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重新安装浏览器，或使用别的浏览器=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-；③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{；fY(y)={1/y2?f(1/y),y≠0;0；①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F；②当y；③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{OX；故这时取FY(y)=0,综上所述fY(y)={f；习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均；解
=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y), 故这时fY(y)=[-F(1/y)]′=1/y2f(1/y);； ②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y), 故这时fY(y)=1/y2f(1/y); ③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0), 故这时取fY(0)=0, 综上所述
fY(y)={1/y2?f(1/y),y≠0;0,y=0. (2)FY(y)=P{Y≤y}=P{OXO≤y}. ①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y) 这时fY(y)=f(y)+f(-y); ②当y<0时，FY(y)=P{?}=0, 这时fY(y)=0; ③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{OXO≤0}=P{X=0}=0, 故这时取FY(y)=0, 综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>0;0,y≤0. 习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同. 解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为
FY(y)=P{Y≤y}={0,y0, 于是，Z的分布函数为
FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}
={0,FX(z)1 由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1. FX(z)1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.
总复习题二 习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率. 解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为
元=300000元. 设1年中死亡人数为X, 则X～b(), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须 0000即X>15(人). 因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}
=∑k=0k(0.002)k×(0.998)2500-k
≈1-∑k=0,15;e-5*5^k/k!≈0.000069, 由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的. (2)P{保险公司获利不少于100000元}
=P{000X≥100000}=P{X≤10}
=∑k=010C)×(0.998)2500-k≈∑k=0,10;e-5*5^k/k!≈0.986305, 即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.
P{保险公司获利不少于200000元}
=P{000X≥200000}=P{X≤5}
=∑k=05C)k×(0.998)2500-k≈∑k=0,5;e-5*5k/k!≈0.615961, 即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%. 习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为 X
pi 1/2,1-2q,q2 试求：(1)q的值；
(2)X的分布函数. 解答：(1)\\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1, 且0≤pi≤1, ∴
{1/2+1-2q+q2=1;0≤1-2q≤1q2≤1, 解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示： X
1/22-13/2-2 (2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数
F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤xa0,其它(λ>0), 求常数c及P{a-1<X≤a+1}. 解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1, 而
∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞,a;0dx+∫a,+∞;cλe-λxdx
=c∫a,+∞;e-λxd(λx)=-ce-λx\\vlinea+∞=ce-λa, 所以ce-λa=1, 从而c=eλa. 于是
P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx
=-eλae-λx\\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ. 注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0. 习题19设随机变量X的分布律为
1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 试求Y=X2的分布律.解答：
1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
-2 -1 0 1 3 X2
1 0 1 9 所以
1/5 7/30 1/5 11/30 注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和. 习题20设随机变量X的密度为
fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数. 解答：由Y=2X+3, 有
y=2x+3,x=y-32,x′=12, 由定理即得
fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.
3.1 习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：
(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c). 习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：
(2)P{0<Y≤b};
解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0). 习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：
(3)P{X>a,Y≤b}. 解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b). 习题4设X,Y为随机变量，且
P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}. 解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}
=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}
=47+47-37=57. 习题5(X,Y)只取下列数值中的值：
(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0) 且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布. 解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：
{X=-1,Y=0},
{X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1} 均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：
0 (2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}
=0+16+512=7/12, 同样可求得
P{Y=13=112,P{Y=1}=1/3, 关于的Y边缘分布见下表： Y
7/12 1/12 1/3 习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<4;0,其它, (1)确定常数k;
(2)求P{X<1,Y<3};
(3)求P{X<1.5};
(4)求P{X+Y≤4}. 解答：如图所示(1)由∫-∞,+∞∫-∞,+∞;f(x,y)dxdy=1, 确定常数k.∫0,2∫2,4;k(6-x-y)dydx=k∫0,2;(6-2x)dx=8k=1, 所 以K=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫0,1;dx∫2,3;18(6-x-y)dy=3/8.(3)P{X<1.5}=∫0,1.5;dx∫2,4;18(6-x-y)dy=27/32.(4)P{X+Y≤4}=∫0,2;dx∫2,4-x;18(6-x-y)dy=2/3. 习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤1;0,其它, 求边缘概率密度fY(y). 解答：fX(x)=∫-∞,+∞;f(x,y)dy ={∫0,x;4.8y(2-x)dy,0≤x≤1;0,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤1;0,其它. fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx
={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤1;0,其它.
总习题三 习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处： X\\Y
解答：由题设X与Y相互独立，即有
pij=pi?p?j(i=1,2;j=1,2,3), p?1-p21=p11=1/6-1/8=1/24, 又由独立性，有 p11=p1?p?1=p1?1/6 故p1=1/4.从而p13=1/4-1/24-1/8, 又由p12=p1?p2, 即1/8=1/4?p2. 从而p2=1/2. 类似的有
p3=1/3,p13=1/4,p2?=3/4. 将上述数值填入表中有 X\\Y
习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表： 求：(1)a值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；(3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y). 解答：(1)\\because由分布律的性质可知∑i?jPij=1, 故1/4+1/4+1/6+a=1, ∴a=1/3.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} ①当x<1或y<-1时，F(x,y)=0;②当1≤x<2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4; ③当x≥2,-1≤y<0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12; ④当1≤x0时，
F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2; ⑤当x≥2,y≥0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1; 综上所述，得(X,Y)联合分布函数为
F(x,y)={0,x<1或y<-1;1/4,1≤x<2,-1≤y<0;5/12,x≥2,-1≤y<0;1/2,1≤x<2,y≥0;1,x≥2,y≥0. (3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：
FX(x)={0,x<1;1/4+1/4,1≤x<2;1/4+1/4+1/6+1/3,x≥2={0,x<1;1/2,1≤x<2;1,x≥2, 同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
FY(y)={0,y<-1;2/12,-1≤y<0;1,y≥0. 习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为 且P{X1X2=0}=1.(1)求X1和X2的联合分布律；
(2)问X1和X2是否独立？ 解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件P{X1X2=0}=1, 求出联合分布. 列表如下： X2\\X1 -1
0 21/2 P{X1=i} 1/4 1/2 1/4
1 由已知P{X1X2=0}=1, 即等价于P{X1X2≠0}=0, 可知P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0. 再由p?1=p-11+p11+p01, 得p01=1/2, p-10=p-1?=p-11=1/4,p10=p1?-p11=1/4, 从而得p00=0. (2)由于p-10=14≠p-1??p?0=14?12=1/8, 所以知X1与X2不独立. 4.1 数学期望
习题4 据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<pa), 应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？ 解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为 ∴E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0, 即a<b<a/(1-p) 对于m个人，有E(mX)=mE(X)=ma-mb(1-p). 习题8 设随机变量X的概率密度为f(x)={1-O1-xO,0<x<20,其它,求E(X). 解答：f(x)={x,0<x<1;2-x,1≤x<20,其它,E(X)=∫0,1;x?xdx+∫1,2;x(2-x)dx=∫0,1;x2dx+∫1,2;(2x-x2)dx=1/3+2/3=1. 习题10 设随机变量X的概率密度为f(x)={e-x,x>00,x≤0,求：(1)Y=2X的数学期望；(2)Y=e-2X的数学期望. 解答：(1)E(Y)=E(2X)=∫-∞,+∞;2xf(x)dx=∫0,+∞;2xe-xdx=2. (2)E(e2X)=∫-∞,+∞;e-2xf(x)dx=∫0,+∞;e-3xdx=1/3.
复变函数与积分变换 习题一 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3?5i2π2π??;i;?1;?8π(1?3i);?cos?isin?. 7i?199??3①解：3?5i?3?5i??1?7i?? 7i?1?1?7i??1?7i?三亿文库包含各类专业文献、中学教育、行业资料、高等教育、文学作品欣赏、各类资格考试、应用写作文书、专业论文、16数学习题答案等内容。　
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