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高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
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3秒自动关闭窗口2017考研数学：高数求极限的16个方法及常考题型
来源：新东方网整理
　　极限可以说是高数的重点，是每年都必考的一个知识点，复习高数的时候，求极限大家一定要多理解多做题，下面总结了16类求极限的方法及一些常考察的题型，把它们掌握了，相信对于求极限的问题已经基本可以解决了。
　　解决极限的方法如下：
　　1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
　　2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
　　3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
　　4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!
　　5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!
　　6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
　　7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。
　　8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。
　　9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
　　10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)
　　11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。
　　12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。
　　13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
　　14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
　　15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!
　　16、直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义!
　　函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：
　　1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样(奇函数相加为0);
　　2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致;
　　3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系;
　　4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质!(可以导的函数的单调性和他的导数正负相关):o再就是总结一下间断点的问题(应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的)间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的(左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点;第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点(这也说明极限即使不存在也有可能是有界的)。
　　下面总结一下，求极限的一般题型：
　　1、求分段函数的极限，当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了!当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的!
　　2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉!
　　解决办法：
　　1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么?但是!有2个问题要注意!问题1：积分函数能否求导?题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的!!!!问题2：被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决?
　　解决1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!解决2的方法：当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数!!当x与t是除的关系或者是加减的关系,就要换元了!(换元的时候积分上下限也要变化!)
　　3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候,就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的,当所求的极限是递推数列的时候:首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!!数列是离散的,只能用前后项的比较(前后项相除相减)，数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同时求极限,就能出结果了!
　　4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。
　　解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如:当x趋近0时候f(x)比x=3的函数,分子必须是无穷小，否则极限为无穷,还有洛必达法则的应用,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则,可以消掉某些未知数，求其他的未知数。
　　5、极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数，但是不太会。
　　最后总结一下间断点的题型：
　　首先，遇见间断点的问题、连续性的问题、复合函数的问题，在某个点是否可导的问题。主要解决办法一个是画图，你能画出反例来当然不可以了，你实在画不出反例，就有可能是对的，尤其是那些考概念的题目，难度不小，对我而言证明很难的!我就画图!!我要能画出来当然是对的，在这里就要很好的理解一阶导的性质2阶导的性质，函数图形的凹凸性，函数单调性函数的奇偶性在图形中的反应!(在这里尤其要注意分段函数!(例如分段函数导数存在还相等但是却不连续这个性质就比较特殊!!应为一般的函数都是连续的);
　　方法2就是举出反例!(在这里也是尤其要注意分段函数!!)例如一个函数是个离散函数，还有个也是离散函数他们的复合函数是否一定是离散的嘞?答案是NO，举个反例就可以了;
　　方法3上面的都不行那就只好用定义了，主要是写出公式，连续性的公式，求在某一点的导数的公式
　　最后了，总结一下函数在某一点是否可导的问题：
　　1、首先函数连续不一定可导，分段函数x绝对值函数在(0，0)不可导，我的理解就是：不可导=在这点上图形不光滑。可导一定连续，因为他有个前提，在点的邻域内有定义，假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等;
　　主要考点1：函数在某一点可导，他的绝对值函数在这点是否可导?解决办法：记住函数绝对值的导数等于f(x)除以(绝对值(f(x)))再乘以F(x)的导数。所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，找出这些点之后，这个导数并不是百分百不存在，原因很简单分母是无穷小，假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，所以还要找出f(a)导数的值，不为0的时候，绝对值函数在这点的导数是无穷，所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊。
　　考点2：处处可导的函数与在，某一些点不可导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断，直接使用导数的定义就能证明，我的理解是f(x)连续的话但是不可导，左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，f(x)乘以G(x)的函数在x趋近a的时候，f(x)在这点上的这2个极限乘以g(a)，当g(a)等于0的时候，左右极限乘以0当然相等了，乘积的导数=f(a)导数乘以G(a)+G(a)导数乘以F(a)，应为f(a)导数乘以G(a)=0，前面推出来了，所以乘积函数在这点上就可导了。导数为G(a)导数乘以F(a)。
(实习编辑：刘佰万)
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浅谈高等数学极限理论及其求解方法
　　摘要：高等数学极限理论是高等数学教学环节中的重要内容，是学习高等数学、线性代数以及复变函数等大学数学科目的基础科目，同时也是理工科院校搞好专业教育的基础和前提。本文主要介绍了高等数学极限在大学数学知识体系中的重要地位，对高等数学中的数列与函数极限的概念、运算法则以及求解方法进行简析。文章最后，介绍了数学极限思想的发展简史，并对其日后的发展趋势进行展望。 　　关键词：高等数学，数学极限，数列极限，函数极限，运算法则 　　一、极限概念和数学极限理论是高等数学教学研究的基础 　　极限概念在高等数学教学环节中具有举足轻重的基础地位，它是在大一课本中必学必考的一个重要知识点，也是贯穿高等数学教学体系的一条主线和基本思路，是学生在此后学习大学数学过程中常用到的数学基础知识和基本方法。因此，笔者认为，极限是学习高等数学的基础，在一定程度上决定并影响着学生学习高等数学以及其他数学科目的效果。而今我们所研究的数学极限理论概念，乃是一种由第二次数学危机推动的类似微增量类的计算形式，随后经过了一个长期的演变历程，最终形成了今天我们所谓的这种数学极限理论。这种理论，逐步经过世界著名数学家达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族以及拉普拉斯等多人的努力研究和丰富，高等数学微积分理论获得了巨大的发展。例如，著名的法国数学家柯西，通过卓越的努力和不懈的研究，为函数的连续性质、以及导数、微分、积分、无穷大极数的求和等概念建立了基础，并为这些基本概念的诞生和发展做好了准备。由于当时的实际情况限制，柯西无法独立完成实数的严格理论，因此其极限理论不能得到最终的完善。随之以后的一些数学家们，典型的有维尔斯特拉斯、戴德金等，都通过自身的不懈努力在各自所执迷的数学领域上进行了深入的研究，并且也都将分析基础归结为实数理论的一部分，同时于七十年代建立了相对完整的实数体系框架，因此今天我们可以说，在极限理论方面，数学家们是在柯西所开辟的道路上通过不懈的努力和奋斗而逐渐完善起来的。 　　二、高等数学中的极限概念以及数列极限 　　高等数学中的极限概念，最初是由某些实际问题的精确破解而产生的解决思路和方法技巧，它是一种用来描述和模拟某个变量在一定变化过程中的终极状态的概念或思路。比如，在物理教学中的瞬时速度的问题，就是采取数学极限的思路进行模拟解决的。根据平均速度的定义，我们可以知道，速度就是用位移差与时间差的比值来准确表示和表达，而且它只是代表着某一个时间段内的平均速度。根据极限的思路，我们假设时间差无穷小且趋近于零值，那么该比值就可以表示某一瞬间时刻的即时速度，这就是我们所研究的瞬时速度。这是极限概念引出的最典型事例，如果将其扩大到整个数学体系中，这就产生了一个问题：在这个极限的公式中，分子位移差与分母时间差的值同时趋于无限小，无疑出现了“0÷0”这一初等数学知识中明令禁止的做法，这有意义吗？这种质疑，促使人们为此而开发出一系列更为合理的解释和阐述，极限的思想也逐步成为一种成熟的数学工具方法和理论体系。在数学领域中，“极限”是用来描述变量在一定的变化过程中的极限状态的一种概念，极限经历了相当漫长艰辛的发展进程，不断积累和完善，因此它在在高等数学中始终是一个非常重要的内容，并且会以各种形式出现在各个章节，甚至贯穿于整个高等数学的全部内容。 　　数列极限是我们研究高等数学极限内容的一个重要的知识点和出发点，数列极限源于我国古代刘徽的“割圆术”一词：设有一个半径为1的整圆，在只知道直边形（正三角形，正方形，正五边形等规则图形）面积计算方法的情况下，拟计算该圆的面积。面对这样一个“中庸”的问题，刘徽首先以该圆为基准做其内接正六边形，并将其面积记作A1，其次再作其内接正十二边形，并将其面积记为A2，以此类推，该圆的内接正二十四边形的面积记为A3，逐步将直边形的边数加倍，当边数n无限增大时，该圆的内接正n边形的面积An将无限接近于该圆的实际面积，当数学家们计算到的9次方边形时，利用不等式An+10，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。 　　三、高等数学中函数极限的定义及其运算法则 　　高等数学中的函数极限，分为自变量x趋近于无穷大和x趋近于某一个确定的常数两种基本情况。其中，函数的自变量x趋近于无穷大，其函数极限的基本定义是：假设函数y=f（x）在开区间（a，+∞）内有定义，如果当自变量x逐步趋近于无穷大时，函数f（x）的值无限接近于一个确定的常数A，则称A是当自变量x趋于无穷大时函数f（x）的极限，简单记作lim f（x）=A ，x→+∞。而自变量x趋近于某一个确定的常数的函数极限的基本定义是：假设函数y=f（x）在点a的左右近旁都有定义，当自变量x无限趋近于a时（简单记作x→a），函数f（x）的值将会无限接近于一个确定的常数A，则称A为当自变量x无限趋近于a时函数f（x）的极限，简单记作lim f（x）=A ，x→a。对于后者而言，此时的函数具有左极限和右极限两种概念：其一，函数f（x）的左极限，是说如果当自变量x从点x=x0的左侧（即xx0的情况下）无限趋近于点x0时，函数f（x）的值无限趋近于常数a，就说a是函数f（x）在点x0处的右极限，记作x→x0+limf（x）=a；无论是左极限，还是右极限，都表示函数值随着自变量x在某一个区间内变化而变化的趋势，能够有效反映出这种变化是否存在突变，或者是否连续。 　　高等数学中函数极限符合数学计算中的基本运算规则，在数学中也称之为函数极限的有关公式，在此作以简单扼要的阐述：
　　第一，函数极限的加法运算规则：lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）； 　　第二，函数极限的减法运算规则：lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）； 　　第三，函数极限的乘法运算规则：lim（f（x）*g（x））=limf（x）*limg（x）； 　　第四，函数极限的除法运算规则：lim（f（x）/g（x））=limf（x）/limg（x） （ 其中limg（x）不等于0 ） ； 　　第五，函数极限的幂运算规则：lim（f（x））^n=（limf（x））^n；以上limf（x） limg（x）都存在时才成立； 　　第六，函数极限的指数运算规则：（1）lim（1+1/x）^x =e，x→∞；（2）lim（1+1/x）^x =e，x→0。 　　另外，高等数学中有两个非常重要的极限，即：“lim sin（x）/x =1 ，x→0 ”和“lim （1 + 1/x）^x =e ，x→0 （e≈2.7182818...，无理数）”。 　　四、高等数学中极限求解的基本方法 　　高等数学教学过程中，经常会用到极限求解的知识，因此数学教师和高校学生们较好地学习和掌握高等数学极限求解的基本思路与方法，对于日后学习高等数学十分重要，具有重要的基础作用。在此，笔者简单介绍几种高等数学极限求解的基本方法： 　　第一，高等数学迫敛性求解方法 　　高等数学中的极限求解方法很多，敛迫法是其中一种比较常用的极限求解方法，在此作简单的分析和探讨。笔者认为，运用迫敛性求解方法求解高等数学极限，则要充分认识并掌握其要点：当高等数学极限不容易直接求解得到答案时，建议采取敛迫性求解方法，即将求解极限的变量做适当的放大或者适当的缩小变化，以使得放大、缩小所得到的自变量更易于求解极限，并且这二者的极限值相同，即原极限存在且等于此公共值。 　　第二，高等数学洛必达法则求解方法 　　高等数学中的洛必达法则主要用于分子分母均为无穷大的情况，也就是“∞/∞ 型”不定式极限常用的求解方式，有时候还需要利用推广形式的洛必达法则来进行求解，或者运用其进行辅助求解。在利用洛必达法则进行数学极限求解的时候，可以灵活地将x→a的形式转换成x→a+0或x→a-0等拓展形式，且这种情况适用于洛必达法则。根据数学经验的积累，要明确在应用洛必达法则的时候必须特别注意的几个方面要点内容：要验证应用洛必达法则的条件，就应该先对极限进行分析，以确定极限的类型，然后才能继续使用洛必达法则进行求解计算，只要是符合这个条件的函数或者数列，就可以利用洛必达法则求解其极限；另外，其他类型的不定式也可以利用洛必达法则来求解极限值。 　　第三，高等数学极限内涵和判断准则 　　我们可以利用公式来描述极限的内涵，即ε>0；|an-a|N的时候才能体现出来。用纯粹的数学方式表达：极限存在的辨识方法：极限存在左右极限存在且体现相等；符合夹逼定理；符合连续定理（单调有界数列必有极限）；符合柯西准则。 　　五、数学极限思想的发展及其展望 　　追溯到古代时期的中国，著名思想家庄子在其文学作品中记载了惠施的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这句话的具体含义是：长为一尺的木棒，第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，这样的过程无穷无尽地进行下去，随着天数的增多，所剩下的木棒会越来越短，且截取量也将会越来越小，无限地接近于0值，但是它永远不会等于0值。这就是数学极限的朴素思想及其简单应用的萌芽状态。而且，中国早在3世纪就已经创立了闻名世界的“割圆术”，这是一个最为典型的数学极限思想。到了十七世纪后半叶，英国科学家牛顿和莱布尼茨在前人研究的基础上，分别从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向，分别独立地建立了微积分学。其后，数学极限在经过近一个世纪的不断尝试与酝酿，世界数学家们在严格化基础上重新建立了微积分的知识体系，世界数学界的共同努力直到19世纪初期才开始获得较大的成果，此时的数学极限理论已经非常成熟，其技术方法也在各个学科中的到应用和推广借鉴。后来，在法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人工作的基础上，数学界的前辈们建立并完善了实数理论体系，这使得极限理论建立在严密的理论基础之上。至此，数学界才算是真正建立起了极限理论，而微积分这门学科也才得以严密化。 　　六、结束语 　　极限思想是高等数学学习过程中不可或缺的一种重要的思维基础，它不仅为后续高等数学知识的学习提供了知识储备，更为以高等数学为基础的大学数学体系的学习和研究提供了宝贵的资源。 　　参考文献 　　[1]李相普。赵春祥。极限思想在解题中的妙用[J]。中学数学月刊。2005年02期。 　　[2]陶从江。一元函数极限概念的教学注解[J]。安顺师范高等专科学校学报。2005年02期。 　　[3]梁小艳。张运良。关于函数极限几何意义的思考[J]。西安文理学院学报（自然科学版）。2005年03期。 　　[4]华倩。探究极限概念教学的要点[J]。科技资讯。2010年36期。 　　[5]李敏。浅析函数极限概念的教学策略[J]。农村经济与科技。2011年05期。 　　[6]高霞。基于极限理论的数学分析与极限求解方法。佳木斯教育学院学报。日。 　　王淑玲：女，1963年6月出生，1982年7月毕业于泉州师专数学专业，1999年毕业于华东师范大学数学专业。现就职于泉州医学高等专科学校，籍贯，学历，华东 师大本科，籍贯 南安，研究方向，数学教学
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