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复合函数、初等函数和分段函数 基本初等函数 回 顾
指数函数 幂函数 反三角函数 三角函数 对数函数
复 合 函 数
如 1 在经济学中,设时间一定 产量 是由 复合而成的. 成本
复 合 函 数
如 1 在电学中,电压一定 电流 复合而成的. 功率 定义 其中 为自变量, 为中间变量, 如 注:在复合函数中,也可以出现两个以上的中间变量. 如: 这里
都是中间变量. 例1 写出下列函数的复合函数： 注意 并非任意两个函数都可复合成一个复合函数. 例2 指出下列复合函数的复合过程： 1 2 求下列函数的复合函数： 3 1 2 3 分解下列复合函数： 初 等 函 数 2 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成且可用一个解析式表示的函数,叫作初等函数. 如 注意:分段函数 不一定是哟! 是 不是 分 段 函 数 3 自变量在不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数. x o -1 2 1 y 例如 它可不是初等函数哟! 你知道吗! 符号函数 几个常见的分段函数 绝对值函数 取整函数y=[x]
(1) 绝对值函数
符号函数 1 -1 x y o
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1-4复合函数,反函数,初等函数
数学分析第1.4节数学分析数学与信息科学学院罗仕乐数学分析第1.4节§1.4复合函数 反函数 初等函数 一. 复合函数 二.反函数三.初等函数 四.双曲函数与反双曲函数数学分析第1.4节一、复合函数在实际问题中，有很多比较复杂的函数是 由几个比较 简单的函数“叠置”而成的，如在 简谐振动中位移y与时间 t 的函数关系y ? sin(?t ? ? )就是由三角函数 y ? sin u 和线性函数 “叠置”而成的，u ? ?t ? ?1 ? x2设 y ? u, u ? 1 ? x 2 ,y?数学分析第1.4节 定义: 设函数 y ? f (u)的定义域 D f , 而函数u ? ?( x ) 的值域为 Z ? , 若 D f ? Z? ? ? , 则称函数 y ? f [?( x )]为 x 的复合函数.x ?自变量, u ? 中间变量, y ? 因变量,注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;Z? ? D f ? ? ――复合条件例如 y ? arcsinu,u ? 2 ? x2; y? arcsin(2 ? x 2 )数学分析第1.4节 复合函数的定义域D ? ?x | x ? D? ? ?u ? D f 使u ? ? ( x )? ? D?复合条件在实际应用时常取形式Z? ? D f内层函数的值域落在外层函数的定义域之内 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.x 例如 y ? cot , 2y ? u , u ? cot v,x v ? . 2数学分析第1.4节 1 ? x 2 , x ? 1; 求 f [ f ( x)]. 例1 设 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? 1. f . 解： [ f ( x)]是由f (u) 与u ? f ( x)复合而成的复合函数1 ? [ f ( x)] 2 , f ( x) ? 1;f [ f ( x)] ?f ( x) ? 1 ? 0 ? x ? 1 f ( x) ? 1 ? x ? 1或x ? 0[ f ( x)] ? 1, f ( x) ? 1.2当0 ? x ? 1时，1 ? [ 1 ? x ] , 0 ? x ? 1;2 2?2,x ? 0;( x 2＋ ) 2 ? 1, 1x ? 1.f ( x) ? 1 ? x 2 . 当 x ? 1时， f ( x) ? x 2 ? 1. 当x ? 0时， (0) ? 1, ff [ f (0)] ? f 2 (0) ? 1 ? 2.数学分析第1.4节1 ? [ 1 ? x 2 ]2 , 0 ? x ? 1;?2, ( x 2＋ ) 2 ? 1, 1x ? 0;x ? 1.0 ? x ? 1;x ? 0;x,?2,x 4＋2 x 2 ? 2 ,?x, 2, x,x ? 1.?1 ? x ? 0; x ? 0; 0 ? x ? 1;?x 4＋2 x 2 ? 2 ,x ? 1.数学分析第1.4节. 例2设? ( x), f ( x),? ( x)都是单调递增函数证明 , 若? ( x) ? f ( x) ? ? ( x)， ?[? ( x)] ? f [ f ( x)] ? ? [? ( x)]. 则证明:?? ( x) ? f ( x) ? ? ( x)??[? ( x)] ? f [? ( x)] ? ? [? ( x)]且 ? f (x)是单调递增函数 f ( x) ? ? ( x)??[? ( x)] ? f [? ( x)] ? f [ f ( x)] ? f [? ( x)] ? ? [? ( x)]即?[? ( x)] ? f [ f ( x)] ? ? [? ( x)].数学分析第1.4节二、反函数设函数 f : D ? f ( D) 是单射，则它存在逆映 射f ?1 : f ( D ) ? D , 称此映射f ?1为函数f的 反函数.y函数 y ? f ( x )y0y反函数 x ? ?( y )y0WWox0xox0xDD数学分析第1.4节函数 y ? f (x) 的反函数，记为 x ? f?1( y)反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域f : X ?Yf?1:Y ? X显然有 ?1 f ? f ?I:X ?X(恒等变换） (恒等变换)f ? f ? I :Y ?Y ?1 ?1 ( f ) ? f : X ?Y。?1数学分析第1.4节y反函数y ? f ?1 ( x )Q ( b, a )o直接函数y ? f ( x ) P (a , b)x从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作 y ? f ?1 ( x) 为函数，习惯上我们还是把反函数记 y ? f ?1 ( x) . 为x 这样直接函数与反函数的图形关于直线 y ? 对称.数学分析第1.4节严格单调函数是1-1对应的，所以严格单 调函数有反函数。 但 1-1 对应的函数（有反 函数）不一定是严格单调的，看下面例子? x, f ( x) ? ? ?3 ? x,0 ? x ?1 1? x ? 2y它的反函数即为它自 己.0 x数学分析第1.4节实际求反函数问题可分为二步进行： (1). 确定 f : X ? Y 的定义域 X和值域 Y ，考虑 1-1对应条件。固定 y ? Y ，解方程 f ( x) ? y 得出x? f。?1( y)(2). 按习惯，自变量 互换，得x.、因变量 yy ? f ( x)?1数学分析第1.4节三初等函数y ? x? (?是常数)y? x(1,1)１、基本初等函数 （1）.幂函数yy ? x21y?xo1 y? x1x数学分析第1.4节y ? x?yy ? x1 / 3y ? x3Ox数学分析第1.4节x （2）.指数函数 y ? a(a ? 0, a ? 1)y ? ex1 x y?( ) ay ? ax(a ? 1)(0,1)数学分析第1.4节 （3）.对数函数y ? loga x (a ? 0, a ? 1) y ? ln xy ? log a x(1,0)(a ? 1)y ? log 1 xa数学分析第1.4节yy ? sin x1?2??3? 2???? 2O?1? 2?3? 22?xy ? sin x的性质：?周期为2?的周期函数 ?特殊值：? 2k? sin ??Taylor(Maclaurin)公式??? ? sin ? k? ? ? 0 sin ? 2k? ? ? ? ?1k ? 0,?1,?2,?. ? ? ?1 2? 2? 1 3 1 5 1 ?7 (?1) n 2 n ?1??sin x ? x ? 3! x ? 5! x ? 7! x ??? ( 2n ? 1)! x ???有界函数 |sin x|≤1数学分析第1.4节yy ? cos x1?2? ? 3? 2???? 2O?1? 2?3? 22?xy ? cos x的性质：?周期为2?的周期函数 ?特殊值： ? k? ? ? ? ? 0 cos? ?2? ? ?Taylor(Maclaurin)公式cos?2k? ? ? 1?有界函数 |cos x|≤1cos?( 2k ? 1)? ? ? ?1 k ? 0,?1,?2,?.1 2 1 4 1 6 ( ?1) n 2 n cos x ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x ?? 2! 4! 6! ( 2n)!数学分析第1.4节y ? tan x的性质：?周期为?的周期函数 ?无界函数：lim tan x ? ??x ? ?0 2yy ? tan xy ? tan x?limx?? ? 0 2?tan x ? ???? ? ? 2O? 2?x?渐进线：x ? ? ?特殊值：tan(k? ) ? 0 k ? 0,?1,?2,?.?2数学分析第1.4节y ? cot x的性质：?周期为?的周期函数 ?无界函数：x ? ?0 2yy ? cot xlim cot x ? ?? ? lim cot x ? ?? ????? 2O? 2?3? 22?xx ?渐进线：? 0, x ? ?x ?? ? 0 2?? ? cot ? k? ? ? ? 0 2? ? k ? 0, ?1, ?2,?.?特殊值：数学分析第1.4节 正割函数 y ? sec xy ? sec x余割函数y ? csc xy ? csc x数学分析第1.4节(5)反三角函数的图象数学分析第1.4节幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.数学分析第1.4节 2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数,称为初等函数.?e x , 例3 设 f ( x ) ? ? ? x, 求 f [?( x )]. x?1 ? x ? 2, , ?( x ) ? ? 2 x?1 ? x ? 1, x?0 , x?0解10? e ? ( x ) , ?( x ) ? 1 f [?( x )] ? ? ??( x ), ?( x ) ? 1当?( x ) ? 1时,x ? ?1;或 x ? 0, ?( x ) ? x ? 2 ? 1,数学分析第1.4节2 或 x ? 0, ?( x ) ? x ? 1 ? 1,0 ? x ? 2;? 1 ? x ? 0;20当?( x ) ? 1时,或 x ? 0, ?( x ) ? x ? 2 ? 1, 或 x ? 0, ?( x ) ? x 2 ? 1 ? 1,综上所述x ? 2;? e x?2 , x ? ?1 ? ? x ? 2, ? 1 ? x ? 0 f [? ( x )] ? ? 2 . x ?1 ?e , 0? x ? 2 ? x 2 ? 1, x? 2 ?数学分析第1.4节四、双曲函数与反双曲函数1.双曲函数e x ? e?x 双曲正弦 sinh x ? 2D : ( ??,?? ),奇函数.x ?xe ?e 双曲余弦 cosh x ? 2D : ( ??,?? ),偶函数.数学分析第1.4节sinh x e x ? e ? x 双曲正切 tanh x ? ? x ?x cosh x e ? eD : ( ??,?? )奇函数, 有界函数,数学分析第1.4节2.反双曲函数反双曲正弦 y ?y ? arsinh x ? ln( x ?D : ( ??,?? )奇函数,y ? ar sinh xx ? 1).2在 (??,??) 内单调增加 .数学分析第1.4节双曲函数常用公式sinh( x ? y ) ? sinh x cosh y ? cosh( x ? y ) ? cosh x cosh y ?cosh x ? sinh x ? 1;2 2sinh 2 x ? 2cosh 2 x ? cosh 2 x ? sinh 2 x .数学分析第1.4节反双曲余弦 y ? ar cosh xy ? arcosh x ? ln( x ? x 2 ? 1).D : [1,?? )y ? ar cosh x在 [1,??) 内单调增加.数学分析第1.4节反双曲正切y ? artanh xy ? ar tanh xy ? artanh x1 1? x ? ln . 2 1? xD : ( ?1,1)奇函数,在 (?1,1) 内单调增加.数学分析第1.4节 五、经济学中的常用函数1. 需求函数：商品的需求量Q看作价格p的函数。 记为 Q=f(p)2. 供给函数：商品的供给量Q看作价格p的函数。 记为 Q=g(p) 3. 总收益函数：生产者出售一定数量的产品所得到的全部收入。 R=pQ , 其中 p---产品的价格，Q ---销售量 4. 总成本函数：生产一定数量的产品所消耗的总费用。 C(x)=C0 +C1(x) , 其中 C0 ---固定成本，C1 ---可变成本,x---产量 5. 利润函数：销售产品所获得的全部利润。 L(x) = R(x) - C(x) , 其中 x---产量数学分析第1.4节函数的分类:代 数 函 数有 理 函 数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)函 数初 等 函 数无理函数 超越函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)数学分析第1.4节小结(1) 复合函数;(2) 反函数;(3) 初等函数.;(4) 双曲函数与反双曲函数作业 :P20: 1, 3(2), 4(2)(4) .数学分析第1.4节思 下列函数能否复合为函数 y ? f [ g( x )]， 考 若能，写出其解析式、定义域、值域． 题 (1) y ? f (u) ? u, u ? g( x ) ? x ? x 2( 2) y ? f ( u) ? ln u, u ? g( x ) ? sin x ? 1思考题解答(1) y ? f [ g( x )] ? x ? x 2 1 f ( D ) ? [0, ] x ? D ? { x | 0 ? x ? 1}, 2 ( 2) 不能． ? g( x ) ? sin x ? 1 ? 0g( x ) 的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.数学分析第1.4节数学与信息科学学院 罗仕乐
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基本初等函数
§2.3　基本初等函数
一、知识导学
1.二次函数的概念、图象和性质.
（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式
二次函数的顶点式和
二次函数的坐标式
（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图象，很多二次函数都用数形结合的思想去解.
①，当时图象与x轴有两个交点.
M（x1,0）N(x2,0),|MN|=|
②　二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.
2.指数函数和对数函数的概念和性质.
（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：
①；②；③（这时m,n是有理数）
对数的概念及其运算性质、换底公式.
&（2）指数函数的图象、单调性与特殊点.对数函数的图象、单调性与特殊点.
①指数函数图象永远在x轴上方，当a＞1时，图象越接近y轴，底数a越大；当0&a&1时，图象越接近y轴，底数a越小.
②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论.
③当a&1时，图象越接近x轴，底数a越大;
当0&a&1时，图象越接近x轴，底数a越小.
3.幂函数的概念、图象和性质.
结合函数y=x,y=x2&
,y=x3,y=,y=的图象，了解它们的变化情况.
①＞0时，图象都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；
注意＞1与0&＜1的图象与性质的区别.
②＜0时，图象都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图象向上无限接近y轴，向右无限接近x轴.
③当x&1时，指数大的图象在上方.
二、疑难知识导析
& 1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图象.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内　
2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：
（1）式子＝，
　3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.
　4.函数的研究方法一般是先研究的性质，再由的情况讨论的性质.
　5.对数函数与指数函数互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.
　6.幂函数的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响.
（1）当时，幂函数是奇函数；（2）当时，幂函数是偶函数；（3）当时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、经典例题导讲
[例1]已知求
错解：∵∴
错因：因对性质不熟而导致题目没解完.
正解：∵∴
[例2]分析方程（）的两个根都大于1的充要条件.
错解：由于方程（）对应的二次函数为
的图象与x轴交点的横坐标都大于1即可.
　故需满足，所以充要条件是
错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图象与x轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.
正解：充要条件是
[例3]求函数的单调区间.
错解：令，则＝
∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.
正解：令，则为增函数，
　∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
[例4]已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是　　　　　
错解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.
正解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
在[0，1]上时 有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可，　　∴＜2
综上可知所求的取值范围是1＜＜2
[例5]已知函数.
（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在这样的实数使得函数在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.
分析：函数为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.
解：（1）由假设，＞0，对一切恒成立，
显然，函数g(x)= 在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝＞0得到＜
∴的取值范围是（0，1）∪（1，）
(2)假设存在这样的实数，由题设知，即＝1
当时，没有意义，故这样的实数不存在.
点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.
[例6]已知函数f(x)=, 其中为常数，若当x∈(－∞,
f(x)有意义，求实数a的取值范围.
分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.
且a2－a+1=(a－)2+&0,
1+2x+4x·a&0, a&,
当x∈(－∞,
1]时, y=与y=都是减函数，
y=在(－∞,
1]上是增函数，max=－,
故a的取值范围是(－, +∞).
&点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法.
&[例7]若，试求的取值范围.
解：∵幂函数有两个单调区间，
∴根据和的正、负情况，有以下关系　
①　　　②　　　　　③
解三个不等式组：①得＜＜，②无解，③＜－1
∴的取值范围是（－∞，－1）∪（，）
点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.
[例8] 已知a&0
且a≠1 ,f (log a x ) = &(x － )
&(1)求f(x)；
&(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；
&(3)对于f(x) ,当x
∈(－1& , 1)时 , 有f(
1－m ) +f (1－ m2 ) & 0
,求m的集合M .
分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.
解：(1)令t=logax(t∈R)，则
f(x)在R上都是增函数.
点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.
四、典型习题导练
1. 函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（&&&
&&& A.　　　　B.
& C.&&&&&&& D.　　　　　　
　（05年高考福建试题）
2.已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则的值为（&&&
A.1&&&&&& &&&&&&& B.4 &&&&&&&&&&&&& C.1或4&&&&&&&& & D.4 或 8
3.方程 (0&a&1)的解的个数为（&&&
A.0&&&&&&&&&&& & B.1 &&&&&&&&&&&&& C.2&&&&&&&& &&&&& D.3
4.函数f(x)与g(x)=()x的图象关于直线y=x对称,则f(4－x2)的单调递增区间是
A.&&& &&&& B.&& &&&&& C.& &&&&&&&& D.
5.图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n可取±2，±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为(&&
A.－2，－，，2
&&&&&&&&&B．2，，－，－2　　
－，－2,2，&&&&&&&&& D. 2，，－2,
求函数y = log 2
(x2 －5x+6) 的定义域、值域、单调区间.
7. 若x满足 ,求f(x)=最大值和最小值.
8.已知定义在R上的函数为常数
（1）如果＝，求的值；
（2）当满足（1）时，用单调性定义讨论的单调性.
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