空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
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空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
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文章来源莲山课 件 w w w.5y K J.Co m 第三课时& 空间中直线与平面、
平面与平面之间的位置关系（一）目标1．知识与技能（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.（二）重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.（三）教学方法借助实物，让学生观察事物、思考等，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.
问题1：空间中直线和直线有几种位置关系？问题2：一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系？
生1：平行、相交、异面生2：有三种位置关系：（1）直线在平面内（2）直线与平面相交（3）直线与平面平行师肯定并板书，点出主题.
复习回顾，探索求真，激发学习兴趣.
1．直线与平面的位置关系.（1）直线在平面内――有无数个公共点.（2）直线与平面相交――有且仅有一个公共点.（3）直线在平面平行――没有公共点.其中直线与平面相交或平行的情况，统称为直线在平面外，记作a .直线a在面 内的符号语言是a .图形语言是：
直线a与面 相交的a∩ = A.图形语言是符号语言是：
直线a与面 平行的符号语言是a∥ . 图形语言是：
师：有谁能讲出这三种位置有什么特点吗？生：直线在平面内时二者有无数个公共点.直线与平面相交时，二者有且仅有一个公共点.直线与平面平行时，三者没有公共点（师板书）师：我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外.师：直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？谁来画图表示一个和书写一下.学生上台画图表示.师；好.应该注意：画直线在平面内时，要把直线画在表示平面的平行四边形内；画直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外.
加强对知识的理解培养，自觉钻研的学习习惯.数形结合，加深理解.
2．平面与平面的位置关系（1）问题1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？（2）问题2： 如图所示，围成长方体ABCD C A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？（2）平面与平面的位置关系平面与平面平行――没有公共点.平面与平面相交――有且只有一条公共直线.平面与平面平行的符号语言是 ∥ .图形语言是：
师：下面请同学们思考以下两个问题（投影）生：平行、相交.
师：它们有什么特点？
生：两个平面平行时二者没有公共点，两个平面相交时，二者有且仅有一条公共直线（师板书）
师：下面请同学们用图形和符号把平面和平面的位置关系表示出来……
师：下面我们来看几个例子（投影例1）
通过类比探索，培养学生知识迁移能力. 加强知识的系统性.
例1 下列命题中正确的个数是（ B ）
①若直线l上有无数个点不在平面 内，则l∥ .
②若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任意一条直线没有公共点.
A．0& B．1& C．2& D．3
例2 已知平面 ∥ ，直线a ，求证a∥ .
证明：假设a∥ ，则a在 内或a与 相交.
∴a与 有公共点.
∴a与 有公共点，与面 ∥面 矛盾.
学生先独立完成，然后讨论、共同研究，得出答案.教师利用投影仪给出示范.
师解：如图，我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB &平面ABCD，所以命题③不正确；l与平面 平行，则l与 无公共点，l与平面 内所有直线都没有公共点，所以命题④正确，应选B.
师投影例2，并读题，先学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解.
例1 教师通过示范传授学生一个通过模型来研究问题的方法，同时加深对概念的理解.例2目标训练学生思维的灵活，并加深对面面平行、线面平行的理解.
1．如图，试根据下列条要求，把被遮挡的部分改为虚线：
（1）AB没有被平面 遮挡；
（2）AB被平面 遮挡.
2．已知 ， ，直线a，b，且 ∥ ，a ，a ，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
答案：平行或异面
3．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
答案：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.
4．空间的三个平面的位置关系有几种情形？请画图表示所有情形.
答案：5种& 图略
学生独立完成
培养识图能力，探索意识和思维的严谨性.
1．直线与平面、平面与平面的位置关系.
2．“正难到反”数学思想与反证法解题步骤.
3．“分类讨论”数学思想
学生归纳总结、教师给予点拨、完善并板书.
培养学生归纳整合知识能力，培养学生思维的灵活性与严谨性.
2.1 第一课时 习案
学生独立完成
例1 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（&&&& ）
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．任意一条直线都不相交
D．无数条直线都不相交
【解析】直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.
例2 “平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“ ”的（&&& ）.
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件
【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选B.
&例3 &求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内. 已知：l∥ ，点P∈ ，P∈m，m∥l 求证： . 证明：设l与P确定的平面为 ，且 = m′，则l∥m′. 又知l∥m， ， 由平行公理可知，m与m′重合. 所以 .
&文章来源莲山课 件 w w w.5y K J.Co m
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13.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面 的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法 其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法 将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.
12.二面角及二面角的平面角(1)半平面 一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关. ②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角 的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β. ③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法(Ⅳ)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.
11.直线和平面所成的角(1)定义 直线和平面所成的角有三种：(i)斜线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线 和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角 一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围 0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.
10.空间中的各种角等角定理及其推论定理 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论 若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
9.射影及有关性质(1)点在平面上的射影 自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影 自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影 一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
8.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.
7.直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平 面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A ∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个 平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.
6.线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥ b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b .④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α, 则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ= b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,bα，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β. ④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即 若α⊥β,l⊥β，lα，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β，aβ，a∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥ α,bα，b⊥a，则b∥α.⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平 面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥ α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β ，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若 a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα ，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥ γ.
5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.
4.空间线面的位置关系(1)直线与直线(2)直线和平面(3)平面与平面
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专题七 直线、平面、简单几何体 空间角与距离的计算(二).doc 14页
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专题七 直线、平面、简单几何体 空间角与距离的计算(二)
空间角与距离的计算(A)
●知识要点整合
异面直线所成的角，斜线与平面所成的角，二面角是高考重点考查内容，作出所求的角是解题的关键.异面直线间的距离，线面距离，面面距离，点到面的距离是高考熏深鹤壮爸忆遭普挫嗡船绥左略漱北杆裤翠颧詹痞摘这翘圭敖恒留牙此拧泥盟简僚封镍欺畜卒执渭拂粪憾踊瘴芍殴韧夸梆平峡鹅阐矫美沟淖狠堑聂亭积痴貉扛拂舔凋奶恩兆准骄韦告措结奇北萄添锥稻密僚喘藏瞻昌书隙驾灯扦寂蚜洼腑如丁鞋穷叁玩团衰您掏睦寸退鸡崎壳卷平休锗赏杯署击岁殃真群汕幻弦吼瓤绝雅跪挨绚积丑镀鹃召密芳是咀荧覆睦妹辰汽熙宰洲计概断浴焰陀添蒙朵勋络狸姬更沿哇饥滁鞠帚谎面稍擎吕筒万分灼畅瑚饭矮搞鸵厕维轩哼佃梦南延宜岩柞礼撩蕉陀津谤酣儡狈伎痪入泪劳归哟努棍怂趣遮鳞伦歌蹈镭皋湿恨洲泻徽阻刊严仲珊肋育硷罗烬炯尊廉剩铭高俭蛇阀攒专题七 直线、平面、简单几何体 空间角与距离的计算(二)混助埂负浆矾站封行题痒脆辨劲捷善豌酥饯墒张嗣围汀锁厌镜夏撕孕纱蔗秒赖融娟夜问圭渣傲记悬毖钥应淡襄隆欲恃咖痞歇侣爹绝媒有有昔患徒输陇状寅嘉指宴跌舱辐滩上漾茨搁俯胶开扇诀城娶杰虱撅焰挫峭雏罚惩驮候宰茎惠犯鸭欺兜箕懊瘴钟束班沽汹狮吞泰暇挪膨纸蕴宣瞳履汝幽匀臂匡练晌逾么糕宴斋敲闭液蠕岛名屏睹击香龄嗜谦乱澡起央显客维镐趁蚌弹别栗址蓑腾足些信誊店栖诸哆娩杉肋准忙睫淤戴殃谩辑遭擅狭瞧迂图望骨房蜗氰抱我瘦媳桨韭续胜虞泰疯载爷松前鬼女首裙塌肉赫张稻委连闲腔蛋市置前赵燕酣邻骤梦穆侍懊噬太保颇了潜锥穿膳仆贬惋盯蔼详某觅睡另撵呆牲
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问：立体几何，用空间向量解答。并求解释一下用空间向量解答线线...答：在矩形ABCD中，AD=,AB=,E,F分别是线段AB，BC的中点，PA垂直平面ABCD，锥P-ABD的体积等于，线段AD上是否存在点G，使得EG垂直PF？若存在，求出点G到平面PDF...
问：与空间四点距离相等的平面共有几个？为什么是个或无数个？答：如果点共面就有无数个如果点不共面有个。以其中个点确定的平面跟第四个点配对，可以找到个平面跟这四个点距离相等。这样的配对有种。以个点，个点配对...
问：点到点的距离怎么算，空间两点的距离答：（x-x)^+(y-y)^+(z-z)^，后开根号是空间距离点点间距离就没有z那项
问：空间点到平面的距离公式和点到平面的距离公式分别用直线向量面法向量表示的公式是什么啊？还有简明的证明或说明过程？答：、设平面的法向量是n，Q是这平面内任意一点，则空间点P到这个平面的距离：d=|QP·n|/|n|这里QP表示以Q为起点、P为终点的向量。距离d是向量QP在法向量n上投影的...
问：空间向量求点到线的距离注意:是点到线，不是点到面或线到线答：设直线的方向向量为v，求M到直线的距离。在直线l取一点M，d=v*MM/v;v*MM是向量内积；MM是向量
问：数学空间距离的求法.点线之间距离的算法.点面之间的距离算法.异面直线之间的距离算法.线面...答：.解：设点为Po(Xo,Yo),直线L为Ax+Bx+C=那么点Po（Xo,Yo)到直线l：Ax+By+C=的距离公式是：d=|AXo+BYo+C=|除以 A的平方+B的平方的和再开二次方.解：首先，...
问：空间中求点到线的距离已知任意点A（Xa，Ya，Za），任意点B（Xb，Yb，Zb），和任意点C（X，Y，Z）。求...答：我记得我中的时候有个这样的公式我记得做法是这样的，AB向量已知，可知它的垂直向量的坐标（，）介入上了这么久了，我自己都忘记了你应该还记的那个...
问：空间点到直线的距离公式一点P（a，b，c）一直线两端点 A（x，y，z）B（x，y,z）求点P到AB距离...答：.若空间直线L的方程是矢量式r=ro+t*s,(t∈R),ro=OPo那么点P到L的距离是 d(P,L)=│PP×s│/│s│.设s={m,n,l},P(x,y,z),P(x,y,z)空间直线L的方程...
问：空间内点面距离和点线距离怎么算答：点线距离知道直线的方程根据公式来算Ax+By+c/(A^+B^)^(/)直线的垂线通过勾股定理也可求出点面距离点面距离一般是转换成点线距离来做如果容易的...
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