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用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复的五位数．（1）被4整除；（2）比21034大的偶数；（3）左起第二、四位是奇数的偶数．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分两类：当末两位数是20，40，04时，其排列数为3A33=18个，当末两位数是12，24，32时，其排列数为3oA21A22=12个，故满足条件的五位数共有3A33+3A21A22=30个．（2）法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有A21A22+A22=6个；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有A21A33=12个；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有A21A33=12个；当末位数字是4，而首位数字是2时，有A22+A11=3个；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A33=6个．故有（A21A22+A22）+A21A33+A21A33+A22+A11+A33=39个．法二：不大于21034的偶数可分为三类：万位数字为1的偶数，有A31A33=18个；万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有A21个；还有21034本身．而由0，1，2，3，4组成的五位偶数有A44+A21A33A63=60个．故满足条件的五位偶数共有60-A31A33-A21-1=39个．（3）法一：可分两类，0是末位数，有A22A22=4个，2或4是末位数，有A22A214个．故共有A22A22+A22A21=8个．法二：第二、四位从奇数1，3中取，有A22；首位从2，4中取，有A21个；余下的排在剩下的两位，有A22个，故共有A22A21A22=8个．
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据魔方格专家权威分析，试题“用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重..”主要考查你对&&排列与组合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
排列与组合
1、排列的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。 3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。 4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1×2×3×…×n表示。 规定：0！＝1 5、排列数公式：=n（n-1）（n-2）（n-3）…（n-m+1）=。
1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号表示。 3、组合数公式：； 4、组合数性质：（1）；（2）。 5、排列数与组合数的关系：。 &排列与组合的联系与区别：
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个（m≤n，n，m∈N）元素，这是排列与组合的共同点。它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a，b与b，a是两个不同的排列，但却是同一个组合。排列应用题的最基本的解法有：
（1）直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法；（2）间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：
①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了m≤n，如果m&n，称为选排列；如果m=n，称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
排列的判断：
判断一个问题是否为排列问题的依据是是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m个(m≤n)不同元素的问题就是排列问题，否则就不是排列的问题，而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题．
写出一个问题中的所有排列的基本方法:
写出一个问题中的所有排列的基本方法是字典排序法或树形图法或框图法。
组合规律总结：
①组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同元素中进行m次不放回的抽取；②组合取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的本质属性；③根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，那么不论元素的顺序如何，都是相同的组合，而只有两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合．
排列组合应用问题的解题策略：
1.捆绑法：把相邻的若干特殊元素“捆绑”成一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，而后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，这就是所谓相邻问题“捆绑法”．2.插空法：对于不相邻问题用插空法，先排其他没有要求的元素，让不相邻的元素插产生的空．3.优先排列法：某些元素（或位置）的排法受到限制，列式求解时，应优先考虑这些元素，叫元素分析法，也可优先考虑被优待的位置，叫位置分析法．4.排除法：这种方法经常用来解决某些元素不在某些位置的问题，先总体考虑，后排除不符合条件的。5.特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排的策略；6.合理分类和准确分步的策略；7.排列、组合混合问题先选后排的策略；8.正难则反，等价转化的策略；9相邻问题捆绑处理的策略；10.不相邻问题插空处理的策略；11.定序问题除法处理的策略；12.分排问题直接处理的策略；13.构造模型的策略，
&排列的应用：
(1)-般问题的应用：求解排列问题时，正确地理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语；正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的；还要注意分类时不重不漏，分步时只有依次做完各个步骤，事情才算完成，解决排列应用题的基本思想是：&解简单的排列应用问题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，如果是，再进一步分析n个不同的元素是指什么以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应着什么事情，最后再运用排列数公式求解．(2)有限制条件的排列问题：在解有限制条件的排列应用题时，要从分析人手，先分析限制条件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，识别是哪种基本类型，在限制条件较多时，要抓住关键条件（主要矛盾），通过正确地分类、分步，把复杂问题转化为基本问题，解有限制条件的排列问题的常用方法是：&常见类型有：①在与不在：在的先排、不在的可以排在别的位置，也可以采用间接相减法；②邻与不邻：邻的用”，不邻的用”；③间隔排列：有要求的后排（插空）．
组合应用题：
解决组合应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而得出实际问题的解．（1）建立组合模型的第一步是分析该实际问题有无顺序，有顺序便不是组合问题．（2）解组合应用题的基本方法仍然是“直接法”和“间接法”．（3）在具体计算组合数时，要注意灵活选择组合数的两个公式以及性质的运用．
排列、组合的综合问题：
(1)应遵循的原则：先分类后分步；先选后排；先组合后排列，有限制条件的优先；限制条件多的优先；避免重复和遗漏．(2)具体途径：在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题．而解决问题的关键是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题，还是组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：①按元素的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分析．(3)解排列、组合的综合问题时要注意以下几点：①分清分类计数原理与分步计数原理：主要看是，还是分步完成；②分清排列问题与组合问题：主要看是否与序；③分清是否有限制条件：被限制的元素称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置。解这类问题通常从以下三种途径考虑：a．以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；b．以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；c．先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．前两种叫直接解法，后一种叫间接解法，不论哪种，都应“特殊元素（位置）优先考虑”．④要特别注意既不要重复，也不要遗漏．
(4)排列、组合应用问题的解题策略：①特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排的策略；②合理分类和准确分步的策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反，等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直接处理的策略；⑨；⑩构造模型的策略，
发现相似题
与“用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重..”考查相似的试题有：
436946748432805546341882244117328518把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1）
43251是这个数列的第几项？（2）
这个数列的第96项是多少？（3）
求这个数列的各项和.
解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类第一类：以5打头的有： =24第二类：以45打头的有： =6第三类：以435打头的有： ="2" 故不大于43251的五位数有：（个）即43251是第88项. ⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.⑶因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）·A·10000 同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数，所以这个数列各项和为：（1+2+3+4+5）·A·（1+10+100+）=15×24×0
试题“把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位...”；主要考察你对
等知识点的理解。
2011 年3 月，日本福岛第一核电站发生核辐射泄漏，一旦发生核泄漏，放射碘可能被附近居民吸入，引发甲状腺疾病或甲状腺癌．请回答下列问题：（1）日本福岛核泄漏事故发生之后，中国全面安检核设施，暂停审批核电项目．关于和平利用核能的意义在于：①开发核能可节约化石能源；②核能是不会造成对环境污染的能源； ③可减少二氧化硫排放，防止形成酸雨； ④核能是可再生能源其中理解正确的是______（填序号）；（2）世界卫生组织提示要求谨慎服用碘片，以减少人体甲状腺吸收放射性碘．碘片的主要成分为碘化钾（化学式为 KI），则碘化钾中碘元素化合价为______；（3）福岛第一核电站机组反应堆芯发生放出氢气，当接触外界的氧气发生剧烈反应，导致连续爆炸．请写出氢气爆炸时的化学方程式为______；（4）在这次核危机中日本政府采取了一定措施，请写出一种你应当采取预防的方法是______．
某实验小组利用NaOH溶液、稀HCl、稀H2SO4、酚酞共四种试剂做酸碱中和实验．（1）甲同学用试管取2mLNaOH溶液，滴几滴酚酞，然后向试管中连续满入稀HCl，直到溶液变成无色．甲同学认为此时试管中溶液为中性，乙同学认为甲同学的说法不准确，你认为乙同学的理由是______；甲同学向试管中滴加盐酸时，缺少一项操作，应边滴加盐酸______（2）乙同学做实验时，先用试管取2mLNaOH溶液，然后向试管中滴加一种酸溶液．充分反应后，滴入酚酞，溶液显红色．则所得溶液中一定含有的溶质（酚酞除外）为______（填化学式）．（3）丙同学想知道乙同学使用的是哪一种酸，他取（2）中反应后的溶液进行探究，请你帮助他填写下列空白：
用试管取样，向溶液中加入①__________．
使用了稀H2SO4
用试管取样，向溶液中加入圈__________．
使用了稀HCl
当今世界各国和平开发利用核能造福人类是一个重要的主题，但是如果控制不当，反而会给人类带来灾难．2011年3月，日本大地震引发福岛第一核电站发生核泄漏，核反应堆内核裂变产生放射碘，可能被附近居民吸入，引发甲状腺疾病或甲状腺癌等；当年苏联切尔若贝利核电站发生核泄漏后，数以千计的青少年因遭核辐射患甲状腺癌．那么你认为核电站中能量转化的主要形式是什么？如果一旦发生核泄漏，可采取怎样有效的预防措施？（任答一条）
该知识易错题
该知识点相似题
高考英语全年学习规划讲师：李辉
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排列与组合导学案四、探究分析课题：排列与组合的应用 课型：新授 执笔： 审核: 使用时间：一、学习目标1、 排列组合的概念2、 排列与组合的计算方法 3、 排列与组合的联系与区别 二、重点难点1、 排列与组合的计算方法 2、 排列与组合的联系与区别 三、学习内容1、排列的概念： 组合的概念：2、排列的计算公式： 组合的计算公式：3、组合数的性质：4、排列与组合的区别：1、从12个男同学、15个女同学中，各选6名代表出席会议，有多少种选法？如按这12名代表选出的次序确定他们的座位，又有多少方法？ 方法总结：2、已知100件产品中混入了3只次品，现随机地取出5只，其中恰含1只次品的种数是多少？方法总结：3、让4个人去选取3种不同类型的奖品，且每种类型的奖品个数都不少于4种，共有多少种不同的选法？方法总结：课堂训练1、从0~9这十个数码中，取出互不相同的5个数码．(1)能组成多少个五位数？(2)其中有多少个奇数？(3)其中有多少个偶数？ 2、将9本不同的书按下列两种规定分给甲、乙、丙三人，各有多少种分法？ (1)甲得4本，乙得3本，丙得2本； (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本． 3、有3个男同学、4个女同学排队，下列情况各有多少种排法？(1)7人排一队； (2)排两排，前排3个，后排4个； (3)女同学在前排，男同学在后排； (4)甲排第1位；(5)甲不排第1位； (6)甲不排第1位也不排第7位； (7)甲与乙必须相邻； (8)甲与乙不能相邻；(9) 从排头算起，甲必须排在乙前面； (10)甲排在第1个，乙排在第7个； (11)甲排在第1个，乙不排在第7个； (12)甲不排在第1个，乙不排在第7个． 课后作业1、十字路口共有多少种不同的行车路线？2、7位电话号码的前3位是某地区的地区号，后4位是用户号，那么某地区最多能容纳多少电话用户(注意：电话号码允许重复数字)?3、从5个男同学、8个女同学中选1男2女组成3人委员会，有多少种方法？4、汽车牌照的前两位是省、大市标识，后五位是车辆牌号．后五位中，左边两位是非零数码或西文字母，后面三位是数码．那么一个大市最多可以发多少个牌照？教学后记
教学过程课堂导入在学习过程中我们发现，出现的问题不仅仅上节课所讲的分堆问题，问题： 我们该如和解决不相邻，相邻和相同元素的排列问题呢？本节课我们将针对这些问题给出相应的解题策略 一、复习预习分堆问题中的等分不等分，有序无序问题 二、知识讲解考点1捆绑法：用来解决相邻问题把题中规定相邻的几个元素并为一组（当作一个元素）参与排列但需注意“小团体”内部顺序问题 插空法（1）用来解决不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端。 （2）不改变原有顺序的前提下插入不同几个元素在原有的元素间和两端共n个空位中插入一个元素，之后空位将增多为n+1,在这n+1个空位中插入第二个元素，以此类推 （1）隔板法与插空法是不同的，隔板法只适用于相同元素分配中的至少有一个问题如10个相同的小球欲放入6个盒子中，每个盒子中至少放入一个小球，有多少种方法 （2）隔板法变形在隔板法的基础上，解决至少有几个问题如20个不同小球欲放入6个盒子中，要求每个盒子中至少有3个小球，用多少种方法此类问题分两步(i)看做每个盒子中已经放有2个小球，(ii)转化为8个小球放入6个盒子，每个盒子中至少有一个的问题 三、例题精析考点一 例1（1）A、B、C、D、E五人并排成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有（2）A、B、C、D、E五人并排成一排，如果A、B必须相邻，那么不同的排法有 【规范解答】（1）把A、B视为1人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人全排列，即A44=24 （2）在（1） 的基础上注意A、B两人“小团体内部顺序”即A424A2=48 【总结与反思】捆绑法中要注意分步乘法的应用，既要注意整体的排列，也要留意“小团体”内部顺序问题 考点二 例2（1）高中某班级联欢会上共有6个节目，且甲乙两节目不能相邻，有多少种不同的节目顺序（2）高中某班级联欢会上共有排定的6个节目，在不改变原有节目顺序的基础上要插入两个老师的表演，有多少种不同的排入方法 【规范解答】442（1）甲乙两节目不相邻，则其他4个节目的排序为A4,共有5个空位，在5个空位中排入甲乙，一共为A4A5 480种节目单顺序（2）由于不改变原顺序，则6个节目共7个空位，其中一个老师表演可选空位个数为7，此时，节目空位为8，另一个老师表演可选空位为8，共56中不同的排入方法 【总结与反思】插空问题分辨是否是在固有顺序中插入其他元素。 考点三例3（1）10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？（2）25个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【规范解答】（1）10个名额，每班至少一个，则共有9个空，分到7个班即分成7分，需插入6个隔板，共C69=84（2）可认为是平均每班收到2个名额后，11个名额分配到7个班级，每个班级至少取得1个名额，所以是 C610=210种分配方案【总结与反思】使用隔板法的前提是相同元素的至少有一个问题，隔板法的变形形式与隔板法相同，不属于分步计数原理 课程小结一、捆绑法：用来解决相邻问题把题中规定相邻的几个元素并为一组（当作一个元素）参与排列二、插空法（1）用来解决不相邻问题，（2）不改变原有顺序的前提下插入不同几个元素三、（1）隔板法与插空法是不同的，隔板法只适用于相同元素分配中的至少有一个问题（2）隔板法变形在隔板法的基础上，解决至少有几个问题
高考要求合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 解题思路归纳解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________30个）种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______350）分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；可以先排一些元素然后插入其余元素，7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是答案:3600)6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________240）b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________30）剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m－1块隔板），有Cn-1种方法m-1,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为2个、3个、4个元素的错位排列容易计算5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：①5个元素的全排列为：A55=120；②剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的)C53?1 种、恰好有2对球盒同号(3个错位的)C52?2 种、恰好有1对1球盒同号(4个错位的)C5?9 种321∴ 120-1-C5?1-C5?2-C5?9＝用此法可以逐步计算：6个、7个、8 容斥法：n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,题型讲解例1 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？ ⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； ⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； ⑸分成3堆，每堆2⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； ⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的 解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为C6C3C1；3213213⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为C6C3C1?P3；⑶是指定人应得数量的均匀问题：方法数为C62C42C22； ⑷是分堆的非均匀问题（与⑴等价）：方法数为C63C32C11；223⑸是分堆的均匀问题：方法数为C62C4C2÷P3；⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为C6C2C1?P32P24113；点评：以上问题归纳为P2411①见上表中的三类六种不同的分书问题的模型； ②要将问题转化为六种分书模型来解决例2 求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻； （3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻． 解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：A2A727（2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：A66A72另法：用捆绑与剔除相结合：A88-A22A77（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：A44A44A221（4）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解: A44A43A2例3 有13名医生,其中女医生65名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为P,则下列等式514(1)C13-C7C6;2332415(2)C7C6+C7C6+C7C6+C7;5145(3)C13-C7C6-C6;(4)C7C11;其中能成为P 的算式有_________分析: 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法,故为组合问题用直接法解:选派5名医生分为2男3女,3男2女,4男1女,5男这四类,故(2)23正确;用间接法解: 不考虑限制条件,选派方法有C13种,需剔除的有1男4女,5女两类,故(3)5因此结论为: (2)(3)点评：本例要特别防止误选(4)例4 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品,一一进行测试,到区,则这样的测试方法有 种解:在各次测试结果中交换其中两者的顺序,成为两种不同的测试方法,因6件不同正品取出1件与4件次品排成一列且最后一件是次品：C6A4A4 =5761142个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为______ 解:实质是7个节目的排列,因原定的5个节目顺序不改变,故排这5个节目是一个组合,有C75种方法,在排新插入的两个节目有A22种方法,故C75A22=42点评：分清是排列还是组合问题排列与组合的根本区别是元素之间有否顺序后是两种不同的情形,则是排列问题;若元素之间交换次序后是相同的情形,则是组合问题;另外若元素之间已经规定了顺序,则仍是组合问题例6 从10 种不同的作物中选出6 种放入6个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法共有( )AC10A8 BC9A9 C C8A9 D C8A824151515解: 先排第1号瓶,从甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C81种方法,再排其余各瓶,有A9种方法,故不同的放法共有C8A9C515点评：这样解分步合理、过程简捷10种不同的作物种子中选出6种,然后排列6种种子中是否含甲、乙不确定,导致后继排列也不确定,这时就要分类了6种种子中只含甲或只含乙515的不同放法都为C8A5A5种,选出的6种种子中,同时含甲与乙的不同放法有C8A5A4种;选出的6种种子中,都不含甲与乙的不同放法有A8种4246放法共有2C8A5A5+C8A5A4+A8=C8A9例7 将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种解: 根据同种作物最多能种植的块数分类讨论:(1) 当其中有一种作物种三块时,选取这种作物有C3种,它们只能种在12两端及中间位置,有不同的种植方法C3A2=6种,1(2)当其中两种作物各种两块时,选取这两种作物有C3种,然后选定其中一种作物,其不同种植方式有以下六类:2第(1)(2)(5)(6)类的种法都是2种; 第(3)类有1种种法;第(4)类有3种种法,于是这种情况有C32(4?2+1+3)=36种种法,故不同的种植方法共42例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有__种4解: 本题直接计数很困难,用间接法,从10个点中取4个有C10种方法,剔除四点共面的情况有:4(1)四个面上的种数为4C6=60;(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为6; (3)任一组对棱以外的四棱中点的四点共面种数有3种,4故不同的取法共有C10-60-6-3=141种点评：确定用分类法、分步法、还是间接法计数为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数例9 从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有___解:按要求从4种蔬菜品种中选出3种有C32种方法,种在不同土质的三323块土地上有A3种方法,不同的种植方法共有C3A3=18种例10 有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的放法总数为 ___2解:选取两个不放球的盒子,有C4=6种选法；把4个球分成两堆,可分为两堆各为1,3个或两堆都有2个球这两类,有CC+3411C4C2A2222=7种;再把两堆分别放入两个盒子里有A22=2种,所求放法总数为6?7?2=84种点评：如何实施先组合,后排列对常见的排列组合综合问题,应先组合,后排列,可分为以下两类例11 把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有______种解:先给编号为2、3的三个箱子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串，截为三段有C52=10种截断法，对应放到编号为1、2、3因此，不同的放球方法有1×10＝10种例12 某校准备参加2005年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种解 问题等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题7将10个小球串成一串，截为7段有C9=36种截断法，对应放到8个盒子里因此，不同的分配方案共有36 点评： 剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m－1块隔板），有Cn-1种方法m-1例13 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____2解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有C6=15种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有15?9=135种点评：错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为例14 将A、B、C、D、E、F六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件A不排在始端,元件B不排在末端,那么这六个电子元解：不考虑限制条件共有A66种排法,元件A排在始端和B排在末端各有A55种排法,把它们都剔除,则A排在始端同时B排在末端的总数多减了一次,需补上A44种A66-2A55+A44=504种点评：容斥法：n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法小结：①六种分书模型； ②解决排列、组合问题的一些常用方法：容斥法、错位法、剪截法（隔板法）学生练习13封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（ ） A34 B43 CA43 DC4323分；平一场，得1分；负一场，得0分；一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）A种 B种 C5种 种343Am=6Cm，则m=（ ）A B C D44种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ） A24种 B18种 12种 D6种56台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取法有 种（结果用数值表示）610垄的田地中，选择2垄分别种值A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种7n(n∈N*)件不同的产品排成一排，若其中A、B两件产品排在一起的不同排法有48种，则n=83种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验 96名同学排成前后两排，每排3人，则不同排法的种类（ ） A36 B C D144010个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ）A B C D11名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）ACCC种 3CCC种 CCCA种 4124844412484441248333444种126名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（）种 A280 B240 C D96131,2,3,4,5这五个数字组成比20000大，且百位数不是3的，无重复数字的个数是（ ）A B72 C 14m种，选出正、副组长各一名的不同选法有n种，若m:n=13:2，则该班的学生人数是（ ）A B C20 15如图所示，为某市的四个小镇，现欲修建三条公路，将这四个镇连接起来，则不同的修路方案种数为（ ）A B12 C16 D 161,2,3,4,5,6,7,8,9中每次取出两个不重复的数字分别作为对数式中的底和真数，共可得到不同的对数值（ ）A53个 B个 C个 D个17名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行了单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3,4名，大师赛共有 场比赛（用数字作答）18平面上有4条平行线与另外5条平行直线相互垂直，则可围成 个矩形（用数字作答）191,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与2010盏灯，为节约用电，在一定时间可关掉其中的3盏灯，但关掉的灯不能相邻，而且不在楼道两端，则不同的关灯方法共有 种215个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（用数字作答）2210个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子②①③④⑤（每次要把10个球装完），要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的装法种数是 （用数字作答）235种消炎药a1、a2、a3、a4、a5， 4种退烧药b1、b2、b3、b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1、a2两种药必须同时使用，且a3、b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案有 种24n，定义“n的双阶乘n！！”如下：当n是偶数时，n!!=n?(n-2)?(n-4) 6?4?2 当n是奇数时，n!!=n?(n-2)?(n-4) 5?3?1 现有如下四个命题：①(2004!!)?(2003!!)=2004!;②2004!!=21002?1002!;③2004!!的个位数是0 ; ④2003!!的个位数是5 其中正确的命题有 参考答案：1B 2A 3 4 5 7 842 C 10B 11A12 13 14 15 17 20 20 21 23 ①②③④课前后备注16名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 1002x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，3从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（ C ） A．56B．52 C．48 D．4044名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(B ) AA62C42 A6C4 A6A4 A6222225名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ C ）A．12 种 B． 24 种 C 36 种D． 48 种614名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A )ACCC BCAA 3124412443C14C12C8A379个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分法的种数为（ A ）A．70 B．140 C．280 D．840 8 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，有多少种方法？(C8)4教育资料免费下载
　　排列组合应用题是高中数学的教学难点，由于它联系实际、生动有趣，一直受到各省高考命题组的青睐。排列组合的应用题变化多样，这就要求学生解题思路必须灵活，而能帮助学生解题的理论，除了两个基本原理（分类计数原理和分步计数原理）外，并无现成的统一方法可套用。本文就该问题进行归纳与分析，以期能对学习者有所启示。　　一、画格子法　　这是排列组合问题中一种最基本、最常用的方法，绝大多数问题都可用这种方法解决。这种画格子的方法实际上就是分步计数原理。　　例1.由数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的5位数？　　分析：由于是5位数，故可画5个连续的格子来代替这个数字。解题时一般要求从最高的位置开始考虑，如本题所要求的是个5位数，因此该数的万位必须非零，这就意味着最左边的格子（万位）内所填数字可以有4种选择（如：1，2，3，4），故可在最左边的格子内填上4。对于第二个格子，由于第一个格子已经用了一个数字，而题目要求数字无重复，故该格子（千位）内所填数字可以有4种选择，可在该格子内填上4。同理，第三个格子填3，第四个格子填2，第五个格子填1。按分步计数原理可知，本题所求数字的个数为：n=4×4×3×2×1=96。　　二、相邻问题捆绑法　　某些排列组合问题中，要求某些元素必须相邻，对于这类问题，解题的常用方法是：将相邻元素“捆绑”起来看作一个大元素，然后再与其他元素“重新”排列或组合，从而达到求解目的。　　例2.有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中有2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻的排法有多少种？　　分析：由于这2部手机必须相邻，所以将这两个元素“捆绑”在一起看作一个大元素，则本题就看作是4台手机的排列问题了。“捆绑”的时候有A22种方法，4台手机有A36种方法，故此题的排法有A22·A44=48种。　　三、相离问题插空法　　某些排列组合问题中，要求某些元素互不相邻，对于这类问题，解题的常用方法是：先排好没有限制条件的元素，然后将这些要求不相邻的几个元素插入上述元素的空当和两端。　　例3.联欢会上要演出3个歌唱节目和5个舞蹈节目，如果歌唱节目不能连排，那么有几种排节目的方法？　　四、分组问题分步法　　例4.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？　　五、交叉问题集合法　　某些排列组合问题中，符合各个条件的部分有交集，对于这类问题，解题的常用方法是：借用求集合元素个数的公式：card（A∪B）=cardA+cardB-card（A∩B），然后依题意把这个card（A∪B）减去即可。　　例5.学校从10名学生礼仪队员中选6人列队参加校门口的值日，其中甲要求不站第一，乙要求不站最后，请问共有多少种不同的站法？　　分析：从10名学生礼仪队员中选6人列队，在没有任何约束条件下的站法有A610种。不妨设A=｛甲站第一｝，B=｛乙站最后｝，则A∪B=｛甲站第一或乙站最后｝，card（A∪B）=A59+A59-A48种。故符合题意的站法有A610-（A59+A59-A48）=122640种。　　六、定序问题缩倍法　　某些排列组合问题中，要求某些元素必须有一定的顺序，对于这类问题，解题的常用方法是缩倍法。即先求出所有元素的全排列，然后除以各受约束元素的全排列。　　例6.现有3个红球、2个黄球、3个白球，各个球除了颜色之外无任何差别，将这8个球排成一排，共有多少种排法？　　七、定位问题优选法　　某些排列组合问题中，要求某些元素需要排在特定位置，对于这类问题，解题的常用方法是优选法。即优先排下这个（这些）特殊元素，然后再排其他元素。　　例7.2名指导老师与6名竞赛获奖学生照相留念，若指导老师不站在两端，则共有多少种不同的排法？　　分析：2名老师与6名学生共8人照相，由于老师受位置的条件约束，故在除两端外的6个位置中优先排老师有A26种排法，然后剩下的6个位置中排学生有A66种排法，因此本题共有A26·A66=21600种排法。　　本文就排列组合应用题进行归纳与分析，从7个方面为学习者展示了解题技巧，但应注意的是，这些解题技巧并非彼此独立的，要解决某一问题，有可能要同时运用到上述多种技巧来处理。因此，要熟练掌握该问题，还是应该以练为主，练习得来的经验永远是比背题型、背方法来得牢固。　　（作者单位 广东省佛山市财经学校）
解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？ 先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，n?k?1k共有An?k?1种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有Ak种方法．由乘法n?k?1·Akk种． 原理得符合条件的排列，共An?k?1例1.a,b,c,d,e五人并排站成一排，如果a,b必须相邻且b在a的右边，那么不同的排法种数有（ ）A、60种 B、48种 C、36种 D、24种4解析：把a,b视为一人，且b固定在a的右边，则本题相当于4人的全排列，A4?24种，答案：D.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元234素，两个元素排列成一排共有A2种排法；女生内部的排法有A3种，男生内部的排法有A4234·A3·A4?288种． 种．故合题意的排法有A22.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n?k)，有多少种排法？k先把(n?k)个元素排成一排，然后把k个元素插入(n?k?1)个空隙中，共有排法An ?k?1种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？55解：先把科学家作排列，共有A5种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有A6种排法，55故符合条件的站法共有A5·A6?86400种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种52解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排52法种数是A5A6?3600种，选B.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？nn个不同元素排列成一排，共有An种排法；k个不同元素排列成一排共有Akk种不同排法．于Ann是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的A分之一．故符合条件的排列共k种．Akkk例5.a,b,c,d,e五人并排站成一排，如果b必须站在a的右边（a,b可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种解析：b在a的右边与b在a的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即15A5?60种，选B. 2例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？52解：5个不同元素排列一列，共有A5种排法． A，B两个元素的排列数为A2；D，E2两个元素的排列数为A2．5A5因此，符合条件的排列法为22?30种．A2·A24、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6种 B、9种 C、11种 D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有 种坐法。解：由题意，先借7人一排坐好，再安排3在8个空中找3个空插入，最后撤出借来的7人。737得不同的坐法共有A7种。 A8/A76、有序分配问题----逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例9.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第211三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C7?2520种，选C.（2）学生会的12名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查，若每个年级4人，则不同的分配方案有（ ） A、CCC4124844种44C12C84C4B、3CCC种 C、CCA种 D、种 3A333答案：先从12人中选出4人到第一个年级，再从剩下的8人中选4人到第二个年级，第三步从剩下的4人中选4人到第三个年级，不同的选法共有C12C8C4种，选A. 7、平均分堆问题---除序法:444例10. 12本不同的书，平均分为3堆，不同的分法种数为多少种。解：先从12本书中选出4本到第一堆，再从剩下的8本中选出4本到第二堆，第三步从44C12C84C4剩下的4本中选4本到第三堆，但题中是不要堆序，所以不同的分法共有种。 3A38、全员分配问题---分组法:例11.（1）4名优秀学生全部保送到3所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案有多少种？23解析：把四名学生分成3组有C4种方法，再把三组学生分配到三所大学有A3种，故共23有C4A3?36种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：B.9、名额分配问题---隔板法:例12：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方6案，故共有不同的分配方案为C9?84种.10、限制条件的分配问题---分类法:例13.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案A8种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A8方法，所以共有3A8；③若乙参加而甲不参加同理也有3A8种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A8种，共有7A8方法.所以共有不同的派遣方法总数为A8?3A8?3A8?7A8?4088种.223433433211、多元问题----分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例14（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种5解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个,选B.（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A??7,14,21,?98?共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做A??1,2,3,4,?,100?共有86个元素；由此可知，从A中211任取2个元素的取法有C14，从A中任取一个，又从A中任取一个共有C14，两种情形C86211共符合要求的取法有C14?C14C86?1295种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将I??1,2,?3,10成四个不相交的子集，能被4整除的数集?0分A??4,8,12,?100?；能被4除余1的数集B??1,5,9,?97?，能被4除余2的数集C??2,6,?,98?，能被4除余3的数集D??3,7,11,?99?，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C25?C25C25?C25种.12、交叉问题----集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式2112n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B).例15.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：4332n(I)?n(A)?n(B)?n(A?B)?A6?A5?A5?A4?252种.13、定位问题----优先法：有限制条件，某个或几个元素要排在指定位置，通常要优先考虑这个或几个元素受限位置或受限元素，再排其它的元素。若反面情况较为简单时，则用排除法求解．例16. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，现要派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）．3解：由题意，先安排3名主力队员在第一、三、五位置，有A3种；再安排其余7名队232·A7?252种． 员选2名在第二、四位置有A7种；由乘法原理，得不同的出场安排共有A3例17.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？14解析：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；14所以共有A3A4?72种。.14、多排问题----单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例18.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共6A6?720种，选C.（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有125A4A4A5?5760种排法.15215、“至少”“至多”问题----间接排除法或分类法:例19.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）A、140种 B、80种 C、70种 D、35种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视333机，故不同的取法共有C9?C4?C5?70种,选.C解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型22112台乙型1台；故不同的取法有C5C4?C5C4?70台,选C.16、选排问题----先取后排法：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例20.（1）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？2解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：在四个盒中323每次排3个有A4种，故共有C4A4?144种.（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？222解析：先取男女运动员各2名，有C5中排法，C4种，这四名运动员混和双打练习有A2222故共有C5C4A2?120种.17、部分合条件问题----排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求. 例21.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A、70种 B、64种 C、58种 D、52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C8四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C8?12?58个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150种 B、147种 C、144种 D、141种444解析：10个点中任取4个点共有C10种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四44个面上，每面内四点共面的情况为C6，四个面共有4C6个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44C10?4C6?3?6?141种.18、圆排问题----直排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：a1,a2,a3?,a2,a3,a4,?,an,?;an,a1,?,an?1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有的n?1元素全排列.例22.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？4解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A4种，然后在让插入其间，每位均可5n!种.因此可将某个元素固定展成单排，其它n插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式24?2?768种不同站法.说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有19、可重复的排列---求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有m种方法. 例23.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有7种不同方案.20、元素个数较少的排列组合问题----枚举法：例24.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种61mAn种不同排法. mn不同的方法？2解析：从5个球中取出2个与盒子对号有C5种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号2球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2C5?20种.21、复杂的问题----对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理. 例25.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个4不同的四边形，显然有C10个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交4点有C10个.（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有C7种.4BA22、区域涂色问题——分步与分类综合法解答区域涂色问题，一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类．以上三种方法常会结合起来使用。 例27.用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？31法1：A5?A4?240 43法2：A5?2A5?240 例28、一个地区分5个区域,现用4种颜色给地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,则不同的着色方法有多少种?法1.分步：涂①有4种方法，涂②有3种方法，涂③有2种方法，涂④有2种方法，涂⑤时需看②与④是否相同，因此分两类。4?3?2?2?4?3?2?1?72法2.按用了几种颜色分两类：涂了4色和3色432A4?A4?72 例29、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻两个区域不能同色，不同的栽种方法有_____种． (用数字作答）1解法1：①首先栽种第1部分，有C4种栽种方法；②然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示），对扇形2有3种栽种方法，扇形3有2种栽种方法， 扇形4也有2种栽种方法，扇形5也有2种栽种方法， 扇形6也有2种栽种方法．于是，共有3?2种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从3?2中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）。112综合①和②，共有C4?[3?24?(C3?2?2?A3?1?1)]?4?(48?18)?4?30?120种。44解法2：依题意只能选用4种颜色，要分5类（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有A4； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有A4；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有A4； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有A4；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有A4； 所以根据加法原理得涂色方法总数为5 A4 =120（种）23、复杂问题——444444树图法(选组穷举法) 当以上各法还难以解决时，可用画树图的方法解决。虽然原始、笨拙，但清楚、可靠。此法称选组穷举法，即将所有满足条件的排列一一列举,探索出其规律.例30.同例29解：以a, b, c, d 分别代替4种颜色的花。通过树图可知，完成此事共分6步，第一步有4方法；二步有3方法，第三步有2同方案，第四步也有2不同方法第五步有2种不同方案，然而第六步有？种不同方案？，不易看清!画出树图，由图知将四、五、六两步并为一步，有5种方法。于是共有4?3?2?5?12024、复杂排列组合问题---构造模型法：例31.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？3解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方法,所以满足条件的关灯方案有10种. 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.25、复杂的排列组合问题----分解与合成法：例32.（1）30030能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为?C5?C5?C5?C5?C5?32个.（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？ 解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不4同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有C8?12?58个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.26、 逆向问题----方程法 例33. 平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得43条不同的直线。 （1）这11个点中有无三点或三个以上的点共线？若有共线，情形怎样？ （2）这11个点构成多少个三角形？ 解：（1）设若有x条三点共线，y条四点共线，z条五点共线，……，于是有： C112－x(C32－1)－y(C42－1)－z(C52－1)－…＝43 即 23-2x-5y-9z-…=0 这方程的解只可能是：x=6,y=z=…=0或x=1,y=2,z=…=0.由此可知，这11个点中有6条三点共线或一条三点共和二条四点共线的情形。（2）由上可知这11个点构成三角形个数的情形有C113－6C33＝159或C113－C3－ 2C42＝156排列（基础）例题讲习例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？7 解：问题可以看作：7个元素的全排列——A7＝5040⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？6 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A6=720⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A2种；第二步 余下的55 5名同学进行全排列有A5种 则共有A2A5=240种排列方法 22⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头2和排尾有A5种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）525有A5种方法 所以一共有A5＝2400种排列方法． A566 解法二：（排除法）若甲站在排头有A6种方法；若乙站在排尾有A6种方法；若甲站5在排头且乙站在排尾则有A5种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾765的排法共有A7－2A6＋A5=2400种．小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．例2 ： 7位同学站成一排．⑴ 、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）6一起进行全排列有A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A2种方2法．6 所以这样的排法一共有A6A2＝1440种． 2⑵ 、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？53 解：方法同上，一共有A5＝720种． A3⑶ 、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素， 因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和2排尾，有A5种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、乙2两个同学“松绑”进行排列有A2种方法．所以这样的排法一共有A5A4A2＝9604242种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，5若丙站在排头或排尾有2A5种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有652(A6?2A5)?A2?960种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A4种方法，5 再将其余的5个元素进行全排列共有A5种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所15以这样的排法一共有A4A5A2＝960种方法． 12小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例3： 7位同学站成一排．⑴ 、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？762 解法一：（排除法）A7?A6?A2?36005 解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A5种方法，此时他们留下六个位置（就称2为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有A6种方法，所以一共有52A5A6?3600种方法．⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有A4种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三33个同学分别插入这五个“空”有A5种方法，所以一共有A4A5＝1440种． 44小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．例4：从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？15 解法一：（从特殊位置考虑）A9 A9?1360805656 解法二：（从特殊元素考虑）若选：5?A9 若不选：A9 则共有 5?A9＋A9＝13608065 解法三：（间接法）A10?A9?136080例5：⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？55 略解：甲、乙排在前排A4；丙排在后排A4；其余进行全排列A5．所以一共有A4A4A52121＝5760种方法．⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b捆在一起与e进行排列有A2；2此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有A3；最后将a, b“松绑”有A2．所以一2共有A2A3A2＝24种方法． 2222⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？3333 略解：（分类）若第一个为老师则有A3；若第一个为学生则有A3所以一共有A3A3332A3＝72种方法． A3例6：⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？12345 略解：A5?A5?A5?A5?A5?325⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？13 解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有A3A3种方法；另一类13是首位不为1，有A4A4种方法．所以一共有A3A3?A4A4?114个数比13 000大．35 解法二：（排除法）比13 000小的正整数有A3个，所以比13 000大的正整数有A5?3＝114个． A31414例7： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．⑴ 第114个数是多少？ ⑵ 3 796是第几个数？3 解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有A5所以第114个数的千位数应该是“3”，?60个，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有A4?12个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所以“3 968” 是第114个数．⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数．例8： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中⑴ 能被25整除的数有多少个？⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？解： ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有A4个，1111末尾为25的有A3A3个，所以一共有A4＋A3A3＝21个． 222注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．13 ⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有A5A5?300个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大．．．．的有113A5A5?150个． 2 参考练习1.有6张椅子排成一排,现有3人就座,恰有两张空椅子相邻的不同坐法数是┄┄( )A.36 B.48 C.72 D.962.由1、2、3、4组成的无重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a18= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）A.3412 B.3421 C.4312 D.43213.5人排成一排,其中甲、乙之间至少有一人的排法种数为______4.用0、1、2、3、4、5、6组成满足下列条件的数各多少个？① 无重复数字的四位数；② 无重复数字的四位数偶数；③ 无重复数字的四位数且能被5整除；④ 个位数字大于十位数字的四位数.5.三个男生和四个女生安下列条件排成一排有多少种排法？⑤ 男生排在一起，女生排在一起有；⑥ 男女生间隔相排；⑦ 男生互不相邻；⑧ 甲乙两人必须相邻.6.①8人站成一排，不同的站法有种.②6人站成一排，甲不站头，乙不站尾，不同的站法有 种.③5件不同礼品分送给4人，每人至少一件，而且礼品全部送出，那么送出礼品的方法数是 .④4个小组，分别从3个风景点中选一处进行观光旅游，不同的选择方案的种数是 .7.书架上竖排着六本数，现将新购的3本书上架，要求不调乱书架上原有的书，那么不同的上架方式共有多少种？8.用0到9这个个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （）9.圆周上有8个点，将圆周等分，那么以其中的3个点为顶点的直角三角形共有个.（A）12 （B）16 （C）24 （D）489.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_____种； 若要求5种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）10．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案；若要求四种不同的植物全部栽种，则有________种栽种方案．【答案】9．； 10．732，480。11.用1、2、3、4、5这5个数字组成没有重复数字的3位数，其中偶数共有,,,,（ ）A.24 B.30 C.40 D.6012.有9个男生，5个女生排成一排，要求女生排在一起(中间不能有男生)，不同的排有（ ）种,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（ ）51059 A.P55P99 B.10P55 C.P5P10 D.2P5P913.用1，2，3，4，5，6，7这7个数字作全排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，这样的七位数共有,,,,,,,,,,,,,,,,（ ）3 A.P4 B.P44P33 C.4P4 3 D.3P4414.用0，2，4，6，9五个数字组成无重复数字的五位偶数，共有（ ）个3 A.2P5?P4 B.P5?2P4?P3 C. P5?2P3P3?P3 D.P4?P3P3P315.用数字0，1，2，3，4能组成没有重复数字且比20000大的五位数奇数共有 ( )个A.36 B.30 C.72 D.1816.有3位老师和5位学生照相，如果老师不排在最左边且老师不相邻，则不同的排法种数是（ ）A.P33P85 B.P55P43 C.P55P53 D.P55P6317.一台晚会的6个节目中有两个小品，如果两个小品不连续演出，共有不同的演出顺序 多少种 18.用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？五位奇数？五位偶数？ 19.某班一天六节课：语文、英语、数学、物理、体育、自习.按下列要求，分别有多少种排课方法①第一节不排体育、自习；②数学不排下午，体育不排在第一、四节.