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在并联电路中,如果一条电路有电压表,另一条电路有两个电灯,电流会怎么走?电压表有阻碍吗?
S亲友团289
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如图&&因为实际的电压表不是理想的,所以肯定要分电流（该电流远远小于另一条路上的电流）.如图中,电流从a到b,电压表上也有电流方向从c到d
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实际上这是电压表、电灯的并连电路，并连电路中的电压表吸取的电流非常小，对电灯没什么影响。
两条支路都有电流流过，只不过是，有两个电灯的支路电流大，而有电压表的支路电流小。原理是：两个电灯的支路的电阻小（相比电压表），电压表的支路电阻很大（在测量压是，我们一般把它看做开路，就是因为它的电阻很大，流过它的电流小的可以忽略不计的缘故）。...
因为电压表的内阻很大，电流不会从有电压表的电路走
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在复习“电流的磁场”和“磁场对电流的作用”时，小刚想：“既然通电导体周围存在磁场，磁场又会对通电导体产生力的作用，那么相互靠近的两个通电导体间是否会产生力的作用呢？”（1）于是，他和小强商议通过实验来研究这一问题．他们找到了两根柔软的导线，相距较近地并排固定在接线板上，实验电路如图甲所示．通过实验观察到的现象如图乙所示．该试验表明：两个通电导体之间　　．（2）小强认为，如果改变其中一个通电导体的电流方向，则它们之间作用力的方向也会发生改变．小强这样想的理由是：电流产生的磁场方向是由　　的方向决定的，当一个通电导体中电流的方向改变时，它产生的磁场方向也会发生改变；而磁场对通电导体的作用力的方向与　流　的方向和　　的方向有关，另一个通电导体中电流的方向不变，但磁场的方向变化了，它受到的磁场力的方向就会改变．（3）如果开始实验时，小刚和小强没有找到柔软的导线，而是用较硬的普通铝芯电线进行实验，你认为会出现怎样的情况？通过这个问题，你得到了怎样的启示？　　．
答案（1）相互吸引；（2）电流；电流；磁场；（3）使导线在排斥力的作用下，变得更硬，并且难以观察到通电导体之相互排斥的现象；多利用规格不同的材料实验，多观察，找出规律电路的图 -解决方案-华强电子网
电路的图 -解决方案-华强电子网
1. 网络图论　　图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。图论的概念由瑞士数学家欧拉最早提出，欧拉在1736年发表的论文《依据几何位置的解题方法》中应用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题，见图1a和b所示。 图1 a 哥尼斯堡七桥b 对应的图　　19～20世纪，图论主要研究一些游戏问题和古老的难题，如哈密顿图及四色问题。1847年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图
1. 网络图论　　图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。图论的概念由瑞士数学家欧拉最早提出，欧拉在1736年发表的论文《依据几何位置的解题方法》中应用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题，见图1a和b所示。 图1 a 哥尼斯堡七桥b 对应的图　　19～20世纪，图论主要研究一些游戏问题和古老的难题，如哈密顿图及四色问题。1847年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图论被用于网络分析和综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及编译技术等等。2. 电路的图　　电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应，如图2所示，所以电路的图是点线的集合。通常将电压源与无源元件的串联、电流源与无源元件的并联作为复合支路用一条支路表示。如图2c所示。 a 电路图b 电路的图(一个元件作为一条支路)c 电路的图(采用复合支路)图2电路和电路的图　　有向图――标定了支路方向（电流的方向）的图为有向图。　　连通图――图G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。 图3 有向图图4 非连通图图5 连通图　　子图――若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是图G的子图。 a 电路的图（G）b G图的子图c G图的子图图6　　树（T）——树（T）是连通图G的一个子图，且满足下列条件：　　(1) 连通；(2)包含图G中所有结点；(3)不含闭合路径。 　　构成树的支路称树枝；属于图G而不属于树（T）的支路称连支： 图7 电路的图与树的定义需要指出的是： 　　1）对应一个图有很多的树；　　2）树支的数目是一定的为结点数减一：bt=(n-1) 　　3）连枝数为 bl=b-bt=b-(n-1) 　　回路――回路L是连通图G的一个子图，构成一条闭合路径，并满足条件：　　(1)连通；(2)每个节点关联2条支路。　　需要指出的是：　　1）对应一个图有很多的回路； 　　2）基本回路的数目是一定的，为连支数；　　3）对于平面电路，网孔数为基本回路数 l=bl=b-(n-1) 图8电路的图与回路定义　　基本回路(单连支回路)――基本回路具有独占的一条连枝色，即基本回路具有别的回路所没有的一条支路。 图9 电路的图及其基本回路　　结论：电路中结点、支路和基本回路关系为：支路数＝树枝数＋连支数＝结点数－1＋基本回路数 b=n+l-1
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上课用第1章 电路的基本概念与定律
第一章电路的基本概念与定律电路理论起源于物理学中电磁学的一个分支。若从欧姆定律（ 1827 年）和基尔霍夫 定律（1845 年）的发表算起，至今已有 170 多年的历史。电路理论融合了物理学、数学 和工程技术等多方面的成果。物理学，尤其是其中的电磁学为研制各种电路器件提供了 原理依据，对各种电路现象做出理论上的阐述；数学中的许多理论
在电路理论中得到广 泛的应用，成为分析、设计电路的重要方法；工程技术的进展不断向电路理论提出新课 题，推动电路理论的发展。 电路理论是研究电路的基本规律及基本分析方法的工程学科。它通常包括电路分析 和网络综合两个分支。电路分析指根据已知的电路结构和元件参数，求解电路的特性； 网络综合是根据对电路性能的要求，确定合适的电路结构和元件参数，实现所需要的电 路性能。另外，由于电子元件与设备的规模扩大，促进了故障诊断理论的发展，因而故 障诊断理论被人们视为继电路分析和网络综合之后电路理论的又一个新的分支。1.11.1.1 电路的组成和功能电路的基本概念为了实现电能的产生，传输及使用的任务把所需要的电路元件按一定的方式连接起 来，即构成电路。所以电路是由电工（电器）设备构成的总体。它提供了了电流流通的 路径，在电路中随着电流的通过，进行着能量的转换、传输、分配的过程。一个完整的 电路要有三个基本组成部分。 电源（SOURCE） ：产生电能或信号的设备，是电路中的信号或能量的来源，工作时 将其他形式的能量变为电能―例如发电机、干电池、光电池等。同时电源又被称为激励。 负载（ LOAD） ：用电设备，消耗电能的装置。工作时将电能变为其他形式的能量， 例如电动机、电阻器等。 电源与负载之间的连接部分：除连接导线外，还必须有控制、保护电源用的开关、 熔断器、升、降压变压器等。 根据电路的功能将电路分为两种：一种是实现电能传输和分配，并将电能转换成其他形 式的能量―称为力能电路。 （用在“强电”电路中） 。电路的另一个作用是对信号进行处 理，以信号处理为目的的电路称为信号电路。 （用在“弱电”电路中） ，通过电路把输入 的信号（激励 --EXCITATION）进行变换或加工变为所需要的输出（响应― RESPOSE） 。 如放大电路把微弱信号进行放大―收音机、电视机的放大电路，调谐电路，存储电路， 整流滤波电路等。1.1.2电路和电路模型1．实际电路的组成 实际电路是由各种电气、电子元器件（如电阻器、电容器、线圈、开关、晶体管、 电池等）按一定的方式相互连接而成的。通常包括三个部分：一是提供能量或信号的电 源；二是用电装置，称为负载；三是连接电源与负载的导线、开关等中间环节。 2．实际电路的功能 实际电路的功能可概括为两个方面：其一，进行电能的产生、传输、分配与转换， 如电力系统中的发电、输配电线路等。其二，实现信号的产生、传递、变换、处理与控 制，如电话、收音机、电视机电路等。 3．电路模型 问题的提出：实际电路中使用的电路部件一般都和电能的消耗现象及电磁能的储存 现象有关，这些现象交织在一起并发生在整个部件中。如果把这些现象或特性全部加以 考虑，这对分析电路就带来了困难。因此，必须在一定条件下，忽略它的次要性质，用 一个足以表征其主要电磁性能的模型来表示，以便进行定量分析。 集总假设：当实际电路尺寸远小于其使用时最高工作频率所对应的波长时，可以定 义出几种理想元件，用来构成实际部件的模型。这个条件即为集总假设。在这个条件下， 每一种理想元件只反映一种基本电磁现象，其电磁过程都分别集中在各元件内部进行， 且可由数学方法精确定义。例如，电阻元件表征消耗电能的特性，电容元件表征储存电 场能量的特性，电感元件表征储存磁场能量的特性。这三种理想元件模型如图 1.1 所示。 电路模型：电路模型是实际电路在一定条件下的科学抽象和足够精确的数学描述。 电路分析的对象不是实际电路，而是理想化的电路模型。电路理论中所说的电路是指由 一些理想元件按一定方式连接组成的总体。RCL(a)图 1.1(b)三种理想元件模型(c)不同的实际部件，只要具有相同的主要电磁性能，在一定条件下可用同一个模型表 示。同一个实际部件在不同的条件下，它的模型也可以有不同的形式。例如，实际电感 器在不同条件下的模型如图 1.2 所示。图 1.2实际电感器在不同条件下的模型将实际电路中各个部件用其模型表示，这样画出的图即可得到实际电路的电路模型，也 称电路原理图。1.21.2.1 电路的基本物理量电路的基本物理量及参考方向电路分析能够得出给定电路的电性能。电路的电性能通常可以用一组表示时间函数 的变量来描述，电路分析的任务在于给定电源（激励）解得这些变量（响应） 。从根本上 说，电荷与能量是描述电现象的基本变量或原始变量，为便于描述电路，从电荷和能量 引入了电路的基本变量：电流、电压和功率。它们都易于测定，其中功率又可由电压、 电流算得。因此，电路分析问题，往往侧重于求解电流和电压。 1．电流 电荷有规则的定向运动，形成传导电流。金属导体中的大量自由电子，在外电场的 作用下逆电场运动而形成电流，电解液中带电离子做规则定向运动形成电流。 定义：单位时间内通过导体横截面的电荷量称为电流强度，简称电流。用 i(t)可表示 为：i(t ) ?单位：kA，A，mA，?A。dq dt实际方向：习惯上把正电荷的运动方向定为电流的实际方向（又称真实方向） 。 如果电流的大小和方向不随时间变化，则这种电流称为恒定电流，简称直流（ DC） ， 否则称为时变电流。 时变电流的大小和方向都随时间进行周期性变化， 则称为交变电流，简称交流。 参考方向：假设的正电荷运动方向。 在实际问题中，电流的真实极性往往在电路图中难以判断。如图 1.3 所示，电阻 R 的电流实际方向不是一看便知的，但它的实际方向无非是 a 流向 b 或 b 流向 a。因此， 可以像其他代数量问题一样任意假设正电荷的运动方向，用箭头标在电路图上，或用双 下标表示（如 iab 表示电流从 a 点流向 b 点） ，并以此为准去分析计算。 实际方向的判定：经计算后根据电流的正负可判断其实际方向。规定计算所得电流 为正值，说明实际方向与所设参考方向一致；计算所得电流为负值，说明实际方向与所 设参考方向相反。 注意：电流值的正负，在设定参考方向的前提下才有意义。因此，如果选用电流变 量时一定要标出其参考方向。正因为从参考方向可以判定其实际方向，故今后在电路图 中所标出的电流方向都可以认为是参考方向。 例 1.1 接 于 某 一 电 路 的 ab 支 路 如 图 1.4 所 示 ， 在 图 示 参 考 方 向 下 ， 若?? ? i (t ) ? 4cos ? 2?t ? ? A，试问： 4? ?图 1.3一简单电路图图 1.4例 1.1 题图（1）i(0)、 i(0.5)的实际方向？ （2）若电流参考方向与图 1.4 中相反，则 i(0)、 i(0.5)的实际方向有无变化？ 解： （1）i(0) ? 4cos? ? 2 2 A ＞0，故该电流实际方向和图示参考方向一致，是 a→b； 4?? ? i (0.5) ? 4 cos ? ? ? ? ? ?2 2 A ＜0，故该电流实际方向和参考方向相反，是 b→a。 4? ?（2）电流的参考方向可以任意假设，但实际方向由该支路与外电路确定，故实际方?? ? 向不会因参考方向的选择而改变。事实上，在该题条件下， i?(t ) ? ? 4 cos? 2?t ? ? A ，故 4? ?实际方向和上一问完全一致。 2．电压 电荷在电路中流动，就必然发生能量的交换。电荷可能在电路的某处获得能量而在 另一处失去能量。因此，电路中存在着能量的流动，电源一般提供能量，有能量流出； 电阻等元件吸收能量，有能量流入。为便于研究问题，引用“电压”这一物理量。 定义：单位正电荷由 a 点移到 b 点时电场力所做的功称为 ab 两点间的电压，又称电 位差（或电势差） 。用 u(t)可表示为u (t ) ? dw dq单位：kV，V，mV，?V。 实际方向：习惯上把电位降落的方向称为电压的实际方向（又称实际极性） 。 如果电压的大小和方向不随时间变化， 则这种电压称为恒定电压， 否则称为时变 压。 电压的参考方向：同需要为电流选定参考方向一样，也需要为电压选定参考方向。 通常在电路图上用“+”表示参考方向的高电位端， “ -”表示参考方向的低电位端，如图 1.6 所示。或用箭头、双下标表示电压的参考方向。 （如 uab 表示电压参考方向从 a 点指 向 b 点） 。 实际方向的判定、注意点：同“电流”变量。 电位的概念及计算： 在电路中， 某点的电位是将单位正电荷沿一路径移至参考点 （选 定电路中的某点，用符号“ ”表示） ，电场力做的功。将参考点的电位定为零，则所 电求点的电位就是该点到参考点的电压。 所以计算电位的方法与计算电压的方法完全相同。 在电路分析中引入了电位，可以简化分析，方便计算。如图 1.5(a)所示电路，为求 各电阻元件的电压，当选 d 为参考点时，只需以 b 点电位为变量，列出有关电路方程求 得该电位，各电阻电压即为电阻两端电位之差。 另外，对如图 1.5(a)所示电路，还可将其改画成用电位的极性代替电压源的形式， 如图 1.5(b)所示。在电子电路课程中，把这种画法称为“习惯画法” 。a R1 + US1 Cb R2c R3 + d US2a +US1 R1b R2 R3 d (b)c -US2(a)图 1.5 两种等效电路画法显然，没有参考点，谈论电位数值的大小是没有意义的。 关联的电压电流参考方向：在电路分析中，电流与电压的参考方向是任意选定的， 两者之间独立无关。但为了方便起见，常采用关联参考方向：电流参考方向与电压参考 “+”极到“ -”极的方向一致，即电流与电压参考方向一致，如图 1.6 所示，图中电流 i 和电压 u 是关联的，否则称非关联的。图 1.6 电流与电压参考方向3．功率 电路中存在着能量的传输，讨论能量传输的速率引用“功率”变量。 定义：单位时间内电场力所做的功或电路所吸收的能量。用 p 表示，即有p(t ) ?单位：kW，W， mW。dw dt功率的计算：对于某一元件或局部电路，如图 1.6 所示，采用关联的电压电流参考 方向，则该元件或局部电路吸收的功率为p(t ) ?dw udq ? ? ui dt dt结论：在电压 u、电流 i 参考方向关联的条件下，一段电路所吸收的功率为该段电路 两端电压与电流的乘积。显然，若 u、i 参考方向非关联，则计算吸收功率的公式中应冠 以负号，即 p (t ) ? ?ui 。 据此，代入 u、i 数值，若计算的 p 为正值，该段电路实际就是吸收功率（或消耗功 率） ；若 p 为负值，该段电路实际向外提供功率（或产生功率） 。能量的计算：在电压电流参考方向关联时，从 t0 到 t 时刻内该部分电路吸收的能量 为：w(t0 , t ) ? ? p(? )d? ? ? u (? )i(? )d?t0 t0 t t例 1.2 = 8V，Vb图 1.7(a)所示电路中，已知 I1 = 6V，Vc = -3V，Vd = 8=3A，I2 V。=-2A，I3=1A，电位 Va（1）欲验证电流数值是否正确，直流电流表应如何接入电路？并标明极性。 （2）求电压 Uac、Udb，要测量这两个电压，应如何连接电压表？并标明电压表极性。 （3）求元件 1、3、5 上吸收的功率。 解： （1）根据各支路电流的正负值，电流表应按图 1.7(b)所示接入各支路。 （ 2） Uac ? Va ? Vc ? 8 ? 3 ? 11V ， U db ? Vd ? Vb ? 8 ? 6 ? 2V 。电压表的接法如图 1.7(b) 所示。 （3）设元件 1、3、5 上吸收的功率分别为 P1、P3、 P5，则 P1 P3 P5 = = = -VaI1 V b I3 UdcI2 = = = -8?3 6?1 = = -24W 6W = (8+3)?(-2) = -22W(Vd-Vc)I2(a)(b)图 1.7 例 1.2 题图1.2.2电流和电压的参考方向 1.电流参考方向 图 1.6 表示一个电路的一部分，其中的方框表示一个二端元件。流过这个元件的电流为 i ，其实际方向或是由 A 到 B ，或是由 B 到 A 。图 1-8 中在导线上标示的箭头表示 电流的参考方向，它不一定就是电流的实际方向。指定参考方向的用意在于把电流看成 代数量。如果电流 i 的实际方向是由 A 到 B ，如图 1.8（a）中虚线箭头所示，它与参考 方向一致， 则电流为正值， 即i ? 0。 在图 1.8 （ b） 中， 指定的电流参考方向自 B 到 A（见 实线箭头） ，如果电流的实际方向是由 A 到 B （见虚线箭头） ，两者不一致，故电流为负 值，即 i ? 0 。这样，在指定的电流参考方向下，电流的正和负就可以反映出电流的实际 方向。电流的参考方向可以任意指定，一般用箭头表示，也可以用双下标表示，例如i AB ? 0 表示参考方向是由 A 到 B 。电路元件或一段电路的电流无参考方向，其值的正负无意义；分析电路的过程中，参考方向一旦选定，中途不得更改。元件A i B A i元件Bi?0i?0(a)图 1.8 电流的参考方向(b)需要指出的是：电流的参考方向可以任意指定；指定参考方向的用意是把电流看成 代数量。在指定的电流参考方向下，电流值的正和负就可以反映出电流的实际方向。 电流的实际方向――规定正电荷的运动方向为电流的实际方向。 电流的参考方向――假定正电荷的运动方向为电流的参考方向。 2.电压参考方向 对电路中两点之间的电压也可以指定参考方向或参考极性。两点之间的电压参考方 向可以用正（ +） 、负（ - ）极性表示，正极指向负极的方向就是电压的参考方向，如图 1.9。指定电压参考方向后，电压就成为一个代数量。在图 1.9 中，如果 A 点电位高于 B 点电位， 即电压的实际方向是由 A 到 B ， 两者的方向一致， 则 u ? 0。 当实际电位是 B 点 高于 A 点，两者相反，则 u ? 0 。有时为了方便，可用一个箭头表示电压的参考方向。 还可用双下标表示电压，如 u AB 表示 A 到 B 之间电压参考方向是由 A 指向 B 。u ?A i?Bu元件图 1.9电压的参考方向需要指出的是：电路中电位参考点可任意选择；参考点一经选定，电路中各点的电 位值就是唯一的；当选择不同的电位参考点时，电路中各点电位值将改变，但任意两点 间电压保持不变。 电压的实际方向――规定真正降低的方向为电压的实际方向。 电压的参考方向――假定的电位降低方向为电压的参考方向。 电压参考方向的三种表示： 用箭头表示：箭头的指向为电压的参考方向。 用双下标表示：如 UAB , 表示电压参考方向由 A 指向 B。 用正负极性表示：表示电压参考方向由＋指向－。3.电流和电压的关联参考方向 一个元件的电流或电压的参考方向可以独立地任意指定。如果指定流过元件的电流 参考方向是从电压正极性的一端指向负极性的一端，即两者的参考方向一致，则把电流 和电压的这种参考方向称为关联参考方向，如图 1.10，即沿电流参考方向为电压降低的 参考方向；当两者不一致时，称为非关联参考方向。人们常常习惯采用关联参考方向。元件i? u?图 1.10关联参考方向在国际单位制（SI）中，电流的单位为 A（安培，简称安） ，电荷的单位为 C（库仑， 简称库） ，电压的单位为 V（伏特，简称伏） 。 需要指出的是：分析电路前必须选定电压和电流的参考方向；参考方向一经选定， 必须在图中相应位置标注 (包括方向和符号)，在计算过程中不得任意改变。参考方向不 同时，其表达式相差一负号，但实际方向不变。 例 1.3 已知： 4C 正电荷由 a 点均匀移动至 b 点电场力做功 8J， 由 b 点移动到 c 点电 场力做功为 12J。 (1) 若以 b 点为参考点，求 a、b、c 点的电位和电压 Uab、Ubc； (2) 若以 c 点为参考点，再求以上各值。解： （1）以 b 点为电位参考点： ?b ? 0?a ? ?c ?Wab 8 ? ? 2V q 4 Wcb W 12 ? ? bc ? ? ? ?3V q q 4Uab ? ?a ? ?b ? 2 ? 0 ? 2V解： （2）以 c 点为电位参考点： ?c ? 0?a ? ?b ?Wac 8 ? 2 ? ? 5V q 4Wbc 12 ? ? 3V q 4Ua b ? ? a ? ?b ? 5 Ub c ? ? b ? ?c ? 3? 3 ? 0? 2V ? 3V本题的计算说明：(1)电路中电位参考点可任意选择；参考点一经选定，电路中各点 的电位值就是唯一的；(2)当选择不同的电位参考点时，电路中各点电位值将改变，但任 意两点间电压保持不变。1.3电功率和能量电功率与电压和电流密切相关。当正电荷从元件上电压的“ +”极经元件运动到电 压的“ -”极时，与此电压相应的电场力要对电荷作功，这时，元件吸收能量；反之，正 电荷从电压“ -”经元件运动到电压的“ +”极时，电场力作负功，元件向外是释放电能。 从 t 0 到 t 的时间内，元件吸收的能量可根据电压的定义（ A、B 两点的电压在数值上 等于电场力将单位正电荷由 A 点移动到 B 点时所作的功）求得为：W ??由于 i ?q (t )q ( t0 )udqdq ，所以 dtW ? ? u(? )i(? )d (? )t0t（1.1）式中 i 和 u 都是时间的函数，并且是代数量，因此，电能 W 也是时间的函数，且是 代数量。功率是能量对时间的导数，能量是功率对时间的积分。由式（ 1.1）可知，元件 吸收的功率可写为p(t ) ? u (t )i(t )（1.2）式中 p 是元件吸收的功率。当 p ? 0 时，元件确实吸收功率； p ? 0 时，元件实际发出 功率。 在指定电压和电流的参考方向后，应用（1.2）求功率时应当注意：当电压和电流的 参考方向为关联参考方向时，乘积“ ui ”表示元件吸收的功率，此时，当 p 为正值时， 表示该元件确实吸收功率。 如果电压和电流的参考方向为非关联参考方向时， 乘积 “ ui ” 表示元件发出的功率，此时，当 p 为正值时，表示该元件确实发出功率。一个元件若吸 收功率为 10 W ，也可以认为它发出功率为 -10 W ，同理，一个元件若发出功率为 10 W ， 也可以认为它吸收功率为 -10 W 。 结论为：若 u,i 参考方向一致，P&0，表示一段电路吸收功率，P&0，表示发出功率； 若 u,i 参考方向相反，P&0，表示一段电路发出功率，P&0，表示吸收功率。 例 1.4 如图 1.11 电路中， US1=4V，US2=1V，RS1=2 欧姆，RS2=1 欧姆。计算两个电 源的功率，判断吸收还是发出。图 1.11 例 1.4 题图假设电压、电流参考方向如图 1.11US1 ? US 2 4 ?1 ? ? 1A R1 ? R2 2?1 U ? R2 I ? U S 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2V I ?Pus1 ? 2 ? 1 ? 2w ? 0 pus 2 ? 2 ? 1 ? 2w ? 0当 U，I 为非关联参考方向，所以 Pus1 为输出功率；当 U，I 为关联参考方向，Pus2 为吸收功率。 由 P=UI 可知，一台发电机要发出大功率，不但要有大电流，还要有高电压。但是 实际上，任何电器设备的电压、电流都受到条件的限制，电流受温升的限制，电压受到 绝缘材料耐压的限制。电流过大或电压过高，都会使电器设备受到损坏。为使设备正常 工作，电压、电流必须有一定的限额，这个限额称为电器设备的额定值。 任何设备在额定值下工作最理想，称为满载，超过额定值下工作为过载。少量的过 载尚可，因为任何电器设备都有一定的安全系数，严重过载是不允许的，因此使用前， 必须进行严格的选择。 每一电器设备的各种额定值之间有一定的关系，因此，每种电器设备只给出部分额 定值，不必全部给出。如日光灯：额定电压 220V，额定功率 40W 等。1.41.4.1 电阻元件电路元件线性电阻元件是这样的理想元件：在电压和电流取关联参考方向时，在任何时刻其 两端的电压和电流服从欧姆定律 u ? Ri （1.3） 线性电阻元件的图形符号如图 1.12（a）所示。上式中 R 为电阻元件的参数，称为元件 的电阻。 R 是一个正实常数。当电压单位用 V ，电流单位用 A 时，电阻的单位为 ? （欧 姆，简称欧） 。uiR?u?oi（a）（ b）图 1.12 电阻元件及其伏安特性曲线令G ?1 ，式（1-3）变成 Ri ? Gu （1.4） 式中 G 称为电阻元件的电导。电导的单位是 S （西门子，简称西） 。 R 和 G 都是电阻元件的参数。 由于电压和电流的单位是伏和安，因此电阻元件的特性称为伏安特性。图 1.12（b） 画出线性电阻元件的伏安特性曲线，它是通过原点的一条直线。直线的斜率与元件的电 阻 R 有关。 线性电阻元件经过 u ? i 平面的直线有两个特殊的情况，一是直线与 u 轴重合，二是 直线与 i 轴重合。当直线与 u 轴重合时，流过它的电流恒为零值，就把它称为“开路” 。 开路的伏安特性曲线在 u ? i 平面上与电压轴重合，它相当于 R ? ? 或 G ? 0 ，如图 1.13 （ a）所示。当直线 i 轴重合时，它的端电压恒为零值，就把它称为“短路” 。短路的伏 安特性曲线在 u ? i 平面上与电流轴重合，它相当于 R ? 0 或 G ? ? ，如图 1.13（b）所 示。 如果电路中的一对端子 1 ? 1? 之间呈断开状态， 这相当于 1 ? 1? 之间接有 R ? ? 的电阻， 此时称 1 ? 1? 处于“开路” 。如果把端子 1 ? 1? 用理想导线（电阻为零）连接起来，称这对 端子 1 ? 1? 被短路。u u开路oi短路oi(a )（ b）图 1.13 开路和短路的伏安特性曲线当电压 u 和电流 i 取关联参考方向时，电阻元件消耗的功率为p ? ui ? Ri 2 ?u2 i2 ? Gu 2 ? R G（1.5）R 和 G 是正实常数，故功率 p 恒为非负值。所以线性电阻元件是一种无源元件。实际电阻器消耗的功率都有规定的限度，超过规定值就会使电阻器因过热而损坏。所以实际使 用电阻器时，既要使电阻值大小符合要求，又要注意消耗的功率不要超过其允许值。 电阻元件从 t 0 到 t 的时间内吸收的电能为W ? ? Ri2 (? )d?t0t电阻元件把吸收的电能转换成热能。 非线性电阻元件的电压电流关系不满足欧姆定律，而遵循某种特定的非线性函数关 系。其伏安特性一般可写为u ? f (i) 或 i ? g (u )如果一个电阻元件具有以下的电压电流关系：u (t ) ? R(t )i(t ) 或 i(t ) ? G(t )u(t )这里 u 和 i 仍是比例关系，但比例系数 R 是随时间变化的，故称为时变电阻元件。 线性电阻元件的伏安特性曲线位于第一、三象限。如果一个电阻元件的伏安特性曲 线位于第二、四象限，则此元件的电阻为负值，即 R ? 0 ，那么就是有源的。负电阻元 件实际上是一个发出电能的元件。如果要获得这种元件，一般需要专门设计。 1.4.2 电容元件线性电容元件的图形符号如图 1.14（a）所示，当电压参考极性与极板储存电荷的极 性一致时，线性电容元件的元件特性为q ? Cu（1.6）式中 C 是电容元件的参数，称为电容，它是一个正实常数。在国际单位制（ SI）中，当 电荷和电压的单位分别为 C 和 V 时，电容的单位为 F （法拉，简称法） 。在实用中，这 个 单 位 太 大 ， 常 用 微 法 （ ?F ） 、 皮 法 （ pF ） 作 为 电 容 的 单 位 ， 1?F ? 10?6 F ，1pF ? 10?9 F 。图 1.14（b）中，以 q 与 u 为坐标轴画出电容元件的库伏特性曲线。线性电容元件的 库伏特性曲线是一条通过原点的直线。qiC??qu?qo?u（a）（ b）图 1.14 电容元件及其库伏特性曲线 需要指出的是：当 u， i 为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号； 上式中 u(t0)称为电容电压的初始值， 它反映电容初始时刻的储能状况， 也称为初始状态。1.4.3电感元件 为表示载流回路中电流产生磁场的作用，引入电感元件。图 1-8 示出一个线圈，其中的电流 i 产生的磁通 ? L 与 N 匝线圈交链，则磁通链 ?L ? N? L 。 ? L 与 ?L 的方向与 电流 i 的参考方向成右手螺旋关系。当磁通链 ?L 随时间变化时，在线圈的端子间产生感应电压。 如果感应电压 u 的参考方向与 ?L 成右手螺旋关系 （即从端子 A 沿导线到端子 B 的方向与 ?L 成右手螺旋关系） ，则根据电磁感应定律，有u?d? L dt（1.7）由该式确定感应电压的真实方向时，与楞次定律的结果是一致的。 电感元件是实际线圈的一种理想化模型，它反映了电流产生磁通和磁场能量储存这 一物理现象，其元件特性是磁通链 ?L 与电流 i 的代数关系。线性电感元件的图形符号如 图 1-9（a）所示，一般在图中不必也难以画出 ?L (? L ) 的参考方向，但规定 ?L 与电流 i 的参考方向满足右手螺旋关系。对于线性电感元件，其元件特性为 （1.8） 其中 L 为电感元件的参数，称为自感系数或电感，它是一个正实常数。 线圈电感的大小决定于线圈的形状、几何尺寸、匝数和线圈周围磁介质的磁导率。 线圈的电感可以根据电磁学的理论计算得出，还可以用量测电感的仪器测量得出。 在国际单位制（SI）中，磁通和磁链的单位是 Wb（韦伯，简称韦） ，当电流单位为 A 时，电感的单位是 H（亨利，简称亨） 。?Li L? ? Liou??i（ a） 图 1.15 电感元件及其韦安特性曲线（ b）需要指出的是：当 u，i 为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号；上 式中 i(t0)称为电感电流的初始值，它反映电感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。1.4.4电压源和电流源电压源是一个理想电路元件，它的端电压 u(t ) 为u(t ) ? uS (t )（1.9）式中 u S (t ) 为给定的时间函数，称为电压源的激励电压。电压源电压 u(t ) 与通过元件的 电流无关，总保持为给定的时间函数，而电流的大小则由外电路决定。电压源的图形符 号如图 1.16（a）所示。当 uS (t ) 为恒定值时，这种电压源称为恒定电压源或直流电压源， 用 U S 表示。有时用图 1.16（ b）所示蓄电池的图形符号表示直流电压源，其中长线表示 电源的“+”端。?uS?US（a） （ b） 图 1.16 电压源图 1.17（a）示出电压源接外电路的情况。端子 1、2 之间的电压 u(t ) 等于 uS (t ) ，不 受外电路的影响。图 1.17（b）示出电压源在 t1 时刻的伏安特性曲线，它是一条不通过原 点且与电流轴平行的直线。 当 uS (t ) 随时间改变时， 这条平行于电流轴的直线也将随之平 移其位置。图 1.17（c）是直流电压源的伏安特性曲线，它不随时间改变。i 1 ?? uS ?外 电 路u ?1?图 1.17 电压源及其伏安特性曲线在 1.17 （ a） 中， 电压源的电压和通过电压源的电流的参考方向取为非关联参考方向， 此时，电压源发出的功率为p(t ) ? uS (t )i(t )它也是外电路吸收的功率。 电压源不接外电路时，电流 i 总为零值，这种情况称为“电压源处于开路” 。电压源 一般不允许短路。 电流源是一个理想电路元件，它发出的电流 i (t ) 为i(t ) ? iS (t )（1.10）式中 iS (t ) 为给定时间函数，称为电流源激励函数。电流源的电流 i (t ) 与元件的端电压无 关，并总保持为给定的时间函数。电流源的端电压由外电路决定。电流源的图形符号如 图 1.18（a）所示，图 1.18（b）示出了电流源接外电路的情况。电流源在 t1 时刻的伏安 特性曲线，它是一条不通过原点且与电压轴平行的直线。当 iS (t ) 随时间改变时，这条平 行于电压轴的直线将随之平移其位置。直流电流源的伏安特性曲线不随时间改变。iiSiS?1 ?外 电 路u ?1??u（a）（ b） 图 1.18 电流源及其伏安特性曲线在 1.18（ b）中，电压源的电压和通过电压源的电流的参考方向取为非关联参考方 向，此时，电流源发出的功率为p(t ) ? u(t )iS (t )它也是外电路吸收的功率。 电流源两端短路时，其端电压 u ? 0 ，而 i ? iS ，短路电流就是激励电流。 1.4.5 受控电源 受控源是用来表征在电子器件中所发生的物理现象的一种模型，它反映了电路中某 处的电压或电流控制另一处的电压或电流的关系。 电压或电流的大小和方向受电路中其他地方的电压 (或电流)控制的电源，称受控源。 受控源有两个控制端钮 (又称输入端)，两个受控端钮 (又称输出端 )，所以受控源也称 为四端元件。根据控制量和被控制量是电压 u 或电流 i ，受控源可分四种类型：当被控 制量是电压时，用受控电压源表示；当被控制量是电流时，用受控电流源表示。 (1)电流控制的电流源 (CCCS)受控电流源的电流为： i2 ? ?i1 式中 β 为无量纲的电流控制系数， 它控制着受控电流源电流的大小和方向， 若 β＝ 0， 则 i2 ? ?i1 ? 0 ，若 β 增大，则 βi1 亦增大，若 β 改变极性，βi1 亦改变极性。 (2)电压控制的电流源 (VCCS)受控电流源的电流为： i2 ? gu1 式中 g 为电压控制系数，单位为 S（西门子） ，亦称转移电导。 (3)电压控制的电压源 (VCVS)受控电压源的电压为： u2 ? ?u1 式中 μ 为无量纲的电压控制系数。 (4)电流控制的电压源 (CCVS)受控电压源的电压为： u2 ? ri1 式中 r 为电流控制系数，单位为 (欧姆 )，亦称为转移电阻。如图所示晶体三极管电路，基极电流和集电极电流满足关系： ic ? ?ib ，因此晶体 三极管的电路模型可以用电流控制的电流源表示。受控源与独立源的比较： (1)独立源电压(或电流 )由电源本身决定，与电路中其它 电压、 电流无关， 而受控源的电压 (或电流)由控制量决定。 (2)独立源在电路中起“激励” 作用，在电路中产生电压、电流，而受控源只是反映输出端与输入端的受控关系，在电 路中不能作为“激励”。 例 1.5 图示电路，求：电压 u2。图 1.19 例 1.5 题图解： i1 ?6 ? 2A 3u2 ? ?5i1 ? 6 ? ?10 ? 6 ? ?4V1.51.5.1 欧姆定律电路的基本定律和工作状态欧姆定律是电路的基本定律，此定律提示了电路基本物理量之间的关系，是电路分析计算的基础和依据。 欧姆定律定义：对一个电阻元件来说，其中流过的电流与其两端的电压成正比。在 图所示的电流参考方向的情况下，可以表示为I?或U R（1.11）R?U I此为欧姆定律， 它确定了电阻元件的 I 与电压 U 的关系。 电阻 R 的单位是欧姆 （Ω ） ， 简称欧。电阻数值很大时，则以千欧（ kΩ ）或兆欧（MΩ ）为单位，即 1 KΩ ＝103 Ω 1 MΩ ＝106 Ω 欧姆定律只适合于线性电阻电路的分析计算。图 1.20欧姆定律图示1.5.2电路的工作状态 1、开路 电源与负载断开，称为开路状态，又称空载状态。特点：开路状态电流为零，负载不工作 U＝ IR＝0，而开路处的端电压 U0＝E。 2、短路： 电源两端没有经过负载而直接连在一起时,称为短路状态。 特点：U=0,I S =U S /R S ,P RS =I 2 R S ， P =0 。 短路电流 I S ＝ U S / R S 很大，如 果没有短路保护，会发生火灾。短路是电路最严重、最危险的事故，是禁止的状态。产 生短路的原因主要是接线不当， 线路绝缘老化损坏等。 应在电路中接入过载和短路保护。 3、额定工作状态： 电源与负载接通，构成回路，称为有载状态。当电路工作在额定情况下时的电路有 载工作状态称为额定工作状态。特点：U＝IR＝E－ IR0 ，有载状态时的功率平衡关系为：电源电动势输出的功率 PS ＝USIS，电源内阻损耗的功率 PRS＝ I?RS 负载吸收的功率 P＝I2R＝PS－PRS ，功率平衡 关系 PS＝P＋PRS。 用电设备都有限定的工作条件和能力，产品在给定的工作条件下正常运行而规定的 正常容许值称为额定值。电源设备的额定值一般包括额定电压 UN、额定电流 IN 和额定 容量 S N。使用值等于额定值为额定状态；实际电流或功率大于额定值为过载；小于额 定值为欠载。 1.5.3 基尔霍夫定律 任 一电路 都是由 不同 的电 路元件 按一定 的方 式连 接起来 的。电 路中 的电 压、电 流必然受到一定的约束。一类是元件的特性对元件对本元件造成的约束 ―元件约束， 它由元件的伏―安特性来决定；另一类是元件之间的连接给电压、电流带来的约束。 前者在元件中已讨论，后者由基尔霍夫定律来阐述。 基尔霍夫定律概括了电路中的电压、电流分别遵循的规律（由于是通过实验得出的 定律，因此只作介绍，不进行严格证明，重点放在使用上） 。是用以分析和计算电路的依 据。该定律有两条：一是有关电路中电流之间关系的电流定律，又称基尔霍夫第一定律； 二是有关电路中电压之间关系的电压定律，又称尔霍夫第二定律。由于涉及元件的互连 形式，故先介绍电路模型中的几个名词，然后，再介绍基尔霍夫定律。 支路：单个二端元件或若干个二端元件串联构成的每一个分支。 节点：支路与支路的连接点。 回路：电路中任何一个闭合路径称为回路。 网孔：内部不含支路的回路称为网孔。 图 1.21 为一个具有 7 条支路、5 个节点的电路，各支路和节点的编号如图所示。由 支路所构成的闭合路径称为回路，图中支路（ 1、3、4） 、 （ 2、 5、 3） 、 （1、2、7、6）等 分别构成回路。 基尔霍夫定律有基尔霍夫电流定律（ KCL）和基尔霍夫电压定律（ KVL） ，它们是 集总参数电路的基本定律，现在分别给出的陈述。5 6i617i7i112i223i44Ⅰ 3i3i554图 1.21 节点、支路和回路1．基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电流定律（ KCL）指出： “在集总电路中、任何时刻、对任一节点，所有流 出节点的支路电流的代数和恒等于零” 。此处，电流的“代数和”是根据电流是流出节点 还是流入接点判断的。若流出节点的电流前面取“ +”号，则流入节点的电流前面取“ -” 号；电流是流出节点还是流入节点，均根据电流的参考方向判断。所以对任一节点有?i ? 0（1.12）上式取和是对连接于该节点的所有支路电流进行的。 例如，以图 1.21 所示电路为例，对节点②应用 KCL，有（各支路电流的参考方向见 图）i2 ? i3 ? i1 ? 0上式可写为i2 ? i3 ? i1此式表明，流出节点②的支路电流等于流入该节点的支路电流。因此，KCL 也可理 解为，任何时刻，流出任一节点的支路电流等于流入该节点的支路电流。 KCL 通常用于节点，但对于包围几个节点的闭合面也是适用的。即通过一个闭合面 的支路电流的代数和总等于零，这也电荷守恒的体现。 电流定律的推广：适用于电路中任意假设的封闭面（广义节点） 。如图 1.22 所示的 电路中对封闭面 S 有 i1 ? i2 ? i3 ? 0图 1.22 广义节点KCL 实质： 是电荷守恒定律和电流连续性在集总参数电路中任意节点处的具体反 映，即对集总参数电路中流入某一横截面多少电荷，即刻从该横截面流出多少电荷，不 可能产生电荷的积累。dq/dt 在一条支路上应处处相等。对于集总参数电路中的节点，它 “收支”完全平衡，故 KCL 成立。 说明： （ 1） KCL 适用于任意时刻、任意激励源情况的任意集总参数电路。激励源可为直 流、交流或其他任意时间函数，电路可为线性、非线性、时变、非时变电路。 （2）应用 KCL 方程时，首先要设每一支路电流的参考方向，然后依据参考方向取 号，电流流入或流出节点可取正或取负，但列写的同一个 KCL 方程中取号规则要一致。 例 1.6 求图 1-13 所示电路中的未知电流。 解：列 a 节点的 KCL 方程为 I1 + 4 + 7 = 0 得 I 1 = -11A 列 b 节点的 KCL 方程为 图 1.23 例 1.6 题图 I 1 + I 2 + 2 - 10 = 0 得 I 2 = 19A 求 I 2 时还可直接按假设的封闭面 S 列 KCL 方程为 I 2 + 2 = 4 + 7 + 10 得 I 2 = 19A 2.基尔霍夫电压定律 基尔霍夫电压定律（ KVL）指出： “在集总电路中、任何时刻，沿任一回路，所有 支路电压的代数和恒等于零” 。 所以，沿任一回路有?u ? 0（1.13）上式取和时，需要先任意指定一个回路的绕行方向，凡支路电压的参考方向与回路的绕 行方向一致者，该电压前面取“ +”号，支路电压参考方向与回路绕行方向相反者，前 面取“ -”号。 根据 KVL，对指定的回路有u1 ? u3 ? u 4 ? 0由上式可得u1 ? u3 ? u4上式表明，节点①、④之间的电压 u 4 是单值的，不论沿着支路 4 或沿着支路 1、3 构成 的路径，此两节点间的电压值是相等的。 KVL 是电压与路径无关这一性质的反映。 KCL 在支路电流之间施加线性约束关系； KVL 则对支路电压施加线性约束关系。 这两个定律仅与元件的相互连接有关，而与元件的性质无关。不论元件是线性的还是非 线性的，时变的还是时不变的， KCL 和 KVL 总是成立的。 KCL 和 KVL 是集总电路的 两个公设。 对一个电路应用 KCL 和 KVL 时，应对各节点和支路编号，并指定有关回路的绕行 方向，同时指定各支路电流和支路电压的参考方向，一般两者取关联参考方向。 基尔霍夫定律是关于电路中各个电流、电压间由电路的结构所决定的约束关系的定 律，适用于任何集总电路。各种分析电路的方法，都依据它去建立所需的方程式，所以 它们是电路的基本定律。 电压定律的推广：适用于电路中任意假想的回 路（广义回路或虚回路） 。 在图 1.24 电路中， ad 之间并无支路存在， 但仍可把 abd 或 acd 分别看成一个回路 （它 们是假想的回路） 。由 KVL 分别得 u1 + u2 C uad = 0 uad C u3Cu4 Cu5 = 0 原图中回路 KVL 方程有 u1 + u2 C u3 Cu4 Cu5 = 0，故有 uad = u1 + u2 = u3+ u4 + u5 可见，两点间电压与选择的路径无关。据此可得出求任意两点间电压的重要结论。a + u4 + u5 c + u3 + u1 -b + u2 d图 1.24 电压回路例 1.7 求图示电路中电流源的端电压 u 。图 1.25 例 1.7 题图解： 列写支路上的 KVL 方程 （也可设想一回路）u ? 5 ? 7 ? 12V例 1.8 求图示电路中的输出电压 u。图 1.25 例 1.8 题图解：由欧姆定律知 U ? ? R2?I 1 根据 KCL： I 1 ? ?I 1 ? U s / R1 从而解得： I 1 ?Us ?R2U S 所以 U ? ? R1 ( 1 ? ? ) R1( 1 ? ? )U s2 电源发出的功率为： Ps ? U s I 1 ? R1 ( 1 ? ? )输出功率为： P o ? R2 ?2U s2 R12 ( 1 ? ? )2U R ? ? 2 Us R1 ( 1 ? ? )输出电压与电源电压的比值为：输出功率与电源发出功率的比值为：po R2 ?2 ? Ps R1 ( 1 ? ? )本题的结果可以看出：通过选择参数 α，可以得到电压和功率放大。1.6电阻电路的等效变换电阻电路定义为仅由电源和线性电阻构成的电路称为线性电阻电路（或简称电阻电 路） 。 欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据； 对简单电阻电路常采用等效变换 的方法,也称化简的方法。本节着重介绍等效变换的概念。 等效变换的概念在电路理论中广泛应用。所谓等效变换，是指将电路中的某部分用 另一种电路结构与元件参数代替后，不影响原电路中未作变换的任何一条支路中的电压 和电流。在学习中首先弄清等效变换的概念是什么，这个概念是根据什么引出的，然后 再研究各种具体情况下的等效变换方法。 1.6.1 电路的等效变换 1. 两端电路（网络） 任何一个复杂的电路 , 向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一端 子流出的电流，则称这一电路为二端电路 (或一端口电路)。若两端电路仅由无源元件构 成，称无源两端电路。2. 两端电路等效的概念 结构和参数完全不相同的两个两端电路 B 与 C，当它们的端口具有相同的电压、电 流关系(VCR),则称 B 与 C 是等效的电路。相等效的两部分电路 B 与 C 在电路中可以相互代换， 代换前的电路和代换后的电路 对任意外电路 A 中的电流、电压和功率而言是等效的，即满足：需要明确的是： 上述等效是用以求解 A 部分电路中的电流、电压和功率，若要求图（ a）中 B 部分 电路的电流、电压和功率不能用图（ b）等效电路来求，因为， B 电路和 C 电路对 A 电 路来说是等效的，但 B 电路和 C 电路本身是不相同的。 结论： 1 电路等效变换的条件： 两电路具有相同的 VCR； 电路等效变换的对象： 未 变化的外电路 A 中的电压、电流和功率；电路等效变换的目的： 化简电路，方便计算。 1.6.2 电阻的串联和并联 1. 电阻串联(Series Connection of Resistors) 电路特点：图 1.26 等效电阻转换 图示为 n 个电阻的串联，设电压、电流参考方向关联，由基尔霍夫定律得电路特点： 各电阻顺序连接，根据 KCL 知，各电阻中流过的电流相同；根据 KVL，电路的总电压 等于各串联电阻的电压之和，即：u ? u1 ?等效电阻：? uk ?? un图 1.27 等效电阻转换把欧姆定律代入电压表示式中得：u ? R1i ?? RK i ?? Rni ? ( R1 ?? Rn )i ? Reqi以上式子说明图 1.27(a)多个电阻的串联电路与图 1.27(b)单个电阻的电路具有相同 的 VCR，是互为等效的电路。 其中等效电阻为：Req ? R1 ?? Rk ?? Rn ? ? Rk ?Rkk ?1n结论：电阻串联，其等效电阻等于各分电阻之和；等效电阻大于任意一个串联的分 电阻。 串联电阻的分压 若已知串联电阻两端的总电压，求各分电阻上的电压称分压。由图（ a）和图（b） 知：uk ? Rk i ? Rku R ? k u?u Req Req: uk : : un ? R1 : R2 : :R k : :R n满足： u1 : u2 :结论：电阻串联，各分电阻上的电压与电阻值成正比，电阻值大者分得的电压大。 因此串连电阻电路可作分压电路。 例 1.9 求图示两个串联电阻上的电压。 解：由串联电阻的分压公式得：u1 ?R1 u R1 ? R2u2 ?? R2 u R1 ? R2（注意 U2 的方向）功率： 各电阻的功率为： P 1 ? R1i ， P 2 ? R2i ， … P 3 ? R3i ， … P n ? Rni 所以： P 1 :P 2 : 总功率：:P k ::P n ? R 1 :R 2 ::R k ::R nP ? Reqi 2 ? ( R1 ? R2 ? ? P 1 ?P 2 ? ? Pn? Rk ?? Rn )i 2 ? R1i 2 ? R2i 2 ?? Rki 2 ?? Rni 2从上各式得到结论：电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比，即电阻值 大者消耗的功率大；等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和。 2. 电阻并联(Parallel Connection) 电路特点：图 1.28 为 n 个电阻的并联，设电压、电流参考方向关联，由基尔霍夫定 律得电路特点。图 1.28 电阻的并联 (a) 各电阻两端分别接在一起，根据 KVL 知，各电阻两端为同一电压； (b) 根据 KCL，电路的总电流等于流过各并联电阻的电流之和，即：i ? i1 ? i2 ?等效电阻：? in图 1.29 并联等效电阻 把欧姆定律代入电流表示式中得：i ? i1 ? i2 ?? in ?u u ? ? R1 R2?u ? u( G1 ? G2 ? Rn? Gn ) ? Gequ其中，G =1/R 为电导 以上式子说明图 (a)多个电阻的并联电路与图 (b)单个电阻的电路具有相同的 VCR， 是互为等效的电路。 其中等效电导为：Geq ? G1 ? G2 ?因此有：? Gs ? ? Gk ? Gkk ?1n1 1 1 ? Geq ? ? ? Req R1 R2最常用的两个电阻并联时求等效电阻的公式：?1 即 Req ? Rk Rn1 1 ? RR Req ? R1 R2 ? 1 2 1 1 R1 ? R2 ? R1 R2结论：电阻并联，其等效电导等于各电导之和且大于分电导；等效电阻之倒数等于 各分电阻倒数之和，等效电阻小于任意一个并联的分电阻；并联电阻的电流分配。 若已知并联电阻电路的总电流，求各分电阻上的电流称分流。由图 (a)和图 (b)知：u Gk ik G R i ? k ? k 即 ik ? Geq i u Geq Req满足： i1 : i2 :: ik :: in ? G1 : G2 :: Gk ::G n对于两电阻并联，有：i1 ?1 1 ? R1 R2 i?1 R1i?R2i R1 ? R2i1 ??1 1 ? R1 R21 R2? R1i ? ?( i ? i1 ) R1 ? R2结论：电阻并联，各分电阻上的电流与电阻值成反比，电阻值大者分得的电流小。 因此并连电阻电路可作分流电路。 功率 各电阻的功率为： P 1 ? G1u ， P 2 ? G2u ， …， P k ? Gk u ， …， P n ? Gn u 所以： P 1 :P 2 : 总功率：:P k ::P n ? G 1 :G 2 :: Gk ::G nP ? Gequ 2 ? ( G1 ? G2 ? ? P1 ? P2 ? ? Pn? Gk ?? Gn )u 2 ? G1u 2 ? G2u 2 ?? Gk u 2 ?? Gnu 2从上各式得到结论：电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比，即电阻值 大者消耗的功率小；等效电阻消耗的功率等于各并连电阻消耗功率的总和。 3. 电阻的串并联 电路中有电阻的串联，又有电阻的并联的电路称电阻的串并联电路。电阻相串联的 部分具有电阻串联电路的特点，电阻相并联的部分具有电阻并联电路的特点。 例 1.10 求图示电路的 I1 ,I4 ,U4图 1.30 例 1.10 题图解：用分流方法做1 1 1 1 12 3 I 4 ? ? I 3 ? ? I 2 ? ? I1 ? ? ? ? ? 2 4 8 8 R 2RU4 ? ? I 4 ? 2R ? 3VI1 ?用分压方法做12 RU4 ?U2 1 ? U ? 3V 2 4 1I4 ? ?（1）求出等效电阻或等效电导；3 2R从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：（2）应用欧姆定律求出总电压或总电流； （3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压。 因此，分析串并联电路的关键问题是判别电路的串、并联关系。 判别电路的串并联关系一般应掌握下述 4 点： （ 1）看电路的结构特点。若两电阻是首尾相联就是串联，是首首尾尾相联就是并 联。 （ 2）看电压电流关系。若流经两电阻的电流是同一个电流，那就是串联；若两电 组上承受的是同一个电压，那就是并联。 （3）对电路作变形等效。如左边的支路可以扭到右边，上面的支路可以翻到下面， 弯曲的支路可以拉直等；对电路中的短线路可以任意压缩与伸长；对多点接地可以用短 路线相连。一般，如果真正是电阻串联电路的问题，都可以判别出来。 （ 4）找出等电位点。对于具有对称特点的电路，若能判断某两点是等电位点，则 根据电路等效的概念，一是可以用短接线把等电位点联起来；二是把联接等电位点的支 路断开（因支路中无电流） ，从而得到电阻的串并联关系。 1.6.3 电阻的 Y 形连接和△ 形连接的等效变换1. 电阻的△ ，Y 连接图 1.31 桥形结构电路如图 1.31 所示的桥形结构电路，电路中各个电阻之间既不是串联又不是并联，而是 △ ―Y 连接结构，其中 R1、R3 和 R5，R2、R4 和 R5 都构成如图 (a)所示的△ 结构(也 称 π 形电路)，而 R1、R2 和 R5 ，R3、R4 和 R5 都构成如图(b)所示的 Y 结构(也称 T形电路)。图 1.32△ 形网络和 Y 形网络△ ，Y 结构的变形：图 1.33π 形电路 (△ 型)和 T 形电路 (Y、星 型)图示表明： 三个电阻分别接在每两个端钮之间就构成 △ (π)形电路 。 三个电阻一端共 同连接于一个结点上，而电阻的另一端接到 3 个不同的端钮上，就构成了 Y(T)形电路。 因此，△ 、Y 电路为三端电路，这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互 等效变换。 2. △ ―Y 电路的等效变换 所谓△ 电路等效变换为 Y 电路，就是已知 △ 电路中的三个电阻 R12、R23 和 R31，通 过变换公式求出 Y 电路的三个电阻 R1、 R2 和 R3（ a）图 1.34（b） △ ―Y 电路等效变换根据电路的等效条件，为使图（ a）和图（b）两电路等效，必须满足如下端口条件：i1? ? i1Yu12 ? ? u12Yi2 ? ? i 2 Y i3 ? ? i 3 Y u2 3? ? u23Yu3 1 ? ?u31Y如△ 电路中用电压表示电流， Y 电路中用电流表示电压，根据 KCL 和 KVL 得如下 关系式：u12 ? u31? ? ? i1? ? R12 ? R31 ? u23 ? u12 ? ? ?i2 ? ? R ? R 23 12 ? u u ? i3 ? ? 31? ? 23 ? ? R31 R23 ?（1.14）? u12Y ? R1i1Y ? R2i2Y ?u ? R i ? R i 2 2Y 3 3Y ? 23Y ? ? u31Y ? R3i3Y ? R1i1Y ? ? i1Y ? i2Y ? i3Y ? 0由式(1.15)解得：（1.15）u12Y R3 ? u31Y R2 ? ? i1Y ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 ? u23Y R1 ? u12Y R3 ? ?i2Y ? R R ? R R ? R R 1 2 2 3 3 1 ? u R ? u R ? 31Y 2 23Y 1 i3Y ? ? R R ? R R ? R3 R1 1 2 2 3 ?根据等效条件，比较式(3)与式 (1)的系数，得 Y→△ 电路的变换条件：（1.16）R1 R2 G1G2 G12 ? R3 G1 ? G2 ? G3 RR G2G3 R23 ? R2 ? R3 ? 2 3 或 G23 ? R1 G1 ? G2 ? G3 RR G3G1 R31 ? R3 ? R1 ? 3 1 G31 ? R2 G1 ? G2 ? G3 R12 ? R1 ? R2 ?类似可得到由 △ →Y 电路的变换条件：G12G31 R12 R31 R1 ? G23 R12 ? R23 ? R31 G G R23 R12 G2 ? G23 ? G12 ? 23 12 或 R2 ? G31 R12 ? R23 ? R31 G G R31 R23 G3 ? G31 ? G23 ? 31 23 G3 ? G12 R12 ? R23 ? R31 G1 ? G12 ? G31 ?简记方法： 特例：如图 1.35，若三个电阻相等 (对称)，则有：R△ =3RY图 1.35 对称电阻电路需要注意的是： （1）△ ―Y 电路的等效变换属于多端子电路的等效，在应用中，除了正确使用电阻 变换公式计算各电阻值外，还必须正确连接各对应端子。 （2）等效是对外部 (端钮以外)电路有效，对内不成立。 （3）等效电路与外部电路无关。 （4）等效变换用于简化电路，因此注意不要把本是串并联的问题看作 △ 、Y 结构进 行等效变换，那样会使问题的计算更复杂。 例 1.11: 求图 1.36 桥 T 电路中电压源中的电流，其中 E＝13V，R＝2kΩ。 解：利用电阻电路的 D－ Y 变换，把图中虚线框内的?联接的三个 1kΩ 电阻变换成 Y 联接，如图 1.36(a)所示，求得等效电阻为：4 7 1 3 ? 3 13 Req ? ? ? K? 3 4 7 11 ? 3 3图 1.36 例 1.11 题图所以 i ?13 ? 11mA 13 / 11本题也可以把图 1.36 (b)中虚线框内 Y 联接的三个 1kΩ 电阻变换成? 联接， 如图 1.36 (c)所示。(a)（ b）图 1.36 例 1.11 题图（c）1.6.4电压源、电流源的串联和并联 电压源、电流源的串联和并联问题的分析是以电压源和电流源的定义及外特性为基础，结合电路等效的概念进行的。 1. 理想电压源的串联和并联 （1）串联图 1.37 电压源的串联等效电路图 1.37 为 n 个电压源的串联，根据 KVL 得总电压为：us ? us1 ? us2 ?? usn ? ? uskk ?1n注意：式中 usk 的参考方向与 us 的参考方向一致时， usk 在式中取D＋‖号，不一致 时取D－‖号。 根据电路等效的概念，可以用图 1.37（b）所示电压为 Us 的单个电压源等效替代图 1.37（a）中的 n 个串联的电压源。通过电压源的串联可以得到一个高的输出电压。（2）并联图 1.38 电压源的串联等效电路图 1.38 为 2 个电压源的并联，根据 KVL 得：us ? us1 ? us2上式说明只有电压相等且极性一致的电压源才能并联 , 此时并联电压源的对外特性 与单个电压源一样，根据电路等效概念，可以用 1.38（b）图的单个电压源替代 1.38（a） 图的电压源并联电路。 注意： （1）不同值或不同极性的电压源是不允许串联的，否则违反 KVL。 （2）电压源并联时，每个电压源中的电流是不确定的。 2． 电压源与支路的串、并联等效 （1）串联图 1.39 电压源和电阻支路的串联等效电路图 1.39(a)为 2 个电压源和电阻支路的串联，根据 KVL 得端口电压、电流关系为：u ? us1 ? R1i ? us2 ? R2i ? ( us1 ? us2 ) ? ( R1 ? R2 )i ? us ? Ri根据电路等效的概念，图 1.39(a)电路可以用图 1.39(b)所示电压为 us 的单个电压源 和电阻为 R 的单个电阻的串联组合等效替代图 1.39(a)，其中us ? ( us1 ? us2 )（2）并联R=(R1+R2)图 1.40 电压源和任意元件的并联等效电路图 1.40(a)为电压源和任意元件的并联，设外电路接电阻 R，根据 KVL 和欧姆定律 得端口电压、电流为：u ? usI=u/R即：端口电压、电流只由电压源和外电路决定，与并联的元件无关，对外特性与图 1.40(b)所示电压为 us 的单个电压源一样。 因此， 电压源和任意元件并联就等效为电压源。 3．理想电流源的串联和并联 （1）并联图 1.41 电流源的并联等效电路图为 n 个电流源的并联，根据 KCL 得总电流为： is ? is1 ? is 2 ?? isn ? ? iskk ?1n注意：式中 isk 与 is 的参考方向一致时， isk 在式中取D＋‖号，不一致时取 D－‖号。 根据电路等效的概念，可以用图 1.41(b) 所示电流为 is 的单个电流源等效替代图 1.41(a)中的 n 个并联的电流源。通过电流源的并联可以得到一个大的输出电流。 （2）串联图 1.42 电流源的串联等效电路图 1.42 为 2 个电流源的串联，根据 KCL 得： is ? is1 ? is 2 上式说明只有电流相等且输出电流方向一致的电流源才能串联 , 此时串联电流源的 对外特性与单个电流源一样，根据电路等效概念，可以用 1.42(b) 图的单个电流源替代 1.42(a)图的电流源串联电路。 注意： 不同值或不同流向的电流源是不允许串联的， 否则违反 KCL； 电流源串联时， 每个电流源上的电压是不确定的。 4．电流源与支路的串、并联等效 （1）并联图 1.43 电流源和电阻支路的并联等效电路图 1.43(a)为 2 个电流源和电阻支路的并联，根据 KCL 得端口电压、电流关系为：i ? is1 ? u / R1 ? is2 ? u / R2 ? is1 ? is2 ? ( 1 / R1 ? 1 / R2 )u ? is ? u / R上式说明图 1.43(a)电路的对外特性与图 (b)所示电流为 is 的单个电流源和电阻为 R 的单个电阻的并联组合一样，因此，图 1.43 (a)可以用图 1.43 (b)等效替代，其中is ? ( is1 ? is2 )（2）串联1 1 1 ?( ? ) R R1 R2图 1.44 电流源和任意元件的串联等效电路图 1.44(a)为电流源和任意元件的串联，设外电路接电阻 R，根据 KVL 和欧姆定律 得端口电压、电流为：u ? usI? u / R即：端口电压、电流只由电流源和外电路决定，与串联的元件无关，对外特性与图 1.44 (b)所示电流为 is 的单个电流源一样。 因此， 电流源和任意元件串联就等效为电流源。 1.6.5 实际电源的两种模型及其等效变换 图示为实际电压源、实际电流源的模型，它们之间可以进行等效变换。图 1.45 实际电压源、电流源模型由实际电压源模型得输出电压 u 和输出电流 I 满足关系：u ? us ? Rii由实际电流源模型得输出电压 u 和输出电流 I 满足关系：i ? is ? Gi u比较以上两式，如令：us ? RiisRi ?1 Gi则实际电压源和电流源的输出特性将完全相同。因此，根据电路等效的概念，当上 述两式满足时，实际电压源和电流源可以等效变换。 变换的过程为： 电压源变换为电流源：其中 is ?us RiGi ?1 Ri电流源变换为电压源：其中 us ?is GiRi ?1 Gi需要注意的是： (1) 变换关系，即要满足上述参数间的关系，还要满足方向关系：电流源电流方向 与电压源电压方向相反。 (2) 电源互换是电路等效变换的一种方法。 这种等效是对电源以外部分的电路等效， 对电源内部电路是不等效的。表现为：如图 1.46 所示（ a）（ b）（ c）（ d）图 1.46 电源互换图 1.46（a） 开路的电压源中无电流流过 Ri；图 1.46（b） 开路的电流源可以有电 流流过并联电导 Gi 图 1.46（c） 电压源短路时，电阻中 Ri 有电流；图 1.46（d）电流源 短路时, 并联电导 Gi 中无电流。 (3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换，因为两者的定义本身是相互矛盾的， 不会有相同的 VCR。(4) 电源等效互换的方法可以推广应用，如把理想电压源与外电阻的串联等效变换 成理想电流源与外电导的并联，同样可把理想电流源与外电阻的并联等效变换为电压源 形式。 例 1.12 利用电源等效互换简化电路计算图示电路中的电流 I。图 1.47例 1.12 题图解： 把图 1.47（a）中电流源和电阻的并联组合变换为电压源和电阻的串联组合(注意电 压源的极性)图 1.47（ a）例 1.12 求解图示从中解得： I ?15 ? 8 ? 0.5A 14例 1.13 利用电源等效互换计算图示电路中的电压 U。图 1.48 例 1.13 题图解：把 5Ω 电阻作为外电路， 10V 电压源和 5Ω 电阻的串联变换为 2A 电流源和 5Ω 电阻的并联, 6A 电流源和 10V 电压源的串联等效为 6A 电流源，如图所示。图 1.48 例 1.13 求解图示则 U ? ( 2 ? 6 ) ? ( 5 / /5 ) ? 20V 例 1.14 把图示电路转换成一个电压源和一个电阻的串连组合。（ a）（b）图 1.49 例 1.14 题图解：图 a 电路的转换过程如下图所示：图 b 电路的转换过程如下图所示：例 1.15 计算图示电路中的电流 I。图 1.50 例 1.15 题图解：利用电源等效变换，把电路依次转换为图 1.50（a）和 1.50（b）（ a）（ b）图 1.50（ a） （b ） 例 1.15 求解图示因此 I ?30 ? 60 ? ?1.5 A 20例 1.16 求图示电路中的电流 i1图 1.51 例 1.16 题图解：利用电源等效变换，把电路依次转换为图 图 1.51（a）和 图 1.51（b）（ a）（ b）图 1.51（ a） （b ） 例 1.16 求解图示则 R ? R1 ?R2 R3 R2 ? R3由 KVL 得： Ri1 ? ( R2 / / R3 )ri1 / R 3 ? Us 从中解得： i1 ?Us R ? ( R2 ? R3 )r / R3本题的求解说明：受控源和独立源一样可以进行电源转换；但转换过程中要特别注 意不要把受控源的控制量变换掉了。 例 1.17 把图示电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。图 1.52 例 1.17 题图解：利用电源等效变换，把电路转换为图(a)， 根据 KVL 得端口电压和电流关系为： U=-500I+0I+10 因此得等效电路如图 (b)所示。(a)图 1.52（ a） （b ） 例 1.17 题图(b)1.6.6输入电阻 1.定义对于一个不含独立源的一端口电路，不论内部如何复杂，其端口电压和端口电流成 正比，定义这个比值为一端口电路的输入电阻（如图 1.53 所示） 。图 1.53 无源端口网络输入电阻：Rin ?2. 计算方法u i根据输入电阻的定义，可得如下计算方法： （1） 如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、 并联和 D―Y 变换等方法求它 的等效电阻，输入电阻等于等效电阻； （2） 对含有受控源和电阻的两端电路，应用在端口加电源的方法求输入电阻：加 电压源，求得电流；或加电流源，求电压，然后计算电压和电流的比值得输入电阻，这 种计算方法称为电压、电流法。 需要指出的是： （1） 对含有独立电源的一端口电路，求输入电阻时，要先把独立源置零：电压源 短路，电流源断路。 （2） 应用电压、电流法时，端口电压、电流的参考方向对两端电路来说是关联的。 例 1.18 计算下例一端口电路的输入电阻。图 1.54例 1.18 题图解：图 1.54（a）所示为一有源电阻网络，先把独立源置零：电压源短路；电流源断 路，如图示得到一纯电阻电路。图 1.54（ a） 例 1.18 求解图示应用电阻的串并联关系，求得输入电阻为： Rin ? ( R1 ? R2 ) / / R3 例 1.19 计算图示含有受控源的一端口电路的输入电阻。图 1.55 例 1.19 题图解：因为电路中有受控源，求输入电阻时，先把独立源置零，然后在端口外加电压 源，如图示。图 1.55（ a） 例 1.19 求解图示由 KCL 和 KVL 得： i ? i1 ?3i1 ? 1.5i1 6U ? 6 1i ? 3 9 1 i? 1 iu 9i ? 1 ? 6? i 1.5i1输入电阻为端口电压和电流的比值： Rin ?例 1.20 计算图示含有受控源的一端口电路的输入电阻。图 1.56 例 1.20 题图解：在电路端口外加电流源，如图示，图 1.56（ a） 例 1.20 求解图示由图知： u1 ? 15i1i2 ?u1 ? 1.5i1 10u ? 5 i? 1u ? 5? 2 1. 5 ? i1由 KCL 和 KVL 得： i ? i1 ? i2 ? 2.5i1 则 Rin=u/i=27.5i1/2.5i1 = 11Ω15 ?i127.5i1.71.7.1 网络图论电路的图图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。图论的概念由 瑞士数学家欧拉最早提出，欧拉在 1736 年发表的论文《依据几何位置的解题方法》中应 用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题，见图 1.57（ a）和 1.57（b）所示。图 a 哥尼斯堡七桥图 1.57b 对应简图19 至 20 世纪，图论主要研究一些游戏问题和古老的难题，如哈密顿图及四色问题。 1847 年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图论被用于网络分析和 综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及编译 技术等等。 1.7.2 电路的图 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点 一一对应，如图 1.58 所示，所以电路的图是点线的集合。通常将电压源与无源元件的串 联、电流源与无源元件的并联作为复合支路用一条支路表示。如图 1.58(c)所示。(a) 电路图(b) 电路的图(一个元件作为一条支路 ) 图 1.58 电路和电路的图(c) 电路的图(采用复合支路 )有向图DD标定了支路方向（电流的方向）的图为有向图。 连通图DD图 G 的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在 两个分离部分。(a)有向图(b)非连通图 1.59 典型图例(c)连通图子图DD若图 G1 中所有支路和结点都是图 G 中的支路和结点，则称 G1 是图 G 的 子图。(a) 电路的图（ G）(b)G 图的子图(c)G 图的子图图 1.60 电路的图及其子图树（T）――树（T）是连通图 G 的一个子图，且满足下列条件： （1）连通；(2)包含图 G 中所有结点；(3)不含闭合路径。 构成树的支路称树枝；属于图 G 而不属于树（T）的支路称连支：图 1.61 电路的图与树需要指出的是： 1）对应一个图有很多的树； 2）树支的数目是一定的为结点数减一：bt=(n-1) 3）连枝数为 bl=b-bt=b-(n-1) 回路DD回路 L 是连通图 G 的一个子图，构成一条闭合路径，并满足条件： (1)连通； (2)每个节点关联 2 条支路。 需要指出的是：1）对应一个图有很多的回路； 2）基本回路的数目是一定的，为连支数； 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数 l=bl=b-(n-1)图 1.62 电路的图与回路基本回路 (单连支回路 )DD基本回路具有独占的一条连枝色，即基本回路具有别的 回路所没有的一条支路。图 1.63 电路的图及其基本回路结论：电路中结点、支路和基本回路关系为：支路数＝树枝数＋连支数＝结点数－ 1＋基本回路数 b=n+l-1 例 1.21 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。图 1.64例 1.21 题图解：对应例图的三个树如下：图 1.64（ a） 例 1.21 求解图示对应三个树的基本回路如下：图 1.64（b ） 例 1.21 求解图示1.8电路的基本分析方法电路的一般分析是指方程分析法，是以电路元件的约束特性（ VCR ）和电路的拓 补约束特性（ KCL、KVL）为依据，建立以支路电流或回路电流或结点电压为变量的电 路方程组，解出所求的电压、电流和功率。方程分析法的特点是： （ 1）具有普遍适用性， 即无论线性和非线性电路都适用； （ 2） 具有系统性， 表现在不改变电路结构， 应用 KCL， KVL，元件的 VCR 建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便 于编程和用计算机计算。 电路的一般分析方法有： KCL 和 KVL 的独立方程数，支路电流法，网孔电流法， 回路电流法，结点电压法等。这些方法都是以基尔霍夫定律为基础的。本节介绍的支路 电流法、回路电流法和节点电压法适用于所有线性电路问题的分析，在后面章节中都要 用到。 1.8.1 KCL 和 KVL 的独立方程数 1.KCL 的独立方程数（ n ? 1 ）可以证明，对于具有 n 个结点的电路，在任意（ n ? 1 ）个结点上可以得出（ n ? 1 ） 个独立的 KCL 方程，相应的（ n ? 1 ）个结点称为独立结点。 ∵? (? i )k ?1nk? ? ((?i j ) ? (?i j )) ? 0j ?1b因为每一支路电流 i j 必然流出一个结点，并流入另一结点，故独立方程数 ? n 。 从这 n 个方程中，去掉任意一个，余下的 n ? 1 个方程一定互相独立，因去掉一个 方程后，必有某些支路电流不可能与其他支路电流相消。 2.KVL 的独立方程数 （ b ? n ? 1 ） 独立回路如图 1.65 所示: 连通图：图 1.65G 的任意两个结点之间至少存在一条路径。 子图：如果 G1 的每个结点都是图 G 中的结点，G1 的每条支路都是 G 中的支路， 则 G1 是 G 的子图。 回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他结点都相异，这条闭合路径 就构成 G 的一个回路。 树：连通图 1.65G 的一个树 T ，是指 G 的一个子图，它必须是： a 、连通的； b、 包含 G 的全部结点；c、不包含回路。 可以证明，任一个具有 N 个结点的连通图，它的任何一个树的树支数为（ n ? 1 ） 。图 1.65回路：(1 , 3 , 4) ; (2 , 3 , 5 ) ; (4 , 5 , 6) ; (1 , 2 , 6) ；树支 : (3 , 4 , 5) ；树支: (1 , 4 , 5) ；(1 , 2 , 4, 5) ; (1 , 3 , 5 , 6 ) ; (2 , 3 , 4 , 6) ；连支: (1 , 2 , 6) ；连支: (2 , 3 , 6)单连支回路：1.65G 的任意一个树，加入一个连支后形成的一个回路 . a、除所加连支外均由树支组成； b、由全部连支形成的单连支回路（基本回路）构成基本回路组。基本回路组是独 立回路组； c、根据基本回路列出的 KVL 方程组是独立方程组； d、选择不同的树，可以得到不同的基本回路组。图 1.66如图 1.66 所示：T1 ：树支： （ 1， 3， 5） ；回路： （ 2， 3， 5） ； （ 1， 3 ， 4） ， （ 1， 3， 5， 6）（ 3， 4， 5） ；回路： （ 1， 3， 4） ； （ 2， 3 ， 5） ； （ 4， 5， 6） T2 ：树支：T3 ：树支： （ 1， 2， 4） ；回路： （ 1， 3， 4） ； （ 1， 2 ， 4， 5） ； （ 1， 2， 6）网孔: 平面图：把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉，否则， 称为非平面图。 网孔：平面图的一个“网孔”是指它的一个自然“孔” ，它限定的区域内不再含有 支路； 平面图的全部网孔是一组独立回路； 平面图网孔数=独立回路数。图 1.67KVL 的独立方程数=独立回路数； 平面电路：找网孔，对网孔列 KVL 方程； 非平面电路：先找树，再找单连支回路，对单连支回路列 KVL 方程； 1.8.2 支路电流法 1. 2b 法 以支路电压和电流为电路变量，共有 2b 个未知量。 按 KCL 列出（n-1）个独立电流方程； 按 KVL 列出（b-（n-1） ）个独立电压方程； 按支路的电压、电流关系（VCR）列出 b 个 VCR 方程； 由 2b 个方程求解 2b 个未知量。 2.支路电流法 （1）将 b 个支路电压、电流关系（ VCR ）方程代入（ b ? (n ? 1) ）个 KVL 方程； 消去支路电压变量， 得到( b ? (n ? 1) )个以支路电流表示的 KVL 方程， 加上原有的 （ n ?1） 个独立的结点电流方程； （2） b 个方程求解 b 个支路电流 。? ?i1 ? i2 ? i6 ? 0 ? KCL ? ?i2 ? i3 ? i4 ? 0 ? ?i4 ? i5 ? i6 ? 0 ? ?u1 ? u2 ? u3 ? 0 ? KVL ? ?u3 ? u4 ? u5 ? 0 ? ?u2 ? u4 ? u6 ? 0 ??u1 ? ?us1 ? R1i1 ?u ? R i 2 2 ? 2 ?u3 ? R3i3 ? ?u4 ? R4i4 ?u5 ? R5i5 ? R5is5 ? ?u6 ? R6 i6VCR（1.17）将式（1.17）代入 KVL 方程得?? u S 1 ? R1i1 ? R2 i2 ? R3i3 ? 0 ? ?? R3i3 ? R4 i4 ? R5 i5 ? R5 iS 5 ? 0 ?? R i ? R i ? R i ? 0 2 2 4 4 6 6 ? ? ? R1i1 ? R2i2 ? R3i3 ? uS1 ? ? ? R3i3 ? R4i4 ? R5i5 ? ? R5iS 5 ? ? R2i2 ? R4i4 ? R6 i6 ? 0 ?（1.18）KCL 方程和式（ 1.18）联立求解可得支路电流。图 1.683.KVL 方程的一般形式?R ik k? ? u Sk（1） Rk ik 为回路中第 k 个支路电阻上的电压， i k 参考方向与回路方向一致时，取 “ +” ，否则，取“ -” ； （ 2） u Sk 为回路中第 k 支路的电源电压（既包括电压源电压，也包括电流源引起 的电压） ，当 u Sk 与回路方向一致时取“ -” （因移到等号另一侧） ，否则取“ +” 。 4.列写支路电流法电路方程的步骤 （1）选定各支路电流的参考方向； （2）根据 KCL 对 (n ? 1) 个独立结点列写电流方程； （3）选取 b ? (n ? 1) 个独立回路（平面电路取网孔） ，指定回路的绕行方向，列出KVL 方程。例 1.22 求图示电路的各支路电流及电压源各自发出的功率。图 1.69 例 1.22 题图解：(1)对结点 a 列 KCL 方程：-I1-I2+I3=0(2)对两个网孔列 KVL 方程： (3)求解上述方程：I3=I1+I2=6-2=4 (4)电压源发出的功率： P70=6×70=420W P6=-2×6=-12W例 1.23 列写图示电路的支路电流方程( 电路中含有理想电流源 )图 1.70 例 1.23 题图解 1：(1)对结点 a 列 KCL 方程： 7I1-11I2=70-U 11I2+7I3=U-I1-I2+I3=0(2)选两个网孔为独立回路，设电流源两端电压为 U ，列 KVL 方程：(3)由于多出一个未知量 U ，需增补一个方程： I2=6A 求解以上方程可得各支路电流。 解 2：由于支路电流 I2 已知，故只需列写两个方程： (1)对结点 a 列 KCL 方程： -I1-6+I3=0 (2)避开电流源支路取回路，如图 b 选大回路列 KVL 方程：7I1-7I3=70图 1.70（ a） 例 1.23 解法 2注：本例说明对含有理想电流源的电路，列写支路电流方程有两种方法，一是设电 流源两端电压，把电流源看作电压源来列写方程，然后增补一个方程，即令电流源所在 支路电流等于电流源的电流即可。另一方法是避开电流源所在支路例方程，把电流源所 在支路的电流作为已知。 例 1.24 列写图示电路的支路电流方程(电路中含有受控源 )图 1.71 例 1.24 题图解：(1)对结点 a 列 KCL 方程：-I1-I2+I3=0 (2)选两个网孔为独立回路，列 KVL 方程： 7I1-11I2=70-5U 11I2+7I3=5U (3)由于受控源的控制量 U 是未知量，需增补一个方程： U =7I3 (4)整理以上方程，消去控制量 U -I1-I2+I3=0 7I1-11I2+35I3=70 11I2-28I3=0 注：本例求解过程说明对含有受控源的电路，方程列写需分两步： (1) 先将受控源看作独立源列方程； (2) 将控制量用支路电流表示，并代入所列的方程，消去控制变量。 1.8.3 网孔电流法 1.网孔电流是一组完备的独立电流变量。 (1)网孔电流是一种沿着网孔边界流动的假想电流，共 b ? (n ? 1) 个。 a. b.im1 , im 2 为分析简便而设的假想电流i1 , i2 , i3 可用 im1 , im 2 线性表示。图 1.72 网孔电流法(2) 完备性：一旦求出了网孔电流，所有支路电流可根据 KCL 随之确定。(3)独立性：因每个网孔电流沿着网孔流动，当它流到某个结点时，从该结点流入， 又从该结点流出，在该结点所列的 KCL 方程中相互抵消，因此，就 KCL 来说，各网孔 电流彼此独立无关。 (4)求网孔电流需要根据 KVL 及 VCR 来列方程。 2.求解过程及网孔电流方程的普遍形式 以网孔电流方向为列 KVL 方程时的绕行方向（顺时针） 。?R1 im1 ? R2 (im1 ? im 2 ) ? U S 2 ? U S1 ? 0 ? ?R3 im 2 ? U S 3 ? U S 2 ? R2 (im 2 ? im1 ) ? 0整理后可得?( R1 ? R2 ) im1 ? R2 im 2 ? U S1 ? U S 2 ? ?? R2 im1 ? ( R2 ? R3 ) im 2 ? U S 2 ? U S 3概括为一般形式? R11 im1 ? R12 im 2 ? U S 11 ? ? R21 im1 ? R22 im 2 ? U S 22或? R11 ?R ? 21R12 ? ? im1 ? ?U S11 ? ? ??? ? R22 ? ? ?im 2 ? ?U S 22 ?推广到 m 个网孔的电路，其网孔电流方程普遍形式为? R11 im1 ? R12 im 2 ? ? ? R1m imm ? u S 11 ?R i ? R i ? ? ? R i ? u ? 21 m1 22 m 2 2 m mm S 22 ? ???????????????? ? ? Rm1 im1 ? Rm 2 im 2 ? ? ? Rmm imm ? u Smm这里：① 自电阻 ②互电阻Rii ? 0, i ? 1 , 2 ? , m , 第 i 个网孔的全部电阻之和；第 i 个网孔与第 j 个网孔之间的公Rij , i ? j , i , j ? 1 , 2 , ?, m ,共电阻，如果imi 与 imj 通过公共电阻时方向一致，取“ +” ，相反，取“ -” ；u Sii ：第 i 个网孔电压源电压升的代数和， i ? 1 , 2 , ? , m 。③ 总电压源电压例 1.25 用网孔分析法求解下图电路的各支路电流。图 1.73 例 1.25 题图解：网孔电流方程为?(5 ? 30) im1 ? 30 im 2 ? 20 ? ?? 30 im1 ? (10 ? 30) im 2 ? ?10 ?35 im1 ? 30 im 2 ? 20 ? ? ?? 30 im1 ? 40 im 2 ? ?10利用行列式法可求出?im1 ? 1 A ? ?im 2 ? 0.5 A? i1 ? im1 ? 1 A ; i2 ? ?im2 ? ? 0.5 A ; i3 ? im2 ? im1 ? ? 0.5 A例 1.26 试求下图中电流 I 。图 1.74 例 1.26 题图解：网孔电流方程为?(20 ? 30) im1 ? 30 im 2 ? 40 ? ?im 2 ? ?2? im1 ? ?0.4 A im2 已知，只需列一个 KVL 方程 !I ? im1 ? im2 ? ?0.4 ? (?2) ? 1.6 A例 1.27 试用网孔法求下图所示电路中受控源电流 I X 。图 1.75 例 1.27 题图解：列网孔电流方程时先将受控电源等同于独立电源，写出网孔电流方程后，再将 受控源控制量用网孔电流表示。?12I m1 ? 2 I m 2 ? ?8I X ? 6 ? ?? 2 I m1 ? 6 I m 2 ? ?4 ? 8I X又I X ? I m2?12I m1 ? 6 I m 2 ? 6 ? ? ?? 2 I m1 ? 2 I m 2 ? ?4? I m1 ? ?1 A , I m2 ? 3 A , I X ? 3 A例 1.28 试列写下图中所示电路的网孔电流方程。图 1.76 例 1.28 题图解：因电流源两端有电压，假设为 U ，则?3I m1 ? I m 2 ? 2 I m 3 ? U ? 7 ? ?? I m1 ? 6 I m 2 ? 3I m 3 ? 0 ?? 2 I ? 3 I ? 6 I ? U ? 0 m1 m2 m3 ?补充：I m1 ? I m3 ? 7? I m1 ? 9 A , I m2 ? 2.5 A , I m3 ? 2.0 A , U ? ?13.5 V将 7 V 电压源移至图右侧，可不设电流源电压 U ，迅速求出各支路电流。 1.8.4 回路电流法回路电流法的基本思想： 为减少未知量 ( 方程 ) 的个数， 假想每个基本回路中有一 个回路电流沿着构成该回路的各支路流动。各支路电流用回路电流的线性组合表示。来 求得电路的解。 1. 回路电流法 以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为 未知量时，称网孔法。图 1.77回路电流法(1)支路电流与回路电流的关系 上图所示电路有两个独立回路，选两个网孔为独立回路，设网孔电流沿顺时针方向 流动，如图所示。可以清楚的看出，当某支路只属于某一回路（或网孔） ，那么该支路电 流就等于该回路（网孔）电流，如果某支路属于两个回路（或网孔）所共有，则该支路 电流就等于流经该支路两回路（网孔）电流的代数和。 如上图电路中： i1 ? il 1i3 ? i l2i2 ? il 2? i l 1(2)回路电流法列写的方程 回路电流在独立回路中是闭合的， 对每个相关节点回路电流流进一次， 必流出一次， 所以回路电流自动满足 KCL。因此回路电流法是对基本回路列写 KVL 方程，方程数为： b-(n-1) 与支路电流法相比，方程数减少 n-1 个。 2.方程的列写 应用回路法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出以回路电流为变量的回路电 压方程。 以上图电路为例列写网孔的 KVL 方程， 并从中归纳总结出简便列写回路 KV 方 程的方法。 按网孔列写 KVL 方程如下： 网孔 1： R1iu ? R2 ( il1 ? il 2 ) ? uS1 ? uS 2 ? 0 网孔 2： R2 ( il 2 ? il1 ) ? R3il 2 ? uS 2 ? 0 将以上方程按未知量顺序排列整理得： (R1+R2)il1-R2il2 =us1-us2-R2il1+(R2+R3)il2 =us2 观察方程可以看出如下规律： 第一个等式中， il1 前的系数(R1 + R2)是网孔 1 中所有电阻之和，称它为网孔 1 的自 电阻，用 R11 表示；il2 前的系数- R2 是网孔 1 和网孔 2 公共支路上的电阻，称它为两个网 孔的互电阻，用 R12 表示，由于流过 R2 的两个网孔电流方向相反，故 R2 前为负号；等式 右端 us1-us2 表示网孔 1 中电压源的代数和，用 us11 表示，us11 中各电压源的取号法则是， 电压源的电压降落分向与回路电流方向一致的取负号，反之取正号。用同样的方法可以 得出等式 2 中的自电阻、互电阻和等效电压源分别为： 自电阻: R22=(R2+R3) 互电阻: R21=-R2 等效电压源: us22 ? us2 由此得回路（网孔）电流方程的标准形式： R11il1+R12il2= us11 R21il1+R22il2= us22 结论：对于具有 l=b-(n -1) 个基本回路的电路，回路（网孔）电流方程的标准形式 : R11il1+R12il2+…R1lill=us11 R21il1+R22il2+…R2lill=us22…Rl1il1+Rl2il2+…Rllil l=usll 其中: 自电阻 Rkk 为正； 互电阻 Rjk＝Rkj 可正可负，当流过互电阻的两回路电流方向相同时为正，反之为负； 等效电压源 uSkk 中的电压源电压方向与该回路电流方向一致时，取负号；反之取正 号。 注：当电路不含受控源时，回路电流方程的系数矩阵为对称阵。 回路法的一般步骤： (1) 选定 l=b-(n -1)个基本回路，并确定其绕行方向； (2) 对 l 个基本回路，以回路电流为未知量，列写 KVL 方程； (3) 求解上述方程，得到 l 个回路电流； (4) 求各支路电流(用回路电流表示 ) ； (5) 其它分析。 注：电路中含有理想电流源和受控源时，回路方程的列写参见例题。 例 1.28 列写如下电路的回路电流方程，说明如何求解电流 i.图 1.78 例 1.28 题图解 1： 独立回路有三个。选网孔为独立回路如图所示，回路方程为：图 1.78（ a） 例 1.28 求解 1 图示(Rs+R1+R4)i1- R1i2CR4i3=Us-R1i1C(R2+R1+R5)i2CR5i3=0 - R4i1CR5i2+(R2+R1+R5)i3=0 从以上方程中解出网孔电流 1 和网孔电流 2，则电流 注：本题结果说明： (1)不含受控源的线性网络，回路方程的系数矩阵为对称阵，满足 Rjk = Rkj。 (2)当网孔电流均取顺时针或逆时针方向时，Rkj 均为负。 解 2： 为了减少计算量，可以只让一个回路电流经过 R5 支路如图所示。此时回路方程为： (Rs+R1+R4)i1-R1i2C(R1+ R4)i3=Us -R1i1C(R2+R1+R5)i2C(R1+R2)i3= 0 -R4i1+ (R1+ R2)i2+(R2+R1+R3+R4)i3= 0 从以上方程中解出网孔电流 2，则电流i= i2C i3i= i2图 1.78（b ） 例 1.28 求解 2 图示注：解法 2 的特点是计算量减少了，但互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。 本题也说明独立回路的选取有多种方式，如何选取要根据所求解的问题具体分析。 例 1.29 列写图中所示电路的回路电流方程 (电路中含有无伴理想电流源） 。图 1.79 例 1.29 题图解 1：选取网孔为独立回路如图所示，引入电流源电压 U，则回路方程为： (Rs+R1+R4)i1-R1i2CR4i3=Us-R1i1C(R2+R1)i2=U -R4i1+(R3+ R4)i3=-U 由于多出一个未知量 U ，需增补一个方程，即增加回路电流和电流源电流的关系 方程： is = i2 C i3图 1.79（ a） 例 1.29 求解 1 图示解 2：选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路如图所示 ,该回路电流等 于 IS。 回路电流方程为： (Rs+R1+R4)i1-R1i2C(R1+R4)i3=Us is=i2?( R1 ? R4 )i1 ? ( R1 ? R2 )i2 ? ( R1 ? R2 ? R3 ? R4 )i3 ? 0图 1.79（b ） 例 1.29 求解 2 图示注：本题说明对含有无伴理想电流源的电路，回路电流方程的列写有两种方式： ?引入电流源电压 U ，把电流源看作电压源列写方程，然后增补回路电流和电流源 电流的关系方程，从而消去中间变量 U 。这种方法比较直观，但需增补方程，往往列写 的方程数多。 ?使理想电流源支路仅仅属于一个回路，该回路电流等于已知的电流源电流 IS。这种 方法列写的方程数少。 在一些有多个无伴电流源问题中，以上两种方法往往并用。 例 1.30 列写图 1.80 所示电路的回路电流方程 (电路中含有受控源)。 解：选网孔为独立回路如图 1.80（a）所示，把受控电压源看作独立电压源列方程：图 1.80 例 1.30 题图回路 1： 回路 2： 回路 3：(Rs+R1+R4)i1-R1i2CR4i3=Us-R1i1+(R2+R1)i2=5U -R4i1+(R3+R4)i3=-5U由于受控源的控制量 U 是未知量，需增补一个方程：U 整理以上方程消去控制量 U 得： 回路 1 回路 2 回路 3= R3 i3(Rs+R1+R4)i1-R1i2CR4i3=Us-R 1 i 1 + ( R 2 + R 1 ) i 2 - 5 R 3 i 3 = 0 -R4i1+(R3+R4+5R3)i3=0图 1.80（ a）例 1.30 求解图示例 1.31 列写图 1.81 所示电路的回路电流方程 解 1：选网孔为独立回路如图 1.81（a）所示，设电流源和受控电流源两端的电压分 别为 U2 和 U3，则回路电流方程为：图 1.81 例 1.31 题图回路 1 (R1+R3)i1CR3i3=-U2 回路 2 R2i2=U2CU3 回路 3 -R3i1+(R3+R4+R5)i3CR5i4= 0 回路 4 CR5i3+R5i4=U3CμU1 方程中多出 U1、U2 和 U3 三个变量，需增补三个方程： is=i1Ci2 CR1i1=U1 i4 Ci2=gU1图 1.81（a） 例 1.31 求解 1 图示解 2：独立回路的选取如图所示，回路方程为： 回路 1 is=i1 回路 2 R1i1+(R1+R4+R2)i2+R4i3=CμU1 回路 3 -R3i1+R4i2+(R3+R4+R5)i2CR5i4=0 回路 4 i4 =gU1 增补方程：CR1(i1Ci2 )=U1图 1.81（b ） 例 1.31 求解 2 图示例 1.32 求电路中电压 U ，电流 I 和电压源产生的功率。图 1.82 例 1.32 题图解：独立回路的选取如图 1.82（a）所示，回路方程为： 回路 1 i1=2A 回路 2 i2=2A 回路 3 i3=3A 回路 4 6i4C3i1+i2 C4i3=-4 从中解得： i4=(6-2+12-4/6)=2A 则所求电流 I=I1+I3-I4=2+3-2=3A电压 2i4 +4 =U =8V 电压源产生的功率 P = 4×i4=-8W图 1.82（ a） 例 1.32 求解图示1.8.5结点电压法 结点电压法的基本思想：选结点电压为未知量，可以减少方程个数。结点电压自动满足 KVL，仅列写 KCL 方程就可以求解电路。各支路电流、电压可视为结点电压的线 性组合。求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。 1.结点电压法 以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。 (1)结点电压与支路电压的关系 在电路中，任选一结点作参考点：其余各结点与参考点之间的电压差称为相应各结点的电压 (位 )，方向为从独立结点指向参考结点。如下图示电路，选下部结点为参考结 点，设结点 1，2，3 的电位分别为 un1，un2，un3 。则支路 1 的电压为结点 1 的电压 un1， 支路 2 的电压为结点 1 和结点 2 的电压差，依此类推，任一支路电压都可以