这个矩阵的不变矩阵的初等因子怎么求到底怎么来的？？我也晓得是对角线多项式分解，怎么分解的！！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-11-16 04:19 标签： 矩阵不变因子求法
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高等代数北大版教案-第8章λ-矩阵.doc 11页
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高等代数北大版教案-第8章λ-矩阵
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１０１·
第八章 -矩阵
本章主要介绍-矩阵及其性质，并用这些性质证明若当标准形的主要定理。
§1 -矩阵
如果一个矩阵的元素是的多项式，即的元素，这个矩阵就称为-矩阵。
为了与-矩阵相区别，我们把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。由于数域中的数也是中的元素，所以在-矩阵中包括以数为元素的矩阵，即数字矩阵为-矩阵的一个特殊情形。
同样可以定义一个-矩阵的行列式，既然有行列式，也就有-矩阵的子式的概念。利用这个概念。我们有
定义1
如果-矩阵中有一个级子狮不为零。而所有级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为，零矩阵的秩规定为零。
定义2
一个的-矩阵称为可逆的，如果有一个的-矩阵使
（1）
这里是级单位矩阵。适合（1）的矩阵（它是唯一的）称为的逆矩阵，记为
关于-矩阵可逆的条件有
定理1
一个的-矩阵是可逆的充分必要条件为行列式是一个非零的数。
§2 -矩阵在初等变换下的标准形
-矩阵也有初等变换。
定义3
下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：
（1）矩阵的两行（列）互换位置；
（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；
（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式。
初等变换都是可逆的，并且有
。
为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：
代表行（列）互换位置；
代表用非零的数去乘行（列）；
代表把行（列）的倍加到行（列）。
定义4
-矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为。
等价是-矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：
反身性：每一个-矩阵与自己等价。
对称性：若与等价，则与等价。这是由于初等变换具有可逆性的缘故。
传递性：若与等价，与等价，则与等价，
引理
设-矩阵的左上角，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低。
定理2
任意一个非零的的-矩阵都等价与下列形式的矩阵
最后化成的这个矩阵称为的标准形。
例
用初等变换化-矩阵
不变因子
现在来证明，-矩阵的标准形是唯一的。为此，我们引入
定义5
设-矩阵的秩为，对于正整数，，中必有非零的级子式。中全部级子式的首项系数为1的最大公因式称为的级行列式因子。
由定义可知，对于秩为的-矩阵，行列式因子一共有个。行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的。
定理3
等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子
现在来计算标准形矩阵的行列式因子。设标准形为
其中，，，是首项系数为1的多项式，且。不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个级子式一定为零。因此，为了计算级行列式因子，只要看由列组成的级子式就行了，而这个级子式等于
显然，这种级子式的最大公因式就是
。
定理4
-矩阵的标准形是唯一的。
定义6
标准形的主对角线上非零元素称为-矩阵的不变因子。
定理5
两个-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子。
由(3)可以看出，在-矩阵的行列式之间，有关系
（4）
在计算-矩阵的行列式因子时，常常是先计算高级的行列式因子。这样，由（4）我们就大致有了低级行列式因子的范围了。
作为一个例子，我们来看可逆矩阵的标准形。设为一个可逆矩阵，由定理1知
其中是一非零常数。这就是说，
。
于是由（4）可知，
。
因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵。反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零的数。这就是说，矩阵可逆的充分必要条件是它与单位矩阵等价。又矩阵与等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵，，，，，，使得
=。
特别地，当=时，就得到
定理6
矩阵是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积。
由此又得到矩阵等价的另一条件
推论
两个的-矩阵与等价的充分必要条件为，有一个可逆矩阵与一个可逆矩阵，使
矩阵相似的条件
在求一个数字矩阵的特征值和特征向量时曾出现过-矩阵，我们称它为的特征矩阵。这一节的主要结果是证明两个数字矩阵和相似的充分必要条件是它们的特征矩阵和等价。
引理1
如果数字矩阵，使
=（）
（1）
则与相似。
引理2
对于任何不为零的数字矩阵和-矩阵与，一定存在-矩阵与以及数字矩阵和使
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矩阵理论 jordan标准型中每个jordan块对应一个初等因子,那么jordan的标准型维数是不是有可能大于原矩阵如题；因为特征矩阵的史密斯标准型的对角线元素是不变因子,而一个不变因子可能分解成多个初等因子,所以我感觉,最终的jordan的维数是不是有可能大于原来的维数呢?
唔知点解0277
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如果A是n阶方阵,那么λI-A所有不变因子的次数之和是n初等因子是对不变因子的细化,所有初等因子的次数之和仍然是n每个k次的初等因子对应于一个k阶Jordan块,所以加起来是不会变大的
我有疑惑，那比如这个矩阵，其不变因子求出来是d1=1，d2=λ（λ-1）；d3=λ(λ-1),d4=λ²(λ-1)²，那么为什么不变因子之和不是4呢？即使他的不变因子次数也不是4呢？谢谢；
你这个矩阵(4,4)位置有问题撇开这个不谈，你给的矩阵未必等价于某个λI-A，并不是所有的矩阵多项式都可以用这套理论来得到标准型的
不好意思，输入失误，最后一个是λ²-λ；上边的不变因子是根据初等因子组写出来的；现在请您回答我的问题吧，谢谢；
det(λI-A)是四次多项式，你给的矩阵取行列式之后不是四次，所以一定不能和某个λI-A等价
那您的意思是说，上边这个λ矩阵并不是特征矩阵，只是一个普通的λ矩阵而已，如果他是特征矩阵，就一定满足不变因子的次数之和等于A矩阵的阶数，是这个意思吗？
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