&p&Well, 建议发给高中生当课后习题&/p&&p&这个公式发现于1593年&/p&&p&所以原理不会太难, 简单的高中三角函数知识就够了.&/p&&p&其实就是倍角公式的应用.&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Csin+2x+%3D+2%5Csin+x%5Ccos+x& alt=&\sin 2x = 2\sin x\cos x& eeimg=&1&&&/p&&p&总知道吧,换种形式写:&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Csin+x+%3D+2%5Csin%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Ccos%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D& alt=&\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&然后发动 &b&秘技: 反复迭代&/b&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Csin+x+%26%3D+2%5Ccos%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Csin%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5C%5C+%26%3D+2%5E2%5Ccos%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Ccos%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D%5Csin%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D%5C%5C+%26%3D+2%5E3%5Ccos%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Ccos%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D%5Ccos%5Cfrac%7Bx%7D%7B8%7D%5Csin%5Cfrac%7Bx%7D%7B8%7D%5C%5C+%26%3D%5Ccdots+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} \sin x &= 2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}\\ &= 2^2\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\sin\frac{x}{4}\\ &= 2^3\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cos\frac{x}{8}\sin\frac{x}{8}\\ &=\cdots \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&n次迭代后就是:&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Csin+x+%3D+2%5En+%5Csin%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%5En%7D%5Cleft%28%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En+%5Ccos%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%5Ei%7D%5Cright%29& alt=&\sin x = 2^n \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right)& eeimg=&1&&&/p&&p&然后除个x&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D+%3D+%5Cfrac%7B2%5En%7D%7Bx%7D+%5Csin%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%5En%7D%5Cleft%28%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En+%5Ccos%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%5Ei%7D%5Cright%29& alt=&\frac{\sin x}{x} = \frac{2^n}{x} \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right)& eeimg=&1&&&/p&&p&对n取极限:&/p&&blockquote&尴尬了,超纲内容,重要极限: &img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B2%5En%7D%7Bx%7D+%5Csin%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%5En%7D%3D1& alt=&\lim_{n\to \infty} \frac{2^n}{x} \sin\frac{x}{2^n}=1& eeimg=&1&&&br&证明: 略, 请学有余力的同学自行证明 &&逃&/blockquote&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D+%3D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5Ccos%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%5Ei%7D& alt=&\frac{\sin x}{x} =\prod_{i=1}^\infty \cos\frac{x}{2^i}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&///equation?tex=x%3D%5Cpi%2F2& alt=&x=\pi/2& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7D+%3D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%5E%7Bi%2B1%7D%7D%3D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B8%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B16%7D%5Ccdots& alt=&\frac{2}{\pi} =\prod_{i=1}^\infty \cos\frac{\pi}{2^{i+1}}=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{16}\cdots& eeimg=&1&&&/p&&p&然后复习余弦二倍角公式: &img src=&///equation?tex=%7B%5Cdisplaystyle+%5Ccos+%7B%5Cfrac+%7Bx%7D%7B2%7D%7D%3D%7B%5Csqrt+%7B%5Cfrac+%7B1%2B%5Ccos+x%7D%7B2%7D%7D%7D%7D& alt=&{\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B2%7D%5C%5C+%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B8%7D%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B2%7D%5C%5C+%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B16%7D%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Csqrt%7B%5Csqrt%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B2%7D%2B2%7D%5C%5C+%5Ccdots%26%3D%5Ccdots+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} \cos\frac{\pi}{4}=&\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos\frac{\pi}{8}=&\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+2}\\ \cos\frac{\pi}{16}=&\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}+2}+2}\\ \cdots&=\cdots \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&综上所述:&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cdisplaystyle+%7B%5Cfrac+%7B2%7D%7B%5Cpi+%7D%7D%3D%7B%5Cfrac+%7B%5Csqrt+%7B2%7D%7D%7B2%7D%7D%5Ccdot+%7B%5Cfrac+%7B%5Csqrt+%7B2%2B%7B%5Csqrt+%7B2%7D%7D%7D%7D%7B2%7D%7D%5Ccdot+%7B%5Cfrac+%7B%5Csqrt+%7B2%2B%7B%5Csqrt+%7B2%2B%7B%5Csqrt+%7B2%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7B2%7D%7D%5Ccdots+%7D& alt=&{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }& eeimg=&1&&&/p&&hr&&p&思考题: 维达 &b&Vader &/b&是哪国人?&/p&
Well, 建议发给高中生当课后习题这个公式发现于1593年所以原理不会太难, 简单的高中三角函数知识就够了.其实就是倍角公式的应用.\sin 2x = 2\sin x\cos x总知道吧,换种形式写:\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}然后发动 秘技: 反复迭代\begin{align…
在题主所问的十七至十八世纪，法国涌现出一大批群星般璀璨的数学名家，实属历史的必然，主要可归结为四个字：&br&&br&&b&体制问题。&/b&&br&&br&在这段历史中，有一个学者、两大君主、一个机构，起到了至关重大的作用：&br&&br&一个学者是马兰·梅森；两大君主是路易十四和拿破仑；一个机构是法国科学院。&br&&br&&b&本文分四个部分：&br&1. 一切的缘起——马兰梅森的沙龙聚会&br&2. 科学院时代——太阳王治下的欧陆荣光&br&3. 后革命时代——拉普拉斯一手改进法国高等教育&br&4. 结语&/b&&br&&br&&b&1.&/b&&br&&br&最初，一切的因缘，起始于十七世纪中叶修道院里如今不算知名的数学家马兰·梅森的寓所。&br&&br&&p&马兰·梅森，法国数学家，少时毕业于耶稣会学校，是笛卡尔的同校大学长，在笛卡尔隐居的日子里，只有梅森定期与后者保持通信联系。梅森才华横溢，性格上也平易近人，他不是最杰出的学者，却与整个欧洲的科学家都建立起联系，如同同一时期作为英国皇家学会前身的英国的无形学院，在梅森身边也聚拢起一批学者，定期在他的寓所讨论科学问题。这个围绕着梅森聚拢而来的科学家沙龙聚会，后来被称作梅森学院，是当时整个欧洲的学术交流中心。&/p&&br&&p&来自荷兰外交世家的、后来的光学大宗师、官富二代惠更斯，即是在青年时代，由自己的外交官父亲介绍，先师从笛卡尔，又通过书信交流成为梅森的弟子。&/p&&br&&p&名噪一时的神童帕斯卡年仅十四岁，已经显出了非凡的数学天分。梅森把他接纳进梅森学院，鼓励帕斯卡在托里拆利的基础上更进一步，后来帕斯卡提出了帕斯卡定律。&br&&/p&&br&&p&梅森的另一位朋友费马，与帕斯卡同时开拓了概率论这一数学分支，被后世誉为最杰出的业余数学家，即使是不懂数学的人，也多少听过费马定理。&/p&&br&&p&梅森去世在1648年，他的遗产中留下与欧洲多达78位学者的珍贵信函，对各个科学领域均有涉猎，其中包括费马、伽利略、托里拆利、笛卡尔、惠更斯。&br&&/p&&br&&p&而他留下的最珍贵的遗产，梅森学院，后来成为了巴黎皇家科学院的前身。&/p&&br&&p&最终，1666年，巴黎皇家科学院建立。&br&&/p&&br&&img src=&/b814e8e83de751dd7337b9b_b.jpg& data-rawwidth=&758& data-rawheight=&556& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&758& data-original=&/b814e8e83de751dd7337b9b_r.jpg&&&p&&i&油画：1666年，柯尔贝尔向路易十四引荐皇家科学院成员。引自维基百科&/i&&i&French Academy of Sciences词条&/i&&/p&&br&&p&&b&2.&/b&&/p&&br&&p&当时，法国处于年轻的路易十四治下。这位后来以“太阳王”名垂于世的君主刚刚迎来了自己的亲政，决定建设一所官方科学院来推动法国科学的发展。&/p&&br&&p&这座学院后来被正式定名巴黎皇家科学院（Académie royale des sciences de Paris），路易十四提供了丰富的赞助，来免除科学家的后顾之忧。他的得力干将柯尔贝尔，这位平日精打细算的财务大臣，此刻开始以简单粗暴大笔撒钱的手段迅速聚拢起一批杰出的学者。他以梅森学院的法国科学家为班底，又挖来外国的优秀人才。&/p&&br&&p&首先莅临的外籍院士是荷兰人惠更斯，这位当年梅森一手提携的年轻人已经成为一流的学者，柯尔贝尔以三倍于其他法国院士的薪水，聘请惠更斯成为巴黎皇家科学院首任院长，将这位荷兰科学家留在巴黎近二十年。&/p&&br&&p&另一位外籍科学家乔瓦尼·多美尼科·卡西尼（Giovanni Domenico Cassini）来自意大利博洛尼亚大学，是杰出的天文学家，执掌博洛尼亚大学天文学系多年，以对木星和火星观测闻名，如今成为巴黎天文台的执掌人。&/p&&br&&p&英国皇家科学院虽然也冠以皇家二字，但由科学家自然形成，研究内容少有组织，基本由会员凭兴趣随意而定。17世纪末学会曾一度没落，靠着后来牛顿出任院长，大力整顿，才终于有所起色。&/p&&br&&p&而巴黎科学院在强大的财政支持及惠更斯-卡西尼双核心的支撑下，借助行政力量，强势崛起，成为欧洲大陆的学术中心。巴黎迅速建立起一套挖掘人才、教育人才的长效机制，整个欧洲大陆的知名学者云集于此，久居他乡的异国学者，也可以以通讯院士的身份与巴黎取得联系。&/p&&br&&p&1672年，巴黎科学院的执掌者惠更斯迎来了雄心勃勃的年轻政治家，莱布尼茨。&/p&&br&&p&莱布尼茨是德意志人，此来巴黎，本承担外交任务，却结识了惠更斯，走上科学坦途。&/p&&br&&p&莱布尼茨开始在惠更斯的指导下，开始系统地学习数学，大师指导之下，数学功力更见提高。此后他遍访名师，两度访问伦敦，与当时一流的科学家交流学习。&/p&&br&&p&仅仅经过数年，莱布尼茨便独立于牛顿在1675年再次发明了微积分，而且记号体系更为明晰，沿用到今日。自此莱布尼茨开始了与海峡对岸漫长的关于微积分发明权的争吵。争吵日益激烈，海峡两岸剑拔弩张，最终英法两岸的数学家分道扬镳。也由于英国学者沉醉民族荣光，坚持使用牛顿不够先进的点记法，导致英国的数学几乎在此后的一个多世纪都落后于法国。&/p&&br&&p&在巴黎科学院的努力下，不计出身、只唯学术，几乎名噪一时的大师均被网罗帐下。&/p&&br&&p&百科全书派首脑达朗贝尔，只是出身低微的私生子，由于在学界颇有小成，二十四岁即被提拔为数学部副院士，并逐渐在巴黎科学院取得一席之地。&/p&&br&&p&1768年，达朗贝尔接待了同样出身贫贱的拉普拉斯，这个年仅19岁的农家子弟在第一次见面中便表现出了不凡的数学天赋。他不仅直接指导拉普拉斯的数学研究，还试着帮爱徒安排工作，出任巴黎军事学院数学教授。仅仅五年之后，拉普拉斯也同样加入科学院，加入到一流数学家的行列中去。&/p&&br&&p&腓特烈大帝去世后，巴黎科学院又从东面的竞争对手柏林科学院挖来年近半百的拉格朗日，在化学家、氧气命名人拉瓦锡的寓所沙龙里，拉格朗日和拉普拉斯均是座上嘉宾。&/p&&br&&p&集结了达朗贝尔、拉普拉斯、拉格朗日三大数学巨头，进一步巩固了巴黎科学院的学术地位。而后面两位也为整个法国学界在大革命后依然留存了宝贵的火种。&/p&&br&&p&&b&3.&/b&&/p&&br&&p&1789年，法国大革命正式爆发。&/p&&br&&p&革命狂潮迅速涌动，恐怖统治的阴影笼罩了学界，巴黎皇家科学院被看作是旧有王室的势力残余，在1793年横遭解散，倒在了建院的第127个年头。&/p&&br&&p&很多担任公职的科学家都命丧囹圄，其中的拉瓦锡和学院秘书孔多塞，分别死在革命党人的断头台上和监狱里。法兰西原本已经夺取了整个文明世界的学术中心地位，却在革命之中自废武功，摇摇欲坠。&/p&&br&&p&直至1799年，拉普拉斯当年在陆军学院的学生、军事天才拿破仑终于羽翼丰满，成为法兰西的新主，法国的局势终于得以平定。随后科学院复建改组为法兰西科学院，直至今日再没断绝。&br&&/p&&br&&p&法国科学院的重建重新聚拢起硕果仅存的人才，拉普拉斯和拉格朗日本非贵族出身，在大革命期间卖力地帮助革命军制造枪炮弹药，得以平稳躲过断头的风险。政权更迭之下，拉普拉斯靠着圆滑的政治手腕屹立不倒，屡获荣升。1796年科学院复建，他就任副院长，又在次年升为院长。&/p&&br&&p&在此后历史学家的记录里，拉普拉斯被看做是见风使舵的政治投机客。可也正是这位圆滑的政客利用自己的高位，一手改进了法国的高等教育。他组织改建了高等师范学校和巴黎综合工科学校，并与拉格朗日共同投入到教学工作中，还聘请了一批一流教授。&/p&&br&&p&拉瓦锡的旧友，射影几何的发现者蒙日（Gaspard Monge）革命期间曾避祸逃出巴黎，如今被邀请归来，在两所高校讲授射影几何。拉格朗日还亲自聆听他的课堂首秀。高等师范学校的首批学员之一，日后在热传导领域颇有小成的地方教师傅里叶刚刚毕业便前往综合工科学校担任助教。日后蒙日与傅里叶随拿破仑远征埃及，一直作为随军学者服务军旅。&/p&&br&&p&这一批聚集而来的名师，培养出了十九世纪上半叶照亮了法兰西的群星：这批学子中走出了安培(Ampère)，他的名字被用作计量电流的单位；有卡诺(Carnot)，他日后成为了热力学创始人之一；有菲涅耳(Fresnel)，他在光学研究中带领波动说重整旗鼓与牛顿粒子说展开对抗；还有泊松(Poisson)，他在数学及物理领域都留下自己冠名的定理。&/p&&br&&p&&b&4.&/b&&/p&&br&&p&历经马兰梅森的沙龙聚会、太阳王的皇家科学院、再到法国高等教育改革这一段十八世纪末十九世纪初的一个半世纪里，是法国学术尤其是数学学科最具统治力的时代。&/p&&br&&p&它起源于一个热爱交游的数学家的无心插柳，在随后太阳王以政府财政的雄厚支援达到顶峰，又在革命后及时重建，在革命的灰烬里涅槃重生，建立起现代的教育机制。&/p&&br&&p&第一个阶段，靠的是学者对学科的热爱；第二个阶段，靠的是开明君主的大力支持；第三个阶段，靠先进的学术培养制度。热爱科学、官方支持、制度优渥——任何学术体具备了这个三位一体，都无法不培养出一代群英。&/p&&br&&p&巴黎懂得如何尊重和吸纳人才：皇家学院建院伊始的两位核心惠更斯和卡西尼，都不是法国人，可政府却信任地将学院委托给两位；莱布尼茨长居德意志，依然是学院的通讯院士；出身低微的达朗贝尔和拉普拉斯，靠着学术成就依然可以跻身一群贵族之间；拉格朗日本是意大利人，半百之年依然受到邀请，在革命后的重建中起到了重大的作用。&br&&/p&&br&&p&不过，靠着先进的制度、完善的机构、优秀的教师，固然可以把一代优秀的学子培养成一代杰出学者，却不能孕育与生俱来的天才。十七世纪的牛顿，十八世纪的欧拉，两位最杰出的的数学大师均没有出现在巴黎科学院里。&/p&&br&&p&而到了十九世纪初，牛顿和欧拉均已作古，法国在革命的废墟上培养提拔了一代精英，按照拉普拉斯和拉格朗日的蓝图，法国在此后一个世纪的学术领先地位几乎是不可撼动。然而，不远之外的德国郊野，天才的种子在不被留意的角落发轫滋长，要遮掩住法兰西群星的光芒，其实也只需要一轮朗月。&br&&/p&&br&&p&未来拉普拉斯口中“世界上最伟大的数学家”、数学王子高斯于1777年降生，即将在智力上对所有法国的数学同行展开毫不留情一视同仁的碾压。&/p&&br&&p&当然，那又是另外一个故事了。&/p&&br&&p&-------&/p&&p&本篇原创，转载需取得作者同意。&/p&&p&多了这些赞还挺开心，虽然我有不少更多赞的答案，但这种小众题目能顶到今日热门第一，还真是始料未及啊。&/p&&p&p.s. 好多知友呼唤我写写高斯的故事，啊其实也写差不多了。等我有天完善下一起发出来吧。有空可以先看看我别的答案嘛。&/p&&p&我的新浪微博，欢迎关注：→&a href=&///?target=http%3A///u/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Sina Visitor System&i class=&icon-external&&&/i&&/a& @汪有&/p&
在题主所问的十七至十八世纪，法国涌现出一大批群星般璀璨的数学名家，实属历史的必然，主要可归结为四个字： 体制问题。 在这段历史中，有一个学者、两大君主、一个机构，起到了至关重大的作用： 一个学者是马兰·梅森；两大君主是路易十四和拿破仑；一个…
&b&几何的观点&/b&：如果把方阵视为线性变换，则其行列式的绝对值表示该线性变换造成的体积元的变化系数，行列式的符号反映了基底的定向变化。&br&&br&比如，行列式可表示平行四边形或平行六面体的有向面积/体积，因为平行四边形和平行六面体实际上分别是平面和空间中另一组基底构成的面积元/体积元。&br&&br&比如，行列式为零，表示线性变换是奇异的，即把原空间的体积元变成零了，一一对应就不存在了&br&&br&又比如，导数实际上是线性变换 (微分实际上是两个切空间之间的线性变换，比如一元函数实际上是一维实轴到一维切线之间的线性变换，得到的斜率只是一个数，但实际上是1x1矩阵)，于是积分变换中的Jacob行列式实际上是此线性变换的行列式，它的绝对值是体积元dxdydz的系数。&br&&br&&b&代数的观点&/b&: 行列式无非是方阵的一个函数，但它是一种反对称多重线性型，比如&img src=&///equation?tex=f%28%5Calpha+x_1%2Cx_2%2Cx_3%29%3D%5Calpha+f%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%29& alt=&f(\alpha x_1,x_2,x_3)=\alpha f(x_1,x_2,x_3)& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=-f%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%29%3Df%28x_2%2Cx_1%2Cx_3%29& alt=&-f(x_1,x_2,x_3)=f(x_2,x_1,x_3)& eeimg=&1&&，多重线性性体现在每一行或每一列的线性性质，反对称体现在两行或两列交换后变负。同为行和列的反对称多重线性型，行列式的计算方式也就确定了。&br&&br&这两种观点都不允许非方阵的行列式的定义。&br&&br&===============================================================&br&补充一下，问一个数学工具的本质，窃以为并不妥当，有一点追求终极真理的感觉，在哲学上并不能自洽。不如先看一下它的历史，然后再观察一下它有哪些深刻的应用。&br&&br&历史上，行列式先于矩阵，用于求解线性方程。行列式是否为零可用来判定一个线性方程是否有解，然后Cramer规则直接用行列式给出线性方程的解。随后，行列式才被视为一个矩阵的函数。&br&&br&数学上的两条重要的主线：解方程和微积分在线性代数上统一起来了，因为微分实际上就是一种线性逼近。因而，矩阵和行列式在这其中起到的作用就非常深刻了。而行列式作为一个函数具有的反对称线性性在抽象代数是一个非常重要的概念。&br&&br&所以说，行列式只不过是数学家在解决实际问题时发明的一个很好用的工具，恰好它又可以在许多的应用中发挥作用。&br&&br&================================================================&br&再补充一下，几个常用的行列式应用&br&&br&&ol&&li&积分变换与Jacob行列式 (体积元都为正，所以取行列式的绝对值)&br&&img src=&///equation?tex=%28v_1%2C%5Ccdots%2Cv_n%29%3D%5Cvarphi%28u_1%2C%5Ccdots%2Cu_n%29+%5CRightarrow+dv_1+%5Ccdots+dv_n+%3D+%7C%5Cdet%28%5Coperatorname%7BD%7D%5Cvarphi%29%28u_1%2C+%5Cldots%2C+u_n%29%7C+%5C%2C+du_1+%5Ccdots+du_n& alt=&(v_1,\cdots,v_n)=\varphi(u_1,\cdots,u_n) \Rightarrow dv_1 \cdots dv_n = |\det(\operatorname{D}\varphi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1 \cdots du_n& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&Cramer规则&br&&img src=&///equation?tex=Ax%3Db& alt=&Ax=b& eeimg=&1&&的解为&img src=&///equation?tex=x_i%3D%5Cfrac%7B%7CA_i%7C%7D%7B%7CA%7C%7D& alt=&x_i=\frac{|A_i|}{|A|}& eeimg=&1&&，其中&img src=&///equation?tex=A_i& alt=&A_i& eeimg=&1&&为将&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&的第&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&列换成&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&平行四边形面积，从原点出发的两个矢量&img src=&///equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bv%7D_1%2C%5Cboldsymbol%7Bv%7D_2& alt=&\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2& eeimg=&1&&构成的平行四边形的有向面积为&br&&img src=&///equation?tex=%5Coperatorname%7Bdet%7D%28%5Cboldsymbol%7Bv%7D_1%2C%5Cboldsymbol%7Bv%7D_2%29%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Bmatrix%7Dv_%7B11%7D%2Cv_%7B21%7D%5C%5Cv_%7B12%7D%2Cv_%7B22%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C& alt=&\operatorname{det}(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2)=\left|\begin{matrix}v_{11},v_{21}\\v_{12},v_{22}\end{matrix}\right|& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&平行六面体体积&br&&img src=&/c1b9f446a50ed2cbd50704bae85dbc89_b.png& data-rawwidth=&803& data-rawheight=&149& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&803& data-original=&/c1b9f446a50ed2cbd50704bae85dbc89_r.png&&&/li&&li&叉乘的另一种定义&br&&img src=&///equation?tex=%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%5ET%5Ctimes%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29%5ET%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Bmatrix%7Di%26j%26k%5C%5Cx_1%26y_1%26z_1%5C%5Cx_2%26y_2%26z_2%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C& alt=&(x_1,y_1,z_1)^T\times(x_2,y_2,z_2)^T=\left|\begin{matrix}i&j&k\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{matrix}\right|& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&判断共面&br&&img src=&/ab85a0dacfcab3de9c45_b.png& data-rawwidth=&694& data-rawheight=&175& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&694& data-original=&/ab85a0dacfcab3de9c45_r.png&&&br&&/li&&li&判断共圆&br&&img src=&/3a2199fcdf90ffbe61a826b24a9d14a0_b.png& data-rawwidth=&664& data-rawheight=&427& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&664& data-original=&/3a2199fcdf90ffbe61a826b24a9d14a0_r.png&&&/li&&/ol&
几何的观点：如果把方阵视为线性变换，则其行列式的绝对值表示该线性变换造成的体积元的变化系数，行列式的符号反映了基底的定向变化。 比如，行列式可表示平行四边形或平行六面体的有向面积/体积，因为平行四边形和平行六面体实际上分别是平面和空间中另一…
&p&简单地说：&/p&&p&Table Mountain是开普褶皱带（Cape Fold Belt）的一部分。下面这张地形图上，能看到开普敦附近的一系列近乎平行的山脉，这就是开普褶皱带。&/p&&img data-rawheight=&545& src=&/v2-b6adfee3cc_b.jpg& data-rawwidth=&872& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&872& data-original=&/v2-b6adfee3cc_r.jpg&&&p&大约7亿年前，罗迪尼亚超级大陆分裂，在今非洲南部及南美之间形成了一个很大的裂谷（类似于今天的东非大裂谷）。海水倒灌进来，形成了厄加勒斯海（Agulhas Sea）。在之后的很长时间里，沉积物在此逐步堆积，最后形成了几千米厚的沉积岩层。&/p&&p&浅海里有一片被隔开的陆地叫做福克兰高地（Falklands Plateau），大致包括今天南美洲的南部以及南极半岛的一部分：&/p&&img data-rawheight=&564& src=&/v2-de3e194a2c_b.jpg& data-rawwidth=&745& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&745& data-original=&/v2-de3e194a2c_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&到了泥盆纪-石炭纪时期，各块古大陆又开始聚合，包括今天非洲和南美洲在内的陆地组成了南方的冈瓦纳大陆，并逐渐形成盘古大陆（泛大陆）。厄加勒斯海闭合，福克兰高地和非洲南端相撞，互相挤压，造成了剧烈的隆起，原理和现在的青藏高原类似，就像这样：&/p&&img data-rawheight=&406& src=&/v2-4eb7edb6c7a2_b.jpg& data-rawwidth=&798& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&798& data-original=&/v2-4eb7edb6c7a2_r.jpg&&&p&在二叠纪（大约2.9亿年前），这里形成了一个巨大的褶皱平行山系：福克兰山，也就是开普褶皱带的前身。它的规模很大，至少和现在的落基山脉有一拼。&/p&&img data-rawheight=&303& src=&/v2-66f3d7f56bc83c5e4a6300414cedfa41_b.jpg& data-rawwidth=&299& class=&content_image& width=&299&&&p&当盘古大陆形成完毕之后，造山运动也停止了，福克兰山开始了漫长的风化侵蚀（其实并不这么简单，侵蚀过程中因为重力均衡，地壳发生回弹，此后还有二次隆起，但这些没有影响开普褶皱带的基本形态，这里就不详细说了。@云舞空城指出原来的表述有问题，修改了一下。）&/p&&p&褶皱山各部分的风化侵蚀速率不同，主要有两个因素来控制：位置和岩石种类。&/p&&ol&&li&位置因素：即常见的『向斜山、背斜谷』原理：&/li&&/ol&&img data-rawheight=&240& src=&/v2-1fe2c08d9bf429fd7188_b.jpg& data-rawwidth=&626& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&626& data-original=&/v2-1fe2c08d9bf429fd7188_r.jpg&&&p&背斜原本是向上弯曲的褶皱，但由于其顶层的岩石受到较大的张力，暴露面积也较大，侵蚀速率一般较快，因此反而容易形成谷地。向斜原本是向下弯曲的褶皱，其内侧的岩石受到挤压较多，比较坚固，侵蚀速率一般相对较慢，因此反而容易形成山岭。&/p&&p&2. 岩石种类：各种岩石的物理和化学性质的不同，导致其被风化侵蚀速率的不同。在开普褶皱带，有三种主要的岩石类型：页岩（较松软，侵蚀速度快）、砂岩（富含石英，有变质现象，较坚固，侵蚀速度慢）、花岗岩（一种火成岩，最坚固）。其中，页岩和砂岩（都是沉积岩，厄加勒斯海时期形成的）分层分布，页岩在下，砂岩在上。花岗岩是基底，并且会不规则地入侵到沉积岩中。&/p&&p&现在回到Table Mountain。它的位置正好是开普褶皱带的一个向斜的槽底部分，岩层水平排布，而两侧是两个巨大的背斜。在漫长的侵蚀过程中，两侧背斜上层的砂岩，率先侵蚀掉了，把松软的页岩暴露在外，导致了页岩也被大量侵蚀掉，形成了一片很大的谷地平原（开普敦市区以东，开普半岛和非洲大陆本土的连接区域，以及False海湾）。&/p&&p&位于向斜底部的Table Mountain，因为本来就比较坚硬，得以保留下来，形成了凸起的地形。而该片砂岩底下，正好有入侵的花岗岩，更加固了Table Mountain两侧十分陡峭的这种特殊地貌。&/p&&img data-rawheight=&456& src=&/v2-85eb140e5dacfcd145e07_b.jpg& data-rawwidth=&859& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&859& data-original=&/v2-85eb140e5dacfcd145e07_r.jpg&&&p&由于Table Mountain最初位于向斜的槽底，因此岩层是水平的。其上部的砂岩不如下侧的砂岩坚固（成分有差异，受到的挤压较小，再加上历史上曾短暂受到过冰川的影响，混入了冰碛物），也被侵蚀掉，形成了平坦的顶部，所以山体的形状像桌子。&/p&&p&&br&&/p&&p&差不多就是这样。所有原图都是网上找的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&a href=&/earth-stories& class=&internal&&知乎专栏：地球的那些事儿&/a&&/p&&p&微信公众号 &a href=&///?target=https%3A///s/1dE4R80x& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&山中杂说 (ShanYeTalking)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
简单地说：Table Mountain是开普褶皱带（Cape Fold Belt）的一部分。下面这张地形图上，能看到开普敦附近的一系列近乎平行的山脉，这就是开普褶皱带。大约7亿年前，罗迪尼亚超级大陆分裂，在今非洲南部及南美之间形成了一个很大的裂谷（类似于今天的东非大…
&img src=&/50/v2-8a43f838b95d5cba50dc099e_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/50/v2-8a43f838b95d5cba50dc099e_r.jpg&&&p&这需要从数学自身向来的任务说起——增进对已知材料的了解，和开拓新的疆域——无论是哪项，都脱离不开“方向”的问题。我们以往的初等教育体系中，甚至是高等教育体系中，&b&注重课程材料的逻辑顺序&/b&，这是好的，但是&b&忽视了对历史和文化的说明&/b&。学生是一个孩童，他并没有参与过多久的光阴。在他们觉得，数学仿佛是一下子蹦出来的，疑惑随之而来，甚至产生误解——一个非常典型的例子是，学生们会觉得是物理学一直推动数学发展，这是因为他们不知道黎曼先生和他的几何理论，早于它所引出的广义相对论大约六十年。（一般认为黎曼几何的开端是1857年黎曼在格丁根大学的就职演说“论作为几何基础的假设”，以此为数学基础的广义相对论发表于1916年。）&br&&/p&&br&&br&&blockquote&一个数学家的目的，是要了解数学。历史上数学的进展不外两途：增加对已知材料的了解和推广范围。
—— 陈省身 &/blockquote&&br&&br&&img src=&/v2-ae5ab02853cc_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&358& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-ae5ab02853cc_r.jpg&&&p&图1 三位科学巨擘，按出生年份从左至右排列：黎曼、爱因斯坦、陈省身&/p&&br&&p&我们都承认一个事物成长的历史蕴含着它将要前往的方向，同时也都明白一个学科的风格是由发展它的千千万万名学者在各自的文化共同体内相互协作形成。但是我们不太愿意在教育，尤其是初等教育中承认这一点。原因之一，就是“&b&觉得&/b&”这样“&b&效率太低&/b&”。&/p&&br&&p&诚然，以数学教育为例，如果目的就是为了分数，那么在有限的时间里做充分地训练显然是最聪明的选择。但是这样教育出来的学生直接面临着大学后对“文献综述”这件事的不解和困难，而不幸地是这往往是研究中&b&最基础和最重要的第一步&/b&。&/p&&br&&br&&br&&img src=&/v2-ccccba99f94a02_b.png& data-rawwidth=&284& data-rawheight=&175& class=&content_image& width=&284&&&p&图2 复杂地貌上艰难前行的人们，屡屡受伤却依然钟爱“直线段最短” &/p&&br&&p&抛开制度和社会的命题，仅仅从数学学科找理由：我们都清楚球面上的最短距离不是直线段，更为复杂的图形中更加难以捉摸，更何况是包罗这些复杂万象的数学学科呢？我们希望从“此岸”到“彼岸”，在数学这个“无穷维野生森林”里，有时只能走曲线，而且还是很要命很漫长的曲线。那些急功近利企图走直线的人，要么中途遇到了“奇点”消失不见，要么就“疯掉了”，成了屡见不鲜的“民科”。 &/p&&br&&p&教育不是为了让人们学到更多的知识，而&b&是为了让人们懂得更多的道理&/b&。知识印在书上，只要不是文盲，一天背诵许多页总不是件难事。但道理隐藏在历史背后，隐藏在先贤的故事里，隐藏在知识的进化中，不是廉价的东西。&/p&&br&&p&虽然目前从国情来看在大范围上无解，但下面的问题依然值得思考：&/p&&p&为什么不能慢一点，再慢一点，然后让一切都变得更加美好一些呢？这作为一个可能的选项，是从什么时候开始被人们唾弃的呢？又是什么，让我们记起了它的价值，重新提起呢？&/p&&br&&br&&img src=&/v2-4b75a81c67a855e6a940dc1cf8290bc4_b.png& data-rawwidth=&428& data-rawheight=&282& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&428& data-original=&/v2-4b75a81c67a855e6a940dc1cf8290bc4_r.png&&&p&图3 IBM曾在IPAD上推出一款名为“Minds of Modern Mathematics”的软件，以横向时间卷轴的方式展现千年来的数学大事件。&/p&&br&&br&&p&本文转载自公众号北京市十一学校官方微信公众号: 方圆十一, 原作者为学校朱浩楠老师,
特此感谢授权[遇见数学]转发.&/p&&br&&p&文末提到的“Minds of Modern Mathematics”应用, 推荐下载学习. [&b&遇见数学&/b&] 小编为方便其他平台用户也截取了部分截图分享出来, 版权属于原公司.
此时间轴图也可以在公众号后台回复关键字[&b&海报&/b&] 获取下载地址.&/p&&br&&img src=&/v2-ce63a7b905b84cf_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-ce63a7b905b84cf_r.jpg&&&img src=&/v2-f0cb881b943f_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-f0cb881b943f_r.jpg&&&img src=&/v2-dad1f747d6afcfc0f8aaaee_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-dad1f747d6afcfc0f8aaaee_r.jpg&&
这需要从数学自身向来的任务说起——增进对已知材料的了解，和开拓新的疆域——无论是哪项，都脱离不开“方向”的问题。我们以往的初等教育体系中，甚至是高等教育体系中，注重课程材料的逻辑顺序，这是好的，但是忽视了对历史和文化的说明。学生是一个孩童…
&p&这里列出了很多“错觉”，这里的反直觉很多反的是数学家／研究者的直觉，所以更加危险。说句实话&b&，很多相信部分这里的直觉的人至少都接受过一定的数学训练（下面的很多论述本身是错觉，有些是结论反直觉，请联系上下文看）：&/b&&/p&&p&&a href=&///?target=https%3A//mathoverflow.net/a/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Examples of common false beliefs in mathematics&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&（1）（小学生级别）：平面上任何方向上的宽度都一样的图形只有圆。 这是错的,实际上&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Reuleaux_triangle& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Reuleaux triangle&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 也可以。这里说的宽度的意思“特定方向上距离最远的两个点的距离”&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-857d8d359b4a4272270a_b.png& data-rawwidth=&474& data-rawheight=&472& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&474& data-original=&/v2-857d8d359b4a4272270a_r.png&&&p&&br&&/p&&p&（2）（中学生级别）5次以上的多项式方程没有解（这是错的，至于哪里错，大家可以自己想一想）。一个图形如果它的面积有限，那么它的周长也是有限的。这是错的，有些无限的周长可以围出有限的面积。 &/p&&p&&br&&/p&&p&（3）（本科低年级级别） ：一个开集 &img src=&///equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&&
如果&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%5Csubset+E%5Csubset+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{Q}\subset E\subset \mathbb{R}& eeimg=&1&& ，那么它就是 &img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 本身或者去掉几个点而已。 “就是 &img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 本身”这个错误有一个简单的反例： &img src=&///equation?tex=+%5Cmathbb%7BR%7D-%5Csqrt%7B3%7D& alt=& \mathbb{R}-\sqrt{3}& eeimg=&1&& .&去掉几个点&这个错误可以这样构造反例：先把所有的有理数排列为 &img src=&///equation?tex=r_n& alt=&r_n& eeimg=&1&& ,然后构造 &img src=&///equation?tex=E%3D%5Cbigcup_%7Bn%5Cgeq+1%7DB%28r_n%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D%29& alt=&E=\bigcup_{n\geq 1}B(r_n,\frac{1}{2^{n-1}})& eeimg=&1&& (这里的 &img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 是开球)，可以发现这个 &img src=&///equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&& 的测度是有限的而 &img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 是无限的。 &/p&&p&&img src=&///equation?tex=tr%28AB%29%3Dtr%28BA%29& alt=&tr(AB)=tr(BA)& eeimg=&1&& 对两个矩阵是没错的，但是它的 “&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个”的推广：随意排列n个矩阵的顺序是不成立的。 但是换成 cyclic permutations又是对的。举了例子， &img src=&///equation?tex=tr%28ABC%29%5Cneq+tr%28ACB%29& alt=&tr(ABC)\neq tr(ACB)& eeimg=&1&& ,
看谁能写出最简单的例子。&/p&&p&设&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5Ed%7D& alt=&\mathcal{A}_{\mathbb{R}^d}& eeimg=&1&& 是 &img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5Ed& alt=&\mathbb{R}^d& eeimg=&1&& 的勒贝格 &img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&代数，则 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5Ed%7D%5Ctimes+%5Cmathcal%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5Ed%7D%3D%5Cmathcal%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5Ed%5Ctimes+%5Cmathbb%7BR%7D%5Ed%7D& alt=&\mathcal{A}_{\mathbb{R}^d}\times \mathcal{A}_{\mathbb{R}^d}=\mathcal{A}_{\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d}& eeimg=&1&& ，可惜这个自然的想法是错误，如果换成borel测度的&img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&代数又是对的了。 &/p&&p&&b&以下的论述是对的，只是反直觉而已。&/b&&/p&&p&&b&存在处处连续但是处处不可导的函数&/b&， 但是一个函数如果处处可导，它的导数几乎处处连续。 &b&存在函数 &img src=&///equation?tex=f%5Cin+L%5E1%5B0%2C2%5Cpi%5D& alt=&f\in L^1[0,2\pi]& eeimg=&1&& 使得它的傅里叶级数处处发散&/b&；如果 &img src=&///equation?tex=f%5Cin+L%5Ep%5B0%2C2%5Cpi%5D+%5Cquad+%281%3Cp%3C%5Cinfty%29& alt=&f\in L^p[0,2\pi] \quad (1&p&\infty)& eeimg=&1&& ,它的傅立叶级数几乎处处收敛。证明这个结论非常难。&b&存在处处可导但是处处不单调的函数&/b&；&/p&&p&&br&&/p&&p&（4）（本科高年级到研究生低年级）下面是特伦苏陶列出的“常识性错误”&/p&&img src=&/v2-5eab9f529d90cf2e67e4ec_b.png& data-rawwidth=&1334& data-rawheight=&1032& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1334& data-original=&/v2-5eab9f529d90cf2e67e4ec_r.png&&&blockquote&也就是说&b&下面的论述都是错的&/b&：1: 算子&img src=&///equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&& 可交换，那么它们同时可对角化。2: 矩阵的范数和它最大特征值一样。 3: 一个矩阵的singular value是它特征值的绝对值。 4，一个矩阵有相异特征值，那么对应的特征向量是正交的（只有正规矩阵可以）5，一个矩阵有相异特征值当且仅当它可对角化。（其实只有一个方向是对的，考虑单位矩阵和0矩阵）6. 设 &img src=&///equation?tex=L%3AX%5Cto+Y& alt=&L:X\to Y& eeimg=&1&&是连续线性算子，而 &img src=&///equation?tex=X%2CY& alt=&X,Y& eeimg=&1&& 是Banach空间，而且这个映射是满射，但是这个算子没有右逆。 &/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&（5）（基本上是研究生级别）里面最吓人是张量那个： &img src=&///equation?tex=A%5Cotimes+B%3D0%5Cimplies+A+%5C%2C+or+B%3D0& alt=&A\otimes B=0\implies A \, or B=0& eeimg=&1&& , 反例在这里&a href=&///?target=https%3A///questions/1686568/when-can-we-say-elements-of-tensor-product-are-equal-to-0/686576& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&When can we say elements of tensor product are equal to $0$?&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-33ed30d386ee321e365f30a22340a74f_b.png& data-rawwidth=&1402& data-rawheight=&1090& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1402& data-original=&/v2-33ed30d386ee321e365f30a22340a74f_r.png&&
这里列出了很多“错觉”，这里的反直觉很多反的是数学家／研究者的直觉，所以更加危险。说句实话，很多相信部分这里的直觉的人至少都接受过一定的数学训练（下面的很多论述本身是错觉，有些是结论反直觉，请联系上下文看）：
&p&谢邀。应评论区及其他答主要求，我们在此预设「高考考纲范围内最顶级的非竞赛中国高中生」的前提，这会使得讨论更有意义。&/p&&p&2017 年全国共产生国一、国二、国三以及江浙京津鲁沪共九套数学试卷，我们以此为时间节点，参照中华人民共和国教育部所修订的 2017 年理工类普通高考考试大纲（理科数学）、各出版社所编教科书以及数学史相关资料进行比对。欢迎斧正和补充。&/p&&p&&b&【1】必考内容&/b&&/p&&p&&b&〖1.1〗集合。&/b&&/p&&p&&i&1854 年 Daniel da Silva 论文中首次出现容斥原理，后其也被称为 Da Silva 公式。&/i&&/p&&p&&i&1858 年德摩根（De Morgan）提出 De Morgan 律（交补为补并，并补为补交）。&/i&&/p&&p&1874 年康托尔（Cantor）正式建立集合论。在此之前，我们使用自然语言进行描述和操作的集合理论称为「拿衣服集合论（Naive set theory）」。&/p&&p&1880 年韦恩（Venn）首次用图形描述集合，后其被称为 Venn 图。&/p&&p&&b&〖1.2〗函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）。&/b&&/p&&p&1614 年 Napier 发明对数，给出最早的对数表。&/p&&p&1615 年 Briggs 建议对数以 10 为底，创立常用对数。&/p&&p&1637 年 Rene Descartes 给乘方数设计专门的记号系统，即指数函数。&/p&&p&1655 年 Wallis 在《无穷算术》中引入负指数、分数指数。&/p&&p&1667 年 Gregory 给出函数一个最初定义。&/p&&p&1692 年莱布妮子（Leibniz）正式使用 「坐标」一词，并给函数下定义。&/p&&p&1698 年伯努利（Bernoulli, JacobⅠ）把函数定义为由变量和常量所构成的式子。&/p&&p&1728 年欧拉（Euler）用 e 表示自然对数的底。&/p&&p&1748 年欧拉（Euler）在其书中定义奇函数和偶函数，并讨论其性质。&/p&&p&&b&〖1.3〗立体几何初步。〖1.16〗空间向量与立体几何。&/b&&/p&&p&约 BC440 ～ BC430 年 Democritus 得出圆（棱）锥体积是等底等高圆（棱）柱体积的三分之一的结论。&/p&&p&约 BC300 年欧几里得（Euclid）著《几何原本》，建立几何学的逻辑演绎体系，是公理化数学著作的典范。&/p&&p&约 BC250 ～ BC212 年 Archimedes 求得球体积公式。&/p&&p&1715 年伯努利（Bernoulli, JohannⅠ）在给莱布妮子（Leibniz）的信中提到了三维空间坐标系。&/p&&p&&b&〖1.4』平面解析几何初步。&/b&&/p&&p&1607 年 Ghetaldi 对几何问题的代数解法做了探索性研究。&/p&&p&1629 年费马（Fermat）最早提出坐标思想，指出方程可以描述曲线，通过方程研究可以推断曲线性质。&/p&&p&1637 年笛卡尔（Descartes）匿名出版《方法论》，其附录《几何学》第一次把变量、坐标引入数学，创立解析几何。同年费马（Fermat）把论文手稿「平面和立体的轨迹引论」寄给友人，论文反映了坐标几何基本思想，使其和笛卡尔分享解析几何的发明权。&i&同年费马留下费马猜想（后称为费马大定理）。&/i&&/p&&p&1730 年 Rabuel 系统论述平面坐标法，给出四个象限点的记法。&/p&&p&&b&〖1.5〗算法初步。&/b&&/p&&p&约 BC100 ～ 1 年《九章算术》经张苍、耿寿昌等增删修订而成书，给出辗转相除法和更相减损术。&/p&&p&1247 年秦九韶著《数书九章》，给出一次同余式组的正确解法（大衍求一术），给出秦九韶算法。&/p&&p&1631 年 Harriot 提出二进制。&/p&&p&1679 年莱布妮子（Leibniz）给出二进制算法。&/p&&p&1701 年莱布妮子（Leibniz）向巴黎科学院提交论文《试论新数的科学》，论述二进制理论。&/p&&p&1703 年莱布妮子（Leibniz）把二进制和中国《易经》六爻八卦联系起来，撰写《关于仅用 0 与 1 两个记号的二进制算术的说明》，附有其效用及关于据此解释古代中国伏羲图的探讨，送交巴黎科学院和伦敦皇家学会。&/p&&p&1805 年 Legendre 发表《确定彗星轨道的新方法》，独立发现最小二乘法。&/p&&p&1964 年 Kemeny 和 Kurtz 设计了最早的 BASIC 语言。&/p&&p&&b&〖1.6〗统计。〖1.7〗概率。〖1.21〗概率与统计。&/b&&/p&&p&1654 年帕斯卡（Pascal）和费马（Fermat）在通信中讨论概率问题，为概率论奠定思想基础。&/p&&p&1657 年 Huygens 著《论赌博中的计算》，是概率论的早期名著，引入「数学期望」概念。&/p&&p&1662 年 Graunt 发表《对死亡公报的自然观察和政治观察》，发现人口统计中的某些规律，是统计学的早期重要文献。&/p&&p&1663 年 Cardano 的《游戏机遇学说》出版，讨论赌博中的概率问题。&/p&&p&1708 年 Montmort 的《赌博分析》是有关概率论的早期专著之一。&/p&&p&1718 年棣莫弗（De Moivre）《机会论》出版，包括 D-L 定理的最初形式以正态曲线的特例。&/p&&p&1812 年拉普拉斯（Laplace）的《概率的分析理论》出版，给出概率的古典定义，总结这一时代概率论研究，标志着近代概率论的诞生。&/p&&p&&b&〖1.8〗基本初等函数Ⅱ（三角函数）。〖1.10〗三角恒等变换。〖1.11〗解三角形。&/b&&/p&&p&约 BC62 年海伦（Heron）给出和证明了三角形三边表示面积的公式。&/p&&p&约 150 年托勒密（Ptolemy）发展三角学，编制弦表。&/p&&p&约 920 年 al-Battānī 著《天文论著》，引入正切、余切概念，给出余切表。&/p&&p&约 980 年 Abu al-Wafa' 给出正弦半角公式、倍角公式和正弦定理等，首次提出正、余割概念，编制正弦表和正切表。&/p&&p&1549 ～ 1576 年 Rhaeticus 用直角三角形边的比定义三角函数，编制 6 个三角函数表。&/p&&p&1551 年 Reinhold 给出度、分、秒单位符号。&/p&&p&1579 年韦达（Viete）提出正切定理和许多三角恒等式。&/p&&p&1634 年 Roberval 求出正弦线下一拱面积。&/p&&p&&b&〖1.9』平面向量。&/b&&/p&&p&1803 年 Carnot 在《位置几何学》中首次引入向量概念，射影几何开始复兴。&/p&&p&&b&〖1.12〗数列。&/b&&/p&&p&约 BC540 年毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的数学家研究三角形数和正方形数。&/p&&p&&b&〖1.13〗不等式。〖2.2〗不等式选讲。&/b&&/p&&p&约 BC540 年毕达哥拉斯（Pythagoras）研究算术平均数、几何平均数、调和平均数的大小关系。&/p&&p&约 BC300 年欧几里得（Euclid）《几何原本》中提及基本不等式。&/p&&p&1631 年 Harriot 改进 Viete 代数符号系统，首次使用不等号 & 和 &。&/p&&p&1821 年柯西（Cauchy）在研究流数时给出 Cauchy 不等式。&/p&&p&&b&〖1.14〗常用逻辑用语。&/b&&/p&&p&约 BC380 年柏拉图（Plato）强调数学定义和逻辑证明的重要意义。&/p&&p&约 BC340 年亚里士多德（Aristotle）创立形式逻辑学，讨论定义、公理、定理的含义及区别。&/p&&p&&b&〖1.15〗圆锥曲线与方程。&/b&&/p&&p&约 BC350 年 Menaechmus 开始系统研究圆锥曲线。&/p&&p&约 BC225 年 Apollonius 著《圆锥曲线论》，用集合方法建立圆锥曲线完整理论。&/p&&p&1655 年 Wallis 在《论圆锥曲线》中引入负的横纵坐标轴，使解析几何研究扩大到整个平面，得出圆锥曲线的代数方程。&/p&&p&1673 年 Huygens 给出渐近线定义。&/p&&p&&i&1822 年 Dandelin 给出 Dandelin 双球。&/i&&/p&&p&&b&〖1.17〗导数及其应用。&/b&&/p&&p&1636 年 Fermat 完成论文《求最大值与最小值的方法》，提出用「准等式」求极值方法，成为以后求代数多项式一阶导的法则。&/p&&p&1655 年 Wallis 在《无穷算术》中首创无穷符号。&/p&&p&1665 年巴罗（Barrow）以几何形式表达求切线和求曲线下面积的互逆关系，触及微积分基本 娘定理。&/p&&p&1666 年牛顿（Newton）的《流数短论》，是微积分学第一篇论文。&/p&&p&1668 年 Gregory 给出求曲线长的方法，证明切线问题是面积问题的逆问题。&/p&&p&1669 年牛顿（Newton）写成《运用无穷多项方程的分析学》给出求变量变化率的普通方法，指出通过面积可以求变化率的逆过程，揭示了微积分的基本性质，为微积分奠定基础。&/p&&p&1671 年牛顿（Newton）完成《流数法和无穷级数》，解决了求流数（导数）、求积分问题，给出一套具体运算方法。&/p&&p&1673 年莱布妮子（Leibniz）独立发现求曲线切线是求面积的逆问题。&/p&&p&1675 年莱布妮子（Leibniz）创用积分符号&img src=&///equation?tex=%5Cint& alt=&\int& eeimg=&1&&和导数符号&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm+dy%7D%7B%5Cmathrm+dx%7D& alt=&\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}& eeimg=&1&&。&/p&&p&1677 年莱布妮子（Leibniz）给出函数和差积商幂根的微积分法则。&/p&&p&1680 年牛顿（Newton）给出三角函数微分法则。&/p&&p&1684 年莱布妮子《论一种求极大值、极小值和切线的新方法》发表，这是最早的微积分论文，具有划时代意义。&/p&&p&1686 年莱布妮子（Leibniz）给出对数函数、指数函数微分法，引进高阶无穷小、高阶微分。创立积分法。&/p&&p&1693 年莱布妮子（Leibniz）发表微积分基本定理。&/p&&p&1779 年拉普拉斯（Laplace）使用「定积分」术语。&/p&&p&1797 年拉格朗日（Lagrange）采用导数符号&img src=&///equation?tex=f%27%28x%29& alt=&f'(x)& eeimg=&1&&。&/p&&p&1820 年傅里叶（Fourier）采用定积分符号&img src=&///equation?tex=%5Cint_a%5Ebf%28x%29%5Cmathrm+dx& alt=&\int_a^bf(x)\mathrm dx& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&〖1.18〗推理与证明。&/b&&/p&&p&约 BC440 ～ BC430 年 Hippocrates 在数学中运用间接证明方法。&/p&&p&1575 年 Maurolico 第一次正式使用数学归纳法证明数学命题。&/p&&p&&b&〖1.19〗数系的扩充与复数的引入。&/b&&/p&&p&&i&1545 年 Cardano 著《大术》，公开三次和四次方程求根公式，包括虚根的使用等方程的基本理论。&/i&&/p&&p&1572 年 Bombelli 建立虚数运算法则。&/p&&p&1629 年 Girard 在《代数新发明》中正式提出代数基本定理，引入符号&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&\sqrt{-1}& eeimg=&1&&。&/p&&p&1714 年 Cotes 发现&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm+ix%3D%5Cln%28%5Ccos+x%2B%5Cmathrm+i%5Csin+x%29& alt=&\mathrm ix=\ln(\cos x+\mathrm i\sin x)& eeimg=&1&&。&/p&&p&1743 年欧拉（Euler）证明&img src=&///equation?tex=e%5E%7B%5Cmathrm+ix%7D%3D%5Ccos+x%2B%5Cmathrm+i%5Csin+x& alt=&e^{\mathrm ix}=\cos x+\mathrm i\sin x& eeimg=&1&&。&/p&&p&1777 年欧拉（Euler）发表《微分公式》，首次用 i 代替&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&\sqrt{-1}& eeimg=&1&&。&/p&&p&1801 年高斯（Gauss）系统使用 i 和 &i&a&/i& + &i&b&/i&i。&/p&&p&1806 年 Argand 发表《论虚量，它的几何解释》，给出复数的几何解释。&/p&&p&&b&〖1.20〗计数原理。&/b&&/p&&p&1321 年 Levi ben Gerson 著《数经》，给出排列组合公式。&/p&&p&1527 年 Apianus 在欧洲第一次得到二项展开式系数。&/p&&p&&i&1664 年牛顿（Newton）将二项式定理推广到有理指数情形。&/i&&/p&&p&1755 年欧拉（Euler）引入求和符号&img src=&///equation?tex=%5Csum& alt=&\sum& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&【2】选考内容&/b&&/p&&p&&b&〖2.1〗坐标系与参数方程。&/b&&/p&&p&1694 年伯努利（Bernoulli, JacobⅠ）给出直角坐标和极坐标的曲率半径公式，这是系统使用极坐标的开始。&/p&&p&1729 年 Hermann 在牛顿（Newton）和伯努利（Bernoulli, JacobⅠ）的基础上提出完整的极坐标概念，给出极坐标与直角坐标之间的变换公式。&/p&&p&&b&&i&〖2.3〗行列式初步。&/i&&/b&&/p&&p&&i&1683 年关孝和提出相当于行列式的一种算法。&/i&&/p&&p&&i&1693 年莱布妮子（Leibniz）在给洛必达（L'H?pital）的信中给出三阶行列式展开式，探讨行列式和方程解的关系。&/i&&/p&&p&&i&1815 年高斯（Gauss）使用「行列式」一词，并把行列式的元素排成方阵，采用双重足标的记法，给行列式理论第一个系统的处理，并给除了行列式乘法定理。柯西（Cauchy）对行列式理论进行系统研究，建立了乘法定理及性质。&/i&&/p&&p&&b&综上，我们可以认为此时的高中生比山顶洞人会数数，比公元前的人擅长数列和初等几何，比十五世纪以前的人擅长锐角三角函数和排列组合，比十七世纪上半叶以前的人擅长微积分，与十七世纪下半叶之后涌现出的大佬们相比高中生被完爆。&/b&&/p&
谢邀。应评论区及其他答主要求，我们在此预设「高考考纲范围内最顶级的非竞赛中国高中生」的前提，这会使得讨论更有意义。2017 年全国共产生国一、国二、国三以及江浙京津鲁沪共九套数学试卷，我们以此为时间节点，参照中华人民共和国教育部所修订的 2017 …
&p&你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...&/p&&p&想象你生活在那个微积分初创的年代,&b&你还不知道什么通解公式之类的玩意儿&/b&,自然常数 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 还未曾知晓...&/p&&p&你是一个站在时代前沿的数学家,你想知道微分方程: &img src=&///equation?tex=y%5Cprime%2Bpy%2Bq%3D0& alt=&y\prime+py+q=0& eeimg=&1&& 的解.&/p&&p&你觉得可以有一个性质良好的函数作为解,比如在 &img src=&///equation?tex=+%5Cmathbb%7BC%7D+& alt=& \mathbb{C} & eeimg=&1&& 上解析...&/p&&p&于是你可以在原点将这个函数展开: &img src=&///equation?tex=y%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+a_nx%5En& alt=&y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n& eeimg=&1&&&/p&&p&因为 &img src=&///equation?tex=+%5Cmathbb%7BC%7D+& alt=& \mathbb{C} & eeimg=&1&& 上解析嘛,所以 &img src=&///equation?tex=+%5Cmathbb%7BR%7D+& alt=& \mathbb{R} & eeimg=&1&& 上光滑,求导得: &img src=&///equation?tex=y%27%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+na_nx%5E%7Bn-1%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7Dx%5En& alt=&y'(x)=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n& eeimg=&1&&&/p&&p&然后代入得:&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7Dx%5En%2Bp+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+a_nx%5En+%2Bq+%26%3D+0%5C%5C+q%2B%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%28%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7D%2Bp+a_n%29x%5En+%26%3D+0%5C%5C+%28a_1%2Bp+a_0%2B+q%29%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+%28%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7D%2Bp+a_n%29x%5En+%26%3D+0%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n+p \sum_{n=0}^\infty a_nx^n +q &= 0\\ q+\sum_{n=0}^\infty ((n+1)a_{n+1}+p a_n)x^n &= 0\\ (a_1+p a_0+ q)+\sum_{n=1}^\infty ((n+1)a_{n+1}+p a_n)x^n &= 0\\ \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&要使得等式恒成立,所有项数都应该是 &img src=&///equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+0%3D%26%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7D%2Bp+a_n%5C%5C+0%3D%26a_1%2Bp+a_0%2B+q%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.& alt=&\left\{\begin{aligned} 0=&(n+1)a_{n+1}+p a_n\\ 0=&a_1+p a_0+ q\\ \end{aligned}\right.& eeimg=&1&&&/p&&p&上面一个递推式直接迭代可以解得:&img src=&///equation?tex=a_n%3DC%5Cfrac%7B+p%5E%7Bn-1%7D%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_n=C\frac{ p^{n-1}}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&也就是说解可以写成: &img src=&///equation?tex=y%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+C%5Cfrac%7B+p%5E%7Bn-1%7D%7D%7Bn%21%7Dx%5En%3D%5Cfrac%7BC%7D%7Bp%7D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+p%5En%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D& alt=&y(x)=\sum_{n=0}^\infty C\frac{ p^{n-1}}{n!}x^n=\frac{C}{p}\sum_{n=0}^\infty p^n\frac{x^n}{n!}& eeimg=&1&& 的形式...&/p&&p&后来发现每次都要写这么一坨级数太烦了,经过研究发现定义 &img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%29%3A%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D& alt=&\mathrm{exp}(x):=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}& eeimg=&1&& 能减少很多麻烦.&/p&&p&然后进一步定义欧拉数 &img src=&///equation?tex=e%3A%3D%5Cmathrm%7Bexp%7D%281%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D%3D1%2B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D%2B%5Ccdots& alt=&e:=\mathrm{exp}(1)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots& eeimg=&1&&&/p&&p&这个函数性质很好,可以把加法变乘法:&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%2By%29%3D%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%29%5Cmathrm%7Bexp%7D%28y%29& alt=&\mathrm{exp}(x+y)=\mathrm{exp}(x)\mathrm{exp}(y)& eeimg=&1&&&/p&&p&&&级数绝对收敛时算符可以交换&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Cexp%28x%29+%5Ccdot+%5Cexp%28y%29+%3D%26%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D%5Cright%29+%5Ccdot+%5Cleft%28%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7By%5Em%7D%7Bm%21%7D%5Cright%29+%5C%5C+%3D%26%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7By%5Em%7D%7Bm%21%7D+%5C%5C+%3D%26%5Csum_%7Bk+%3D+0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%2Bm%3Dk%7D+%5Cfrac%7Bx%5En+y%5Em%7D%7Bm%21n%21%7D%5Cright%29+%5C%5C+%3D%26%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%28x+%2B+y%29%5Ek%7D%7Bk%21%7D+%5C%5C+%3D%26%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%2By%29+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} \exp(x) \cdot \exp(y) =&\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right) \cdot \left(\sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!}\right) \\ =&\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \frac{y^m}{m!} \\ =&\sum_{k = 0}^{\infty} \left(\sum_{n+m=k} \frac{x^n y^m}{m!n!}\right) \\ =&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x + y)^k}{k!} \\ =&\mathrm{exp}(x+y) \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&人们知道有这种性质的可以叫指数函数,于是,最后定义自然指数函数为 &img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%29+%3D+%5Cexp%281%29%5Ex+%3D+e%5Ex& alt=&\exp(x) = \exp(1)^x = e^x& eeimg=&1&& .&/p&&hr&&p&所以不是为什么出现了个 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& ,出现的是 &img src=&///equation?tex=e%5Ex& alt=&e^x& eeimg=&1&&&/p&&p&至于 &img src=&///equation?tex=e%5Ex& alt=&e^x& eeimg=&1&& 为什么会出现,楼上说的很明白了.&/p&&p&&b&因此指数函数是求导算子的特征函数------&/b&算子作用于函数后的不变量, &img src=&///equation?tex=e%5Ex& alt=&e^x& eeimg=&1&& 求导仍是本身.&/p&&p&这个和线性代数里矩阵与特征值是相似的...&/p&&p&特征值是矩阵变换后的基,特征函数也是算子变换后的基...&/p&&p&至于基为什么这样...唉...捉鸡啊...这可以另开一个问题了...&/p&&hr&&p&再举一个例子,把傅里叶变换看成一个算子,其特征函数(之一)为 &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+e%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%7D& alt=&\displaystyle e^{-\frac{1}{2}x^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&所以傅里叶变换里这个东西经常出现...&/p&&p&没有也正常,因为傅里叶变换的特征函数可以长得很不一样,比如 &img src=&///equation?tex=+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cleft%28%5Csqrt%7B2+%5Cpi+%7D+%5Cdelta+%28x%29%2B1%5Cright%29+%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cleft%7C+x%5Cright%7C+%7D%7D& alt=& \frac{1}{4} \left(\sqrt{2 \pi } \delta (x)+1\right) ,\frac{1}{\sqrt{\left| x\right| }}& eeimg=&1&& 这俩也是.&/p&
你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...想象你生活在那个微积分初创的年代,你还不知道什么通解公式之类的玩意儿,自然常数 e 还未曾知晓...你是一个站在时代前沿的数学家,你想知道微分方程: y\prime+py+q=0 的解.你觉得可以有一个性质良好的函数作为解,比…
以前我学数学分析的时候也考虑过类似的问题，几番思索过后，并没有得到什么好/系统的结果，所以转而思考反例，在这个过程中参考了几本反例书，在里面看到了几个有用的例子。相关部分截图/拍照贴上来&br&&br&《数学分析中的问题和反例》&br&&img src=&/v2-54126efe7fbdfc07efc6ce8_b.jpg& data-rawwidth=&1577& data-rawheight=&907& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1577& data-original=&/v2-54126efe7fbdfc07efc6ce8_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-7c8470024cae41a7ce1df951de92c3af_b.jpg& data-rawwidth=&1539& data-rawheight=&1214& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1539& data-original=&/v2-7c8470024cae41a7ce1df951de92c3af_r.jpg&&&br&&br&&br&《实分析中的反例》&br&&img src=&/v2-0da72778e1edfcae53b6ba947abe6560_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-0da72778e1edfcae53b6ba947abe6560_r.jpg&&&img src=&/v2-65b6c8fef10da1d9edaf7e9a_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-65b6c8fef10da1d9edaf7e9a_r.jpg&&&img src=&/v2-273ed6f68a56da_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-273ed6f68a56da_r.jpg&&&br&&br&&br&后面发现一本英文书《微积分中的反例》上面也有两个例子，不过要浅显得多，截图如下&br&&img src=&/v2-7c0d1d2caea56b107c662fb64e6539b8_b.png& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&2789& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/v2-7c0d1d2caea56b107c662fb64e6539b8_r.png&&&br&&br&&br&总的来说，研究反例对这个问题还是有帮助的，当然我们更想看到的是正面这个刚题目的，以下给出两份资料上类似但不相同的结果。&br&在谢惠民等编的《吉米多维奇数学分析习题集学习指引》第一册里有如此一命题&br&&img src=&/v2-b615cdc22f8e3cc77c6332abc6da8251_b.png& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/v2-b615cdc22f8e3cc77c6332abc6da8251_r.png&&感兴趣的朋友还可以按页末所给信息查找资料阅读&br&&br&&br&&br&而在另一本书《数学分析拾遗》（赵显曾 著）里则有更强的定理，更多的例子，截图如下&br&&img src=&/v2-219fcd832cf3e0af66fbe_b.png& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&4308& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/v2-219fcd832cf3e0af66fbe_r.png&&&img src=&/v2-384d21ee2cc2f14b76042_b.png& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&2791& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/v2-384d21ee2cc2f14b76042_r.png&&&br&&br&&br&希望能对题主有所帮助！
以前我学数学分析的时候也考虑过类似的问题，几番思索过后，并没有得到什么好/系统的结果，所以转而思考反例，在这个过程中参考了几本反例书，在里面看到了几个有用的例子。相关部分截图/拍照贴上来 《数学分析中的问题和反例》 《实分析中的反例》 后面发…
&p&“星期二男孩问题”与“三门问题”&/p&&p&（文长约9000字。原答案只有“星期二男孩问题”与“三门问题”。精力充足者可看后来补充有红眼岛自杀问题、教授的两个数字问题、两个人互相喜欢的信息对称问题、信息收到请回复的问题）。&/p&&p&首先关于“星期二男孩问题”与“三门问题”，本人整理后问题大致如下：&br&&br&1.邻居有两个孩子，已知&b&年纪更大的&/b&是男孩，求另一个是男孩的概率。&br&&br&2.邻居有两个孩子，已知&b&其中有一个&/b&是男孩，求另一个是男孩的概率。&br&&br&3.邻居有两个孩子，已知&b&年纪更大的&/b&是男孩且出生于星期二，求另一个是男孩的概率。&br&&br&4.邻居有两个孩子，已知&b&其中有一个&/b&是男孩且出生于星期二，求另一个是男孩的概率。&br&&br&5.有一个电视游戏竞猜节目，主持向竞猜者（也就是你）展示了三扇门。有一扇门之后是一辆小轿车，另两扇门之后是空房间。主持人事先知道门后是什么。&br&&br&游戏分为三步：首先，你选择一扇门；然后，主持人将会打开剩余的两扇门中的一扇，展示一个空的房间（当然他从未打开那扇后面藏有轿车的门）；最后你可以选择是仍然选择你开始选择的那扇门，还是选择去打开另一扇仍然关闭的门。&br&&br&如果你选择换门，则你获得小轿车的概率是多少？&br&&br&&br&我们假定：&/p&&p&生下来婴儿是男性或女性的概率都是二分之一；&/p&&p&生于星期几是等可能事件；&/p&&p&求神拜佛、喝药、念经、信春哥、看博爱男科医院、等待黄道吉日生孩子等事情并不会改变将要生下来的孩子是哪个性别的概率；&/p&&p&没有变性手术；&/p&&p&不存在双胞胎或者多胞胎的可能；&/p&&p&世界上只有两种性别。&/p&&p&总而言之，我们在理想情况讨论这个问题。&/p&&p&咋一看，貌似五道题答案都是二分之一。&/p&&p&毕竟两个孩子的性别是独立事件，在星期几出生与该婴儿的性别也毫无关系。&/p&&p&在第五个问题中，不管你选择哪扇门，主持人都会一边向你坏笑一边打开一扇空门，主持人打开空门这个动作看起来是多余的。&br&&br&&br&但数学有时候就是反直觉。只有第一题和第三题的答案是二分之一。&br&&br&第一题不需要我多解释。这个问题和“已知生下的第一胎是男孩，那么再生一胎还是男孩的概率是二分之一”一样。两者的确是独立事件。答案的确是二分之一。&br&&br&但是第二题的答案是三分之一。我们考虑两个孩子的四种组合，每个组合的概率都是相等的。即（男男、男女、女男、女女）。已知其中有一个男孩，我们需要排除掉（女女）的情况。那么现在的样本空间只有三种情况：（男男、男女、女男），且三种情况概率相等。于是另一个是男孩的概率只有三分之一。&br&&br&感觉第一题和第二题没有什么本质区别，为什么答案会不同？（这有点类似陶哲轩的那道红眼病自杀问题。一句看起来没有任何信息的话，却导致了上百人自杀。我有机会将在最后补充这道题）&br&&br&我们再对问题简化下：&/p&&p&第一题：某家有两个孩子，已知&b&第一个&/b&为男孩，问第二个是男孩的概率？1/2&br&&br&第二题：某家有两个孩子，已知&b&至少有一个&/b&为男孩，问第二个是男孩的概率？1/3&br&&br&两个问题中，提问的人所携带的信息是不同的！在第一题中，提问者可以说只用观测年纪大的孩子的性别，当他观测到老大是男孩的概率后，他也可能不知道另一个孩子是男是女，他也不需要去观测。于是他跑来问你，你对他说答案是二分之一，没毛病。&br&&br&第二个问题中，提问的人已经知道第二个孩子的性别信息了，这个观察者知道所有两个孩子的性别，于是告诉你:“有一个是男孩”。事实上，这个观察者已经提前帮你删除了（女女）的情况，所以最终的概率“坍缩”了。&br&&br&再来看第三题，等价于“已知在星期二生了一个男孩，求再生一个孩子仍然是男孩的概率”，（正如在评论中大多数人的答案）显然是二分之一。&br&&br&但是在第四题中，这个提问者对你说：有一个生于星期二的男孩。这句话有两层意思：第一层意思是字面意思，即有一个生于星期二的男孩，第二层潜在的意思是，&b&这个提问的人他已经观察了所有两个孩子的性别以及他们出生在星期几&/b&，和第二题类似，&b&他在作出这个描述的时候，事实上已经删除了一些可能性（两个孩子都是女孩或没有一个孩子出生在星期二的情况）&/b&。此时，我们面对的已经不是所有可能性，而只是所有可能性中的一个部分，所以概率不是 50%，而是 13/27。&/p&&p&以下是计算过程：&/p&&p&为了方便描述，我们用 “1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6”, “7” 表示周一至周日出生，”b”, “g” 表示那个孩子是男孩还是女孩，比如 “2b” 就表示某个孩子是周二出生并且是男孩，”3g” 则表示某个孩子是周三出生并且是女孩。然后我们穷举一下周一至周日7天出生的两个孩子的所有可能性，一共有 14 ×14 = 196 种可能。&/p&&p&我们再找出其中包含星期二出生的男孩的项，即包含 “2b” 的项，一共有 27 种，如下：&/p&&p&( 1b ,
2b ), ( 1g ,
2b ), ( 2b ,
1b )&/p&&p&( 2b ,
1g ), ( 2b ,
2b ), ( 2b ,
2g )&/p&&p&( 2b ,
3b ), ( 2b ,
3g ), ( 2b ,
4b )&/p&&p&( 2b ,
4g ), ( 2b ,
5b ), ( 2b ,
5g )&/p&&p&( 2b ,
6b ), ( 2b ,
6g ), ( 2b ,
7b )&/p&&p&( 2b ,
7g ), ( 2g ,
2b ), ( 3b ,
2b )&/p&&p&( 3g ,
2b ), ( 4b ,
2b ), ( 4g ,
2b )&/p&&p&( 5b ,
2b ), ( 5g ,
2b ), ( 6b ,
2b )&/p&&p&( 6g ,
2b ), ( 7b ,
2b ), ( 7g ,
2b )&/p&&p&这27种可能里另一个孩子也是男孩的情况是13种。&/p&&p&也就是说，已知一个孩子是星期二出生的男孩的情况下，另一个孩子也是男孩的可能性是 13/27 ，小于二分之一（但是接近二分之一）。&br&概率又一次发生了坍缩。&br&&br&正比如我们评价一个历史人物要在&b&当时的社会背景&/b&，不能用现在的价值观贸然去评判一个历史人物。同样的，在概率论中，提问者他所已知的信息是很重要的基础，不同的表述可能带来样本空间的改变。比如“年纪大的是出生于星期二的男孩”，这句话并没有带来另一个孩子的任何信息。而“其中有一个是出生于星期二的男孩”，&b&这句话表明提问的人已经观察过两个孩子的性别和出生日期，并且帮你删除掉两个都是女孩或者两个都不是出生于星期二的情况。&/b&你也可以理解为是联合分布。&br&&br&我们看最后一个问题，答案是换门之后，你获得小汽车的概率是三分之二。为什么？难道每扇门的概率不都是一样的吗？既然主持人不管怎样都会打开一扇空门，他打开不打开对我没影响，我换不换都无所谓啊！&br&&br&事实上，这个主持人是&b&上帝视角&/b&。（你可以理解所有出题的人都是上帝视角，正如前面那个说“有一个是出生于星期二的男孩”，你把他当做上帝视角，他知道所有小孩的性别和出生日期分布）&br&&br&假设你一开始想打开A门，然后主持人打开了C门，展示C门是空的。你有一次机会，要不要改成B门？&br&&br&这个时候你需要想想，为什么主持人偏偏不打开B这扇门呢？&br&&br&如果还不能理解，我举一个极端的例子。假设有100个门，只有一个有汽车，其他都是空的。不妨设你一开始想开第一扇门（或者如果你想打开第77扇门，那么我们将门重新编号，把原来的第77扇门编号成第1扇门，以此类推……这就是“不妨”的意思），那么你获得小汽车的概率只有百分之一。&br&&br&这个时候，假设主持人打开了第2-36扇门和第38-100扇门，他一共打开了98扇门，且门后都是空的。这个时候问你，要不要换成打开第37扇门？&br&&br&当然要换。第一扇门背后有汽车的概率只有百分之一，而第37扇门背后有车的概率是百分之99！&/p&&p&我们回过头想想，为什么主持人偏偏要绕过第37扇门？这背后大概率有猫腻。也就是说，37号门背后大概率有车。&/p&&p&我们再回到三扇门的情况。你想打开A门，一开始ABC背后有车的概率都是三分之一。在主持人打开C门之后，概率发生了“坍缩”，B背后有车的概率从三分之一变到三分之二。&br&&br&&br&所以以上问题的关键是：&b&观察者透露出多少信息&/b&。他是只知道第一个孩子的信息呢，还是已经观察了所有孩子的信息，这将决定他在做出描述时是否会在事实上删除掉一些情况，并最终影响到问题的概率。&br&&br&因此，观察者所掌握的信息的多少有时会影响到最终的概率。&/p&&p&正如猫本来是又死又活，你去观测，它就坍缩了。&br&&br&针对评论中大量反对我的，我补充几点：&/p&&p&1.天地良心，我在搜寻大量资料的基础上写下这篇文章，保证答案是对的。（可能解释有不严谨的部分。）&/p&&p&2.很多人驳斥这是高中生物题或者高中数学题：第一个是男孩，那么第二个也是男孩的概率仍然是二分之一，两者是独立事件。&b&这是对的，我没有说这是错的！这是对的，我没有说这是错的！这是对的，我没有说这是错的！&/b&这对应于我上面列的第一个问题。但是第二个问题中问题的表述已经变了。（有怀疑精神是对的，但是也不能不看完我的答案然后什么都不过脑子就来批判一番。对于反直觉的数学问题，我觉得应该心存敬畏。）&/p&&p&3.关于“坍缩”、“薛定谔的猫”，有人指出我用的不准确。我在这里仅作为比喻用。扯不扯上薛定谔的猫，与我要表达的数学问题无实际影响。&br&&br&4.独立事件并不是说你&b&觉得&/b&它独立它就独立，也并不是说你&b&认为&/b&它无关它就无关（虽然在绝大多数情况下是这样）。而是要遵循P（AB）=P（A）P（B），或者一个等价说法P（A|B）=P（A），P（B）≠0 。&/p&&p&5.有人说这是文字游戏。首先这不是文字游戏或者脑筋急转弯，其次任何数学问题，首先得在明确的语义下解读。正如极限的定义，你可以模糊地说极限就是无限逼近。但什么是无限？什么是逼近？需要更加精确自洽的语言去完美描述。&/p&&p&附：挂一个神奇的人。&br&&img src=&/v2-c3b3ffd33b500_b.png& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&/v2-c3b3ffd33b500_r.png&&&br&&/p&&p&原文到此结束，以下为补充。如果还有充足脑力的可以继续往下看。&/p&&p&让大家久等了……最后补充一下开始提到的那个关于红眼病自杀问题，其实和上面两个问题一样都是牵扯到“&b&信息&/b&”的问题。&/p&&p&一个岛上有100个人，其中有5个红眼睛，95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。&/p&&p&1. 他们不能照镜子、照湖面海面，不能看自己眼睛的颜色。 &/p&&p&2. 他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。他们不能讨论所有和红眼有关的事物。 &/p&&p&3. 一旦有人知道了自己的眼睛颜色，他就必须在&b&当天夜里&/b&自杀。 注：虽然题设了有5个红眼睛，但岛民是不知道具体数字的。&/p&&p&某天，有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩，所以他在和全岛人一起狂欢的时候，不留神就说了一句话：&b&你们这里有红眼睛的人。&/b&&/p&&p&假设这个岛上的人足够聪明，每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么？&/p&&p&此问题的第一个答案是用数学归纳法得出的：如果这个岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说这句话的第N天，他们全部都会自杀。具体到本题则是，在第5天，这个岛上的5个红眼睛会全部自杀。&/p&&p&证明过程如下：&/p&&p&如果这个岛上只有1个红眼睛，其他人都是蓝眼睛。那么，当旅行者说了这句话之后，此人立刻就会知道自己是红眼睛，他就会在当天自杀。&/p&&p&假设当这个岛上有N个红眼睛的时候，在旅行者说了这句话之后的第N天，这些红眼睛会全部自杀。&/p&&p&那么，当这个岛上有N+1个红眼睛的时候，在每个红眼睛看来，岛上都确定有N个红眼睛，并等待着他们在第N天自杀。而在第N天，大家都没有自杀。所以一到第N+1天，每个红眼睛都明白了这个岛上还有第N+1个红眼睛——他自己。于是大家都在第N+1天自杀了。&/p&&p&所以命题得证：如果这个岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说这句话的第N天，他们全部都会自杀。&/p&&p&真是一件奇怪的事情：&b&旅行者说了一句话“你们这里有红眼睛的人”之后，就有人自杀了。但是不对劲的事是——这句话根本不用旅行者说！事实上每个人都知道“我们这里有红眼睛”。更准确来说，每个人都知道“我们这里至少有四个红眼睛”。旅行者说了一句“废话”，怎么就有人自杀了呢？&/b&&/p&&p&如果你看晕了，可以看这个简化版本：&/p&&p&我们假设100个人中只有两个红眼睛：小郭和小敬。在小郭眼里，他看到98个蓝眼睛和一个红眼睛（即小敬），他心想：“可能小敬是唯一的红眼，也可能我和小敬是唯一的两个红眼。但是我不能确定，而且在现有的宗教规则下，我永远不能确定。”同时，在小敬的眼里，他也看到98个蓝眼睛和一个红眼（即小郭）。他的想法和小郭一样。&/p&&p&剩下98个人则是看到了两个红眼。同时每个人都想“可能只有小郭和小敬是红眼，也可能我和他俩一共三人是红眼，但是我永远不能确定。”&/p&&p&总之，每个人都知道“这岛上至少有一个红眼”。但是每个人都不能百分百确定自己是否会自杀。&/p&&p&好了，现在旅行者说了一句话“你们之中有红眼”。这时候，小郭会这么想：“如果小敬是唯一的红眼，那么他今晚该自杀了。愿他走好。”同时，小敬也想：“如果小郭是唯一的红眼，那么他今晚该自杀了。希望来世还能和他成为基友。”&/p&&p&两个人都在等对方自杀，结果就是第一天无人自杀。&/p&&p&小郭在内心的想法是这样的：“卧槽，原来小敬不是唯一那个红眼，那剩下98个人明确是蓝眼，剩下的那个红眼就是我了！哎，我今晚得自杀了！”&/p&&p&小敬的想法也是类似。&/p&&p&于是第二天晚上小郭和小敬自杀了。&/p&&p&剩下98个人于是都知道自己是蓝眼，于是在接下来一天都“你是风儿我是沙”地一起自杀了。&/p&&p&&b&可是，旅行者看起来说了一句废话啊！不用等到旅行者说那句话，每个人其实都已经知道“岛上至少有个红眼”。可是旅行者说了那句话后，大家怎么就知道自己的颜色了呢？&/b&&/p&&p&我们再将问题提升复杂一点：我们假设100个人中有三个红眼：小郭、小敬、小明。&/p&&p&在小郭眼里，他看到小敬和小明是红眼。于是在他的想法里，小敬和小明应该在第二天自杀（这是我们刚刚讨论过的情况）。结果他俩并没有在第二天自杀。于是小郭痛彻心扉地理解了一个事实：“原来我也是红眼！”&/p&&p&小敬和小明的脑回路也是这样想的！&/p&&p&第三天，三人一起自杀了。&/p&&p&于是回到原题，四个人的情况在第四天自杀，五个人的情况在第五天自杀。&/p&&p&为什么会有这样的悖论？&/p&&p&事实上，旅行者说的那句话是有信息的！&/p&&p&我们注意这样一个事实：&b&“每个人都知道这件事情”与“每个人都知道每个人都知道这件事情”是不同的！&/b&&/p&&p&比如公司的老板特朗普有两个秘书分别是小郭和小敬，特朗普和这两个秘书都有一腿。于是，每个人都知道“这两个秘书间至少有一个人与特朗普有一腿”。有一天，特朗普喝醉酒说出了这句话，即：你们两个秘书间至少有一个人与我特朗普有一腿。接下来的情节就有趣了。小郭想，如果小敬是清白了，那么小敬岂不是知道我和特朗普有一腿了？同样的道理，小敬也是这样想的。&/p&&p&每个人都知道“这两个秘书间至少有一个人与特朗普有一腿”，&b&但是不一定每个人都知道“每个人都知道这两个秘书间至少有一个人与特朗普有一腿”。&/b&是不是很绕……&/p&&p&没关系，我再举第二个例子。假设郭教授叫上你和小明玩游戏。&/p&&p&游戏是这样的：郭教授分别在两张卡片写下两个数字，即5和7。然后随机贴在你们的额头上。你们不能看见自己的数字，但是能够看到对方的数字。郭教授告诉你们：你们的数字相差2。&/p&&p&假设你们不能语言交流、心灵感应等等。只能看到对方的数字。&/p&&p&你和小明都明白这样一个事实：“我们两个人的数字都小于10”。为什么？不妨设你的数字是5，小明的数字是7。你看到小明的数字是7，于是你猜测你的数字只能是5或者9。同样，小明看到你的数字是5，猜测他自己的数字只能是3或者7。&/p&&p&那么有意思的事情来了，&b&我不能确定小明是否得出“我们俩的数字都小于10”这个结论&/b&。&/p&&p&就像我刚刚举的那个只有两个红眼病（小郭和小敬）的例子：&/p&&p&我们记事情A是：“我们其中至少有一个人是红眼”。&/p&&p&事情B是：“我们每个人都知道事实A了。”&/p&&p&作为小郭和小明，他们都知道事情A，这是能确定的。但是不能确定的是，他们是否知道事情B。我能确定我们岛上有红眼病，但是小敬能不能确定？我不知道。直到旅行者说了之后，我才能确定。&/p&&p&旅行者说之前，A是共有信息。旅行者说之后，A成为了公共信息。&/p&&p&我能确定至少有一人和特朗普有一腿，但是小敬能不能确定？我不知道。直到特朗普说了之后我才能确定。&/p&&p&这个问题中，事情A是“我们的数字都小于10”。&/p&&p&事情B是“我们都知道我们的数字小于10”。&/p&&p&两位同学可以确定A，但是并不能确定B。&/p&&p&我看到小明的数字是7，我可以猜测我的数字是9（当然有样的可能性）。在我的数字是9的情况下，我可以合理猜测：小明看到我的数字是9会觉得他自己的数字是11！这样一来，我们俩中有人的数字可能大于10。&/p&&p&这还不是最骚的，更骚的是，在小明的眼里，他觉得自己是数字是11的情况下，他可能会认为：我看到的数字是11并且我可能认为自己的数字是13！这样一来，俩人的数字都可能大于10了！&/p&&p&这仍不是最骚的，更骚的是，数字可以无穷无尽下去……你认为13，我认为你认为15，你认为我认为你认为17……&/p&&p&如果还觉得很晕的话，请深呼吸后看第三个例子：&/p&&p&古代交通不便，平时的书信可能因为路途遥远、天灾人祸、中途被劫匪劫走、中途被老鼠吃了而导致未送达对方，会造成很多不必要的担忧、麻烦、误会之类。&/p&&p&假设在北京的李白去成都找杜甫玩。&/p&&p&李白在成都和杜甫欢度了一段非常快乐的时光。最后李白要走时，杜甫说道：“李白乘舟将欲行，忽闻……不对，李白啊，现在外面这么乱，天灾人祸这么多，路上得多小心！你到达北京之后一定要写信告诉我你已经安全回到了北京，免得我日夜担心！”&/p&&p&李白说“我肯定会第一时间给你写信报平安的！你要知道，如果你在担心我的平安，我也会很难受的！我不能让你担心我。你本来就有抑郁症，如果你总在担心我，我会担心你的身体会因忧郁过度而垮掉！”&/p&&p&几个月后，李白回到了京城。李白写信“杜甫小弟，我已经安全到北京了！”，正当要投信的时候，李白转念一想，万一这信件没送到杜甫手上怎么办？那这样的话，杜甫就得继续日夜担心我了！那这样我也会很难受的！于是李白又加了一句话“收到请回复。”好了，信发出去了。&/p&&p&杜甫收到了信。这时杜甫留下了感动的泪水：“李白总算安全回到了北京”。于是杜甫兴高采烈地带着全家去吃肯德基。出门之前转念一想，“不够，李白现在肯定还在担心我呢！他说过，如果我在担心他的安危，他会很难受，他也会担心我这样日夜担心会导致我身体吃不消。我必须告诉李白，信我收到了”。&/p&&p&于是杜甫写了一封信：“亲爱的李白，我已经收到了信，很高兴你安全地回到了北京。我现在不担心你的安危了，我倒是在担心你是否知道我已经不再担心你的安危了。所以你收到这封信的时候，务必要回复我哦，否则