《多元函数积分学》练习题参考答案
&P104-练习1 设 则 &&&&&&&& ．解& .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&P105-练习2 设 连续，且 ，其中 由 ， ， 围成，求 ．&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&解：设 ，则 ，两边在 上二重积分，有，则&&P105-练习3 计算 ，其中 ， ．解：&&&P105-练习4 计算 ．&解：&&&&&&&P106-练习5 设函数 连续，则 （& &）．& （A） &&&&&&& （B） &&（C） &&&&&&& （D） &&&&&&解：&&&P106-练习6 设平面区域D由直线 ，圆 及 轴所组成，则二重积分 &&&&&&&&& ．& （2011）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&解：&&&P107-练习7 计算 &， 由 ， ， ， 所围成．（1999）& &&&&&&&&&&&&&&解：&&&P108-练习8 计算 ， 由 ， ， 围成．解：如图&&&&&&&&&&&&&&&P108-练习9 如图，正方形 被其对角线划分为四个区域 ．令 ，则 （&& ）．（A） && &&&（B） && &&&（C） && &&（D） &&&&& &&&&&&&解：由对称性 ， ，在 上， ，所以 ，在 上 ，所以 & 故 ，选(A)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&P113-练习10& 已知曲线 的方程为 ，起点是 ，终点是 ，则曲线积分 &&&&&&&& ．&&& （2010） &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&解： & ；& &&&&&P115-练习11 ，其中 正向．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&解法1： ， 代入即可解法2：补 ，沿 与 围成 ，由多连通区域的格林公式&&&P118-练习12 设曲面 ，则 &&&&&&&&&&&&& ．（2007）解：&&&&&P120-练习13 计算 ，其中 ： ， 取上侧． （1998）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&解：不能直接用gauss公式&补 ， &，方向向上&&&&&P121-练习14 计算曲面积分 ，其中 为曲面 ，取上侧． （2007）&解：补 ，方向向下&&&&&&P121-练习15 计算积分 ，其中 从 轴正向看去， 逆时针．& （2001）&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&解：设 是平面 上被柱面 所截下部分的上侧，由stokes公式，& &&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&P122-练习16 设 ，求 ．&&&&& &&&&&&&&解： ，&& &&& &&&&&&&
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来啊换个时间段
嘻嘻嘻来上课
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品评校花校草，体验校园广场多元函数积分学
Integration of multiple functions
以上为机器翻译结果，长、整句建议使用
掌握常见的曲面方程的识记规律，不仅能轻松建立空间图形，而且为多元函数积分学的学习打下坚实的基础。
To master the law of common surface equation, not only can easily establish a space graphics, but can lay a solid basis for learning multi-function.
课程内容包括常微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学和无穷级数等几大板块。
This course consists of several major parts such as ordinary differential equation vectors and analytic geometry derivatives integration and series.
在用变量替换方法处理多元函数积分学中的某些问题时，习惯上都采用数学分析的方法；
When some problems in plural - function integral calculus are treated in a variable substitute way, it is customary to employ a mathematical analytic method.
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- 来自原声例句
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2017考研高等数学一考点（多元函数积分学）
辅导课程：&&
来源：中公考研&&发布时间： 14:31:10
[摘要]寒假伊始，如今各位备战2017的考研学子们正面临着基础阶段的复习。中公考研辅导老师为大家总结了考研数一考点（多元函数积分学），希望能对大家复习备考有帮助!
　　2017考研交流群：
　　寒假伊始，如今各位备战2017的考研学子们正面临着基础阶段的复习，考研历年数学大纲几乎都不会发生变化，考生们可以提前复习。下面是根据考试大纲总结的高等数学一的多元函数积分学考点，希望能帮到你们。
　　六、多元函数积分学
　　考试要求
　　1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，，了解二重积分的中值定理。
　　2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。
　　3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
　　4.掌握计算两类曲线积分的方法。
　　5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。
　　6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。
　　7.了解散度与旋度的概念，并会计算。
　　8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等)。
　　数学成绩是长期积累的结果，因此准备时间一定要充分。首先对各个知识点做深入细致的分析，注意抓考点和重点题型，同时逐步进行一些训练，积累解题思路，这有利于知识的消化吸收，彻底弄清楚有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。中公考研特为广大学子推出2017考研、、系列备考专题，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。同时，中公考研一直为大家推出，足不出户就可以边听课边学习，为大家的考研梦想助力！
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精华文章推荐多元函数积分学
多元函数积分学
D={(x,y)/x^2+y^2
换到极坐标系(r,theta)，x=r*cos(theta), y=r*sin(theta)
积分区域为0
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积分 2638, 距离下一级还需 962 积分
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高数在考研数学中重量级的选手，而多元函数积分学是高数的重要考点，那我们就来了解一下多元函数积分学的具体考点及出题方式吧。数学之多元函数积分学这部分内容在考研中数一数二数三的区别比较大，数二和数三只考二重积分，数一除了考二重积分还考三重积分、曲线积分和曲面积分。2016年考研数学一试卷既考查了二重积分、还考了曲线和曲面积分，对多元函数积分学的是面面俱到。二重积分相对简单，重点是计算，会算直角坐标系下和极坐标系下二重积分的计算。数一单独考查的内容：三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、散度、旋度。这部分内容属于每年必考题型、常以解答题形式出现、至少11分。得分率偏低，主要原因不是因为这部分内容难，而是因为该部分内容比较生疏，做题较少造成的。如果今年考生没好好复习这块内容，将会后悔莫及啊。数一三道大题全是多元函数积分学的题目，填空题还有一道考查旋度。这部分内容主要是计算。三重积分计算要掌握“先二后一”、“先一后二”及球坐标系计算三重积分的方法，另外结合奇偶性及轮换对称性可简化计算。第一型和第二曲线积分计算，记住四个字“代入、定限”，代入代的是曲线方程，定限二者有所区别，第一型定限下限是积分变量的最小值，上限是积分变量的最大值，第二型定限是起点到终点。第二型曲线积分也可考虑用格林公式将第二型曲线积分转化成二重积分，也可以用积分与路径无关相关知识计算，若是空间中的闭合曲线也可考虑用斯托克斯。计算曲线积分尤其是第一型的也经常结合对称性简化计算。第一型曲面积分计算，记住“代入、投影”，代入的是曲面方程如将z=z(x,y)代到被积函数中，投在某个坐标平面如xoy平面，当然dS与dxdx还有一个比例关系不要漏掉。第一型曲面积分也常结合对称性(奇偶性、轮换对称性)简化计算。第二型曲面积分，计算也是记住四个字“代入、投影”，代入曲面方程，投影时注意要带符号，另外经常“三化一”(几乎每道题均可如此)。第二型曲面积分也可考虑用高斯公式，转化成三重积分去计算。最后，散度、旋度公式记住即可。掌握方法不一定能拿满分，还要多做题。适当的题海战术是必要的。多练习，在做题中才能把只是内化成自己的。这是学习好任何一个章节的不变法则。希望大家踏踏实实学习，在不断做题中提高自己的计算能力，以达到考研对我们的要求。汤家凤编写的《2017考研数学硕士研究生入学考试高等数学辅导讲义》这本书对高等数学涉及的考点，都进行了详细的讲解，并且附有相应的练习训练，考生们可以好好利用一下，好好准备吧，一分耕耘，一分收获，努力吧。来源：文都图书
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