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概率论与数理统计习题解答(第二版)李书刚编,科学出版社
概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 1 页 (共 79 页)第一章 1. 写出下列随机试验的样本空间：随机事件及其概率（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出 为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2&1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v&0}2. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A、B、C 都发生； （4）A、B、C 都不发生； （5）A、B、C 不都发生； （6）A、B、C 至少有一个发生； （7）A、B、C 不多于一个发生； （8）A、B、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下(2A )BC (6A ) (3A )BC (4A )B C(1A )B C (5A )BC (7A )B (8A )BB AC CACBC BC3．在某小学的学生中任选一名，若事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生是三年 级学生，事件 C 表示该学生是运动员，则 （1）事件 AB 表示什么？ （2）在什么条件下 ABC=C 成立？ （3）在什么条件下关系式 C ? B 是正确的？ （4）在什么条件下 A ? B 成立？ 解 所求的事件表示如下 （1）事件 AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员.概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 2 页 (共 79 页)（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C 成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式 C ? B 是正确的. （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时， A ? B 成立. 4．设 P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求 P( AB) 解 由于 A?B = A C AB, P(A)=0.7 所以 P(A?B) = P(A?AB) = P(A)??P(AB) = 0.3, 所以 P(AB)=0.4, 故P( AB)= 1?0.4 = 0.6.1 45. 对事件 A、B 和 C，已知 P(A) = P(B)＝P(C)＝ B、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于 ABC ? AB,P( AB) ? 0,，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=1 8求 A、故 P(ABC) = 0则 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) CP(AB) CP(BC) CP(AC)+P(ABC)1 1 1 1 5 ? ? ? ?0?0? ?0 ? 4 4 4 8 86. 设盒中有 α 只红球和 b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A＝{两球颜色相同}， B＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为 Aa2?b ，有利于 A 的事件数为 Aa2 ? Ab2 ，有利于 B 的事件数为 1 1 1 1 1 1 Aa Ab ? Ab Aa ? 2 Aa Ab, 则P( A) ?2 Aa ? Ab 2 2 Aa ?bP( B) ?1 2 Aa A b 2 Aa ?b17. 若 10 件产品中有件正品，3 件次品, （1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设 A={取得三件次品}P( A) ?3 3 3 10则 .3 C A3 1 6 ? 或者 P( A) ? 3 ? C 120 A10 720（2）设 B={取到三个次品}, 则P( A) ? 33 27 ? 3 10 1000.8. 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语，35 人会讲日语，32 人会讲日语和英语，9 人 会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率. 解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, 根据题意, 可得 (1) P( ABC ) ? P( AB) ? P( ABC ) ? 32 ? 9 ? 23100 100 100C={此人会讲法语}(2)P( ABC) ? P( AB) ? P( ABC)? P( A ? B) ? 0 ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( AB) 43 35 32 54 ? 1? ? ? ? 100 100 100 1009. 罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求：概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 3 页 (共 79 页)（1） 取到的都是白子的概率； （2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解 (1) 设 A={取到的都是白子}P( A) ? C 14 ? ? 0.255 . C 553 8 3 12则(2) 设 B={取到两颗白子, 一颗黑子}1 C82C4 P( B) ? 3 ? 0.509 . C12(3) 设 C={取三颗子中至少的一颗黑子} P(C ) ? 1 ? P( A) ? 0.745 . (4) 设 D={取到三颗子颜色相同}P ( D) ?3 3 C8 ? C4 ? 0.273 . 3 C1210. （1）500 人中，至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)？ （2）6 个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解 (1) 设 A = {至少有一个人生日在 7 月 1 日}, 则P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 364500 ? 0.746 365500(2)设所求的概率为 P(B)4 1 C6 ? C12 ?112 P( B) ? ? 0.11. 将 C，C，E，E，I，N，S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE 的概率 p. 解 由于两个 C，两个 E 共有 A22 A22 种排法，而基本事件总数为 A77 ，因此有p?2 2 A2 A2 ? 0. A712. 从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率. 解 要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有 C 54 A={4 只手套都不配对}，则有C 54 ? 24 80 P(A ) ? 4 ? 210 C 10? 24 中取法.设13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概率为pi ?1 1?i，i=1，2，3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为多少？1 1? i解设 Ai = {第 i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则 P( Ai ) ? pi ? 所以P( Ai ) ? 1 ? pi ? i 1? iP( x ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )由于零件制造相互独立，有：P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ， P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 4 页 (共 79 页)1 1 1 1 2 1 1 1 3 11 所以, P( x ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2414. 假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试求两次独 立射击至少有一次命中目标的概率 p. 解 设 A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi ={第 i 次击中目标}, i=1,2. 则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式P ( B ) ? P ( AB ) ? P ( AB ) ? P ( AB ) ? P ( A) P ( B | A) ? P ( A) P (( B1 ? B2 ) | A)另外, 由于两次射击是独立的,故P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式 P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.58815. 设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1，2，3，4 件 次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取 10 件，检查出一件次品， 求该批产品中次品不超过两件的概率. 解 设 Ai ={一批产品中有 i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取 10 件检查出一件次品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意P ( B | A0 ) ? 0 P ( B | A1 ) ? P ( B | A2 ) ? P ( B | A3 ) ? P ( B | A1 ) ?1 9 C1 C49 1 ? 10 C50 5 1 9 C2 C48 16 ? 10 C50 49 1 9 C3 C47 39 ? 10 C50 98 1 9 C4 C46 988 ? 10 C50 2303由于 A0, A1, A2, A3, A4 构成了一个完备的事件组, 由全概率公式P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? 0.196i ?0 4由 Bayes 公式P ( A0 ) P ( B | A0 ) ?0 P( B) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P( A ? 0.255 1 | B) ? P( B) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P ( A2 | B ) ? ? 0.333 P( B) P ( A0 | B ) ?故P(C ) ? ? P( Ai | B) ? 0.588i ?0 216. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%，10%和 90%的概率分别为 0.8，概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 5 页 (共 79 页)0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是 多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）. 解 设 B={三件都是好的}， A1={损坏 2%}, A2={损坏 10%}, A1={损坏 90%}， 则 A1, A2, A3是两两互斥, 且 A1+ A2 +A3=Ω , P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983,3P(B| A2) = 0.903,P(B| A3) = 0.13,由全概率公式P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai )i ?1? 0.8 ? 0.983 ? 0.15 ? 0.903 ? 0.05 ? 0.103 ? 0.8624由 Bayes 公式,P ( A1 | B ) ? P ( A2 | B ) ? P ( A3 | B ) ?这批货物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为P ( Ai ) P ( B | Ai ) 0.8 ? 0.983 ? ? 0.8731 P( B) 0.8624P ( Ai ) P ( B | Ai ) 0.15 ? 0.903 ? ? 0.1268 P( B) 0.8624 P ( Ai ) P ( B | Ai ) 0.05 ? 0.103 ? ? 0.0001 P( B) 0.8624由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且 含 0，1 和 2 件残次品的箱各占 80%，15%和 5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中 4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率α ； （2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β . 解 设 Hi={箱中实际有的次品数}, 则 P(H0)=0.8,P ( A | H 0 ) ? 1, P ( A | H1 ) ? P( A | H 2 ) ?4 C23 5 ? , 4 C24 6 4 C22 95 ? 4 C24 138i ? 0,1, 2, A={通过验收}P(H1)=0.15,P(H2)=0.05, 那么有：(1)由全概率公式? ? P( A) ? ? P( H i ) P( A | H i ) ? 0.96i ?0 2(2)由 Bayes 公式 得? ? P( H i | A) ?P( H 0 ) P( A | H 0 ) 0.8 ?1 ? ? 0.83 P( A) 0.9618. 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的 概率为 0.1，问在同一时刻 （1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？ 解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是 5 重伯努利试验.由题意，有 p=0.1, q=1?p=0.9, 故概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 6 页 (共 79 页)(1) (2)2 2 3 P 1 ? P 5 (2) ? C5 (0.1) (0.9) ? 0.0729P 2 ? P 5 (3) ? P 5 (4) ? P 5 (5)3 4 5 ? C5 (0.1)3 (0.9)2 ? C5 (0.1)4 (0.9)1 ? C5 (0.1)5 (0.9)0 ? 0.00856概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 7 页 (共 79 页)第二章 随机变量及其分布 1. 有 10 件产品，其中正品 8 件，次品两件，现从中任取两 件，求取得次品数 X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示： X 0 1 2p 28/45 16/45 1/45 2. 进行某种试验， 设试验成功的概率为 3 ， 失败的概率为 1 ，4 4以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分 布律，并计算 X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为：?1? P( X ? k ) ? ? ? ? 4?k ?1? 3? ? ? , k ? 1, 2,3, ? 4?X 取偶数的概率：?1? ?3? P{ X 为偶数} ? ? P( X ? 2k ) ? ? ? ? ? ? ?4? k=1 k=1 ? 4 ? k 1 ? 1 ?1? ? 3? ? ? ? 3 ? 16 ? 5 1? 1 k=1 ? 16 ? 16? ? 2 k ?13. 从 5 个数 1，2，3，4，5 中任取三个为数 x1, x2 , x3 .求： X＝max ( x1, x2 , x3 )的分布律及 P(X≤4)； Y＝min ( x1, x2 , x3 )的分布律及 P(Y&3). 解 基本事件总数为： C53 ? 10 ， X 3 4 5概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 8 页 (共 79 页)(1)X 的 分p 0.1 0.3 0.6 布律为：P(X≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布律为 Y 1 2 3p 0.6 0.3 0.1 P(X&3) =0?k = C ，k＝1，2，?，λ k!4. C 应取何值，函数 f(k) 分布律？ 解 由题意, ? f ( x) ? 1 , 即k ?1 ?&0 成为?Ck ?1??kk!? C?k ?1??k? ? ?k ?0 ? ? ? C ?? ? ? ? C (e ? 1) ? 1 k! ? k ?0 k ! 0! ?解得： C ?1 (e ? 1)?5. 已知 X 的分布律 X P －11 6 2 613 62概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 9 页 (共 79 页)1 ? （3 ） ? 3? 求： （1）X 的分布函数； （2 ） P ? P ?1 ? X ? ? . ?X ? ?； ? 2? ? 2?解(1) X 的分布函数为 F ( x) ? P( X ? x) ? ? pkxk ? x? 0, ? 1/ 6, ? F ( x) ? ? ?1/ 2, ? ?1,x ? ?1 ?1 ? x ? 1 ; 1? x ? 2 x?2(2) (3)1? 1 ? P ? X ? ? ? P( X ? ?1) ? 2? 6 ? 3? ? P ?1 ? X ? ? ? P(?) ? 0 2? ?6. 设某运动员投篮投中的概率为 P＝0.6，求一次投篮时投 中次数 X 的分布函数，并作出其图形 . F(x) 解 X 的分布函数? 0 ? F ( x) ? ?0.6 ? 1 ? x?0 0 ? x ?1 x ?11 0.6 0 1 x7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为 p，求： （1）三次射击中恰好命中两次的概率； （2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的 概率是多少？ 解 则 (1) P(A) = P3 (2) ? C32 p2 (1? p)3?2 ? 3 p2 (1? p) (2) P(B) = P3 (2) ? P3 (3) ? C32 p2 (1? p)3?2 ? C33 p3 (1? p)3?3 ? 3 p2 ? 2 p3 8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分 布，求： （1）每分钟恰有 6 次呼唤的概率； 设 A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 10 页 (共 79 页)（2）每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率. 解? ?? 4 ?4 e ? e ? 0.104 (1) P(X=6) = k ! 6!k 6P(X=6) = 0.1042. (2)?kk! e??或者4k ?4 ? 4k ?4 ? ? e ?? e k ?6 k ! k ?7 k !?= 0.21487 C 0.11067 =? 4k ?4 4k ?4 ? e ? 1 ? ? e ? 1 ? 0.00284 P(X ≤ 10) ? k ! k ?0 k ?11 k ! 10=0.99716 9. 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(X＝1)＝P(X＝2)，求 P(X＝4) 解 由已知可得，?1 ?? ? 2 ?? e ? e , 1! 2!解得λ =2， (λ =0 不合题意)24 ?2 因此, P( X ? 4) ? e = 0.09 4!10. 商店订购 1000 瓶鲜橙汁， 在运输途中瓶子被打碎的概率 为 0.003，求商店收到的玻璃瓶， （1）恰有两只； （2）小 于两只； （3）多于两只； （4）至少有一只的概率. 解 设 X={1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}， p=0.003 的 二 项 分 布 ， 即则 X 服 从 参 数 为 n=1000,X~B(), 由于 n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可 以用泊松分布来近似, 即 X~π (3). 因此概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 11 页 (共 79 页)(1) P(X=2)?32 ?3 e ? 0.224 2!? k k ?2 k !(2) P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 2) ? 1 ? ? 3 (3) P( X ? 2) ? P( X ? 2) ? ? 3 (4) P( X ? 1) ? ? 3k ?1 ? k ? k k ?3 k !e?3 ? 1 ? 0.8008 ? 0.1992e?3 ? 0.5768k!e?3 ? 0.950211. 设连续型随机变量 X 的分布函数为? 0, ? F ( x) ? ?kx 2 , ?1, ? x?0 0 ? x ?1 x ?1求： （1）系数 k； （2）P(0.25&X&0.75)； （3）X 的密度函 数； （4）四次独立试验中有三次恰好在区间 (0.25，0.75) 内取值的概率. 解 (1) 由于当 0≤x≤1 时，有 F(x)=P(X≤x)=P(X&0)+P(0≤X≤x)=kx2 又 F(1) =1, 所以 k×12=1 因此 k=1. (2) P(0.25&X&0.75) = F(0.75)?F(0.25) = 0.752?0.252=0.5 (3) X 的密度函数为?2 x, 0 ? x ? 1 f ( x) ? F '( x) ? ? ? 0, Other(4) 由(2)知，P(0.25&X&0.75) = 0.5， 故 P{ 四 次 独 立 试 验 中 有 三 次 在 (0.25, 0.75) 内 } =3 C4 0.53 (1 ? 0.5)4?3 ? 0.25 .12. 设连续型随机变量 X 的密度函数为k ? , x ?1 ? F ( x) ? ? 1 ? x 2 ? 0, x ?1 ? 1 ? （3）X k； （2） P ? ? X ? ?； 2? ?求： （1）系数的分布函数.概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 12 页 (共 79 页)解(1)由题意，?????f ( x)dx ? 1,k因此?(2)????f ( x)dx ? ? 1?1?11 ? x2dx ? k arcsin x1 ? k? ? 1 ?1解得: k ??? 1 ?? ? 31/ 2 1 ? ? ?? 1 ? 1/ 2 k 1 ? P? x ? ? ? ? dx ? arcsin x ? ? ?1/ 2 ? ? 2 ? ?1/ 2 1 ? x2 ? ? ?6 6(3) X 的分布函数F ( x) ? ?x ???0 ? f ( x)dx ? ?1/ 2 ? arcsin x / ? ?1 ?x ? ?1 ? 1? x ? 1 x ?1解得: k ? 1/ ?13. 某城市每天用电量不超过 100 万千瓦时，以 Z 表示每天 的耗电率(即用电量除以 100 万千瓦时)，它具有分布密度 为?12 x(1 ? x)2 , F ( x) ? ? ? 0, 0? x ?1 其他若该城市每天的供电量仅有 80 万千瓦时， 求供电量不够 需要的概率是多少？如每天供电量为 90 万千瓦时又是怎 样的？ 解 如果供电量只有 80 万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z&80/100)=P(Z&0.8)= ? 12x(1 ? x) dx ? 0.02721 2 0.8如果供电量只有 80 万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z&90/100)=P(Z&0.9)= ? 12x(1 ? x) dx ? 0.00371 2 0.914. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单 位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）x ? 1 600 e , ? F ( x) ? ? 600 ? 0, ?第二章第 13 页 (共 79 页)0? x 0? x试求在仪器使用的最初 200 小时以内，至少有一只电子 元件损坏的概率. 解 设 X 表示该型号电子元件的寿命， 则 X 服从指数分布， 设 A={X≤200}，则 P(A)=?2000x 1 ? 1 ? 600 e dx ? 1 ? e 3 600设 Y={三只电子元件在 200 小时内损坏的数量}， 则所 求的概率为：P(Y ? 1) ? 1 ? P(Y ? 0) ? 1 ? C P( A) (1 ? P( A))0 3 03? 0? 1 ? (e ) ? 1 ??1 3 31 e?2 )， 15. 设 X 为正态随机变量， 且 X～N(2， 又 P(2&X&4) = 0.3， 求 P(X&0) 解 由题意知? 2?2 X ?2 4?2? ?2? P(2 ? X ? 4) ? P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0.3 ? ? ? ? ? ?? ?即 故?2? ? ? ? ? 0.3 ? 0.5 ? 0.8 ?? ?? X ?2 0?2? ? ?2 ? ?2? P( X ? 0) ? P ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 0.2 ? ? ? ? ?? ? ?? ?16. 设随机变量 X 服从正态分布 N(10，4)，求 a，使 P(|X－ 10|&a) = 0.9. ?a X ? 10 a ? 解 由于 P ?| X ?10 |? a ? ? P ? ?a ? X ?10 ? a ? ? P ? ? ? ? ?? 2 2 2??a? ? ?a ? ?a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 1 ? 0.9 ?2? ? 2 ? ?2? a? 所以 ? ? ? ? ? 0.95 ?2? 查表可得， a =1.65 2概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 14 页 (共 79 页)即 a = 3.3 17. 设某台机器生产的螺栓的长度 X 服从正态分布 N(10.05， 0.062)，规定 X 在范围(10.05±0.12)厘米内为合格品，求 螺栓不合格的概率. 解 由题意，设 P 为合格的概率，则X ? 10.05 ? ? P ? P(| X ? 10.05 |? 0.12) ? P ? ?0.12 ? X ? 10.05 ? 0.12 ? ? P ? ?2 ? ? 2? 0.06 ? ?? ?(2) ? ?(?2) ? 2?(2) ? 1 ? 2 ? 0.9772 ?1 ? 0.9544则不合格的概率=1?P = 0.0456 18. 设随机变量 X 服从正态分布 N(60，9)，求分点 x1，x2， 使 X 分别落在(－∞，x1)、(x1，x2)、(x2，+∞)的概率之 比为 3:4:5. 解 由题，x1 ? 60 3 ? X ? 60 x1 ? 60 ? P( X ? x1 ) ? P ? ? )? ? 0.25 ? ? ?( 3 3 3 3 ? 4 ?5 ? ? x ? 60 x ? 60 ?(? 1 ) ? 1 ? ?( 1 ) ? 0.75, 3 3查表可得? x1 ? 60 ? 0.67 3解得, x1 = 57.99x2 ? 60 3? 4 ? X ? 60 x2 ? 60 ? 又 P( X ? x2 ) ? P ? ? )? ? 0.5833 ? ? ?( 3 ? 3 3? 4 ?5 ? 3查表可得x2 ? 60 ? 0.21 3解得, x2 =60.63. 19. 已知测量误差 X（米）服从正态分布 N(7.5, 102)，必须进 行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对值不超过 10 米的概率大于 0.98？ 解 设一次测量的误差不超过 10 米的概率为 p, 则由题可知? ?10 ? 7.5 X ? 7.5 10 ? 7.5 ? p ? P( X ? 10) ? P ? ? ? ? 10 10 10 ? ? ? ?(0.25) ? ?(?1.75) ? ?(0.25) ? 1 ? ?(1.75) ? 0.5987 ? 1 ? 0.9599 ? 0.5586概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 15 页 (共 79 页)设 Y 为 n 次独立重复测量误差不超过 10 米出现的次数， 则 Y~B(n, 0.5586) 于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?0.5586)n≥0.98 0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n≥4.784 取 n=5, 即，需要进行 5 次测量. 20. 设随机变量 X 的分布列为 X P 解1 7－21 703 722 73试求： （1）2X 的分布列； （2）x2 的分布列. (1) 2X 的分布列如下 2X -4 p X2 0 4 6 (2) x2 的分布列1/7 1/7 3/7 2/7 0 4 9p 1/7 4/7 2/7 21. 设 X 服从 N(0，1)分布，求 Y＝｜X｜的密度函数. 解 y=|x|的反函数为 h(y)= ? y&0?y ?) fX y?? x, ? x, x?0 , x?0从而可得 Y=|X| ，12的密度函数为： 当fY ( y ? f X ? y时2y ?y ?y 1 ?2 y ? e ? ( e ? e ? 2? 2?)2当 y≤0 时， fY ( y) ? 0 因此有fYy ? 2 ?2 e , ? ( y) ? ? ? ? 0, ?2y ? 0 y ? 022. 若随机变量 X 的密度函数为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 16 页 (共 79 页)?3 x 2 , f ( x) ? ? ? 0,x0? x ?1 其他求 Y＝ 1 的分布函数和密度函数. 解 y= 1 在 (0,1) 上 严 格单 调 ，且 反 函数 为xh(y)=1 y,y&1, h’(y)= ?1 y2?1? 1 ? 1 ?? 1 ? 3 fY ( y) ? f X [h( y)] | h?( y) |? f X ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ?? 2 ? ? 4 y y ? ? ? y ?? y ? y因此有? 3 , y ?1 ? fY ( y ) ? ? y 4 ? 0, other ?Y? y ?4 y 3 y dy ? ? y ?3 ? 1 ? y ?3 , ? ? 的分布函数为： FY ( y) ? ? 1 1 ? 0, ?y ?1 other23. 设随机变量 X 的密度函数为2 ? , ? f ( x) ? ? ? (1 ? x 2 ) ? 0, ? x?0 x?0试求 Y＝lnX 的密度函数. 解 由于 y ? ln x 严格单调， 其反函数为 h( y) ? e y ,? ? 2e y (1 ? e 2 y ) 2 , ?y (e ? ey )且h '( y) ? e y ,y y则fY ( y ) ? f X [ h( y )] | h?( y ) |? f X (e ) e? ?? ? ? y ? ??24. 设随机变量 X 服从 N(μ , ?2 )分布，求 Y＝ ex 的分布密度. 解 由于 y ? ex 严格单调，其反函数为 h( y) ? ln y, 且h '( y) ? 1 , y&0,y概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 17 页 (共 79 页)则fY ( y ) ? f X [ h( y )] | h ?( y ) |? f X (ln y ) ? 1 2? ? y e? 1 2? 2 (ln y ? ? ) 21 y,y?0当y ? 0 时 fY ( y) ? 01 ? (ln y ? ? ) 2 ? 1 2? 2 e , ? fY ( y ) ? ? 2?? y ? ?0,因此y?0 y?025. 假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y＝ 1 ? e?2 x 在区间(0, 1)上服从均匀分布. 解 由于 y ? 1 ? e?2 x 在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：1 h( y ) ? ? ln(1 ? y ), 0 ? y ? 1, 2并且h '( y ) ?1 ，则当 0 ? y ? 1 2(1 ? y )fY ( y ) ? f X [h( y )] | h ?( y ) | ? f X (? ? 2e?2( ?1 1 ln(1 ? y )) 2 2(1 ? y )1 ln(1? y )) 21 ?1 2(1 ? y )当 y≤0 或 y≥1 时， fY ( y) =0. 因此 Y 在区间(0, 1)上服从均匀分布. 26. 把一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中正面出现的次 数，Y 表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之 差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3 次正面，2 次正面 1 次反面, 1 次正面 2 次反面, 3 次反面, 对应的 X,Y 的取值及概率分别为 P(X=3, Y=3)= 1 8 P(X=1, Y=1)=? 1 ?? 1 ? C ? ?? ? ? 2 ?? 2 ?1 3 3?11? ?1? 3 P(X=2, Y=1)= C ? ? ? ? ?? ? 2? ? 2? 82 323 ? 8P(X=0, Y=3)=?1? 1 ? ? ? ? 2? 83于是， （X，Y）的联合分布表如下：概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 18 页 (共 79 页)Y 1 3X 01230 3/8 3/8 0 1/8 0 0 1/827. 在 10 件产品中有 2 件一级品，7 件二级品和 1 件次品， 从 10 件产品中无放回抽取 3 件， 用 X 表示其中一级品件 数，Y 表示其中二级品件数，求： （1）X 与 Y 的联合概率分布； （2）X、Y 的边缘概率分布； （3）X 与 Y 相互独立吗？ 解 根据题意，X 只能取 0，1，2，Y 可取的值有：0，1， 2，3，由古典概型公式得： CC C (1) 其 p ? P( X ? i , Y ? j ) ? ,i 2 ijCj 7 3 10k 1中, i ? j ? k ? 3,i ? 0,1, 2, j ? 0,1, 2,3k ? 0,1 ,可以计算出联合分布表如下Y X 0 1 2pj0 0 01 023pi21/120 35/120 56/120 0 0 56/120 8/12014/120 42/120 01/120 7/1201/120 21/120 63/120 35/120(2) X,Y 的边缘分布如上表 (3) 由 于 P(X=0,Y=0)=0, 而 P(X=0)P(Y=0) ≠ 0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此 X,Y 不相互独立. 28. 袋中有 9 张纸牌，其中两张“2” ，三张“3” ，四张“4” ， 任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 19 页 (共 79 页)分别为 X 和 Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以 及概率 P(X＋Y&6) 解 (1) X,Y 可取的值都为 2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分 布为： Y pi 2 3 4 X 2 3 4pj2 2 A2 / A9 ? 1/ 361 1 2 A3 A2 / A9 ? 1/12 1 1 2 A4 A2 / A9 ? 1/ 91 1 2 A2 A3 / A9 ? 1/122 2 A3 / A9 ? 1/12 1 1 2 A4 A3 / A9 ? 1/ 61 1 2 A2 A4 / A9 ? 1/ 91 1 2 C3 C4 / A9 ? 1/ 6 2 2 A4 / A9 ? 1/ 62/9 1/3 4/92/91/34/9(2) P(X+Y&6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4) =1/6+1/6+1/6=1/2. 29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为x ?? y? ? F ( x, y) ? A ? B ? arctan ?? C ? arctan ? , 2 ?? 3? ?求： （1）系数 A、B 及 C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度； （4）随机 变量 X 与 Y 是否独立？ 解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：? ? x ?? ?? ? A ? B ? arctan 2 ? ? C ? 2 ? ? 0 ?? ? ? ? ? ? ? ?? y? ? A ? B ? ? ? C ? arctan ? ? 0 2 ?? 3? ? ? ? ? A? B ? ? ? ? C ? ? ? ? 0 ?? ? ? ? 2 ?? 2? ? ? ? A? B ? ? ? ? C ? ? ? ? 1 ? ?? ? ? 2 ?? 2? ? ?概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 20 页 (共 79 页)解得： A ? (2)12? 2 2 2 ? F ( x, y) 6 f ( x, y) ? ? 2 ?x?y ? (4 ? x 2 )(9 ? y 2 )FX ( x) ? F ( x, ? ?) ? 1 ?? x ?? ? ? ? 1 ? ? x? ? arctan ?? ? ? ? ? ? arctan ? 2 ? ? ?2 2 ?? 2 2 ? ? ? 2 2? 1 ? ? ? ?? ? y ? 1 ?? y? FY ( y) ? F ( ? ?, y) ? 2 ? ? ?? ? arctan ? ? ? ? arctan ? ? ? 2 2 ?? 2 3? ? ? 2 2?, B??, C??,(3) X 与 Y 的边缘分布函数为：X 与 Y 的边缘概率密度为：f X ( x) ? FX' ( x) ? fY ( y ) ? FY' ( y ) ? 2? ( x ? 4)23? ( y 2 ? 9)(4) 由(2),(3)可知： f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y) , 所以 X，Y 相互独立. 30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为?e-(x+y) , f ( x, y ) ? ? 0, ? 0 ? x ? ??, 其他（1）求分布函数 F(x, y)； （2）求(X，Y)落在由 x＝0，y＝0，x＋y＝1 所围成的三 角形区域 G 内的概率. 解 (1) 当 x&0, y&0 时， 否则，F(x, y) = 0. (2) 由题意，所求的概率为P(( x, y ) ? G ) ? ?? f ( x, y )dxdyGF ( x, y) ? ?y0?x0e?(u ?v ) dudv ? (1 ? e? x )(1 ? e? y )? ? dx ?011? x0e ? ( x ? y ) dy ? 1 ? 2e ?1 ? 0.264231. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为?Ae-(3x+4y) , f ( x, y) ? ? 0, ? x ? 0, y ? 0, 其他概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 21 页 (共 79 页)求： （ 1 ）常数 A ； （ 2 ） X ， Y 的边缘概率密度； （3）P(0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 2) .解(1) 由联合概率密度的性质，可得? ?????????f ( x, y)dxdy ? 1 ? ???0???0Ae?(3 x?4 y ) dxdy ? A /12解得 A=12. (2) X, Y 的边缘概率密度分别为：f X ( x) ? ? fY ( y) ? ??? ?? ?? ? (3 x ? 4 y ) ? dy ? 3e?3 x , x ? 0 ? ?0 12e f ( x, y)dy ? ? ? other ?0, ?? ? (3 x ? 4 y ) ? dx ? 4e?4 y , y ? 0 ??0 12e f ( x, y)dx ? ? ? other ? 0,????(3)P(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2)??20? 12e01? (3 x ? 4 y )dxdy? (1 ? e?3 )(1 ? e?8 )32. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为? 2 xy ?x ? , f ( x, y) ? ? 3 ? ? 0, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2, 其他求 P(X＋Y≥1). 解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线 x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1 围的区域 G 中, 则P(( x, y ) ? G ) ? ?? f ( x, y )dxdyG 2xy dy 0 1? x 3 2 1 4x x 5 x3 65 ?? ? ? dx ? 0 3 2 6 72 ? ? dx ? x 2 ?133. 设二维随机变量(X, Y)在图 2.20 所示的区域 G 上服从均 匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度. 解 由于(X, Y)服从均匀分布，则 G 的面积 A 为：概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 22 页 (共 79 页)A ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dx ? 2 dy ?? ( x ? x 2 )dx ?G 0 x 01x11 , 6(X, Y)的联合概率密度为：?6, 0 ? x ? 1 . f ( x, y) ? ? ? 0, otherX,Y 的边缘概率密度为：f X ( x) ? ? fY ( y ) ? ??? ??????? x 6dy ? 6( x 2 ? x), 0 ? x ? 1 ? f ( x, y )dy ? ? ?x ? other ?0, ? y 6dy ? 6( y ? y ), 0 ? y ? 1 ? f ( x, y )dx ? ? ?y ? other ?0,234. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0, 0.2)上服 从均匀分布，Y 的概率密度是?5e ?5 y ,???? y ? 0 f y ( y) ? ? y?0 ?0,求： （1）X 和 Y 和联合概率密度； （2）P(Y≤X). 解 由于 X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以 f X ( x) ? 1/ 0.2 ? 5 (1) 由于 X，Y 相互独立，因此 X, Y 的联合密度函数为：?25e?5 y , y ? 0, 0 ? x ? 0.2 f ( x, y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) ? ? other ? 0,yy=x(2) 由题意，所求的概率是由直线 x=0, x=0.2, y=0, y=x 0 0.2 x 所围的区域， 如右图所示， 因此P(Y ? X ) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dx ? 25e?5 y dyG 0 0 0.2 x? 5? 1 ? e?5 x dx ? 1 ? e?1 ? 1 ?e?100.235. 设（X，Y）的联合概率密度为?1 ? ,????0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 f ( x, y ) ? ? 2 ? ? 0, 其他 中至少有一个小于 1 的概率. 2求X与Y概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 23 页 (共 79 页)解所求的概率为? P?(X ? ? ? ? 1? P? X ? ? 1? ? ? 1? ??? 0.5 11 ) 21 ? (Y ? ) ? 2 ? 1 1? ? ,Y ? ? 2 2? f ( x, y )dxdy???0.50.5?1 5 dxdy ? 0.5 2 8236. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X －1 P1 2 1 513 103 P1 4Y －3 13 4求二维随机变量（X，Y）的联合分布律. 解 由独立性，计算如下表 X -1 1 Y -3 1pi3pj1/8 1/20 3/40 1/4 3/8 3/20 9/40 3/4 1/2 1/5 6/2037. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为X Y 1 21 61231 91 18abc（1）求常数 a，b，c 应满足的条件； （2）设随机变量 X 与 Y 相互独立，求常数 a，b，c.概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 24 页 (共 79 页)解由联合分布律的性质，有： 1 1 1 1 2 ? ? ? a ? b ? c ? 1 , 即 a + b + c =1 ? ?6 9 183 3 1 1 1 又，X, Y 相互独立，可得 a : b : c ? : : 6 9 18 1 2 1 从而可以得到： a ? , b ? , c ? 3 9 938. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为? x2 ,???? x ? 0, y ? 1, ? 2 1 ? x ? ? x2 y3 F ( x, y ) ? ? ,???? x ? 0, 0 ? y ? 1, 2 ?1 ? x ????0,?????????其他， ? ?求边缘分布函数 Fx ( x) 与 Fy ( y) ，并判断随机变量 X 与 Y 是 否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数? x2 x2 ? ,x ?0 ? lim FX ( x) ? F ( x, ? ?) ? ? y ??? 1 ? x 2 1 ? x 2 ? 0, x?0 ?下面计算 FY(y)? ? 0, y?0 ? x2 y3 ? FY ( y ) ? F (??, y ) ? ? lim ? y3 , 0 ? y ? 1 x ??? 1 ? x 2 ? ? x2 ? 1, y ?1 ? xlim ? ??? 1 ? x 2可以看出，F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y 相互独立. 39. 函数为 设二维随机变量（X，Y）的联合分布? 2 1? y ? e ,????x ? 1, y ? 1 f ( x, y ) ? ? x 3 ? ?0,????????? 其他，求边缘概率密度 f X ( x) 与 fY ( y) ，并判断随机变量 X 与 Y 是概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 25 页 (共 79 页)否相互独立. 解 先计算 f X ( x) , 当 x&1 时, 当 x≥1 时, 再计算 fY ( y) , 当 y&1 时, 当 y≥1 时, 可见, 40. 函数为fY ( y) ? ??? 1f X ( x) ? 0 ?? 2 ?? 2 ?2 f X ( x) ? ? e1? y dy ? 3 e1? y ? 3 3 1 1 x x xfY ( y) ? 0?? 1? y 2 1? y ?1 e dx ? 2 e1? y ?e 3 1 x xf ( x, y) ? f X (x) fY ( y ) ,所以随机变量 X, Y 相互独立设二维随机变量（X，Y）的联合分布? x ? y,?????? ? x? y ? ?? f ( x, y ) ? ? ?0,????????? 其他，求边缘概率密度 f X ( x) 与 fY ( y) ，并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立. 解 先计算 f X ( x) , 当 x&0 或者 x&1 时, f X ( x) ? 0 当 1≥x≥0 时,2 f X ( x) ? ? x ? y dy ? xy ? 1 2 y 0 11 1 ? x? 0 2再计算 fY ( y) , 当 y&0 或者 y&1 时, 当 1≥y≥0 时, 由于fY ( y) ? 01 1 1 1 fY ( y) ? ? x ? ydx ? xy ? x 2 ? y ? 0 2 0 2 1 ?? 1? ? f ( x, y) ? x ? y ? f X ( x) fY ( y) ? ? x ? ?? y ? ? , 所以随机变量 2 ?? 2? ?X,Y 不独立 41. 函数为设二维随机变量（X，Y）的联合分布?2e? x ?2 y ,?????x ? 0? y ? 0 f ( x, y) ? ? ?0,????????? 其他求随机变量 Z＝X－2Y 的分布密度. 解 先求 Z 的分布函数 F(z)F ( z ) ? P( Z ? z ) ? P( X ? 2Y ? z ) ?D: X ? 2Y ? z??f ( x, y )dxdyy D y当 z&0 时，积分区域为：D={(x,y)|x&0, y&0, x?2y≤z}z x y 0 z x yx?2y=z x y概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 26 页 (共 79 页)求得 F ( z) ? ????z 2dy ??2z ?2 y02e? x?2 y dx?e?4 y ? z? 2? z e???2 y1 dy ? e z 2y当 z≥0 时， 积分区域为： D={(x,y)|x&0, y&0, x?2y D ≤z}，F ( z ) ? ? dy ?0 ?? z ?2 y 02e? x ?2 y dx?? 1 ? 2? e ?2 y ? e ?4 y ? z dy ? 1 ? e ? z 0 2由此,随机变量 Z 的分布函数为? 1 ?z 1? e , z ? 0 ? ? 2 F ( z) ? ? ? 1 ez , z?0 ? ?20 z x yy z x yx?2y=z x y因此, 得 Z 的密度函数为：?1 ?z e , ? ?2 f ( z) ? ? ? 1 ez , ? ?2 z?0 z?042. 设随机变量 X 和 Y 独立，X～ N (?? ?2 ) ， Y 服从［－b，b］(b&0)上的均匀分布，求随机变量 Z＝X ＋Y 的分布密度. 解 解法一 由题意，F ( z) ? ??? ??f X ( z ? y) fY ( y)dy ? ??t 2 2b1 2??? ( z ? y ? a )2?be2? 2?1 dy 2b令(z ? y ? a) / ? ? t, dy ? ?? dt, y ? [?b, b], 则b?a 1 z ?? 1 F ( z) ? e z ?b ? a ? 2b ? 2?dt ?1 ? ? ? z??b?a ? ? ? ? z??b?a ?? 2b解法二概率论与数理统计??习题参考答案（仅供参考）第二章第 27 页 (共 79 页)F ( z) ?? ???f X ( x) fY ( z ? x )dx,- b & z - x & b, ? z - b & x & z +b F ( z) ? ? ? ?z ?b1 2??z ?be?( x ? a ) 2 1 ? dx 2b 2? 21 ? x?a? z?b 1 ? ? z?b?a? ? z ? b ? a ?? ?? ?? ? z ?b ? ? ? ?? ?? ? 2b ? ? ? 2b ? ? ? ? ? ? ?? 1 ? ?a? z ?b? ? ? a ? z ? b ??? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ??? 2b ? ? ? ? ? ? ? ???1 ? ?a? z?b? ? a ? z ? b ?? ?? ? ? ?? ?? ? 2b ? ? ? ? ? ? ??43.3设 X 服从参数为 1 的指数分布，Y 服从2参数为 1 的指数分布，且 X 与 Y 独立，求 Z＝X＋Y 的密 度函数. 解 由题设，X~ f X ( x) ? ? ?1?0, ? ?2e?1 x 2x?0 , x?0??,Y~ fY ( y ) ? ? ?1?0, ? ?3e?1 x 3x?0 , x?0并且，X，Y 相互独立，则 FZ ( z) ? ???f X ( x) fY ( z ? x)dx由于 f X ( x) 仅在 x&0 时有非零值， fY ( z ? x) 仅当 z?x&0，即 z&x 时有非零值，所以当 z&0 时， f X ( x) =0, 因此 fZ ( z) =0. 当 z&0 时，有 0&z&x, 因此FZ ( z ) ? ?z 01 ?1 x 1 ?1 ( z?x) e 2 e 3 dx 2 3z ? ? 1 z ?1 x?3 3 6 2 e dx ? e ? e 6 ?0zz?44. X Y 0 1 2 0 0.01 0.02 0设（X，Y）的联合分布律为 1 2 30.05 0.090.08 0.120.12 0.15 0.120.110.13概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 28 页 (共 79 页)求： （1）Z＝X＋Y 的分布律； （2）U＝max（X，Y）的分 布律； （3）V＝min（X，Y）的分布律. 解 (1) X+Y 的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06 P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12 Z=X+Y 的分布如下 Z 0 1 2 3 4 5 p 0 0.06 0.19 0.35 0.28 0.12 同理，U=max(X,Y)的分布如下 U 0 1 2 3 p 0 0.15 0.46 0.39 同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V 0 1 2 p 0.28 0.47 0.25 U∈{0,1,2,3}V∈{0,1,2}概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 29 页 (共 79 页)第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量 X 的分布列为 X P1 3－1 01 6 1 61 211 1221 4求 E(X)，E(－X＋1)，E(X2) 解1 1 1 1 1 1 E( X ) ? ?1? 1 3 ? 0 ? 6 ? 2 ? 6 ? 1? 12 ? 2 ? 4 ? 3 1 1 1 1 1 2 E(? X ? 1) ? (?(?1) ? 1) ? 1 3 ? (?0 ? 1) ? 6 ? (? 2 ? 1) ? 6 ? (?1 ? 1) ? 12 ? (?2 ? 1) ? 4 ? 3 2 或者 E(? X ?1) ? E(? X ) ? E(1) ? ?E( X ) ?1 ? ? 1 3 ?1 ? 32 2 2 35 1 1 2 1 1 1 E(? X 2 ) ? (?1)2 ? 1 3 ? (0) ? 6 ? ( 2 ) ? 6 ? (1) ? 12 ? (2) ? 4 ? 242. 一批零件中有 9 件合格品与三件废品，安装机器时从这 批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取 得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为 X, X 的取值为 0, 1, 2, 3, Ak 表示取出废品数为 k 的事件， 则有：1 C3k C9 P( Ak ) ? k ? 1 , k ? 0,1, 2,3, C12 C12?kE ( X ) ? ? k ?0 k ? P( Ak ) ?366 ? 0.3 2203. 已知离散型随机变量 X 的可能取值为－1、0、1，E(X) ＝0.1，E(X2)＝0.9，求 P(X=?1)，P(X＝0)，P(X＝1). 解 根据题意得：E ( X ) ? ?1P( X ? ?1) ? 0P( X ? 0) ? 1P( X ? 1) ? 0.1 E ( X 2 ) ? (?1)2 P( X ? ?1) ? 02 P( X ? 0) ? 12 P( X ? 1) ? 0.9可以解得 P(X??1)=0.4,P(X=1)=0.5,概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 30 页 (共 79 页)P(X=0) = 1? P(X??1)?? P(X=1) = 1?0.4?0.5=0.1 4. 设随机变量 X 的密度函数为?2(1 ? x),?????? ? x ? ?? f ( x) ? ? ? ????????????? ?其他.求 E(X). 解 由题意,E ( X ) ? ? xf ( x)dx ? ? 2(1 ? x) xdx ??? 0 ? 11 , 35. 设随机变量 X 的密度函数为?e? x ,?????x ? 0? f ( x) ? ? ? ??????????x ? ??求 E(2X)，E( e?2 x ). 解E (2 X ) ? ? 2 xf ( x)dx ? ? 2 xe? x dx???x ?x ? ? 2 xe ? x |? |0 ? ? 2 0 ? ? e dx ? 2 ? 0 ? e ? 0???0?E (e ?2 X ) ? ? e ?2 x f ( x)dx?? ? 1 1 ? ? e ?2 x e ? x dx ? ? e ?3 x |? 0 ? 0 3 3?6. 对球的直径作近似测量， 其值均匀分布在区间 ［a， b］ 上， 求球的体积的数学期望. 解 由题意，球的直接 D~U(a,b), 因此， E(V ) ? ???Vf ( x)dx ? ?a?? b 3D 3 球的体积 V= 4 3? ? 2 ?4 ? x? 1 ?? ? dx 3 ?2? b?a?24(b ? a)x 4 |? 0 ??24(a ? b)(a 2 ? b2 )7. 设随机变量 X，Y 的密度函数分别为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 31 页 (共 79 页)?2e?2 x ,?????x ? 0? f X ( x) ? ? ? ?????????????x ? ?? ?4e?4 y ,???? y?? 0? fY ( y ) ? ? ? ??????????? y ? ??求 E(X＋Y)，E(2X－3Y2). 解E ( X? Y )? E ( X)? E ( Y )?? ???????? ??x f X ( x)dx ? ?0y fY ( y )dy? ? 2 xe?2 x dx ? ? 4 ye?4 y dy0???1 1 3 ? ? 2 4 4??E (2 X ? 3Y 2 ) ? 2 E ( X ) ? 3E (Y 2 ) ? 2??? ??x f X ( x)dx ? 3?0????y 2 fY ( y )dy? 2? 2 xe?2 x dx ? 3? 4 y 2 e?4 y dy0??? 1?3 5 ? 8 88. 设随机函数 X 和 Y 相互独立，其密度函数为?2 x,?????? ? x ? 1? f X ( x) ? ? ????????????其他?（y－5） ?e ? ,???? y?? 5? fY ( y ) ? ? ? ???????? ??? y ? 5?求 E(XY). 解 由于 XY 相互独立, 因此有概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）??第三章第 32 页 (共 79 页)E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? ? ? ? 2 x 2 dx ?0 1 ?? 5??x f X ( x )dx ?????y f Y ( y )dyye ? ( y ?5) dy?2 ? ? ? ( y ?5) ?? ?? ? ( y ?5) ? ? ? e dy ? ? ? ? ? ye ? 5 ?5 3? ?? ? ?? ?? ? ? 2? ? ? ? ? 0 ? 5 ? ? ? ?e ? ( y ?5) ?? ? 5 3? ? ?? ? 2 2 ? ? ? ?5 ? ? ?(0 ? 1) ? ? ? ? ? (?6) ? 4 3 39. 设随机函数 X 的密度为1 ? ,???? x ? 1? ? f ( x) ? ? ? 1 ? x 2 ? ????????????? ? x ? 1. ?求 E(X), D(X). 解1? x ?? 1 1 x2 2 1 x2 2 2 E ( X ) ? ? x f ( x)dx ? ? dx ? ? dx ?? ? ?1 1 ? x 2 ? 0 1 ? x2 2 1 1 ? x2 ?1 2 1 2 1 1 ?? ? dx ? ? ? 1 ? x 2 dx ? ? dx ? 0 1 ? x2 ? 0 ? 0 1 ? x22E( X ) ? ?????x f ( x)dx ???11x?1dx ? 0??2 ? 2 1 1 ( ) ? arcsin x |1 ?1 ? 0? ? ? 4 ? 2 22D( X ) ? E ( X 2 ) ? ? E ( X ) ? ?1 210. 其密度函数为设随机函数 X 服从瑞利(Rayleigh)分布,? x ? 2x?2 ? e ,?????x ? 0? f ( x) ? ? ?2 ? ???????????????? x ? ?? ?2其中σ &0 是常数，求 E(X)，D(X).概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章x2 2? 2第 33 页 (共 79 页)解E( X ) ? ?????x f ( x)dx ? ???x20?2e?x2 2? 2dx ? ? ???0xde?2 2 ?? ? x ?? ? x ? ? x2 ?? ? ? ? ? xe 2? 2 ? ? e 2? 2 dx ? ? ? e 2? 2 dx 0 0 0 ? ?u?x / ? ??? ???? e 0??? u22du ? ???2? ?? 2?2?? 0E( X 2 ) ? ?????x 2 f ( x)dx ? ?x30?e 22 ? x2 2?dx ? ? ?x 2 de?x2 2? 22 2 ?? ? ? x2 ?? ?? ? ? x ? x ? ? ? x 2 e 2? 2 ? ? 2 xe 2? 2 dx ? ? 2? xe 2? 2 dx 0 0 0 ? ???? ? ? 2? 2 ? e?u du ? ?2? 2e ?u02 u? x 2? 2???? ? 2? 2 02D( X ) ? E ( X ) ? ? E ( X ) ?22? ? 2? ? ? ?? ???2? ? 2 (2 ? ) ? ? 2? 2?11. 抛掷 12 颗骰子，求出现的点数之和的 数学期望与方差. 解 掷 1 颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X) = E(X2)?(E(X)) 2 = 35/12 掷 12 颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有： E(X1+X2+?+X12)=12E(X) = 42 D(X1+X2+?+X12) =D(X1)+D(X2)+?+D(X12)=12D(X)=35 12. 将 n 只球（1～n 号）随机地放进 n 只 盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装 入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记 X 为配对的 个数，求 E(X), D(X). 解 （1）直接求 X 的分布律有些困难，我们引进新的随 机变量 Xk第k只球装入第k号盒子 ?1, Xk ? ? , ?0, 第k只球没装入第k号盒子X ? ? Xkk ?1 n则有：，Xk 服 0-1 分布概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 34 页 (共 79 页)因此： P( X k1 1 ? 0) ? 1 ? p ? 1 ? , P( X k ? 1) ? p ? , n n 1 1? 1? E ( X k ) ? p ? , D( X k ) ? ?1 ? ? n n? n?1 ? n ? n E ( X ) ? E ? ? X k ? ? ? E ? X k ? ?n ? ? 1 n ? k ?1 ? k ?1（2） X k X j 服从 0-1 分布，则有P( X k X j ? 1) ? P( X k ? 1, X j ? 1) ? n(n1?1) , E( X k X j ) ? n(n1?1)? n ? D( X ) ? D ? ? X k ? ? k ?1 ?? ? D ? X k ? ? 2? Cov( X k , X j )k ?1 n k? j n1? 1? ? ? ?1 ? ? ? 2? ( E ( X k X j ) ? E ( X k ) E ( X j )) n? k ?1 n ? k? j ? 1 1 1 ? ? 2? ? ? 2? n n ? k ? j ? n( n ? 1) 1 1 1 ? 1 ? n ?1 ? 2? ? 1 ? ? 2Cn ? 2 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ?1 n n ? n ? ? n(n ? 1) n ? ? 1?故，E(X)=D(X)=1. 我们知道， 泊松分布具有期望与方差相等的性质， 可以 认定，X 服从参数为 1 的泊松分布. 13. 在长为 l 的线段上任意选取两点，求两 点间距离的数学期望及方差. 解 设所取的两点为 X,Y, 则 X,Y 为独立同分布的随机变 量, 其密度函数为?1 ? , 0 ? x ?1 f X ( x) ? ? l , ? other ? 0, ?1 ? , 0 ? x ?1 fY ( y ) ? ? l , ? other ? 0,?1 ? , 0 ? x, y ? 1 f ( x, y) ? fY ( x) fY ( y) ? ? l 2 , ? other ? 0,依题意有E( X ? Y ) ? ???l x 0 0?????????x ? y f ( x, y)dxdyl l 0 x 21 1 ? ? x ? y ? l dydx ? ? ? ? y ? x ? l dydx2概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 35 页 (共 79 页)1 l x2 1 l l2 x2 dx ? ? lx ? dx 2 l 2 ?0 2 l 2 ?0 2 1 ? x3 l ? 1 ? l 2 x lx 2 x3 l ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 6 0? 2l 2 ? 3 0 ? l 2 ? 2 l l l ? ? ? 6 6 3 ?E (? X ? Y ? ) ? ?2?????????x? y2f ( x, y)dxdy??l0 0? ? x ? y?l21 dxdy l2l 1 l dx x 2 ? 2 xy ? y 2 ?dy ? 2 ?0 ? 0 l 1 l? y3 ? l ? 2 ? ? x 2 y ? xy 2 ? ? dx 3 ?0 l 0??1 l 2 l3 2 ? 2 ? x l ? xl ? dx 3 l 0 1 ?1 1 l3 ? 2 ? x3l ? x 2 l 2 ? 2 3 l ?3 1 ? l2 6?l x? ?0D(X?Y) = E((X?Y)2)?(E(X?Y))2 = 14. 函数为1 2 1 2 1 2 l ? l ? l 6 9 18设随机变量 X 服从均匀分布，其密度1 ? ?2,????? ? ? x ? ? f ( x) ? ? 2 ? ? ??????????其他,求 E(2X2)，D(2X2). 解E (2 X 2 ) ? 2 E ( X 2 ) ? 2 ? E( X 4 ) ??? ??1x 2 f ( x)dx ? 2 ? 2 2 x 2 dx ?011 6 1 12?????x 4 f ( x)dx ? ? 2 2 x 4 dx ?0D(2 X 2 ) ? 4 D( X 2 ) ? 4 E ( X 4 ) ? ? E ( X 2 ) ??1 , 802E( X 2 ) ?1 1 ? 1 ? ? ? 4 ? ??? 80 ?? 144 ? 4515. 设随机变量 X 的方差为 2.5，试利用切 比雪夫不等式估计概率P( X ? E( X ) ? 7.5)概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 36 页 (共 79 页)的值. 解 由切比雪夫不等式, 取 ? ? 7.5, ? 2 ? 2.5 , 得 2.5 2 . P( X ? E ( X ) ? 7.5) ? ?7.52 4516. 在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.5， 如果作 100 次独立试验， 设事件 A 发生的次数为 X， 试利用切比雪夫不等式估计 X 在 40 到 60 之间取值的概 率 解 由题意，X~B(100，0.5), 则 E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25 根据切比雪夫不等式, 有P(40 ? X ? 50)? P( X ? 50 ? 10) ? 1 ?? 1? 25 3 ? . 100 4?2 ?217. 设连续型随机变量 X 的一切可能值在 区间［a，b］内，其密度函数为 f ( x) ，证明： （1）a≤E(X)≤b； （2） D(X) ? (b-a) .42解(1) 由题意，a≤X≤b, 那么E ( X ) ? ? xf ( x)dx?? ??a ? x ? b, 则?? ???a??? ??????af ( x)dx ? ??? ??????xf ( x)dx ? ? bf ( x)dx?? ??f ( x)dx ? ???xf ( x)dx ? b?f ( x)dx,由于 ???f ( x)dx ? 1所以 a ? E(X) ? b (2) 解法(一)因为 x ?[a,b], 所以有 ( x ? a)( x ? b) ? 0即x2 ? (a ? b) x ? ab ? 0 ,E( X 2 ? (a ? b) X ? ab)概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 37 页 (共 79 页)E( X 2 ) ? (a ? b) E( X ) ? ab又D( X ) ? E ( X 2 ) ? ? E ( X ) ?2? (a ? b) E ( X ) ? ab ? ? E ( X ) ?2? ? E ( X ) ? a ?? b ? E ( X ) ?(平均值不等式变形 : a, b ? 0时, ab ?2a?b ) 2? E( X ) ? a ? b ? E( X ) ? ?? ? 2 ? ??b?a? ?? ? ? 2 ?2即 D( X ) ?(b ? a)2 4解法(二), 由于E(( X ? C)2 ) ? E( X 2 ? 2 XC ? C 2 )? ( E ( X ) ? C )2 ? E ( X 2 ) ? ? E ( X ) ?2? ( E( X ) ? C)2 ? D( X ) 当C ? E( X )时, E(( X ? C)2 )取最小值D( X )于是 当C ? D( X )? E ( ? )? ?? X ? E X2a?b 时, 有 22 ?? a?b? ? ? E ?? X ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? 2 ?? a?b? ? ? E ??b ? ? ? ?? 2 ? ? ? ?? ? b ? a ?2 ? ? b ? a ? ? E ?? ? ? ? ?? 2 ? ? 4 ? ?218. X Y 1 0.1 0设二维随机变量（X，Y）的分布律为 10.2概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 38 页 (共 79 页)20.20.4求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)， ? XY 及协方差 矩阵. 解 由题设，E( X ) ? 0 ? (0.1 ? 0.2) ? 1? (0.3 ? 0.4) ? 0.7 E(Y ) ? 0 ? (0.1 ? 0.3) ? 1? (0.2 ? 0.4) ? 0.6E(XY) = 0 × 0 × 0.1+0 × 1 × 0.2+1 × 0 × 0.3+1 × 1× 0.4 = 0.4E( X 2 ) ? 02 ? (0.1 ? 0.2) ? 12 ? (0.3 ? 0.4) ? 0.7 E(Y 2 ) ? 02 ? (0.1 ? 0.3) ? 12 ? (0.2 ? 0.4) ? 0.6 D( X ) ? E( X 2 ) ? ( E( X ))2 ? 0.7 ? 0.49 ? 0.21 D(Y ) ? E(Y 2 ) ? ( E(Y ))2 ? 0.6 ? 0.36 ? 0.24cov(X,Y) = E(XY)?E(X)E(Y) = 0.4?0.6×0.7 = ?0.02? XY ? cov( X , Y ) / D( X ) D(Y )? ?0.02 / 0.21 ? 0.24 ? ?0.089协方差矩阵为? ? 12 C ?? ? ?? 1? 2?? 1? 2 ? ? 0.21 ?0.02 ? ??? ? 2 ?2 ? ? ?0.02 0.24 ?19. X －1 Y －1 0 11 8 1 8 1 8设二维随机变量（X，Y）的分布律为011 81 8 1 8 1 801 8试验证 X 和 Y 是不相关的， 但 X 和 Y 不是相互独立的. 解 由于概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 39 页 (共 79 页)?1 1 1? ?1 1 1? E ( X ) ? ?1 ? ? ? ? ? ? 0 ? 1 ? ? ? ? ? ? 0, ?8 8 8? ?8 8 8? ?1 1 1? ?1 1 1? E (Y ) ? ?1 ? ? ? ? ? ? 0 ? 1 ? ? ? ? ? ? 0, ?8 8 8? ?8 8 8? cov( X , Y ) ? E(( X ? E( X ))(Y ? E(Y ))) ? E( XY ) 1 1 1 1 1 1 ? (?1) ? (?1) ? ? (?1) ? 0 ? ? (?1) ? 1 ? ? 0 ? (1) ? (?1) ? ? 1 ? 0 ? ? 1 ? 1 ? ? 0 8 8 8 8 8 8因此 ? XY ? 0 , 即 X 和 Y 是不相关的. 但由于 P( X1 1 1 ? 0) P(Y ? 0) ? ? ? ? 0 ? P( X ? 0, Y ? 0) , 8 8 16因此 X,Y 不是相互独立的. 20. 为 设二维随机变量（X，Y）的密度函数?1 ? ( x ? y),?????? ? x ? 2? ? ? y ? ?? f ( x, y) ? ? 8 ? ???????????????????其他，求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)， ? XY 及协方差 矩阵. ?? 21 1 f X ( x) ? ? f ( x, y )dy ? ? ( x ? y )dy ? ( x ? 1) 解 ?? 0 8 41 7 x( x ? 1)dy ? 4 6 ?? 2 1 又 E ( X 2 ) ? ??? x 2 f X ( x)dy ? ?0 x 2 ( x ? 1)dy ? 5 4 3 E( X ) ? ??? ??xf X ( x)dy ? ?205 ? 7 ? 11 D( X ) ? E( X ) ? ? E( X ) ? ? ? ? ? ? 3 ? 6 ? 36 7 同理可得 E (Y ) ? , D(Y ) ? 11 , 6 36 ?? ?? 1 2 2 4 E ( XY ) ? ? ? xy f ( x, y )dxdy ? ? ? xy ( x ? y )dydx ? ?? ?? 8 0 0 3 cov( X , Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) 4 7 7 1 ? ? ? ?? 3 6 6 36 cov( X , Y ) 1 11 1 ? XY ? ?? ? ?? 36 36 11 D( X ) D(Y )2 22协方差矩阵为? ?2 C ?? 1 ? ?? 1? 2?? 1? 2 ? ? 11/ 36 ?1/ 36 ? ??? ? 2 ?2 ? ? ?1/ 36 11/ 36 ?概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 40 页 (共 79 页)21. 已知随机变量(X, Y)服从正态分布，且 E(X)＝E(Y)=0， D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)＝12，求 (X, Y)的密度函数. 解 由题意, ? ? cov( X , Y ) ? 12 ? 3D( X ) D(Y ) 20 5则密度函数为f ( x, y ) ? 1 2?? 1? 2 1 ? ? 2?e? ? x ? ? ?2 ? x ? ?1 ?? y ? ?2 ? ? ? y ? ?2 ?2 ? 1 ? ? ?2 ? 2 2 ? 2(1? ? ) ? ?1 ? 2 ?2 ? ?1 ? 12? 16 ? 50 ? 25 ? ? 1 ? 32 ? ? ? e ? 32?25 ? x 2 3 xy y 2 ?22. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 E(X) ＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，试求 E((X＋Y)2). 解E ? ( X ? Y )2 ? ? E ? X 2 ? Y 2 ? 2 XY ? ? E ( X 2 ) ? E (Y 2 ) ? E (2 XY )由于 D(X)=E(X 2 ) ? ? E(X) ?2 ? E(X 2 )=1, 因此有E ? ( X ? Y )2 ? ? 1 ? 1 ? 0 ? 2D(Y)=E(Y 2 ) ? ? E(Y) ? ? E(Y 2 )=1223. 设随机变量 X 和 Y 的方差分别为 25， 36，相关系数为 0.4，试求 D(X＋Y)，D(X－Y). 解 由题意，0.4 ? cov X( Y , ) , D( X ) D Y( ) cX oY v (? , ? ) ? 0? .4 5 6 12D(X+Y)=2(cov(X,Y))+D(X)+D(Y) = 24+25+36=85 因为 cov(X, ?Y) = ?cov(X,Y) = ?12 因此 D(X?Y) = 2(cov(X,??Y))+D(X)+D(?Y) = ?24 + 25 + 36 = 37. 24. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服 从正态分布 N(0, ?2)，令 U＝aX＋bY，V＝aX?bY，试求 U 和 V 的相关系数. 解 由于 X，Y 相互独立，则都服从 N(0, ?2)D(U ) ? D(aX ? bY ) ? a2 D( X ) ? b2 D(Y ) ? ? 2 (a2 ? b2 )概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）2第三章第 41 页 (共 79 页)D(V ) ? D(aX ? bY ) ? a 2 D( X ) ? ? ?b ? D(Y ) ? ? 2 (a 2 ? b 2 )D(U ? V ) ? D(aX ? bY ? aX ? bY ) ? D(2aX ) ? 4a 2? 2 1 cov(U , V ) ? ? D (U ? V ) ? D (U ) ? D (V ) ? 2 1 ? (4a 2? 2 ? 2(a 2 ? b 2 )? 2 ) ? (a 2 ? b 2 )? 2 2 cov(U ,V ) (a 2 ? b2 )? 2 a 2 ? b2 ?? ? 2 2 2? 2 2 a ?b D(U ) D(V ) (a ? b )?概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第四章第 42 页 (共 79 页)第四章 大数定律与中心极限定理 1. 设 Xi，i＝1，2，?，50 是相互独立的随机变量，且它们 都服从参数为 ?＝ 0.02 的泊松分布 . 记 X＝ X1 ＋ X2 ＋? +X50，试利用中心限定理计算 P(X≥2). 解 由题意，E(Xi) = D(Xi) = ????????， ???????? 由中心极限定理 ??? 随机变量 X ? n?n? ?X ? ? Xii ?150? 近似X ? 50 ? 0.02 ? X ?1 50 0.02服从标准正态分布 ????????所以有?? ? P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 2) ? 1 ? P( X ?1 ? 1) ? 1 ? ?(1) ? 0.15872. 某计算机系统有 100 个终端， 每个终端有 2％的时间在使 用，若各个终端使用与否是相互独立的，试分别用二项 分布、泊松分布、中心极限定理，计算至少一个终端被 使用的概率. 解 设 X 为被使用的终端数, 由题意, X~B(100, 0.02)(1) 用二项分布计算0 P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? 1? C100 (0.02)0 (1? 0.02)100 ? 1? 0.1326 ? 0.8674(2) 用泊松分布近似计算 因为 ????np = 100×0.02 = 2, 查表得P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? 1 ? 0.1353= 0.8647.(3) 中心极限定近似计算42概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第四章第 43 页 (共 79 页)np ? 100 ? 0.02 ? 2, npq ? 2 ? 0.98 ? 1.96 P( X ? 1) ? 1 ? P(0 ? X ? 1) ? ? 1 ? np ? ? 0 ? np ? ? ? 1? ? ? ? ??? ? ? ? npq ? ?? ? ? npq ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? 2 ? ? 0 ? 2 ?? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 1.96 ? ? ? ?? ? ? 1.96 ? ? 1 ? ? ?1.43? ? ? ? 0.71? ? 0.83753. 一个部件包括 10 个部分， 每部分的长度是一个随机变量， 它们相互独立，服从同一分布，数学期望为 2mm，均方 差不 0.05mm，规定部件总长度为 20±0.1mm 时为合格 品，求该部件为合格产品的概率. 解 设 Xi 表示一部分的长度 , i=1, 2, …, 10. 由于 X1, X2, …, X10 相互独立, 且 E(Xi) =2, D(Xi)=0.052, 根据独立同 分布中心极限定理，随机变量1 10 1 ( X k ? 2) ? ( X ? 20) ? k ?1 0.158 0.05 n近似地服从标准正态分布. 于是P(19.9 ? X ? 20.1) ? 19.9 ? 20 X ? 20 20.1 ? 20 ? ? P? ? ? ? 0.158 0.158 ? ? 0.158 ? ?(0.633) ? ?(?0.633) ? 2?(0.633) ? 1 ? 2 ? 0.735 ? 1 ? 0.474. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于 它的整数） ，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都 在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布. (1) 若将 1500 个数相加，试求误差总和的绝对值超过 15 的概率；43概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第四章第 44 页 (共 79 页)(2) 多少个数相加可使误差总和绝对值小于 10 的概率为 0.05 的概率. 解 设 Xi 表示一个加数的误差， 则 Xi~U(-0.5, 0.5), E(Xi) =0, (1) 根据独立同分布中心极限定理，随机变量1 n? ?D(Xi)=1/12?1500 i ?1( X i ? E ( X i ))1 1500 ( X i ? 0) ? 1500 /12 i ?1 1 1500 1 ? ( X i ? 0) ? X ? i ?1 11.18 1500 /12近似地服从标准正态分布. 于是P(?15 ? X ? 15) X 15 ? ? ?15 ? P? ? ? ? ? 11.18 11.18 11.18 ? ? ?(1.34) ? ?(?1.34) ? 2?(1.34) ? 1 ? 2 ? 0.9099 ? 1 ? 0.8198因此所求的概率为： 1-P(-15&X&15) = 1-0.8198 = 0.1802 (2) 由题意，设有 n 个数相加可使误差总和绝对值小 于 10 的概率为 0.90,X = nXi. 由独立同分布的中心极限定 理，随机变量 1 ?in?1 ( X i ? E ( X i )) ? 1 X 近似地服从标准正态? nn /12分布. 则X 10 ? ? ?10 P( X ? 10) ? P(?10 ? X ? 10) ? P ? ? ? ? n /12 n /12 ? ? n /12 ? 10 ? ? ?10 ? ? 10 ? ?? ? ??? ? ? 2? ? ? ? 1 ? 0.9 ? n /12 ? ? n /12 ? ? n /12 ?= 0.90? 10 ? 即 ?? ? ? 0.95. ? n /12 ? 10 查表得 n /12=1.645,解得：n=443 即 443 个数相加可使误差总和绝对值小于 10 的概 率为 0.05 的概率44概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第四章第 45 页 (共 79 页)5. 为了确定事件 A 的概率，进行了一系列试验. 在 100 次 试验中，事件 A 发生了 36 次，如果取频率 0.36 作为事 件 A 的概率 p 的近似值，求误差小于 0.05 的概率. 解 (删除)6. 一个复杂系统由 10000 个相互独立的部件组成，在系统 运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1，又知为使系统正 常运行，至少有 89％的部件工作. （1） 求系统的可靠度（系统正常运行的概率） ； （2） 上述系统由 n 个相互独立的部件组成， 而且要求至 少有 87％的部件工作，才能使系统正常运行，问 n 至少为多在时，才能保证系统的可靠度达到 97.72％？ 解 设 X 表示正常工作的部件数，X~B(1), (1) 所求的概率为 P( X ? 0.89 ?10000) , 由于 n 比较大，可以使 用 中 心 极 限 定 理 ， 由 于 E ( X ) ? np ? 9000, D( X ) ? np(1 ? p) ? 900 ， 近似地有， X~N(), 则P( X ? 8900) ? 1 ? P( X ? 8900) X ?
? 9000 ? 1 ? P( ? ) 900 900 ? 1 ? ? ? ?3.33? ? 1 ? ?1 ? ? ? 3.33? ?? ? ? 3.33? ? 0.9996(2) 根 据 题 意 , 设 X 为 正 常 工 作 的 部 件 数 ， 则E ( X ) ? np ? 0.9n,D( X ) ? np(1 ? p) ? 0.09n根据中心极限定理, 近似地有45X~N(0.9n, 0.09n)概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第四章第 46 页 (共 79 页)P( X ? 0.87n) ? 1 ? P( X ? 0.87n) ? X ? 0.9n 0.87n ? 0.9n n? ? 1? P? ? ? ? ? ? 0.09n 10 ? 0.09n ? ? ? ? n? n? ? 1? ?? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 10 ? ? 10 ? ? ? ? ? ? ? n? ? ?? ? 10 ? ? ? 0.9772 ? ? n 查表得 ? 2.0 , 10n=400,即, n 至少为 400 时, 才能保证系统的可靠度达到 97.72%. 7. 某单位有 200 台电话分机， 每台分机有 5％的时间要使用 外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的， 问该单位总机要安装多少条外线才能以 90％以上的概率 保证分机使用外线时不等待？ 解 设 X 为某时刻需要使用外线的户数（分机数） ，显然 X~(200, 0.05)， E(X) = np = 10, D(X) = np(n-p) = 9.5. 设 k 是为要设置的外线的条数，要保证每个要使用外线 的用户能够使用上外线，必须有 k≥X. 根据题意应有：P( X ? k ) ? 0.90这里 n=200 ，较大，可使用中心极限定理， 近似地有 X~N(10, 9.5)：? X ?1 0 k ? 1 0 ? P( X ? k ) ? ?P ? ? ? 9 .? 5 ? 9.5 经过查表， k ? 10 ? 1.29, k ? 13.97 ， 9.5 ?k? 1 0 ? ? ?. 9 0 ? ? 0 9? .5 ?取 k = 14即至少 14 条外线时， 才能保证要使用外线的用户都能使 用外线的概率大于 95%. 8. 设μ n 为 n 重伯努利试验中成功的次数，p 为每次成功的 概率，当 n 充分大时，试用棣莫弗－拉普拉斯定律证明46概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第四章第 47 页 (共 79 页)P(|? ?n n ? ? p |? ?) ? 2? ? ? ? ? ? ? 1. n ? pq ?式中，p＋q＝1； ? ? x? 是标准正态分布的分布函数. 证明 由题意， ?n ~ B(n, p) , E(?n ) ? np, D(?n ) ? npq , 当 n 很大时， ?n 近似服从正态分布，即 ?n ~ N (np, npq) , 或者使用标准化的随 机变量： ?n ? np ~ N (0, 1) ,npqq ? 1? p因此，由棣莫弗-拉普拉斯定理，有?? ? P? n ? p ? ? ? ? n ?? ? n? ? ? npq ? ??n ? np = P ? ?n ? np ? n? ? ? P ? ?npq? ? P ? ?? ? ? ? 公式4.3 ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? 2? ? ?? ??? ? np n ? n ?? pq npq? n ? ? ?? ? ? ? ?? pq ? ?n ? ? pq ? ? n ? ? pq ? ?? n ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? pq ? ? ? ? n ? ? ?1 pq ? ?n ?? ?? ? pq ? ??9. 现有一大批种子，其中良种占 1 ，今在其中任选 4000 粒，4试问在这些种子中，良种所占比例与 1 之差小于 1％的概4率是多少？ 解 设 X 为 4000 粒种子中良种粒数，则所求的概率为：? X 1 ? P? ? ? 0.01? ? 4000 4 ?因为，X ~ B(), 理，有由棣莫弗-拉普拉斯定47概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第四章第 48 页 (共 79 页)? X 1 ? P? ? ? 0.01? ? 4000 4 ? ? P ? X ? 1000 ? 40 ? 40 ?40 ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? 4000 ? 0.25 ? 0.75 ? ? 4000 ? 0.25 ? 0.75 ? ? 2? ?1.46 ? ? 1 ? 0.855610.一批种子中良种占 1 ，从中任取 6000 粒，问能以 0.996 6的概率保证其中良种的比例与 1 相差多少？这时相应的 良种粒数落在哪个范围？ 解 设 X 为 6000 粒种子中良种粒数，设所求的差异为 p, 则所求的概率为：? X 1 ? P? ? ? p ? ? 0.99 ? 6000 6 ?因为，X ~ B(), E(X) = np = 1000, D(X) = np(1-p)= 2500/3, 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有? X 1 ? P? ? ? p? ? 6000 6 ? ? P ? X ? 1000 ? 6000 p ? ? 6000 p ? ? ?6000 p ? ? ?? ???? ? ? 2500 / 3 ? ? 2500 / 3 ? ? 6000 p ? ? 2? ? ? ? 1 ? 0.99 ? 2500 / 3 ?? 6000 p ? ?? ? ? 0.995 ? 2500 / 3 ? 6000 p ? 2.575, 查表可得 2500 / 3 5 2.575 ? 6000 ? 1 6?6 解得 p ? ? 0.因此由于 0 . 0 1?2 4 间(926, 1074)之间.6 ?0 0 0 74 所以 ,良种的粒数大约落在区48概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 49 页 (共 79 页)第五章 数理统计的基本概念 1. 在总体 N(52，632)中随机抽取一容量为 36 的样本，求样 本均值 X 落在 50.8 到 53.8 之间的概率.X ?? X ? 52 ? ~ N (0,1) ? ? / n 6.3/ 36 ? ? ???????????? P(50.8 ? X ? 53.8) ? P ? 50.8 ? 52 ? X ? 52 ? 53.8 ? 52 ? ? 6.3/ 36 6.3/ 36 6.3/ 36 ? 53.8 ? 52 50.8 ? 52 ? ?( ) ? ?( ) 6.3 / 36 6.3 / 36 ? ? (1.714) ? ? (?1.14) ? ? (1.714) ? ? (1.14) ? 1 ? 0.8293解 由题意，由定理 1 (1),2. 在总体 N(80， 202)中随机抽取一容量为 100 的样本， 求样 本均值与总体均值的绝对值大于 3 的概率是多少？ 解 这里总体均值为?=80, ?=20, n=100, 由定理 1(1)X ???/ n?X ? 80 20 / 100?1 ( X ? 80) ~ N (0,1) 2由题意得：P( X ? 80 ? 3) ? 1 ? P( X ? 80 ? 3) ? 1 ? P(?3 ? X ? 80 ? 3) 3? ? ?3 1 ? 1? P? ? X ? 80 ? ? 2? ? 2 2 ? 1 ? (?(1.5) ? ?(?1.5)) ? 2 ? 2?(1.5) ? 2 ? 2 ? 0.9332 ? 0.1336??3. 求总体 N(20，3)的容量分别为 10，15 的两独立样本均值 差的绝对值大于 0.3 的概率. 解 由定理 2(1),X ? Y ? ( ?1 ? ?2 ) X ?Y ? ? 0.8165 X ? Y ~ N (0,1) 1 1 1 1 ? n1 ? n2 3 10 ? 15??由题意，所求的概率为P( X ? Y ? 0.3) ? 1 ? P(?0.3 ? X ? Y ? 0.3) ? 1 ? P ?0.3 ? 0.8165 ? 0.8165 X ? Y ? 0.3 ? 0.8165 ? 1 ? (2?(0.245) ? 1) ? 2(1 ? 0.5987) ? 0.802649??????概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 50 页 (共 79 页)4. 设总体 X 的容量为 10 的样本观测值为 4.5，2.0，0，1.0， 1.5，3.4，4.5，6.5，5.0，0，3.5，4.0. 试分别计算样本 均值 X 与样本方差 S2 的值. 1 X ? (4.5 ? 2.0 ? 1.0 ? 1.5 ? 3.4 ? 4.5 ? 6.5 ? 5.0 ? 3.5 ? 4.0) ? 3.59 解10 1 n S2 ? ? Xi ? X n ? 1 i ?1??2?1 n 1 2 ? X i ? 3.59? ? ? 25.929 ? 2.881 ? 9 i ?1 95. 样本均值与样本方差的简化计算如下：设样本值 x1 ， x2， ?， xn 的平均值为 x 和样本方差为 Sx2 ， 作变换 yi ? xi ? a ，c得到 y1, y2 ,? yn ， 它的平均值为 y ， 方差为 S ， 试证：x ? a ? cy ， 2 2 . Sx ? c2 S y2 y证y?明1 n ? yi , n i ?12 Sy ?由yi ?1 ? cxi ? ? , 所以ai,?xi?c1 n 2 ? yi ? y ? ? n ? 1 i ?1 1 n 1 n 1? n ? x ? ? xi ? ? ? cyi ? a ? ? ? ? cyi ? na ? n i ?1 n i ?1 n ? i ?1 ? n n 1? 1 ? ? ? c? yi ? na ? ? c ? yi ? a ? cy ? a n ? i ?1 n i ?1 ? n 1 1 n 2 2 2 Sx ? x ? x ? ? ? ? (cyi ? a) ? (cy ? a) ? ? ? i n ? 1 i ?1 n ? 1 i ?1 n 1 1 n 2 2 2 ? cy ? cy ? c ? yi ? y ? ? i ? ? ? n ? 1 i ?1 n ? 1 i ?1 n 1 2 ? c2 ? yi ? y ? ? c2 S y2 ? n ? 1 i ?16. 对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的样本值为 ，，，， 2310． 采用下面简化计算法计算样本均值和样本方差 . 即先作变 换 yi ? xi ? 2000 ，再计算 y 与 S y2 ，然后利用第 5 题中的公式获得 2 x 和 Sx 的数值. 解 做变换后，得到的样本值为：-61，-303，，50概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 51 页 (共 79 页)20，-91，-185，20，3101 n ? yi ? 240.44 n i ?1 1 n 2 2 Sy ? ? yi ? y ? ?
? n ? 1 i ?1 y?x ? y ? 2000 ? 2240.442 S x2 ? S y ? 7. 某地抽样调查了 1995 年 6 月 30 个工人月工资的数据， 试画出它们的直方图，然后利用组中间值给出经验分布 函数. 440 420 420 360 376 330 426 476 396 428 444 366 436 364 440 444 556 384 404 424 340 424 412 388 472 430 380 420 500 430* 解 最小值 x1* ? 330 ,最大值 x100 ? 556 , 故(a, b]可取为(329, 559], 将(a, b]分为长度为 23 的 10 个区间, 列出频数与频率表如 下： 序 组(ti-1, 频 频率 序 组(ti-1, 频 频率 ti), ti) 号 数 号 数 1 (329, 2 0.067 6 (444, 0 0 352] 467] 2 (352, 3 0.1 7 (467, 2 0.067 375] 490] 3 (375, 5 0.167 8 (490, 1 0.033 398] 513] 4 (398, 5 0.167 9 (513, 0 0 421] 536] 5 (421, 11 0.367 10 (536, 1 0.03351概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 52 页 (共 79 页)444] 合计：559] 30 1由于第 6 组与第 9 组频数为 0，可将其与下一组合并。合 并数据为 8 组，结果如下表： 序 号 1 2 3 4 5 组(ti-1, ti), (329, 352] (352, 375] (375, 398] (398, 421] (421, 444] 频 频率 序 数 号 2 0.067 6 3 5 5 0.1 0.167 0.167 30 1 7 8 组(ti-1, ti) (444, 490] (490, 513] (513, 559] 频 频率 数 2 0.067 1 1 0.033 0.03311 0.367 合 计根据表上数据作出直方图，如下图所示：y f(x)O329559x再用组中值的频率分布 组 中 340. 间 5 值 频 0.06363. 5 0.1386. 5 0.16409. 5 0.1652432. 5 0.36467 0.06501. 5 0.03534 0.03概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 53 页 (共 79 页)率7777733可求出经验分布函数 F30(x).? 0, ?0.067, ? ?0.167, ? ?0.333, ? F30 ( x) ? ?0.5, ?0.867, ? ?0.933, ? ?0.967, ? ?1, x ? 340.5, 340.5 ? x ? 363.5, 363.5 ? x ? 386.5, 386.5 ? x ? 409.5, 409.5 ? x ? 432.5, 432.5 ? x ? 467 , 467 ? x ? 501.5, 501.5 ? x ? 534, 534 ? x.8. 设 X1 ， X2 ，?， X10 为 N （ 0 ， 0.32 ）的一个样本，求P(? X i2 ? 1.44) .i ?1 10解由于 Xk 是来自 N(0, 0.32) 的样本，则1 10 2 ? Xk ? ? ? X k ? 服从自由度 ? ? ? ? 0.09 k ?1 k ?1 ? 0.3 ? 10 ? ? 1 10 2 ? 2 因此 P ? X ? 1.44 ? P ?? k ? ? 0.09 ? X k ? 16 ? k ?1 ? k ?1 ? ? ?10 2Xk ? 0 ~ N (0,1) ， 0,3k=1,2,…,10，所以有 n=10 的?2 分布.2 查表可知， ?0.1 (10) =15.987? 2 故 P? ? ? X k ? 1.44 ? ? 0.110? k ?1?9. 查 x2 分布表求下列各式中λ 的值： （1） P(? 2 (8) ? ?) ? 0.01; （2） P(? 2 (15) ? ?) ? 0.01. P(?2(8)&?) = 1-P(?2(8)&?) = 0.99, 2 , 4即 ?0 ( 98 ) ? 1.6 6 ??????? . 9 (2) 查表得?????????? ? 10. 查 t 分布表求下列各式中λ 的值： （1） P(t (8) ? ?) ? 0.95; 解 (1)53查表得概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 54 页 (共 79 页)（2） P( t(15) ? ? ) ? 0.95; 解 (1)P ?t (5) ? ? ? ? 1 ? P ?t (5) ? ? ? ? 0.95, P ?t (5) ? ? ? ? 0.05,查表得 ? ? 2.015. (2) P ? t (5) ? ? ? ? P ? ?? ? t (5) ? ? ? ? 1 ? 2 P ? t (5) ? ? ? ? 0.95 P ? t (5) ? ? ? ? 0.025,查表得? ? 2.570611. 查 F 分布表求下列各式的值： （1） F0.95 (10,9); （2） F0.05 (10,9). 解 (1) F0.95 (10,9) ? 1/ F0.05 (9, 10) ? 1/ 3.02 ? 0.3311 (2) F0.05 (10, 9) ? 3.14 12. 证明 已知 X～t(n)，求证 X2～F(1, n). 因为 X～t(n), 由定义, 存在相互独立的随机变量 T 与 Y， 使得 X ? T / Y / n , 其中 T ~ N (0, 1), Y ~ ? 2 (n) , 又因 T 与 Y 相互独立，故 T2 与 Y 相互独立， T 2 ~ ? 2 (1) ， Y ~ ? 2 (n) , 则X2 ? T2 T 2 /1 ? Y /n Y /n F (1, n) .13. 设 X1，X2，?，Xn 是来自 ? 2 (n) 分布 的样本，求样本 均值 X 的数学期望和方差. 解 由于 X k ~ ? 2 (n) , k=1,2, …, n, 则 E( X k ) ? n, D( X k ) ? 2n1 n ?1 n ? 1 n E( X ) ? E ? ? X k ? ? ? E ? X k ? ? ? ? ? ? n k ?1 ? n k ?1 ? n k ?1 1 n ? ?1 n ? 1 n D( X ) ? D ? ? X k ? ? 2 ? D ? X k ? ? 2 ? ? ? n k ?1 n ? n k ?1 ? n k ?154概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 55 页 (共 79 页)E ? X k2 ? ? E ? X k ( X k ? 1) ? X k ? ? E ? X k ( X k ? 1) ? ? E ? X k ? ? ? k (k ? 1)k ?0 ??kk!e?? ? ??? e22 ??? (k ? 2)! ??k ?2?? k ?2?? ?? 2 ?? 1 n 2 ? ? E X ? E ?? ? Xk ? ? ? ? n k ?1 ? ? ? ? n ? 1 ? ?? ? E ? 2 ? ? X k2 ? 2? X i X j ? ? ? n k ?1 ? i? j ?? ? ? ? ?? 1 ? n ? 2 ? ? E ? X k2 ? ? 2 E ? ? X i X j ? ? ? n ? ? i? j ?? ? k ?1 ? 1 ? n ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2? E ? X i ? E ? X j ? ? n ? k ?1 i? j ? 1 2 2 ? 2 ? n? 2 ? n? ? 2Cn ? ? n 1 ? 2 ? n? 2 ? n? ? n(n ? 1)? 2 ? n ? ? ? ?2 n? ?或者E X?? ? ? ? D ? X ? ? ? E( X )? ? ? n2 222 ?? ? 1 ? n 2 E (S 2 ) ? E ? X k ? nX ? ? ? ? ?? ? n ? 1 ? k ?1 n 2 ? 1 ? ? E ? X k2 ? ? E nX ? ? ? n ? 1 ? k ?1 ?? ??1 ? n ?? ?? ?2 ? ? ? ? n? ? ?2 ?? ? ? ? n ? 1 ? k ?1 ?n ?? 1 ? n? 2 ? n? ? ? ? ? n? 2 ? n ?1 1 ? (n ? 1)? ? ? n ?1??14. 设 X1，X2，?，Xn 为来自泊松分布 ???? 的样本， X ， S2 分别为样本均值和样本方差，求 E( X )，D( X )，E(S2). 解 由于 X k ~ ? (? ) , k=1,2,…, n, 则 E( X k ) ? ?, D( X k ) ? ?55概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 56 页 (共 79 页)1 n ?1 n ? 1 n E( X ) ? E ? ? X k ? ? ? E ? X k ? ? ? ? ? ? n k ?1 ? n k ?1 ? n k ?1 1 n ? ?1 n ? 1 n D( X ) ? D ? ? X k ? ? 2 ? D ? X k ? ? 2 ? ? ? n k ?1 n ? n k ?1 ? n k ?12? ? 1 n E(S 2 ) ? E ? Xk ? X ? ? ? ? ? n ? 1 k ?1 ? n 1 ? ? 2 ? E ? X k ? ? nE ( X 2 ) ? ? ? n ? 1 ? k ?1 ?2 ? 1 ? n 2 D( X k ) ? ? E ( X k ) ? ? n D( X ) ? ? E ( X ) ? ? ? ? n ? 1 ? k ?1 ? 1 ? ?? ?? ? n ?? ? ? 2 ? ? n ? ? ? 2 ? ? ? n ?1? ?n ?? 1 ? n? ? n? 2 ? ? ? ? n? 2 ? ? ? n ?1??? ????15.设 X1 ， X2 ， X3 ， X4 为来自总体 N (0, 1) 的样本， X ? a( X1 ? 2 X 2 )2 ? b( X 3 ? 3X 4 )2 ，当 a，b 为何值时， X 2 ? 2 (n) ， 且自由度 n 是多少？ 解 由于 X1，X2，X3，X4 相互独立，均服从 N (0, 1)正态 分布， 因此X1 ? 2 X 2 ~ N (0, 1 ? 22 ) ? N (0,5)X 3 ? 3X 4 ~ N (0, 1 ? 32 ) ? N (0,10)则,X1 ? 2 X 2 5 ~ N (0, 1) ， ~ N (0, 1) ,2? X1 ? 2 X 2 ? ? X1 ? 2 X 2 ? ~ ? 2 (1) ? ? ? 5 5 ? ?2 2X 3 ? 3X 4 10? X 3 ? 3X 4 ? ? X 3 ? 3X 4 ? ~ ? 2 (1) ? ? ? 10 10 ? ?2 2? X1 ? 2 X 2 ?即5 10 2 2 X1 ? 2 X 2 ? ? X 3 ? 3 X 4 ? ? X? ? ~ ? 2 (2) 5 10? X ? 3X 4 ? ? 32~ ? 2 (1 ? 1) ? ? 2 (2)因此，X 服从 ? 2 分布，自由度 n=2, 16.并且 a ? 1 , b ?51 . 10设在总体 ?? ?? ?? ? ? 中抽取一容量为 16 的样本，这里 ?? ?? 2 均为未知，求：56概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 57 页 (共 79 页)（1） P( S 2?2? 2.041) ，其中S2 为样本方差；（2）D(S2). 解 ??? 因2X ~ N ( ? , ? 2 ), 所以(n ? 1) S 2?22~ ? 2 (n ? 1)? P ? ? 2 (15) ? 30.615??S ? ? (16 ? 1) S ? P ? 2 ? 2.041? ? P ? ? 2.041 ? (16 ? 1) ? 2 ? ?? ? ? ? 2 ? (16 ? 1) S ? ? P? ? 30.615 ? 2 ? ? ?? 1 ? P ? ? 2 (15) ? 30.615?2 查表, 得 ?0.01 (15) ? 30.578 , 因此2 P ? ? 2 (15) ? 30.615 ? ? P ? ? 2 (15) ? ? 0.01 (15) ? ? 0.01所以? S2 ? P ? 2 ? 2.041? ? 1 ? 0.01 ? 0.99 ?? ? ? 2 (n ? 1) S 2 ? ???? D(S 2 ) ? D ? ? ? 2 ? n ?1 ? ???4? n ? 1??2? (n ? 1) S 2 ? D? ? 2 ? ? ?2?4? n ? 1?2(n ? 1) ?2? 4 n ?1? ? 2 (n ? 1) S 2 ? E (S 2 ) ? E ? ? 2 ? n ?1 ? ? 2 2 ? ( n ? 1) S ? ? ? E? ? n ?1 ? ? 2 ???2n ?1(n ? 1) ? ? 217. 设 X1，X2，?，X16 是来自总体 X～ ???????? ? 的样本，X 和 S2 分 别 是 样 本 均 值 和 样 本 方 差 ， 求 k 使 得P( X? ? ? k ) S ?0 . 9 5 .解因X ~ N (?, ? 2 ),由定理 1(4)57X ?? ~ t (n ? 1) , S/ n即概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 58 页 (共 79 页)? X ?? ? ? X ?? ? P( X ? ? ? kS ) ? P ? ? k ? ? P? ? 16k ? ? S ? ? S / 16 ? ? X ?? ? ? X ?? ? ? P? ? 4k ? ? P ? ? 4k ? ? 0.95 ? S / 16 ? ? S / 16 ?由于 t1?? (n) ? ?t? (n) , 因此， 查 t 分布表(n=15, ?=0.05), 可得，-4k = 1.7531 解得 k ? ?0.4383 18. 设 X1，X2，?，Xn 是来自正态总体 ??? ? ?? ? 的样本，X 和 S2 分别是样本均值和样本方差，又设 X n?1 ~ N (?, ?2 ) ，且 与 X1，X2，?，Xn 独立，试求统计量X n?1 ? X S n n ?1? X ?? ? P? ? ?4k ? ? 1 ? 0.95 ? 0.05 , ? S / 16 ?的抽样分布. 解( ?,2 因 为 X k ~ N? )? k ,2 1 , ,n 2 , .X . . ， ~ N (?, 1 n? )X n?1 ~ N (?, ? 2 )所以2 X n?1 ? X ~ N (0, (1 ? 1 n )? ) ? N (0,n?1 n? 2)因而 U ? 又V?X n ?1 ? Xn ?1 n?2~ N (0,1)~ ? 2 (n ? 1)2 (n ? 1) Sn?2因为 U, V 相互独立, 所以X n ?1 ? X Sn? X n ?1 ? Xn ?1 nX ?X n ? n ?1 ?1 n ?1 ? nn2 (n ? 1) SnSn ?~ t (n ? 1) .?2?21 ? n ?1U V n ?158概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第 59 页 (共 79 页)59概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第六章第 60 页 (共 79 页)第六章 参数估计与假设检验 1. 使用一测量仪器对同一量进行 12 次独立测量，其结果为 （单位：毫米） 232.50 232.45 232.48 232.47 232.48 232.15 232.53232.30 232.05 232.30 232.45 232.60试用矩法估计测量值的均值和方差 （设仪器无系统误差） . 解X? S2 ? 1 n 1 X i ? (232.50 ? 232.48 ? ... ? 232.30) ? 232.3967 ? n i ?1 12 1 n ? ( X i ? X )2 ? 0.0245 . n ? 1 i ?12. 设样本值(1.3 ＝ 解10.6 1.72.20.3 1.1)来自具有密度 f(x)?，0≤x≤β 的总体，试用矩法估计总体均值、总体n方差以及参数β . 我们以 X ? 1 ? X i 作为总体均值 ? ? E ( X ) 的估计量，以ni ?1 n1 2 B2 ? ? ? X i ? X ? n i ?1作为总体方差 ? 2 ? D( X ) 的估计量，则有??? ? E ( X ) ? ? xf ( x)dx ? ? x?? 0?1?dx ??2样本的一阶原点矩A1 ? 1 n 1 X i ? X ? (1.3 ? 0.6 ? 1.7 ? 2.2 ? 0.3 ? 1.1) ? 1.2 ? n i ?1 6由矩法估计得? ? A1 ? X ? 1.2 ?即? ? 2? ? 2.4 ? 1.2, ?60概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第六章第 61 页 (共 79 页)另1 n 1 5 2 B2 ? ? ( X i ? X ) ? ? ( X i ?1.2)2 ? 0.407 n i ?1 6 i ?1由矩法估计得? 2 ? B2 ? 0.407 ?3. 随机地取用 8 只活塞环，测得它们的直径为（单位：毫 米） 74.001， 74.005， 74.003， 74.001， 74.000， 73.998， 74.006， 74.002. 试求总体均值 μ 及方差 σ 2 的矩估计值，并求样本方差 S2. n 解 我们以 X ? 1 ? X i 作为总体均值 ? ? E ( X ) 的估计量，以ni ?11 2 B2 ? ? ? X i ? X ? 作为总体方差 ? 2 ? D( X ) 的估计量，则有： n i ?1 1 x ? 74 ? (0.001 ? 0.005 ? 0.003 ? 0.001 ? 0 ? 0.002 ? 0.006 ? 0.002) ? 74.002 8nb2 ? 0.0012 ? ? 6 ?10-61 (1 ? 2)2 ? (5 ? 2)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 2)2 ? (0 ? 2)2 ? (?2 ? 2)2 ? (6 ? 2) 2 ? (2 ? 2) 2 ? ? 8? ? x ? 74.002, 即?S2 ?? 2 ? b2 ? 6 ?10?6 ?n 2 8 b ? ? 6 ?10-6 ? 6.857 ?10-6 n ?1 74. 设样本 X1，X2，?，Xn 来自指数分布 x?aX ~ f ( x : a, ? ) ? 1?e??, x ? a, ? ? 0求参数 a, ? 的矩估计量. 解 总体 X 的一阶原点矩：? ? E ( X )? ? xf x( a :? dx , ? )? x e ?? a ?? ??? ? ? (? t ? a)e?t dt ?? ? te?t dt ? ? ae ?t dtx?a???1?x?a?dx?t???000? a ??总体 X 的二阶中心矩：B2 ? ? 2 ? D( X ) ? E( X 2 ) ? E 2 ( X )61概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第六章第 62 页 (共 79 页)?? xa?21? ? 2? ? 2a? ? a2 ? (? 2 ? 2a? ? a2 ) ? ? 22e?x?a?dx ? ? a ? ? ?2由矩法， 应有?? X ?? ? ?a ? ?? ? ? ?2 2 1 n ? ? B ? Xi ? X ? ? ? 2 ? n i ?1 ?解这个方程， 得?? ?2 1 n Xi ? X ? ? ? n i ?1? ? B2 ? X ? a2 1 n Xi ? X ? ? ? n i ?15. 对容量为 n 的样本，求密度函数?2 ? (a ? x), 0 ? x ? a f ( x : a) ? ? a 2 ? 0, 其他 ?中参数 a 的矩估计值. 解 总体 X 的一阶原点矩：,? ? E ( X ) ? ? xf ( x : a)dx ? ? x?? 0 ?? a2 a (a ? x)dx ? 2 a 3由矩法，有 a ? X ? 1 ? X i ,ni ?1? 3n解得? ? 3X a6. 设 X～B(1, p)，X1，X2，?，Xn 是来自 X 的一个样本， 试求参数 p 的最大似然估计量. 解 设 X1，X2，…，Xn 是取自总体 X 的样本，由 X~B(1， p), x1，x2，…，xn 是相应于样本 X1，X2，…，Xn 的一个 样本值，似然函数为：L( x1 , x2 , xn , p ) ? ? p (1 ? p )xi i ?1 n 1? xi? p i?1 (1 ? p )? xinn?? xii ?1nln L( x1 , x2 ,n n ? ? xn , p) ? ? xi ln p ? ? n ? ? xi ? ln(1 ? p) , i ?1 i ?1 ? ?62概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第六章第 63 页 (共 79 页)令n ? ? ? ? n ? ? xi ? d ln L i ?1 i ?1 ?, ? ? ? dp p 1? p d ln L ? 0 则有 dp? xin,n ? ? ?1 ? p ? ? xi ? p ? n ? ? xi ? , i ?1 i ?1 ? ? n解得 p 的最大似然估计值为?? p 1 n ? xi ? x n i ?1因此, 相应的最大似然估计量为??X p7. 设总体 X 服从几何分布，它的分布律为P( X ? k ) ? p(1 ? p)k ?1, k ? 1,2,X1，X2，?，Xn 为 X 的一个样本，求参数 p 的矩估计量 和最大似然估计量. 解 (1) 总体 X 的一阶原点矩：? ? E ( X ) ? ? k ? pk ? ? k ? p(1 ? p)k ?1 ? p? k (1 ? p)k ?1 ?k ?1 k ?1 k ?1 ? ? ?1 p样本的一阶原点矩：1 n A1 ? ? X i ? X n i ?1由矩估计， 有 所以 1? p ?X? ? A1 ? X ??? p 1 X，(2) 设 X1， X2， …， Xn 是取总体 X 的样本， x1， x 2， …， xn 是相应于样本 X1，X2，…，Xn 的一个样本值，似然函数 为：L( x1 , x2 , xn , p) ? ? p(1 ? p) xk ?1 ? p n (1 ? p) k ?1k ?1 n? xk ? nnln L( x1 , x2 ,? n ? xn , p) ? n ln p ? ? ? xk ? n ? ln(1 ? p) , ? k ?1 ?63概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第六章第 64 页 (共 79 页)? n ? ? ? ? xk ? n ? d ln L n ?, ? ? ? k ?1 dp p 1? p 令 d ln L ? 0 , 则有 dp? n ? ? ? xk ? n ? p ? n(1 ? p) ? k ?1 ?解得 p 的最大似然估计值为?? pn?xk ?1n?1 X1 xk因此, 相应的最大似然估计量为?? p8. 设总体 X 在 [a, b] 上服从均匀分布， a, b 未知，x1，x2，?， xn 是一个样本值，试求 a, b 的最大似然估计量. 解 由题，总体 X 的密度函数为：? 1 , a? x?b ， f ( x) ? ? b ? a other ? 0,似然函数为1 ? n 1 , a ? xi ? b ?? b ? a ? n L(a, b) ? ? k ?1 ?b ? a ? ? 0 other ?根据最大似估计的思想，L 越大，样本观察值越可能出 现. 考虑 L 的取值，要使 L 取值最大，(b-a)应最小. 因为 a ? x1, x2 , xn ? b , 所以，当a ? min( x1 , x2 ,..., xn ), b ? max( x1, x2 ,..., xn )时，似然函数取最大值 因此* ? ? X1* ? min( X1, X 2 ,..., X n ), b ? X n a ? max( X1, X 2 ,..., X n )9. 设总体 X 服从参数为θ 的指数分布，概率密度为x ? 1 ?? ? e , x?0 f ( x,? ) ? ?? ?0, other ?64概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第六章第 65 页 (共 79 页)其中，参数 θ&0 为未知，又设 X1，X2，?，Xn 是来自 X 样本，试证：nZ＝n(min（X1，X2，?，Xn） ）是 θ 的无偏 估计量. 解 因 为 E ? X ? ? E( X ) ? ? , 所 以 X 是 ? 的 无 偏 估 计 量 . 而? n ? nx ? ? e , x?0 f min ( x,? ) ? ?? ? other ? 0,Z ? min( X1 , X 2 ,..., X n ) 具有概率密度所以有 E (Z ) ? ? / n , E (nZ ) ? ? ?即??n?是?的无偏估计量??? ? 10. 设从均值为?，方差为?2&0 的总体中分 别抽取容量为 n1，n2 的两个独立样本， X1 和 X 2 分别是两 样本的均值，试证：对于任意常数 a，b（a＋b＝1） ，Y ＝a X1 ＋b X 2 都是?的无偏估计， 并确定常数 a， b， 使 D(Y) 达到最小. 解 由题意，E( X1 ) ? E( X 2 ) ? ? ，D( X1 ) ??2 ?2 , D( X 2 ) ? , n1 n2X1 , X 2 相互独立, 则E(Y ) ? E(aX1 ? bX 2 ) ? aE( X1 ) ? bE( X 2 ) ? (a ? b)? ? ?所以，Y 是 ? 的无偏估计. 因为? a 2 b2 ? 2 D(Y ) ? D(aX 1 ? bX 2 ) ? a D( X 1 ) ? b D( X 2 ) ? ? ? ? ? ? n1 n2 ?2 2由于 a+b=1, 所以有a 2 b2 ? n1 n2a? n1 n1 ? n2= (n1 ? n2 )a? 2