚初中数学》有感
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&张 &静
《孙维刚初中数学》是数学教育家孙维刚老师的著作，涵盖了现行初中数学教育大纲中所要掌握的内容，是孙老师三轮实验班的数学教材。孙老师的数学教学理念可以概括成四句话：八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底。他认为，学好数学，首重概念扎实，基础知识牢固。解数学题，要在&扎实&&牢固&的基础上，加强在概念的理解，引申，概念外围的规律方法，以及解题思考规律方面的功夫。而在本书中，他更旗帜鲜明的亮出自己的观点：要学好数学，还要学会&聪明的做题&，这一论点给我留下了深刻地印象。
孙老师认为：提不求多，但求精彩，要求&知人善用&。很多老师和同学做了大量的联系，但实际上无论从知识或是从思维能力哪个方面来说，收获都很少，明显的与付出不成正比。造成这种情况的主要原因在于：其一，是否从思想上明确了如上所述的做题目的目的；其二，是否在用科学的态度和方法去做题。
所谓科学的态度和方法主要包括一下几个方面：
1.题不求多，但求精彩。对于题目的选择可以遵循下述几个原则：（1）题目本身无错误；（2）不要选只是对概念，定理，方法进行复述的题目（这一点对于我校学生尤为重要），这种题目，对于理解知识，培养能力几乎毫无作用；（3）题目从解法上看，应是充满活力，不要死气沉沉，只是繁琐的堆砌公式或冗长无味；（4）同一类型的题目，解透一两个有代表性的即可，不必大量重复；（5）不问津那些对于概念无理解价值，在思考方法上远离一般规律的偏题，怪题
2、讲究做题的方法&&
一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）。这三种方法与其说是是研究问题的三种手段，不如说是深入理解解题思想的三个层次。在本书中孙老师用了几个浅显的例子来说明自己如何通过这三个层次的引导，帮助学生掌握知识熟练技巧，进而思考规律的。而孙老师教学成功的所在，我认为也恰恰在于他对学生做题方法指导上。
我从一些资料中了解到，孙维刚训练学生，一要&敢&提问题；二要&会&提问题；三是在发现问题后，找出此知识与彼知识间的相互联系。别人要花一个月，他们仅用三个半天便讲完了高中数学的118个公式。初中三年便提前学完了高中的全部数学课程，而且还增加了许多课本上没有的内容和部分大学的数学课程。 初二上到一半，便可以优异的成绩答完前一年的高考数学试卷。
而孙维刚学生的成绩，总是和&付出&之间有一道&不等式&：课前不用预习，课上没有笔记，课后没有作业。孙维刚到底靠什么呢？
他说：&我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的。&
在孙维刚的书橱里，有一摞大硬皮本。数数共有二十二个（但这只是其中一部分）。上面画着三角、圆锥等各种几何图形，旁边则是密密麻麻的解题笔记。
他为学生开创了解题的&三级跳&：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；又是他为学生归纳了4个大规律，15个中规律，30多个小规律，使他们从初一到高三，从代数到几何，再没有不会做的题目了。
所以，要想引导学生理性思维，首先教师要有很大的内存和相当的积累，并且用心总结剖析，才有可能做到这种深入浅出和行云流水的境界。
3、在可见的系统中学习，知道自己还缺什么，知道自己已拥有什么。达到知己知彼。魏书生认为，教学中首先应当帮助学生解决&学什么&的问题。为此，他与学生多次讨论、商量，画出了语文学科的知识结构图，整理成了支干、小杈、叶子的系统，即所谓&语文知识树&，或叫&知识地图&。这样做就能使学生&当思维的车在知识的原野上奔驰时．有了这张&地图&，目标才能明确，少走冤枉路&。
&孙维刚则把站在系统的高度教学知识分成了三层意思：一、每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；二、在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；三、在系统中进行教学。孙维刚认为这种做法所起到的作用是：&使学生发现知识之间盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌，不再是一堆杂乱无章的瓦砾、一片望而生畏的戈壁滩。&
《孙维刚初中数学》有感
《孙维刚初中数学》是数学教育家孙维刚老师的著作，此书是作者多年的教学经验和通过具体实例，对如何学、学什么的有关方法和要求，通过实例进行了论述。
孙老师认为在学习知识上，正确的作法是：应从系统的角度学习知识，置于知识的系统中，着眼于知识之间的联系和规律，从而深入本质，因为联系和规律就是本质，着眼于数学思想的渗透.他还举了：初中几何中一条定理：如果一个角一两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。得到40多条定义、定理中的6条定义、定理（角相等定义、平角定义、对顶角相等、两直线平行则同位角相等、同旁内角互补、内错角相等），竟全包括在（如果一个角一两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补）内.得出置于知识于系统中，着眼于知识之间的联系.他让我们透过繁杂的现象，抓住了本质，简化了记忆.
更重要的是让我们接触了一种崭新的认识问题的思想方法：由寻找联系入手，运用规定平移、变换等数学思想和从特殊到一般，又从一般到特殊的方法，把个别离散的现象构造成浑然一体的系统，这就是能力的提高和素质的发展了.
又如通过口诀让初学者容易上手：在《整式的加减》中代入求值问题中：孙老师归纳为：
挖去字母换上数，数字，符号都保留；
换上分数或负数，给它带上小括弧；
原括号内出（现）括弧；
逐级向下变括弧（小&&中&&大）.