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2014高中数学 解圆锥曲线问题常用方法知识点拨（二） 北师大版选修2-1.doc 9页
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2014高中数学 解圆锥曲线问题常用方法知识点拨（二） 北师大版选修2-1.doc
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知识点拨：解圆锥曲线问题常用方法（二）
【学习要点】
解圆锥曲线问题常用以下方法：
4、数形结合法
解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“”，令=k，则k表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率……
（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1）
（2）斜率为参数
当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2，方法2可将条件P2代入条件P1，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。
【典型例题】
例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=的最小值。
分析：由此根式结构联想到距离公式，
解：S=设Q(-2,3),
则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离
点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t消元后，它是一个一元二次函数）
例2：已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上一动点，求的最值。
解：设O（0，0），则表示直线OP的斜率，由图可知，当直线OP与圆相切时，取得最值，设最值为k，则切线：y=kx,即kx-y=0
圆(x-3)2+(y-2)2=1,由圆心（3，2）到直线kx-y=0的距离为1得,
例3：直线l：ax+y+2=0平分双曲线的斜率为1的弦，求a的取值范围.
分析：由题意，直线l恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即-a的范围。
解：设A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点，且AB的斜率为1，AB的中点为M(x0,y0)
即M(X0,y0)在直线9x-16y=0上。
∴点M的轨迹方程为9x-16y=0(x&-或x&)
由图知，当动直线l的斜率k∈时，l过斜率为1的弦AB的中点M，而k=-a
∴a的取值范围为：
点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB中点轨迹并不是一条直线（9x-16y=0），而是这条直线上的两条射线（无端点）。再利用图形中的特殊点（射线的端点C、D）的属性（斜率）说明所求变量a的取值范围。
例4：过y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点。求证：直线BC的斜率是定值。
分析：（1）点A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与kAC相反，故可用“k参数”法，设AB的斜率为k，写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B坐标，同理可得点C坐标，再求BC斜率。
（2）因点B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B（x1,y1）,C(x2,y2),因x1=y12,x2=y22,即可设B（y12,y1）,C(y22,y2)。再考虑kAB=-kAC得参数y1,y2的关系。
解法1：设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k
AB：y-2=k(x-4),与y2=x联立得：
y-2=k(y2-4),即ky2-y-4k+2=0
∵y=2是此方程的一解，
∵kAC=-k,以-k代替k代入B点坐标得C
∴kBC=为定值
解法2：设B（y12,y1）,C(y22,y2)，则
由题意，kAB=-kAC,
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求解奇异问题的几种数值解法
求解奇异问题的几种常见数值解法
摘要：非线性问题时近代数学研究的主流之一，而求解Banach空间中非线性方程=0的算法问题，由于其具有广泛的实际背景和重要的理论价值，一直是数值工作者感兴趣的问题之一的。
本文共分三个部分，第一章介绍了国内外有关求解奇异问题的发展状况、课题背景、主要意义。第二章简要的介绍了求解非线性方程奇异问题的几种数值解法，例如：一类Chord法求解奇异问题、Halley法、Chebyshev法、Supper-Halley法。由于Chord法计算量小，并且当利用Matlab运算时既简单又方便，本章在零空间为一维的情况下介绍了一类Chord法的收敛性的证明。最后，简明扼要地总结了本文论述的主要内容、应用及理论价值。
关键词： 数值解法；奇异问题；收敛性
1.1课题背景 现代科学技术的发展使数值计算日趋重要，数值计算方法是研究数学问题的数值求解方法，包括科学计算、系统模拟等领域，在很多的实际工程问题中，许多问题可归结为求解非线性方程F(x)?0的求解问题。 在当今时代，随着计算机的出现与普及以及数学研究本身的发展与完完善，线性问题的研究已趋于完善，各种非线性问题的求解成为数学研究者研究的对象，也引起了科学工作者和工程人员的兴趣和重视。尤其在近代物理和科学计算中的一些关键问题归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解。因此，无论在理论研究方面，还是在实际工程应用中，非线性方程的求解都占有相当重要的地位，是数学研究者必须面对的问题。 非线性问题具有广泛放入实际背景和重要的理论价值，是近代数学研究的主流之一，非线性方程F(x)?0的数值解法又是非线性问题研究的一个重要的方向。因此，非线性问题一直是数值工作者乃至基础数学大家，如Smale和Kantorovich等人所感兴趣并参与研究的热门课题之一。 迭代法一直是求解非线性方程的重要手段之一。对于非奇异问题，以牛顿为代表的迭代方法一直是非线性问题的求解的重要方法，求解非奇异问题也是非线性问题求解的重要领域。在求解方程F(x)?0的牛顿迭代法及其变形的研究中，许多著名学者，如王兴华、Smale和Kantorovich等，在加速迭代格式、收敛性和收敛速度方面取得了丰硕的成果。 求解非线性非奇异问题的研究成果主要表现在以下几个方面： 一、一般来说，牛顿类迭代法为局部收敛的，因此对初始值x0选取要求比较苛刻，如[1]何构造大范围收敛的迭代格式成为牛顿法研究的一个热门课题。如，连续同伦法、单纯形方法等。 二、为避免求逆运算，由此产生了一系列迭代技术。如，拟牛顿类方法和Chord法等。 - I - 三、如何构造计算量少而收敛速度比较快的迭代格式。许多人在这方面做了大量的工作，产生了一系列变形算法；如，King-Werner方法、双曲迭代和切比雪夫迭代格式等，并且由此衍生了计算效率指数和计算复杂性的研究。 四、代替牛顿法的区域性假设而用一点信息，由此产生的点估计假设条件在近年来研究十分盛行。 五、为减少内存和并行计算，人们尝试将大问题分为几个小问题计算，此方向研究例子，如分裂牛顿法。 六、近年来，给出各种迭代格式的最佳误差估计也是人们十分感兴趣的课题。对许多方法已经得到了最佳误差估计，并且衍生了许多研究的技巧和方法。 七、反问题中出现的方程均为病态，如何用牛顿类方法求解病态问题、收敛条件和格式构造也是十分热门的课题。 但在实际问题中有许多非线性方程F(x)?0，其解x点处的导算子为一奇异算子，例如在优化问题中的鞍点、反应扩散系统、捕食和猎物生物模型、分歧点和极限点等所导出的方程解点处的导算子为一奇异算子，因此，研究奇异问题的数值解法具有重要的实际意义。另一方面许多数值方法都是针对非奇异问题，讨论其收敛格式、收敛性、收敛速度的形态等，对于奇异问题讨论其解点附近的性态，对非线性问题的研究在理论上也是一种完善。为此，引起了人们的广泛兴趣和数值工作者的青睐，并且在近年取得了许多成就。 * 1.2国内外研究现状 在1966年，L.B.Rall首次提出在一元实函情况下，牛顿法在奇异点处的收敛性质，并发现牛顿法很有效而且能改成平方收敛。对于一个一般空间E，Cavanagh 于1970年假设[2]F在解点x*处的某一个去心邻域非奇异推广了Rall的结果。然而，Cananagh 的条件是苛刻的并且实际应用的价值很低，要保证F?(x)奇异情况下收敛的条件更为严格，直到1978年G.W.Reddien 放宽了这个条件，提供了牛顿法的可行性。1980年Decker和Kelley将 Reddien的结果推广到了零空间为有限维的情况。1983年Decker和Suresh在Newton法的基础上做了一些修改，得到了相应的收敛性，1985年Decker又和Kelley得到了Broyden法的收敛性。为得到更好的收敛效果，Decker和Kelley改善了Newton法，加速了零空间的收敛速度，使它达到和非奇异情况一样的平方收敛。但他们所做的大多都是在零空间维数为1的特殊情况下得到的。为了得到更一般性的结论，Decker，Kelley及Keller等人进一步研究了在零空间的维数为有限维这一般情况下的Newton方法的收敛性及误差估计，1981年Griewank和Osborne在此基础上做了一些推广，使它的收敛速率得到提高。为获得更好的收敛速度，Decker，Keller和潘状元等人又提出修改Newton方法，使它们能够无论在零空间还是值域都能达到平方收敛。 - 2 - [6][5][4][3]*考虑计算的复杂性，由于在计算过程中每步都需要计算导算子的逆矩阵，计算量太大，因此，很多人在研究牛顿法的同时也研究Chord法。1983年，Decker和Kelley研究了零空间为一维时的Chord法，得出相应的收敛性及收敛速率为次线性收敛。1990年杨忠华用外推的方法得到新的迭代格式，它的计算量与Chord法基本相同，但收敛速度比Chord法快得多，但它仍是次线性收敛，而后潘状元又在杨忠华论文的基础上做了改进，得到了相当好的收敛效果。为得到一般性的结果，潘状元又在零空间为有限维的情况下讨论了它的收敛性并且得到相应的误差。 1.3本文主要内容 1.众所周知，在求解奇异方程时，牛顿迭代法的收敛速度比较慢，人们希望构造出收敛速度更好的迭代格式。本文简要介绍了几种数值解法：介绍了用一类Chord法求解奇异问题，在零空间为一维的情况下证明了一类Chord的收敛性，并给出了数值算例结果；用Halley法、Chebyshev法和Supper-Halley法求解奇异问题也是人们所感兴趣的，本文介绍了零空间为一维情况下Chebyshev方法求解奇异问题的收敛性；另外，本文利用Hilbert空间中的几何特征构造了求解奇异问题的新的迭代格式，使新的迭代格式的收敛速度比牛顿迭代格式的收敛速度快。 2. 总结了各种方法的优缺点，并分别给出了数值算例结果。 [8][7]- 3 - 2. 求解奇异问题的几种常见数值解法 2.1一类Chord法求解奇异问题 2.1.1引言 设F是Banach空间E到自身的C映射，x3**如果x使?E是方程F(x)?0的一个解。F?(x*)?1不存在，那么x*称为奇异点。 由于Chord法计算量小，并且应用Matlab运算时既简单又方便。因此，这种方法一直深受人们关注。 2.1.2预备知识 假设F?(x*)为一指数为零的Fredholm算子，N为F?(x*)的零空间，X为F?(x*)的值域。用PN、PX表示E到N、X的投影，则有 PX?I?PN,E?N?X ??x?x*。定义 对于x?E，记x?,PN?) D(x)?PNF??(x*)(x?,PN?) D(x)?PNF??(x*)(PNx????,?PXx?????PNx??W(?,?)?{x?E|0??x} NX??m和?PXx??m的??m为的项，令?m(x)表示阶?x用?m(x)和?m(x)分别表示阶为?PNx项，令q?p(x)表示阶为q??p的项，并且满足PX?p(x)??p?q(x)。令?x?1?F，所以k*??0(x0)，再令k*??P(0?)x1??F(*?)x??(，,因)为PXF?(xX0)??0(x0)k?2k*?2。 对n次迭代xn定义?n,?n,?n如下 ??n?PNxn???PXxn?? ??nPNx0?PNxn????x?n?n引理2.1 取x0?W(?,?)，dimN?1，假设存在?[9]?0，使得对于任意的??N，有 ?F??(x*)(?,?)??????2 那么对于充分小的?,?，?x0?W(?,?)，使得F?(x)?1,D(x)?1存在，并且 F?(x)?1?PND(x)?1PN??0(x) - 4 - ?PND(x)?1PN????1(x)
???1(x)此外，牛顿迭代 xn?1?xn?F?(xn)?1F(xn),n?1 映W(?,?)到自身，序列?xn?收敛到x*，且有 lim?PNxn?1?1? n???Px?2Nn?PXxn?1???xn?x*?2,?k?0,n?0,1,? 引理2.2[10] 设矩阵B有逆存在，且 ?B?1???,?A?B???,???1 则矩阵A亦有逆存在，且有 ?A?1??2.1.3主要结论 定理2.1[11]? 1??? 设dimN?1，且存在??0，使对所有的??N，有 ?F??(x*)(?,?)??????2 则存在充分小的?,?2，迭?0，对x0?W(?,?)，?0??1(x0)，并且?A?F?(x0)??c?0代xn?1?xn?A?1F(xn)所产生的序列?xn?仍在W(?,?)中，且收敛到x*，且对n?1，有 310??n(1??n)??n?1??n(1??n) 4431(1?n)?1?PN(x0?x*)???PN(xn?x*)???PN(x0?x*)?(1?n)?1 44?PX(xn?x*)??k?(xn?1?x*)?2,k?0 2.1.4计算用例 ?x?y2??f1(x,y)?TF(z)???,z?(x,y)????xy?y2?y3??f2(x,y)??? x*?(0,0)T是一个奇异点，容易算出 N?span(?),??(0,1)T;X?span(?),??(0,1)T 容易验证满足定理2.1条件。令?z??|x|?|y|，取x?0.01,y?0.1, ?0.?A???，得到如下结果，见表2-1 0.??- 5 -
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阅读不等式5x≥4x+1的解法：解：由5x≥4x+1，两边同除以5x可得1≥(45)x+(15)x．由于0＜15＜45＜1，显然函数f（x）=（45）x+（15）x在R上为单调减函数，而f(1)=45+15=1，故当x＞1时，有f（x）=（45）x+（15）x＜f（x）=1所以不等式的解集为{x|x≥1}．利用解此不等式的方法解决以下问题：（1）解不等式：9x＞5x+4x；（2）证明：方程5x+12x=13x有唯一解，并求出该解．
已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.（Ⅰ）求实数的值；& （Ⅱ）求在区间上的最大值；（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.【解析】第一问当时，，则。依题意得：，即&&& 解得第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。不妨设，则，显然∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴即&&& （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.（Ⅰ）当时，，则。依题意得：，即&&& 解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①当时，，令得当变化时，的变化情况如下表：
又，，。∴在上的最大值为2.②当时, .当时, ,最大值为0；当时, 在上单调递增。∴在最大值为。综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；当时，即时，在区间上的最大值为。（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。不妨设，则，显然∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴即&&& （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.若，则代入（*）式得：即，而此方程无解，因此。此时，代入（*）式得： &&&即&& （**）令&，则∴在上单调递增，& ∵ &&&&∴,∴的取值范围是。∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上&
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由图看出显然一个交点，因此函数的零点个数只有一个 袋中有50个大小相同的号牌，其中标着0号的有5个，标着n号的有n个（n=1,2,…9）,现从袋中任取一球，求所取号码的分布列，以及取得号码为偶数的概率.
山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90~100分数段的人数为2人.（Ⅰ）请估计一下这组数据的平均数M；（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.【解析】本试题主要考查了概率的运算和统计图的运用。（1）由由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05，然后利用平均值公式，可知这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)（2）中利用90~100分数段的人数为2人，频率为0.05；得到总参赛人数为40，然后得到0~60分数段的人数为40×0.1=4人，第五组中有2人，这样可以得到基本事件空间为15种，然后利用其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种，得到概率值解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05； ……………2分∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4分(Ⅱ)∵90~100分数段的人数为2人，频率为0.05；∴参加测试的总人数为=40人，……………………………………5分∴50~60分数段的人数为40×0.1=4人， …………………………6分设第一组50~60分数段的同学为A1，A2，A3，A4；第五组90~100分数段的同学为B1，B2则从中选出两人的选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种；其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种 …………………………11分则选出的两人为“帮扶组”的概率为&
1．解：由题意可知A=(-2,3),B=(0,4),∴=.2．解：∵=3x2,∵在(a,a3)处切线为y-a3=3a2(x-a),令y=0,得切线与x轴交点(),切线与直线x=a交于(a,a3),∴曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为S=,令S=,解得a=±1.3．解：由已知得1-tanαtanβ=tanα-tanβ,∴tanα=.4．解：=5．解：4位乘客进入4节车厢共有256种不同的可能,6位乘客进入各节车厢的人数恰为0,1,2,3的方法共有,∴这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为.6．解：①菱形不可能,如果这个四边形是菱形,这时菱形的一条对角线垂直抛物线的对称轴,这时四边形的必有一个顶点在抛物线的对称轴上(非抛物线的顶点); ④平行四边形,也不可能,因为抛物上四个点组成的四边形最多有一组对边平行.故连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是②③⑤.7． 解：复数=。8． 解：。9． 解：已知 ，，，∴ ，，则==10． 解：在数列中，若，∴ ，即{}是以为首项，2为公比的等比数列，，所以该数列的通项.11．解：设，函数有最大值，∵有最小值，∴ 0&a&1， 则不等式的解为，解得2&x&3，所以不等式的解集为.12．解：已知变量满足约束条件 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，，目标函数（其中）中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的取值范围为(1，+∞)。13．【答案】：【分析】：14．【答案】：7【分析】：画出可行域，当直线过点（1，2）时，15．【答案】：【分析】：恒成立，恒成立，&&&&&&& 16．【答案】：18【分析】：和是方程的两根，故有：&&&&&&&&
或（舍）。&&&&&&&&
17．【答案】：25【分析】：所有的选法数为，两门都选的方法为。&&&&&&&&
故共有选法数为18．【答案】：【分析】：&&&&&&&&
代入得：&&&&&&&&
设&&&&&&&&
又&&&&&&&&
19．解：，& 20．解： 又 &&点在x=0处连续，所以 即& 故21．解：& 22．解：& ，23．解：设圆心，直线的斜率为， 弦AB的中点为，的斜率为，则，所以 由点斜式得24． 解：则底面共，，，由分类计数原理得上底面共，由分步类计数原理得共有种25．解析：本小题主要考查三点共线问题。&&&&& (舍负).26．解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线过椭圆的左焦点,在 中，，又，∴27．解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得：,即,∴28．解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。29．解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为下方图像翻到轴上方.由区间[0，3]上的最大值为2，知解得检验时, 不符,而时满足题意.30．解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，∴不同的安排方案共有种。31．解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。由恒成立知，当时，恒成立，∴；同理，∴以,b为坐标点 所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.32．解析：，所以，系数为.33．解析：由得，所以，表面积为.34．解析：抛物线的焦点为，所以圆心坐标为，，圆C的方程为.35．解析：令，，则所以.36．解析：所以.37．解析：由已知得，单调递减，所以当时，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为.38．【解】：∵展开式中项为&
∴所求系数为&& 故填【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数；39．【解】：如图可知：过原心作直线的垂线，则长即为所求；∵的圆心为，半径为&点到直线的距离为& ∴& &&&&故上各点到的距离的最小值为【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；【突破】：数形结合，使用点到直线的距离距离公式。40．【解】：如图可知：∵&&& ∴& ∴正四棱柱的体积等于【点评】：此题重点考察线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；【突破】：数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式。41．【解】：∵等差数列的前项和为，且& ∴& 即&& ∴& ∴，， & ∴& 故的最大值为，应填【点评】：此题重点考察等差数列的通项公式，前项和公式，以及不等式的变形求范围；【突破】：利用等差数列的前项和公式变形不等式，利用消元思想确定或的范围解答本题的关键；42．解：43．解：设则，即则是等边三角形，，在中，故44．解：①，向量与垂直②③构成等边三角形，与的夹角应为所以真命题只有②。45．解：分两类：第一棒是丙有,第一棒是甲、乙中一人有因此共有方案种46．【答案】&
2【解析】＝则向量与向量共线47．【答案】 2【解析】，∴切线的斜率，所以由得48．【答案】【解析】设A（，）B（，）由，，（）；∴由抛物线的定义知【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用49．【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．50.答案：解析：本小题主要考查求反函数基本知识。求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题。51.答案： 解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为,则,∴设、两点对球心张角为，则,∴,∴,∴为所在平面的小圆的直径，∴,设所在平面的小圆圆心为，则球心到平面ABC的距离为52.答案：5解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题对中，只有时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与、乘积为常数的项。53.答案：解析：本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题且在区间有最小值,无最大值,∴区间为的一个半周期的子区间，且知的图像关于对称，∴,取得54．解：由已知得,则55．解：56．57．解：真命题的代号是：&& BD& 。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。58.【答案】 【解析】59.【答案】 【解析】60.【答案】(-1,2)【解析】由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点 则其反函数过点所以函数的图象一定过点61.【答案】 , 【解析】（1）当a＞0时，由得,所以的定义域是;&&&&&&& (2) 当a＞1时，由题意知;当0&a&1时，为增函数,不合;&&&&&&&&&&
当a&0时，在区间上是减函数.故填.62.【答案】&& ,& 6【解析】第二空可分:①当
时, ;②当 时, ;③当时, ;所以& 也可用特殊值法或i和j同时出现6次.63．解：由余弦定理，原式64.解：由题意知所以，所以解集为。65.解：依题意，所以66.解：由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以。67．解：令，令得&&&
所以 68． 解：圆心为，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得，即，69．解：依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.&,70． 解：①对除法如不满足，所以排除，②取,对乘法, ③④的正确性容易推得。71．【答案】: -1【分析】: a－2ai－1＝a－1－2ai＝2i，a=－1【考点】: 复数的运算【易错】: 增根a=1没有舍去。72．【答案】: 0【分析】: 利用数形结合知，向量a与<st1:chmetcnv UnitName="a" SourceValue="2" HasSpace="False" Negative="False" Numbe
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