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微分中值定理及其应用
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第三讲 微分中值定理及其应用
知识精讲课程—高等数学第三章
1. 掌握微分学中值定理, 领会其实质, 为微分学的应用打好坚实的理论基础.
2. 熟练掌握洛比塔法则, 会正确应用它求某些不定式的极限.
3. 掌握泰勒公式, 并能应用它解决一些有关的问题.
4. 使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法, 能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象.
5. 会求函数的极值与最值.
6. 弄清函数极值的概念, 取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值.
7. 掌握讨论函数的凹凸性和方法.
中值定理和泰勒公式, 利用导数研究函数单调性、极值与凸性, 利用导数求极值的方法, 利用导数研究函数的凸性.
用辅助函数解决问题的方法, 极值的判定, 利用凸性证明相关命题.
一、课程导入
上一讲我们介绍了导数、微分的概念及其简单的运算, 这一讲来介绍一元微分学中另外一个重要的部分——微分中值定理及其应用.
有关中值定理的证明是历年出现频率较高的考点之一, 而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式. 在这种题型中, 有时候需要构造辅助函数, 而构造辅助函数解决问题的方法一直以来都是大家复习的难点, 因此在整个复习过程中, 同学们应该注意总结. 特别是一些比较好的方法和例子. 由柯西中值定理推导得到的洛必达法, 是求一些未定式极限的有力工具, 大家要熟练掌握它的条件和结论. 微分中值定理建立了导数值与函数值之间的联系, 因此, 我们就会想到去利用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点. 微分学的另一个重要的应用就是求函数的最大值和最小值, 我会给出同学们总结求函数最值的一般方法, 希望同学掌握这些方法并会求简单的应用. 下面我们先来学习中值定理的相关内容.
二、知识点详解
(一) 微分中值定理
本部分考查目标级别：掌握微分学中值定理, 领会其实质, 为微分学的应用打好坚实的理论基础; 熟练掌握洛比塔法则, 会正确应用它求某些不定式的极限; 掌握泰勒公式, 并能应用它解决一些有关的问题.
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江苏师范大学 数学与统计学院 徐州 221116 要:微分中值定理是一系列中值定理的总称,是研究函数的有力工具,包括费马中值...本科生毕业论文(设计)系(院)数学与信息科学学院 专 业数学与应用数学 论文题目 微分中值定理及其应用 学生姓名贾孙鹏 指导教师 黄宽娜(副教授) 班级 11 级数应...微分中值定理的证明及其应用牛锦波 (数学与计算科学系 09 专升本班) 指导教师:李超 摘要:微分中值定理在数学分析中具有重要作用,通过它我们可以研究函数的性态。...引言 数学分析中的微分中值定理是研究函数特性的一个有力工具,在微积分领域有 举足轻重的地位,它们广泛地应用于数学中的各个领域,在计算方法以及实变函 数中都...19 江西师范大学 2015 届学士学位毕业论文 1 引言微分中值定理包括罗尔了定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,微分中 值定理的一系列定理。在微分中值定理中,...欢迎光临中国图书网&请
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作者：珍妮特•温特森(作者), 虹影, 刘瑜, 等 (译者)
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(编者:吴迪光)[出版社:浙江大学出版社]
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本书是按照国家教委高等学校工科数学课程教学指导委员会拟定的高等数学课程教学基本要求，并根据我校是一所以工为主、理工结合、兼有人文、经管的多科性大学的特点而编写的，内容有：一元函数微积分、矢量代数与空间解析几何、多元函数微积分、无穷级数（包括傅里叶级数）、常微分方程等五部分．学时范围为190-210学时，可作为高等学校工科、理科（非数学专业）、经济管理等有关专业本科生的微积分课程的教材．书中冠有“*”号部分（用小体字排版）系供对微积分要求较高的专业选用和自学者阅读。　　为了便于教学，编写时力求表述确切、思路清楚、由浅入深、通俗易懂、例题适当、注重解题方法、培养能力，每章末附有较充足的习题，包括计算题、分析论证题、综合应用题，并插有思考讨论题，书末附有答案，较难的题附有提示，课后布置习题可选其中三分之一左右，其余的可供学有余力的学生根据本专业要求自行选做，在内容安排上我们注意以下几点：　　（1）预备知识部分介绍了实数集、实数连续性，有限集的大小数，有界无限集的上确界与下确界概念，使学生了解无限集不同于有限集，从而为引入极限概念和理论作准备。　　（2）加强极限“夹逼”法的运用，这一方法不但是导出微分学两个重要基本公式和定积分存在性证明所必需，同时本身也是从已知求未知的一种重要方法。　　（3）用定义在rn真上的点函数统一了多元函数概念和多元函数的积分概念，以期加强内容的内在联系，同时减少不必要的重复，也节省了学时。　　（4）将常微分方程主要部分提前在紧接一元微积分之后，全微分方程放在曲线积分与路径无关一节，级数解法放入无穷级数应用一节，这不只是为了与物理课程的教学相配合，同时也有利于加强一元函数建立函数关系的训练。　　（5）为了加强矢量分析的应用，场论中梯度部分放入多元偏导数应用一节，散度与旋度放入多元函数积分学有关章节。
绪论预备知识
2 几个简写符号
习题第一章 函数
1 函数概念
2 几类有某种特性的函数
3 反函数、复合函数
4 初等函数
习题一第二章 极限与连续
1 数列的极限
2 函数的极限
3 无穷小与无突大
4 极限的运算
5 函数的连续性
6 无穷小的比较
7 函数的一致连续性
8 闭区间上连续函数性质的证明
习题二第三章 导数与微分
1 导数的概念
2 导数的运算
3 隐函数与参数式函数的求导法则
4 高阶导数
习题三第四章 微分中值定理与导数应用
1 微分中值定理
2 洛比达法则
3 泰勒公式
4 函数的增减性与极值
5 曲线的凹向与函数图形的描绘
6 曲率、曲率圆
7 方程实根的近似计算
习题四第五章 不定积分第六章 定积分及其应用第七章 微分方程习题答案
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学生研究与讨论
关于微积分中值定理的讨论
（重庆邮电学院计算机学院信息与计算科学专业2000级）
微分中值定理
由于解决实际问题的需要，人们引进了微分学的概念，并对它进行研究发展，使之成为一门系统化、全面化的理论。而且微分学也随之成为解决实际问题中一种重要的工具之一，其应用也越来越广泛。
而微分学中的一个重要定理——微分中值定理——是微分应用的理论基础，是微分学的核心理论。所有微分中值定理的重要性也是显而易见的。
而这一章我们就是要讨论微分中值定理及其相关内容。主要讲了四个方面：第一节主要是从讲述微分中值定理的历史演变过程中引出微分中值定理的三种形式，并给出它们各自的一种证明方法；第二节是从两个方面研究微分中值定理的推广：n元函数的微分中值定理和高阶微分中值定理；第三节主要是研究复函数中的微分中值定理，得到与实分析中相对应的微分中值公式；第四节是在共轭解析函数中探讨微分中值定理，在引进共轭解析函数的定义后对共轭解析函数的中值定理进行初步的探讨。
微分中值定理的历史演变及其简介
微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。而且微分中值定理不是一下子全部被人类认知，它的完整出现经历了一个过程，是众多数学家共同研究的成果。从费马定理到柯西中值定理，是一个逐步完善、不断向前发展的过程，而且随着相关数学理论知识的不断完善，微分中值定理也随之得以完整起来，证明方法也出现了多样化。这一节主要是从讲述微分中值定理的历史演变入手，引出微分中值定理的三个公式，并给出它们各自的一种证明方法。
§1.1： 微分中值定理的历史演变
微分中值定理，是微分学的核心定理，是研究函数的重要工具，是沟通函数与导数的桥梁，历来受到人们的重视。
微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。
微分中值定理有着明显的几何意义，以拉格朗日定理为例，它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。”从这个意义上来说，人们对微分中值定理的认识可以上溯导公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，求出抛物线弓形的面积。希腊著名数学家阿基米德（Archimedes，公元前287—前221）正是巧妙地利用这一结论，求出抛物线弓形的面积。意大利卡瓦列里（Cavalieri，）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3用基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，按历史顺序：1637年，著名法国数学家费马（Fermat，）在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。1691年，法国数学家罗尔（Rolle，）在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797年，法国数学家拉格朗日（Largrange，1736——1813）在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西（Cauchy，1789——1857）。他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》、（1823年）、《微分计算教程》（1829年），以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格的证明了拉格朗日定理。又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理——柯西定理。从而发现了最后一个微分中值定理。
§1.2：微分中值定理简介
1.2.1 引理：费马定理
费马作为微积分的创立者，他在研究极大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理。
所谓的虚拟等式法，可以用下例加以说明。费马在求得一个长度为的线段，如果划分为两个线段，，使他们的积为最大时，采用以下方法：用代替，得到表达式
并与表达式进行比较，得到虚拟等式：
再将所得各项除以，得到。然后去掉仍含的项，再将虚拟等式化为真正的等式。从而得到，使为最大。
费马的“虚拟等式法”可能基于一种非常直观的想法，如果为的极大值，那么从直观上来看，在附近值变化很小。当很小时，和差很小。用现代语
正在加载中，请稍后...2018考研数学大纲之一元函数微分学
来源：文都网校
　　微积分构成了高等数学的主体，在考研数学中占的分量也是极重的，因此复习好这部分内容就显得尤为重要，下面先跟着文都考研老师来看下中对于这部分内容的考试内容和考试要求是怎样的：
　　考试内容：
　　1.导数和微分的概念2.导数的几何意义和物理意义3.函数的可导性与连续性之间的关系4.平面曲线的切线和法线5.导数和微分的四则运算6.基本初等函数的导数7.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法8.高阶导数9.一阶微分形式的不变性10.微分中值定理11.洛必达法则12.函数单调性的判别13.函数的极值14.函数图形的凹凸性、拐点及渐近线15.函数图形的描绘16.函数的最大值与最小值17.弧微分18.曲率的概念19.曲率圆与曲率半径
　　考试要求：
　　1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
　　2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
　　3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
　　4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
　　5.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。
　　6.掌握用罗比达法则求未定式极限的方法。
　　7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
　　8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
　　9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
　　复习一元函数微分学一定要紧紧围绕以上考试内容与考试要求，相关定义、定理、题型一定要做到熟稔于心，复习好了这部分内容，后面内容的复习才能顺利进行，进而打好一个坚实的知识基础。
　　今天下午13:00-21:00，文都教育联合文都直播、腾讯课堂、一直播平台，共同打造2018考研新大纲解析直播峰会!100家媒体支持、200座城市互动，百万学子同步分享!
　　你，准备好来赴这场直播盛宴了吗?
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