欧拉公式_百度百科
声明：百科词条人人可编辑，词条创建和修改均免费，绝不存在官方及代理商付费代编，请勿上当受骗。
在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。[1]
R+ V- E= 2就是欧拉公式。
欧拉公式证明
欧拉公式用数学归纳法证明 。
( 1)当 R= 2时 ，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。
( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。
由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后 ，地图上只有 m 个区域了；在去掉 X 和 Y 之间的边界后 ，若原该边界两端 的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点 ，则 该顶点保留 ，同时其他的边界数不变;若原该边界一 端或两端的顶点现在成为 2条边界的顶点 ，则去掉 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界 。于 是 ,在去掉 X 和 Y之间的唯一一条边界时只有三种 情况：
①减少一个区域和一条边界；
②减少一个区 域、一个顶点和两条边界；
③减少一个区域、两个顶 点和三条边界；
即在去掉 X 和 Y 之间的边界时 ,不 论何种情况都必定有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”我们将上述过程反过来 (即将 X 和 Y之间去掉的边 界又照原样画上 ) ，就又成为 R= m+ 1的地图了 ，在 这一过程中必然是“增加的区域数 + 增加的顶点数 = 增加的边界数”。
因此 ，若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立 ，则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。
由 ( 1)和 ( 2)可知 ,对于任何正整数 R≥2,欧拉 定理成立。[1]
欧拉公式柯西的证明
第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的给出，大致如下：
从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)
重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）
的额外变换。
若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。
除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。
（逐个）除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。
重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形
（把外部数在内）
欧拉公式推理证明
设想这个多面体是先有一个面，然后将其他各面一个接一个地添装上去的.因为一共有F个面，因此要添(F-1)个面.
考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数.
添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，所以增加的棱数比增加的顶点数多1，因此，这时E=V+1.
以后每增添一个面，总是增加的棱数比增加的顶点数多1，例如
增添两个面后，有关系E=V+2;
增添三个面后，有关系E=V+3;
增添(F-2)个面后，有关系E=V+ (F-2).
最后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增加.因此，关系式仍为E=V+ (F-2).即
这个公式叫做欧拉公式.它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。[2]
欧拉公式分式
当r=0或1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。[3]
欧拉公式复变函数
把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，
，e是，i是。它将的扩大到，
建立了和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。[5]
欧拉公式推导过程
这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式，其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式
的展开式中把x换成±ix.
，然后采用两式相加减的方法得到：
.这两个也叫做欧拉公式。将
中的x取作π就得到：
这个也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个：e，π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。[5]
欧拉公式平面几何
设△ABC的为O，为I，外接圆半径为R，内切圆半径为r，又记
外心、内心的距离OI为d，则有
（1）式称为欧拉公式。[6]
为了证明（1）式，我们现将它改成
（2）式左边是点I对于⊙O的：过圆内任一点P的弦被P分成两个部分，这两个部分的乘积是一个定值，称为P关于⊙O的幂。事实上，如图3.21，如果将OI延长交圆于E、F，那么
因此，设AI交⊙O于M，则
因此，只需证明
或写成比例式
为了证明（5）式，应当寻找两个相似的三角形。一个以长IA、r为边；另一个以长2R、MI为边。前一个不难找，图3.21中的△IDA就是，D是内切圆与AC的切点。后一个也必须是直角三角形，所以一边是直径ML，另一个顶点也应当在圆上。△MBL就满足要求。
因此（5）式成立，从而（1）式成立。
，所以由欧拉公式得出一个副产品，即
欧拉公式拓扑学
拓扑学又称“连续几何学”。
几何学的一门分科。研究几何图形经过连续形变后仍能保持的性质。包括点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑等分支。[7]
在中，（Euler characteristic）是一个（事实上，是同伦不变量），对于一大类有定义。它通常记作
二维拓扑的欧拉示性数可以用以下公式计算：
其中V、E和F分别是点、边和面的个数。 特别的有，对于所有和一个同胚的多面体，我们有
特征函数用欧拉公式：随机变量X的特征函数定义为
欧拉公式物理学
众所周知，生活中处处存在着，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：
其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为，k表示绳与桩之间的，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的与弧半径之比。
．中国知网．2009[引用日期]
曹才翰;沈复兴,孙瑞清,余炯沛等．中国中学教学百科全书：沈阳出版社，1991-05
．中国知网[引用日期]
．中国知网．2002-08[引用日期]
．中国知网．2015-09[引用日期]
单壿．单壿老师教你学数学
: 平面几何中的小花 ．上海：华东师范大学出版社，2011-3
．中国知网．1990-09[引用日期]
本词条内容贡献者为
湖南师范大学(window.slotbydup = window.slotbydup || []).push({
id: '4540180',
container: s,
size: '250,200',
display: 'inlay-fix'
热门资料排行
添加成功至
资料评价：
所需积分：0初等数论中的欧拉定理定理内容；在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关；首先证明下面这个命题：；对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}；1)由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也；则a*xi(modn)≠a*xj(modn)，这；（a*x1×a*x2×...×a*xφ(n)）(；=（a*x1(modn)×a*x2(modn)×；=（x
初等数论中的欧拉定理 定理内容
在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
首先证明下面这个命题：
对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,?φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}
1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此
任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn
既然这样，那么
（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)
= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
考虑上面等式左边和右边
左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)
a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p)
编辑本段 平面几何里的欧拉定理 定理内容
设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．
O、I分别为SABC的外心与内心．
连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．
连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．
由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA?ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）
但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），
故只需证2Rr=IA?DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．
而这个比例式可由SAFI∽SEBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．
编辑本段 拓扑学里的欧拉公式
V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。
编辑本段 经济学中的“欧拉定理”
在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：Q＝L(&Q/&L)＋K(&Q/&K)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。
因为&Q/&L＝MPL＝w/P被视为劳动对产量的贡献，&Q/&K＝MPK＝r/P被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为“产品分配净尽定理”，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。
【同余理论中的\欧拉定理\】
设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)
(注:f(m)指模m的简系个数)
编辑本段 复变函数论里的欧拉公式 定理内容
e^ix=cosx+isinx
e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式。
“上帝创造的公式”
将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
e^iπ+1=0.
这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
编辑本段 意义
（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律
（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。
（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）提出多面体分类方法：
在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。
除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。
（5）利用欧拉定理可解决一些实际问题
如：为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等
编辑本段 V+F-E=2的证明 方法1：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1
（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。
（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。
以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。
方法2：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，?，nF，各面内角总和为：
Σα = [(n1-2)?180度+(n2-2)?180度+?+(nF-2) ?180度]
= (n1+n2+?+nF -2F) ?180度
=(2E-2F) ?180度 = (E-F) ?360度 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)?180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)?360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)?180度。
所以，多面体各面的内角总和：
Σα = (V-n)?360度+(n-2)?180度+(n-2)?180度
=（V-2）?360度（2）
由(1)(2)得： (E-F) ?360度=（V-2）?360度
所以 V+F-E=2.
方法3 用拓扑学方法证明欧拉公式
图 尝试一下用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末
证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：
（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
三亿文库包含各类专业文献、外语学习资料、高等教育、生活休闲娱乐、文学作品欣赏、中学教育、专业论文、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、32初等数论中的欧拉定理等内容。　
　初​等​数​论​中​的​几​个​重​要​定​理初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义 (欧拉(Euler)函数) 一组数 且对于任意的 。并... 　初等数论中的几个重要定理 高中数学竞赛_学科竞赛_高中教育_教育专区。初等数论中的几个重要定理基础知识 定义(欧拉(Euler)函数)一组数 的, 的剩余,即 且对于任... 　第五节初等数论中的几个重要定理_学科竞赛_高中教育_教育专区。第五节基础知识 初等数论中的几个重要定理 定义(欧拉 (Euler)函数)一组数 x1 , x2 ,?, xs ... 　初等数论(四)--几个著名的数论定理一些常用概念 ? 欧拉函数 ? (n) --介于 1 和 n 之间与 n 互质的自然数个数 ? 缩系---在 ? (n) 个剩余类中各取... 　初等数论中的几个重要定理初等数论中的几个重要定理隐藏&& 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义(欧拉(Euler)函数)一组数 定义 的, 的剩余,即 且对于任意的... 　第五节基础知识 初等数论中的几个重要定理 定义(欧拉(Euler)函数)一组数 x1 , x 2 ,L , x s 称为是模 m 的既约剩余系,如果对任意的 定义 1 ≤ j ... 　初等数论中一些命题的多种证法_司法考试_资格考试/认证_教育专区。初等数论中...(m) ? 1 (mod m)(欧拉定理证毕) 证法 3(群论,拉格朗日定理) : 先说明... 　使 a=bq+r,其中 0≤r...初等数论中的欧拉定理 7页 免费
初等数论中的几个重要定... 8页 1下载券
初等数论中的几个重要定... 暂无评价 10页 1下载...欧拉把点线图上的点分为两类_中华文本库
非常遗憾！在本库中没有找到与&"欧拉把点线图上的点分为两类"&相关的文本