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学而思(四年级)目30讲全 (1)
-1-准数，各数与基准数的差的和叫做累学而思（四年级）第 1 讲 速算与巧算（一） 第 2 讲 速算与巧算（二） 第 3 讲 高斯求和 第 4 讲 4，8，9 整除的数的特征 第 5 讲 弃九法 第 6 讲 数的整除性（二） 第 7 讲 找规律（一） 第 8 讲 找规律（二） 第 9 讲 数字谜（一） 第 10 讲 数字谜（二） 第 11 讲 归一问题与归总问题 第 12 讲 年龄问题 第 13 讲 鸡兔同笼问题与假设法 第 14 讲 盈亏问题与比较法（一） 第 15 讲 盈亏问题与比较法（二） 第 16 讲 数阵图（一） 第 17 讲 数阵图（二） 第 18 讲 数阵图（三） 第 19 将 乘法原理 第 20 讲 加法原理（一） 第 21 讲 加法原理（二） 第 22 讲 还原问题（一） 第 23 讲 还原问题（二） 第 24 讲 页码问题 第 25 讲 智取火柴 第 26 讲 逻辑问题（一） 第 27 讲 逻辑问题（二） 第 28 讲 最不利原则 第 29 讲 抽屉原理（一） 第 30 讲 抽屉原理（二） 第 1 讲 速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学 好数学，必须具有过硬的计算本领。 准确、 快速的计算能力既是一种技巧， 也是一种思维训练，既能提高计算效 率、节省计算时间，更可以锻炼记忆 力，提高分析、判断能力，促进思维 和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则 运算的速算与巧算的方法，本讲和下 一讲主要介绍加法的基准数法和乘法 的补同与同补速算法。如果你需要更多的各种奥数 教材，课程同步教材，同步 练习题，培优练习题，期中 期末单元试卷， 各种致富管理文学作品书籍 修理书籍 大人物传记 都是电子档。可以联系我
电 话 计差。由例 1 得到： 总和数 = 基准数×加数的个数 + 累计 差， 平均数 = 基准数 + 累计差÷加数的个 数。 在使用基准数法时，应选取与各 数的差较小的数作为基准数，这样才 容易计算累计差。同时考虑到基准数 与加数个数的乘法能够方便地计算出 来，所以基准数应尽量选取整十、整 百的数。 例 2 某农场有 10 块麦田， 每块的产量 如下（单位：千克）： 462，480，443，420，473，429，例 1 四年级一班第一小组有 10 名同 学，某次数学测验的成绩（分数）如 下： 86，78，77，83，91，74，92， 69，84，75。 求这 10 名同学的总分。 分析与解： 通常的做法是将这 10 个数 直接相加，但这些数杂乱无章，直接 相加既繁且易错。观察这些数不难发 现，这些数虽然大小不等，但相差不 大。 我们可以选择一个适当的数作 “基 准”，比如以“80”作基准，这 10 个 数与 80 的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11， 4，-5，其中“-”号表示这个数比 80 小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数 与 80 的差逐一累加。为了清楚起见， 将这一过程表示如下：468 ，439，475 ，461 。求平均每块麦 田的产量。 解：选基准数为 450，则 累计差=12＋30－7－30＋23－21 ＋18－11＋25＋11 ＝50， 平均 每块产 量 =450 ＋ 50 ÷ 10 ＝ 455（千克）。 答：平均每块麦田的产量为 455 千克。 求一位数的平方，在乘法口诀的 九九表中已经被同学们熟知，如 7×7 ＝49（七七四十九）。对于两位数的 平方，大多数同学只是背熟了 10～20 的平方， 而 21～99 的平方就不大熟悉 了。有没有什么窍门，能够迅速算出 两位数的平方呢？这里向同学们介绍 一种方法――凑整补零法。所谓凑整 补零法，就是用所求数与最接近的整 十数的差，通过移多补少，将所求数 转化成一个整十数乘以另一数，再加 上零头的平方数。下面通过例题来说 明这一方法。 例 3 求 29 和 82 的值。 解：29 =29×292 2 2通过口算， 得到差数累加为 9， 再 加上 80×10， 就可口算出结果为 809。 例 1 所用的方法叫做加法的基准 数法。这种方法适用于加数较多，而 且所有的加数相差不大的情况。作为 “基准”的数（如例 1 的 80）叫做基＝（29＋1）×（29-1）＋12 ＝30×28＋1 ＝840+1 ＝841。 82 ＝82×82 ＝（82－2）×（82＋2）＋22 2-2-＝80×84＋4 ＝6720+4 ＝6724。 由上例看出，因为 29 比 30 少 1， 所以给 29“补”1，这叫“补少”；因 为 82 比 80 多 2， 所以从 82 中 “移走” 2，这叫“移多”。因为是两个相同数 相乘，所以对其中一个数“移多补少” 后，还需要在另一个数上“找齐”。 本例中，给一个 29 补 1，就要给另一 个 29 减 1；给一个 82 减了 2，就要给 另一个 82 加上 2。 最后， 还要加上 “移 多补少”的数的平方。 由凑整补零法计算 35 ，得 35×35＝40×30＋5 =1225。这与 三年级学的个位数是 5 的数的平方的 速算方法结果相同。 这种方法不仅适用于求两位数的 平方值，也适用于求三位数或更多位 数的平方值。 例 4 求 993 和 2004 的值。 解：993 =993×993 ＝（993＋7）×（993-7）+7 ＝＋49 ＝ ＝986049。 ×2004 ＝（2004-4）×（2004+4）＋42 ＝＋16 ＝ ＝4016016。 下面，我们介绍一类特殊情况的 乘法的速算方法。 请看下面的算式： 66×46，73×88，19×44。 这几道算式具有一个共同特点， 两个因数都是两位数，一个因数的十 位数与个位数相同，另一因数的十位 数与个位数之和为 10。这类算式有非 常简便的速算方法。 例 5 88×64＝？ 分析与解：由乘法分配律和结合律， 得到 88×64 ＝（80＋8）×（60＋4） ＝（80＋8）×60＋（80＋8）×42 2 2 2 2 2 2＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4 ＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4 ＝80×（60＋6＋4）＋8×4 ＝80×（60＋10）＋8×4 ＝8×（6＋1）×100+8×4。 于是，我们得到下面的速算式：（1）37 ； （2）53 ； （3）91 ； （4）68 ： （5）108 ； （6）397 。 6.计算下列各题： （1）77×28；（2）66×55； （3）33×19；（4）82×44； （5）37×33；（6）46×99。 练习 1 答案 1.1596。 2.26 厘米。 3.711 个。 4.147。 5.（1）1369； （2）2809； （3）2 2 2222由上式看出，积的末两位数是两 个因数的个位数之积，本例为 8×4； 积中从百位起前面的数是“个位与十 位相同的因数”的十位数与“个位与 十位之和为 10 的因数”的十位数加 1 的乘积，本例为 8×（6＋1）。 例 6 77×91＝？ 解：由例 3 的解法得到8281； （4）4624； （5）11664； （6） 157609。 6.（1）2156； （2）3630； （3） 627； （4）3608； （5）1221； （6） 4554。 第 2 讲 速算与巧算（二） 上一讲我们介绍了一类两位数乘 法的速算方法，这一讲讨论乘法的 “同补”与“补同”速算法。 两个数之和等于 10，则称这两个由上式看出，当两个因数的个位 数之积是一位数时，应在十位上补一 个 0，本例为 7×1＝07。 用这种速算法只需口算就可以方 便地解答出这类两位数的乘法计算。 练习 1 1.求下面 10 个数的总和： 165，152，168，171，148，156， 169，161，157，149。 2.农业科研小组测定麦苗的生长 情况， 量出 12 株麦苗的高度分别为 （单 位：厘米）： 26，25，25，23，27，28，26， 24，29，27，27，25。求这批麦苗的 平均高度。 3.某车间有 9 个工人加工零件， 他们加工零件的个数分别为： 68，91，84，75，78，81，83， 72，79。 他们共加工了多少个零件？ 4.计算： 13 ＋ 16 ＋ 10+11 ＋ 17 ＋ 12 ＋ 15 ＋ 12＋16＋13＋12。 5.计算下列各题：数互补。在整数乘法运算中，常会遇 到像 72×78， 26×86 等被乘数与乘数 的十位数字相同或互补，或被乘数与 乘数的个位数字相同或互补的情况。 72×78 的被乘数与乘数的十位数字相 同、个位数字互补，这类式子我们称 为“头相同、尾互补”型；26×86 的 被乘数与乘数的十位数字互补、个位 数字相同，这类式子我们称为“头互 补、尾相同”型。计算这两类题目， 有非常简捷的速算方法， 分别称为 “同 补”速算法和“补同”速算法。 例 1 （1）76×74＝？ （2）31×39 ＝？ 分析与解：本例两题都是“头相 同、尾互补”类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得 到 76×74 ＝（7＋6）×（70+4） ＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4＝70 ×70＋6×70＋70×4＋6×4 ＝70×（70＋6＋4）＋6×4 ＝70×（70＋10）＋6×4-3-＝7×（7+1）×100＋6×4。 于是，我们得到下面的速算式：解：（1）由例 2 看出，在“头互补、尾相同” （2）与（1）类似可得到下面的速算 式： 的两个两位数乘法中，积的末两位数 是两个因数的个位数之积（不够两位 时前面补 0，如 3×3＝09），积中从 百位起前面的数是两个因数的十位数 之积加上被乘数（或乘数）的个位数。 “补同”速算法简单地说就是： 由例 1 看出，在“头相同、尾互 补”的两个两位数乘法中，积的末两 位数是两个因数的个位数之积（不够 两位时前面补 0，如 1×9＝09），积 中从百位起前面的数是被乘数（或乘 数）的十位数与十位数加 1 的乘积。 “同补”速算法简单地说就是： 积的末两位是“尾×尾” ， 前面是“头 ×（头+1）”。 我们在三年级时学到的 15×15， 25×25，?，95×95 的速算，实际上 就是“同补”速算法。 例 2 （1）78×38＝？ （2）43×63 ＝？ 分析与解：本例两题都是“头互补、 尾相同”类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到 78×38 ＝（70＋8）×（30＋8） ＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8 ＝70×30+8×30＋70×8＋8×8 ＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8 ＝7×3×100＋8×100＋8×8 ＝（7×3＋8）×100＋8×8。 于是，我们得到下面的速算式： 等都是“同补”型。 当被乘数与乘数前面的几位数互补， 后面的几位数相同时，这个乘法算式 就是“补同”型，即“头互补，尾相 同”型。 例如， 等都是 （2）与（1 ）类似可得到下面的 速算式： “补同”型。 在计算多位数的“同补”型乘法 时，例 1 的方法仍然适用。 例 3 （1）702×708=？ （2）1708× 1792＝？ 积的末两位数是“尾×尾”，前面是 “头×头+尾”。 例 1 和例 2 介绍了两位数乘以两位数 的“同补”或“补同”形式的速算法。 当被乘数和乘数多于两位时，情况会 发生什么变化呢？ 我们先将互补的概念推广一下。当两 个数的和是 10，100，1000，?时， 这两个数互为补数，简称互补。如 43 与 57 互补，99 与 1 互补，555 与 445 互补。 在一个乘法算式中，当被乘数与 乘数前面的几位数相同，后面的几位 数互补时，这个算式就是“同补”型， 即“头相同，尾互补”型。例如 ，因为被乘数与乘 数的前两位数相同，都是 70，后两位 数互补， 77＋23＝100， 所以是 “同补” 型 。 又 如 ， 练习 2 计算下列各题： 1.68×62； 2.93×97； 3.27×87； 4.79×39； 5.42×62； 6.603×607； 7.693×607； 8.。 第 3 讲 高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪 明过人，上学时，有一天老师出了一 道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋 头计算，小高斯却很快算出答案等于 计算多位数的“同补”型乘法时， 将“头×（头+1）”作为乘积的前几 位，将两个互补数之积作为乘积的后 几位。 注意：互补数如果是 n 位数，则应占 乘积的后 2n 位，不足的位补“0”。 在计算多位数的“补同”型乘法 时，如果“补”与“同”，即“头” 与“尾”的位数相同，那么例 2 的方 法仍然适用（见例 4）；如果“补”与 “同”的位数不相同，那么例 2 的方 法不再适用，因为没有简捷实用的方 法，所以就不再讨论了。 例 4 ＝？ 解： （2）-4-5050。高斯为什么算得又快又准呢？ 原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49 ＋52＝50＋51。 1～100 正好可以分成这样的 50 对数，每对数的和都相等。于是，小 高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真 是聪明极了，简单快捷，并且广泛地 适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数 列中的每一个数称为一项，其中第一 项称为首项，最后一项称为末项。后 项与前项之差都相等的数列称为等差 数列，后项与前项之差称为公差。例 如： （1）1，2，3，4，5，?，100； （2）1，3，5，7，9，?，99；（3） 8，15，22，29，36，?，71。 其中 （1） 是首项为 1， 末项为 100， 公差为 1 的等差数列；（2）是首项为 1，末项为 99，公差为 2 的等差数列； （3）是首项为 8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数 列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例 1 1＋2＋3＋?＋1999＝？ 分析与解： 这串加数 1， 2， 3， ?， 1999 是等差数列，首项是 1，末项是 1999， 共有 1999 个数。 由等差数列求和公式 可得 原式 = （ 1 ＋ 1999 ）× 1999 ÷ 2 ＝ 1999000。 注意：利用等差数列求和公式之 前，一定要判断题目中的各个加数是 否构成等差数列。 例 2 11＋12＋13＋?＋31＝？ 分析与解：这串加数 11，12，13，?， 31 是等差数列， 首项是 11， 末项是 31， 共有 31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项 数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的 关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例 3 3＋7＋11＋?＋99＝？ 分析与解：3，7，11，?，99 是公差 为 4 的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例 4 求首项是 25， 公差是 3 的等差数 列的前 40 项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末 项的公式，可以解决各种与等差数列 求和有关的问题。 例 5 在下图中，每个最小的等边三角 形的面积是 12 厘米 2，边长是 1 根火 柴棍。问：（1）最大三角形的面积是 多少平方厘米？（2）整个图形由多少 根火柴棍摆成？例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔 术师第一次从盒子里拿出一只球，将 它变成 3 只球后放回盒子里；第二次 又从盒子里拿出二只球，将每只球各 变成 3 只球后放回盒子里??第十次 从盒子里拿出十只球，将每只球各变 成 3 只球后放回到盒子里。这时盒子 里共有多少只乒乓球？ 分析与解：一只球变成 3 只球，实际 上多了 2 只球。第一次多了 2 只球， 第二次多了 2×2 只球??第十次多了 2×10 只球。因此拿了十次后，多了 2×1＋2×2＋?＋2×10 ＝2×（1＋2＋?＋10） ＝2×55＝110（只）。 加上原有的 3 只球，盒子里共有 球 110＋3＝113（只）。 综合列式为： （3-1）×（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113 （只）。 练习 3 1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋?＋200； （2）17＋19＋21＋?＋39； （3）5＋8＋11＋14＋?＋50；分析：最大三角形共有 8 层，从上往 下摆时，每层的小三角形数目及所用 火柴数目如下表：（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。 2.求首项是 5，末项是 93，公差 是 4 的等差数列的和。 3.求首项是 13，公差是 5 的等差 数列的前 30 项的和。 4.时钟在每个整点敲打，敲打的 次数等于该钟点数，每半点钟也敲一 下。问：时钟一昼夜敲打多少次？由上表看出，各层的小三角形数成等 差数列， 各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋?＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米 2）。 2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。 答：最大三角形的面积是 768 厘米 2， 整个图形由 108 根火柴摆成。5.求 100 以内除以 3 余 2 的所有 数的和。 6.在所有的两位数中，十位数比 个位数大的数共有多少个？ 第四讲 我们在三年级已经学习了能被 2， 3， 5 整除的数的特征，这一讲我们将讨论 整除的性质，并讲解能被 4，8，9 整 除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数 能被丙数整除，那么甲数一定能被丙-5-数整除。例如，48 能被 16 整除，16 能被 8 整除， 那么 48 一定能被 8 整除。 性质 2 如果两个数都能被一个自然数 整除，那么这两个数的和与差也一定 能被这个自然数整除。例如，21 与 15 都能被 3 整除，那么 21＋15 及 21-15 都能被 3 整除。 性质 3 如果一个数能分别被两个互质 的自然数整除，那么这个数一定能被 这两个互质的自然数的乘积整除。例 如，126 能被 9 整除，又能被 7 整除， 且 9 与 7 互质，那么 126 能被 9×7＝ 63 整除。 利用上面关于整除的性质，我们 可以解决许多与整除有关的问题。为 了进一步学习数的整除性，我们把学 过的和将要学习的一些整除的数字特 征列出来： （1） 一个数的个位数字如果是 0， 2，4，6，8 中的一个，那么这个数就 能被 2 整除。 （2）一个数的个位数字如果是 0 或 5，那么这个数就能被 5 整除。 （3）一个数各个数位上的数字之 和如果能被 3 整除，那么这个数就能 被 3 整除。 （4）一个数的末两位数如果能被 4（或 25）整除，那么这个数就能被 4 （或 25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被 8（或 125）整除，那么这个数就能被 8（或 125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之 和如果能被 9 整除，那么这个数就能 被 9 整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学 过的内容，（4）（5）（6）是本讲要 学习的内容。 因为 100 能被 4（或 25）整除， 所以由整除的性质 1 知，整百的数都 能被 4（或 25）整除。因为任何自然 数都能分成一个整百的数与这个数的 后两位数之和，所以由整除的性质 2 知， 只要这个数的后两位数能被 4 （或 25）整除，这个数就能被 4（或 25） 整除。这就证明了（4）。类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体 的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。 因为 99 和 9 都能被 9 整除， 所以 根据整除的性质 1 和性质 2 知， （8x99 ＋3x9）能被 9 整除。再根据整除的性 质 2，由（8＋3＋7）能被 9 整除，就 能判断 837 能被 9 整除。 利用（4）（5）（6）还可以求出一 个数除以 4，8，9 的余数： （4‘）一个数除以 4 的余数，与它的 末两位除以 4 的余数相同。 （5＇）一个数除以 8 的余数，与它的 末三位除以 8 的余数相同。 （6＇）一个数除以 9 的余数，与它的 各位数字之和除以 9 的余数相同。 例 1 在下面的数中，哪些能被 4 整 除？哪些能被 8 整除？哪些能被 9 整 除？ 234，789，，。 解：能被 4 整除的数有 ， 8064； 能被 8 整除的数有 ； 能被 9 整除的数有 234，。 例 2 在四位数 56□2 中，被盖住的十 位数分别等于几时，这个四位数分别 能被 9，8，4 整除？ 解：如果 56□2 能被 9 整除，那么 5＋6＋□＋2＝13＋□ 应能被 9 整除， 所以当十位数是 5， 即 四位数是 5652 时能被 9 整除； 如果 56□2 能被 8 整除，那么 6 □2 应能被 8 整除， 所以当十位数是 3 或 7， 即四位数是 5632 或 5672 时能被 8 整除； 如果 56□2 能被 4 整除， 那么□2 应能被 4 整除， 所以当十位数是 1， 3， 5， 7， 9， 即四位数是 5612， 5632， 5652，
时能被 4 整除。 到现在为止，我们已经学过能被 2，3，5，4，8，9 整除的数的特征。根据整除的性质 3， 我们可以把判断整 除的范围进一步扩大。例如，判断一 个数能否被 6 整除，因为 6＝2×3，2 与 3 互质，所以如果这个数既能被 2 整除又能被 3 整除，那么根据整除的 性质 3， 可判定这个数能被 6 整除。 同 理，判断一个数能否被 12 整除，只需 判断这个数能否同时被 3 和 4 整除； 判断一个数能否被 72 整除， 只需判断 这个数能否同时被 8 和 9 整除；如此 等等。 例 3 从 0，2，5，7 四个数字中任选三 个，组成能同时被 2，5，3 整除的数， 并将这些数从小到大进行排列。 解：因为组成的三位数能同时被 2，5 整除， 所以个位数字为 0。 根据三位数 能被 3 整除的特征，数字和 2＋7＋0 与 5＋7＋0 都能被 3 整除，因此所求 的这些数为 270，570，720，750。 例 4 五位数 能被 72 整除，问：A 与 B 各代表什么数字？ 分析与解：已知 能被 72 整除。因为 72＝8×9，8 和 9 是互质数， 所以 既能被 8 整除，又能被9 整除。根据能被 8 整除的数的特征， 要求 能被 8 整除，由此可确定B＝6。 再根据能被 9 整除的数的特征， 的各位数字之和为 A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9 ＋6＝A＋20， 因为 l≤A≤9， 所以 21≤A＋20≤ 29。 在这个范围内只有 27 能被 9 整除， 所以 A＝7。 解答例 4 的关键是把 72 分解成 8× 9， 再分别根据能被 8 和 9 整除的数的 特征去讨论 B 和 A 所代表的数字。在 解题顺序上，应先确定 B 所代表的数 字，因为 B 代表的数字不受 A 的取值 大小的影响，一旦 B 代表的数字确定 下来，A 所代表的数字就容易确定了。-6-例 5 六位数是 6 的倍数，3．一些四位数，百位上的数字都 是 3，十位上的数字都是 6，并且它们 既能被 2 整除又能被 3 整除。在这样 的四位数中，最大的和最小的各是多 少？ 4． 五位数 求这个五位数。 5．有一个能被 24 整除的四位数 □23□，这个四位数最大是几？最小 是几？ 6．从 0，2，3，6，7 这五个数码 中选出四个， 可以组成多少个可以被 8 整除的没有重复数字的四位数？ 7．在 123 的左右各添一个数码， 使得到的五位数能被 72 整除。 8．学校买了 72 只小足球，发票 上的总价有两个数字已经辨认不清， 只看到是□67.9□元，你知道每只小 足球多少钱吗？ 第 5 讲 弃九法 从第 4 讲知道，如果一个数的各 个数位上的数字之和能被 9 整除，那 么这个数能被 9 整除；如果一个数各 个数位上的数字之和被 9 除余数是几， 那么这个数被 9 除的余数也一定是几。 利用这个性质可以迅速地判断一个数 能否被 9 整除或者求出被 9 除的余数 是几。 例如， 3645732 这个数， 各个数位 上的数字之和为 3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30， 30 被 9 除余 3，所以 3645732 这 个数不能被 9 整除，且被 9 除后余数 为 3。 但是，当一个数的数位较多时， 这种计算麻烦且易错。有没有更简便 的方法呢？ 因为我们只是判断这个式子被 9 除的余数， 所以凡是若干个数的和是 9 时，就把这些数划掉，如 3＋6＝9，4 ＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后， 最多只剩下一个 3（如下图），所以这 个数除以 9 的余数是 3。 只剩下 7，6，1，5 四个数，这时 口算一下即可。口算知，7，6，5 的和 是 9 的倍数，又可划掉，只剩下 1。所 以这个多位数除以 9 余 1。 例 2 将自然数 1，2，3，?依次无间 隔 地 写 下 去 组 成 一 个 数 1213 ?如果一直写到自 然数 100， 那么所得的数除以 9 的余数 是多少？ 分析与解：因为这个数太大，全部写 出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐 个划掉和为 9 或 9 的倍数的数，所以 要配合适当的分析。我们已经熟知 1＋2＋3＋?＋9＝45， 而 45 是 9 的倍数， 所以每一组 1， 2，3，?，9 都可以划掉。在 1～99 这九十九个数中， 个位数有十组 1， 2， 3，?，9，都可划掉；十位数也有十 组 1，2，3，?，9，也都划掉。这样 在这个大数中，除了 0 以外，只剩下 最后的 100 中的数字 1。 所以这个数除 以 9 余 1。 在上面的解法中，并没有计算出 这个数各个数位上的数字和，而是利 用弃九法分析求解。本题还有其它简 捷的解法。因为一个数与它的各个数 位上的数字之和除以 9 的余数相同， 所以题中这个数各个数位上的数字之 能被 12 整除， 这种将和为 9 或 9 的倍数的数字 划掉，用剩下的数字和求除以 9 的余 数的方法，叫做弃九法。 一个数被 9 除的余数叫做这个数 的九余数。利用弃九法可以计算一个 数的九余数，还可以检验四则运算的 正确性。 例 1 求多位数 5436715 除以 9 的余数。 分析与解：利用弃九法，将和为 9 的 数依次划掉。这样的六位数有多少个？ 分析与解：因为 6＝2×3，且 2 与 3 互质，所以这个整数既能被 2 整除又 能被 3 整除。由六位数能被 2 整除， 推知 A 可取 0，2，4，6，8 这五个值。 再由六位数能被 3 整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B 能被 3 整除，故 2B 能被 3 整除。 B 可取 0，3，6，9 这 4 个值。由于 B 可以取 4 个值， A 可以取 5 个值， 题目 没有要求 A≠B，所以符合条件的六位 数共有 5×4＝20（个）。 例 6 要使六位数 能被 36 整除，而且所得的商最小，问 A ，B，C 各代表什么数字？ 分析与解：因为 36＝4×9，且 4 与 9 互质， 所以这个六位数应既能被 4 整除又能被 9 整除。 六位数 能被 4 整除，就要 能被 4 整除，因此 C 可取 1，3，5，7，9。 要使所得的商最小，就要使 这个六位数尽可能小。 因此 首先是 A 尽量小，其次是 B 尽量小， 最后是 C 尽量小。 先试取 A=0。 六位数 的各位数字之和为 12 ＋ B ＋C。它应能被 9 整除，因此 B＋C＝6 或 B＋C＝15。因为 B，C 应尽量小，所 以 B＋C＝6，而 C 只能取 1，3，5，7， 9，所以要使 取 B＝1，C＝5。 当 A=0，B=1，C＝5 时，六位数能 被 36 整除，而且所得商 最 小，为 ＝4171。 练习 4 1．6539724 能被 4，8，9，24， 36，72 中的哪几个数整除？ 2．个位数是 5，且能被 9 整除的 三位数共有多少个？ 尽可能小，应-7-和，与 1＋2＋?＋100 除以 9 的余数 相同。 利用高斯求和法， 知此和是 5050。 因为 5050 的数字和为 5 ＋ 0 ＋ 5 ＋ 0=10，利用弃九法，弃去一个 9 余 1， 故 5050 除以 9 余 1。因此题中的数除 以 9 余 1。 例 3 检验下面的加法算式是否正确： 2638457 ＋ 3521983 ＋ 6745785 ＝ 。 分析与解： 若干个加数的九余数相加， 所得和的九余数应当等于这些加数的 和的九余数。如果不等，那么这个加 法算式肯定不正确。上式中，三个加 数的九余数依次为 8，4，6，8+4+6 的 九余数为 0；和的九余数为 1。因为 0 ≠1，所以这个算式不正确。 例 4 检验下面的减法算式是否正确： 2。 分析与解：被减数的九余数减去减数 的九余数（若不够减，可在被减数的 九余数上加 9， 然后再减） 应当等于差 的九余数。如果不等，那么这个减法 计算肯定不正确。上式中被减数的九 余数是 3， 减数的九余数是 6， 由 （9+3） -6＝6 知， 原题等号左边的九余数是 6。 等号右边的九余数也是 6。 因为 6＝6， 所以这个减法运算可能正确。 值得注意的是，这里我们用的是 “可能正确”。利用弃九法检验加法、 减法、乘法（见例 5）运算的结果是否 正确时，如果等号两边的九余数不相 等，那么这个算式肯定不正确；如果 等号两边的九余数相等，那么还不能 确定算式是否正确，因为九余数只有 0，1，2，?，8 九种情况，不同的数 可能有相同的九余数。所以用弃九法 检验运算的正确性，只是一种粗略的 检验。 例 5 检验下面的乘法算式是否正确： 4＝。 分析与解：两个因数的九余数相乘， 所得的数的九余数应当等于两个因数 的乘积的九余数。如果不等，那么这 个乘法计算肯定不正确。上式中，被 乘数的九余数是 4， 乘数的九余数是 6，4×6＝24，24 的九余数是 6。乘积的 九余数是 7。 6≠7， 所以这个算式不正 确。 说明： 因为除法是乘法的逆运算， 被除数=除数×商+余数，所以当余数 为零时，利用弃九法验算除法可化为 用弃九法去验算乘法。例如，检验 3=1517 的正确性，只需检 验 3801 的正确性。 练习 5 1．求下列各数除以 9 的余数： （1）7468251； （2）； （3） 2657348；（4） 。 2．求下列各式除以 9 的余数： （ 1 ） 67235 ＋ 82564 ； （ 2 ） ； （3） ；（4）
×841。 3． 用弃九法检验下列各题计算的 正确性： （1）228×222＝50616； （2）334×336＝112224； （3）36＝3748； （4）1＝。 4．有一个 2000 位的数 A 能被 9 整除，数 A 的各个数位上的数字之和 是 B， 数 B 的各个数位上的数字之和是 C， 数 C 的各个数位上的数字之和是 D。 求 D。 第 6 讲 数的整除性（二） 这一讲主要讲能被 11 整除的数的 特征。 一个数从右边数起， 第 1， 3， 5， ? 位称为奇数位，第 2，4，6，?位称为 偶数位。也就是说，个位、百位、万 位??是奇数位，十位、千位、十万 位??是偶数位。例如 9 位数
中， 奇数位与偶数位如下图 所示：之和的差（大数减小数）如果能被 11 整除，那么这个数就能被 11 整除。 例 1 判断七位数 1839673 能否被 11 整除。 分析与解：奇数位上的数字之和为 1 ＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和 为 8＋9＋7=24，因为 24-13=11 能被 11 整除，所以 1839673 能被 11 整除。 根据能被 11 整除的数的特征， 也 能求出一个数除以 11 的余数。 一个数除以 11 的余数， 与它的奇 数位上的数字之和减去偶数位上的数 字之和所得的差除以 11 的余数相同。 如果奇数位上的数字之和小于偶数位 上的数字之和，那么应在奇数位上的 数字之和上再增加 11 的整数倍， 使其 大于偶数位上的数字之和。 例 2 求下列各数除以 11 的余数： （1）41873； （2）。 分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1 ＋7）]÷11 =7÷11＝0??7， 所以 41873 除以 11 的余数是 7。 （ 2 ）奇数位之和为 2 ＋ 6 ＋ 3 ＋ 1 ＋ 5=17， 偶数位之和为 9＋7＋8＋8＝32。 因为 17＜32，所以应给 17 增加 11 的 整数倍，使其大于 32。 （17+11×2）-32＝7， 所以
除以 11 的余数是 7。 需要说明的是，当奇数位数字之 和远远小于偶数位数字之和时，为了 计算方便，也可以用偶数位数字之和 减去奇数位数字之和，再除以 11，所 得余数与 11 的差即为所求。 如上题 （2 ） 中，（32-17）÷11＝1??4，所求余 数是 11-4=7。 例3 求 数。 分析与解： 奇数位是 101 个 1， 偶数位 是 100 个 9。 （9×100-1×101）÷11 =799÷11=72??7， 除以 11 的余能被 11 整除的数的特征： 一个数的奇 数位上的数字之和与偶数位上的数字11-7=4，所求余数是 4。-8-例 3 还有其它简捷解法，例如每 个“19”奇偶数位上的数字相差 9-1 ＝8 ， 奇数位上的数字 有 和与偶数位上的数字和相差 8 ×99=8 ×9×11，能被 11 整除。所以例 3 相 当于求最后三位数 191 除以 11 的余 数。 例 4 用 3，3，7，7 四个数码能排出哪 些能被 11 整除的四位数？ 解： 只要奇数位和偶数位上各有一个 3 和一个 7 即可。有 ，7337， 7733。 例 5 用 1～9 九个数码组成能被 11 整 除的没有重复数字的最大九位数。 分析与解：最大的没有重复数字的九 位数是 ，由 （9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋ 2）＝5 知， 不能被 11 整除。 为了保证这个数尽可能大，我们尽量 调整低位数字，只要使奇数位的数字 和增加 3 （偶数位的数字和自然就减少 3），奇数位的数字之和与偶数位的数 字之和的差就变为 5＋3×2=11，这个 数就能被 11 整除。调整“4321”，只 要 4 调到奇数位， 1 调到偶数位， 奇数 位就比原来增大 3， 就可达到目的。 此 时，4，3 在奇数位，2，1 在偶数位， 后 四 位 最 大 是 2413 。 所 求 数 为 。 例 6 六位数 除，求 A 和 B。 分析与解：由 99=9×11，且 9 与 11 互质，所以六位数既能被 9 整除又能 被 11 整除。因为六位数能被 9 整除， 所以 A+2+8+7+5+B ＝22+A+B 应能被 9 整除， 由此推知 A＋B＝5 或 14。 又因为六位数能被 11 整除， 所 以 （A＋8＋5）－（2＋7＋B） ＝A-B＋4 能被 99 整应能被 11 整除，即 A-B+4=0 或 A-B+4=11。 化简得 B-A＝4 或 A-B＝7。 因为 A+B 与 A-B 同奇同偶，所以就是秋天，果实累累的秋季过后就是 冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春 天。年复一年，总是按照春、夏、秋、 冬四季变化， 这就是周期性变化规律。 再比如，数列 0，1，2，0，1，2，0， 1，2，0，?是按照 0，1，2 三个数重 复出现的，这也是周期性变化问题。 下面，我们通过一些例题作进一 步讲解。在（1）中，A≤5 与 A≥7 不能同 时满足，所以无解。 在（2）中，上、下两式相加，得 （B＋A）＋（B-A）＝14＋4， 2B＝18， B=9。 将 B=9 代入 A＋B=14，得 A＝5。 所以，A=5，B＝9。 练习 6 1． 为使五位数 6□295 能被 11 整 除，□内应当填几？ 2．用 1，2，3，4 四个数码能排 出哪些能被 11 整除的没有重复数字的 四位数？ 3．求能被 11 整除的最大的没有 重复数字的五位数。 4．求下列各数除以 11 的余数： （1）2485； （2）63582； （3） 。 5．求 余数。 6． 六位数 33 整除，求 A+B。 7． 七位数 88 的倍数，求 A 和 B。 第 7 讲 找规律（一） 我们在三年级已经见过 “找规律” 这个题目，学习了如何发现图形、数 表和数列的变化规律。这一讲重点学 习具有“周期性”变化规律的问题。 什么是周期性变化规律呢？比如，一 年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季 过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后 3A8629B 是 5A634B 能被 除以 11 的例 1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯 按照 5 盏红灯、 再接 4 盏蓝灯、 再接 3 盏黄灯， 然后又是 5 盏红灯、 4 盏蓝灯、 3 盏黄灯、??这样排下去。问： （1）第 100 盏灯是什么颜色？ （2）前 150 盏彩灯中有多少盏蓝 灯？ 分析与解：这是一个周期变化问题。 彩灯按照 5 红、4 蓝、3 黄，每 12 盏 灯一个周期循环出现。 （1）100÷12＝8??4，所以第 100 盏灯是第 9 个周期的第 4 盏灯， 是 红灯。 （2）150 ÷12=12 ??6 ，前 150 盏灯共有 12 个周期零 6 盏灯， 12 个周 期中有蓝灯 4×12＝48（盏），最后的 6 盏灯中有 1 盏蓝灯，所以共有蓝灯 48＋1=49（盏）。 例 2 有一串数，任何相邻的四个数之 和都等于 25。 已知第 1 个数是 3， 第6 个数是 6，第 11 个数是 7。问：这串 数中第 24 个数是几？前 77 个数的和 是多少？ 分析与解：因为第 1，2，3，4 个数的 和等于第 2，3，4，5 个数的和，所以 第 1 个数与第 5 个数相同。进一步可 推知， 第 1， 5，9， 13， ?个数都相同。 同理，第 2，6，10，14，?个数 都相同，第 3，7，11，15，?个数都 相同，第 4，8，12，16?个数都相同。 也就是说，这串数是按照每四个 数为一个周期循环出现的。 所以， 第2 个数等于第 6 个数， 是 6； 第 3 个数等 于第 11 个数，是 7。前三个数依次是 3，6，7，第四个数是 25-（3+6+7）=9。-9-这串数按照 3，6，7，9 的顺序循 环出现。第 24 个数与第 4 个数相同， 是 9。由 77÷4＝9??1 知，前 77 个 数是 19 个周期零 1 个数，其和为 25 ×19+3=478。 例 3 下面这串数的规律是：从第 3 个 数起，每个数都是它前面两个数之和 的个位数。问：这串数中第 88 个数是 几？ ? 分析与解：这串数看起来没有什么规 律，但是如果其中有两个相邻数字与 前面的某两个相邻数字相同，那么根 据这串数的构成规律，这两个相邻数 字后面的数字必然与前面那两个相邻 数字后面的数字相同，也就是说将出 现周期性变化。我们试着将这串数再 多写出几位：不会出现四个偶数连在一起的情况， 即不会出现“2000”。 例 5 A，B，C，D 四个盒子中依次放有 8，6，3，1 个球。第 1 个小朋友找到 放球最少的盒子，然后从其它盒子中 各取一个球放入这个盒子；第 2 个小 朋友也找到放球最少的盒子，然后也 从其它盒子中各取一个球放入这个盒 子??当 100 位小朋友放完后，A，B， C，D 四个盒子中各放有几个球？ 分析与解：按照题意，前六位小朋友 放过后，A，B，C，D 四个盒子中的球 数如下表：和的个位数。这列数中第 88 个数是 几？ 5． 小明按 1～3 报数， 小红按 1～ 4 报数。 两人以同样的速度同时开始报 数，当两人都报了 100 个数时，有多 少次两人报的数相同？ 6．A，B，C，D 四个盒子中依次放 有 9，6，3，0 个小球。第 1 个小朋友 找到放球最多的盒子，从中拿出 3 个 球放到其它盒子中各 1 个球；第 2 个 小朋友也找到放球最多的盒子，也从 中拿出 3 个球放到其它盒子中各 1 个 球??当 100 个小朋友放完后，A，B， C，D 四个盒子中各放有几个球？ 第 8 讲 找规律（二） 整数 a 与它本身的乘积，即 a×a 叫做这个数的平方，记作 a ，即 a ＝a ×a；同样，三个 a 的乘积叫做 a 的三 次方，记作 a ，即 a ＝a×a×a。一般 地，n 个 a 相乘，叫做 a 的 n 次方，记3 3 2 2当写出第 21，22 位（竖线右面的 两位）时就会发现，它们与第 1，2 位 数相同， 所以这串数按每 20 个数一个 周期循环出现。 由 88÷20=4??8 知， 第 88 个数与第 8 个数相同， 所以第 88 个数是 4。 从例 3 看出，周期性规律有时并 不明显，要找到它还真得动点脑筋。 例 4 在下面的一串数中，从第五个数 起，每个数都是它前面四个数之和的 个位数字。那么在这串数中，能否出 现相邻的四个数是“2000”？ 134? 分析与解： 无休止地将这串数写下去， 显然不是聪明的做法。按照例 3 的方 法找到一周期，因为这个周期很长， 所以也不是好方法。那么怎么办呢？ 仔细观察会发现，这串数的前四个数 都是奇数，按照“每个数都是它前面 四个数之和的个位数字”，如果不看 具体数，只看数的奇偶性，那么将这 串数依次写出来，得到 奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇?? 可以看出，这串数是按照四个奇 数一个偶数的规律循环出现的，永远 可以看出，第 6 人放过后与第 2 人放过后四个盒子中球的情况相同， 所以从第 2 人放过后，每经过 4 人， 四个盒子中球的情况重复出现一次。 （100-1）÷4＝24??3， 所以第 100 次后的情况与第 4 次 （3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C， D 盒中依次有 4，6，3，5 个球。 练习 7 1．有一串很长的珠子，它是按照 5 颗红珠、3 颗白珠、4 颗黄珠、2 颗 绿珠的顺序重复排列的。问：第 100 颗珠子是什么颜色？前 200 颗珠子中 有多少颗红珠？ 2．将 1，2，3，4，?除以 3 的余 数依次排列起来，得到一个数列。求 这个数列前 100 个数的和。 3． 有一串数， 前两个数是 9 和 7， 从第三个数起，每个数是它前面两个 数乘积的个位数。这串数中第 100 个 数是几？前 100 个数之和是多少？ 4．有一列数，第一个数是 6，以 后每一个数都是它前面一个数与 7 的作 a ，即n本讲主要讲 a 的个位数的变化规 律，以及 a 除以某数所得余数的变化 规律。 因为积的个位数只与被乘数的个 位数和乘数的个位数有关， 所以 an 的 个位数只与 a 的个位数有关，而 a 的 个位数只有 0，1，2，?，9 共十种情 况，故我们只需讨论这十种情况。 为了找出一个整数 a 自乘 n 次后， 乘积的个位数字的变化规律，我们列 出下页的表格，看看 a，a ，a ，a ，? 的个位数字各是什么。 从表看出，a 的个位数字的变化 规律可分为三类： （1）当 a 的个位数是 0，1，5，6 时，a 的个位数仍然是 0，1，5，6。 （2）当 a 的个位数是 4，9 时， 随着 n 的增大，a 的个位数按每两个 数为一周期循环出现。其中 a 的个位 数是 4 时，按 4，6 的顺序循环出现； a 的个位数是 9 时，按 9，1 的顺序循 环出现。n n n 2 3 4 nn- 10 -（3）当 a 的个位数是 2，3，7，8 时，随着 n 的增大，a 的个位数按每 四个数为一周期循环出现。其中 a 的 个位数是 2 时，按 2，4，8，6 的顺序 循环出现；a 的个位数是 3 时，按 3， 9，7，1 的顺序循环出现；当 a 的个位 数是 7 时，按 7，9，3，1 的顺序循环 出现；当 a 的个位数是 8 时，按 8，4， 2，6 的顺序循环出现。n法中需向十位借位，所以所求个位数 字为 16－9＝7。 例 4 求下列各除法运算所得的余数： （1）78 ÷5； （2）5 ÷3。 分析与解：（1）由 55÷4＝13??3 知，78 的个位数与 8 的个位数相同， 等于 2，所以 78 可分解为 10×a＋2。 因为 10×a 能被 5 整除，所以 78 除 以 5 的余数是 2。 （2） 因为 a÷3 的余数不仅仅与 a 的个位数有关，所以不能用求 5 的个 位数的方法求解。 为了寻找 5 ÷3 的余 数的规律，先将 5 的各次方除以 3 的 余数列表如下：n 55 55 55 55 3 55 55知， 3 ÷7 的余数与 3 ÷7 的余数相同， 等于 2。所以最后还剩 2 个细菌。 最后再说明一点， a ÷b 所得余 数，随着 n 的增大，必然会出现周期 性变化规律，因为所得余数必然小于 b，所以在 b 个数以内必会重复出现。 练习 8 1．求下列各数的个位数字： （1）38 ； （2）29 ； （3）64 ； （4）17 。 2．求下列各式运算结果的个位数字： （1）92 ＋57 ； （2）61 +48 +34 ； （3）46 -62 ； （4）3 ×4 +5 ×6 。 3．求下列各除法算式所得的余数： （1）5 ÷4； （2）8 ÷6； （3）4 ÷7 第 9 讲 数字谜（一） 我们在三年级已经学习过一些简88 100 111 9 11 7 8 9 10 22 31 5 7 9 31 215 38 30 n202注意：表中除以 3 的余数并不需 要计算出 5 ，然后再除以 3 去求，而 是用上次的余数乘以 5 后，再除以 3 例 1 求 67 的个位数字。 分析与解： 因为 67 的个位数是 7， 所以 67 的个位数随着 n 的增大， 按 7， 9，3，1 四个数的顺序循环出现。 999÷4＝249??3， 所以 67 的个位数字与 7 的个位 数字相同，即 67 的个位数字是 3。 例 2 求 2 +3 的个位数字。 分析与解： 因为 2 的个位数字按 2， 4， 8，6 四个数的顺序循环出现，91÷4 ＝ 22 ?? 3 ，所以， 2 的个位数字与 2 的个位数字相同，等于 8。 类似地， 3 的个位数字按 3， 9， 7， 1 四个数的顺序循环出现， 291÷4＝72??3， 所以 3 与 3 的个位数相同， 等于 7。 最后得到 2 +3128 29 91 291 291 3 n 3 91 n 91 291 3 999 999 3 n 999 n单的数字谜问题。这两讲除了复习巩 固学过的知识外，还要学习一些新的 内容。 例 1 在下面算式等号左边合适的地方 添上括号，使等式成立： 5+7×8+12÷4-2＝20。 分析：等式右边是 20，而等式左 边算式中的 7×8 所得的积比 20 大得 多。因此必须设法使这个积缩小一定 的倍数，化大为小。 从整个算式来看，7×8 是 4 的倍 数，12 也是 4 的倍数，5 不能被 4 整 除，因此可在 7×8+12 前后添上小括 号，再除以 4 得 17，5＋17-2=20。 解：5+（7×8+12）÷4-2=20。 例 2 把 1～9 这九个数字填到下面的 九个□里，组成三个等式（每个数字 只能填一次）：去求。比如，5 除以 3 的余数是 1，5223除以 3 的余数与 1×5=5 除以 3 的余数 相同。这是因为 5 ＝3×8+1，其中 3 ×8 能被 3 整除，而 5 =（3×8+1）×5=（3×8）×5+1 ×5， （3×8）×5 能被 3 整除，所以 5 除以 3 的余数与 1×5 除以 3 的余数 相同。 由上表看出，5 除以 3 的余数， 随着 n 的增大，按 2，1 的顺序循环出 现。 由 55÷2=27??1 知， 5 ÷3 的余 数与 5 ÷3 的余数相同，等于 2。 例 5 某种细菌每小时分裂一次，每次 1 个细茵分裂成 3 个细菌。20 时后， 将这些细菌每 7 个分为一组，还剩下 几个细菌？ 分析与解：1 时后有 1×3=3 （个）细 菌，2 时后有 3 ×3=3 （个）细菌?? 20 时后，有 3 个细菌，所以本题相当 于“求 3 ÷7 的余数”。 由例 4（2）的方法，将 3 的各次 方除以 7 的余数列表如下： 由上表看出， 3 ÷7 的余数以六个 数为周期循环出现。 由 20÷6＝3??2n 20 20 1 2 1 1 55 n 3的个位数字与8+7 的个位数字相同，等于 5。 例 3 求 28 -29 的个位数字。 解：由 128÷4＝32 知，28 的个位数 与 8 的个位数相同，等于 6。由 29÷2 ＝14??1 知， 29 的个位数与 9 的个 位数相同，等于 9。因为 6＜9，在减29 1 4 128分析与解：如果从加法与减法两个算 式入手，那么会出现许多种情形。如 果从乘法算式入手，那么只有下面两 种可能： 2×3＝6 或 2×4＝8，- 11 -所以应当从乘法算式入手。 因为在加法算式□+□=□中，等 号两边的数相等，所以加法算式中的 三个□内的三个数的和是偶数；而减 法算式□-□=可以变形为加法算式□ =□+□，所以减法算式中的三个□内 的三个数的和也是偶数。于是可知， 原题加减法算式中的六个数的和应该 是偶数。 若乘法算式是 2×4＝8， 则剩下的 六个数 1，3，5，6，7，9 的和是奇数， 不合题意； 若乘法算式是 2×3＝6， 则剩下的 六个数 1，4，5，7，8，9 可分为两组： 4＋5＝9，8-7＝1（或 8-1＝7）； 1＋7＝8， 9－5＝4 （或 9－4＝5） 。 所以答案为 与×8 或 2×4。加式与乘式的数字不能 相同，搭配后只有两种可能： （1）加式为 1＋5，乘式为 2×4； （2）加式为 2+4，乘式为 1×8。 对于（1），还剩 3，6，7，8，9 五个数字未填， 减式只能是 9-3， 此时 除式无法满足； 对于（2），还剩 3，5，6，7，9 五个数字未填， 减式只能是 9-3， 此时 除式可填 56÷7。答案如下： 2＋4＝6， 1×8＝8， 9－3＝6， 56÷7＝8。 例 2～例 4 都是对题目经过初步 分析后，将满足题目条件的所有可能 情况全部列举出来，再逐一试算，决 定取舍。这种方法叫做枚举法，也叫 穷举法或列举法，它适用于只有几种 可能情况的题目，如果可能的情况很 多，那么就不宜用枚举法。 例 5 从 1～9 这九个自然数中选出八 个填入下式的八个○内，使得算式的 结果尽可能大： [○÷○×（○+○）]-[○×○+ ○-○]。2．加上适当的运算符号和括号， 使下式成立： 1 2 3 4 5 ＝100。 3．把 0～9 这十个数字填到下面 的□里，组成三个等式（每个数字只 能填一次）： □+□=□， □-□=□， □×□=□□。 4．在下面的□里填上+，-，×， ÷，（）等符号，使各个等式成立： 4□4□4□4＝1， 4□4□4□4＝3， 4□4□4□4＝5， 4□4□4□4＝9。 5．将 2～7 这六个数字分别填入 下式的□中，使得等式成立： □+□-□=□×□÷□。 6．将 1～9 分别填入下式的九个 □内，使算式取得最大值： □□□×□□□×□□□。 7．将 1～8 分别填入下式的八个 □内，使算式取得最小值： □□×□□×□□×□□。 第 10 讲 数字谜（二） 例 1 把下面算式中缺少的数字补上：例 3 下面的算式是由 1～9 九个数字 组成的，其中“7”已填好，请将其余 各数填入□，使得等式成立： □□□÷□□=□-□=□-7。 分析与解：因为左端除法式子的商必 大于等于 2， 所以右端被减数只能填 9， 由此知左端被除数的百位数只能填 1， 故中间减式有 8-6，6-4，5-3 和 4-2 四种可能。经逐一验证，8-6，6-4 和 4-2 均无解，只有当中间减式为 5-3 时有如下两组解： 128÷64=5-3=9-7， 或 164÷82＝5-3＝9-7。 例 4 将 1～9 九个数字分别填入下面 四个算式的九个□中，使得四个等式 都成立： □+□=6， □×□=8， □-□=6， □□÷□=8。 分析与解：因为每个□中要填不同的 数字，对于加式只有两种填法： 1＋5 或 2＋4； 对于乘式也只有两种填法： 1分析与解： 为使算式的结果尽可能大， 应当使前一个中括号内的结果尽量 大，后一个中括号内的结果尽量小。 为叙述方便，将原式改写为： [A÷B× （C＋D） ]-[E×F＋G－H]。 通过分析，A，C，D，H 应尽可能 大，且 A 应最大，C，D 次之，H 再次 之；B，E，F，G 应尽可能小，且 B 应 最小，E，F 次之，G 再次之。于是得 到 A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2， F=3，G=4，其中 C 与 D，E 与 F 的值可 互换。将它们代入算式，得到 [9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－ 6]=131。 练习 9 1．在下面的算式里填上括号，使 等式成立： （1）4×6+24÷6-5=15； （2）4×6+24÷6-5=35； （3）4×6+24÷6-5=48； （4）4×6+24÷6-5＝0。 分析与解：一个四位数减去一个三位 数，差是一个两位数，也就是说被减 数与减数相差不到 100。 四位数与三位 数相差不到 100， 三位数必然大于 900， 四位数必然小于 1100。由此我们找出 解决本题的突破口在百位数上。 （1）填百位与千位。由于被减数 是四位数，减数是三位数，差是两位 数， 所以减数的百位应填 9， 被减数的 千位应填 1，百位应填 0，且十位相减 时必须向百位借 1。 （2）填个位。由于被减数个位数 字是 0，差的个位数字是 1，所以减数 的个位数字是 9。- 12 -（3）填十位。由于个位向十位借 1，十位又向百位借 1，所以被减数十 位上的实际数值是 18， 18 分解成两个 一位数的和，只能是 9 与 9，因此，减 数与差的十位数字都是 9。 所求算式如右式。8， 可将竖式简化为左下 式。同理，由左下式看出，“力”=8， 988-888=100， 可将左下式简化为下中 式，从而求出“学”=9，“习”=1。 满足条件的算式如右下式。分析与解：为清楚起见，我们用 A，B， C，D，?表示□内应填入的数字（见 由例 1 看出，考虑减法算式时， 借位是一个重要条件。 例 2 在下列各加法算式中，相同的汉 字代表相同的数字，不同的汉字代表 不同的数字，求出这两个算式： 例 2 中的两题形式类似，但题目 特点并不相同，解法也不同，请同学 们注意比较。 例 3 下面竖式中每个汉字代表一个数 字，不同的汉字代表不同的数字，求 被乘数。 右上式）。 由被乘数大于 500 知，E=1。由于 乘数的百位数与被乘数的乘积的末位 数是 5，故 B，C 中必有一个是 5。若 C ＝5，则有 6□□×5= （600+□□） ×5=3000+ □□×5， 不可能等于□5□5， 与题意不符， 所以 B=5。再由 B=5 推知 G=0 或 5。若 G=5，则 F=A=9，此时被乘数为 695， 无论 C 为何值，它与 695 的积不可能 分析与解：（1）这是一道四个数 连加的算式，其特点是相同数位上的 数字相同，且个位与百位上的数字相 同，即都是汉字“学”。 从个位相同数相加的情况来看， 和的个位数字是 8，有两种可能情况： 2＋2＋2＋2＝8 与 7＋7＋7＋7＝28， 即“学”＝2 或 7。 如果 “学” ＝2， 那么要使三个 “数” 所代表的数字相加的和的个位数字为 8，“数”只能代表数字 6。此时，百 位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2 ＋1＝5≠4。因此“学”≠2。 如果 “学” ＝7， 那么要使三个 “数” 所代表的数字相加再加上个位进位的 2，和的个位数字为 8，“数”只能代 表数字 2。 百位上两个 7 相加要向千位 进位 1，由此可得“我”代表数字 3。 满足条件的解如右式。 分析与解： 由于个位上的 “赛” × “赛” 所得的积不再是“赛”，而是另一个 数， 所以 “赛” 的取值只能是 2，3， 4， 7，8，9。 下面采用逐一试验的方法求解。 （1）若“赛”＝2，则“数”＝4， 积 =444444 。被乘数为 444444 ÷ 2 ＝ 222222，而被乘数各个数位上的数字 各不相同，所以“赛”≠2。 （2）若“赛”＝3，则“数”=9， 仿（1）讨论，也不行。 （3）若“赛”＝4，则“数”＝6， 积=666666。
得不到整数商， 不合题意。 （4）若“赛”＝7，则“数”＝9， 积 =999999 。被乘数为 999999 ÷ 7 ＝ 142857，符合题意。 （5）若“赛”＝8 或 9，仿上讨 论可知，不合题意。 所以，被乘数是 142857。 例 4 在□内填入适当的数字，使左下 式的乘法竖式成立。 此类乘法竖式题应根据已给出的 数字、乘法及加法的进位情况，先填 比较容易的未知数，再依次填其余未 知数。 有时某未知数有几种可能取值， 需逐一试验决定取舍。 例 5 在□内填入适当数字，使左下方 的除法竖式成立。 等于□5□5，与题意不符，所以 G=0， F=A=4。此时已求出被乘数是 645，经 试验只有 645×7 满足□5□5 ，所以 C=7；最后由 B=5，G=0 知 D 为偶数， 经试验知 D=2。 右式为所求竖式。（2）由千位看出，“努”=4。由 千、百、十、个位上都有“努”，- 13 -因为除数与 8 的积是两位数，除 数与商的千位数字的积是三位数，知 商的千位数是 9，即商为 9807。 因为“除数×9”是三位数，所以 除数≥12；又因为“除数×8”是两位 数，所以除数≤12。推知除数只能是 12。被除数为 7684。 除法算式如上页右式。 练习 10 分析与解：把左上式改写成右上式。 根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1， E=F=H=9，因此除数应是 99 的两位数 的约数，可能取值有 11，33 和 99，再 由商的个位数是 5 以及 5 与除数的积 是两位数得到除数是 11，进而知 A＝ C-9。至此，除数与商都已求出，其余 未知数都可填出（见右式）。 1． 在下面各竖式的□内填入合适 的数字，使竖式成立： 第 11 讲 归一问题与归总问题 在解答某些应用题时，常常需要 先找出“单一量”，然后以这个“单 一量”为标准，根据其它条件求出结 果。用这种解题思路解答的应用题， 称为归一问题。所谓“单一量”是指 单位时间的工作量、物品的单价、单 位面积的产量、单位时间所走的路程 等。 例 1 一种钢轨，4 根共重 1900 千克， 现在有 95000 千克钢，可以制造这种 钢轨多少根？（损耗忽略不计） 分析：以一根钢轨的重量为单一 量。 2．右面的加法算式中，相同的汉 字代表相同的数字，不同的汉字代表 此类除法竖式应根据除法竖式的 特点， 如商的空位补 0、 余数必须小于 除数， 以及空格间的相互关系等求解， 只要求出除数和商，问题就迎刃而解 了。 例 6 把左下方除法算式中的* 号换成 数字，使之成为一个完整的式子（各* 所表示的数字不一定相同）。 3．在下列各算式中，不同的汉字 代表不同的数字相同的汉字代表相同 的数字。求出下列各式： 不同的数字。问：“小”代表什么数 字？ 轨？ 9＝200（根）。 解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。 答：可以制造 200 根钢轨。 例 2 王家养了 5 头奶牛，7 天产牛奶 630 千克，照这样计算，8 头奶牛 15 天可产牛奶多少千克？ 分析：以 1 头奶牛 1 天产的牛奶 为单一量。 （1） 1 头奶牛 1 天产奶多少千克？ 630÷5÷7＝18（千克）。 （2） 8 头奶牛 15 天可产牛奶多少 千克？ 4．在下列各算式中，相同的字母 代表相同的数字，不同的字母代表不 分析与解：由上面的除法算式容易看 出，商的十位数字“*”是 0，即商为 。 同的数字。这些算式中各字母分别代 表什么数字？ 18×8×15＝2160（千克）。 解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千 克）。 答：可产牛奶 2160 千克。 例 3 三台同样的磨面机 2.5 时可以磨 面粉 2400 千克，8 台这样的磨面机磨 25600 千克面粉需要多少时间？ （1）一根钢轨重多少千克？ 5（千克）。 （2）95000 千克能制造多少根钢- 14 -分析与解：以 1 台磨面机 1 时磨的面 粉为单一量。 （1）1 台磨面机 1 时磨面粉多少 千克？ .5=320（千克）。 （2）8 台磨面机磨 25600 千克面 粉需要多少小时？ 2÷8=10（时）。 综合列式为 25600÷（.5）÷8=10 （时）。 例 4 4 辆大卡车运沙土， 7 趟共运走沙 土 336 吨。 现在有沙土 420 吨， 要求 5 趟运完。问：需要增加同样的卡车多 少辆？ 分析与解：以 1 辆卡车 1 趟运的沙土 为单一量。 （1） 1 辆卡车 1 趟运沙土多少吨？ 336÷4÷7=12（吨）。 （2）5 趟运走 420 吨沙土需卡车 多少辆？ 420÷12÷5＝7（辆）。 （3）需要增加多少辆卡车？ 7-4＝3（辆）。 综合列式为 420 ÷（ 336 ÷ 4 ÷ 7 ）÷ 5-4 ＝ 3 （辆）。 与归一问题类似的是归总问题， 归一问题是找出“单一量”，而归总 问题是找出“总量”，再根据其它条 件求出结果。所谓“总量”是指总路 程、总产量、工作总量、物品的总价 等。 例 5 一项工程， 8 个人工作 15 时可以 完成，如果 12 个人工作，那么多少小 时可以完成？ 分析：（1）工程总量相当于 1 个 人工作多少小时？ 15×8＝120（时）。 （2） 12 个人完成这项工程需要多 少小时？ 120÷12＝10（时）。 解：15×8÷12＝10（时）。 答：12 人需 10 时完成。例 6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小 时行 60 千米，5 时到达。若要 4 时到 达，则每小时需要多行多少千米？ 分析：从甲地到乙地的路程是一 定的，以路程为总量。 （1）从甲地到乙地的路程是多少 千米？ 60×5=300（千米）。 （2）4 时到达，每小时需要行多 少千米？ 300÷4＝75（千米）。 （3）每小时多行多少千米？ 75－60＝15（千米）。 解： （60×5） ÷4――60＝15 （千米） 。 答：每小时需要多行 15 千米。 例 7 修一条公路，原计划 60 人工作， 80 天完成。 现在工作 20 天后， 又增加 了 30 人， 这样剩下的部分再用多少天 可以完成？ 分析：（1）修这条公路共需要多 少个劳动日（总量）？ 60×80＝4800（劳动日）。 （2）60 人工作 20 天后，还剩下 多少劳动日？ =3600（劳动日）。 （3）剩下的工程增加 30 人后还 需多少天完成？ 3600÷（60＋30）=40（天）。 解：（60×80-60×20）÷（60＋30） ＝40（天）。 答：再用 40 天可以完成。 练习 11 1．2 台拖拉机 4 时耕地 20 公顷， 照这样速度， 5 台拖拉机 6 时可耕地多 少公顷？ 2． 4 台织布机 5 时可以织布 2600 米， 24 台织布机几小时才能织布 24960 米？ 3．一种幻灯机，5 秒钟可以放映 80 张片子。问：48 秒钟可以放映多少 张片子？ 4．3 台抽水机 8 时灌溉水田 48 公顷， 照这样的速度， 5 台同样的抽水 机 6 时可以灌溉水田多小公顷？ 5．平整一块土地，原计划 8 人平 整， 每天工作 7.5 时， 6 天可以完成任务。由于急需播种，要求 5 天完成， 并且增加 1 人。问：每天要工作几小 时？ 6 ．食堂管理员去农贸市场买鸡 蛋，原计划按每千克 3.00 元买 35 千 克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔 钱多买了 2.5 千克鸡蛋。问：鸡蛋价 格下调后是每千克多少元？ 7． 锅炉房按照每天 4.5 吨的用量 储备了 120 天的供暖煤。 供暖 40 天后， 由于进行了技术改造， 每天能节约 0.9 吨煤。 问： 这些煤共可以供暖多少天？ 第 12 讲 年龄问题 年龄问题是一类以 “年龄为内 容”的数学应用题。 年龄问题的主要特点是：二人年 龄的差保持不变，它不随岁月的流逝 而改变； 二人的年龄随着岁月的变化， 将增或减同一个自然数；二人年龄的 倍数关系随着年龄的增长而发生变 化，年龄增大，倍数变小。 根据题目的条件，我们常将年龄 问题化为“差倍问题”、“和差问 题”、“和倍问题”进行求解。 例 1 儿子今年 10 岁， 5 年前母亲的年 龄是他的 6 倍，母亲今年多少岁？ 分析与解：儿子今年 10 岁，5 年前的 年龄为 5 岁，那么 5 年前母亲的年龄 为 5×6＝30（岁），因此母亲今年是 30＋5=35（岁）。 例 2 今年爸爸 48 岁，儿子 20 岁，几 年前爸爸的年龄是儿子的 5 倍？ 分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差 为“48――20”岁，因为二人的年龄 差不随时间的变化而改变，所以当爸 爸的年龄为儿子的 5 倍时，两人的年 龄差还是这个数，这样就可以用“差 倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿 子年龄的 5 倍时，儿子的年龄是 （48――20） ÷ （5――1） ＝7 （岁） 。 由 20－7＝13（岁），推知 13 年 前爸爸的年龄是儿子年龄的 5 倍。 例 3 兄弟二人的年龄相差 5 岁，兄 3 年后的年龄为弟 4 年前的 3 倍。问： 兄、弟二人今年各多少岁？ 分析与解：根据题意，作示意图如下：- 15 -妹[（97――2――8）-（4＋5）] ÷2=39（岁）。 例 6 1994 年父亲的年龄是哥哥和弟弟 年龄之和的 4 倍。2000 年，父亲的年 龄是哥哥和弟弟年龄之和的 2 倍。 问： 由上图可以看出，兄 3 年后的年 龄比弟 4 年前的年龄大 5＋3＋4＝12 （岁），由“差倍问题”解得，弟 4 年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1） ＝6（岁）。由此得到 弟今年 6＋4＝10（岁）， 兄今年 10＋5＝15（岁）。 例 4 今年兄弟二人年龄之和为 55 岁， 哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数 相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟 岁数的 2 倍，请问哥哥今年多少岁？ 分析与解：在哥哥的岁数是弟弟的岁 数 2 倍的那一年，若把弟弟岁数看成 一份， 那么哥哥的岁数比弟弟多一份， 哥哥与弟弟的年龄差是 1 份。又因为 那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相 等，所以今年弟弟岁数为 2 份，今年 哥哥岁数为 2＋1=3 （份） （见下页图） 。 由“和倍问题”解得，哥哥今年 的岁数为 55÷(3+2)×3=33(岁)。 于 1994――36＝1958（年）。 例 7 今年父亲的年龄为儿子的年 龄的 4 倍，20 年后父亲的年龄为儿子 的年龄的 2 倍。问：父子今年各多少 岁？ 解法一：假设父亲的年龄一直是儿子 年龄的 4 倍，那么每过一年儿子增加 一岁，父亲就要增加 4 岁。这样，20 年后儿子增加 20 岁， 父亲就要增加 80 岁， 比儿子多增加了 80－20＝60 （岁） 。 事实上，20 年后父亲的年龄为儿 例 5 哥哥 5 年前的年龄与妹妹 4 年后 的年龄相等，哥哥 2 年后的年龄与妹 妹 8 年后的年龄和为 97 岁， 请问二人 今年各多少岁？ 分析与解：由“哥哥 5 年前的年龄与 妹妹 4 年后的年龄相等”可知兄妹二 人的年龄差为“4＋5”岁。由“哥哥 2 年后的年龄与妹妹 8 年后的年龄和为 97 岁”，可知兄妹二人今年的年龄和 为“97――2――8”岁。由“和差问 题”解得， 兄[（97――2――8）＋（4＋5）] ÷2＝48（岁）， 子的年龄的 2 倍，根据刚才的假设， 多增加的 60 岁，正好相当于 20 年后 儿子年龄的（4――2＝）2 倍，因此， 今年儿子的年龄为 （20×4－20）÷（4－2）－20＝ 10（岁）， 父亲今年的年龄为 10 × 4 ＝ 40 （岁）。 解法二：如果用 1 段线表示儿子今年 的年龄，那么父亲今年的年龄要用 4 段线来表示（见下图）。 父亲在 2000 年的年龄应是 4 段线 再加 6 岁， 而兄弟二人在 2000 年的年 龄之和是 1 段线再加 2×6＝12 （岁） ， 它是父亲年龄的一半，也就是 2 段线 再加 3 岁。由 1 段＋12 岁=2 段＋3 岁， 推知 1 段是 9 岁。所以父亲 1994 年的年龄是 9×4＝36（岁），他出生 父亲出生在哪一年？ 分析与解：如果用 1 段线表示兄弟二 人 1994 年的年龄和，则父亲 1994 年 的年龄要用 4 段线来表示 （见下页图） 。 20 年后，父亲的年龄应是 4 段线 再加上 20 岁， 而儿子的年龄应是 1 段 线再加上 20 岁，是父亲年龄的一半， 也就是 2 段线再加上 10 岁。由 1 段＋20=2 段＋10， 求得 1 段是 10 岁， 即儿子今年 10 岁，从而父亲今年 40 岁。 例 8 今年爷爷 78 岁，长孙 27 岁，次 孙 23 岁，三孙 16 岁。问：几年后爷 爷的年龄等于三个孙子年龄之和？ 分析：今年三个孙子的年龄和为 27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙 子的年龄和多 78――66＝12（岁）。 每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙 子的年龄和却要增加 1＋1＋1＝3 （岁） ， 比爷爷多增加 3－1＝2 （岁） 。 因而只需求出 12 里面有几个 2 即可。 解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1 ＋1－1）＝6（年）。 答： 6 年后爷爷的年龄等于三个孙 子年龄的和。 练习 12 1．父亲比儿子大 30 岁，明年父 亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，那么今 年儿子几岁？ 2．王梅比舅舅小 19 岁，舅舅的 年龄比王梅年龄的 3 倍多 1 岁。问： 他们二人各几岁？ 3．小明今年 9 岁，父亲 39 岁， 再过多少年父亲的年龄正好是小明年 龄的 2 倍？ 4．父亲年龄是女儿的 4 倍，三年 前父女年龄之和是 49 岁。问：父女两 人现在各多少岁？ 5．一家三口人，三人年龄之和是 74 岁，妈妈比爸爸小 2 岁，妈妈的年 龄是儿子年龄的 4 倍。问：三人各是 多少岁？ 6．今年老师 46 岁，学生 16 岁， 几年后老师年龄的 2 倍与学生年龄的 5 倍相等？- 16 -7．已知祖孙三人，祖父和父亲年 龄的差与父亲和孙子年龄的差相同， 祖父和孙子年龄之和为 82 岁， 明年祖 父的年龄恰好等于孙子年龄的 5 倍。 问：祖孙三人各多少岁？ 8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老 师说：“当我像你这么大时，你才 3 岁；当你像我这么大时，我已经 42 岁 了。”你能算出刘老师有多少岁吗？ 第 13 讲 鸡兔同笼问题与假设法 鸡兔同笼问题是按照题目的内容 涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有 名的中国古算题。许多小学算术应用 题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加 以计算。 例 1 小梅数她家的鸡与兔，数头 有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家 的鸡与兔各有多少只？ 分析：假设 16 只都是鸡，那么就 应该有 2×16＝32（只）脚，但实际上 有 44 只脚，比假设的情况多了 44-32 ＝12（只）脚，出现这种情况的原因 是把兔当作鸡了。如果我们以同样数 量的兔去换同样数量的鸡，那么每换 一只，头的数目不变，脚数增加了 2 只。因此只要算出 12 里面有几个 2， 就可以求出兔的只数。 解： 有兔 （44-2×16） ÷ （4-2） =6 （只） ， 有鸡 16-6＝10（只）。 答：有 6 只兔，10 只鸡。 当然， 我们也可以假设 16 只都是 兔子，那么就应该有 4×16＝64（只） 脚，但实际上有 44 只脚，比假设的情 况少了 64－44＝20（只）脚，这是因 为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔， 每换一只，头的数目不变，脚数减少 了 4-2＝2（只）。因此只要算出 20 里面有几个 2，就可以求出鸡的只数。 有鸡（4 ×16-44）÷（4-2 ）=10 （只）， 有兔 16――10＝6（只）。 由例 1 看出，解答鸡兔同笼问题 通常采用假设法， 可以先假设都是鸡， 然后以兔换鸡； 也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置 换问题。 例 2 100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。 问：大、小和尚各有多少人？ 分析与解：本题由中国古算名题“百 僧分馍问题”演变而得。如果将大和 尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作 腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以 用假设法来解。 假设 100 人全是大和尚，那么共 需馍 300 个， 比实际多 300－140＝160 （个）。现在以小和尚去换大和尚， 每换一个总人数不变， 而馍就要减少 3 ――1＝2（个），因为 160÷2＝80， 故小和尚有 80 人，大和尚有 100－80＝20（人）。 同样，也可以假设 100 人都是小 和尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一 种假设方法。 例 3 彩色文化用品每套 19 元， 普通文 化用品每套 11 元， 这两种文化用品共 买了 16 套，用钱 280 元。问：两种文 化用品各买了多少套？ 分析与解：我们设想有一只“怪鸡” 有 1 个头 11 只脚，一种“怪兔”有 1 个头 19 只脚，它们共有 16 个头，280 只脚。这样，就将买文化用品问题转 换成鸡兔同笼问题了。 假设买了 16 套彩色文化用品， 则 共需 19×16＝304（元），比实际多 304――280＝24（元），现在用普通 文化用品去换彩色文化用品，每换一 套少用 19――11＝8（元），所以 买普通文化用品 24÷8=3（套）， 买 彩 色 文 化 用 品 16 － 3 ＝ 13 （套）。 例 4 鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只？ 分析：假设 100 只都是鸡，没有 兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚 数为零。这样鸡脚比兔脚多 200 只， 而实际上只多 20 只， 这说明假设的鸡 脚比兔脚多的数比实际上多 200―― 20=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚 减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比 兔脚多的脚数中就会减少 4 ＋ 2 ＝ 6 （只），而 180÷6＝30，因此有兔子 30 只，鸡 100――30＝70（只）。 解：有兔（2×100――20）÷（2＋4） ＝30（只）， 有鸡 100――30=70（只）。 答：有鸡 70 只，兔 30 只。 例 5 现有大、 小油瓶共 50 个， 每个大 瓶可装油 4 千克，每个小瓶可装油 2 千克， 大瓶比小瓶共多装 20 千克。 问： 大、小瓶各有多少个？ 分析：本题与例 4 非常类似，仿 照例 4 的解法即可。 解：小瓶有（4 ×50-20）÷（4＋2） ＝30（个）， 大瓶有 50-30＝20（个）。 答：有大瓶 20 个，小瓶 30 个。 例 6 一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每 辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，那 么这批钢材有多少吨？ 分析： 要算出这批钢材有多少吨， 需要知道每辆大卡车或小卡车能装多 少吨。 利用假设法， 假设只用 36 辆小卡 车来装载这批钢材，因为每辆大卡车 比每辆小卡车多装 4 吨， 所以要剩下 4 ×36=144 （吨）。根据条件，要装完 这 144 吨钢材还需要 45-36=9 （辆） 小 卡车。这样每辆小卡车能装 144÷9＝ 16（吨）。由此可求出这批钢材有多 少吨。 解： 4×36÷ （45-36） ×45＝720 （吨） 。 答：这批钢材有 720 吨。 例 7 乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每只运费 0.24 元，但如果发生损坏，那么每打破一 只不仅不给运费，而且还要赔偿 1.26 元，结果搬运站共得运费 115.5 元。 问：搬运过程中共打破了几只花瓶？ 分析：假设 500 只花瓶在搬运过 程中一只也没有打破，那么应得运费 0.24×500=120（元）。实际上只得到 115.5 元， 少得 120-115.5=4.5 （元） 。- 17 -搬运站每打破一只花瓶要损失 0.24＋ 1.26＝1.5 （元） 。 因此共打破花瓶 4.5 ÷1.5＝3（只）。 解：（0.24×500 －115.5 ）÷（0.24 ＋1.26）＝3（只）。 答：共打破 3 只花瓶。 例 8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳 了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟， 一共跳了 780 下。已知小喜比小乐每 分钟多跳 12 下， 那么小喜比小乐共多 跳了多少下？ 分析与解：利用假设法，假设小喜的 跳绳速度减少到与小乐一样，那么两 人跳的总数减少了 12×（2＋3）＝60（下）。 可求出小乐每分钟跳 （780――60）÷（2＋3＋3）＝ 90（下）， 小乐一共跳了 90×3=270（下）， 因此小喜比小乐共多跳 780――270×2＝240（下）。 练习 13 1．鸡、兔共有头 100 个，脚 350 只，鸡、兔各有多少只？ 2．学校有象棋、跳棋共 26 副，2 人下一副象棋， 6 人下一副跳棋， 恰好 可供 120 个学生进行活动。问：象棋 与跳棋各有多少副？ 3． 班级购买活页簿与日记本合计 32 本，花钱 74 元。活页簿每本 1.9 元，日记本每本 3.1 元。问：买活页 簿、日记本各几本？ 4．龟、鹤共有 100 个头，鹤腿比 龟腿多 20 只。问：龟、鹤各几只？ 5． 小蕾花 40 元钱买了 14 张贺年 卡与明信片。贺年卡每张 3 元 5 角， 明信片每张 2 元 5 角。问：贺年卡、 明信片各买了几张？ 6．一个工人植树，晴天每天植树 20 棵， 雨天每天植树 12 棵， 他接连几 天共植树 112 棵， 平均每天植树 14 棵。 问：这几天中共有几个雨天？ 7 ．振兴小学六年级举行数学竞 赛， 共有 20 道试题。 做对一题得 5 分， 没做或做错一题都要扣 3 分。小建得 了 60 分，那么他做对了几道题？8．有一批水果，用大筐 80 只可 装运完，用小筐 120 只也可装运完。 已知每只大筐比每只小筐多装运 20 千 克，那么这批水果有多少千克？ 9．蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿 和 2 对翅膀， 蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。 现有三种小虫共 18 只， 有 118 条腿和 20 对翅膀。问：每种小虫各有几只？ 10．鸡、兔共有脚 100 只，若将鸡换 成兔， 兔换成鸡， 则共有脚 92 只。 问： 鸡、兔各几只？ 第 14 讲 盈亏问题与比较法（一） 人们在分东西的时候，经常会遇 到剩余（盈）或不足（亏），根据分 东西过程中的盈或亏所编成的应用题 叫做盈亏问题。 例 1 小朋友分糖果，若每人分 4 粒则 多 9 粒；若每人分 5 粒则少 6 粒。问： 有多少个小朋友分多少粒糖？ 分析：由题目条件可以知道，小 朋友的人数与糖的粒数是不变的。比 较两种分配方案， 第一种方案每人分 4 粒就多 9 粒，第二种方案每人分 5 粒 就少 6 粒，两种不同的方案一多一少 相差 9＋6＝15（粒）。相差的原因在 于两种方案的分配数不同，第一种方 案每人分 4 粒，第二种方案每人分 5 粒， 两次分配数之差为 5－4＝1 （粒） 。 每人相差 1 粒， 多少人相差 15 粒呢？ 由此求出小朋友的人数为 15÷1＝15 （人），糖果的粒数为 4×15＋9＝69（粒）。 解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人）， 4×15＋9＝69（粒）。 答：有 15 个小朋友，分 69 粒糖。 例 2 小朋友分糖果，若每人分 3 粒则 剩 2 粒；若每人分 5 粒则少 6 粒。问： 有多少个小朋友？多少粒糖果？ 分析： 本题与例 1 基本相同， 例1 中两次分配数之差是 5-4=1（粒），本 题中两次分配数之差是 5-3＝2 （粒） 。 例 1 中，两种分配方案的盈数与亏数 之和为 9＋6＝15（粒），本题中，两 种分配方案的盈数与亏数之和为 2＋ 6=8（粒）。仿照例 1 的解法即可。解： （6＋2）÷（4――2）＝4（人）， 3×4＋2＝14（粒）。 答：有 4 个小朋友，14 粒糖果。 由例 1、 例 2 看出， 所谓盈亏问题， 就是把一定数量的东西分给一定数量 的人，由两种分配方案产生不同的盈 亏数，反过来求出分配的总人数与被 分配东西的总数量。解题的关键在于 确定两次分配数之差与盈亏总额（盈 数+亏数），由此得到求解盈亏问题的 公式： 分配总人数 = 盈亏总额÷两次分配数 之差。 需要注意的是，两种分配方案的 结果不一定总是一“盈”一“亏”， 也会出现两“盈”、 两“亏”、 一“不 盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。 例 3 小朋友分糖果， 每人分 10 粒， 正 好分完；若每人分 16 粒，则有 3 个小 朋友分不到糖果。 问： 有多少粒糖果？ 分析与解：第一种方案是不盈不亏， 第二种方案是亏 16×3＝48（粒），所 以盈亏总额是 0＋48=48（粒），而两 次分配数之差是 16――10＝6（粒）。 由盈亏问题的公式得 有小朋友（0＋16×3）÷（16― ―10）＝8（人）， 有 糖 10×8＝80（粒）。 下面的几道例题是购物中的盈亏 问题。 例 4 一批小朋友去买东西，若每人出 10 元则多 8 元；若每人出 7 元则少 4 元。问：有多少个小朋友？东西的价 格是多少？ 分析与解：两种购物方案的盈亏总额 是 8＋4＝12（元），两次分配数之差 是 10――7＝3（元）。由公式得到 小朋友的人数（8＋4）÷（10― ―7）＝4（人）， 东西的价格是 10 × 4 ―― 8 ＝ 32 （元）。 例 5 顾老师到新华书店去买书，若买 5 本则多 3 元；若买 7 本则少 1.8 元。 这本书的单价是多少？顾老师共带了 多少元钱？- 18 -分析与解：买 5 本多 3 元，买 7 本少 1.8 元。 盈亏总额为 3＋1.8=4.8 （元） ， 这 4.8 元刚好可以买 7――5＝2（本） 书，因此每本书 4.8÷2=2.4（元）， 顾老师共带钱 2.4×5＋3＝15（元）。 例 6 王老师去买儿童小提琴，若买 7 把，则所带的钱差 110 元；若买 5 把， 则所带的钱还差 30 元。问：儿童小提 琴多少钱一把？王老师带了多少钱？ 分析： 本题在购物的两个方案中， 每一个方案都出现钱不足的情况， 买7 把小提琴差 110 元，买 5 把小提琴差 30 元。从买 7 把变成买 5 把，少买了 7――5=2（把）提琴，而钱的差额减 少了 110――30＝80（元），即 80 元 钱可以买 2 把小提琴，可见小提琴的 单价为每把 40 元钱。 解：（110――30）÷（7――5）＝40 （元）， 40×7――110＝170（元）。 答：小提琴 40 元一把，王老师带 了 170 元钱。 练习 14 1．小朋友分糖果，每人 3 粒，余 30 粒；每人 5 粒，少 4 粒。问：有多 少个小朋友？多少粒糖？ 2．一个汽车队运输一批货物，如 果每辆汽车运 3500 千克， 那么货物还 剩下 5000 千克； 如果每辆汽车运 4000 千克，那么货物还剩下 500 千克。问： 这个汽车队有多少辆汽车？要运的货 物有多少千克？ 3．学校买来一批图书。若每人发 9 本，则少 25 本；若每人发 6 本，则 少 7 本。问：有多少个学生？买了多 少本图书？ 4．参加美术活动小组的同学，分 配若干支彩色笔。如果每人分 4 支， 那么多 12 支；如果每人分 8 支，那么 恰有 1 人没分到笔。 问： 有多少同学？ 多少支彩色笔？ 5．红星小学去春游。如果每辆车 坐 60 人，那么有 15 人上不了车；如 果每辆车多坐 5 人，那么恰好多出一 辆车。 问： 有多少辆车？多少个学生？6．某数的 8 倍减去 153，比其 5 倍多 66，求这个数。 7．某厂运来一批煤，如果每天烧 1500 千克，那么比原计划提前一天烧 完；如果每天烧 1000 千克，那么将比 原计划多用一天。现在要求按原计划 烧完，那么每天应烧煤多少千克？ 8． 同学们为学校搬砖， 每人搬 18 块，还余 2 块；每人搬 20 块，就有一 位同学没砖可搬。 问： 共有砖多少块？ 第 15 讲 盈亏问题与比较法（二） 有些问题初看似乎不像盈亏问 题，但将题目条件适当转化，就露出 了盈亏问题的“真相”。 例 1 某班学生去划船，如果增加一条 船，那么每条船正好坐 6 人；如果减 少一条船，那么每条船就要坐 9 人。 问：学生有多少人？ 分析：本题也是盈亏问题，为清 楚起见，我们将题中条件加以转化。 假设船数固定不变，题目的条件“如 果增加一条船??”表示“如果每船 坐 6 人，那么有 6 人无船可坐”； “如 果减少一条船??”表示“如果每船 坐 9 人，那么就空出一条船”。这样， 用盈亏问题来做， 盈亏总额为 6＋9=15 （人），两次分配的差为 9――6＝3 （人）。 解： （6＋9） ÷ （9――6） ＝5 （条） ， 6×5＋6=36（人）。 答：有 36 名学生。 例 2 少先队员植树，如果每人挖 5 个 坑，那么还有 3 个坑无人挖；如果其 中 2 人各挖 4 个坑，其余每人挖 6 个 坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要 挖几个坑？ 分析：我们将“其中 2 人各挖 4 个坑， 其余每人挖 6 个坑” 转化为 “每 人都挖 6 个坑，就多挖了 4 个坑”。 这样就变成了“典型”的盈亏问题。 盈亏总额为 4＋3＝7（个）坑，两次分 配数之差为 6――5＝1（个）坑。 解： [3＋ （6-4） ×2]÷ （6-5） ＝7 （人） 5×7＋3＝38（个）。 答：一共要挖 38 个坑。例 3 在桥上用绳子测桥离水面的高度。 若把绳子对折垂到水面，则余 8 米； 若把绳子三折垂到水面，则余 2 米。 问：桥有多高？绳子有多长？ 分析与解：因为把绳子对折余 8 米， 所以是余了 8×2=16（米）；同样，把 绳子三折余 2 米，就是余了 3×2＝6 （米）。两种方案都是“盈”，故盈 亏总额为 16――6=10（米），两次分 配数之差为 3-2＝1（折），所以 桥高（8×2-2×3）÷（3-2）＝ 10（米），绳子的长度为 2×10＋8×2 ＝36（米）。 例 4 有若干个苹果和若干个梨。如果 按每 1 个苹果配 2 个梨分堆，那么梨 分完时还剩 2 个苹果；如果按每 3 个 苹果配 5 个梨分堆，那么苹果分完时 还剩 1 个梨。问：苹果和梨各有多少 个？ 分析与解：容易看出这是一道盈亏应 用题，但是盈亏总额与两次分配数之 差很难找到。 原因在于第一种方案是 1 个苹果“搭配”2 个梨，第二种方案是 3 个苹果“搭配”5 个梨。如果将这两 种方案统一为 1 个苹果“搭配”若干 个梨，那么问题就好解决了。将原题 条件变为“1 个苹果搭配 2 个梨，缺 4 个梨；有梨 15×2-4＝26（个）。 例 5 乐乐家去学校上学，每分钟走 50 米，走了 2 分钟后，发觉按这样的速 度走下去，到学校就会迟到 8 分钟。 于是乐乐开始加快速度，每分钟比原 来多走 10 米， 结果到达学校时离上课 还有 5 分钟。问：乐乐家离学校有多 远？ 分析与解：乐乐从改变速度的那一点 到学校，若每分钟走 50 米，则要迟到 8 分钟， 也就是到上课时间时， 他离学- 19 -校还有 50×8＝400（米）；若每分钟 多走 10 米，即每分钟走 60 米，则到 达学校时离上课还有 5 分钟，如果一 直走到上课时间，那么他将多走（ 50 ＋10）×5＝300（米）。所以盈亏总 额，即总的路程相差 400＋300＝700（米）。 两种走法每分钟相差 10 米， 因此 所用时间为 700÷10＝70（分）， 也就是说，从乐乐改变速度起到 上课时间有 70 分钟。 所以乐乐家到学 校的距离为 50×（2＋70＋8）＝4000（米）， 或 50 × 2 ＋ 60 ×（ 70 ―― 5 ）＝ 4000（米）。 例 6 王师傅加工一批零件，每天加工 20 个，可以提前 1 天完成。工作 4 天 后， 由于改进了技术， 每天可多加工 5 个，结果提前 3 天完成。问：这批零 件有多少个？ 分析与解：每天加工 20 个，如果一直 加工到计划时间， 那么将多加工 20 个 零件；改进技术后，如果一直加工到 计划时间，那么将多加工（20＋5）× 3＝75（个）。盈亏总额为 75――20 ＝55（个）。两种加工的速度比较， 每天相差 5 个。 根据盈亏问题的公式， 从改进技术时到计划完工的时间是 55 ÷5＝11（天），计划时间为 11＋4＝ 15（天），这批零件共有 20×（15― ―1）＝280（个）。 练习 15 1.筑路队计划每天筑路 720 米， 实际每天比原计划多筑 80 米， 这样在 完成规定任务的前三天，就只剩下 1160 米未筑。问：这条路共有多长？ 2.小红家买来一篮桔子，分给全 家人。如果其中二人每人分 4 只，其 余每人分 2 只，那么多出 4 只；如果 一人分 6 只，其余每人分 4 只，那么 缺 12 只。 问： 小红家买来多少只桔子？ 小红家共有几人？ 3.食堂采购员小李去买肉，如果 买牛肉 18 千克，那么差 4 元；如果买 猪肉 20 千克， 那么多 2 元。 已知牛肉、猪肉每千克差价 8 角，求牛肉、猪肉 每千克各多少钱。 4. 李老师给小朋友分苹果和桔 子，苹果数是桔子数的 2 倍。桔子每 人分 3 个，多 4 个；苹果每人分 7 个， 少 5 个。问：有多少个小朋友？多少 个苹果和桔子？ 5.用绳子测量井深。如果把绳子 三折垂到水面， 余 7 米； 如果把绳子 5 折垂到水面，余 1 米。求绳长与井深。 6.老师给幼儿园小朋友分苹果。 每两人三个苹果，多两个苹果；每三 人五个苹果，少四个苹果。问：有多 少个小朋友？多少个苹果？ 7.小明从家到学校去上学，如果 每分钟走 60 米，那么将迟到 5 分钟； 如果每分钟走 80 米， 那么将提前 3 分 钟。小明家距学校多远？ 第 16 讲 数阵图（一） 我们在三年级已经学习过辐射型 和封闭型数阵， 其解题的关键在于 “重 叠数”。本讲和下一讲，我们学习三 阶方阵，就是将九个数按照某种要求 排列成三行三列的数阵图，解题的关 键仍然是“重叠数”。我们先从一道 典型的例题开始。 例 1 把 1～9 这九个数字填写在右图正 方形的九个方格中，使得每一横行、 每一竖列和每条对角线上的三个数之 和都相等。8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6 ＋5＋4。 因此每行、每列以及每条对角线 上的三个数字可以是其中任一个算式 中的三个数字。 因为中心方格中的数既在一个横 行中，又在一个竖列中，还在两对角 线上，所以它应同时出现在上述的四 个算式中，只有 5 符合条件，因此应 将 5 填在中心方格中。同理，四个角 上的数既在一个横行中，又在一个竖 列中，还在一条对角线上，所以它应 同时出现在上述的三个算式中，符合 条件的有 2，4，6，8，因此应将 2，4， 6，8 填在四个角的方格中，同时应保 证对角线两数的和相等。经试验，有 下面八种不同填法： 上面的八个图，都可以通过一个 图的旋转和翻转得到。例如，第一行 的后三个图，依次由第一个图顺时针 旋转 90°，180°，270°得到。又如， 第二行的各图，都是由它上面的图沿 竖轴翻转得到。所以，这八个图本质 上是相同的，可以看作是一种填法。 例 1 中的数阵图，我国古代称为 “纵横图”、“九宫算”。一般地， 将九个不同的数填在 3×3 （三行三列） 的方格中，如果满足每个横行、每个 竖列和每条对角线上的三个数之和都 相等，那么这样的图称为三阶幻方。 在例 1 中如果只要求任一横行及 任一竖列的三数之和相等，而不要求 两条对角线上的三数之和也相等，则分析与解：我们首先要弄清每行、每 列以及每条对角线上三个数字之和是 几。我们可以这样去想：因为 1～9 这 九个数字之和是 45，正好是三个横行 数字之和，所以每一横行的数字之和 等于 45÷3=15。 也就是说， 每一横行、 每一竖列以及每条对角线上三个数字 之和都等于 15。 在 1～9 这九个数字中， 三个不同 的数相加等于 15 的有： 9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8 ＋5＋2，解不唯一，这是因为在例 1 的解中， 任意交换两行或两列的位置，不影响 每行或每列的三数之和， 故仍然是解。 例 2 用 11，13，15，17，19，21，23， 25，27 编制成一个三阶幻方。 分析与解：给出的九个数形成一个等 差数列，对照例 1，1～9 也是一个等 差数列。不难发现：中间方格里的数 字应填等差数列的第五个数，即应填 19；填在四个角上方格中的数是位于 偶数项的数，即 13，17，21，25，而 且对角两数的和相等，即 13＋25=17- 20 -＋21；余下各数就不难填写了（见右 图）。证明：因为每行的三数之和都等于 k， 共有三行，所以九个数之和等于 3k。 如右上