2012年各省高中数学竞赛预赛试题汇编[1]-共享资料网
2012年各省高中数学竞赛预赛试题汇编[1]
2012 各省数学竞赛汇集1目录1.2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第 3 页 2. 2012 年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第 7 页 3. 2012 年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第 10 页 4. 2012 年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第 16 页 5. 2012 年高中数学联赛上海市预赛试卷------第 21 页 6. 2012 年高中数学联赛四川省预赛试卷------第 28 页 7. 2012 年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第 35 页 8. 2012 年高中数学联赛山东省预赛试卷---第 45 页 9. 2012 年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第 50 页 10. 2012 年高中数学联赛河北省预赛试卷---第 55 页 11. 2012 年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第 62 页 12. 2012 年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第 72 页 13. 2012 年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第 77 页 14. 2012 年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第 81 页 15. 2012 年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第 83 页22012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70 分） 1、当 x ?[?3,3] 时，函数 f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为__18___.???? ??? ? ???? ??? ? 2、在 ?ABC 中，已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ___4____.3 、 从 集合 ?3, 4,5,6,7,8? 中 随 机 选取 3 个 不同 的 数， 这 3 个数 可 以构 成 等差 数 列的概 率 为 _____3 _______. 104、已知 a 是实数，方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b （ i 是虚部单位） ，则 | a ? bi | 的值 为_____ 2 2 ___. 5、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C : 为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 ___x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ，一条过原点 O 且倾斜角 12 4，则直线的斜率为A, B 两 点 . 若 ?FAB 的 面 积 为 8 31 ____. 2? a lg a 的取值范围是___ [1, ??) _____.6、已知 a 是正实数， k7、在四面体 ABCD 中， AB ? _____ 5 8 、AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的体积为3 _______.已 知 等 差 数 列?an ?和等比数列?bn ?___满足： ___.a1 ?b13 ? ,*a2 ?ba ? , b31 ? 5 , a4 ? 27 3?b4则 ? 3an ? 5 bn ,?3n?1 ? 2n（n? N ）71， 75 这 7 个数排成一列，使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数，则这样 9、将 27,37,47,48,55，的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为 31 ，三边 a, b, c 均为整数，且 a ? b ? c ，则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的 个数为__24___. 二、解答题（本题 80 分，每题 20 分） 11、在 ?ABC 中，角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ，证明：3（1） b cos C ? c cos B ? a（2）cos A ? cos B ? a?b2sin 2 cC 212 、 已 知a, b为 实 数 ，a?2， 函 数f ( x? )a | lx ? n x? b | x ?( .若0 )f (1) ? e ? 1, f (2) ?（1）求实数 a , b ； （2）求函数e ? ln 2 ? 1 . 2f ( x) 的单调区间；（3）若实数 c , d 满足 c ? d , cd? 1，求证： f (c) ? f (d )413、如图，半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线OM上有一动点 B ,AB ? 1, OB ? 1 . 线段 AB 交圆 O 于另一点C ， D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.514、设是 a, b, c, d 正整数， a , b 是方程 x 数且面积为 ab 的直角三角形.2? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明：存在边长是整62012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅，只要思 路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ） 1．已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? b}, a, b ? N，且 A ? B ? N ? {1} ，则 a ? b ? 1 ． 2．已知正项等比数列 {a n } 的公比 q ? 1 ，且 a 2 , a 4 , a 5 成等差数列，则3? 5 a1 ? a 4 ? a 7 ． ? a3 ? a6 ? a9 23．函数 f ( x) ?6 x ?1 ]． 的值域为 [0, x ? 4x ? 7 624．已知 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1 ， 3(sin ? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ，则 cos 2(? ? ? ) ? ? 5．已知数列 {a n } 满足： a1 为正整数，? an ? , a n 为偶数, a n ?1 ? ? 2 ? ?3a n ? 1, a n 为奇数,1 ． 3如果 a1 ? a 2 ? a3 ? 29 ，则 a1 ?5．76．在△ ABC 中，角 A, B, C 的对边长 a, b, c 满足 a ? c ? 2b ，且 C ? 2 A ，则 sin A ?7 ． 4p 的 q7．在△ ABC 中， AB ? BC ? 2 ， AC ? 3 ．设 O 是△ ABC 的内心，若 AO ? p AB ? q AC ，则值为3 ． 25 5 ? x3 8．设 x1 , x 2 , x 3 是方程 x3 ? x ? 1 ? 0 的三个根，则 x15 ? x2 的值为－5．二、解答题（本大题满分 56 分，第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，第 11 题 20 分） 9．已知正项数列 {a n } 满足 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ?1 ? an ?1 ? 3 an an ?1 且 a1 ? 1 ， a2 ? 8 ，2求 {a n } 的通项公式． 解 在已知等式两边同时除以 a n a n ?1 ，得 1 ?a n?2 a ? 4 1 ? n ?1 ? 3 ， a n ?1 an所以1?an ? 2 a ? 1 ? 4( 1 ? n ?1 ? 1) ． an ?1 an------------------------------------------4 分令 bn ? 1 ? 所a n ?1 ? 1 ,则 b1 ? 4, bn ?1 ? 4bn ，即数列 {bn } 是以 b1 ＝4 为首项,4 为公比的等比数列， an以bn ? b1 ? 4 n ?1 ? 4 n.------------------------------------------8 分 所以 1 ?a n ?1 ? 1 ? 4 n ,即 a n ?1 ? [(4 n ? 1) 2 ? 1]a n . an------------------------------------------12 分于是，当 n ? 1 时,a n ? [(4 n ?1 ? 1) 2 ? 1]a n ?1 ? [(4 n ?1 ? 1) 2 ? 1] ? [(4 n ? 2 ? 1) 2 ? 1]a n ? 2???? [(4k ?1n ?1k ?1? 1) 2 ? 1]a1 ?? [(4k ?1n ?1k ?1? 1) 2 ? 1] ，因此, a n ? ? n ?1 k ?1 ? [(4 ? 1) 2 ? 1], n ? 2.? ? k ?1?1, ?n ? 1,------------------------------------------16 分10．已知正实数 a, b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ，且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ，求 m 的最小值． 解 令 a ? cos ? , b ? sin ? ， 0 ? ? ??2，则8m?cos3 ? ? sin 3 ? ? 1 (cos? ? sin ? )(cos2 ? ? cos? sin ? ? sin 2 ? ) ? 1 ． ----------------------------------? (cos? ? sin ? ? 1) 3 (cos? ? sin ? ? 1) 3-----5 分 令x ? cos? ? sin ?，则x ? 2 sin(? ??4) ? (1, 2 ]，且x 2 ?1 c ? s o ? ?i s n．------------------------------10 分 2于是x(1 ? m? x 2 ?1 ) ?1 2 ? 3x ? x 3 2 ? x ? x 2 2? x 3 1 2 ? ? ? ? ? ． 3 3 2 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2( x ? 1) 2( x ? 1)------------------------------15 分 因为函数 f ( x) ? 因f ( 2) ?3 1 ? 在 (1, 2 ] 上单调递减，所以 f ( 2 ) ? m ? f (1) ． 2( x ? 1) 2此3 2 ?4 ． 2，m的最小值为------------------------------------------20 分11．设 f ( x) ? loga ( x ? 2a) ? loga ( x ? 3a) ，其中 a ? 0 且 a ? 1 ．若在区间 [a ? 3, a ? 4] 上 f ( x) ? 1 恒 成立，求 a 的取值范围． 解f ( x )? l oa gx (? ax5 ? a 6? )2 2a5a 2 a 2 lx o? g [( ? ) ． 2 4]由?5a 3 ? x ? 2a ? 0, 3 得 x ? 3a ，由题意知 a ? 3 ? 3a ，故 a ? ，从而 (a ? 3) ? ? (a ? 2) ? 0 ，故 2 2 2 ? x ? 3a ? 0,5a a2 g(x ? ) x ? ( 2 ? 2 4 )在区 间[a ? 3, a ? 4]函数上单调递增.------------------------------------------5 分 （1）若 0 ? a ? 1 ，则 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递减，所以 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上的最 大值为 f (a ? 3) ? loga (2a 2 ? 9a ? 9) ． 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立，等价于不等式 loga (2a 2 ? 9a ? 9) ? 1 成立，从而2a 2 ? 9a ? 9 ? a ，解得 a ?5? 7 5? 7 或a ? ． 2 2 结合 0 ? a ? 1 得 0 ? a ? 1 ．------------------------------------------10分 （2）若 1 ? a ?3 ，则 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增，所以 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上的最 29大值为 f (a ? 4) ? log a (2a 2 ? 12a ? 16) . 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立，等价于不等式 log a (2a 2 ? 12a ? 16) ? 1 成立，从而2a 2 ? 12a ? 16 ? a ，即 2a 2 ? 13a ? 16 ? 0 ，解得13 ? 41 13 ? 41 ． ?a? 4 4易知 分13 ? 41 3 所以不符合． ? ， 4 2------------------------------------------15综上可知：a 的取值范围为 (0,1) ． 分------------------------------------------202012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅，只要思 路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ） 1．函数 f ( x) ? 2cx ?1 的值域为________________． x ? 4x ? 72．已知3s2i? ?n 2s2i? ?n 1，3(sin ? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1，则2 o (? ?s? ) ? _______________．? an ? a n 为偶数, 3 ． 已知数 列 {a n } 满 足： a1 为 正整 数， a n ?1 ? ? 2 , 如 果 a1 ? a 2 ? a3 ? 29 ， 则 ? 3 a ? 1 , a 为奇数 , n ? na1 ?． 4．设集合 S ? {1,2,3, ?,12} ， A ? {a1 , a 2 , a3 } 是 S 的子集，且满足 a1 ? a 2 ? a 3 ， a3 ? a 2 ? 5 ，那么 ．y2 x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 M , N 两点，P 是椭圆 C 上异于 M , N 2 a b2满足条件的子集 A 的个数为 5． 过原点 O 的直线 l 与椭圆 C ：的任一点．若直线 PM , PN 的斜率之积为 ? ，则椭圆 C 的离心率为_______________． 6．在△ ABC 中， AB ? BC ? 2 ， AC ? 3 ．设 O 是△ ABC 的内心，若 AO ? p AB ? q AC ，则 值为_______________． 7．在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，已知 AC ? 1, B1C ? 2 , AB1 ? p ，则长方体的体积最大时， p 为_______________．p 的 q1 31020128．设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，则?[k ?02012 ? 2 k ]? 2k ?1．二、解答题（本大题满分 56 分，第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，第 11 题 20 分） 9．已知正项数列 {a n } 满足 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ?1 ? an ?1 ? 3 an an ?1 且 a1 ? 1 ， a2 ? 8 ，2求 {a n } 的通项公式．10．已知正实数 a, b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ，且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ，求 m 的取值范围．11．已知点 E(m, n) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 内一定点，过 E 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条直线交 抛物线于 A, B, C, D ，且 M , N 分别是线段 AB, CD 的中点．11（1）当 n ? 0 且 k1 ? k 2 ? ?1 时，求△ EMN 的面积的最小值； （2）若 k1 ? k 2 ? ? （ ? ? 0, ? 为常数） ，证明：直线 MN 过定点．2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅，只要思 路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ） 1．函数 f ( x) ?6 x ?1 ]． 的值域为 [0, x ? 4x ? 7 622．已知 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1 ， 3(sin ? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ，则 cos 2(? ? ? ) ? ? 3．已知数列 {a n } 满足： a1 为正整数，a n ?1 ? an ? , a n 为偶数, ?? 2 ? ?3a n ? 1, a n 为奇数,1 ． 3如果 a1 ? a 2 ? a3 ? 29 ，则 a1 ? 5 ． 4．设集合 S ? {1,2,3, ?,12} ， A ? {a1 , a 2 , a3 } 是 S 的子集，且满足 a1 ? a 2 ? a 3 ， a3 ? a 2 ? 5 ，那么12满足条件的子集 A 的个数为1852．25． 过原点 O 的直线 l 与椭圆 C ：y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 M , N 两点，P 是椭圆 C 上异于 M , N 2 a b1 3的任一点．若直线 PM , PN 的斜率之积为 ? ，则椭圆 C 的离心率为6 ． 3p 的 q6．在△ ABC 中， AB ? BC ? 2 ， AC ? 3 ．设 O 是△ ABC 的内心，若 AO ? p AB ? q AC ，则值为3 ． 27．在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，已知 AC ? 1, B1C ? 2 , AB1 ? p ，则长方体的体积最大时， p为 1?2 3 ． 320128．设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，则?[k ?02012 ? 2 k ]? 2k ?12012．二、解答题（本大题满分 56 分，第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，第 11 题 20 分） 9．已知正项数列 {a n } 满足 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ?1 ? an ?1 ? 3 an an ?1 且 a1 ? 1 ， a2 ? 8 ，2求 {a n } 的通项公式． 解 在已知等式两边同时除以 a n a n ?1 ，得 1 ?a n?2 a ? 4 1 ? n ?1 ? 3 ， a n ?1 an所以1?an ? 2 a ? 1 ? 4( 1 ? n ?1 ? 1) ． an ?1 an------------------------------------------4 分令 bn ? 1 ? 所a n ?1 ? 1 ,则 b1 ? 4, bn ?1 ? 4bn ，即数列 {bn } 是以 b1 ＝4 为首项,4 为公比的等比数列， an以bn ? b1 ? 4 n ?1 ? 4 n.------------------------------------------8 分 所以 1 ?a n ?1 ? 1 ? 4 n ,即 a n ?1 ? [(4 n ? 1) 2 ? 1]a n . an------------------------------------------12 分于是，当 n ? 1 时,a n ? [(4 n ?1 ? 1) 2 ? 1]a n ?1 ? [(4 n ?1 ? 1) 2 ? 1] ? [(4 n ? 2 ? 1) 2 ? 1]a n ? 2????k ?1n ?1[(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1]a1 ?? [(4k ?1n ?1k ?1? 1) 2 ? 1] ，13因此, a n ? ? n ?1 k ?1 ? [(4 ? 1) 2 ? 1], n ? 2.? ? k ?1?1, ?n ? 1,------------------------------------------16 分10．已知正实数 a, b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ，且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ，求 m 的取值范围． 解 令 a ? cos ? , b ? sin ? ， 0 ? ? ?m??2，则cos3 ? ? sin 3 ? ? 1 (cos? ? sin ? )(cos2 ? ? cos? sin ? ? sin 2 ? ) ? 1 ． ----------------------------------? (cos? ? sin ? ? 1) 3 (cos? ? sin ? ? 1) 3-----5 分 令x ? cos? ? sin ?，则x ? 2 sin(? ??4) ? (1, 2 ]，且x 2 ?1 c ? s o ? ?i s n．------------------------------10 分 2于是x(1 ? m? x 2 ?1 ) ?1 2 ? 3x ? x 3 2 ? x ? x 2 2? x 3 1 2 ? ? ? ? ? ． 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 ( x ? 1) 3 2( x ? 1) 3 2( x ? 1) 2------------------------------15 分 因为函数 f ( x) ? 又m ?[ 3 2 ?4 1 , )． 2 43 1 ? 在 (1, 2 ] 上单调递减，所以 f ( 2 ) ? m ? f (1) ． 2( x ? 1) 2f (1) ?1 3 2 ?4 , f ( 2) ? 4 2，所以--------------------------------------20 分11．已知点 E(m, n) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 内一定点，过 E 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条直线交 抛物线于 A, B, C, D ，且 M , N 分别是线段 AB, CD 的中点． （1）当 n ? 0 且 k1 ? k 2 ? ?1 时，求△ EMN 的面积的最小值； （2）若 k1 ? k 2 ? ? （ ? ? 0, ? 为常数） ，证明：直线 MN 过定点． 解 AB 所在直线的方程为 x ? t1 ( y ? n) ? m ，其中 t1 ?1 ，代入 y 2 ? 2 px 中，得 k1y 2 ? 2 pt1 y ? 2 pt1n ? 2 pm ? 0 ，设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则有 y1 ? y 2 ? 2 pt1 ，从而x1 ? x2 ? t1 ( y1 ? y2 ? 2n) ? 2m ? t1 (2 pt1 ? 2n) ? 2m ．则 M ( pt1 ? nt1 ? m, pt1 ) ．214CD 所在直线的方程为 x ? t 2 ( y ? n) ? m ，其中 t 2 ?1 2 ，同理可得 N ( pt2 ? nt2 ? m, pt2 ) ． k2------------------------------------------5 分2 2 （ 1 ） 当 n ? 0 时 ， E (m , 0)， M ( pt1 ? m, pt1 ) ， N ( pt2 ? m, pt2 ) ， | EM |?| pt 1 | 1 ? t1 2 ，| EN |?| pt 2 | 1 ? t 2 ．2又 k1 ? k 2 ? ?1 ，故 t1 ? t 2 ? ?1 ，于是△ EMN 的面积S?1 1 p2 | EM | ? | EN |? | p 2t1t2 | (1 ? t12 )(1 ? t2 2 ) ? ? 2 ? t12 ? t2 2 2 2 2?p2 ? 4 ? p2 ， 2当且仅当 | t1 |?| t 2 |? 1 时等号成立． 所以， △ EMN 的面积的最小值为 p . （2） k MN ?p(t1 ? t 2 ) p(t1 ? t 2 ) ? n(t1 ? t 2 )2 22------------------------------------------10 分1?(t1 ? t 2 ) ? 1n p，MN 所在直线的方程为 y ? pt1 ?n (t1 ? t 2 ) ? p? [ x ? ( pt1 ? nt1 ? m] ，2即 y(t1 ? t 2 ? ) ? pt1t 2 ? x ? m ． 又 k1 ? k 2 ?n p------------------------------------------15 分t ?t n t ?t 1 1 ? ? ? ，即 t1t 2 ? 1 2 ，代入上式，得 y (t1 ? t2 ? ) ? p ? 1 2 ? x ? m ， t1 t 2 ? p ?p ny即 (t1 ? t 2 )( y ? ) ? x ? ? m ． ? pp ? ?y ? ? ny 当 y ? ? 0 时，有 x ? ? m ? 0 ，即 ? 为方程的一组解， n p ? ?x ? m ? ? ?p所以直线 MN 恒过定点 (m ?? ?n p , )．------------------------------------------20 分151617181920212012 年上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分） 1.如图,正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又 围成一个正六边形 A2 B2C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些 六边形的面积和是 .B2 E2 B1 A2 F2 A1F12. 已知正整数 a1 , a2 ,? , a1 0 满足 : 的最小可能值是 .aj3 ? ,1 ? i ? j ? 10 , 则 a10 ai 2C2 C1D2E1D13.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ?17 4 ， cot ? ? cot ? ? cot ? ? ? , cot ? cot ? 6 5 17 . ? cot ? cot ? ? cot ? cot ? ? ? ，则 tan ?? ? ? ? ? ? ? 5A D4． 已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实数解， 则实数 k 的 取值范围是 .F5 ．如图， ?AEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形，已知?AEF ? 90? ， AE ? a, EF ? b, a ? b ，则 x ?B EC.6．方程 2m ? 3n ? 3n?1 ? 2m ? 13 的非负整数解 ? m, n ? ?.7．一个口袋里有 5 个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑 色的，依次从中摸出 5 个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 . （用数字作答） 8 ． 数 列 ?an ? 定 义 如 下 ： a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ?am ? 2 ? 2011 ，则正整数 m 的最小值为 20122 ? n ? 1? n?2 an ?1 ? n an , n ? 1, 2,? . 若 n?2.22二、解答题 9． （本题满分 14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB ? x ， BC ? 1 ，对角线 AC 与 BD 的夹角 ?BOC ? 45? ，记直线 AB 与 CD 的距离为 h( x) ． 求 h( x) 的表达式，并写出 x 的取值范围．A D CO B10． （本题满分 14 分）给定实数 a ? 1 ，求函数 f ( x) ?(a ? sin x)(4 ? sin x) 的最小值． 1 ? sin x11． （本题满分 16 分）正实数 x, y, z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ，求证： （1） xy ? yz ? zx ?4 ； 3（2） x ? y ? z ? 2 ．2312． （本题满分 16 分）给定整数 n(? 3) ，记 f (n) 为集合 ?1, 2,? , 2 n ? 1? 的满足如下两个 条件的子集 A 的元素个数的最小值： （a） 1? A, 2n ? 1? A ； （b） A 中的元素（除 1 外）均为 A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求 f (3) 的值； （2）求证： f (100) ? 108 ．242012 年上海市高中数学竞赛答案1、9 3 42、92 4、 ? ??, 0 ? ? ?4?a23、11 5、 7、a 2 ? (a ? b) 26、 ? 3, 0 ? , ? 2, 2 ?2 8、．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 1 1 ① OB 2 ? OC 2 ? ( AB 2 ? BC 2 ) ? ( x 2 ? 1) ． 2 2 ???????（2 分）在△OBC 中，由余弦定理BC 2 ? OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC cos ?BOC ，所以 由①，②得OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? 1 ，x2 ?1 OB ? OC ? ． 2 2② ③ ???????（5 分）所以SA B C D ?4S ?O B C1 ? 4 ? O B? O C s i n? B O C 2x2 ?1 ， 2 x2 ?1 ， 2? 2 OB ? OC ?故AB ? h( x) ?25所以x2 ?1 ． h( x ) ? 2x???????（10 分）由③可得， x2 ? 1 ? 0 ，故 x ? 1 ． 因为 OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ，结合②，③可得1 2 x2 ? 1 ( x ? 1) ? 2 ? ， 2 2 2解得（结合 x ? 1 ） 综上所述， h( x) ? 10．解 f ( x) ? 当1 ? a ?． 1 ? x ? 2 ?1x2 ?1 ，1 ? x ? 2 ?1 ． 2x???????（14 分）(a ? sin x)(4 ? sin x) 3(a ? 1) ? 1 ? sin x ? ?a?2． 1 ? sin x 1 ? sin x7 时， 0 ? 3(a ? 1) ? 2 ，此时 3 3(a ? 1) f ( x) ? 1 ? sin x ? ? a ? 2 ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 ， 1 ? sin x且当 sin x ? 3( a ? 1) ? 1 ?? ? ?1,1?? 时不等式等号成立，故 f min ( x) ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 ． ???????（6 分） 7 3(a ? 1) 当 a ? 时， 3(a ? 1) ? 2 ，此时“耐克”函数 y ? t ? 在 0, 3( a ? 1) ? ? 内是递 3 t 减，故此时 3(a ? 1) 5(a ? 1) ． f min ( x) ? f (1) ? 2 ? ?a?2? 2 2?7 ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2, 1 ? a ? ; ? 3 综上所述， f min ( x) ? ? ? 5( a ? 1) 7 ? , a? . ? 3 ? 2???????（14 分）11．证 （1）记 t ?xy ? yz ? zx ，由平均不等式 3xyz ??3( xy )( yz )( zx)?3 2? xy ? yz ? zx ? 2 ?? ? ． 3 ? ?3???????（4 分）于是4 ? 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 9t 3 ? 3t 2 ，26所以2? 3t ? 2 ? ? 3t 2 ? 3t ? 2 ? ? 0 ，2 ，从而 3 4 x y? y z ? z? x ． 3而 3t ? 3t ? 2 ? 0 ，所以 3t ? 2 ? 0 ，即 t ????????（10 分）（2）又因为( x ? y ? z )2 ? 3( xy ? yz ? zx) ，所以 故( x ? y ? z )2 ? 4 ，x? y?z ? 2．???????（16 分）12．解 （1）设集合 A ? ?1, 2,? , 23 ? 1 ， （b） ．则 1? A, 7 ? A ．由于 ? ，且 A 满足（a） ，故 ?1, m, 7? ? m ? 2, 3,? , 6? 不满足（b）A ?3．又 ?1, 2,3, 7? , ?1, 2, 4, 7? , ?1, 2,5, 7? , ?1, 2, 6, 7? , ?1,3, 4, 7? , ?1,3,5, 7? , ?1,3, 6, 7? ,?1, 4,5, 7? , ?1, 4, 6, 7? , ?1,5, 6, 7? 都不满足（b） ，故 A ? 4 ．而集合 ?1, 2, 4, 6, 7? 满足（a） ， （b） ，所以 f (3) ? 5 ． ???????（6 分） （2）首先证明f (n ? 1) ? f (n) ? 2, n ? 3, 4,? ．①事实上，若 A ? ?1, 2,? , 2n ? 1? ，满足（a） ， （b） ，且 A 的元素个数为 f (n) ． 令 B ? A ? ?2n ?1 ? 2, 2n ?1 ? 1? ，由于 2n?1 ? 2 ? 2n ?1 ，故 B ? f (n) ? 2 ． 又 2n?1 ? 2 ? 2(2n ? 1), 2n?1 ? 1 ? 1 ? (2n?1 ? 2) ，所以，集合 B ? ?1, 2,? , 2n ?1 ? 1 ? ，且 B 满足（a） ， （b） ．从而f (n ? 1) ? B ? f (n) ? 2 ．其次证明：???????（10 分）f (2n) ? f (n) ? n ? 1, n ? 3, 4,?．②事实上，设 A ? ?1, 2,? , 2n ? 1? 满足（a） ， （b） ，且 A 的元素个数为 f (n) ．令27B ? A ? ?2(2n ? 1), 22 (2n ? 1),? , 2n (2n ? 1), 2 2 n ? 1? ，由于2(2n ? 1) ? 22 (2n ? 1) ?? ? 2n (2n ? 1) ? 22 n ? 1 ，所以 B ? ?1, 2,? , 2 2 n ? 1? ，且 B ? f (n) ? n ? 1 ．而2k ?1 (2n ? 1) ? 2k (2n ? 1) ? 2k (2n ? 1), k ? 0,1,?, n ? 1 ， 22 n ? 1 ? 2n (2n ? 1) ? (2n ? 1) ，从而 B 满足（a） ， （b） ，于是f (2n) ? B ? f (n) ? n ? 1 ． ???????（14 分）由①，②得 反复利用②，③可得f (2n ? 1) ? f (n) ? n ? 3 ．③f (100) ? f (50) ? 50 ? 1 ? f (25) ? 25 ? 1 ? 51 ? f (12) ? 12 ? 3 ? 77 ? f (6) ? 6 ? 1 ? 92 ? f (3) ? 3 ? 1 ? 99 ? 108 ．???????（16 分）2012 年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）2 1、设集合 S ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 ， T ? x | x ? 2 |? 3 ，则 S ? T =（????）A、 {x | ?5 ? x ? ?1}B、 {x | ?5 ? x ? 5} C、 {x | ?1 ? x ? 1}D 、 {x |1 ? x ? 5} ） D、2、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 BC1 与截面 BB1 D1 D 所成的角是（ A、? 62B、? 4C、? 3? 23、已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ， g ( x) ? kx ? 1 ， 则“ | k |? 2 ”是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立”的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形 ?1 的面积为 S1 ，作 ?1 的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为 ? 2 ，面积为 S 2 ，28如此下去作一系列的正三角形 ?3 , ? 4 ,? ，其面积相应为 S3 , S4 ,? ， 设 S1 ? 1 , Tn ? S1 ? S2 ? ? ? Sn ，则 lim Tn =（n ???）A 、6 52B 、4 3C、3 2D 、25、设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ，顶点为 O ， M 是抛物线上的动点，则| MO | 的最大值为（ | MF |）A 、3 3B 、2 3 3C、4 3D 、 36、 设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形， 在此容器内注入水， 并放入半径为 r 的一个实心球， 此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ） A、 r B、 2r C、 3 12 r D、 3 15 r二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）A F E B C D7、如图，正方形 ABCD 的边长为 3， E 为 DC 的 中点， AE 与 BD 相交于 F ，则 FD ? DE 的值是 8、 ( x ? x ? ) 的展开式中的常数项是2 6??? ? ????． ． （用具体数字作答）1 x9、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，满足 S n ?(an ? 1) 2 ，则 S 20 的值为 4． ．．10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为 11、已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B) ? 2 tan A ，则 tan B 的最大值是12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数 abcde ， 满足条件“ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是 三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分） 13、设函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 1 ， （I）求函数 f ( x) 在 [0, ．?2] 上的最大值与最小值；29（II）若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立，求b cos c 的值． a14、已知 a, b, c ? R ，满足 abc(a ? b ? c) ? 1 ， （I）求 S ? (a ? c)(b ? c) 的最小值； （II）当 S 取最小值时，求 c 的最大值．?15、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的左支交于 A 、 B 两点，直线 l 经过点 (?2,0) 和 AB2 2的中点，求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围．3016、设函数 f n ( x) ? x (1 ? x) 在 [ ,1] 上的最大值为 an （ n ? 1, 2,3,? ） ．n 21 2（I）求数列 {an } 的通项公式； （II）求证：对任何正整数 n(n ? 2) ，都有 an ?1 成立； (n ? 2)2（III）设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，求证：对任意正整数 n ，都有 S n ?7 成立． 162012 年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 7、 ? 6、D3 28、 ?59、010、1411、2 412、2 1531三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分） 13、解： （I）由条件知 f ( x) ? 2sin( x ? 由0 ? x ??3) ?1 ，（5 分）5? 1 ? ，于是 ? sin( x ? ) ? 1 2 3 3 6 2 3 ? 1 所以 x ? 时， f ( x) 有最小值 2 ? ? 1 ? 2 ； 2 2?知，?? x???当x??6时， f ( x) 有最大值 2 ?1 ? 1 ? 3 ．（10 分）（II）由条件可知2a sin( x ? ) ? 2b sin( x ? ? c) ? a ? b ? 1 对任意的 x ? R 恒成立， 3 3∴ 2a sin( x ????) ? 2b sin( x ? ) ? cos c ? 2b cos( x ? ) ? sin c ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3 3??∴ 2(a ? b cos c) ? sin( x ??) ? 2b sin c ? cos( x ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3（15 分）?? a ? b cos c ? 0 ? ∴ ?b sin c ? 0 , ?a ? b ? 1 ? 0 ?由 b sin c ? 0 知 b ? 0 或 sin c ? 0 。 若 b ? 0 时，则由 a ? b cos c ? 0 知 a ? 0 ，这与 a ? b ?1 ? 0 矛盾！ 若 sin c ? 0 ，则 cos c ? 1 （舍去） ， cos c ? ?1 ， 解得 a ? b ?1 b cos c ? ?1 ． , c ? (2k ? 1)? ，所以， a 22（20 分）14、解： （I）因为 (a ? c)(b ? c) ? ab ? ac ? bc ? c ? ab ? (a ? b ? c)c ? ab ?1 （5 分） ab? 2 ab ?1 ? 2 ，等号成立的条件是 ab ? 1 ， ab2 ? 1 时， S 可取最小值 2．（10 分）当 a ? b ? 1, c ?（II）当 S 取最小值时， ab ? 1 ，从而 c(a ? b ? c) ? 1，2 即 c ? (a ? b)c ? 1 ? 0 ，令 t ? a ? b ，则 t ? 2 ab ? 2（15 分）从而 c ??t ? t 2 ? 4 ?t ? t 2 ? 4 ? 0 （舍去） 或者 c ? 2 2?t ? t 2 ? 4 2 ? 故 c? 在 t ? [2, ??) 单减， 2 2 t ?4 ?t32所以在 t ? 2 时， c 有最大值 2 ? 1 ．（20 分）15、解：将直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 方程联立得 ?2 2? y ? kx ? 12 2 ?x ? y ? 1化简得 (k ? 1) x ? 2kx ? 2 ? 0 ①2 2（5 分）? ? ? ? 4k 2 ? 8(k 2 ? 1) ? 0 ? 2k ? 由题设知方程①有两负根，因此 ? x1 ? x2 ? ? 2 （10 分） ? 0 ，解得1 ? k ? 2 ． k ? 1 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 ?0 ? k ?1 ?设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则有 x1 ? x2 ? ?2k ， k 2 ?1y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ?故 AB 的中点为 (?2k 2 2 ?2?? 2 2 k ?1 k ?1k 1 ,? 2 )， k ?1 k ?1 ?1 ?2 所以直线 l 方程为 y ? ， （15 分） ( x ? 2) ，其在 y 轴的截距 b ? 2 2 2k ? k ? 2 2k ? k ? 2 1 2 17 2 当 1 ? k ? 2 时， 2k ? k ? 2 ? 2(k ? ) ? ，其取值范围是 (?1, 2 ? 2) 4 8 ?2 所以 b ? 的取值范围是 (??, ?2 ? 2) ? (2, ??) ． （20 分） 2 2k ? k ? 2216、解： （I） f n ( x) ? nx'n ?1(1 ? x)2 ? 2 x n (1 ? x) ? x n ?1 (1 ? x)[n(1 ? x) ? 2 x] ，当 x ? [ ,1] 时，由 f n ( x) ? 0 知 x ? 1 或者 x ?'1 2n ， n?2（5 分）n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ，又 f1 ( ) ? ， f n (1) ? 0 ，故 a1 ? ； 8 n?2 3 2 2 8 n 1 1 1 1 1 当 n ? 2 时， ? ? [ ,1] ，又 f 2 ( ) ? ， f n (1) ? 0 ，故 a2 ? ； 16 n?2 2 2 2 16 n 1 当 n ? 3 时， ? [ ,1] ， n?2 2 1 n n ∵ x ?[ , ) 时， f n' ( x) ? 0 ； x ? ( ,1) 时， f n' ( x) ? 0 ； 2 n?2 n?2当 n ? 1 时，33∴ f n ( x) 在 x ?n n 2 2 4n n n 处取得最大值，即 an ? ( ) ( ) ? n?2 n?2 (n ? 2) n ? 2 n?2?1 ? 8 ,(n ? 1) ? 综上所述， an ? ? ． n ? 4n ,(n ? 2) n? 2 ? ? (n ? 2)4n n 1 2 ? （II）当 n ? 2 时，欲证 ，只需证明 (1 ? ) n ? 4 n?2 2 (n ? 2) ( n ? 2) n0 1 2 n ∵ (1 ? ) n ? Cn ? Cn ? ( )1 ? Cn ? ( ) 2 ? ? ? Cn ? ( )n（10 分）2 n2 2 n n n(n ? 1) 4 ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 2 n1 成立． (n ? 2)22 n所以，当 n ? 2 时，都有 an ?（15 分）（III）当 n ? 1, 2 时，结论显然成立； 当 n ? 3 时，由（II）知 Sn ?1 1 ? ? a3 ? a4 ? ? ? an 8 161 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ?? ? 8 16 5 6 (n ? 2) 21 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 8 16 4 5 5 6 n ?1 n ? 2 1 1 1 7 ? ? ? ? ． 8 16 4 16 7 所以，对任意正整数 n ，都有 S n ? 成立． （20 分） 163435363738394041424344山东省 2012 届高中数学夏令营数学竞赛（及答案） 一.填空题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1.函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2x 的最大值是________________ 题) 解 : f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 2 2 ,其等号仅当 1 ? 2x ? 3 ? 2x 即 x ? 时成 立, 所以,f(x)最大= 2 2 . 2.如果自然数 a 的各位数字之和等于 5,那么称 a 为“吉祥数”, 将所有 吉祥数从小到大排成一列 a1,a2,?,an.若 an=2012.则 n=_______________. (王继忠 供题) 解:设 x1 x2 ? xm 为吉祥数,则 x1+x2+?+xm=5,由 x1≥1 和 x2,?,xm≥0 得4 4 (x1-1)+x2+?+xm=4,所以, x1 x2 ? xm 为第 C m ? 3 个吉祥数 . 1x2 ? xm 为第 C m ? 2 个吉;(王泽阳 供1 2祥数. 由此得 : 一位吉祥数共 1 个 , 二位吉祥数共 C54 ? 5 个 , 三位吉祥数共C64 ? 15 个,因以 1 为首位的四位吉祥数共 C64 ? 15 个,以 2 为首位的前两个四位吉祥 数为: 2003 和 2012.故 n=1+5+15+15+2=38. 3.已知 f(x)是 2011 次多项式,当 n=0,1,?,2011 时, f (n) ? 则 f(2012)=______;45n . n ?1(王 林 供题) 解:当 n=0,1,?,2011 时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有 2012 个根, 设 (x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2) ? (x-2011). 取 x=-1, 则 1=2012!a. 故a? 1 , 2012!f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) ?( x ? 2011) x ? 2012!( x ? 1) x ?1,f (2012) ? 2013 ? ? ?1 . 13 20134.将圆周上 5 个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针 方向,第 1 步转过 1 个间隔将到达的那个点染红,第 2 步转过 2 个间隔将到达 的那个点染红,第 k 步转过 k 个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可 得到_________个红点. (龚红戈 供题) 解:将 5 个点依次编号 0―4,且不妨设开始染红的是 0 号点,则第 1 步染 红的是 1 号点,第 2 步染红的是 3 号点,第 3 步染红的又是 1 号点.故共可得 3 个红点. 5.如图，设 O , I 分别为 ?ABC 的外心、内心，且 ?B ? 60? ， AB ＞ BC ，?A 的外角平分线交⊙ O 于 D ，已知 AD ? 18 ,则 OI ? _____________. (李耀文 供题) 解: 连接 BI 并延长交⊙ O 于 E ,则 E 为弧 AC 的中点.连OE 、 AE 、 CE 、 OC ，由 ?B ? 60? ，易知 ?AOE 、 ?COE 均为O D AE正三角形.由内心的性质得知： AE ? IE ? CE ,所以A 、 O 、 I 、 C 四点共圆,且圆心为 E .再延长 AI 交⊙ O 于 F ,B FI C由题设知 D 、 O 、 F 共线，于是 ?OEI ? 2?OAI , ?AOD ? 2?AFD ? 2?OAI ,46又 OA ? OD ? OE ? IE , 从而 ?OAD ≌ ?EOI , 故 OI ? AD ? 18 . 二.解答题(本题共 5 道小题,每小题 20 分,满分 100 分) 6.证明:对任给的奇素数 p,总存在无穷多个正整数 n 使得 p|(n2n-1). (陈永高 供 题) 证明:取 n=(p-1)k,则由费尔马小定理知 2( p ?1) k ? 1(mod p) ,所以, p|(n2n-1)? ( p ? 1)k ? 2( p ?1) k ? 1(mod p) ? ( p ? 1)k ? 1(mod p) ? k ? ?1(mod p) .( p? 1 k ) k? 2 ? 1( m o p d 即) 取 k=pr-1(r ∈ N*), 即 n=(p-1)(pr-1), 就 有 ( p ? 1)p|(n2n-1). 7.如图，已知 P 是矩形 ABCD 内任意一点，延长 BP 交 AD 于 E，延 长 DP 交 AB 于 F，延长 CP 交矩形的外接圆于 G。求证：GE⊥GF.G(叶E D中豪 供题) 证法 1: 设 CG 交 AD 于 Q,由∠GBA＝∠GDA 及A FQ P∠AGB＝∠CGD 知△ABG∽△QDG。延长 DF、CBR交于 R，由 AD∥BR, AD=BC 得AF BC ? FB BRBC①又由△CPB∽△QPE 及△RPB∽△DPE 得 由①,②得BC QE ? BR ED②AF QE ? ,表明 F,E 是△ABG,△QDG 的相似对应点,故得 FB ED△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即 GE⊥GF.47证法 2:联结 GB,GD,令∠GCB= ? ,∠GCD= ? ,GB sin ? BP sin ?PBC ? ? 由正弦定理得: GD sin ? DP sin ?PDCA F BG Q P E DBF sin ?BFP sin ?PBC BF ? ? ? , DE sin ?DEP sin ?PDC DEβ αC由∠GBF＝∠GDE 得△FBG∽△EDG. 所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即 GE⊥GF. 8.对于恰有 120 个元素的集合 A.问是否存在子集 A1,A2,?,A10 满足: (1)|Ai|=36,i=1,2,?,10; (2)A1∪A2∪?∪A10=A; (3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.请说明理由. 解:答案:存在.3 考虑长度为 10 的 0,1 数列.其中仅 3 项为 1 的恰有 C10 ? 120 个,每个(刘裕文 供题)作为集合 A 的一个元素.2 对每个 j=1,2,?,10,第 j 项为 1 的 0,1 数列恰有 C9 ? 36 个,它们是集合 Aj 的 36 个元素.对每对 i,j∈{1,2,?,10}(i&j),第 i 项与第 j 项均为 11 的 0,1 数列恰有 C8 ? 8 个,它们是 Ai∩Aj 的元素.综上知,存在满足条件的 10 个子集. 9.求最小的正整数 m,n(n≥2),使得 n 个边长为 m 的正方形,恰好可以割 并成 n 个边长分别为 1,2,?,n 的正方形. 供题) 解:依题意 n 个边长为 m 的正方形,恰好可以割并成 n 个边长分别为 (邹 明481,2,?,n 的正方形 ? 12+22+?+n2=nm2,即 6m2=(n+1)(2n+1), 则(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6), 由 n2≡0,1,3,4(mod6)知 n≡±1(mod6). 若 6|n+1,设 n=6k-1(k∈N),得 m2=k(12k-1), 因(k,12k-1)=1,所以 k 与 12k-1 都是完全平方数,但 12k-1≡3 (mod4)矛 盾! 若 6|n-1,设 n=6k+1(k∈N),得 m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以, 3k+1=v2,4k+1=u2,消去 k 得 4v2-3u2=1,v=u=1 时,k=0,n=1,但 n≥2,故 u&1,v&1. 由 4v2-3u2≡1(mod8)知 u,v 为奇数, 直接计算得 umin=15,vmin=13,k=56,所以, m 最小=15?13=195,n 最小=337. 10.设实系数三次多项式 p( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 有三个非零实数根. 求证: 6a ? 10(a ? 2b) ?12ab ? 27c .3 2 3 2(李胜宏 供题) 证明:设 ? , ? , ? 为 p(x)=0 的三个根,由根与系数关系?? ? ? ? ? ? ? a ? ??? ? ?? ? ?? ? b 得: ???? ? ?c ?a ? 2b ? ? ? ? ? ? .原式 ? 6a(a ? 2b) ? 10(a ? 2b) ? 27c2 2 2 2223 2? 6(? ? ? ? ? )(? ? ? ? ? ) ? 10(? ? ? ? ? ) ? 27??? ①.2 2 2 2 22 2 2 若 ? ? ? ? ? ? 0 ,则①成立.3 2 2492 2 2 若 ? ? ? ? ? ? 0 ,不妨设 | ? |?| ? |?| ? | ,由①的齐次性,不妨设? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 9 ,则 ? 2 ? 3 , 2?? ? ? 2 ? ? 2 ? 9 ? ? 2 ? 6 .① ? 2(? ? ? ? ? ) ? ??? ? 10 .因[2(? ? ? ? ? ) ? ??? ]2 ? [2(? ? ? ) ? (2 ? ?? )? ]2 ? [4 ? (2 ? ?? )2 ][(? ? ? ) 2 ? ? 2 ]2 3 ?[ 8? ? 4? ? ? ( ? ) ]( ?9 ? 2 ? ?) ? 2? ( ? )2 ?? (? )? 20 ? ?()72? (?? ? 2)2 (2?? ? 7) ? 100 ? 100 , 所以 , 2(? ? ? ? ? ) ? ??? ? 10 . 故原式成立.二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012 年 6 月 24 日上午 9:00-11:30)考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器.一、填空题( 本题满分 56 分,每小题 7 分) 1. 空间四点 A ，B ，C ，D两两间的距离均为1，点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运动，则 点 P 与点Q间的最小距离为____________； ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?0 ? OP ? OA ? 1 2.向量 OA ? ?1, 0 ? , OB ? ?1,1? , O 为坐标原点，动点 P ? x, y ? 满足 ? , 则点 ??? ? ??? ? ? ?0 ? OP ? OB ? 2Q ? x ? y, y ? 构成的图形的面积 为3. 设有非空集合 A ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? 且当 a ? A 时，必有 8 ? a ? A ，这样的集合A的个数是 _____________； 4.设 f ? x ? ? ?? ? x ? ? x? , x ? 0 若 f ? x ? ? kx ? k ? k ? 0 ? 有三个 , 其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数， f x ? 1 , x ? 0 ? ? ? ?不同的实数根，则实数 k 的取值范围是 5. 11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4 个数字只能是1、3 、5 且都至少出现 1 次, 这样的手机号码有___________个； 6.若 tan x1 ? tan x2 ?? ? tan x2012 ? 1, 则 sin x1 ? sin x2 ?? ? sin x2012 的最大值是 ；507.设函数 f : R ? R ，满足 f ? 0 ? ? 1 且对任意 x, y ? R 都有f ? xy ? 1? ? f ? x ? f ? y ? ? f ? y ? ? x ? 2 ，则 f ? x ? ?8.实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ，则 xy ? yz 的最大值为2 2 2； ；二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题14 分，第11、12 题每题18 分) 9.已知数列 ?an ? 满足an ?1 ? an ? 1 ? n ? n ? N * ? ，且 a2 ? 6 。 an ?1 ? an ? 1（1）求数列 ?an ? 的通项公式； （2）设 bn ?cn ?an n ? N * ? , c 为非零常数，若数列 ?bn ? 是等差数列，记 ? n?cbn , Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ，求 S n. 2n10.M是抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 的准线上任意点， 过M作抛物线的切线 l1 , l2 ， 切点分别为A、 B（A在x轴上方）。 （1）证明：直线AB过定点； （2）设AB的中点为P，求｜MP｜的最小值。11.设 a, b, c 为正实数，且 a ? b ? c ? 1，求证：?a2b c ? 1 ? a ? b2 ? c 2 ? ? ? ? ?? . ?b?c a ?c a ?b ? 212.某校数学兴趣小组由m 位同学组成， 学校专门安排n 位老师作为指导教师. 在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并 且每位指导教师也向全组提出一个问题， 以上所有问题互不相同， 这样共提出了51个问题.试求m ， n 的值．515253542012 年河北省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准说明：本试卷分为 A 卷和 B 卷：A 卷由本试卷的 2２题组成，即 10 道选择题，7 道填空 题、3 道解答题和 2 道附加题；B 卷由本试卷的前 20 题组成，即 10 道选择题，7 道填 空题和 3 道解答题。 一、选择题（本大题共有 10 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题 干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 5 分，共 50 分） 5? 3? 1. 已知 ? ? [ ） , ] ，则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为（ D 4 2 A． 2sin ? B. ?2sin ? C. ?2cos ? D. 2cos? 5? 3? 解答：因为 ? ? [ , ] ，所以 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? = cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? 4 2 ? 2 c o? s 。正确答案为 D。 2．如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4，则实数 a 的值为（ A. 2B. 2 2 C.C）?2D. ?2 2解答：由题意得 2 ? a 2 ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。 3. 设 A ，B 为两个互不相同的集合，命题 P： x ? A ? B ， 命题 q： x ? A 或 x ? B ，则 p 是 q 的（ B ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答：P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。55x2 4. 过椭圆 ? y 2 ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB，则 AB 为（ 2C）A.2 6 3B.4 6 3C.4 2 3D.4 3 3解答：椭圆的右焦点为（1，0） ，则弦 AB 为 y ? x ? 1, 代入椭圆方程得3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ??1 ? 5? x 5. 函数 f ( x) ? ? x ? 5 ?14 4 2 。正确答案为 C。 ? AB ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 3 3x?0 x?0，则该函数为（A）A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）2 2 2 2 2 2 3 1 1正视图 5? 3? A. 4+ B. 4+ 2 2侧视图 ? C. 4+ D. 4+ ? 2俯视图（圆和正方形）解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（ 何体的体积为 2 ? 2 ?1 ? 3? ??2? 4?5? 。正确答案为 A。 2? ） ，所以该几 27．某程序框图如右图所示，现将输出（ x, y ) 值依 次记为： ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? （ B ） A．64 B．32 C．16 答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。 D．8568. 在平面区域 ?( x, y ) | x |? 1,| y |? 1? 上恒有 ax ? 2by ? 2 ， 则动点 P(a, b) 所形成平面区域的 面积为（ A ） A. 4 B.8 C. 16 D. 32解答：平面区域 ?( x, y ) | x |? 1,| y |? 1? 的四个边界点（―1，―1） ， （―1，1） ， （1，―1） ， （1，1）满足 ax ? 2by ? 2 ，即有a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2由此计算动点 P(a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。? ? ?? 9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点，则 m 的取值范围为（ C ） 6 ? 2??1 ? A. ? , 1 ? ?2 ? ?1 ? B ? , 1? ?2 ? ?1 ? C. ? , 1 ? ?2 ? ?1 ? D. ? , 1? ?2 ?? ? ?? 解答：问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点，所以 m 6 ? 2??1 ? 的取值范围为 ? , 1 ? 。正确答案为 C。 ?2 ?10. 已知 a ?[?1,1] ，则 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为（ C ） A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1 D. 1 ? x ? 3解答：不等式的左端看成 a 的一次函数， f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x 2 ? 4 x ? 4) 由 f (?1) ? x 2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。 正确答案为 C。 二、填空题（本大题共有 7 小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空 7 分，共 49 分） x 11. 函数 f ( x) ? 2sin ? 3 cos x 的最小正周期为______4 ? ____。 2解答：最小正周期为 4 ? 。12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30，则 a1 ? a8 ? a15 =____6_______.解答：由 S15 ? 30 ? a1 ? 7d ? 2 ，而 a1 ? a8 ? a15 ? 3(a1 ? 7d ) ? 6 。57? ? ? ? 13. 向量 a ? (1,sin ? ) ， b ? (cos ? , 3) ， ? ? R ，则 a ? b 的取值范围为 [1，3] 。? ? 解答： a ? b ? (1 ? cos? )2 ? (sin ? ? 3)2 ? 5 ? 2(cos ? ? 3 sin ? )? = 5 ? 4sin( ? ? ) 6，其最大值为 3，最小值为 1，取值范围为[1，3]。14. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ，底面 ?ABC 是正三角形，P，E 分别为 BB1 ， CC1 上的动点 （含端点） ，D 为 BC 边上的中点，且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ 90? _。 解答：因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ，AD⊥BC，所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ，所以 AD⊥PE，又 PE⊥PD，PE⊥平面 APD，所以 PE⊥PD。即夹角为 90? 。 15．设 x, y 为实数，则5 x 2 ? 4 y 2 ?10 xmax ( x 2 ? y 2 ) ? _____4________。解答： 5 x 2 ? 4 y 2 ? 10 x ? 4 y 2 ? 10 x ? 5 x 2 ? 0 ? 0 ? x ? 24( x 2 ? y 2 ) ? 10 x ? x 2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x 2 ? y 2 ? 416. 马路上有编号为 1，2，3，?，2011 的 2011 只路灯，为节约用电要求关闭其中的 300 只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法300 共有___ C1710 _______种。 （用组合数符号表示） 300 解答：问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯，所以共有 C1710 种关灯方法。17. 设 x, y, z 为整数，且 x ? y ? z ? 3, x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 ，则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? _3 或 57_。 解答：将 z ? 3 ? x ? y 代入 x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3xy ? 3( x ? y ) ? 9 ?得到8 ，因为 x, y 都是整数，所以 x? y?x ? y ? 1 ?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 8 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解；后两个方程组解得 ? ? xy ? 2 ? xy ? 5 ? xy ? 1 ? xy ? 16x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ?5 。所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 或 57。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）5818. 设 a ? 2 ，求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。 解答：当 x ? 0, y ? ?( x ? 1)2 ? 1,当 x ? 0, y ? ( x ? 1) ? 1,2---------------------------------- 5 分 ---------------------------------- 10 分由此可知 ymax ? 0 。 当 1 ? a ? 2, ymin ? a ? 2a ；2当 1 ? 2 ? a ? 1, ymin ? ?1 ； 当 a ? 1 ? 2, ymin ? ? a ? 2a 。2---------------------------------- 17 分19. 给 定 两 个 数 列?x n ?，?y n ?满 足 x0 ? y 0 ? 1 ， x n ?x n ?1 (n ? 1) ， 2 ? x n ?1yn ?2 yn ?1 (n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n，都存在自然数 j n ，使得 1 ? 2 y n ?1y n ? x jn 。解答：由已知得到：1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} 为等比数列，首项为 2，公比为 2， xn xn ?1 xn xn ?1 xn所以1 1 ? 1 ? 2n ?1 ? xn ? n ?1 。 xn 2 ?1----------------- 5 分( yn ?1 ? 1) 2 y ?1 y ?1 1 1 2 ? n ? ( n ?1 ) 2 ? 1 ? ? (1 ? ) 又由已知， yn ? 1 ? 1 ? 2 y n ?1 yn y n ?1 yn yn ?1由1 ?n 1 1 1 ， ? 2 ? 1 ? ? 22 ? yn ? n y0 yn 2 2 ?1------------------- 17 分n 所以取 jn ? 2 ? 1 即可。59x2 y 2 20. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ，过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A，B 两点，D (a, 0) 为 F1 5 4右侧一点，连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ， 求 a 的值。 解答： F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 32 ? ( 1 6? 2 k5 x 2) ?? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ， 由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ? 25 161k 52 0 x?2 k22 ? 5? 4得 000x1 ? x2 ? ?150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 2 , x x ? ? ? y y ? k ( x ? 3)( x ? 3) ? ? 1 2 1 2 1 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2----------------------10 分设 M (?(3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 25 25 。 ,同理y4 ? , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 ) 3 3， 得又????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1M ? (? , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3y3 y 4? ?（3a ? 25) 2 y1 y2 256 （3a ? 25) 2 256k 2 256 , 而y 3 y 4 ? ，即 ? ? =? , 整理得 2 9( a ? x1 )( a ? x2 ) 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 16 ? 25k 9(1 ? k 2 )(16a 2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。--------------17 分四、附加题（本大题共 2 小题，每小题 25 分，共计 50 分） ? 21. 在锐角三角形 ABC 中， ?A ? ，设在其内部同时满足 PA ? PB 和 PA ? PC 的点 P 3 1 的全体形成的区域 G 的面积为三角形 ABC 面积的 。 证明三角形 ABC 为等边三角 3 形。 解答：做 ?ABC 的外接圆 O，做 OE A ? AB于E , OF ? AC于F , OM ? BC于M, 则 G 为四边形AEOF。又60EFOC B M D1 S四边形AEOF ? S?ABC , 2S四边形AEOF ? 2S?AEO ? 2S?AOF ? S?AOB ? S?AOC 3 1 所以 S?OBC ? S?ABC 。 --------------------------10 分 3 1 由已知?BOC ? 120? , 则?OBC ? 30? ,则OM= R(R为?ABC外接圆半径) 2 3 作AD ? BC于D, 则AD ? AO ? OM ? R 2 1 3R S?ABC ? ? BC ? 3S?OBC ，等号成立当且仅当 A、O、M 共线，即 ?ABC 为等边三角形。 2 2--------------------------25 分22. 设 a, b, c ? R ? ，且 a ? b ? c ? 3 。求证：a?b b?c c?a 3 ? ? ? ， 2?a?b 2?b?c 2?c?a 2并指明等号成立的条件。ai2 ? ? i ?1 bin证明：由柯西不等式(? ai ) 2i ?1 nn?bi ?1得到i( a ? b ? c ? b ? a ? c )2 a?b b?c c?a ? ? ? 6 ? 2(a ? b ? c) 2?a?b 2?b?c 2?c?a（1） --------------------10 分（1）式右边的分子= 2(a ? b ? c) ? 2( a ? b c ? b ? c ? b a ? c ? a ? c c ? b ) = 2(a ? b ? c ) ? 2( b ? b(a ? c ) ? ac ? ?) ? 2(a ? b ? c ) ? 2( b ? 2b ac ? ac ? ?)2 261? 2(a ? b ? c) ? 2(b ? ac ? a ? bc ? c ? ab ) ? 3(a ? b ? c) ? ( a ? b ? c ) 2? 3(a ? b ? c ? 3) 。等号成立条件是 a ? b ? c ? 1 。结论成立。--------------------------20 分 --------------------------25 分2012 年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准 说明：本试卷分为 A 卷和 B 卷：A 卷由本试卷的 2２题组成，即 10 道选择题，7 道填空题、3 道解 答题和 2 道附加题；B 卷由本试卷的前 20 题组成，即 10 道选择题，7 道填空题和 3 道解答题。 一、选择题（每题 5 分，共 50 分） 1．已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1)，且 a1=9，其前 n 项之和为 Sn。则满足不等式|Sn-n-6|&1 的 125最小整数 n 是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形 ABC 的中心，过 O 的动平面与 PC 交于 S，与 PA、PB 的延长线分别交于 Q、R，则和式1 1 1 （ ? ? PQ PR PS）A．有最大值而无最小值 C．既有最大值又有最小值，两者不等 3．给定数列{xn}，x1=1，且 xn+1=B．有最小值而无最大值 D．是一个与面 QPS 无关的常数20053xn ? 1 3 ? xn，则?xn ?1n=（）A．1 4．已知 a =(cosB．-1C．2+ 3D．-2+ 32 2 π, sin π), OA ? a ? b , OB ? a ? b ，若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角 3 3） C．2 D． B．三角形，则△OAB 的面积等于（ A．11 23 25．过椭圆 C：x2 y2 ? ? 1 上任一点 P，作椭圆 C 的右准线的垂线 PH（H 为垂足） ，延长 PH 到点 3 2）Q，使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时，点 Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ A． (0,3 ] 3B． (3 3 , ] 3 2C． [3 ,1) 3D． (3 ,1) 2b6． 在△ABC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别记为 a、 b、 c(b≠1)， 且C sin B ， 都是方程 log A sin Ax=logb(4x-4)62的根，则△ABC（ ） A．是等腰三角形，但不是直角三角形 C．是等腰直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形7．某程序框图如右图所示，现将输出（ x, y ) 值依 次记为： ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? （ A．64 B．32 C．16 ） D．88. 在平面区域 ?( x, y ) | x |? 1,| y |? 1? 上恒有 ax ? 2by ? 2 ， 则动点 P(a, b) 所形成平面区域的 面积为（ A. 4 ） B.8 C. 16 D. 32? ? ?? 9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点，则 m 的取值范围为（ ） 6 ? 2??1 ? A. ? , 1 ? ?2 ? ?1 ? B ? , 1? ?2 ? ?1 ? C. ? , 1 ? ?2 ? ?1 ? D. ? , 1? ?2 ?10. 已知 a ?[?1,1] ，则 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为（ A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1二、填空题（每题 7 分.共 49 分） 11．若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.） D. 1 ? x ? 312．如果： （1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} （2）a≠b, b≠c, c≠d, d≠a （3）a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么，可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 13．设 n 是正整数，集合 M={1，2，?，2n}．求最小的正整数 k，使得对于 M 的任何一个 k 元子集， 其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 14．若对|x|≤1 的一切 x，t+1&(t2-4)x 恒成立，则 t 的取值范围是_______________. 15．我们注意到 6!=8? 9? 10，试求能使 n!表示成(n-3) 个连续自然三数之积的最大正整数 n 为 __________. 16．对每一实数对(x, y)，函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2，试求满足 f(a)=a 的所 有整数 a=__________. 17．已知 a, b, c∈R+，且满足kabc ≥(a+b)2+(a+b+4c)2，则 k 的最小值为__________.。 a?b?c三、解答题（每题 17 分，共 51 分） 18．已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2，Q 是 l 上一动点，⊙Q 与⊙P 相外切，63⊙Q 交 l 于 M、N 两点，对于任意直径 MN，平面上恒有一定点 A，使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。19．已知 a&0，函数 f(x)=ax-bx2, （1）当 b&0 时，若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1，证明：a≤2 b ； （2）当 b&1 时，证明：对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是：b-1≤a≤2 b ； （3）当 0&b≤1 时，讨论：对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件。20.已知椭圆x2 y 2 ? ? 1 ，过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A，B 两点，D (a, 0) 为 F1 右 52 4 2侧一点，连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ，求 a 的值。附加题 （每题 25 分，共 50 分） 21. 如图，已知△ABC 的外角∠EAC 的平分线与△ABC 的外接圆交于点 D，以 CD 为直径的圆分 别交 BC，CA 于点 P、Q，求证：线段 PQ 平分△ABC 的周长。64E A Q DBPC22.（50 分）求所有实多项式 f 和 g，使得对所有 x∈R，有：(x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。65参考答案一、选择题 1 ． 由 递 推 式 得 ： 3(an+1-1)=-(an-1) ， 则 {an-1} 是 以 8 为 首 项 ， 公 比 为 -1 的等比数列，∴ 31 8[1 ? (? ) n ] 3 =6-6?(- 1 )n，∴|S -n-6|=6?( 1 )n& 1 ，得：3n-1&250， Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)= n 1 3 3 125 1? 3∴满足条件的最小整数 n=7，故选 C。 2 ．设正三棱锥 P-ABC 中，各侧棱两两夹角为 α ，PC 与面 PAB 所成角为 β ，则 vS-PQR=PQR1 S△ 31 1 ( PQ ? PRsin α ) ? PS ? sin β 。 另 一 方 面 ， 记 O 到 各 面 的 距 离 为 d ， 则 3 2 1 1 1 1 d 1 vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS ， S △ PQR ? d= △ PRS ? d+ S △ PRS ? d+ △ PQS ? d= ? PQ ? PRsin α 3 3 3 3 3 2 d 1 d 1 + ? PS?PRsinα + ? PQ?PS?sinα ，故有：PQ?PR?PS?sinβ =d(PQ?PR+PR?PS+PQ?PS)， 3 2 3 2? h= 即1 1 1 sin ? =常数。故选 D。 ? ? ? PQ PR PS dxn ?3 3 ，令 x =tanα ，∴x =tan(α + ? ), ∴x =x , x =1，x =2+ 3 , x =-2- 3 , x =-1, 3． xn+1= n n n+1 n n+6 n 1 2 3 4 6 3 1? xn 32005x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1，??，∴有?xn ?1n? x1 ? 1 。故选 A。4．设向量 b =(x, y)，则 ?? ?(a ? b)( a ? b) ? 0 ? ?| a ? b |?| a ? b |，? 1 3 1 3 ) ? ( ? x ? ,? y ? ?0 2 2 ?( x ? , y ? ? 3 1 ? ?x ? y ? 1 2 2 2 2 , ) 或 即 ? ， 即 ? . ∴ b?( 2 2 ? ?( x ? 1 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( x ? 1 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ?x ? 3 y ? 2 2 2 2 ?66(?3 1 1 , ) ，∴S△AOB= | a ? b || a ? b | =1。 2 2 25．设 P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为 x=3，所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λ PH，所以3(1 ? ? ) ? x ? HP ?1 ? x1 ? ，所以由定比分点公式，可得： ? ，代入椭圆方程，得 Q 点轨迹为 ? ? PQ 1 ? ? ? ? y1 ? y3?2 ? 2 2 3 [ x ? 3(1 ? ? )] 2 y 2 ? 1 ? 2 ?[ ,1) 。故选 C。 ，所以离心率 e= ? ? 1 2 3 2 3? 3? 2 3?6．由 logbx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以 x1=x2=2，故 C=2A，sinB=2sinA，因 A+B+C=180°，所以 3A+B=180°，因此 sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又 sinA≠0，所 以 sin2A=7.1 1 ，而 sinA&0，∴sinA= 。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 4 2 经计算 x ? 32 。正确答案为 B8. 平面区域 ?( x, y ) | x |? 1,| y |? 1? 的四个边界点（―1，―1） ， （―1，1） ， （1，―1） ， （1， 1）满足 ax ? 2by ? 2 ，即有a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2由此计算动点 P(a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A? ? ?? 9.问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点，所以 m 的取 6 ? 2??1 ? 值范围为 ? , 1 ? 。正确答案为 C ?2 ?10.不等式的左端看成 a 的一次函数， f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4)2由 f (?1) ? x 2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。 正确答案为 C。. 二、填空题?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? ?? 2 11． 3 。 ? x ? 2 y ? 0 2 ?( x ? 2 y )( x ? 2 y ) ? 4 ? x ? 4 y ? 4 ?67由对称性只考虑 y ≥ 0 ，因为 x&0 ，∴只须求 x-y 的最小值，令 x-y=u ，代入 x2-4y2=4 ，有 3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于 y 的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。 12．46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时，能组成 C 4 =6 个不同的数。abcd 中恰有 3 个不同数字时， 能组成 C3 C 2 C 2 ? C 2 C 2 =16 个不同数。abcd 中恰有 4 个不同数字时，能组成 A 4 =24 个不同数，所1 1 1 1 124以符合要求的数共有 6+16+24=46 个。 13． 解考虑 M 的 n+2 元子集 P={n-l，n，n+1，?，2n}． P 中任何 4 个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以 k≥n+3． 将 M 的元配为 n 对，Bi=(i，2n+1-i)，1≤i≤n． 对 M 的任一 n+3 元子集 A，必有三对 Bi1 , Bi2 , Bi3 同属于 A(i1、i 2、i 3 两两不同)． 又将 M 的元配为 n-1 对，C i (i，2n-i)，1≤i≤n-1． 对 M 的任一 n+3 元子集 A，必有一对 Ci4 同属于 A， 这一对 Ci4 必与 Bi1 , Bi2 , Bi3 中至少一个无公共元素， 这 4 个元素互不相同， 且和为 2n+1+2n=4n+1, 最小的正整数 k=n+3 14．13 ? 1 21 ? 1 t ?1 t ?1 , 。①若 t2-4&0，即 t&-2 或 t&2，则由 2 &x(|x|≤1)恒成立，得 2 ? 1, 2 2 t ?4 t ?4 1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 ?t ? ，从而 &t&-2 或 2&t& 。②若 t2-4=0， 2 2 2 2t+1&t2-4, t2-t-s&0 解得则 t=2 符合题意。③若 t2-4&0，即-2&t&2，则由t ?1 t ?1 &x(|x|≤1)恒成立，得 2 ? ?1 ，t+1&-t2+4; 2 t ?4 t ?4t2+t-3&0，解得：t&? 1 ? 13 ? 1 ? 13 ? 1 ? 13 或 t& ，从而 &t&2。综上所述，t 的取值范围是： 2 2 213 ? 1 21 ? 1 &t& 。 2 215．23． 。 16．1 或-2。令 x=y=0 得 f(0)=-1；令 x=y=-1，由 f(-2)=-2 得，f(-1)=-2，又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1， 再令 x=1，得 f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以 f(y+1)-f(y)=y+2，即 y 为正整数时，f(y+1)-f(y)&0，由 f(1)=1 可知对一切正整数 y，f(y)&0，因此 y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2&y+1，即对一切大于 1 的正整 数 t，恒有 f(t)&t，由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明：当整数 t≤-4 时，f(t)&0，因 t≤-4，故-(t+2)&0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)&0， 即 f(-5)-f(-4)&0，f(-6)-f(-5)&0，??，f(t+1)-f(t+2)&0，f(t)-f(t+1)&0 相加得：f(t)-f(-4)&0，因为：t≤4，故 f(t)&t。综上所述：满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 17．解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 ab )2+(2 2ac +2 2bc )2=68(a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 4ab+8ac+8bc+16c ab 。所以 ? (a ? b ? c) abc1 a 2b 2c 5 ) ? (5 ) ? 100 。 ≥ 8(5 2a 2 b 2 c 2 243当 a=b=2c&0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。 三、解答题 18． 以 l 为 x 轴， 点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系， 设 Q 的坐标为(x, 0)， 点 A(k, λ )， ⊙Q 的半径为 r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x ? 2 =1+r。所以 x=± r ? 2r ? 3 , ∴2 2 2o?r o?h ? k AN ? k AM tan∠MAN= ? x?r?h x?r?h o?h o?h 1 ? k AN ? k AM 1? ? x?r?h x?r?k? 2rh 2rh 2rh ? ? ， 令 2 2 (x ? k) ? r ? h ( ? r 2 ? 2r ? 3 ) 2 ? r 2 ? h 2 h 2 ? k 2 ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 322m=h2+k2-3，tan∠MAN=1 2 2 ，所以 m+r ? k r ? 2r ? 3 =nhr，∴m+(1-nh)r= ? k r ? 2r ? 3 ，两 n边平方，得： m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2 ，因为对于任意实数 r ≥ 1，上式恒成立，所以?m 2 ? ?3k 2 (1) ? 1 2 （2）式，得 m=0, k=0，由（3）式，得 n= 。由 2m=h2+k2-3 得 ?2m(1 ? nh) ? 2k (2) ，由（1） h ?(1 ? nh) 2 ? k 2 (3) ?h=± 3 ，所以 tan∠MAN=1 =h=± 3 。所以∠MAN=60°或 120°（舍） （当 Q(0, 0), r=1 时∠ na2 a 2 a2 a )+ ，∴f( )= ≤1，∵ 4b 2b 2b 4bMAN=60°） ，故∠MAN=60°。 19． （1）证：依题设，对任意 x∈R，都有 f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-a&0, b&0, ∴a≤2 b 。 （2）证： （必要性） ，对任意 x∈[0, 1]，|f(x)|≤1 ? -1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即 a-b≥-1，∴a ≥b-1。对任意 x∈[0, 1]，|f(x)|≤1 ? f(x)≤1，因为 b&1，可推出 f(1 b)≤1。即 a?1 b-≤1，∴a≤2 b ，所以 b-1≤a≤2 b 。 （充分性） ：因 b&1, a≥b-1，对任意 x∈[0, 1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1， 即： ax-bx2≥-1； 因为 b&1， a≤2 b ， 对任意 x∈[0, 1]， 可推出 ax-bx2≤2 b -bx2≤1， 即 ax-bx269≤1，∴-1≤f(x)≤1。 综上，当 b&1 时，对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是：b-1≤a≤2 b 。 （3）解：因为 a&0, 0&b≤1 时，对任意 x∈[0, 1]。 f(x)=ax-bx2≥-b≥-1，即 f(x)≥-1； f(x)≤1 ? f(1)≤1 ? a-b≤1，即 a≤b+1； a≤b+1 ? f(x)≤(b+1)x-bx2≤1，即 f(x)≤1。 所以，当 a&0, 0&b≤1 时，对任意 x∈[0, 1]，|f(x)|≤1 的充要条件是：a≤b+1.20. F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 32 ? ( 1 6? 2 k5 x 2) ?? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ， 由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ? 25 161k 52 0 x?2 k22 ? 5? 4得 000x1 ? x2 ? ?150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 2 , x x ? ? ? y y ? k ( x ? 3)( x ? 3) ? ? 1 2 1 2 1 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2----------------------10 分设 M (?(3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 25 25 。 ,同理y4 ? , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 ) 3 3， 得又????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1M ? (? , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3y3 y 4? ?（3a ? 25) 2 y1 y2 256 （3a ? 25) 2 256k 2 256 , 而y 3 y 4 ? ，即 ? ? =? , 整理得 2 9( a ? x1 )( a ? x2 ) 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 16 ? 25k 9(1 ? k 2 )(16a 2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。----------70A QDBPC附加题 21 证：如图，连结 DB、OP、DQ，因∠ABD+∠ACD，∠EAC=∠ABC+∠ACB，则∠EAC= ∠DBC+∠DCB，即： 2∠DAC=∠DBC+∠DCB；又∠DAC=∠DBC， 则： ∠OBC=∠DCB； 故△DBC1 BC 。在圆内接四边形 ABCD 中，由托勒密定理得： 2 BC ? AD 2 BP ? AD AC?BD=BC?AD+AB?CD，因 BD=CD，则：AC-AB= ，又 DQ⊥AC，则 ? BD BD AQ AD BP ? AD AC ? AB △ADQ∽△BDP，所以 ，即：AQ= 。故 AC-AB=2AQ，即 AQ= 。 ? BP BD BD 2 1 1 AC ? AB 1 从而：CQ+CP=（AC-AQ）+ BC=（AC) ? BC= (AB+BC+CA)。 2 2 2 2为等腰三角形，因 OP ⊥ BC ，则 CP=22.设 w 是 1 的非实的立方根，满足 w2+w+1=0，则 g(w2+w+1)g(0)=0，设α 为-1 的非实的立方根， 则 f(α 2-α +1)=f(0)=0， 故可设： f(x)=x? a(x)； g(x)=x? b(x)。 因此原条件可化为： a(x2-x+1)=b(x2+x+1)。 令 x=-y，得：a(y2+y+1)=b(y2-y+1)， 1]。下面证明无穷多个 n 使得：a(n2+3n+3)=a(1)。由 n=1 可得： a(1)=a(7) ， 假 设 a[(n-1)2+3(n-1)+3]=a(1)(n ≥ 2) ， 则 2 2 2 2 a[(n+1) +3(n+1)+3]=a[(n+2) +(n+2)+1]=a[(n+1) -(n+1)+1]=a[(n-1) +3(n-1) +3]=a(1)。 由于多项式 a(x)-a(1)有无穷多个根， 所以 a(x)-a(1)是零多项式， 即 a(x)为常数， 因此 f(x)=kx， 类似可知：g(x)=kx。712012 年全国高中数学联赛辽宁省初赛参考答案一．选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1. (B). 2. (C)． 3. (C) . 4. (A)． 二．填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 7. 16? . 8. 5. (D)． 6. (A) .1007 . 30189.n ?1 . 10. (??, ?2) ? (?1,1) . 11. 22.12. 3 .三．解答题 13.（本小题满分 20 分） 证明：假设 a ? b ，则 13 ? 13 ,5 ? 5 .a b a b? 3 ? ? 13 ? 由 3 ? 13 ? 17 , 得 3 ? 13 ? 17 , 即 ? ? ? ? ? ? 1 ，????? ???(5 分) ? 17 ? ? 17 ?a b a a a aaa由于 f ( x) ? ? 故 a ? 1.3 13 16 ? 3 ? ? 13 ? ? 1 ，且 f (a) ? 1 ? f (1) ， ? ? ? ? 单调递减， f (1) ? ? ? 17 17 17 ? 17 ? ? 17 ???????????(10 分)b bxx?5? ?7? 由 5 ? 7 ? 11 , 得 5 ? 7 ? 11 ，即 ? ? ? ? ? ? 1 .??????????(15 分) ? 11 ? ? 11 ?a b bbbb5 7 12 ?5? ?7? 由于 g ( x) ? ? ? ? ? ? 单调递减， g (1) ? ? ? ? 1, g (b) ? 1 ? g (1) ， 11 11 11 ? 11 ? ? 11 ?故 b ? 1. 因此， a ? 1 ? b ，与 a ? b 矛盾，所以， a ? b . 14． （本小题满分 20 分） 解：由题意可设椭圆方程为 ????????(20 分)xxx2 a2?y2 b2? 1 (a ? b ? 0) ，y P?c 3 ? ? ?a ? 2 ? 2 由 ?a 得 ? ， b ? 1 2 1 ? ? ? ?1 ? ? a 2 2b 2所以，椭圆方程为O Qxx2 4? y 2 ? 1．72????????(5 分)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0 ，故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) ，? y ? kx ? m P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 满足 ? 2 ， 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 ．2 2 2? ? 64k 2 m2 ? 16(1 ? 4k 2 )(m2 ? 1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ，且 x1 ? x2 ??8km 1 ? 4k 2， x1 x2 ?4(m 2 ? 1) 1 ? 4k 2．y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ． ?????(10 分)因为直线 OP ， PQ ， OQ 的斜率依次成等比数列，所以，y1 y2 x1 x2??k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 x1 x22? k 2 ，即?8k 2 m 2 1 ? 4k2? m2 ? 0 ，????????(15 分)又 m ? 0 ，所以 k ?1 1 ，即 k ? ? ． 4 22 2由于直线 OQ 的斜率存在，且 ? ? 0 ，得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 ． 设 d 为点 O 到直线 l 的距离，则 S ?OPQ ?1 1 m d PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 2 2 1? k 21 m ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? m2 (2 ? m2 ) ， 2 所以 S ?OPQ 的取值范围为 (0,1) ． ?15.（本小题满分 25 分）????????(20 分)证明：连结 OP, OA, OC, EP ，显然 O, P, N 三点共线，且 OP ? AB ， 所以 N 是 AB 中点，由 M 是 PA 的中点，故 MN ? MP ? MA ，MN ? PQ ．A????????(5 分)MPM ? AM ? ME ? MC ，2 2所以?MPE ∽ ?MCP ， ?MCP ? ?MPE ．????????(10 分)O ?ENDQP又 O, A, P, B 四点共圆，CBON ? PN ? AN ? BN ? CN ? EN ，73故 O, C, P, E 四点共圆， ?OCN ? ?EPN ．????????(15 分)?PAO 是直角三角形，有 PN ? PO ? PA ? PD ? PC ，2于是 C , D, N , O 四点共圆．????????(20 分)?QNP ? ?PCO ? ?MCP ? ?MCO ? ?MPE ? ?EPN ? ?APN ，所以 M ? NPQ ，四边形 MNQP 是菱形. 16.（本小题满分 25 分）2 （1）解法一：由 a1 ? 1, 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 ( n ? 1, n ? N + ) 得????????(25 分)5 21 85 a2 ? , a3 ? , a4 ? ， 2 4 8由 5 ? 1 ? 4, 21 ? 1 ? 4 ? 4 ,85 ? 1 ? 4 ? 4 ? 4 ，猜想2 2 31 ? 4 ? 42 ? ? ? 4n ?1 4n ? 1 2 n 1 an ? ? ? (2 ? n ) . 2n ?1 3 ? 2n ?1 3 2????????(5 分)2 1 (2 ? ) ? 1 显然成立； 3 2 2 k 1 设当 n ? k 时， ak ? (2 ? k ) 成立，当 n ? k ? 1 时， 3 2证明：当 n ? 1 时， a1 ?2 5ak ? 9ak ? 16 ?10 k 1 1 10 1 1 (2 ? k ) ? 4(2k ? k ) 2 ? 16 ? (2 k ? k ) ? 2(2 k ? k ) 3 2 2 3 2 216 k 4 1 8 k ?1 1 ? 2 ? ? k ? (2 ? k ?1 ) ? 4a k ?1 成立， 3 3 2 3 2 2 n 1 所以，通项公式为 an ? (2 ? n ) . 3 2＝2 解法二：由 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 得????????(10 分)5 5 2 2 2 2 ，两式相减得 an an ?1an ? 1 ，故 an ? an an an ?1 ? 1 （ n ? 1） ?1 ? an ? ?1 ? 2 2? an?1 ? an?1 ? ? ? an ?1 ? an ?1 ??故 an ?1 ?5 ? an ? ? 0 ，又 ?an ? 为递增数列， 2 ?????????(5 分)5 an ? an ?1 ? 0 (n ? 1) . 2 5 1 2 特征方程为 x ? x ? 1 ? 0 ，特征根为 x1 ? 2, x2 ? ， 2 274所以 an ? ?1 x1 ? ? 2 x2 ，将 a1 ? 1, a2 ?n n5 代入，得 22 1 ? ? ?1 ? 2?1 ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? 3 2 ，解之得 ? ， ? ?4? ? 1 ? ? 5 ? ? ??2 1 2 2 ? ? ? 4 2 3 ?通项公式为 an ?2? n 1 ? ?2 ? n ?. 3? 2 ?????????(10 分)（2）设 S n ?1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? ， a1 a2 a3 an由2 ?n1 1 ? 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ?1 ? n ?1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? n ?1 ? n 2 2 ? 2 ? ? ?1 1 1 ? ? ? n ? 2? ， an 2 an ?1? n ? 2? 得????????(15 分)an ? 2an?1 ，Sn ?1 1? 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? an ?1 ? a1 a2 a3 an a1 2 ? a1 a2 a3?1 1? 1 ? 1 1 ? ? Sn ? ? ? ? ? Sn . a1 2 ? an ? a1 2所以 S n ?2 ? 2. a1????????(25 分)2012 新疆维吾尔自治区高中数学竞赛高二试题卷 时间 120 分钟 总分：150 分 第一题：选择题（有 6 小题，每小题 5 分总 30 分） 1.设 x ? y ? z ? 小值为： （ A． ） B.?12,且 x? y? z ??2,则乘积 cosx ? siny ? cosz 的最大值减去两倍的最3 83 4C.3 2D. 32.过抛物线焦点下的直线交抛物线与 P,Q 两点，P,Q 的垂直平分线交抛物线的对称轴于 R， 则PQ FR的值为： （ B.4） C.3 D.2A.5753.已知正四棱柱的对角线长为 2 6 ，且对角线与底面所成角的余弦值为 的体积为： （ A.2 B.4 ） C.82 则该正四棱柱 3D.164.袋中盛有 3 个白球和若干个红球， 现在从中任取 2 个求， 若取的白球个数的期望值等于 则袋中红球的个数为： （ A.1 B.3 C.5 5.已知复数 z ） D.73 ， 4? x ? yi ( x, y ? R, x ?）1 ),满足 z ? 1 ? x 那么 2Z 在复平面上对应点，( x, y) 的轨迹是： （A.圆 B. 抛物线 C.椭圆 D.双曲线 6.在正方体的八个顶点中任取四个顶点，这四个点可以连成四面体的概率为： （ A.）27 35B.28 35C.29 35D.6 7第二题：填空题（共有 6 小题 每小题 9 分总 54 分） 7.在数列 ?a n?中，已知 a3 ? 18 , a n?1 ? 3a n ,则 a1 =__________.1 的最小值=__________. x ?18.当 x ? 4 时，函数 y ? x ?9.若直线 l 经过 P（1，-3） ，它与两坐标轴围成等腰直角三角形，则 l 的方程是： ______________________________. 10.若方程x2 y2 ? ? 1 表示的曲线不是双曲线，则 k 的取值范围是：__________. k ?2 6?k11.正四面体内切球半径为 2，则此正面体体积为：__________. 12.将一骰子抽掷两次，所得向上点数分别为 m 和 n , 则函数 y ? 1）上为单调减函数的概率为：__________. 第三题： （总有 4 答题，总 66 分） 13.（本大题 15 分） 解不等式：m 3 x ? 2nx ? 4 在（-1， 3x 2 ? 3 x ? 10 ? 8 ? x7614.（本大题 15 分） 直线 x tan? 交椭圆( x ? 3) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 1 于 P1 , P2 两点， ? 为直线的倾斜角 9 4（2）求线段 p1 p 2 中点的轨迹方程。（1）求 ? 的取值范围15.（本大题 18 分） 如图，在斜三菱柱 ABC- A1 B1C1 中，∠ A1 AB = ?A1 AC ,AB=AC, A1 A ? A1 B ? a 侧面 B1 BCC1 与底面 ABC 所成的二面角为 120 ，E,F 分别为棱 B1C1 , A1 A 的 中点 （1） 求 A1 A 与底面 ABC 所成的角； （2） 求经过 A1 , A, B, C 四点的球的体积；07716.（本大题 18 分） 8 位歌手参加艺术节，准备为他们安排 M 次演出，每次由其中四位登台表演，要求 8 位歌手 中任意两位同时演出的次数一样多，请设计一中方案，使演出次数 M 最小782012 年全国高中数学联赛河南省预赛试题本试卷满分 140 分一、填空题（满分 64 分） 1、在小于 20 的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被 3 整除，则不用的取法种 数为_________________. 2、将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、 在 ?ABC 中，?C??2，?B ??6，AC将 ?ACM 沿 CM ? 2 ，M 为 AB 中点，折起，使 A, B 之间的距离为 2 4、若锐角2 ，则点 M 到面 ABC 的距离为_________________.?满足1 tan 2?? 2 3tano 1? 0?ta， n 则角? 2的度数为_________________.5 、 函 数?| log 2 x |,0 ? x ? 4 ? f ( x) ? ? 2 2 70 x ? 8x ? , x ? 4 ? 3 ?3， 若a, b, c, 互 d不 相 同 ， 且f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ，则 abcd 的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列 为_________________. 7、 一只蚂蚁由长方体 ABCD ??an ? 中， 2a4 ? a3 ? 2a2 ? a1 ? 8 ，则 2a8 ? a7 的最小值A1B1C1D1 顶点 A 出发，沿着长方体的表面达到顶点 C1 的过 实 数最短距离为 6，则长方体的体积最大值为______________. 8 、? x?表示不超x的最大整数，则?log 2 1? ? ?log 2 2? ? ?log 2 3? ? ? ? ?log 2 2012? ? _________.二、 （ 本 题 满 分 16 分 ） 如 图 ， 已 知 四 棱 锥E ? ABCD的地面为菱形，且?ABC ??3, AB ? EC? 2 , AE ? BE ? 2 .（1）求证：平面 EAB ? ABCD 平面； （2）求二面角 A ? EC ? D 的余弦值. 三、 （本题满分 20 分）已知函数 （1）当时 x ? 0 ，求证：79f ( x) ?ln(1 ? x) x（2）当 x ? ?1且 x ? 0 时，不等式f ( x) ?1 ? kx 成立，求实数的值. 1? x1 xn ? 1四、 （本题满分 20 分）数列? xn ? 中， x1 ? 1 且 xn?1 ? 1 ? ?an ? 的通项公式.（1）设 an?1 xn ? 2，求数列（2）设 bn? xn ? 2，数列?bn ? 的前 n 项的和为 Sn ，证明： Sn ?2 2.五、 （本题满分 20 分） 已知椭圆x2 ? y 2 ? 1 ，P 是圆 x 2 ? y 2 ? 16 上任意一点，过 P 4 ??? ? ??? ? 点作椭圆的切线 PA, PB ，切点分别为 A, B ，求 PA ? PB 的最大值和最小值.802012 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题 一、选择题(满分 36 分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第 1 页指定地方，答对得 6 分，答错或不答均记 0 分) 2+x x＞0 1.｛5 x=0 则 f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为 x 2 x＜0 （A） 8. （B） 11. （C）13?1/4 （D）15?1/2 2. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式 ax? +bx+c 的不同的两个根，则 a、b、c 之间的关 系是 (A) b? =a? -4ac (B) b? =a? +4ac (C) b? =a? -2ac (D) b? =a? +2ac 3.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=3f(x)，当 x∈ [0,2]时， f(x)=x?-2x，则 f(x)在 x ∈ [-4,-2]上的最小值为 （ A） -1/9 （ B） -1/3 （ C） 1/3 （ D） 1/94. 定义在正整数集 Z+上的函数 f,对于每一个 n∈Z+和无理数 π=3....满足f(n)= { k? 的末位数字, (π 的小数点后第 n 位数字 k≠0) 3 (π 的小数点后第 n 位数字 k=0) 若函数 f(f(n)的值域记为 M ，则 A 1 M B 5 M C 6 M D 9 M5.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，以 C 为圆心，CB 为 半径作圆交 AB 边于 M， 交 AC 边于 N， P 为 CM 与 BN 的交点， 若 AN=1， 则 S△CPN-S△BPM 等于 （A）1/8 （B）√3/8 (C)1/4 (D) √3/46.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足 f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当 x∈(-1,0)时，f(x)＞0， 若 P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；则 P，Q，R 的大小关系为 （A）R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q. (D)Q＞P＞R. 二、填空题(满分 64 分，每小题 8 分，请将答案填入第 1 页指定地方) 1、求 log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值 2. 已知 f(x)是四次多项式,且满足 f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求 f(6)的值 3.若[x]表示不超过 x 的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012 的自然数 n 的值 4、如图,半径为 1 的两个等圆相交，在圆的公共部分 作一内接正方形 ABCD。如果圆心距 O1O 等于 1，试求 正方形 ABCD 的面积.815.求的值 6.在单位正方形 ABCD 中，分别以 A、B、C、D 四点为圆心，以 1 为半径画弧，如右图所示.交点为 M，N，L，K，求阴影部分 的面积.7、已知二次函数 f(x)满足 f(-10)=9，f(-6)=7,f(2)=-9,求 f(100)的值 8、上底 BC=2，下底 AD=3 的梯形 ABCD 的对角线相交于点 O，彼此外切于点 O 的两个圆分别 切直线 AD 于点 A 和 D， 交 BC 分别于点 A 和 D， 交 BC 分别交于点 K 和 L，求 AK?+DL?的值82