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线性代数试卷及答案3套
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3秒自动关闭窗口线性代数知识点题目及解析答案
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线性代数知识点题目及解析答案&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&此线性代数题库是瀚海团队耗时大于700小时辛勤劳动的结晶，题库量800题左右，
难度适合考研学生或基础偏好的学生。将会逐年更新。它也是我们的基础题库。此题库免费供大家
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&&&& 知识点1-15题目为pdf格式，之后为swf格式，电脑用户请用ie9以上浏览器或火狐浏览器浏览；手机用户需要用QQ浏览器浏览，否则有些知识点将无法显示！
&&&& 以下知识点后的链接为各知识点的题目，含解析与答案。
第一章 行列式
知识点1：行列式、逆序数&&
知识点2：余子式、代数余子式&
知识点3：行列式的性质&&
知识点4：行列式按一行（列）展开公式&&
&&&&&&&&&&&&&& 温馨提示
&电脑用户请用ie9以上浏览器或火狐浏览器浏览，
否则点入知识点习题时可能无法显示！&&&
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手机用户请用QQ浏览器浏览！否则有些知识点将无法显示。
经检测，搜狗、遨游、UC浏览器均不能显示所有知识点的文档！
知识点5：计算行列式的方法&&
知识点6：克拉默法则&
第二章 矩阵&
知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律&
知识点8：矩阵的乘法运算及运算律&
知识点9：计算方阵的幂&
知识点10：转置矩阵及运算律&
知识点11：伴随矩阵及其性质&
知识点12：逆矩阵及运算律&&
手机操作不便拖曳的解决方法
注意！知识点&&
以后为flash格式，手机操作时会出现下拉条拖曳困难的情况（电脑无此问题），解决方法是：先点上面的适合页面，使整屏显示全页，再用手点右变得下拉条，不要拖曳，这样可以直接跳页，如下图：
知识点13：矩阵可逆的判断&&
知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算&&&
知识点15：矩阵方程的求解&
知识点16：初等变换的概念及其应用
知识点17：初等方阵的概念&&
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题库与辅导书
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知识点18：初等变换与初等方阵的关系&&
知识点19：等价矩阵的概念与判断&
知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式&
知识点21：矩阵的秩的概念与判断&
知识点22：矩阵的秩的性质与定理&
知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算&
知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例&
第三章 向量
知识点25：向量的概念及运算&
知识点26：向量的线性组合与线性表示&
知识点27：向量组之间的线性表示及等价&
知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念&&&
知识点29：线性表示与线性相关性的关系&
知识点30：线性相关性的判别法&
知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念&
知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系&
知识点33：求向量组的最大无关组&
知识点34：有关向量组的定理的综合运用
知识点35：内积的概念及性质&
知识点36：正交向量组、正交阵及其性质&&
知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法&
知识点38：向量空间（数一）&
知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）&
知识点40：基变换下的坐标变换（数一）&
第四章 线性方程组
知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构&
知识点42：非齐次方程组解的性质及结构&
知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形&&
知识点44：用初等行变换求解线性方程组&
知识点45：线性方程组的公共解、同解&
知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系&
知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例&
矩阵的特征值与特征向量
知识点48：特征值与特征向量的概念与性质&
知识点49：特征值和特征向量的求解&
知识点50：相似矩阵的概念及性质&&&
知识点51：矩阵的相似对角化&
知识点52：实对称矩阵的相似对角化.
知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂&
第六章 二次型
知识点54：二次型及其矩阵表示&
知识点55：矩阵的合同&
: 矩阵的等价、相似与合同的关系&
知识点57：二次型的标准形&
知识点58：用正交变换化二次型为标准形&
知识点59：用配方法化二次型为标准形
知识点60：正定二次型的概念及判断&扫二维码下载作业帮
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求解救!线性代数题啊《线性代数》2011年上半年第二次作业 一. 填空题（4x5=20分） 1.设向量组 线性相关,1、已知线性方程组 :2x1-x2+3x3-x4=1,3x1-2x2-2x3+3x4=3,x1-x2-5x3+4x4=2,7x1-5x2-9x3+10x4=8求：（1）对应齐次方程组的基础解系； （2）该方程组的通解。x为未知数，有四个未知数。2、已知向量组 .A=(k,2,1), B=(2,k,0), C=（1，-1,1）(1) 试求k为何值时，向量组A, B, C 线性相关？(2) 试求K为何值时，向量组A,B, C线性无关？(3) 当向量组A, B, C线性相关时，将C表示为A和B的线性组合。有50分啊啊啊，大家给力！！
奔放神4512
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1.增广矩阵 =2 -1 3 -1 13 -2 -2 3 31 -1 -5 4 27 -5 -9 10 8r1-2r3,r2-3r3,r4-7r30 1 13 -9 -30 1 13 -9 -31 -1 -5 4 20 2 26 -18 -6r1-r2,r4-2r2,r3+r20 0 0 0 00 1 13 -9 -31 0 8 -5 -10 0 0 0 0r1r31 0 8 -5 -10 1 13 -9 -30 0 0 0 00 0 0 0 0对应齐次方程组的基础解系为:a1=(8,13,-1,0)',a2=(5,9,0,1)'该方程组的通解为:(-1,-3,0,0)'+c1a1+c2a2,其中c1,c2为任意常数.2.|A,B,C| = k^2 - k - 6 = (k + 2)(k - 3)所以有(1) k=3 或 k=-2 时向量组A,B,C 线性相关(2) k≠3 且 k≠-2 时向量组A,B,C 线性无关当 k=3 时,(A,B,C) =3 2 1 2 3 -1 1 0 1 r1-3r3,r2-2r30 2 -2 0 3 -3 1 0 1 所以 C = A - B当 k=-2 时,(A,B,C) =-2 2 1 2 -2 -1 1 0 1 r1+r2,r2-2r30 0 0 0 -2 -3 1 0 1 所以 C = A + (3/2)B.高兴请加分^_^
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线性代数 B 期末试题 一、判断题(正确填 T，错误填 F。每小题 2 分，共 10 分) 判断题( 1． A 是 n 阶方阵， λ ∈ R ，则有 2． A，B 是同阶方阵，且λA = λ A，则 ( AB )。?1（ （ ( ( （） ） ) ) ）AB ≠ 0= B ?1 A ?1 。3．如果 A 与 B 等价，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。 4．若 A, B 均为 n 阶方阵，则当 5．n 维向量组A& B时， A, B 一定不相似。{α 1 , α 2 ,α 3 , α 4 }线性相关，则 {α1 ,α 2 ,α 3 } 也线性相关。）不是初等矩阵。二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 单项选择题（ 1．下列矩阵中，（?0 0 1 ? ?0 1 0 ? ? ? ?1 0 0 ? ? ? （A）2．设向量组 （A） （C）?1 0 0 ? ?0 0 0 ? ? ? ?0 1 0 ? ? ? (B)?1 0 0 ? ?0 2 0? ? ? ?0 0 1 ? ? ? (D) (C)?1 0 0 ? ?0 1 ?2? ? ? ?0 0 1 ? ? ?）。α1 , α 2 , α 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（（B） （D）α1 ? α 2 , α 2 ? α 3 , α 3 ? α1 α1 , α 2 , 2α1 ? 3α 2α1 , α 2 , α 3 + α1α 2 , α 3 , 2α 2 + α 3?12 3．设 A 为 n 阶方阵，且 A + A ? 5 E = 0 。则 ( A + 2 E )=（）(A) A ? E(B) E + A1 ( A ? E) (C) 3）。1 ( A + E) (D) 34．设 A 为 m × n 矩阵，则有（（A）若 m & n ，则 Ax = b 有无穷多解； （B）若 m & n ，则 Ax = 0 有非零解，且基础解系含有 n ? m 个线性无关解向量； （C）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax = b 有唯一解； （D）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax = 0 仅有零解。 5．若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（ （A）A 与 B 相似 （C）A=B （B） A ≠ B ，但|A-B|=0 （D）A 与 B 不一定相似，但|A|=|B| ）三、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 填空题（10 1 2 O n ?11． n0。2． A 为 3 阶矩阵，且满足A=3,则A ?1=______，3A* =。? 1? ?0? ? 2? ?1 ? ? ? ? ? ? ? α1 = ? 1 ? α 2 = ? 2 ? α 3 = ? 4 ? α 4 = ? 2 ? ? ? ? 1? ?5? ?7? ?0? ? ?， ? ?， ? ?， ? ? 是线性 3．向量组的，它的一个极大线性无关组是 。（填相关或无关）?1 ? ? ? 2 η1 = ? ? ?3? ? ? ? 4? η ,η ,η ? ?， 4． 已知 1 2 3 是四元方程组 Ax = b 的三个解，其中 A 的秩 R ( A) =3， ? 4? ? ? 4 η 2 + η3 = ? ? ? 4? ? ? ? 4? ? ? ，则方程组 Ax = b 的通解为 。? 2 ?3 1? A = ? 1 a 1? ? ? ? 5 0 3? ? ? ，且秩(A)=2，则 a= 5．设四、计算下列各题（每小题 9 分，共 45 分）。 计算下列各题（。?1 2 1 ? A = ?3 4 2 ? ? ? ?1 2 2 ? ? ? ，求矩阵 B。 1．已知 A+B=AB，且2.设 α = (1, ?1, ?1,1), β = ( ?1,1,1, ?1) ，而 A = αTβ ，求 An 。? ? x1 + x2 + ax3 = ?1 ? ? x1 ? x2 + 2 x3 = ?1 ? ? ? x + ax + x = a 2 2 3 有无穷多解，求 a 以及方程组的通解。 3.已知方程组 ? 124.求一个正交变换将二次型化成标准型2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ? 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 8 x2 x35． A，B 为 4 阶方阵，AB+2B=0，矩阵 B 的秩为 2 且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵 A 的特 征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。 五．证明题（每题 5 分，共 10 分）。 证明题（ 1．若 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵， AB ? BA 是否为对称矩阵？证明你的结论。T 2．设 A 为 m × n 矩阵，且的秩 R ( A) 为 n，判断 A A 是否为正定阵？证明你的结论。线性代数试题解答(04) 线性代数试题解答(04) 一、 1． （ （F） 2． （T）λA = λ n A）?1 0 0? ?0 0 0? ? ? ? ? ?0 1 0? B = ?0 1 0? A= ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0?， ?0 0 1?。 3． 。如反例： （F）4． （相似矩阵行列式值相同） （T） 5． （F） 二、 1．选 B。初等矩阵一定是可逆的。 2．选 B。A 中的三个向量之和为零，显然 A 线性相关； B 中的向量组与 α 1 ，α 2 ，α 3 等价,其秩为 3，B 向量组线性无关；C、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D 中的向量 组线性相关。2 A + A ? 2 E = 3 E ? ( A + 2 E ) ( A ? E ) = 3E ， 3．选 C 。由 A + A ? 5 E = 0 ?21 ?1 ? ( A + 2E ) = ( A ? E ) 3 )。4．选 D。A 错误，因为 m & n ，不能保证 R ( A) = R ( A | b) ；B 错误， Ax = 0 的基础解系含 有 n ? R( A) 个解向量；C 错误，因为有可能 R ( A) = n & R ( A | b ) = n + 1 ， Ax = b 无解；D 正确，因为 R ( A) = n 。 5 ． 选 A 。 A 正 确 ， 因 为 它 们 可 对 角 化 ， 存 在 可 逆 矩 阵 P, Q ， 使 得PAP ?1 = diag (λ1 , λ2 ,L , λn ) = QBQ ?1 ，因此 A, B 都相似于同一个对角矩阵。3三、1．(? 1)n+1 n! （按第一列展开）1 2 5 3 A ? 33 A 2． 3 ； 3 （ = ）3． 相关（因为向量个数大于向量维数） 。α1 , α 2 , α 4 。 因 为 α 3 = 2α1 + α 2 ，A =| α1 α 2 α 4 |≠ 0 。4． (1 23 4 ) + k (2 0 ? 2 ? 4 ) 。因为 R( A) = 3 ，原方程组的导出组的基础解T T系中只含有一个解向量，取为 一个特解之和即得。η 2 + η 3 ? 2η1 ，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其R( A) = 2 ? A = 0) 5． a = 6 （四、( A ? E ) B = A ? B = ( A ? E ) A 。将 A ? E 与 A 组成一个矩 1．解法一： A + B = AB ??1?1 阵 ( A ? E | A) ，用初等行变换求 ( E | ( A ? E ) A) 。?0 2 1 1 2 1? ?1 0 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 4 2? ?3 3 2 3 4 2? ( A ? E | A) = ? 1 2 1 1 2 2 ? ? (r1 ? r3 ) ? 1 2 1 1 2 2 ? ? ? ? ? ?1 0 0 0 0 1 ? ?1 0 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? 0 3 2 3 4 ? 1? ? 0 1 1 2 2 ? 2? r2 ? 3r1 , r3 ? r1 ? 0 2 1 1 2 1 ? r2 ? r3 ? 0 2 1 1 2 1 ? ? uuuuur ? ? uuuuuuuuuuuuur ? ?1 0 0 0 0 1 ? ? ? ? 0 1 1 2 2 ?2 ? ? r3 ? 2rr ? 0 0 ?1 ?3 ?2 5 ? ?rr 2 3 uuuuuuu ? uuu ?1 0 0 0 0 1 ? ? ? ?0 1 0 ?1 0 3 ? r2 ? r3 ? 0 0 1 3 2 ? 5 ? ? uuuuur ? ?1 0 0 0 0 1 ? ? ? ? 0 1 1 2 2 ?2 ? ? 0 0 1 3 2 ?5 ? ? ?。故?0 0 1 ? ? ? B = ??1 0 3 ? ? 3 2 ? 5? ? ??1。( A ? E ) B = A ? B = ( A ? E) A 。 解法二： A + B = AB ?? 0 2 1 ? ? ?1 0 1 ? ?0 0 1? ? ? ? ? ? ? ?1 ?1 ? 3 3 2 ? = ? ?1 ?1 ?3 ? ? ?1 0 3 ? ( A ? E) = B = ( A ? E) A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 ? ? 3 2 ?6 ? ，因此 ? 3 2 ?5 ? 。4A = αβ T2．解：1 ? 1? ??1 1 ? ? ? 1 ?1 ?1 1 ? =? 1 ?1 ?1 1 ? ? ? ??1 1 1 ? 1? ， A 2 = ? 4 A ， ? ?n ?1An = (αβ T )(αβ T ) L (αβ T ) = α ( β T α )( β T α ) L ( β T α ) β T = ( ?4 )αβ T = ( ?4 )n ?1A。3 ． 解 法 一 ： 由 方 程 组 有 无 穷 多 解 ， 得 R ( A) = R ( A | b ) & 3 ， 因 此 其 系 数 行 列 式1 | A |= 1 ?11a?1 2 = 0 a 1。即 a = ?1 或 a = 4 。当 a = ?1 时，该方程组的增广矩阵? ?1 0 ? ? ? 1 1 ?1 ?1 ? ? 0 1 ? ? ? ? 1 ?1 2 ?1? → ? ( A | b) = ? ? ?0 0 ? ? ? ? ?1 ?1 1 1 ? ?? ?1 ? ? ? ?3 0? 2 ? ? 0 0? ? ? 1 2于是 R ( A) = R ( A | b ) = 2 & 3 ，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系? ?1 ? ? 23 ? T 1? 2 ? ，原方程组的一个特解 ( ?1 0 0 ) ，故 a = ?1 时，方程组有无穷多解，其 3 ? 1? 2 ? ， 4 ?1 ? ?1 1 ? ? ? 0 ?2 ?2 0 ? ? ? ? ? 0 15 ? ?0 0 ，TT?1 T ( ?1 0 0 ) + k ? ? ? 2 通解为? 1 1 4 ?1 ? ? ? ? 1 ?1 2 ?1? → ( A | b) = ? ? ? ? ? ?1 4 1 16 ? 当 a=4 时 增 广 矩 阵R ( A) = 2 & R ( A | b) = 3 ，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。5? ? 1 a ?1 ? ? 1 1 a ?1 ? ? 1 1 a ?1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 ?1 2 ?1? → ? 0 ?2 2 ? a ? → ? 0 ?2 ( A | b) = 0 2?a 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 2 ? ?1 a 1 a ? ? 0 a + 1 1 + a a ? 1? ? 0 0 1 (1 + a )(4 ? a ) a 2 ? 1? ? ? ? 2 ? 1 (1 + a )(4 ? a ) = a 2 ? 1 = 0 R ( A) = R ( A | b) & 3 。因此 2 由于该方程组有无穷多解，得 ，即a = ?1 。求通解的方法与解法一相同。4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵1? λ ? 1 ?2 2 ? ? ? A = ? ?2 ?2 4 ? | A ? λ E |= ?2 ? ? ? ? 2 ? 2 4 ?2 ? ，因此得到其特征值为?2 ?2 ? λ 42 4 ?2 ? λ = ?(λ ? 2) 2 (λ + 7)λ1 = λ2 = 2 ， λ3 = ?7 。 λ1 = λ2 = 2 的两个线性无关的特征向量再求特征值的特征向量。 解方程组 ( A ? 2 E ) x = 0 ，得对应于特征值为η1 = ( ?2 1 0 )T，η 2 = ( 2 0 1)T。解 方 程 组 ( A + 7E)x = 0 得 对 应 于 特 征 值 为λ3 = ?7 的 一 个 特 征 向 量η3 = (1 2 ?2 )再 将T。Tη1 = ( ?2 1 0 )4 ? 1? 5 ? 。T，η 2 = ( 2 0 1)T正 交 化 为p1 = ( ?2 1 0 )T，?2 p2 = ? ?5?2 p2 = ? p = ( ?2 1 0 ) ?5 最后将 1 ，T4 ? T 1? 5 ? ， η3 = (1 2 ?2 ) 单位化后组成的矩 1 ? ? 3 ? 2 ? ? 3 ? ?2? 2 2 2 3 ? ? ，其标准形为 f = 2 y1 + 2 y 2 ? 7 y 3 。知 -1 ， 2 为 A 的 特 征 值 。T??2 5 ? ? 5 ? 5 ? ? 5 ? 0 ? 阵即为所求的正交变换矩阵 ?5 ． 解 ：（ 1 ） 由2 5 15 4 5 15 5 3E + A = 2E ? A = 06AB + 2 B = 0 ? ( A + 2 E )B = 0 ，故-2 为 A 的特征值，又 B 的秩为 2，即特征值-2 有两个线性无关的特征向量，故 A 的特征值为-1，2，-2，-2。 （2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2 各有一个特征向量，对应于特征值-2 有两个 线性无关的特征向量，所以 A 有四个线性无关的特征向量，故 A 可相似对角化。 （3） A + 3E 的特征值为 2，5，1，1。故 五、1． AB ? BA 为对称矩阵。 证明：A + 3E=10。( AB ? BA)T = ( AB )T ? (BA)T = B T AT所以 AB ? BA 为对称矩阵。T 2． A A 为正定矩阵。 T 证明：由 A A T Aα ≠ 0 ， α? AT B T = ? BA ? A(? B ) = AB ? BA ，() = A A知 A (A A)α = AαT T TTA 为对称矩阵。对任意的 n 维向量 α ≠ 0 ，由 R( A) = n 得2≠ 0 ，由定义知 AT A 是正定矩阵。（每空 一、填空： 每空 2 分，共 34 分） 填空： （ 1、n 阶行列式 D = aij 按照定义的完全展开式为 式中共 项。 2、设向量组 α 1 = (1 1 a ), α 2 = (2 1 a ), α 3 = (3 向量组的一个极大线性无关组为 3、 A 为三阶矩阵，且 A = ? 。 ； 该行列式的展开2 1) 线性相关，则 a =，1 ， A* 为 A 的伴随矩阵，则 ? 2 A 3 = 3，6 A* + A ?1 =。4、n 阶矩阵 A 不可逆，且 A 的伴随矩阵 A* ≠ 0 ，则线性方程组 AX = b 的一个基础解系中 含有 5 、 个解向量。 设 矩 阵A = α1 α 27(α3 α4 )，矩阵B = (α 1 ? 2α 2且 A =2α 1 + α 2 α 2 + α 33α 3 ? α 4 ) ，， A? B = 。2 ，则 ? B ?1 = 56、 A 为三阶矩阵，将 A 的第二列与第三列交换得到矩阵 B ，再把矩阵 B 的第一列加到第 二列得到矩阵 C ，则满足 AQ = C 的可逆矩阵 Q ＝ 7、设向量 α = (1 0 。? 1) T , β = (1 1 2) T , 则矩阵 A = αβ T = _______________ ，。A100 =8、若矩阵 A = ? ?2 ?? 2 ? 2? ? 与对角形矩阵 B 相似，则 B = ? 3? ?，且 A 3 + I =。 ， ，此二9、设矩阵 A 的秩为 2，且 2 A ? I ， I + A 均不可逆，则 A 的特征值为 实对称矩阵 B 与 A 相似，则二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = X BX 的规范形是T次型（填是或不是）正定二次型。二、计算题（要求写出计算过程） 计算题（要求写出计算过程）11、计算行列式 D =3+ a 3 3 3?3 ?3+ a ?3 ?31 1 1+ a 11 1 1+ a? 1 ? 1 5 ? 1?? x1 ? ? ?? ? ? 1 1 ? 2 3 ?? x 2 ? 2、求齐次线性方程组 ? = 0 的一个标准正交的基础解系。 3 ?1 8 1 ?? x3 ? ? ?? ? ? 1 3 ? 9 7 ?? x ? ? ?? 4 ?? 2 1 0? ? ? 3、设矩阵 A = ? 1 2 0 ? ，矩阵 X 满足方程 AXA* = 2 XA* + I ，其中 A* 为 A 的伴随矩 ?0 0 1? ? ?阵，求矩阵 X 。? 1 2 ? 3? ? ? 4、设矩阵 A = ? ? 1 4 ? 3 ? 有一个二重特征值 4 ，求参数 a 的值，并判断矩阵 A 能否与 ?1 a 5 ? ? ?8对角形矩阵相似，说明理由。? x1 + x 2 + x3 + x 4 = ?1 ? 三、设线性方程组 ?4 x1 + 3 x 2 + 5 x3 ? x 4 = ?1 ，问 a 取何值时，方程组有解；有解时求出 ? 2 x + x + 3 x ? 3x = a 2 3 4 ? 1方程组的通解。 四、 （14 分）已知二次型2 2 f ( x1 , x 2 , x3 ) = 17 x12 + 14 x 2 + 14 x3 ? 4 x1 x 2 ? 4 x1 x3 ? 8 x 2 x31、写出二次型的矩阵 A 2、用正交变换法将二次型化为标准形，并写出所做正交变换 X = TY 及二次型标准形。 五、证明题： 1、设矩阵 A 满足 A + 2 A ? 5 I = 0 ，证明： A 可逆，并求 A ?1 。22、设η1 与 η 2 是非齐次线性方程组 AX = b 的两个不同解，其中 A 为 m × n 矩阵， ξ 是对应 的齐次线性方程组 AX = 0 的一个非零解，证明： （1）向量组η1 , η1 ? η 2 线性无关； （2）若矩 阵的秩 r ( A) = n ? 1 ，则向量组 ξ , η1 , η 2 线性相关一、填空（每空 2 分，共 34 分） 填空（ 1、∑ (?1)σ( j1L jn )( j1L j n )a1 j1 L a njn ； n!4、12、1 ；α1 ,α 2 23、8 ；3 275、 ? 2 ；0? 1 1 0? ? ? 6、 ? 0 0 1 ? ? 0 1 0? ? ?8、 ? ?2 ? ?1 1 ? ? 7、 ? 0 0 0 ?；? A ? ?1 ?1 ? 2? ? ?9、 0,?1 ?? ? ； ? 14 ? 2? ?1 2 , ? 1 ； z12 ? z 2 ；不是 2二、计算题91、解： D =2+ a 3+ a ?3 2+a 3 ?3+ a 2+a 2+a 3 3 ?3 ?31 1 1+ a 1-------2 分1 3+ a ?3 1 1 3 ?3+ a 1 = (2 + a) 1 3 ?3 1+ a 1 3 ?3 11 a 0 0 1 0 a 0 = (2 + a) 1 0 0 a 1 0 0 0---------4分= a 3 (2 + a ) ------7 分? 2 1 ?1 1 ? ? 2 1 ?1 1? ? ? ? ? 2、解： A = ? 4 2 ? 2 1 ? → ? 0 0 0 1 ? ---------2 分 ? 2 1 ? 1 ? 1? ? 0 0 0 0 ? ? ? ? ?? 1 ? ?0? ? ? ? ? ? ? 2? ?1? , η 2 = ? ? ------------4 分 所以方程组的一个基础解系为η1 = ? 0 ? 1 ? ? ? ? ? 0 ? ?0? ? ? ? ? ? 1 ? ? 2? ? ? ? ? 1 ? ? 2? 1 ?1? , q2 = 标准正交化得一标准正交的基础解系为： q1 = ---------7 分 5? 0 ? 30 ? 5 ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0? ? ? ? ?3、解：因为 A = 3 ，由 AXA* = 2 XA* + I 可得 3 AX = 6 X + A ， 所以 X = 3( A ? 2 I ) ?1 A ------------------ 分 ------------------4?0 1 0 ? ?0 1 0 ? ? ? ? ? ?1 A ? 2I = ? 1 0 0 ? ， ( A ? 2 I ) = ? 1 0 0 ? ----------- 分 -----------6 ? 0 0 ? 1? ? 0 0 ? 1? ? ? ? ? ?3 6 0 ? ? ? X = ? 6 3 0 ? -------------- 分 --------------8 ? 0 0 ? 3? ? ?4、解：由 4 I ? A = 12 0 3 = 4 + 6a = 0 ? a = ? -------------4 分 3 ?1 ? a ?13?2310? ? ? 3 ? 2 3 ? ? 1 0 3? ? ? 因为 ( 4 I ? A) = ? 1 0 3 ? → ? 0 1 3 ? ， r (4 I ? A) = 2 ，只有一个线性无关的特 ? ? 2 ??1 ? 1? ? 0 0 0 ? ? ? 3 ? ?征向量 ，所以矩阵不能与对角形矩阵相似。---------8 分 三~、解：?1 ? ?1 1 1 1 ?1 ? ? 1 1 1 1 ? 1? ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? A = ? 4 3 5 ? 1 ? 1? → ? 0 ? 1 1 ? 5 3 ? → ?0 ?1 1 ? 5 3 ? ? 2 1 3 ? 3 a ? ? 0 ? 1 1 ? 5 a + 2 ? ? 0 0 0 0 a ? 1? ? ? ? ? ? ?所以 a = 1 时，方程组有解------------------------2 分方程组为 ?? ?x1 + x 2 + x3 + x 4 = ?1 ? x 2 + x3 ? 5 x 4 = 3? 2 ? 2 x3 + 4 x 4 ? ? ? ? ? 3 + x3 ? 5 x 4 ? ，则一般解为 X = ? ? ---4 x3 ? ? ? ? x4 ? ?分 方程组特解为：η 0 = (2? 3 0 0) ，导出组的一个基础解系为η1 = (? 2 1 1 0 ) ，TTη 2 = (4 ? 5 0 1)T -------------10 分所以方程组的通解为： X = η 0 + k1η1 + k 2η 2 ， k1 , k 2 为任意常数------------------12 分? 17 ? 2 ? 2 ? ? ? 四、1、 A = ? ? 2 14 ? 4 ? ------------------2 分 ? ? 2 ? 4 14 ? ? ?2、 λI ? A = (λ ? 18) (λ ? 9) ，所以 λ1 = λ 2 = 18, λ3 = 9 ----------5 分2对于 λ1 = λ 2 = 18, 可得两个线性无关的特征向量 η1 = (? 2 1 0 ) ,η 2 = (? 2T0 1) ，T施 密 特 正 交 化 可 得 两 个 标 准 正 交 的 特 征 向 量 q1 =1 5(? 21 0)T，q2 =1 3 5(? 2? 4 5) ---9 分T对于 λ3 = 9 ，可得η 3 = (1 22) ，标准化得 q 3 =T1 (1 2 2)T ---------11 分 311令 T = (q1q22 2 q3 ) ，则在 X = TY 下，二次型化为 f = 18 y12 + 18 y 2 + 9 y 3 --------14 分五、证明题 1、证明：因为 ( A + I )( A ? 5 I ) = I ------------------3 分 所以 A 可逆，且 ( A + I )?1= A ? 5 I 。------------------5 分2、证明： （1）设 k1η1 + k 2 (η1 ? η 2 ) = 0 ，则 k1 Aη1 + k 2 A(η1 ? η 2 ) = 0 --------1 分 即 k1b + k 2 (b ? b) = 0 ，所以 k1 = 0 ，从而 k 2 (η1 ? η 2 ) = 0 ，由η1 ≠ η 2 推出 k 2 = 0 所以η1 和 η1 ? η 2 线性无关-----------------3 分 （2）因为 n ? r ( A) = 1 ，所以 ξ 和 η1 ? η 2 线性相关，即存在不全为零的 k1 , k 2 使得k1ξ + k 2 (η1 ? η 2 ) = 0 ，∴ k1 ≠ 0 ，否则必有 k 2 ≠ 0 与 k1 , k 2 不全为零矛盾。所以 ξ = ?k2 k η1 + 2 η 2 ，即 ξ , η1 , η 2 线性相关。---------------5 分 k1 k1年河海大学线性代数试卷2007 年河海大学线性代数试卷-1 2007 年 11 月 一．填空题（每小题 3 分，共 15 分）?0 ? ?0 1．设 A = ? 0 ? ?4 ?0 0 1? ? 0 2 5? ，则 A = 3 6 8? ? 7 9 0? ?24。2．设 A 为三阶方阵，且 A = 2 ，则 |3 * A + 7 A ?1 |= 2500。3．设 A 是 m × n 阶矩阵， A 的秩 r ( A) = r(r & m, r & n) ，则齐次线性方程组。*Ax = θ 的基础解系所含解向量的个数是n-r4．设 3 阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，则 A 的伴随矩阵 2 A + 6 A 的特征值是 22，18 。2 2 238，5．设二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = 2 x1 ? 3 x 2 + 5 x3 + 2 x1 x 2 ? 4 x 2 x 3 ，则二次型 f 的系数矩12阵为?2 ?1 0 ? ? ? ?1 ? 3 ? 2? ?0 ? 2 5 ? ? ?二．选择题（每小题 3 分，共 15 分）?1 0 2? ? ? 1．设 A 是 3 × 3 矩阵，且 r ( A) = 2 ，又 B = ? 0 3 0 ? ， ?4 0 5? ? ?则 r B AB = （ B ） 。T()A．1 ；B. 2 ；C. 3 ；D. 不确定2. 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是( D )。 A． B． C． D．α1 ? α 2 , α 2 ? α 3 , α 3 ? α1 ； α 1 + 2α 2 + α 3 , α 2 + α 3 , α 1 + α 2 ； α 1 + α 2 + α 3 , 2α 1 ? 3α 2 + 22α 3 , 3α 1 + 5α 2 ? 5α 3 ； α 1 + 2α 2 + 3α 3 , 2α 1 + 3α 2 + α 3 , 3α 1 + α 2 + 2α 33．设 A 是 3 阶方阵，且 A = 1 ， A* 是 A 的伴随矩阵，则（ A ） 。 A． A* C.( )* **= A；B.(A )L L* *= A* ；*(A )= A ?1 ； n 1 1 n ?1 1 L 1 1 1D． A*( )1 1= AT4．设 Dn = 1L。 n ? 2 L 1 ，则 Dn = （ C ） L L L1A． n ! ； ；1LB．1C． ( n ? 1) !n(n ? 1) ； 2 n(n + 1) D． 25．设 A, B 都是 n 阶方阵，且 A 与 B 相似,则（ D ） 。 A． λE ? A = λE ? B ； B． A 与 B 有相同的特征值和特征向量； C． A 与 B 都相似于一个对角矩阵； D．对任意常数 t , tE ? A 与 tE ? B 相似13三．计算题（共 54 分）1 1 1． （本题 8 分）计算行列式： D4 = 1 1 1 1 0 1 1 2 1 31 1 1 2 4 8 3 9 27 4 16 64。1解：D4=0 3 8 15 0 7 26 63=32 6 8 15 = 0 2 6 = =12 12 42 7 26 63 0 12 2423123?2 5 0 ? ? ? 2． （本 题 10 分） 设 A, B 为 3 阶方阵 ，已知 A = ? 1 1 0 ? ， 并且 A, B 满 足： ? 0 0 ?1 ? ? ?A* BA = E + A ?1 ，求矩阵 B 。Q A*=|A|A-1 ∴ （A*）-1=1 A | A|∴ B=（A*）-1（E+A-1）A-1=1 A （E+A-1）A-1 | A|=1 1 -1 -1 -1 （A+E ）A = （E+A ） | A| | A|2 5|A|= 101 0 =3 0 0 ?11 ? ? ? 3 ?1 ?2 5 0 ? ? 1 ? ? ? -1 A =? 1 1 0 ? = ? 3 ? 0 0 ?1 ? ? 0 ? ? ? ?5 3 ? 0 2 3? 0 ? ? 0 ? ? ?1 ? ? ?14? ? 1 5 ? ?? ? ?1 0 0? ? 3 3 1 2 1 ∴ B= ? ?0 1 0? + ? ? ? ? 3 ?3 3? ? ?0 0 1 ? ? 0 0 ? ? ? ? ? ??? ?2 0 ?? ? 9 ? ? ?1 0 ?? = ? ? ? ?9 ? 1? ? ? 0 ?? ? ?? ?5 ? 0? 9 ? 1 0? 9 ? 0 0? ? ?λχ1 + χ 2 + χ 3 = 1 3（本题 14 分）设方程组 χ1 + λχ 2 + χ 3 = λ χ1 + χ 2 + λχ 3 = λ2(1)方程组有唯一解； (2)方程组无解； (3)方程组有无穷多解,并求出通解表示式。, 试问 λ 分别为何值时?λ 1 1 ? ?1 λ 1 解： ? 1 1 λ ? ? ?1? ?1 1 λ ? ? λ ? ?1 λ 1 → λ2 ? ? λ 1 1 ? ? ? ? ? ?λ2 ? ? λ?1? ? ? ??1 λ 1 ? ?0 λ ?1 1? λ →? 2 ?0 1? λ 1? λ ? ?λ2 ? ? λ ? λ2 ? 1 ? λ3 ? ?? ??1 ? λ λ2 1 ? ? λ (1 ? λ ) ? 1? λ ?0 λ ?1 →? 0 (1 ? λ )(2 + λ ) (1 + λ ) 2 (1 ? λ ) ? ?0 ? ? ? ? ? ∴ （1） λ ≠ -2 且 λ ≠ 1 时，方程组有唯一解。（2） λ =-2 时，方程组无解。?x = 1? x ? x 2 3 ? 1 ? （3） λ =1 时，有无量多解，通解： ? x 2 = x 2 ? ? x3 = x3 ?2 ? ? ?1 2 ? ? 4． （本题 12 分）求矩阵 A = ? 2 ? 1 ? 2 ? 特征值与特征向量。 ? 2 ? 2 ?1 ? ? ?解λ +1 - 2 - 2 (1) λE ? A = - 2 λ + 1 2 = λ3 + 3λ2 ? 9λ + 5 = (λ ? 1) 2 (λ + 5) = 0 -2 2 λ +1∴ 特征值为λ1 = 1, λ 2 = ?515当λ=-5 时? ? 4 - 2 - 2? ? 2 2 - 4 ? ? 2 2 4 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? λI ? A = ? - 2 - 4 2 ? → ? - 2 - 4 2 ? → ? 0 - 2 - 2 ? → ? 0 ? 2 2 - 4? ? - 4 - 2 - 2? ? 0 2 2? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?特征向量可取为ξ1=（-1，-1，1） 当λ=1 时1 2? ? 1 1? 0 0? ?? 2 - 2 - 2? ? 1 -1 -1 ? ? ? ? ? λI ? A = ? - 2 2 2 ? → ? 0 0 0 ? ? 2 2 2? ? 0 0 0? ? ? ? ?取特征向量为ξ2=（1，1，0） 3=（1，1，0） ，ξ ，(2) Q 设A的特征值λi , 则A ?1的特征值为 则2 E + A ?1的特征值为2 + 11λi9 5λi, 即为 : 3或5． （本题 14 分）设 α 1 = (1,?1,2,4) , α 2 = (0,3,1,2) , α 3 = (3,0,7,14) , α 4 = ( 2,1,5,10) , (1)求向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的一组极大线性无关组； (2)求一组与向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的极大线性无关组等价的单位正交向量组。?1 ? ??1 （1） ? 2 ? ?4 ?0 3 13 ? ?1 ? ? 1 ? ?0 → 5 ? ?0 ? ? 2 14 10 ? ? 0 ? ? 3 0 70 3 2? ?1 ? ? 3 3 3? ?0 → 1 1 1? ?0 ? ? 2 2 2? ?0 ? ?0 3 2? ? 1 1 1? 0 0 0? ? 0 0 0? ?取 α 1 , α 2 即为 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的极大无关组。 （2） β1 = α1 = (1,?1,2,4) ，ξ1 = (1 22,?1 22,2 22,4 22)β2 = α 2 ? ξ2 =[α 2 , β1 ] 7 1 β1 = (0,3,1,2) ? (1,?1,2,4) = (?7,73,8,16) [ β1 , β1 ] 22 221 5698则 ξ1 , ξ 2 即为单位正交向量组。16四．证明题（共 10 分） 1． （本题 5 分）设α 1 , α 2 ,L, α s 线性无关， α 1 , α 2 ,L, α s , β 线性相关，证明： β 可由 α 1 , α 2 , L , α s 唯一地线性表示。 证：因为α1，α2，…，β线性相关，所以在一组不全为 0 的数λ1，…，λm，λ， 使得：λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λβ=0 下证λ≠0，假设λ=0，则λ1，λ2，…，λm 不全为 0， 且λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λβ=0 于是向量组α1，α2，…，αm 线性相关，与已知矛盾，因此λ≠0 从而： β = ( ?λ λ1 )α 1 + ? ? ? + (? m )α m ，即β由α1，α2，…，αm 线性表示 λ λ下证表示法的唯一性 若β可由α1，α2，…，αm 线性表示为两种形式 β=k1α1+ k2α2+…+kmαm β=u1α1+ u2α2+…+umαm 两式相减得： 1-u1）α1+…+（km-um）αm=0 （k ∵α1，…，αm 线性无关，∴k1=u1(i=1,2,…,m)故表示法唯一T 2 2． （本题 5 分）设 n 方阵 A 满足：(1) A = A ；(2) A = A ；(3) A ≠ 0 ，证明： A 是正定矩阵。 证：∵A =A，即 A 为实对矩阵 2 2 ∵A -A=0 ∴λ -λ=0 设λ为 A 的任一特征根 （λ-1）λ=0 ∵ A ≠0 ∴λ≠0T即λ=1 ∴A 的特征根全大于 0 故 A 为正定阵线 性 代 数 试 卷(A) 一、选择题 选择题（每题 3 分，共 15 分） 选择题?1 a ?1 2? ? ? 若矩阵 A = ? 0 ? 1 a 2 ? 的秩 r ( A) = 2 , 则 a 的值为 _____________ ?1 0 ?1 2? ? ? 1.(A) 0 (C) - 1 (B) 0或 - 1 (D) - 1或者117* 2. 设 A 为正交矩阵，且 | A |= ?1, 则 A = _____________(A) (C)AT AT(B) - A T D） - AT3.设 α , β 是 n 维列向量, α β ≠ 0 , n 阶方阵 A = E + αβ , n ≥ 3 ，则在 A 的 n 个特征值中,必然______________ (A) 有 n 个特征值等于 1 (C) 有 1 个特征值等于 1 (B) 有 n ? 1 个特征值等于 1 (D) 没有 1 个特征值等于 1r 4. 设 A, B 为 n 阶方阵，且秩相等，既 ( A) = r ( B) , 则 ______________(A) r(A－B) = 0 (B) r (A + B) = 2 r(A) (C) r(A , B) = 2 r(A) (D) r(A , B) ≤ r ( A) + r ( B) 设矩阵 Am×n 的秩 r ( A) = n , 则非齐次线性方程组 Ax = b _____________ 5.( A) 一定无解 (C ) 一定有唯一解二、填空题 填空题（每题 3 分，共 15 分） 填空题* * 1.设 A 是 n 阶方阵 A 的伴随矩阵，行列式 | A |= 2 ，则 | 2 A | =_____________(B ) 可能有解 (D ) 一定有无穷多解∑A2. D 中第二行元素的代数余子式的和j =142j=__________ ,其中1 1D = 3. 已知实二次型1 1 11 1 ?1 11 1 1 ?1正定,则实常数1 ?1 12 f ( x1, x 2 , x3 ) = x12 + 4 x1 + 2 x3 + 2ax1 x1 + 2 x2 x3 2a 的取值范围为________________A B4. 2 n 阶行列式 B ?a ? ?0 A=? M ? ?0 ?A= ________________,其中 n 阶矩阵0 L 0? ? a L 0? M O 0? ? 0 L a? ??0 ? ?0 B=? M ? ?b ?L 0 b? ? L b 0? N M M? ? L 0 0? ?18?1 0 1? ? ? ? 0 2 0 ?， ?1 0 1? n n ?1 ? 而 n ≥ 2 为正整数，则 A ? 2 A = ______ 5. 设 A= ?三、计算题 计算题(每题 9 分,共 54 分) 计算题 1. 计算 n 阶行列式Dn =x1 ? m x2 x3 L x1 x 2 ? m x3 L M x1 M x2xn xnM M x3 L x n ? m? 2 0 0? ? 6 0 0? ? ? ? ? AX + BA ? A BX = 0，其中, A = ? 0 ? 1 0 ?, B = ? 0 1 2 ? ?0 0 1? ?0 2 1? ? ? ? ? 2. 求矩阵 X 使?1 ?13. 设非齐次线性方程组? 2 x1 + x 2 + a3 x3 + a 4 x 4 = d1 ? ? x1 ? 2 x 2 + b3 x3 + b4 x 4 = d 2 ?c x + c x + 2 x ? 3x = d 2 2 3 4 3 ? 1 1?2? ? ? ? ? 1? ?1? ? ? η2 ＝ ? 1 ? ， ? ?有三个解向量? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? η1 ＝ ? 1 ? ， ? ?求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中2 2? 3? ? ? ? 2? ? 4? ? ? η3 ＝ ? 2? ? ? ai , b j , c k , d t2为已知常数)4. 已知实二次型f ( x1 , x 2 , x3 ) = 2 x1 + 3x 2 + 3x3 + 2λx 2 x3 (λ & 0) 经过正交2 2 y 2 + 2 y 2 + 5 y 3 ,求实参数 λ 及正交矩阵 Q 变换 X = QY ,化为标准形 15. 设线性方程组为 方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解 6. 在 四 元实 向 量 构成 的线 性 空 间 R 中 , 求 a 使4? x1 + x 2 + x3 + 3 x 4 = 0 ?2x + x + 3x +5x =1 ? 1 2 3 4 ? ? 3 x1 + 2 x 2 + a x3 + 7 x 4 = 1 ? x1 ? x 2 + 3 x3 ? x 4 = b ? ，问 a , b 各取何值时，线性β1 , β 2 , β 3 , β 4 为 R 4 的 基, 并 求 由 基? 1? ? ? ? 1? α4 = ? ? 1 ? ? ? 1? ? ?α 1 , α 2 , α 3 , α 4 到β1 , β 2 , β 3 , β 4 的过渡矩阵 P ,其中?1? ? ? ? 0? α1 = ? ? 0 ? ? ? 0? ? ? ?1? ? ? ?1? α2 = ? ? 0 ? ? ?0? ? ?19?1? ? ? ?1? α3 = ? ? 1 ? ? ?0? ? ??1? ? ? ? ? 1? β1 = ? ? a ? ? ?1? ? ?四、证明题 证明题(每题 8 分,共 16 分) 证明题 1. 设? ?1 ? ? ? ? 1 ? β2 = ? 2 ? a? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 1? ? ? ?1? β3 = ? ? 0 ? ? ?0? ? ??1? ? ? ? 0? β4 = ? ? 0 ? ? ? 0? ? ?α 1 , α 2 , α 3 是欧氏空间 V 的标准正交基,证明:β1 = (2α1 + 2α 2 ? α 3 ) β 2 = (2α1 ? α 2 + 2α 3 ) β 3 = (α1 ? 2α 2 ? 2α 3 )1 3 1 3 1 3也是 V 的标准正交基T 2. 设 f = X AX 是 n 元 实 二 次 型 , 有 n 维 实 列 向 量 X 1 , X 2 , 使 X 1 AX 1 & 0 ，T T X 2 AX 2 & 0 , 证明:存在 n 维列实向量 X 0 ≠ 0 ,使 X 0 AX 0 =0T线性代数考试 A 参考答案 一、选择题 1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(B) 二、填空题 1. | 2 A |= 2 ； 2. 0； 3. 三、计算题 1. 解 各列加到第一列，提出公因式* 2 n ?1| a |&7 2 2 n 2 ； 4. (a ? b ) ； 5. A n ? 2A n ?1 = 0Dn = (∑ x i ? m)i =1n1 x2 L 1 x2 ? m L M 1nxn xnM x28分M L xn ? mx2 L xn n 0 ?m L 0 (∑ xi ? m) M M M i =1 0 0 L ?m =1=( ?1) n ?1 m n ?1 ( ∑ xi ? m)i =19分 3分?1 ?1 2. ( A B ? A) X = BA?1 0 0 ? ?3 0 0 ? ?0 0 ? 2 ? X = ?0 ? 1 2 ? ? ? ? ? ?0 2 0 ? ?0 ? 2 1 ? ? ? ? ?3. 由题设条件知η1 , η 2 ,0 ? ?3 0 ?0 ? 1 1 / 2 ? X =? ? ?0 1 / 2 ? 1 ? ? ?9分η 3 是 AX = b 的三个解，因此?1? ? ? ? 3? ? 3? ? ? η 3 －η 2 ＝ ? 1 ? ? ?20? 2? ? ? ?1? ?6? ? ? η 3 －η1 ＝ ? 1 ? ， ? ?是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵 A 的秩 r ( A) ≤ 22又 A 中有二阶子式 1 因此1 ?2= ?5 ≠ 0， r ( A) ≥ 2，因此 r ( A) ＝23分η 3 －η1 ，η 3 －η 2 为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解：? 2? ?1? ? 3? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 3? ? 2 ? ?6? ? 3? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? k1 ? 1 ? + k 2 ? 1 ? ＋ ? 2 ? ， ? ? ? ? ? ?k1 , k 2 为任意常数9分?2 0 0? ? ? A = ?0 3 λ ? ?0 λ 3? ? ? 有特征值 λ1 = 1, λ 2 = 2, λ3 = 5 4. f 的矩阵 | A |= 2(9 ? λ2 ) = λ1λ 2 λ3 , λ & 0, 得λ = 2 由A 对应的线性无关的特征向量2分， A 对应的单位正交特征向量? 0? ? ? α1 = ? 1 ? ?1? ? ?? 1? ? ? α 2 = ? 0? ? 0? ? ??0? ? ? α3 = ? 1 ? ? ? 1? ? ? ， ?0? 1 ? ? η3 = ?1? 2? ? ? ? 1? ，5分， 于是正交变换 X = QY 中的正交矩阵?0? 1 ? ? η1 = ?1? 2? ? ?1?? 1? ? ? η2 = ? 0? ? 0? ? ?8分?0 1 ? ?1 2? ??1 Q = (η1 ,η 2 ,η 3 ) = ? ?1 1 ? ?2 1 A =? 3 2 ? ?1 ?1 ? 1 3 a 3 5 72 0 00? ? 1? ? 1? ? 1 1 1 ?1 0 a?4 0 0 ? ? ? ? ? ? 2 b ? 2? ? 3 1 ?1 0 ?1 09分5.0? ?1 ? ? 1? ?0 → 1? ?0 ? ? 3 ?1 b? ?0 ? ?当 a ≠ 4 时，方程组有唯一解 当 a = 4， b ≠ 2 时，方程组无解3分 5分当 a = 4， b = 2 时， r ( A) = r ( A ) ＝3 & 4，方程组有无穷多组解,其通解为21? ? 2? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1? k? ? ? ? 1 0 ? ? ? ? ? 0 ? ?0? ? ? ＋? ? ，6. 解： a ≠ 1k 为任意常数9分 2分A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) , B = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 ) , 则 ?1 ?1 ? 1 1 1 1? ?1 ? ? ? 1 1 ? 0 1 1 1? ??1 A=? B=? ? 0 0 1 1 a 2?a 0 ? ? ? ? 0 0 0 1? ?1 1 0 ? ?， ? ( β 1 , β 2 , β 3 , β 4 ) = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) P ,则 设 ? 2 ? 2 1? ? 2 ? ? ? ?1 ? a a ?1 1 0? ?1 P= A B=? a ?1 1 ? a 0 0? ? ? ? 1 1 0 0? ? ?设 四、证明题 1. 证：因为1? ? 0? 0? ? 0? ?4分9分(β1 , β 2 ) =21 ( 4(α 1 , α 1 ) ? 2(α 2 , α 2 ) ? 2(α 3 , α 3 )) = 0, ( β 1 , β 3 ) = ( β 2 , β 3 ) = 0 94分β1 = ( β1 , β1 ) = (4(α1 , α1 ) + 4(α 2 , α 2 ) + (α 3 , α 3 )) = 1， 2 = β3 = 1 β2 2所以β1 , β 2 , β 3 是 V 的标准正交基。1 98分 2 分2. 证: f 是不定二次型,设 f 的正惯性指数为 P, f 的秩为 r，则 0 & P & r ,f 可经非退化线性变换 X = QY 化为规范形 2 2 2 2 f = y1 + L + y P ? y P +1 ? L ? y r取4分Y0 = (1 0 L 0 1 0 L 0) ≠ 0 ,则有 X 0 = PY0 ≠ 0 使 T X 0 AX 0 = 1 + 0L + 0 ? 1 + 0L + 0 = 0T8分线性代数 B 期末试题 一、判断题(正确填 T，错误填 F。每小题 2 分，共 10 分) 判断题( 1． A 是 n 阶方阵， λ ∈ R ，则有 2． A，B 是同阶方阵，且λA = λ A，则 ( AB )。?1（ （ (） ） )AB ≠ 0= B ?1 A ?1 。3．如果 A 与 B 等价，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。224．若 A, B 均为 n 阶方阵，则当 5．n 维向量组A& B时， A, B 一定不相似。( （) ）{α 1 , α 2 ,α 3 , α 4 }线性相关，则 {α1 ,α 2 ,α 3 } 也线性相关。）不是初等矩阵。二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 单项选择题（ 1．下列矩阵中，（?0 0 1 ? ?0 1 0 ? ? ? ?1 0 0 ? ? ? （A）2．设向量组 （A） （C）?1 0 0 ? ?0 0 0 ? ? ? ?0 1 0 ? ? ? (B)?1 0 0 ? ?0 2 0? ? ? ?0 0 1 ? ? ? (D) (C)?1 0 0 ? ?0 1 ?2? ? ? ?0 0 1 ? ? ?）。α1 , α 2 , α 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（（B） （D）α1 ? α 2 , α 2 ? α 3 , α 3 ? α1 α1 , α 2 , 2α1 ? 3α 2α1 , α 2 , α 3 + α1α 2 , α 3 , 2α 2 + α 3?12 3．设 A 为 n 阶方阵，且 A + A ? 5 E = 0 。则 ( A + 2 E )=（）(A) A ? E(B) E + A1 ( A ? E) (C) 3）。1 ( A + E) (D) 34．设 A 为 m × n 矩阵，则有（（A）若 m & n ，则 Ax = b 有无穷多解； （B）若 m & n ，则 Ax = 0 有非零解，且基础解系含有 n ? m 个线性无关解向量； （C）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax = b 有唯一解； （D）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax = 0 仅有零解。 5．若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（ （A）A 与 B 相似 （C）A=B （B） A ≠ B ，但|A-B|=0 （D）A 与 B 不一定相似，但|A|=|B| ）三、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 填空题（0 1 2 O n ?11． n0?1。 =______，23A A= 3,则 2． A 为 3 阶矩阵，且满足3A* =。? 1? ?0? ? 2? ?1 ? ? ? ? ? ? ? α1 = ? 1 ? α 2 = ? 2 ? α 3 = ? 4 ? α 4 = ? 2 ? ? ? ? 1? ?5? ?7? ?0? ? ?， ? ?， ? ?， ? ? 是线性 3．向量组的，它的一个极大线性无关组是 。（填相关或无关）?1 ? ? ? 2 η1 = ? ? ?3? ? ? ? 4? η ,η ,η ? ?， 4． 已知 1 2 3 是四元方程组 Ax = b 的三个解，其中 A 的秩 R ( A) =3， ? 4? ? ? 4 η 2 + η3 = ? ? ? 4? ? ? ? 4? ? ? ，则方程组 Ax = b 的通解为 。? 2 ?3 1? A = ? 1 a 1? ? ? ? 5 0 3? ? ? ，且秩(A)=2，则 a= 5．设四、计算下列各题（每小题 9 分，共 45 分）。 计算下列各题（。?1 2 1 ? A = ?3 4 2 ? ? ? ?1 2 2 ? ? ? ，求矩阵 B。 1．已知 A+B=AB，且2.设 α = (1, ?1, ?1,1), β = ( ?1,1,1, ?1) ，而 A = αTβ ，求 An 。? ? x1 + x2 + ax3 = ?1 ? ? x1 ? x2 + 2 x3 = ?1 ? ? ? x + ax + x = a 2 2 3 3.已知方程组 ? 1 有无穷多解，求 a 以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ? 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 8 x2 x35． A，B 为 4 阶方阵，AB+2B=0，矩阵 B 的秩为 2 且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵 A 的特 征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。 五．证明题（每题 5 分，共 10 分）。 证明题（ 1．若 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵， AB ? BA 是否为对称矩阵？证明你的结论。242．设 A 为 m × n 矩阵，且的秩 R ( A) 为 n，判断 A A 是否为正定阵？证明你的结论。T线性代数试题解答(04) 线性代数试题解答(04) 一、 1． （ （F） 2． （T）λA = λ n A）?1 0 0? ?0 0 0? ? ? ? ? ?0 1 0? B = ?0 1 0? A= ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0?， ?0 0 1?。 3． 。如反例： （F）4． （相似矩阵行列式值相同） （T） 5． （F） 二、 1．选 B。初等矩阵一定是可逆的。 2．选 B。A 中的三个向量之和为零，显然 A 线性相关； B 中的向量组与 α 1 ，α 2 ，α 3 等价,其秩为 3，B 向量组线性无关；C、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D 中的向量 组线性相关。2 A + A ? 2 E = 3E ? ( A + 2 E ) ( A ? E ) = 3E ， 3．选 C 。由 A + A ? 5 E = 0 ?21 ?1 ? ( A + 2E ) = ( A ? E ) 3 )。4．选 D。A 错误，因为 m & n ，不能保证 R ( A) = R ( A | b) ；B 错误， Ax = 0 的基础解系含 有 n ? R( A) 个解向量；C 错误，因为有可能 R ( A) = n & R ( A | b ) = n + 1 ， Ax = b 无解；D 正确，因为 R ( A) = n 。 5 ． 选 A 。 A 正 确 ， 因 为 它 们 可 对 角 化 ， 存 在 可 逆 矩 阵 P, Q ， 使 得PAP ?1 = diag (λ1 , λ2 ,L , λn ) = QBQ ?1 ，因此 A, B 都相似于同一个对角矩阵。三、1．(? 1)n+1 n! （按第一列展开）1 2 5 3 A ? 33 A 2． 3 ； 3 （ = ）3． 相关（因为向量个数大于向量维数） 。α1 , α 2 , α 4 。 因 为 α 3 = 2α1 + α 2 ，A =| α1 α 2 α 4 |≠ 0 。254． (1 23 4 ) + k (2 0 ? 2 ? 4 ) 。因为 R( A) = 3 ，原方程组的导出组的基础解T T系中只含有一个解向量，取为 一个特解之和即得。η 2 + η 3 ? 2η1 ，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其R( A) = 2 ? A = 0) 5． a = 6 （四、( A ? E ) B = A ? B = ( A ? E ) A 。将 A ? E 与 A 组成一个矩 1．解法一： A + B = AB ??1?1 阵 ( A ? E | A) ，用初等行变换求 ( E | ( A ? E ) A) 。?0 2 1 1 2 1? ?1 0 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 4 2? ?3 3 2 3 4 2? ( A ? E | A) = ? 1 2 1 1 2 2 ? ? (r1 ? r3 ) ? 1 2 1 1 2 2 ? ? ? ? ? ?1 0 0 0 0 1 ? ?1 0 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? 0 3 2 3 4 ? 1? ? 0 1 1 2 2 ? 2? r2 ? 3r1 , r3 ? r1 ? 0 2 1 1 2 1 ? r2 ? r3 ? 0 2 1 1 2 1 ? ? uuuuur ? ? uuuuuuuuuuuuur ? ?1 0 0 0 0 1 ? ?1 0 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? 0 1 1 2 2 ?2 ? ? 0 1 1 2 2 ?2 ? ? ? r3 ? 2rr ? 0 0 ?1 ?3 ?2 5 ? ?rr ? 0 0 1 3 2 ?5 ? 2 3 uuuuuuu ? uuu ? ?1 0 0 0 0 1 ? ?0 0 1 ? ? ? ? ? B = ??1 0 3 ? ?0 1 0 ?1 0 3 ? ? 3 2 ? 5? r2 ? r3 ? 0 0 1 3 2 ? 5 ? ? 。故 ? ?。 uuuuur ?( A ? E ) B = A ? B = ( A ? E) A 。 解法二： A + B = AB ??1? 0 2 1 ? ? ?1 0 1 ? ?0 0 1? ? ? ? ? ? ? ?1 ?1 ? 3 3 2 ? = ? ?1 ?1 ?3 ? ? ?1 0 3 ? ( A ? E) = B = ( A ? E) A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 ? ? 3 2 ?6 ? ，因此 ? 3 2 ?5 ? 。 1 ? 1? ??1 1 ? ? ? 1 ?1 ?1 1 ? =? 1 ?1 ?1 1 ? ? ? ??1 1 1 ? 1? ， A 2 = ? 4 A ， ? ?n ?1A = αβ T2．解：An = (αβ T )(αβ T ) L (αβ T ) = α ( β T α )( β T α ) L ( β T α ) β T = ( ?4 )αβ T = ( ?4 )n ?1A。3 ． 解 法 一 ： 由 方 程 组 有 无 穷 多 解 ， 得 R ( A) = R ( A | b ) & 3 ， 因 此 其 系 数 行 列 式261 | A |= 1 ?11a?1 2 = 0 a 1。即 a = ?1 或 a = 4 。当 a = ?1 时，该方程组的增广矩阵? ?1 0 ? ? ? 1 1 ?1 ?1 ? ? 0 1 ? ? ? ? 1 ?1 2 ?1? → ? ( A | b) = ? ? ?0 0 ? ? ? ? ?1 ?1 1 1 ? ?? ?1 ? ? ? ?3 0? 2 ? ? 0 0? ? ? 1 2于是 R ( A) = R ( A | b ) = 2 & 3 ，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系? ?1 ? ? 23 ? T 1? 2 ? ，原方程组的一个特解 ( ?1 0 0 ) ，故 a = ?1 时，方程组有无穷多解，其T通解为( ?10 0)T? ?1 +k? ? 23 ? 1? 2 ? ， 4 ?1 ? ?1 1 ? ? ? 0 ?2 ?2 0 ? ? ? ? ? 0 15 ? ?0 0 ，T? 1 1 4 ?1 ? ? ? ( A | b) = ? 1 ?1 2 ?1? → ? ? ? ? ? ?1 4 1 16 ? 当 a=4 时 增 广 矩 阵R ( A) = 2 & R ( A | b) = 3 ，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。? ? 1 a ?1 ? ? 1 1 a ?1 ? ? 1 1 a ?1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 ?1 2 ?1 ? → ? 0 ?2 2 ? a ? → ? 0 ?2 ( A | b) = 0 2?a 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 2 ? ?1 a 1 a ? ? 0 a + 1 1 + a a ? 1? ? 0 0 1 (1 + a )(4 ? a ) a 2 ? 1? ? ? ? 2 ? 1 (1 + a )(4 ? a ) = a 2 ? 1 = 0 R ( A) = R ( A | b) & 3 。因此 2 由于该方程组有无穷多解，得 ，即a = ?1 。求通解的方法与解法一相同。4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵271? λ ? 1 ?2 2 ? ? ? A = ? ?2 ?2 4 ? | A ? λ E |= ?2 ? ? ? ? 2 ? 2 4 ?2 ? ，因此得到其特征值为?2 ?2 ? λ 42 4 ?2 ? λ = ?(λ ? 2) 2 (λ + 7)λ1 = λ2 = 2 ， λ3 = ?7 。 λ1 = λ2 = 2 的两个线性无关的特征向量再求特征值的特征向量。 解方程组 ( A ? 2 E ) x = 0 ，得对应于特征值为η1 = ( ?2 1 0 )T，η 2 = ( 2 0 1)T。解 方 程 组 ( A + 7E)x = 0 得 对 应 于 特 征 值 为λ3 = ?7 的 一 个 特 征 向 量η3 = (1 2 ?2 )再 将T。Tη1 = ( ?2 1 0 )4 ? 1? 5 ? 。T，η 2 = ( 2 0 1)T正 交 化 为p1 = ( ?2 1 0 )T，?2 p2 = ? ?5?2 T p2 = ? p = ( ?2 1 0 ) ?5 ， 最后将 14 ? T 1? 5 ? ， η3 = (1 2 ?2 ) 单位化后组成的矩T??2 5 ? ? 5 ? 5 ? ? 5 ? 0 ? 阵即为所求的正交变换矩阵 ?5 ． 解 ：（ 1 ） 由2 5 15 4 5 15 5 31 ? ? 3 ? 2 ? ? 3 ? ?2? 3 ? ?，其标准形为 知 -1 ， 22 2 f = 2 y12 + 2 y 2 ? 7 y 3 。E + A = 2E ? A = 0为 A 的 特 征 值 。AB + 2 B = 0 ? ( A + 2 E )B = 0 ，故-2 为 A 的特征值，又 B 的秩为 2，即特征值-2 有两个线性无关的特征向量，故 A 的特征值为-1，2，-2，-2。 （2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2 各有一个特征向量，对应于特征值-2 有两个 线性无关的特征向量，所以 A 有四个线性无关的特征向量，故 A 可相似对角化。 （3） A + 3E 的特征值为 2，5，1，1。故 五、1． AB ? BA 为对称矩阵。 证明：A + 3E=10。28( AB ? BA)T = ( AB )T ? (BA)T = B T AT所以 AB ? BA 为对称矩阵。 2． A A 为正定矩阵。 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 证明：由 A AT Aα ≠ 0 ， α T? AT B T = ? BA ? A(? B ) = AB ? BA ，(T) = A A知 A (A A)α = AαT T TTA 为对称矩阵。对任意的 n 维向量 α ≠ 0 ，由 R( A) = n 得2≠ 0 ，由定义知 AT A 是正定矩阵。东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷）答案及评分标准 2008 --2009 学年第 一 学期 《 线性代数 》试卷 开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷，允许带 入场年级专业:题序 得分 评卷人一二三四五总 分一、填空题（共 75 分每空 3 分）得分系别:?1 0 ? 1．设 A = ?1 2 ?1 1 ?A2 =36 .0? ? 0 ? ，则 ? A = 3? ?- 6，? 1 ? A ?1 = ? ? 1/ 2 ? - 1/6 ?0 1/2 - 1/6? ? 0 ?， 1/31? ? 0_____________ ________? 1 0 1 ?? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ?? 2． ? 0 1 0 ?? 2 0 ? = ? 2 ? 0 0 1?? 1 2 ? ?1 ? ?? ? ?3 ? ? 0? , 2? ??1 2 ? ? 2 3 ? ?5 8 ? ? ? 3 4 ? + 2 ? ?1 4 ? = ? 5 12 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 13．行列式 2 1 2 = 182 0 0，行列式 0 1 - 2 = ____12_______.学号:3 3 60 2 2， 夹角为： π / 6 ;'′ ′ 4． 两个向量 α 1 = (1, 1, 0), α 2 = (1, 2, 1) 的内积为： 3把 α 1，α 2 用施密特正交化方法得: β1 = α 1，β 2 =（ ? 1/ 2,1/ 2,0）29姓名:′ ′ 5． 若向量 β ′ = ( 4,7), α 1 = (1,2), α 2 = ( 2,3) ， β 用 α 1 , α 2 组合的表达式是 β = 2α 1 + α 2 . 则′ ′ ′ 6．向量组 α 1 = ( 2, 0, 0), α 2 = (1, - 1 , 1), α 3 = (0, 1, 0), α ' 4 = (3,1,3) 的线性相关性为：线性相关，它的秩是 3 .7．已知向量组α1=(1,0,0),α2=(2,5,2),α3=(1,5,k)线性相关,则 k =___2__________. 8．若 3 阶方阵 A 的三个根分别是 1，2，3，则 方阵 A 的行列式 A = 6?1 0 ?1 0 0? ? ? 9． 设矩阵 A= ? 0 1 0 ? 1 0 ? ，则矩阵 A 的秩为 2 ，线性方程组 A X = O 的基础 ?0 0 0 0 0 ? ? ?解系的向量个数为 3 . 10．给定线性方程组? x1 + x 2 + x3 = 1 ? , ? x1 + λx 2 + x3 = λ ? 2 （ ? x1 + x 2 + λ + 1）x3 = λ则：当λ≠1 且λ≠0 当λ= 0 时方程组无解. 时，方程组有唯一解；当λ= 1 时方程组有无穷解；?2 0 0 ? ? ? 11．矩阵 A = ?1 2 ? 1? 的特征值为： ?1 0 1 ? ? ? ?0? ? ? 为： k ? ?1 ?, k ≠ 0 . ?1 ? ? ?2、1，对应于特征值 λ = 1 的特征向量12． 设 A 设方阵 A 满足 A′A = E ,则 A = ____ ± 1 ________. 13 ． 二 次 型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x1 + 2 x1 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2 x3 + 2 x 3 的 矩 阵 的 系 数 矩 阵 为 ：2 2 2?1 1 0 ? ? ? A = ?1 2 1 ? ，该二次型为 正 定二次型. ?0 1 2? ? ?二、计算题（共 5 分）得分?2 设矩阵 A= ? ?1 ?1? ? , 求矩阵 X, 使 AX = A + 2 E 1? ?30解 由 AX = A+2E 得 X = A ( A + 2 E )?12’(A?2 1 A + 2E ) = ? ?1 1 ? ?3 - 2? ? 5? ?4 11? ? 1 0 ?~? 3? ? 0 1 ? ?3 - 2? ? -2 5 ? ?3’即X =? ?- 2 ? ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 密………………………………………………封………………………………………线……………………………………三、计算题（共 6 分） 已知向量组得分?1? ?1? ?3? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 2? ?4? ? 2? α 1 = ? ? , 　α 2＝? ? , 　α 3＝? ? , 　α 4＝? ?. 1 1 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?1? ? ? 1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ?求向量组 α 1，α 2，α 3，α 4 的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示出来.解年级专业:?1 1 ? 1 2 (α1，α 2，α 3，α 4 ) = ? ?1 1 ? ? - 11 ?3 2 ? ?1 ? ? 4 2? r ? 0 ~ 3 2? ? 0 ? ? -1 1? ? 0 ? ?0 2 0 ? ? 1 1 0 ? 0 0 1? ? 0 0 0? ?由此可知,α 1，α 2 , α 4 为一组极大线性无关向量组,α 3 = 2α 1 + α 2四、计算题（共 6 分）? x1 ? x 2 ? x3 + x 4 = ?2 求非齐次线性方程组 ? 的通解． ?2 x1 ? 2 x 2 + x3 ? x 4 = 2?1 ?1 ?1 ? 解 增广矩阵 B = ? 2 ? 2 1 ? ? ? x1 = x 2 ? x3 = x 4 + 2 1得分- 2? ? r ?1 - 1 0 0 0 ? - 1 2 ? ~? ? 0 0 1 -1 2? ? ? ? ? ?系别:2’还原成线性方程组 ?1’学号:? x1 ? ?1 ? ? 0? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ?1 ? ? 0? ?0? 可 得 方 程 组 通 解 为 ? ? = c1 ? ? + c 2 ? ? + ? ? , c1 , c 2 为 任 意 常 数 . 0 1 2 x ? 3? ? ? ? ? ? ? ? 0? ?1 ? ? 0 ? ?x ? ? ? ? ? ? ? ? 4?312’ 五、限选题 限选题（共 8 分） 限选题得分 小题中的一题，理工类学生仅限 仅限做第 小题） （经管类学生可选做第 1、2 小题中的一题，理工类学生仅限做第 2 小题）2 2 2(1)(理工类学生不做此小题 理工类学生不做此小题)已知二次型 f ( x ) = x1 + x 2 + x3 ? 2 x1 x 3 ， 理工类学生不做此小题 a） 出二次型所对应的矩阵 A b） 用配方法将二次型化为标准型， C)写出相应的可逆线性变换矩阵。0 ?1 ? 解 a） A = ? 0 1 ??1 0 ?2 2? 1? ? 0 ? 1 ? ?2 2 22’b) f ( x ) = x1 + x 2 + x3 ? 2 x1 x3 = ( x1 ? x3 ) + x 22’? y1 = x1 ? x3 ? 令 ? y2 = x2 ?y = x 3 ? 3 ? x1 = y1 + y 3 ? 即有变换 ? x 2 = y 2 ?x = y 3 ? 32 2? x1 ? ?1 0 1 ?? y1 ? ? ? ? ?? ? , ? x 2 ? = ? 0 1 0 ?? y 2 ? ? x ? ? 0 0 1?? y ? ?? 3 ? ? 3? ?22 把二次型 f ( x ) = x1 + x 2 + x3 ? 2 x1 x 3 化为标准型 f ( x) = y12 + y 22’?1 0 1 ? ? ? C) 对应变换矩阵 P = ? 0 1 0 ? ? 0 0 1? ? ?2’(2) （理工类学生必做此小题）已知二次型 f ( x) = ax1 + x 2 + 3 x3 ? 2 x1 x 2 的秩为 2, 理工类学生必做此小题） 理工类学生2 2 2a)写出二次型所对应的矩阵 A , 并求参数 ab) 求出二次型所对应的矩阵 A 的特征值 c) 求正交变换 X = PY ，把二次型化成标准形（不写正交变换）.?a ? 解 a） A = ? ? 1 ?0 ??1 1 00? ? 0? 3? ?2’Q R( A) = 2,∴ A = 0 ? a = 1b)解特征方程 A ? λE = 0 ，得 λ1 = 0，λ 2 = 2，λ3 = 3321’ 2’C） 分别解方程组 A ? λi）X = O, i = 1,2,3 ， （得单位特征向量? 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?0? ? 2? ? ? ? 2? ? ， p2 = ? ? ? ， p3 = ? 0 ? ； p1 = ? ? 2 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ?0 ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 及正交矩阵 P = ? 2 ? 2 ? ? ?0 0 ?把二次型变为标准型:? 0? ? ? 0? ， ? ? ? 1? ?正交变换 X = PY2’2 2 f = 2 y2 + 3 y31’第一部分 选择题 (共 28 分) 一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m? 1 0 0? ? ? -1 2.设矩阵 A= ? 0 2 0? ，则 A 等于（ ? ? ? 0 0 3??1 ? ?3 A. ? 0 ? ?0 ? ? 0 1 2 0 ? 0? ? 0? ? 1? ? ?? 0? ? 0 1? ? ? 2?a 11 a 21 a 12 a 22=m，a 13 a 23a 11 a 21=n，则行列式a 11 a 21a 12 + a 13 a 22 + a 23等于（）B. -(m+n) D. m-n）? ?1 ? B. ? 0 ? ? ?0 ? ?1 ? ?2 D. ? 0 ? ?0 ? ?0 1 2 0? 0? ? 0? ? 1? ? 3??1 0 ? ?3 C. ? 0 1 ?0 0 ? ?? 0 0? ? 1 ? 0 3 ? 0 1? ? ?33? 3 ?1 2 ? ? ? * * 3.设矩阵 A= ? 1 0 ?1? ，A 是 A 的伴随矩阵，则 A 中位于（1，2）的元素是（ A ? ? ? ?2 1 4 ?）A. C6 B. 6 C. 2 D. C2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB AC AB=AC AC，则必有（ ） A. A =0 B. B ≠ C 时 A=0 0 0 C. A ≠ 0 时 B=C D. |A| ≠ 0 时 B=C C A C T 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（A ）等于（ ） A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ） α α α β β β A.有不全为 0 的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0 和λ1β1+λ2β2+…λsβ s=0 B.有不全为 0 的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs） α β α β α β =0 C.有不全为 0 的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs） α β α β α β =0 D.有不全为 0 的数λ1，λ2，…，λs 和不全为 0 的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+… +λsαs=0 和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（ ） A.所有 r-1 阶子式都不为 0 B.所有 r-1 阶子式全为 0 C.至少有一个 r 阶子式不等于 0 D.所有 r 阶子式都不为 0 8.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ） η η A.η1+η2 是 Ax=0 的一个解 η η Ax= B.1 1 Ax= η1+ η2 是 Ax=b 的一个解 2 2Ax= D.2η1-η2 是 Ax=b 的一个解 Ax= C.η1-η2 是 Ax=0 的一个解 η η η η 9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（ ） A.秩(A)&n B.秩(A)=n-1 A A C.A=0 D.方程组 Ax=0 只有零解 A=0 10.设 A 是一个 n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数λ和向量α使 Aα=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量 α α α B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0 α E A α=0，则λ是 A 的特征值 C.A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量 A D.如λ1，λ2，λ3 是 A 的 3 个互不相同的特征值，α1，α2，α3 依次是 A 的属于λ1，λ2， α α α λ3 的特征向量，则α1，α2，α3 有可能线性相关 α α α 11.设λ0 是矩阵 A 的特征方程的 3 重根，A 的属于λ0 的线性无关的特征向量的个数为 k，则 A 必有（ ） A. k≤3 B. k&3 C. k=3 D. k&3 12.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） 2 A.|A| 必为 1 B.|A|必为 1 A| A -1 T D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 C.A =A A A A3413.设 A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=C AC C B C AC.则（ A.A 与 B 相似 A B. A 与 B 不等价 C. A 与 B 有相同的特征值 D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A. ?? 2 3? ? ? 3 4?T）B. ?? 3 4? ? ? 2 6??1 0 0 ? ? ? C. ? 0 2 ?3? ? ? ? 0 ?3 5 ??1 1 1? ? ? D. ?1 2 0? ? ? ?1 0 2?第二部分 非选择题（共 72 分） 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在 每小题的空格内。错填或不填均无分。1 1 5 6 = 9 25 36 115. 3.16.设 A= ??1 ?1 1 ? ? 1 2 3? B B ? ，B= ? ? .则 A+2B= ?1 1 ?1? ? ?1 ?2 4?.17. 设 A=(aij)3 × 3 ， |A|=2 ， Aij 表 示 |A| 中 元 素 aij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则 A A 2 2 2 (a11A21+a12A22+a13A23) +(a21A21+a22A22+a23A23) +(a31A21+a32A22+a33A23) = . . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则 a= 19.设 A 是 3×4 矩阵，其秩为 3，若η1，η2 为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2 个不同的解，则 η η . 它的通解为 20.设 A 是 m×n 矩阵， 的秩为 r(&n)， 则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的 A 个数为 . （α β α β = . 21.设向量α、 的长度依次为 2 和 3， 则向量α+β与α-β的内积 α+β， -β） α β α β α β 22.设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=8，已知 A 有 2 个特征值-1 和 4，则另一特征值为 . A? 0 10 6 ? ? 2? ? ? ? ? 23.设矩阵 A= ? 1 ?3 ?3? ，已知α = ? ?1? 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值 α α ? ? ? ? ?2 10 8 ? 2? ? ?为 . 24.设实二次型 f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）? 1 2 0? ? 2 3 ?1? ? ? T 25.设 A= ? 3 4 0? ，B= ? B AB （2）|4A|. A ? .求（1）AB ； ? ?2 4 0 ? ? ? ? ?1 2 1?.353 1 ?1 2 ?5 1 3 ?4 26.试计算行列式 . 2 0 1 ?1 1 ?5 3 ?3? 4 2 3? ? ? 27.设矩阵 A= ? 1 1 0? ，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB A+2B. AB=A B ? ? ? ?1 2 3?? ?2? ? 1? ? 3? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?3? 0? ?1 28.给定向量组α1= ? ? ，α2= ? ? ，α3= ? ? ，α4= ? ? . α ? α ? α ? α ? ? 0 2 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 4? ? ?1? ? 9?试判断α4 是否为α1，α2，α3 的线性组合；若是，则求出组合系数。 α α α α? 1 ?2 ?1 ? ?2 4 2 29.设矩阵 A= ? ? 2 ?1 0 ? 3 3 ? 30 2? ? 6 ?6? . 2 3? ? 3 4?求： （1）秩（A） A ； （2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。 A? 0 ?2 2 ? ? ? 30.设矩阵 A= ? ?2 ?3 4 ? 的全部特征值为 1，1 和-8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 ? ? 4 ?3? ?2AT=D T AT D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形2 f(x1,x2,x3)= x 1 + 2 x 2 ? 3x 2 + 4 x 1 x 2 ? 4 x 1 x 3 ? 4 x 2 x 3 ， 2 3-1并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 3 -1 2 32.设方阵 A 满足 A =0 =0，试证明 E-A 可逆，且（E-A） =E+A+A . A E A E A A 33.设η0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， 1， 2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系. η ξ ξ 试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2 均是 Ax=b 的解； η η ξ η η ξ （2）η0，η1，η2 线性无关。 η η η 答案： 答案： 一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共 10 空，每空 2 分，共 20 分） 15. 6 16. ?? 3 3 7? ? ? ?1 ?3 7?3617. 18. 19. 20. 21. 22. 23.4 C10 η η η η η ，c η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)） 为任意常数 n-r C5 C2 12 24. z 1 + z 2 + z 2 ? z 2 2 3 4三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）? 1 2 0? ? 2 ?2? ? ?? ? 25.解（1）AB = ? 3 4 0? ? 3 4 ? AB ? ?? ? ? ?1 2 1? ? ?1 0 ?T? 8 6? ? ? = ? 18 10? . ? ? ? 3 10?（2）|4A|=4 |A|=64|A|，而 A A A1 2 0 |A|= 3 4 0 = ?2 . A ?1 2 13所以|4A|=64? A （-2）=-1283 1 ?1 2 5 1 ?1 1 ?5 1 3 ?4 ?11 1 3 ?1 = 2 0 1 ?1 0 0 1 0 1 ?5 3 ?3 ?5 ?5 3 0 5 1 1 = ?11 1 ?1 ?5 ?5 0 5 1 1 ?6 2 = 30 + 10 = 40. = ?6 2 0 = ?5 ?5 ?5 ?5 026.解27.解 AB A+2B 即（A-2E）B=A，而 AB=A B A E B A? 2 2 3? ? -1 ? （A-2E） = ? 1 ?1 0? A E ? ? ? ?1 2 1??1? 1 ?4 ?3? ? ? = ? 1 ?5 ?3? . ? ? ? ?1 6 4 ?所以? 1 ?4 ?3? ? 4 2 3? ? ?? ? E B=(A-2E) A= ? 1 ?5 ?3? ? 1 1 0? A ? ?? ? ? ?1 6 4 ? ? ?1 2 3?-137? 3 ?8 ?6? ? ? = ? 2 ?9 ?6? . ? ? ? ?2 12 9 ?? ?2 1 3 0 ? ? 0 ?5 3 ?2? ? ? ? ? ? 1 ?3 0 ?1? ? →? 1 ?3 0 ?1? ? ? 0 2 2 4? ?0 1 1 2 ? ? ? ? ? ? 3 4 ?1 9 ? ? 0 13 ?1 12 ? ?1 ? 0 ? →? ? ?0 ? ?0 ?1 ? 0 ? →? ? ?0 ? ?0 0 3 5 ? ?1 ? ? 1 1 2 ? 0 ? →? ? ?0 0 8 8 ? ? ? 0 ?14 ?14? ?0 0 1 0 0 0 0 1 0 2? ? 1? , 1? ? 0? 0 1 0 0 3 1 1 0 5? ? 2? 1? ? 0?28.解一所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. α α α α 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3， α??2 x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 ?x ? 3x = ?1 ? 1 2 ? 2 x 2 + 2x 3 = 4 ? ?3x 1 + 4 x 2 ? x 3 = 9. ?T即方程组有唯一解（2，1，1） ，组合系数为（2，1，1）. 29.解 对矩阵 A 施行初等行变换? 1 ?2 ?1 ? 0 0 0 ? A ? →? ?0 3 2 ? ?0 9 6 0 2? ? 6 ?2? 8 ?2? ? 3 ?2? 0 2? ? 8 ?3? =B. B 3 ?1? ? 0 0?2? ? 1 ?2 ?1 0 ? 1 ?2 ?1 ? ? ? 0 3 2 8 ?3? 0 3 2 ? →? ? ? →? ? ?0 0 0 ?0 0 0 6 ?2? ? ? ? ? 0 0 0 ?21 7 ? ?0 0 0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3. B A B （2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 是阶梯形，B 的第 1、2、4 列 B 是 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组 的一个最大线性无关组。 （A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是） A 30.解 A 的属于特征值λ=1 的 2 个线性无关的特征向量为 T T ξ1=（2，-1，0） ， ξ2=（2，0，1） .? 2 5 / 5? ? 2 5 / 15? ? ? ? ? 经正交标准化，得η1= ? ? 5 / 5? ，η2= ? 4 5 / 15? . η η ? 0 ? ? 5/3 ? ? ? ? ?λ=-8 的一个特征向量为38? 1? ? 1/ 3 ? ? ? ? ? ξ3= ? 2 ? ，经单位化得η3= ? 2 / 3 ? . η ? ? ? ? ? ?2? ? ?2 / 3?? 2 5 / 5 2 15 / 15 1 / 3 ? ? ? T= ? ? 5 / 5 4 5 / 15 2 / 3 ? . ? 0 5/3 ?2 / 3? ? ?所求正交矩阵为对角矩阵?1 0 0 ? ? ? D= ? 0 1 0 ? . ? ? ? 0 0 ?8?? 2 5 / 5 2 15 / 15 1 / 3 ? ? ? （也可取 T= ? 0 ? 5/3 2 / 3 ? .） ? 5 / 5 ?4 5 / 15 ?2 / 3? ? ?31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3） -2x2 +4x2x3-7x3 2 2 2 =（x1+2x2-2x3） -2（x2-x3） -5x3 .?y 1 = x 1 + 2 x 2 ? 2 x 3 ? ? 设 ?y 2 = x2 ? x3 ， ? ?y 3 = x3 ? ?x 1 = y 1 ? 2 y 2 ? y2 + y3 ?x = y3 ? 3222即 ?x 2 =，? 1 ?2 0? ? ? 因其系数矩阵 C= ? 0 1 1? 可逆，故此线性变换满秩。 ? ? ? 0 0 1?经此变换即得 f(x1，x2，x3)的标准形 2 2 2 y1 -2y2 -5y3 . 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 2 3 32.证 由于（E-A） E+A+A ）=E-A =E， E A （E A A E A E 所以 E-A 可逆，且 A -1 2 （E-A） = E+A+A . E A A A 33.证 由假设 Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. b A 0 A 0 （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理 Aη2= b， A A η ξ A A b 所以η1，η2 是 Ax=b 的 2 个解。 η η b （2）考虑 l0η0+l1η1+l2η2=0， 0 即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0. η 0 则 l0+l1+l2=0，否则η0 将是 Ax=0 的解，矛盾。所以 η 0 l1ξ1+l2ξ2=0. 0 又由假设，ξ1，ξ2 线性无关，所以 l1=0，l2=0，从而 l0=0 . ξ ξ 所以η0，η1，η2 线性无关。 η η η3940
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