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人走路为什么要靠静摩擦静摩擦不是两个物体相对静止吗？如果说是脚蹬地的那一刻，脚与地面是相对静止的，那么，比如说滑动摩擦，有总有一刻，物体与接触面是静止的吧。怎么解释》？
RosE情义甏看°
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受力面不一样了如果按你说的“总有一刻”的话，的确，物体与接触面是静止的，但是时间也静止了，这个你没考虑到物体的惯性是导致静摩擦和滑动摩擦不一样的原因之一滑动摩擦的计算最好还是靠微积分的方法来算
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岩石的剪切破坏面与最小主平面之间的夹角与岩石的内摩擦角之间存在什么样的关系?
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这个太专业了,土木工程专业的可能能回答,或者在这类书籍,这个好像涉及什么摩尔-库仑强度理论,我不太清楚.
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岩石泊松比与内摩擦角的关系研究
第 30 卷 增 1 2011 年 5 月岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and EngineeringVol.30 Supp.1 May，2011岩石泊松比与内摩擦角的关系研究张年学 1，盛祝平 2，李 晓 1，李守定 1，赫建明 1(1. 中国科学院地质与地球物理研究所 中国科学院工程地质力学重点实验室，北京 100029； 2. 德州农工大学 农业生命科学研究中心，美国 德州 79927)摘要：在纯张破坏时的泊松比与内摩擦角关系式基础上，推导出纯剪破坏时的泊松比与内摩擦角关系式，定义由 泊松比与内摩擦角确定的剪破坏、脆性剪破坏、塑性剪破坏与张破坏及流动变形破坏分布区域。根据试验数据分 析，确立张剪破坏与剪张破坏的线性分界线，建立脆性剪破坏判别条件半经验关系式。据此关系式，进行泊松比 与内摩擦角的互算、单试样抗剪强度的计算及岩石细观破坏类型的分区。与岩石三轴压缩试验资料进行对比分析， 解释岩石试样破坏类型发生的力学机制。实例表明，用泊松比计算单试样抗剪强度的方法具有实用价值，而且利 用岩石破坏类型分区图可辅助预测岩石可能的破坏方式与类型。 关键词：岩石力学；泊松比；内摩擦角；单试样抗剪强度；破坏类型；压缩试验 中图分类号：TU 45 文献标识码：A 文章编号：11)增 1C2599C11STUDY OF RELATIONSHIP BETWEEN POISSON′S RATIO AND ANGLE OF INTERNAL FRICTION FOR ROCKSZHANG Nianxue1，SHENG Zhuping2，LI Xiao1，LI Shouding1，HE Jianming1(1. Key Laboratory of Engineering Geomechanics，Institute of Geology and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100029，China；2. Texas AgriLife Research，Texas A&M University，Texas 79927，USA)Abstract：Based on relationship between Poisson′s ratio and angle of internal friction for pure tensile failure，the relationship between Poisson′s ratio and angle of internal friction for pure shear failure is deduced；the shear， brittle shear，plastic shear and tensile failures as well as creep deformation distribution zones are defined by Poisson′s ratio and angle of internal friction. Based on the analysis of test data， linear boundary lines for tensile the shear and shear tensile failures are determined；the semi-empirical formulae of brittle shear failure criteria are established. According to the semi-empirical formulae，Poisson′s ratio and angle of internal friction and shear strength of single rock specimen can be calculated easily；the mesoscopic failure modes of rock can be zoned. By comparing with the results of triaxial compression tests，the mechanisms for different rock failures are explained. The case study demonstrates that it is practical to use the Poisson′s ratio to calculate shear strength of single rock specimen. The classification of rock failure zones can be used in prediction of failure modes and failure types. Key words：rock mechanics；Poisson′s ratio；angle of internal friction；shear strength of single rock specimen； failure types；compression tests 题，为岩石质量评价、破坏方式、类型、性质或机1引言制判别以及岩体或建筑物稳定性分析提供了不可或 缺的基础数据。受岩石材料复杂微结构的影响，岩 石力学参数试验结果的分散性往往较大，因此，通岩石力学参数的研究是岩石工程的一个重要课收稿日期：；修回日期：基金项目：国家重点基础研究发展计划(973)项目(，)；国家自然科学基金资助项目() 作者简介：张年学(1936C)，男，1960 年毕业于北京地质学院水文地质与工程地质专业，现任研究员，主要从事工程地质、地质灾害与岩石和岩体力 学等方面的研究工作。E-mail：.cn? 2600 ?岩石力学与工程学报2011 年常要求做多种和多组试验，以便获得多个样品的均 值与方差等统计参数，进行统计分析，得到满足工 程要求的参数，这些试验要花费一定的精力与经费。 但是许多岩石力学参数是互相关联的，研究它们之 间的关系，由试验获取一些参数，然后计算出另外 一些参数，不失为一种省时省力的办法，同时还有 可能利用这些参数判别岩石的其他性质。要建立岩 石力学参数之间的关系，一般用理论推导公式或试 验数据方法建立经验关系式，这些关系式中的岩石 力学参数在一定的力学模型条件下反映参数之间的 联系。 岩石在单轴、三轴压缩试验中，通常有 3 种典 型破坏形式[2] [1-2]此外，B. Vasarhelyi[6]提出一个用完整岩块泊松 比估计岩体泊松比的方法。该方法利用内摩擦角、 泊松比和岩体分类指数的关系，得出岩体质量降低 时泊松比增加的结论。 岩石三轴压缩试验所获得的泊松比与内摩擦角 等参数，在一定程度上能反映岩石的力学与强度特 性。通常内摩擦角大、泊松比小的岩石硬而脆，内 摩擦角小、泊松比大的岩石软而塑，其破坏类型或 形式又与岩石的受力环境与条件相关。 在以上研究基础上，本文研究了岩石剪切、纯 剪、张剪与脆性剪破坏时的泊松比与内摩擦角之间 的关系，可由一组岩石的单轴或三轴压缩试验获取 泊松比与平均内摩擦角，用以估算单块样的抗剪强 度。此外，根据前人给出的张破坏关系式和本文给 出的纯剪、脆性剪、剪张与张剪及其线性分界线关 系式与一些试验结果对比，得出岩石破坏类型分区 图，可用于辅助预测或判断工程岩石开始发生破坏 的类型与性质，同时解释了不同类型性质破坏的机 制。，即脆性张破坏、脆性剪切破坏和塑性剪切破坏。前 2 种称为脆性破坏，第 3 种称为柔 性破坏 ，包括塑性剪破坏和流动变形 2 种，但是 目前并没有完全建立或给出明确的分类标准或判 据。之后，孙广忠 又补充了 2 种破坏形式：剪张 破坏与沿软弱结构面的滑动破坏。在三轴压缩试验 中，当逐渐增大围压 σ 3 时，岩石会由脆性破坏转化 为柔性破坏的塑性剪破坏或流动变形破坏 ，另外， 郭 志 [5] 根据压缩试验的宏观破坏情况划分了更多 的破坏类型。 K. G. Stagg 和 O. C. Zienkiewicz[1]研究了张破坏 时泊松比与内摩擦角的关系，根据临界有效拉应力 (最大张应变)或“张力切开”原理，可得tan ? = 1 ? 2ν 2 ν (1 ? ν )[4] [3]2无黏聚力材料泊松比与内摩擦角的 纯剪破坏关系式假设地层中任一深度 h 处地压为 γ h ，侧压力系数为ν / (1 ? ν ) ，则该点侧压力 Pc = γ hν / (1 ? ν ) 。在 高为 H 的剖面 OB 两边应取得力的平衡，左右两侧(1)侧压力相等而抵消，如图 1 所示。若假定该地层是 无黏聚力的沙，上述解释仍然正确。假若在瞬间把 剖面 OB 左边部分移开，那么右边的沙会瞬间沿着 摩擦角(休止角)滑下，也就是说，左边的侧压力可 以用右边的直角三角形 OAB 下滑体下滑力的水平 分力作为等效力代替，因为该水平分力也是与剖面 左边部分的侧压力相抵消而处于平衡状态。假设三 角形高为 H，沙的内摩擦角或休止角为 ? ，重度为式中：? ，ν 分别为岩石的内摩擦角和泊松比。式(1) 只适用于压缩试验的纯张破坏。 孙广忠 [2-3] 在研究岩块的无裂隙连续介质岩体 破坏判据(即强度理论)时，从 Mohr-Coulomb 强度理 论出发，推导出剪切破坏强度判据另一公式，即 1 ν = (1 ? sin ? ) (2) 2 根据式(2)，对张破坏与剪破坏建立如下判别标 准：当 ν ＜(1 ? sin ? ) / 2 时，为张破裂破坏；当 ν ≥(1 ? sin ? ) / 2 时，为剪破裂破坏。式 (2) 与式 (1)的计算结果完全相同，但比式 (1) 简单得多。从孙广忠 [2-3] 的推导可以看出， MohrCoulomb 强度准则与张破坏强度判据相等时导出的公式应当为张剪破坏判别式。故可认为，ν ≤(1 ? sin ? ) / 2 时应为宏观张破坏和纯拉张破坏的判图1 Fig.1 无黏聚力沙受力分析别式。Force analysis of non-cohesive sand第 30 卷增1张年学等：岩石泊松比与内摩擦角的关系研究? 2601 ?γ ，则单位宽度的三角形滑体的体积为V=下滑力的水平分力为图 2 为宏观剪破坏泊松比与内摩擦角分布范H 2 tan ?2(3)围。曲线①，②围成的范围即为岩石宏观剪破坏时ν 与 ? 的分布范围，低于曲线①的区域为宏观张破坏(包括拉伸张破坏)的分布区，高于曲线②的区域 为塑性流动变形破坏分布区。90Fh = γ V sin ? cos ?将式(3)代入式(4)得cos ? 2 高度为 H 的三角形左边的总侧压力为 Fh =2(4)γH2(5)80 70 60 剪破坏曲线② 剪张破坏曲线⑤ 张破坏曲线① 张剪破坏曲线④ 剪破坏线性曲线③ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Pc =γν 1 ?ν∫H 0h dh =γν H 2(1 ? ν )2(6)? /(° )50 40 30 20 10 0 0.0下滑力的水平分力 Fh 与侧压力 Pc 相等时有cos ? =ν1 ?ν(7)式(7)由无黏聚力沙材料模型的力平衡式导出， 左侧的侧压力若大于右侧滑体下滑力的水平分力， 滑体将剪切推上，反之，将产生流动摩擦下滑。而 滑动是一种纯剪切运动，同时，无黏聚力的沙又是流 动体，因此，可以认为 ν ≤ cos 2 ? / (1 + cos 2 ? ) 为纯 剪和剪破坏的判别式，而ν ＞ cos2 ? / (1 + cos2 ? ) 时为 流动变形破坏。 用理论力学的力矩平衡方法推导：以左侧重力 产生的水平侧压力力矩与右侧滑体重力产生的对等 的下滑力力矩相等，同样可导出式(7)。推导如下： 左侧力矩为 γν H 3 M L ( FL ) = (8) 3(1 ? ν ) 右侧三角形下滑体下滑力为 γH2 γ H 2 cos ? FR = sin ? = 2 tan ? 2 右侧力臂可证得为2H d= cos ? 3 (10)ν图2 Fig.2宏观剪破坏泊松比与内摩擦角分布范围Distribution range of Poisson′s ratio and angle of internal friction for macro shear failure由于压缩试验发生宏观剪破坏得到的泊松比与 相应的内摩擦角可能落在曲线①，②所围区域的任 何地方，要寻求一个完全满足该区域的泊松比与内 摩擦角的数学关系函数非常困难，因此，应用分析 变量的定义域来构造函数以及用试验资料建立半经 验公式的方法，获得 3 个内摩擦角与泊松比的关系 式(曲线③，④，⑤)，利用这些关系式，在获得平 均泊松比(或平均内摩擦角)时计算平均内摩擦角(或 平均泊松比)。在测得单试样的泊松比时，可计算出 单试样的内摩擦角与黏聚力。3.2 构造的线性剪破坏函数关系式(9)图 3 为莫尔圆与线性包络线几何关系图。假设 使用岩石试样做三轴压缩试验(包括 σ 3 = 0 的单轴 压缩试验)，实际发生的宏观破坏形式有 2 种，即前 述的张破坏与剪破坏。从微观角度看，这 2 种破坏 常常是微观张破坏与剪破坏的结合。在此仅研究剪(11)右侧力矩为M R = FR d =γ H33cos 2 ?τ令左右力矩相等，并简化可得cos ? =ν1 ?ν(12)c ? 45° O? ?23有黏聚力材料泊松比与内摩擦角的 剪破坏关系式σ3σcσ1 σ图3 envelope莫尔圆与线性包络线几何关系图Fig.3 Sketch of geometric relationship of Mohr circles and linear3.1 摩擦角与泊松比确定的宏观剪破坏分布区范围? 2602 ?岩石力学与工程学报2011 年破坏遵守 Coulomb 线性方程的三轴压缩试验，剪应 力 τ 可表示为0.5) = 1 ，即泊松比为 0.5。(2) 泊松比为 0 时，侧压力系数等于 0，表明材料受压后纵向与侧向都不变 形，即为刚体。材料破坏必须变形，表明内部发生 了剪切或拉张裂隙，因此，不变形的刚体其抗剪与 抗压强度理论上为无穷大，而根据 Coulomb 公式， 时抗剪强度为无穷大，故理 只有内摩擦角等于 90° 。 论上泊松比为 0 时，对应的内摩擦角为 90° (3) 式τ = σ tan ? + c(13)根据莫尔圆可得τ=σ1 ? σ 32cos ? (1 ? sin ? )(14) (15)σ = σ3 +σ1 ? σ 32(1)，(2)和(5)都是对应泊松比为 0.5 时摩擦角为 0° ，对应泊松比为 0° 时摩擦角为 90° 。大多数岩石的泊 松比为 0.1～0.4，砂岩、页岩和岩盐可达 0.45[8]。在 张破坏曲线①与剪破坏曲线②围成的由 ν 与 ? 值确 定的宏观剪破坏范围内，可以有很多条剪破坏类型 曲线，要反映这个区域的剪破坏情况，只有用一系 列的曲线来表达。内摩擦角与泊松比成线性关系必 是其无数函数关系中的一种。根据它们的定义域， 假设有如下直线关系式：因此，式(13)右侧第一项可改写为 σ ? σ3 σ tan ? = σ 3 tan ? + 1 (1 ? sin ? ) tan ? 2 根据图 3 或张年学等 的研究可得 σ ? σ3 ? c= 1 tan(45o ? ) ? σ 3 tan ? 2 2 一形式 Coulomb 表达式，即 σ1 ? σ 3 σ ? σ3 cos ? = 1 (1 ? sin ? ) tan ? + 2 2 σ1 ? σ 3 ?? ? tan ? 45o ? ? 2 2? ?[7](16)(17)将式(14)～(17)代入式(13)得到三轴压缩试验另? = 90o ? 180oν(18)将式(22)代入式(21)得(22)当 σ 3 = 0 时， σ 1 = σ c ，而有单轴压缩试验另一f (? ) = f (ν ) = tan(90oν )(23)Coulomb 表达式，即σc2cos ? =σc2(1 ? sin ? ) tan ? +σc?? ? tan ? 45o ? ? (19) 2 2? ?将 ν = 0.1，0.2，0.3，…代入式(22)，(23)，由 ， ， ，…，再将 式(22)得到的 ? 值分别为 72° 54° 36° ? 值代入式(21)，由此可知，式(23)与式(21)计算结 果是相同的。因此，可用式 (23)代替式 (20)中第三 项，得式(18)，(19)中，由内摩擦角函数确定的 3 项系 数相同，化简得?? ? cos ? ? (1 ? sin ? ) tan ? ? tan ? 45o ? ? = 0 2? ?(20)ν=arctan[cos ? ? (1 ? sin ? ) tan ? ] 90o(24)式(20)为三角函数恒等式，3 项均为内摩擦角的 函数。式(13)的抗剪强度与正应力呈线性增长关系， 内摩擦角对特定岩石假定为常数。式 (18)～ (20)由 式 (13)演变而来，式(20)左侧第二项为使抗剪强度保 持线性增长时与轴向压力和围压差之半的常系数； 式(20)左侧第三项则是黏聚力假定为常数时与内摩 擦角的关系系数。其中是否有一项与泊松比有关？ 经分析，把式(20)左侧第三项假设为函数： ?? ? tan ? 45o ? ? = f (? ) 2? ?式(24)与(22)若代入同一 ? 值， 其计算结果是相 同的。因此，证明三轴压缩试验宏观的剪破坏泊松 比与内摩擦角理论上的函数关系之一为直线关系， 称其为剪破坏的线性关系式，因为它由 Coulomb 公 式黏聚力 c 的系数导出，而与 c 值假设为常值有关， 如图 2 中曲线③所示。B. Vasarhelyi[6]研究了如下一种情况： Mindlin理论中岩石侧压力系数与 Jaky 公式中无黏性土正 常固结静止侧压力系数相等，即(21)连续介质 ( 包括除松散介质与扩容现象外的岩 石)泊松比的定义域为[0，0.5]，内摩擦角的定义域 ， ]。当泊松比等于 0.5 时，内摩擦角应为 为[0° 90°ν / (1 ? ν ) = 1 ? sin ?(25)把式(25)的 ? - ν 曲线与张、剪破坏曲线进行比 较(见图 4)，可见其处于该张、剪破坏曲线之间。(如水)；当泊松比为 0 时，内摩擦角等于 90° 。依 0°据为：(1) 水不能抗切向力，即水没有抗剪强度， ，而水中任一点任一方向的压力都 内摩擦角为 0° 等 于 γ h ，所以侧压力系数 η = ν / (1 ? ν ) = 0.5 / (1 ?B. Vasarhelyi[6]对式(25)包含的物理意义未作解释。土和岩石侧压力系数相结合的 ? -ν 曲线，位于岩石 剪破坏分布区域的原因可能是：土的应力与应变关 系曲线多是非线性的，在不同应力或应变阶段的切第 30 卷增190 80 70张年学等：岩石泊松比与内摩擦角的关系研究30 剪破坏曲线 式(25)曲线[6] 式(27)曲线[6] 张破坏曲线 25 20 c/MPa 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 试验数据 拟合曲线? 2603 ?内摩擦角? /(° )60 50 40 30 20 10 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5νσc /MPa(a) c 与 νσc 的关系 30 25 20 c/MPa 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 试验数据 拟合曲线泊松比ν? -ν 关系曲线与张、剪破坏曲线的比较 Fig.4 Comparisons of ? -ν relation curves with tensile and图4 shear failure curvesνσc /[2(1－ν)]/MPa线模量和泊松比都是变化的，土在压缩时若发生剪 胀，泊松比可大于 0.5，土相比于岩石要发生较大 的塑性或流动变形后破坏，土的破坏属于塑性或流 动变形破坏。因此，硬岩石的侧压力系数与相对较 软土的侧压力系数相等而被平均或中和。Fig.5 图5(b) c 与 νσc /[2(1－ν)]的关系试验数据确定的黏聚力与泊松比关系Relationships between cohesion and Poisson′s ratio based on experimental dataB. Vasarhelyi[6]还引用了 G. Greschik 对式(25)的一个近似关系式，但错误地表示为根据式(14)，(15)和单轴压缩的莫尔圆，有τ= σ=σc2cos ?(30) (31)ν = (183o ? ? ) / 163o正确的公式为(26)σc2(1 ? sin ? )将式(28)，(31)代入式(13)，得ν= (83o? ? ) / 163o(27)式(27)曲线如图 4 所示。当 0.2＜ν ＜0.5 时，其 与式(25)的 ? 值误差小于 2° 被认为是可靠的； ＜ ， νν=cos ? ? (1 ? sin ? ) tan ? 2(32)比较式 (20) ，可用 tan(45o ? ? / 2) 代替 cos ? ?0.2 时 ? 值误差增大。式(27)与式(22)形式上相同，但系数不同。式(25)，(27)处于剪破坏区域的部分也 能反映岩石在特定应力环境下由 ? - ν 确定的破坏 关系。3.3 试验数据确定的内摩擦角与泊松比函数关系(1 ? sin ? ) tan ? ，从而可得ν=tan(45o ? ? / 2) 2(33)对 14 组岩石三轴压缩试验数据进行了分析研 究，其中 6 组岩石黏聚力与泊松比、单轴抗压强度 之积呈线性关系(见图 5(a))，即将式(29)，(31)代入式(13)，得 tan(45o ? ? / 2) ν= 1 + tan(45o ? ? / 2)(34)图 2 中曲线④，⑤由式(33)，(34)得出。其中张 破坏曲线①是一条下弯曲线；剪破坏曲线②在 0＜c = νσ c(28)ν ＜0.25 范围内略为下弯，0.25＜ν ＜0.5 范围内上弯；线性剪破坏曲线③则把曲线①，②包围的剪破 坏区域分为 2 个部分，并在ν = 0.125 时与剪破坏曲 线相交， ν ＜0.125 时高于剪破坏曲线， ν ＞0.125 时低于剪破坏曲线；曲线④位于线性剪破坏曲线与 张破坏曲线之间，称为张剪破坏曲线；曲线⑤则在另有 4 组岩石的黏聚力和侧压力系数的 1/2 与 抗压强度之积呈线性关系(见图 5(b))，即c=νσ c 2(1 ? ν )(29)? 2604 ?岩石力学与工程学报2011 年剪破坏曲线与线性剪破坏曲线之间，称为剪张破坏 曲线，它在ν = 0.25 处与剪破坏曲线相交，ν ＜0.25 时前者高于后者，ν ＞0.25 时则相反。根据 14 组不同岩石发生脆性破坏的三轴试验 数据，以式(19)中 Kσ c / 2 与νσ c / [2(1 ? ν )] 的关系作 图 7。由图 7 可见，全部试验点大致分布在一条线 性包络线之下，若用该线性包络线代替 K 曲线，可 用 Rν / (1 ? ν ) 代替 (1 ? sin ? ) tan ? = K ，代入式 (20) 得到如下泊松比与内摩擦角的半经验公式：4脆性破坏与泊松比的关系一般认为脆性破坏是指岩石在弹性变形阶段结束、没有或仅有很小的塑性变形时即发生破坏。孙广 忠[2-3]从围压与抗压强度之比来研究脆性破坏与塑 比，结论认为：一般来说，张破裂转化为剪破裂的 转化压力为(1/4～1/5) σ c ，而脆性破裂转化为塑性变 形的转化压力为(1/3～2/3) σ c 。νσc /[2(1－ν)]/MPaν≤40 35 30 25 20 15 10 5 0tan ? (1 ? sin ? ) R + tan ? (1 ? sin ? )(35)性破坏转换，给出了不同岩石围压 σ 3 与 σ c 的转化试验数据 包络线Coulomb 公式假设岩石的 c， ? 值为常数，抗剪强度与法向压力(正应力)呈线性增长关系，若把 单轴压缩试验也看作 σ 3 = 0 的三轴压缩试验，许多 试验表明在这种情况下多发生宏观脆性张破坏；而051015 Kσc/2/MPa202530图7 Fig.7脆性破坏时 Kσc/2 与νσc /[2(1－ν)]关系σ 3 ＞0 且小于一定数值时多发生脆性剪破坏，莫尔 包络线保持线性；σ 3 大于一定数值时，莫尔包络线 在线性阶段后将发生向下弯曲，表明 ? 值变小，这时发生塑性剪破坏；流动变形破坏的莫尔包络线几 乎没有线性部分，整条曲线下弯。因此，保持线性 是发生脆性破坏的必要条件，而要保持线性必须保 持 ? 值不变。因此，Coulomb 公式只适合脆性剪破 坏与张破坏，不适合塑性剪破坏和流动变形破坏， 但 Coulomb 公式反映的脆性剪破坏与张破坏范围与 塑性剪破坏和张破坏范围的区分、或者说在多大的Relationship between Kσc/2 and νσc /[2(1－ν)] for brittle failure由图 6 可知，当 R≈0.71 时，用同一 ? 值代入 式(35)与 (1 ? sin ? ) tan ? = K ，两式计算的ν 与 K 值 相差很小，表明脆性破坏理论曲线与实验数据相当吻 合，因此可用 K 值近似代替ν 值。即脆性破坏时有ν ≤ tan ? (1 ? sin ? )(36)由于ν 与 ? 的试验数据总有一些误差，而式(35) 计算的ν 与 K 相差很小，所以这种代替可以成立。 将式(36)对 ? 求导，令其等于 0，可得到ν 的极大值 时， 为：当 ? ≈38.17° ν ≈0.3。它的物理意义是能 发生脆性破坏的岩石的泊松比都要小于 0.3，即脆性 破坏泊松比能达到的最大值。ν 与 ? 值情况下才成立还值得研究。式(20)左侧第二项是保证 Coulomb 公式保持线 性的常量系数，要保持常量必须保持 ? 值不变。由 式(20)可知，假设 (1 ? sin ? ) tan ? = K ，K 与 ? 的关 系曲线见图 6(图中，R 为拟合替换参数)，该曲线下 的范围都属于脆性破坏。为此如果能寻求一个 K 与ν 有关的经验表达式即能解决这个问题。0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 15 30 45 60 75 K K5破坏类型分区及与试验资料的对比ν0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 905.1 破坏类型分区图 8 为不同破坏类型的 ? - ν 关系曲线分区图。 由图 8 可知，3 条曲线分别为张破坏、剪破坏与脆ν性破坏曲线，把 ? = 0° 90° ν = 0～0.5 的区域划 ～ 和 分成 5 种破坏类型区域：脆性张破坏区域①，脆性 剪破坏区域②，塑性张破坏区域③，塑性剪破坏区域 ④，流动变形破坏区域⑤。 从图 8 中可以看出，脆性张破坏区域①在部分 脆性破坏曲线上部与张破坏曲线下部，可以在 ? =? /(° )图 6 K，ν 与 ? 关系曲线(R = 0.71) Fig.6 Relation curves of K，ν and ? when R = 0.71第 30 卷增1张年学等：岩石泊松比与内摩擦角的关系研究? 2605 ?90 脆性破坏曲线 80 70 ⑤ 60 ② 50 剪破坏曲线 40 张破坏曲线 ④ 30 ① 20 ③ 10 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5当岩石的 0.268 4＜ν ＜0.5(ν = 0.268 4 为剪破 坏与脆性破坏曲线交点)时， 一般是中等～极软的岩 土，剪张破坏曲线⑤与剪破坏曲线②之间的区域为 剪张破坏向剪破坏过渡区域，一般要在较大围压下 时，属于坚硬脆性 发生；当ν ＜0.268 4 ， ?＞ 52.72° 岩石，剪破坏曲线与脆性破坏曲线围成的这个小区 域比较特殊(见图 8)：坚硬脆性岩石发生纯剪破坏 要在极大围压情况下，又因岩性在高围压下也可能 变软，从而使泊松比变大进入流动破坏区域，因此， )时，硬岩在高围压下可能 当ν ＜0.268 4 ( ?＞ 52.72° 向剪破坏与流动变形 2 个方向之一发展。5.3 破坏类型曲线与试验资料的比较?/(° )ν图8不同破坏类型的?-ν 关系曲线分区图Fig.8 Zones of ?-ν relation curves for different failure types0° 90° ～ 范围内发生，但最大泊松比要小于 0.277 5；脆性剪破坏区域②由一部分脆性破坏曲线与张破坏 大部分应 曲线上部围成， 其最大泊松比要小于 0.3， ，这个区 小于 0.277 5，最小内摩擦角要大于 26.5° 域是 Coulomb 公式适用的范围；塑性张破坏区域③ 位于脆性破坏曲线与张破坏曲线下部，最大内摩擦 ，泊松比为 0～0.5，但在小泊松比时， 角要小于 26.5° ，因此一般不包括岩石；塑 内摩擦角一般小于 15° 性剪破坏区域④由部分脆性破坏曲线、张破坏曲线 与剪破坏曲线围成，其最小泊松比为 0.268 4，内 ～ ，但大部分区域是处在大泊松 摩擦角为 0° 52.72° 比与低内摩擦角范围，它可能包括部分岩石和土，张破坏、剪破坏及脆性破坏曲线与试验资料的 比较如图 9 所示。图 9 中，试样 S1，S2，S3 取自 郭 志[5]的研究， 这些试样绝大多数为均质而密实的 脆性岩石。 志[5]对 3 种试样做了单轴和不同围压 郭 的三轴压缩试验，本文对如下每种岩石试样均取其ν 与 ? 的上下区间值：试样 S1 为岩浆岩，包括花岗 岩、正长岩、玄武岩、安山岩等 9 种火成岩，这些岩石为脆性岩石，试验数据表明，大多数岩石发生 脆性剪张破坏，少数为脆性张剪破坏， ν = 0.12～ 0.25；试样 S2 为沉积岩，包括砂岩、灰岩、砾岩、 泥岩、页岩等，为中等～较软岩石，多数岩石Hoek-Brown 方程能描述这个区域的强度；流动变形破坏区域⑤处于脆性破坏曲线与剪破坏曲线之上， ～ ，一般只能 泊松比为 0～0.5，内摩擦角为 0° 90° 发生在高围压情况下，小内摩擦角与大泊松比时可 能在较低围压下发生。与 K. G. Stagg 等[1-5]的破坏类 型分类相比，本文破坏类型分区给出了分类的明确 范围与参数，分类也更详尽。5.2 剪破坏区域的细分ν = 0.2～0.3，主要发生脆性剪张破坏，但个别泥岩 ν = 0.4，发生流动变形破坏；试样 S3 为变质岩，包 括片麻岩、大理岩、绢英岩、板岩等 6 种岩石，多数为脆性岩石，破坏类型大多与试样 S1 相近，ν = 0.18～0.30，但个别变质岩为软岩或片状矿物及受层、 片状结构影响， 发生轻微结构流动变形破坏，ν = 0.4 的样品发生塑性剪张破坏；试样 S4 取自湖 北省水文地质工程地质大队[9]报告，为化学沉积岩类，岩性为疙瘩状灰岩、浅灰C深灰色结晶灰岩、90 S1 S2 剪破坏曲线 80 S3 S4 70 S5 60 50 40 张破坏曲线 30 20 10 脆性破坏曲线 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4由张破坏与剪破坏曲线围成的区域是由 ? - ν 关系确定的宏观剪破坏区域，该区域反映微观或细 观破坏过程可能有所不同：把线性剪破坏曲线③与 张破坏曲线①围成的范围称为张剪破坏区域，即认 为岩石由 ? - ν 确定的点落在该区域的破坏，在微观 或细观上，首先多数开始发生的破坏是细微的张破 裂，微剪破裂较少，随后由细微张破裂与剪裂隙连 接发展成宏观的剪破坏面。由图 2 可知，由于曲线 ④位于张剪破坏区域，因此称为张剪破坏曲线；把 线性剪破坏曲线③与剪破坏曲线②围成的范围称为 剪张破坏区域，即认为开始发生的细微破坏主要是 剪破裂， 微张裂隙较少， 最终发展成宏观剪破坏面， 曲线⑤位于其间，因此称为剪张破坏曲线。?/(° )0.5ν图9张破坏、剪破坏及脆性破坏曲线与试验资料的比较 with test resultsFig.9 Comparisons of tensile，shear and brittle failure curves? 2606 ?岩石力学与工程学报2011 年灰岩、瘤状灰岩、白云质灰岩等，共有 12 个试样的 单轴压缩试验数据，破坏类型包括脆性剪张破坏与 张剪破坏， ν = 0.2～0.25，个别试样在较高围压下 发生塑性流动变形破坏；试样 S5 取自中国地质大学 (武汉)和长江水利委员会综合勘查局[10]的三轴压缩 试验，为较软的泥灰岩与含泥泥晶灰岩，3 个试样 中有 2 个出现塑性流动变形破坏，ν = 0.34～0.35。 上述软岩的流动变形破坏可用周瑞光等 [11] 的机制 来解释：其主要原因是岩石中原有的层状结构微裂 隙以及受压后产生的次生微裂隙间的滑动发生了差 异流动变形破坏。上述试样包含了脆性破坏与塑性 破坏。这些常规单轴、三轴试验数据点大多数都分 布在剪破坏和线性剪破坏曲线之间，只有个别点高 于纯剪破坏曲线，这些现象很值得进行机制探讨。密度 0.5～1.0 条/mm2，平均长度 0.08 mm，平均宽 在 平均密度 2.1 条/mm2， 度 0.005 mm； σ 1 ≥ 0.4σ c 时， 平均长度 0.134 mm，平均宽度 0.043 mm，其中， 密度增加 1～4 倍，长度增加 1.7 倍，而宽度则增加 了 8.6 倍，说明张力起主导作用；加载至 0.5σ c 时， 不仅长度和宽度增加，数量也明显增加，新增加的 微裂隙与加载轴向成 15° 30° ～ 交角， 这些增加的裂 隙为剪切裂隙；加载至(0.60～0.85) σ c 时，平均密度 达 10.5 条/mm2，平均长度 0.192 mm，平均宽度 0.045mm，裂隙宽度几乎没有增加，裂隙数量却大增，裂隙趋于加载轴向发展，并发展出几条长裂隙。上述 过程证实 Griffith 理论在单轴压力下是正确的；在(0.85～1.00) σ c 时，密度基本不再发展，少数长裂隙发展成贯通岩石试样的裂隙，岩石最终发生破坏。 此外，吕森鹏等[15]用声发射方法测量中心有圆孔的 花岗岩薄板单轴压缩的微破裂发展过程，结果表 明：岩石材料破坏过程是内部微裂隙产生和扩展过 程的宏观反映。上述岩石裂隙发展过程表明：无围 压的单轴压缩试验最初发生的裂隙性质是张裂隙与 剪裂隙，随后这些微裂隙密度、长度和宽度得到发 展，最后密度不再发展，只有少数几条裂隙发展成 张破坏面，所以多数岩石试样的破坏实际是由张剪 裂隙共同作用产生的。 图 10 为与主应力方向一致的微裂隙应力分布 初期发展的张裂隙 及其作用示意图。 由图 10 可知， 随机分布在岩石内，在轴向压力作用下，裂隙周边 张应力分布为端点最大， 中部最小[2-3](见图 10(a))， 并且较长的张裂隙端部张力也较大[3，13]6破坏机制探讨岩石的抗张强度一般比抗剪强度低，在单轴压缩时，脆性岩石主要发生张破坏。由图 9 可知，三 轴压缩试验试样在剪破坏与线性剪破坏曲线之间的 数据远多于靠近张破坏曲线一侧的数据。 对岩石破坏过程中裂隙发展的过程已有很多研 究和描述[1-3，5，12-13]，其中 Griffith 脆性破裂理论最为著名，因为岩石中含有大量方向杂乱的微裂隙或 弱面，如矿物颗粒间或胶结物接触边界、微节理、 片状矿物晶面与解理等。该理论假设有一条椭圆状 与最大主应力成 β 角的裂隙，认为裂隙的发展是从 椭圆裂隙的两端开始的，当沿裂缝方向剪应力大于 0 时，破裂最初沿与椭圆长轴呈 γ = π ? 2β 发生，最 终发展成与主应力方向一致的裂隙；当剪应力等于 0(原裂缝与主应力方向一致)时，裂缝将沿原裂缝方 向发展；当有围压时，若 σ 3 为压应力，且与裂缝端 部的张力相等，则裂缝不会发展[1]。可见前 2 种裂 缝若进一步发展，都将发展成张性破坏，但事实上 并非如此，因为岩石中有各种方向、大小不同的微 裂隙， 破坏类型有多种可能， 因此 Griffith 理论只能 说明部分微裂隙发展的初期阶段，而不能预测岩石 破坏的类型与破裂发展的方向。 志[5]则用一组正 郭 长岩在不同围压下试验的破坏现象说明了微裂隙发 展与岩石破坏类型的变化及其共同作用。 由于岩石的抗张强度最低，均质各向同性的岩 石在单轴压缩时，最初产生的微裂隙大都是张性裂 隙。董兆祥[14]用显微镜观测混合花岗岩试样在不同 单轴压力下微裂隙的大小、密度及宽度等的发展过 程：在 σ 1＜ 0.4σ c 时，原生微裂隙无明显变化，平均。 2 条裂隙 若等长且在同一高度上，在岩石内部局部区域，二者(a) 微裂隙张力分布(b) 岩桥 AD 受力情况图 10与主应力方向一致的微裂隙应力分布及其作用示 意图 Fig.10 Stress distribution and its effects of microfractures parallel to direction of principal stress第 30 卷增1张年学等：岩石泊松比与内摩擦角的关系研究? 2607 ?方向相反、大小相等而互相抵消。但二者的位置实 际上是随机分布的，且长短不一，所以张力大小也 不一样。在一个试样上，侧胀力是各个微小裂隙张 力之和，并不为 0。 由于微裂隙侧胀力方向相反，因而等于主压力 的倍数(如前述试验得到的νσ c / [2(1 ? ν )] 或νσ c )。因 此，在岩石中一微小区域，应力处于不平衡状态， 邻近的 2 条微裂缝 AB 与 CD 上下端部可形成一对 力偶(见图 10(b))，这对力偶作用在 2 条微裂隙之间 的岩桥或裂缝 AD 上，从而可分解为垂直于岩桥 AD 的一对拉力 fe 与 gh 和一对剪力 Af 与 Dg。同时， 与施加的轴向压力在 AD 上产生的剪切力 kl 和法向 压力 ok 共同作用，这样就要分析该岩桥上的张力 fe+ gh 与 ok 的大小或剪力 Af + Dg + kl 与抗剪力 (ok ? fe ? gh) tan ? + ADc 的大小。若 fe + gh＞ ok + ADc ， 岩桥可能产生张破坏；若 fe + gh＜ ok + ADc ，且剪 力 Af + Dg + kl＞(ok ? fe ? gh) tan ? + ADc 则产生剪 破坏。或者说，若张裂缝两端的张力大于岩石抗张 强度，而岩桥的抗剪强度大于剪切力，则岩石发生 张破坏；若张裂缝的抗张强度大于裂缝两端的张 力，而岩桥抗剪强度小于剪力，岩石发生剪切破 坏；若二者都发生破坏，最终发展成宏观剪破坏， 则称为张剪破坏。因此，本文把剪破坏与张破坏曲 线之间的区域大致以前述的方式划分为 2 种破坏类 型：在张破坏曲线以上、线性剪破坏曲线以下区域 称为张剪破坏类型；在线性剪破坏曲线以上、剪破 坏曲线以下区域称为剪张破坏类型；高于剪破坏曲 线的为塑性流变或柔性破坏类型；在张破坏曲线以 下的为拉张破坏类型。从而上述公式不仅可用于泊 松比与内摩擦角的相互估算，还可用于辅助判断岩 石试样的破坏类型。 上述均是基于均质各向同性岩石的讨论，如果 岩石不是各向同性，例如片理与层理发育的变质岩 和沉积岩，当平行片理或层理方向强度大于垂直方 向时，又因不易消除端部约束效应，求得的泊松比 可能偏小，反之则可能偏大。圆法或国际岩石力学学会法计算出平均的 c，? 值。 本文利用图 2 的破坏曲线，在已知单块样的泊松比 情况下，可计算出单块样的 c， ? 值及其平均值， 从而提供了抗剪参数 c， ? 值进行统计分析(均值、 标准差、变异系数等) 与工程参数置信度取值的条 件，或计算安全系数采用均值还是许用应力的“指 定强度”[13]。 下面用 4 个三轴压缩试验实例来检验上面的ν = f (? ) 曲线。为减少篇幅，其中 3 个不进行单块 样 c， ? 值计算，故不列出单试样的 σ 1 ， σ 3 值。4 个实例点(实例 1#，2#，3#，4#)由莫尔圆包络线求出 的 ? 值与测得该组单试样泊松比平均值ν 确定，如 图 11 所示。 其中， 实例 1#取自中国科学院工程地质 力学重点实验室[16]的报告，实例 2#，3#，4#取自北 京科技大学矿业研究所和太原钢铁公司峨口铁矿[17] 的报告。实例 1#在剪破坏曲线与剪张破坏曲线附 近；实例 2#靠近线性剪破坏曲线；实例 3#靠近张破 坏曲线；实例 4#靠近张剪破坏曲线，它同时又在张 破坏与线性剪破坏曲线之间，所以又可以把它作为 这 2 条曲线的平均值计算内摩擦角(见表 1)。利用 各组试验求得平均泊松比ν ，计算出的内摩擦角 ? 与莫尔圆法和国际岩石力学学会法得出的内摩擦角 比较，实例 1 用剪破坏曲线计算与莫尔圆法的误差 为 0.98%，与国际岩石力学学会法误差为 0.22%； 用剪破坏曲线公式计算与上述 2 种方法误差分别为 1.02%和 2.02%；实例 2 用线性剪破坏曲线计算，与 上述 2 种方法误差分别为 2.44%和 2.09%；实例 3 用张破坏曲线公式计算与上述 2 种方法误差分别为 2.13%和 1.27%；实例 4 用张剪破坏曲线公式计算， 误差分别为 3.93%和 4.81%。4 个实例表明误差多数 很小，对工程应用这些方法完全可以接受。90 80 70 60 1# 2# 3# 4#? /(° )50 40 30 20 10 0 0.07用破坏曲线计算内摩擦角与黏聚力 的实例此前的方法中，除张年学等[7]的近似方法可用0.10.20.30.40.5三轴试验单试样数据计算单块样的抗压与抗拉强度 外，还没有一种用三轴试验单试样的数据计算单试 样 c， ? 值的方法，只能根据一组试验数据用莫尔Fig.11 图 11ν实例点与破坏曲线的位置关系Position relationships of test results and failure curves? 2608 ?岩石力学与工程学报2011 年表14 组岩石用泊松比计算的内摩擦角与传统方法结果的比较Table 1 Comparisons of calculated angles of internal friction using Poisson′s ratio of four rock specimens and their results of conventional methods实例 编号 1#岩性 晶屑凝灰岩 石英角闪片岩 石英黑云母片岩 云母石英片岩平均泊松比 ν 0.211 0.258 0.254 0.216内摩擦角? /(° ) 莫尔圆法 国际岩石力学学会法 剪破坏曲线 线性剪破坏曲线 张破坏曲线 张剪破坏曲线 剪张破坏曲线 59.44 44.65 30.11 41.95 58.99 44.49 29.85 41.60 58.86 43.56 29.47 43.60 60.052# 3# 4#表2 Table 2试样 编号 1 2 3 4 5 6云母石英片岩单试样 c，?值计算结果Calculated values of c，? of single specimen of mica-quartzite schist张剪破坏曲线 张破坏曲线 线性剪破坏 曲线? /(° ) 66.96 46.26 41.04 45.90 55.62 51.12 51.15 单试样张破坏与线性剪破坏平均值σ1/MPa84.6 85.7 142.7 179.0 246.3 271.4 平均值σ3/MPa0.0 0.0 10.2 20.4 30.4 40.8ν0.128 0.243 0.272 0.245 0.191 0.216 0.216? /(° )61.3 38.1 32.9 37.8 48.2 43.3 43.6c/MPa 10.82 20.85 29.45 23.02 6.96 11.33 17.07? /(° )48.07 30.93 27.13 30.66 38.17 34.61 34.93? /(° )57.52 38.60 34.09 38.28 46.90 42.87 43.04宏观破坏形式c /MPa12.32 20.62 28.26 22.34 9.89 12.42 17.64张剪破坏 剪破坏 剪破坏 剪破坏 剪破坏 剪破坏实例 4#为云母石英片岩，有 6 个试样(编号为 1～6)，已知单试样的泊松比 ν ， σ 1 和 σ 3 ，计算单 试样的 c，? 值。由于用莫尔圆法计算的 c，? 值点 位于张剪破坏曲线附近，因此可用张剪破坏曲线计 算单试样的内摩擦角；同时它又在张破坏与线性剪 破坏曲线之间，又可用该 2 条曲线计算的内摩擦角 的平均值代替该试样的内摩擦角(值得注意的是， 凡 是ν ， ? 值确定的点落在上述 5 条曲线的任意 2 条 曲线之间，即可利用此 2 条曲线计算 2 个内摩擦角 的平均值为其内摩擦角；若在一条曲线上或其附近 则可用该曲线计算单块样的内摩擦角)。再利用式(17) 计算单试样的黏聚力。2 种方法的计算结果见表 2。 莫尔圆法计算的 ? = 41.95° c = 17.78 MPa；国际岩 ，方法计算单试样的 c， ? 值只有不大的差别。可以 看出， 虽然是同一种岩石， 但单试样的内摩擦角变化 范围为 32.1° 61.3° ～ ，黏聚力为 6.96～29.45 MPa， 这很容易误认为单试样的抗剪强度与其 c， ? 值分 散性很大，代表性很差，但黏聚力小时，内摩擦角 则较大，黏聚力大时，内摩擦角较小，除个别试样(试样 1 宏观破坏形式为张剪破坏)不可靠应剔除外，几乎都在抗剪强度拟合恒等线附近(见图 12)，这表 明单试样的抗剪强度接近相等，由此证明用上述破 坏曲线法计算的抗剪强度是可信的。60 50 40 抗剪强度? /(° )石力学学会法计算的 ? = 41.60° c = 18.21 MPa。用 ， 张破坏曲线计算的平均值与上述 2 种方法比较，前 者误差分别为 3.39% 和 3.99% ；后者误差分别为4.81%和 6.26%；用张破坏与线性剪破坏曲线的平均30 20 10 0 0拟合恒等线值与上述 2 种方法比较，前者误差分别为 2.60%和0.79%；后者误差分别为 3.46%和 3.13%。该组试样 2 种方法计算的平均 c， 值与莫尔圆法及国际岩石 ?1020 c/MPa3040力学学会法的差别都不大，误差多在 5%以内。2 种图 12 实例 4#的单试样抗剪强度及其强度拟合恒等线 Fig.12 Shear strength of rock specimens of case #4 and its fitting trend line第 30 卷增1张年学等：岩石泊松比与内摩擦角的关系研究? 2609 ?LI Xiao. 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Labuz[18]在进行砂岩的三轴试验时，注意到非对称性对内摩擦角的影响。因此，内 摩擦角与泊松比以及试验环境条件显然存在某种内 在联系，研究这些联系可以揭示岩石的一些性质和 变形破坏行为。本文建立了泊松比与内摩擦角关系 的剪破坏与脆性破坏等 5 条破坏曲线，在此基础上 进行了破坏类型分区：(1) 脆性张破坏，(2) 脆性剪 破坏，(3) 塑性张破坏，(4) 塑性剪破坏，(5) 流动 变形破坏。利用这些曲线可对岩石的破坏类型进行 分类，用以预估工程岩石的破坏性质，同时可利用 这些曲线对单试样进行 c， ? 值计算，提供了抗剪 强度进行统计分析与强度取值的条件。本文的讨论 研究仅仅是初步的，要进一步揭示和解释岩石的力 学行为是不够的，今后还需要作更深入的研究。参考文献(References)：[1] STAGG K G，ZIENKIEWICZ O C. 工程实用岩石力学[M]. 成都地 质学院工程地质教研室译. 北京： 地质出版社， 1978.(STAGG K G， ZIENKIEWICZ O C. Rock mechanics in engineering practice[M]. Translated by Department of Engineering Geology，Chengdu Geology Institute. Beijing：Geological Publishing House，1978.(in Chinese)) [2] 孙 广 忠 . 岩 体 力 学 基 础 [M]. 北 京 ： 科 学 出 版 社 ， 1983.(SUN Guangzhong. Fundamental rock mass mechanics[M]. Beijing：Science Press，1983.(in Chinese)) [3] 孙广忠. 岩体结构力学[M]. 北京： 科学出版社， 1988.(Sun Guangzhong. Rock mass structure mechanics[M]. 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