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欧拉常数的某些快速逼近序列的研究.pdf 60页
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分类号： 0157.1
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t l A ^ k ^ V . I I O l
. \ a i t . U A L
■ u v ri t m
中文论文题目：
欧 拉 常 数 的 某 些 快 速 逼 近 序
英文论文题目：
Some fast approximation sequences
of the Euler constant
申请人姓名
论文提交日期
2 0 1 5 年 3
欧 拉 常 数 的 某 些 快 速 逼 近 序
列的 研 究
论文作者签名 :________________
指导教师签名 :________________
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求极限的计算方法与技巧
导读：理右端极限也为，6p利用泰勒展开式求极限，若一个函数的表达式比较复杂时,我们将它展成泰勒展试,若能展成,这样将一个表达式很，递推关系中最常见的方法法是利用单调有界定理，其方法也有所不同.，例设a1?3,an?1?11?an,n?1,2,?.考察极限liman.，n解若极限存在，设极限值为a，下证a?5?12确实是其极限值.事实上，n若要求极限lim?ak当ak可以拆成两项之差时，n??k?1n sin?n?sin2?nn?1??sinn?n?xn?sin?n?sin2?n??sin1n?0n?n， n?n?n?limn1nn??sin?n?sin2?而
limn??nn?1??sinn?1??k?1?k?1sin?nn??sinxdx?2?，同理右端极限也为 2?，由两边夹定理得limxn?n??2? 6p利用泰勒展开式求极限 若一个函数的表达式比较复杂时,我们将它展成泰勒展试,若能展成,这样将一个表达式很复杂的函数化成一个多项式和一个无穷小量的和,而多项式的计算是较简单的,从而此法能简化求极限的运算. 1例 求lim(cosx?xsinx)x x?02解
应用cosx,sinx,ln?1?x?的展式有 cosx?xsinx?1?12x?x?o?x223??1?12x?o?x23? ln?cosx?xsinx??ln?1?x?o?x???x?o?x?2??22?11?x因此lim2ln?cosx?xsinx??lim2??o?x3??? x?0xx?0x?2?2111于是lim(cosx?xsinx)x?0x2?limex?0x2ln?cosx?xsinx?1?e2.
7p递推关系法?7? 递推关系中最常见的方法法是利用单调有界定理，但也有一部分并不满足单调性，从而不能使用单调有界定理，其相应的难度有所加大，其方法也有所不同. 例 设a1?3,an?1?11?an,n?1,2,?.考察极限liman. n解
若极限存在，设极限值为a，在递推关系中令n??得a得a?5?12?11?a，解之（另一负根舍去）.
下证a?5?12确实是其极限值. 事实上， 11?an?1?11?a?an?1?a(1?a)(1?an?1)?11?aan?1?aan?a?， 由此递推关系立得 an?a?1(1?a)n?1a1?a?0(n??).
8p拆项相消法 n若要求极限lim?ak当ak可以拆成两项之差时，可以采用此法先求出和n??k?1n?a的简单形式再取极限。 kk?1n例 设xn??k?11k?k?1??k?2?1，求limxn. n??解
k?k?1??k?2??1?121????? 2?kk?1k?2?nxn??k?11?121????? 2?kk?1k?2??1??21??121?21???11?????????????????? 2??23??234??nn?1n?2???14?1?11???? 2?n?2n?1? 所以limxn?n??14。
9p利用不等式 严格地说，此法应属于两边夹方法，但由于所用不等式较为特殊，而使问题解决的中心在于不等式的应用，因而单列为一种方法. 例
设xn?1?12?13???1n?lnn. 证明极限limxn存在，并由此计算： n?? - 10 -
lim(n??1n?11n?1n?2???12n). 证
由于 (1?)?e?(1?n1n)n?1， 两边取对数得 1n?1?ln(1?1n)?1n,n?1,2,? 由此立得 xn?1?xn?1n?1?ln(1?1)?0n， 即数列?xn?单减. 此外， xn?1?12???1n?lnn?ln(1?1)?ln(1?12)???ln(1?1n)?lnn ?ln(2?34n?11??)?lnn?ln(1?)?0n23n. 即?xn?有下界. 由单调有界定理知其收敛，其极限值称为欧拉常数，常用c表示.
由此易得 ) n?22n1111?lim[(1????ln(2n))?(1????lnn)?ln2]?ln2n??22n2nn??lim(1n?1?1???1 注
也可用定积分法求之. 例
证明：limn(n?1)(n?2)?(2n)n??n?e4. 证
?n?Z?，(1?n?1nn?2n?1(2n)1n)n?e?(1?1n)n?1 n?1n(2n)当n分别为n,n?1,?,2n?1时，将所得n个不等式相乘得
(1nn)(n)n?1?(2n2n?1?en)2n?1?e?(n)n?1(n?2n?1)n?2?(2n2n?1)2n， 2n(n?1)(n?2)?(2n)?1nn?12n?1(n?1)(n?2)?(2n). 化简上式得
((2n)n2)?n1(n?1)(n?2)?(2n)4n?en?((2n)n2)?n1(n?1)(n?2)?(2n)?2nn， 两边开n次方得 n?e?4nn?n2， (n?1)(n?2)?(2n)(n?1)(n?2)?(2n)由此立得所求极限为（也可用定积分法）. 4e 10p洛必达法则 洛必达法则是求解不定式极限的强有力工具. 数列极限也可转化为相应的函 - 11 -
数极限，然后利用洛必达法则求之. 洛必达法则只有直接适用于,0??,???型未定式通过恒等变形可化作0?0?0?,0?0?0?未定式，而 型。而00,?0,1?型未定式则通过取对数化作,型。因此在使用洛必达法则时每步都要检查是否符合洛必达法则条件。此外，还应注意及时化简算式，把定式部分分离出来并求出极限，再对未定式部分使用洛必达法则。 例
求lim1?tanx?x1?tanxx?0e?1 解 先分子有理化再使用等价无穷小替换，然后使用洛必达法则可得 lim1?tanx?x1?tanxx?0e?1?lim21?tanx?1?tanxx?0?tanxe?1x?1. 注 在使用洛必达法则时，往往先对等式进行初等变换，然后在不同阶段使用等价无穷小替换，并时刻注意将非零因子从极限式中分离出来，以简化求导过程。
11p中值定理法 在求函数F?x?的极限时，若能根据F?x?的特点寻得一个新的可微函数f?t?再借助中值定理则往往得到巧妙的解法。 例
求lime?exsinxx?0x?sinx. 解
对函数f?t??et在以x和sinx?x?0?为端点的闭区间上用微分中值定理有 f?x??f?sinx?x?sinx?f'???, 即
e?exsixnx?sinx??e（?在x与sinx之间） 因为当x?0时，有??0 所以
lime?esinxx?sinxxx?0?lime?e?1 ?0??0 例
计算I?limx???xx?5t?(t)tan23t2dt，其中?(t)连续，且?(t)?2(t???). 解
由积分中值定理：???(x,x?5)，使得 tan?15lim?(?)?x??3I?limx???x?5xt?(t)tan23t2dt?5lim??(?)tanx??23?22?23?30. ? 12、单调有界定理 通常根据所求极限式的特征，估计其上下界，然后用数学归纳法等方法证明其单调性和有界性，并注意上下界在证明单调性中的应用，最后往往通过方程求解极限值，注意根的取舍. 例 设a?0，x1?0，xn?1?1(xn2?a),n?1,2,?.试证明： xn（1）极限limn??xn存在，并求之； xnxn?1?（2）级数?(?1)收敛. .即数列有下界. 又因为 a?xn2xn2证
（1）xn?1a,n?1,2,?xn?1?xn??0， 即数列是单减的，由单调有界定理知其极限存在.
设limxn??，则由极限的保序性和（1）知?n???a. 在递推公式两边取极限得 ??12(??a?a)， 解得??a（???a舍去)，即limn??xn?. ?a（2）由（1）知此是正项级数，且xn，于是
- 13 - 包含总结汇报、教学研究、计划方案、党团工作、出国留学、高中教育、IT计算机、农林牧渔以及求极限的计算方法与技巧等内容。本文共5页
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第２６卷第５期大庆师范学院学报』Ｑ旦曼盟△垦Ｑ里旦垒Ｑ！盟鱼盟Ｑ曼丛垒坠堕盟！！垦垦墨！！羔Ｖ０１．２６Ｎｏ．５２Ｑ竖生！Ｑ旦Ｑ！！！垫竺：２Ｑ堕利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ研究调和级数与欧拉常数刘一斐１，祁建芳２（１．河北北方学院网络中心，河北张家口０７５０００；２．北方学院数学系，河北张家口０７５０００）摘要：利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ证明欧拉常数的存在，并在此基础上通过实例说明公式的应用以及推广。关键词：调和级数；Ｓｔｏｌｚ定理；Ｅｕｌｅｒ常数作者简介：刘一斐．（１９７４一），男，湖南沅江人，河北北方学院网络中心助理工程师。中图分类号：０２３１文献标识码：Ａ文章编号：１００６－２１６５（２００６）０５―００１３―０３收稿日期：２００６―０７―１５欧拉常数ｃ是一个与ｅ、丌同等重要的常数。ｃ＝一ｌｉｍ。（１＋专＋Ｌ＋÷一ｌｎｎ）近似的是ｏ．问题：自然数的倒数组成的数列的和１＋虿１＋了１＋Ｌ＋÷＋Ｌ：称为调和级数，它的前ｎ项和记作。５；．．．．：．．，：：］二：：二＝＝二二二：＝＝二二二ｊ：．．?。／７。万方数据　１３Ｌ】Ｇｒａｐｈｉｃｓ口实验２：计算出Ｃ＝Ｈ（１００）一ｌｎｌ００，用绿色画出Ｙ＝ｌｎｘ＋Ｃ的图像，并与ｐｉｃｌ．ｐｉｃ２的图像画在同一坐标系，从图中可观察到ｐｉｃｌ与ｐｉｃ３几乎完全重和．Ｃ＝Ｈ［１００］一Ｌｏｇ［１００］；ｐｉｅ３＝Ｐｌｏｔ［Ｌｏｇ［ｘ］＋Ｃ，｛ｘ，１，１００｝，ＰｌｏｔＳｔｙｌｅ＿÷｛ＲＧＢＣｏｌｏｒ［０，ｌ，０］｝，ＤｉｓｐｌａｙＦｕｎｃｔｉｏｎ－－－＊Ｉｄｅｎｔｉｔｙ］；Ｓｈｏｗ［ｐｉｃｌ，ｐｉｃ２，ｐｉｅ３，ＤｉｓｐｌａｙＦｕｎｃｔｉｏｎ－÷￥ＤｉｓｐｌａｙＦｕｎｃｔｉｏｎ］口Ｇｒａｐｈｉｃｓ口实验３：将坐标为（ｎ，日（ｎ）一ｌｎｎ）（１≤ｎ≤１００）的点依次连接成ｃｌ，再将坐标为（ｎ，日（ｎ）一ｌｎｎ＋１）（１≤ｎ≤１００）的点依次连接成ｃ２，ｃ１递减ｃ２递增，且二者越来越接近。这说明数列日（ｎ）一ｌｎｎ有极限，该极限称为欧拉常数。Ｈ［ｎ一］：＝ＮＳｕｍ［１／ｋ，｛ｋ，ｌ，ｎ｝］；ｃｌ［ｎ一］：＝ＨＩｎ］一Ｌｏｓ［ｎ］；ｔ＝Ｔａｂｌｅ［｛ｎ，ｃｌ［ｎ］｝，｛ｎ，１，１００｝］；ｐｉｅｌ＝ＬｉｓｔＰｌｏｔ［ｔ，ＰｌｏｔＳｔｙｌｅ－－－＊｛ＲＧＢＣｏｌｏｒ［０，０，１］｝，ＤｉｓｐｌａｙＦｕｎｃｔｉｏｎ－－－＊Ｉｄｅｎｔｉｔｙ］；ｃ２［ｎ一］：＝ＨＩｎ］一ＬｏＳ［ｎ４－１］；ｔｌ＝Ｔａｂｌｅ［｛ｎ，ｃ２＂［ｎ］｝，｛ｎ，１，１００｝］；ｐｉｃ２＝ＬｉｓｔＰｌｏｔ［ｔｌ，ＰｌｏｔＳｔｙｌｅ？｛ＲＧＢＣｏｌｏｒ［１，０，０］｝，ＤｉｓｐｌａｙＦｕｎｃｔｉｏｎ－－－＊Ｉｄｅｎｔｉｔｙ］；Ｓｈｏｗ［ｐｉｃｌ，ｐｉｅ２，ＤｉｓｐｌａｙＦｕｎｃｔｉｏｎ－＋￥ＤｉｓｐｌａｙＦｕｎｃｔｉｏｎ］：：．＼．２０１～～?－观―．．！一．―兰．．。．？／一。一一一，●ＵＧｒａｐｈｉｃｓＵ３．应用由以上实验我们还可以得到公式（１）：巩＝ｌｎｎ＋Ｃ＋占。，其中占。是无穷小（ｎ一＊）。公式（１）应用比较广泛，我们下面就利用它来解题。例１求极限舰而１＋了ｂ＋Ａ＋２１虺解：鬲１＋了ｂ＋Ａ＋五１＝呸一以＝（１ｎ２ｎ＋ｃ＋％）一（１ｎｎ＋ｃ＋占。）等式两边同时取极限得舰南＋南＋Ａ＋五１＝ｈ１２例１是一道常见题目，证明方法也多种多样，利用公式（１）的优点是思路明了，计算简单，同时也能培养发散思维方式。例２求积分，＝ｒ（÷一【÷］）如解：由文［１］知此定积分可积１４万　方数据ｉｌ，，＝上１（÷一［÷】）如＝毒＂。培４－【ｉ１一［÷】）如＝有错＝ＪＩ辜１（÷－－１／ｄｘ＝毒。（阮ｎｎ＋１．一去）＝。婪器；，＝（加竺≯一＿｝Ｔ）＝。坚恐（１一（圮一ｌｎⅣ））＝１一ｃ例３设巩＝１＋寺＋￡＋１ｎ，试求级数。；菇”ｎ（ｘ＞ｏ）的收敛区域。解：根据公式（１），当Ｘ＞０时，有戈Ⅳ＾＝搿ｈ。ｂｎ＝茗白ｎ?搿ｈ一髫。?戈ｋ，（厅一＋＊）。ａ～ｂ表示取极限时两量是等价的。因此，ｘ＞０时，级数∑菇”ｎ与∑戈ｈ同时收敛同时发散。由于并ｈ＝ｅ（ｆ肌№＝再１，所以喜。菇ｈ在。＜戈＜上ｅ时收敛，在茹≥上ｅ时发散，从而级数喜。石Ⅳｎ在。＜戈＜÷时收敛，在菩≥上时发散。由于Ｈ。一十∞（ｎ一十ｍ），因此，很容易使人认为级数∑戈“、的收敛域是０＜ｘ＜１，从而使解题思路转到错误方向来。实际上，直接讨论所给级数的收敛域是很困难的，但运用公式（１）后问题变得相当简单。可见，熟练地掌握一些基本公式对解题是大有好处的。定理若Ｐ。＞０，ｋ＝１，２，…。定义序列｛Ｐ。｝如下Ｐ。＝Ｐｌ＋Ｐ２＋Ａ＋Ｐ。，ｎ＝１，２，…．此＊｝｛ｐ并设｛只｝发散，但船只Ｐｆｌ＝ｏ。则．ｒａ。尘尘』！≮急｝―羔２Ｉ＝１ｌ。鲁｛晰，Ｒ１：～ＤＤ～一ｎｍ“Ｐ１Ｐｌ－１＋Ｐ２Ｐｆｌ＋Ａ＋Ｐ。Ｐｆｌ证因｛Ｒ｝是一正数列，且｛Ｐ。｝发散，故必单调增加趋于正无穷，从而｛１．Ｐ。｝也单调增加趋于正无穷。根据Ｓｔｏｌｚ定理有脚型≮半＝舰上Ｉｎｔｌ．－ＬｌｎＰ．．ｔ＝ｌｉｎ２一。ｎＰ豇．Ｐ一＝斯焉＝?…Ｐ。（脚Ｐ。Ｐ７１＝ｏ）ＳｔｕｄｙＯｎＨａｒｍｏｎｉｃＳｅｒｌｕａｎｄＥｕｌｅｒＣｏｎｓｔａｎｔｂｙＭａｔｈｍａｔｉｅａＬＩＵＹｉ―ｆｅｉｌ．ＱＩＪｉａｎ―ｆａｎ９２（１．ＮｅｔｗｏｒｋＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＣｅｎｔｒｅ，ＨｅｂｅｉＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｇｊｉａｋｏｕ０７５０００，Ｃｈｉｎａ；２．ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＨｅｂｅｉＮｏａｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｇｊｉａｋｏｕ０７５０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｅｓｓａｙａｉｍｓｔｏｐｒｏｖｅｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆＥｕｌｅｒＣｏｎｓｔａｎｔｂｙＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｅｘｅｍｐｌｉｆｙｔｈｅａｐｐｌｉ．ａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｆｏｒｍｕｌａｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｉｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈａｒｍｏｎｉｃｓｅｒｉｅｓ；ＳｔｏｌｚＴｈｅｏｒｅｍ；ＥｕｌｅｒＣｏｎｓｔａｎｔ万　方数据１５４．推广ａｎｃｅ利用Mathematica研究调和级数与欧拉常数作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：刘一斐， 祁建芳， LIU Yi-fei， QI Jian-fang刘一斐,LIU Yi-fei(河北北方学院,网络中心,河北,张家口,075000)， 祁建芳,QI Jian-fang(北方学院,数学系,河北,张家口,075000)大庆师范学院学报JOURNAL OF DAQING NORMAL UNIVERSITY)0次
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有关于欧拉常数!怎样证明1+1/2+1/3+1/4+……+1/n-ln(n)当n趋于无限大时有极限?数列的单调增加性已经能够证明了,现在就需要证明这个数列有上界.感谢asconanlhy的回答，这种证明问题的方法叫归纳法，harmonic series是调和级数，那个法则叫洛比达法则（L'Hospital）。但只有0/0或∞/∞才能用洛比达法则，而其他的不定型需要进行转化。
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呵呵楼上的说的用洛比打法则到底能不能做,我不知道,我觉得可能有点麻烦的,毕竟洛必达法则的条件要求导函数之比极限存在的.我没去想那个.楼主我不知道你怎么证明的这个数列单调增加!我记得我证明的时候是先证明单调递减,再证明有下界0!这个也可以用积分中值定理证,或者构造一个级数来证明,我个人觉得构造级数最简单.大概是这样v(n)=a(n)-a(n-1)=1/n+ln(1-1/n)=1/n+[-1/n-1/2n^2+o(1/n^2)]=-1/2n^2+o(1/n^2)级数v收敛所以它的部分和a收敛.
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内容详情：内容简介：极限的计算方法与技巧 Limit calculation method and skillaaaaaaaaaannnnn????????????????)(1(1111，由此递推关系立得)(0)1(111????????naaaaann.4.10拆项相消法若要求极限1limnknka????当ka可拆成两项之差时，可以考虑采用该法先求出和1nkka??的简单形式，再取极限.例设????1112nnkxkkk?????，求limnnx??.解因为????kkkkkk?????????????所以nnkxkkk?????????????323412????????????????????????????????????nnnnn??????...极限的计算方法与技巧 Limit calculation method and skill aaaaaaaaaannnnn????????????????)(1(1111，由此递推关系立得)(0)1(111????????naaaaann.4.10拆项相消法若要求极限1limnknka????当ka可拆成两项之差时，可以考虑采用该法先求出和1nkka??的简单形式，再取极限.例设????1112nnkxkkk?????，求limnnx??.解因为????kkkkkk?????????????所以nnkxkkk?????????????323412????????????????????????????????????nnnnn???????????因此可得1lim4nnx???.江西师范大学09届学士学位毕业论文4.11利用迫敛性求极限利用迫敛性求极限，关键就在于对原式进行适当的放大和缩小，并且使得放大和缩小后的式子具有相同的极限.在进行放大和缩小的时候经常会应用到不等式的性质和一些常见的不等式，因此大家在平时的学习中要注意复习不等式的性质和一些常见的不等式.例设nnxnln131211???????.证明极限nnx??lim存在，并计算：)212111(limnnnn????????.证由于1)11()11(?????nnnen，两边分别取对数得?,2,1,1)11ln(11?????nnnn由此得0)11ln(111???????nnxxnn，即数列??nx单调递减.此外，nnnnxnln)11ln()211ln()11ln(ln1211???????????????0)11ln(ln)134232ln(????????nnnn?.即??nx有下界.由单调有界定理可知其收敛，其极限值称为欧拉常数，常用c表示.由此易得)212111(limnnnn????????2ln]2ln)ln1211())2ln(21211[(lim????????????nnnnn??4.12利用中值定理法求极限??9在求函数??Fx的极限时，若能根据??Fx的特点寻得一个新的可微函数??ft再借助中值定理则往往得到巧妙的解法。例求sin0limsinxxxee???.解对函数??ft?te在以x和sinx（0?x）为端点的闭区间上用微分中值定理，有江西师范大学09届学士学位毕业论文??????'sinsinfxfxfxx????,即sinsinxxeee????，?在x与sinx之间.因为当0x?时，有0??所以000sinlimlim1sinxxeexeexx?????????例计算5223limx(x)tanxx??????xxxId，其中(x)?连续，且(x)2(x)?????.解由积分中值定理有，存在(,5)???xx，使得tan33limx()tandx5lim()tan15lim()303x??????????????????????xxxxxIt.4.13利用级数收敛的必要条件求极限??10利用级数收敛的必要条件求极限，首先应设级数1nn????等于所求极限的表达式.再证明级数1nn????是收敛的，根据级数收敛的必要条件可知所求表达式的极限为0.例求!lim??nxnn解级数1nn????=!nnn，+111lim=lim=1e11+?????????????nnxxnn故级数+1!??nnnn收敛，于是有!lim??nxnn=04.14利用导数定义求极限利用导数的定义??????000x0+-lim'?????fxxfxfxx把极限的计算转换为在某一点处的导数.江西师范大学09届学士学位毕业论文例求??0ln+1lim?xxx解因为??0ln+1lim?xxx=??????000ln+1-ln0+11lim=ln+1'1-0+1?????????xxxxxxx4.15化积为商法求极限利用化积和商法求极限，一般在计算1nnkkxa???的极限时，若能把各乘积的因子化成商的形式，从而使得某些公式交错出现在分子﹑分母上，则可直接约去公因式就可以得到nx的简单形式，再取其极限值.例设2211nnkxk??????????，求limnnx??.解由于,kkkkk?????所以33nnknnxknn???????????????????????????????12nn??所以1lim2nnx???.4.16构造新数列法求极限利用构造新数列法求极限，一般是通过构造一个新的便于研究的数列，把它作为一个桥梁去研究原数列，这是数学里常用的方法之一.例设??010,1sin1,1,2,nnaaan??????证明数列??n收敛，并求极限。解令1nnba??，则1,sin1,2,nbn???nb因为01sin1,1xb?????，所以1111sin0,sin,1,2,nnnnnbbbbbn??????????即数列??nb单增有上界，所以数列??nb收敛，又由于11limlimsinsinlimlim0nnnnnnnnbbbb??????????????且1nnab??.故数列??na收敛，且??limlim11nnnnab???????江西师范大学09届学士学位毕业论文4.17Euler常数法??11利用Euler常数法求极限就是应用著名欧拉公式111ln2nncn???????其中0.577215c?叫做欧拉常数,lim0nn????例求极限??211lim41nnkkk?????解原式nnnkkkkkk???????????nnn??????????????????????????????????32221nnn????????????????????????所以??211lim41nnkkk?????=2ln21?.5总结在高等数学里极限的计算方法和技巧是十分重要的.本文归纳了函数极限计算的一些方法和技巧,但是在做求解极限类型的题目时，同学们要根据题目来考虑，不同的情况采用不同的方法，不能机械地使用某种特定的方法，并对具体的题目要注意去观察，有时解题也可多种方法混合使用，要学会去灵活运用。致谢本文承蒙易奇志老师的指导及许多同学的帮助，谨此致谢！江西师范大学09届学士学位毕业论文参考文献：[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].第三版.北京：高等教育出版社,2001.[2]吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解(多变量部分)[M].北京：科学出版社，2004.[3]刘玉琏.数学分析(上册)[M].第四版.北京：高等教育出版社，2003.[4]李成章，黄玉民.数学分析（上册）[M].南京：科学出版社，2003.[5]费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社，2005.[6]陈传章，金福临，朱学炎等.数学分析[M].第二版.北京：高等教育出版社，2000.[7]张再云，陈湘栋，丁卫平，etal.极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学报，2009，（22），16-17.[8]张筑生.数学分析新讲（第二册）[M].北京：北京大学出版社，2003.[9]王敏，马长胜.计算极限的方法再探[J].蒙自师范高等专科学校学报，2002，（4），38-39.[10]王淼.谈求极限的方法[J].科技创新导报，2007，（5）76-78.[11]吴云飞，裴亚萍﹒数列极限与函数极限的方法与技巧[J]．宁波职业技术学院，2003（2）.o'0；?Ux且以0x为极限的数列??nx,极限??limnnfx??都存在且相等.注1归结原则也可简叙为:0lim()xxfxA???对任何??0nxxn???有??limnnfxA???.注2若可找到一个以0x...
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