sinz在z=1处的无穷远处 泰勒展开开

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-11-09 14:55 标签： 泰勒在0处展开
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您可不可以帮我把e^(z/z-1)展开成z的幂级数?我只会解e^z或者sinz这种问题,对于我刚才提的问题及e^(z^2)*sinz^2这种难度的就不会解了,
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(1)e^(z/(z-1))无法给出通式1.e^(z/(z-1))=e^(1+1/(z-1))可以按照泰勒展开令[e^(1+1/(z-1))](n)'代表n次导数那么[e^(1+1/(z-1))](1)'=[e^(1+1/(z-1))]*[-1/(z-1)^2][e^(1+1/(z-1))](2)'=[e^(1+1/(z-1))]*[1/(z-1)^4]+[e^(1+1/(z-1))]*[2/(z-1)^3]==[e^(1+1/(z-1))]*[(2z-1)/(z-1)^4][e^(1+1/(z-1))](3)'= (e^(z/(z-1)) (-6 z^2+6 z-1))/(z-1)^6...求出每个在x=0的值得到1-z-z^2/2-z^3/6+z^4/24+(19 z^5)/120+O(z^6)2.e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+...e^(z/(z-1))=1+z/(z-1)+(z/(z-1))^2/2+(z/(z-1))^3/3+...又z/(z-1)= -z/(1-z)=-z-z^2-z^3-z^4+...[z/(z-1)]^n=(-z)^n * (1+c(n,1)z+(c(n,1)+c(n,2))z^2+(c(n,1)+c(n,2)+c(n,3))z^3+...)令bni=c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,i)对应的有[z/(z-1)]^n=(-z)^n * (1+bn1*z+bn2*z^2+...)e^(z/(z-1))=1+z/(z-1)+(z/(z-1))^2/2+(z/(z-1))^3/3+...==1-z(1+b11*z+b12*z^2+...)+z^(1+b21*z+b22*z^2+...)+...对应的z^n的系数是(+b1n+b2n+b3n+...+bnn)/n!这里只是抽象的写出系数的解析式,并不具有实际意义.那么还是通过求值得1-z-z^2/2-z^3/6+z^4/24+(19 z^5)/120+O(z^6)(2)e^(z^2)*sinz^2反而比较容易按照e^x=1+x+x^2/2+...展开得e^(z^2)=1+z^2+z^4/2+...sin(z^2)=z^2-z^6/3!+z^10/5!...e^(z^2)*sin(z^2)=z^2+z^4+z^6/3-z^10/30-z^12/90-z^14/630...想不出有什么好的方法.
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复变函数（教学课件）No.10-ch4.ppt 24页
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§4.2 泰勒级数 分析：f (z), 区域D, 解析,圆周K: |z-z0|=r. 按柯西积分公式, 有 代入(4.7)式得 由解析函数高阶导数公式,
上式可写成 在K内成立, 即f(z)可在K内用幂级数表达 q与积分变量无关, 且0?q&1. f(z) 在K上有界, |f(z)|?M. 因此, 在K内 此式称为f(z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.
定理4.9(泰勒展开定理)
设f(z)在区域D内解析, z0为D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z-z0|&d时,
1)任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.
2)解析函数的又一特征：可展成幂级数。 (解析函数的定义？三个特征？）
1）因为, 假设f(z)在z0用另外的方法展开为泰勒级数: f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+...+an(z-z0)n+..., 则
f(z0)=a0. 而 f '(z)=a1+2a2(z-z0)+... 于是 f '(z0)=a1. 同理可得 2.几个初等函数的幂级数展式 例4.6求ez在z=0处的泰勒展开式, 由于
(ez)(n)=ez, (ez)(n)|z=0=1, (n=0,1,2,...) 故有 同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式: 因为sin z与cos z在复平面上处处解析, 所以这些等式也在复平面内处处成立. 2)间接展开法:
借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质(逐项求导 、积分)间接得到一个函数的泰勒展开式. 例如: 例4.8
求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式. [解]
ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|&1展开为z的幂级数. 第四章
作业(要求抄题目) P87, 5, 7(1)(3), 10,11(2)(7), 12(5), 16(5), 18(1)(2) *
由上一节我们知道，幂级数的和函数在收敛圆内是一个解析函数.反过来,任一解析函数能不能用一个幂级数表示?
1.泰勒展开定理 z0 K z r z 2）… 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为?. 1)直接展开法: -1 O R=1 x y
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